（基础数学专业论文）反谱理论新方法中a函数的进一步研究.pdf

硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 摘要 本文对b a r r ys i m o n 反谱理论新方法中的a 函数做进一步研究。首先，证明 a 函数和势函数的连续依赖关系；其次，给出a 函数关于w c y l 函数m 的表达 式；再次，讨论a 函数关于谱测度和谱的关系；最后，借助于a 函数用解析开 拓的办法给出了w c y l 函数在上、下半平面的表达式。 关键词： s c h r 6 d i n g e r 算子，反谱，a - 函数，w e y l 函数，谱测度。 a b s t r a c t硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ea - f u n c t i o ni n t r o d u c e db yb a r r ys i m o ni nh i sn e wa p - p r o a c h t oi n v e r s es p e c t r a lt h e o r y f i r s t l y , w ep r o v et h a tt h ea f u n c t i o na n dt h ep o t e n t i a l a r ec o n t i n u o u s l yd e p e n d e n t ；s e c o n d l y , w eg i v et h er e p r e s e n t a t i o no fa - f u n c t i o nw i t h w e y lf u n c t i o nm ：t h i r d l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ea f u n c t i o na n dt h e s p e c t r a lm e a s u r e ，t h es p e c t r u m ；f i n a l l y , w eg i v ear e p r e s e n t a t i o no fw e y lf u n c t i o nw i t h t h ea - f u n c t i o no nt h eu p p e ra n dl o w e rh a l fc o m p l e xp l a n eb ya n a l y t i cc o n t i n u a t i o n k e y w o r d s ：s c h r o d i n g e ro p e r a t o r ；i n v e r s es p e c t r u m ；a - f u n c t i o n ；w e y lf u n c t i o n ；s p e c t r a lm e a s u r e 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：签面 卅年月勰日 硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 近几十年来，反谱问题成为研究的一个热点而受到越来越多的关注。 半直线上s c h r 6 d i n g e r 算子反谱方法( 包括重构势函数的算法) 的研究始于 1 9 5 1 年g e l f a n d 和l e v i t a n 的文献【1 0 ，同年k r e i n 在文献【1 6 】中也独立地给出 了一个办法。另外一个方法是b o r g m a r c h e n k o 唯一性定理：一维s c h r 6 d i n g e r 算 子的势函数由w e y l 函数唯一确定。这个定理是在1 9 5 2 年由m a r c h e n k o 和b o r g 分别独立发表的( 见文献【1 9 】和【5 1 ) 。上面提到的两种方法都是反谱研究中的 重要工具。 1 9 9 9 年，b a r r ys i m o n 的文献【2 3 】改进了经典的b o r g - m a r c h e n k o 唯一性定 理，给出了一个局部形式：一维s c h r o d i n g e r 算子的势函数仅由w e y l 函数在一 处的渐进性质唯一决定。b a r r ys i m o n 在文献【1 3 ，2 1 ，2 3 】中，把w e y l 函数表示为 某一个函数( 文献中称为a 一函数) 的局部l a p l a c e 变换外加一个误差项作为控 制，建立了一套新理论。从某种意义上说，这是半无限j a c o b i 矩阵连续分式方 法( 见文献【1 2 】) 到连续情形的推广。b a r r ys i m o n 方法是反谱理论中的一个新 方法，其中的a 函数是关键，因为它与w e y l 函数、势函数及算子的谱测度都有 关系。 本文对b a r r ys i m o n 反谱理论新方法中的a 函数做进一步研究。第一部分， 简单介绍b a r r ys i m o n 的反谱理论，然后给出本文所研究的问题以及结果；第二 部分，证明a 函数和势函数的连续依赖关系；第三部分，给出a 函数关于w e y l 函数m 的表达式；第四部分，讨论a 函数关于谱测度和谱的关系；第五部分， 借助于a 函数用解析开拓的办法给出w e y l 函数在上、下半平面的表达式。 1引言 1 1 b a r r ys i m o n 反谱理论简介 对于l 2 ( o ，功( 6 0 0 或b = c o ) 上的微分算式 m = 一熹州曲 1 引言硕士论文 若b 0 0 ，设q l 1 ( 0 ，易) ，考虑m 生成的微分算子日： d ( d = iu l 2 ( 0 ，b ) iu a c t o c ( o ，6 ) ，m u l 2 ( o ，易) ，u ( o ) = 0 ，“( 6 ) + h u ( b ) = 0l h u = m u ，y u d ( t - t ) 其中h ru l ，当h = 0 0 时在b 点的边条件变为u ( b ) = 0 。 若b = 0 0 ，设q l 1 ( 0 ，口) ( 妇 c o ) ，并且m 在0 0 为极限点型的，考虑m 生 成的微分算子日： d ( 1 - 1 ) = ( u l 2 ( o ，) lu 7 a c t o c ( o ，o o ) ，m u l 2 ( o ，o o ) ，u ( o ) = 0l h u = m u ，y u d ( 忉 设m 是算子h 的w e y l 函数，则 毗，= 搿 其中h 是问题一“”+ q u = z u 的平方可积解( 这个解在相差一个常数因子的意义 下是唯一的) 。 如果还考虑自变量x 的相关性， m ( z 加筹 也就是说，聊( z ，曲是( 工，b ) 上微分算式的w e y l 函数，并且满足r i c c a t i 方程 五d m ( z ，力= 留( 曲一z m 2 ( z ，力 b a r r ys i m o n 方法的关键是m a 关系 肌( = 一r p 也。如+ 酚撕“_ o o ( v a 0 , l i m 世i g ( x ) f l - 。= 0 。 特别地，当q l 1 ( 0 ，o o ) 时，m 关于a 有无误差项的表示。由 2 3 1 ，存在 a ( 口) ，口( 0 ，c o ) ，使得 m ( 一p ) = 一鼻一o f a ( 咖一，胎( 抄扣i - ( 1 ) 硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 这里， a ( 酌= a ( 叻 a 1 ( 叻= q ( 口) 姒叻= 号孚厶。，柚口( 粕) 如帆扰砒埸n 2 其中的积分区域 如( 叻= ( ( 工l ，而，1 1 ，厶一2 ) r 加- 210 x i 0 口w0 蔓j 卯 l 。i w m a ( 口，曲2 口( 功 3 1 引言 硕士论文 极限通常是在f 意义下成立。若q 连续，则( 4 ) 点点成立，一般地，( 4 ) 对q 的 所有l e b e s g u e 右连续点成立。 另外，a 函数满足一个微积分方程。 定理1 1 ( 【2 3 ，t h e o r e m6 1 】) 若q 是c 1 的，则a ( a ，工) ，位，功s = ( ( 口，x ) r 2l0 工 6 ；0 口 b x 也是c 1 的并且满足 娑：五o a + 厂觚枷( 口一1 3 ，x ) d p ( 5 ) 瓦2 瓦+ 上a 够枷( 口一， 【5 在b a r r ys i m o n 的反谱理论新方法中，a 函数与反谱直接相关。下面的惟一 性定理给出了a 函数对于势函数的决定关系，而惟一性的本质在于a 一函数所满 足的微积分方程( 5 ) 及( 4 ) 。 定理1 2 ( 2 3 ，t h e o r e m7 1 】) 势函数由a 函数决定。确切地说，对算子 日l 一嘉( 咖( o ) 飓= 一再d 2 + q 2 ( 力，工( 0 ，如) 而言，设相应的a 函数分别为a l ，a 2 ，若对于a 0 ，当 严 i 陋l a 2 1 l = j 陋l ( 口) 一a z ( a ) l d a ! 6 d o 时， 严 慨一q 2 l i = ii q l ( a ! ) 一q 2 ( 叻i d a 一；蚓1 2 ，记z 0 = x + i ( 1 l q l h 小+ 蚓曙+ ) ，若 剥嘉一i i 训。f 丽+ s 甄掣 4 贝0j c r p ( t ) ；若 | 萧刈圳。f 丽+ s 甄l i r a 掣 4 则工c r c ( 丁) up ( r ) 。 以上的定理4 3 - 4 6 在4 中给出证明。 最后，在5 ，利用幂级数延拓的办法，将w e y l 函数从区域d 解析开拓到 整个上、下半平面，给出了w e y l 函数在c + 和c 一上的一个表达式，这依然是借 助于区域d 上的m - a 关系，在某些a 函数已知的情况下可用此办法求出w e y l 函数，而w e y l 函数可以刻画算子的谱测度，所以从理论上，可用a 一函数刻画算 子的谱测度。 2a 一函数与势函数的连续依赖关系 硕士论文 2 a 函数与势函数的连续依赖关系 定理2 1 对微分算子丁，设a 是与z 相应的a 函数，则a 与g 相互连续依 赖： ( 1 ) a 连续依赖于留。若劬，q l 1 ( 0 ，o o ) ，相应的a 函数为屯，a ，则当 锄一驯1 _ o ( n 一) 时，陋。( 口) - a ( a ) i 一0 ( n 一) ； ( 2 ) 曰连续依赖于a 。设曰l q 2 l 1 ( o ，o o ) ，相应的a 函数为a l ，a 2 ，给定 a 0 ，= t 6 0 ，当 h a l - a 2 | i - r 眦_ a 2 ( 酬如 6 时， i i 口l 一留2 ：厂i 留l ( 口) 一q 2 ( a ) l d a s j o 证明( 1 ) a 连续依赖于q 。 由【2 3 ，t h e o r e m2 1 】，若g ，锄l 1 ( 0 ，o o ) ，则 陋( 口；口) 一a ( 口；q n ) i i i q q 1 h ( q ( a ) + q n ( a ) ) e x p ( a q ( a ) + q 。( 口) 】) 其中 q ( o t ) _ 小圳由 于是 i a ( a ；q ) 一a ( 口；q n ) l i i q q 。l h ( 1 l q l h + i l q , , l h ) e x p ( a ( 1 l q l h + i i q 。l h ) ) 当i i q q n l l l o ( n 一) 时，i a ( a ；q ) 一a ( 口；锄) l _ o ( n _ o o ) ，于是a 连续依赖 于g 。 ( 2 ) 口连续依赖于a 。 留( 力，j 【0 ，a 】连续依赖于a ( a ，工) ， ，x ) es = ( ( a ，x ) l a 0 ，石o ，口+ 工 0 ，当以 n ，口( o ，回 口u j 时， l r ( 口) 一b l 务一兰= 耋 也就是说，当n n 时， i i a , , - a i l ，= r 瓦妇 rr ( 拙 争 不可能趋子零，矛盾! 又 l i mg l 劬( 力一如 ，工) f 出= 。 9 2a 一函数与势函数的连续依赖关系 硕士论文 于是可得 l i m j r o l g ( 曲一a ( a ，硎出= 。 l i mi i q 一q l | - 0 a ( a ，力，( 口，曲s 连续依赖于a ( 叻= a ( a ，o ) ，口【0 ，a 】 类似于【2 3 ，t h e o r e m7 1 】的证明，我们考虑函数 ，叼j s ( x ) = i 陋1 ( 叱功一a 2 ( c t ，x ) l d a j o g 连续，并且 f o - x d = s u pf【陋l ( 以曲f4 - i a 2 ( a ，x ) 1 d a o r ：4j o 由【2 3 】中的( 6 7 ) 式，对于0 工l x 2 a ， 令矗( 劝= s u pg ，得 0 9 ：臼 即： 毗) g m r g o 冲 慨) s m r j i l 阮胁 = h ( x o d ( x 2 一x 1 ) h ( x 2 ) ( 1 一d ( x 2 一x o ) h ( x z ) h ( x o 记【】为向上取整函数，将【0 ，口】区间等分为n = l a d + l 份，设分点为 则区间长度 1 0 0 = x o x 1 而一l 而2a = l 墨一斗1 1 高衙 面a 历a = 万1 ，f - 1 ，n 当工( 初，工l 】时， ( 力 j i 仅1 ) s 1 - d 且( x 堡1 - l 7 o ) = 芒法； 硕士论文 反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 当工( x l ，x 2 时，| l ( z ) h ( x 2 ) 丽_ h ( x d 稿胬； ； 当工( 而一l ，而】时，j i l ( 曲 h ( x n ) e 丽h ( x 雨- d ( 1 - ! d 址a ) n ， 若h ( 0 ) = l m l ( ，0 ) 一a 2 ( ，o ) 1 i j ，则 矿知五j 【o 矧 所以 ，哪- 工 j ml，功一a2，x)ldol0= g ( 力丘( 力 高u t a ) 五工【o ，口】j1 一 继而 i i a i - a 2 | i ，= r r 町曲吐( 删l 触 0 ，只要 6 _ ( 1 - d _ a ) s = ! a ( 1 一鼎a 垆1 s 口 i l + l 则当 l i a l 一a 2 0 6 时就有 1 , 4 1 - 驯 丽a 6 这就说明了a c a ，曲，( 口，力s 连续依赖于a ( a ，0 ) ，口【0 ，口】。 综合可知q ( 力，石【o ，a 】连续依赖于a ( 口) ，口【0 ，口】。 3 a 函数关于w e y l 函数的表示关系 这一部分针对m 关于a 函数的表达式( 1 ) 求得a 函数关于m 的反表示。 定理3 1 对于微分算子丁，设w e y l 函数为n l ，则相应的a 一函数可以表示为 a ( a ) = - 2 e 2 9 x 。议2 叻川2 卅去融( x o + i ) 2 ) ( 2 硼 1 1 3a - 函数关于w e y l 函数的表示关系硕士论文 证明因为 衅舡一j 黼一愚( 吵扣1 1 令 g ( ) ，t o ) ：= m ( - ( r o + i y ) 2 ) 其中r o 为参数，y r 为变量，则 酚，峋) ：一绚+ i y 一_ a ( 咖一+ 刎d 口 j 0 = 一绚+ 1 ) ，一h o p ) 其中i l ( ) ，) = fa ( o t ) e 一2 咖+ 细d a ，则 氤，蜘) = ( 一书f ) 一 ( ) 记夕为s c h w a r t z 类，即速降函数空间( 见参考文献【2 6 】) ，则v 妒夕， ( 扃，妒) = ( t o ，p ) = ix 0 9 ( k ) d k ，q =gof 口o ( k ) d k = g o 厄而( o ) = 讵砒妒( o ) = 、赢f 6 ( ) ，) 妒方 = ( q 2 7 r x 0 6 , 纠 1 2 正妒) = ( f ， = 蛳( 七肌= 矿( 七础 = 厮( o ) = 一佤f ( ) i 胁协 ：( 一讵积，谚 硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 形式地，讯) = 一俪( d 。 最后求五。 五( d = 忑15 一咖 = 去j = = p 嘶j a c 叻p 灿删螂 = j = = p 嘶去j = = a ( 酌p 咖“妒叫d 叻 ，q = f 穸。1 ( a ( ) p 飘o 。) ( ) ) ( 2 y ) e i b d y ，一0 0 = 吾厂莎- 1 ( a ( 惋一硒托。) ( ) ) ( f ) e - i t 出 = 孚刚扣笋蛔 于是， 氛，岣) = 一讵砒故d 一讵为7 一孚p 一蛔a ( 兰肌川 取k = 勉，口( 0 ，o o ) ， a ( = a ( o t ) x ( o 。m ) ( 叻 = 一去p 姗苏。问( 刎+ 惋犯+ 佛) = 一知2 岫6 ( 缸) + ( 2 叻+ 去氟一( k o + i ) 2 ) ( 2 ) 例3 1 对于微分算式 m = 一d 1 2 + 口( 曲，工( 0 ，o o ) ，q 暑0 我们知道 于是 ，l ( 一j c 2 ) = 一k _ ( 一( 岣+ i y ) 2 ) = 一x o + i y 1 3 4a 函数与谱的关系硕士论文 而 ( 一希f ) = 一讵砒以七) 一讵衬( d 代入定理3 1 中的公式可得 = 也2 卅即卅去( 一佩犯叻一俯( 2 训 =0 4 a 函数与谱的关系 4 1a 函数与谱测度的关系 在【1 3 】中，作者研究了a 函数和算子谱测度的关系，形式地 a ( 口) = 一2 厂掣和( 抑 ( 6 ) j 一 、， 其中的被积函数在a 0 时定义如下： s i n ( 2 口怕i2 口， a = 0 可2 t 骂字小。 因为r 姒抑一委尺i 僻o o ) ，所以( 6 ) 中的积分不是绝对收敛的，有时甚至连 条件收敛性也没有，这时表达式( 6 ) 要按照恰当的方式理解，文献【1 3 】给出了如 下两种。 ( 1 ) 分布意义 定理4 1 ( 【1 3 ，t h e o r e m5 3 】) 设b 或b = ，q l 1 ( 0 ，) ，若f g ( r ) ，f ( - a ) = - f ( 叻，口r ，则有 一2 上【 删警乎叫删= 砌c 拙 其中万是广义函数，当b = 0 0 时， 承叻= 。) ( a ) a ( o d 一朋- o o , 0 ) ( o ) a ( 一口) + ( 酌 硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 当b 0 ， 鸟( x ) _ c x 2 ，j r 则对于q 的任一个l e s s e e 连续点蜘( 0 ，6 ) ， 讹卜2 船f “警铲姒 接下来我们给出谱测度关于a 函数的一个局部表示。 定理4 3 对于微分算子r ，谱测度关于a 一函数有如下的局部表示关系 姒x ) = 秽1 ( 曲慨 + 妻w 一盥。j 肌南口s 砥忆扛而批 其中d = ( ) ，) i 工 i l q l h ( x + i k i 曙) ) 。 证明当q l 1 ( 0 ，) 时，相应的w e y l 函数 小( 硇- - - n k r 批咖枷 扣1 1 因为 阻( 口) isi q ( a ) l + 1 1 日i f ；已工p ( 口i i 留i i ：) 1 5 4a 函数与谱的关系 硕士论文 所以当r e ( k ) 1 1 q l h 时，积分绝对收敛。 记j ( = 矿+ i 6 ，则 肌( 一j ( 2 ) = m ( 一( 矿+ 泖2 ) = ，挖( 一一+ 一2 & r i ) 一矿讲j 眦) e - 2 a d c o s ( 2 蚴州f 撕) e - 缸 s i n ( 2 蚴出 = 一矿一ra ( 叻e - 2 a d c o s ( 2 蚴妇一f p + r a ( 口) e - 2 。 s i n ( 2 蚴叫 记z = x + y = 一( 旷+ i 0 0 2 ，由 o 一 2 撕_ 0 2 了= k 一孕 【一司袁露 仁凳 因为矿 1 1 q l h 0 ，所以第一组解对应于y 0 的情形，第二组解对应于y ；i l q l h 】变成z 平面上的区域d ： 1 6 6 一 s o l l q l h r - p l a n e 硕士论文 反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 ，。 。 。 f 。 一 - n 舭io 、 当0 ，y ) d 时，若y 0 ，则 m ( x - i - i y ) = - + i 【 若y 0 ，则 m ( x + i y ) = y + 一i 【 并且上式中的积分绝对收敛! 于是， z - p l a n e i r + ia ( 妨p j o 印( 力= 晏w _ l 儿i r a 。i r a ( 小( 工+ i y ) ) d x 氕 ， 1 【。，。) o ) 3 x d x + y c ，d t m , y j , or 荆p 丌 j o 。 1 7 4a 函数与谱的关系 硕士论文 其中d = ( 五力l 工 i l q l h ( x + 知硎；) ；l 。 定理4 4 微分算子t 的谱集在实轴上有下界： 矿( 丁) c 【一扣i ；，+ ) 证明由定理4 3 ，当工 - - l l q l t ；时， 和c 曲：妻w 一船j 讹，南口s ；n ( 忆扛丽d 础 ：! 厂a ( s i n 姚：o 万, 1 0 ( 一，一扣片) c 胛) 而t 自伴，c r ( t ) cr ，于是 矿( 丁) c 一1 蚓2 l ，+ ) 例4 1 对于微分算式 m = 一嘉州破州岫) q 三。 生成的自伴算子r d ( t ) = h l 2 ( o ，0 0 ) l a c k ( o ，o o ) ，h ( o ) = 0l t u = m u ，v 比d ( 丁) 我们知道，这种情况下 ，拧( 一j ( 2 ) = 一戈，a ( o t ) = 0 ， 姒亢) = 1 ( a ) v j d a ，矿( 丁) = 叽( 丁) = 【o ，) 而由定理4 3 ， 酬曲= ( 力恤 硕士论文 反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 由定理4 4 ， 似丁) c 【0 ，) 与实际结论相符。 注m a 关系是由m 关于豫解算子积分核的关系转化来的，也就是 说，m a 关系是针对正则值而言的；定理4 4 说明了m a 关系反过来又给出 了实轴上正则值的范围1 4 2a - 函数和算子谱集的关系 4 2 1 例子 下面通过几个简单的例子看一下a 函数与算子谱集之间的关系，考虑如何 用a - 函数或与a - 函数相关的量来刻画算子的谱，特别是特征值。 例4 2 考虑微分算式 m = 一d 2 + g ( 力，x 【0 ，6 】，留( 毒) = o ，工( 0 ，易) 生成的自伴算子丁： d ( t ) = i l 2 ( o ，易) ih a c 如( o ，易) ，m u l 2 ( o ，易) ，“( 0 ) = “( 易) = 0l t u = m u ，y u d ( t ) 这里b 点的边条件对应于h = o o 情形。 一方面，通过求解问题 焉三意 可得算子的特征值为 厶= 譬舻0 1 ，2 ， 另一方面，利用w e y l 函数和谱之间的关系一一m 的极点是算子的特征值， 这时要借助于a 一函数，因为w e y l 函数本身的计算是很困难的，但在a 函数可 以计算出来的情况下，可以利用这个方法。 4a 函数与谱的关系 硕士论文 其中 由【1 3 ，t h e o r e m4 3 】， ，竹( 一x 2 ) = 一戈一 尸 =一七一i j o 承口) 已一姒出 承a ) = a ( + 三a j s ( 口一弘) + 毋6 缸一弘) 。f - l i = l 这里，a j = 2 ，b j = 一2 j f 守q ( 工) d x = 0 ， i a ( 口) 一a i ( 回i 目( ，0 口 b ， ( 2 a + 6 ) ( 2 口+ 2 b ) =0 i l q l l 2 e x p ( t z l l q l l 2 ) ( 疗+ 1 ) q ( a n b ) + n q ( ( n + 1 ) b 一叻，n b 口 。 生成的自伴算子丁 d ( t ) = ( u l 2 ( o ，o o ) ii g a ( 0 ，o o ) ，u ( o ) = 0l t u = m u ，y u d ( r ) 文献【1 3 】已经给出了算子z 的a 函数的具体表达式。 m ( 一j c 2 ) = 一+ q o 讹，= 知口蠢，= 薹鼎护 o r ( t ) = o c ( t ) = 【q o ，+ o o ) 注从上面三个例子可以看出，算子的a 函数和它的谱之间没有明显的关 系l 我们试图找出一些用与a 函数相关的量刻画算子特征值的办法，这里就涉 及到w e y l 函数的性质和m a 关系。 2 1 4a 函数与谱的关系 硕士论文 4 2 2 奇异点的判别法 在【2 8 】中给出了一个普遍的方法，利用它可以判断幂级数 朐：f ( z o ) + 掣( z z o ) + + 掣( z z 0 广+ 1以! 收敛圆( 半径为尺) 的边界r 上任何一点f 是级数和，( 力的正则点还是奇异 点。设z l 是半径z o ( 上异于z o 和f 的点， 将f ( z ) 展成关于z z l 的幂级数 八z ) = b o + b l ( z z 1 ) + + 巩( z z 1 ) 刀+ ( 7 ) 其中 以= 掣= 嘞+ 掣”拼坠裟塑a n + 2 ( z l 训2 + 咖= o 1 2 ，) ，l !ll z 这里的a n = g 产，根据 2 8 1 第六章第二节中的定理( 设，( z ) 是区域g 内的单值 解析函数，如果z o g ，而且，是z o 到g 的边界的距离，则f ( z ) 在圆l z z o l r 内可以展成z z o 的幂级数。) 此级数在圆i z z l i a 内收敛，其中是z 1 到r 的距离，即a = r i z l z o l 。 于是级数( 7 ) 在以z 1 为心且与圆周r 切于f 点的圆周，内收敛，根据 c a u c h y h a d a m a r d 公式，级数( 7 ) 的收敛半径为 l l i r a 阮l 2 2 硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 如果，= ，则在圆周y ：i z z o l = a 上至少有级数( 7 ) 的和的一个奇异点， 但是任何一个在k 内的点r y 都不能是这个级数的奇异点，因为在r 点的整 个属于k 的邻域内，厂( 力是解析函数，它在y 内与级数和重合。因此f 是奇异 点。 因此，如果 r i z l z 0 i 0 ，且 n = o 厂( z ) = c n ( z - - 口) “，( z k ：i z - a l 足) 则心) 的收敛圆周c ：i z a l = r 上至少有一个奇点，即不可能有这样的函数 ，( z ) 存在，它在i z 一口i r 内与北) 恒等，而在c 上处处解析。 定理4 5 若已知算子t 的a 函数，并且c r p ( t ) 0 ，则可以利用a - 函数确 定t 的第一特征值。m 关于a 有如下关系： m ( z ) - - - 正一j 删p 也，z 。 取x l 0 ，对于工 一 l l q l 片，记初= x + i ( 1 i q l h 少+ i l q l l ；+ 功，若 熹= 删。0 + 扣1 2 + s 厩掣 4 硕士论文 反谱理论新方法中a 函数的迸一步研究 贝i j 工唧( r ) ；若 贝0 工c r c ( 丁) u p ( t ) 。 证明对于工 一- j j l 圳2 。，点( 工，蚓i 。= i 百丽) 在抛物线上， 于是 z 。= j + 圳i 驯j l1 x + 12 + d d 考虑m 在z o 的幂级数展开 茎掣m ，万 级数的收敛半径 r = 量 甄掣 收敛圆为 k ：f z 一7 o f 蚓i l x + 蚓| 2 + s ，则( 工，o ) 是级数和的正则点，也是m 的正 贝u 点，即工o - c ( r ) u p ( t ) 。 下面通过一个简单例子的计算验证定理4 6 的条件。 例4 5 考虑微分算式 m 一嘉+ 拈) ，x ( 0 ，毗留兰。 已知m ( 一矿) = 一，令z = 一j ( 2 ，则，l ( z ) = 一佰，于是 m ( z ) ：墼掣( _ z ) 学 对于工 0 ，给定某个s 0 ，记z o = 工+ i e ， 。i m 0 ，对于z = 工+ 炒，y 0 ，考虑m 在初= 工+ i ( 1 l q l h j + 蚓曙+ s ) 的幂级数展开 曼掣( z - z o ) 厅 匀n ! 它在收敛圆内的和即是m 的解析开拓，记开拓后的函数为朋( z ) ，则 当y 0 时， 麒j + 劝= 川= 茎掣”秽 对于) 7 o 情形，考虑m 在毛 - x - - i ( 1 l q l l ，：i 可丽+ 功的幂级数展开 妻掣( z 锄一 厶n = o 咒! 卜7 2 7 。脚 = 5w e y l 函数在上、下半平面的表达式硕士论文 当y 0 时， 脚堋= = 妻掣( z _ 磊广 = 妻坐竺警1 型2i n ( y + i l q l h - i f 骊4 + 矽 =， 一 _ ij 工十一l l 口l l ：十e 匀 以!v ”。1 7 下面转而计算m q ( z ) ： m o ( z ) = ( 一伺一fa ( o t ) ( e 也佰) 伽如 ( 一伺= 墼掣( 一z ) 舵2 已一= 脚- ( - 2 a r ( - z ) 5 ) k = 砉掣c z ) 考虑( 一z ) 的疗阶导数： 当k = 0 ，2 ，4 ，2 n 一2 时，( ( 一z ) ) 伽) = 0 ： 当七n 0 ，2 ，4 ，2 n 一2 时， ( ( - z ) 1 ) = 兰下k - 2 丝p ( - z ) 毕( 1 ) ” ：业坐拿笋兰业( - z ) i 乎 所以 蜥= 荟2 , 4 , 2 n - 2 唑掣七e n 、f 0 ，。 k ( k 一2 ) ( 七一2 n + 2 ) ( 一z ) 学 继而 扩) ( z ) ：氅掣( z ) 一孕 一j 邑叫唑孚k ( k - 2 ) - - ( k - 卜妒如 我们知道，w e y i 函数和算子的谱测度有如下关系 d p ( x ) 2 ；i t 一l y i 加r al m ( ，l o + i y ) ) d x 有了m 在上、下半平面的表达式( 与a 函数相关) ，在理论上，就能够用a 函 数刻画算子的谱测度。 硕士论文反谱理论新方法中a 函数的进一步研究 致谢 首先，我要感谢我的导师黄振友副教授，从论文选题到撰写都得到黄老师的 悉心指导，在南理工求学的这6 年，黄老师在业务方面严格要求耐心指导，我的 专业水平有了很大的提高。 其次，我要感谢我的老师杨传富，杨老师的指导和帮助，对于我深入了解我 所研究的专业领域发挥了很大的作用，在此对他表示衷心的感谢! 最后，我要感谢我们讨论班上的所有老师和同学。几年来，受到他们多方面 的帮助，在此一并感谢! 5w e y l 函数在上、下半平面的表达式 硕士论文 参考文献 【1 】eva t k i n s o n ，o nt h el o c a t i o no ft h ew e y lc i r c l e s ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g h 8 8 a ( 1 9 8 1 ) ，3 4 5 - 3 5 6 【2 】s a v d o n i n ，vm i k h a y l o v , t h eb o u n d a r yc o n t r o la p p r o a c ht oi n v e r s es p e c t r a l t h e o r y , t h ei n t e r n a t i o n a lm e e t i n go ni n v e r s ea n ds p e c t r a lp r o b l e m sa tt h eu n i v e r s i t yo fa u c k l a n d ( 2 0 0 7 ) 【3 】c b e n n e w i t z ，ap r o o fo ft h el o c a lb o r g - m a r c h e n k ot h e o r e m ，c o m m u n m a t h p h y s 2 1 8 ( 2 0 0 1 ) ，1 3 1 - 1 3 2 【4 】j m b e r e z a n s k i i ，e x p a n s i o n si ne i g e n f u n c t i o n so fs e l f a d j o i n to p e r a t o r s ，t r a n s l m a t h m o n o 1 7 ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n e e ，r i ，1 9 6 8 【5 】g b o r g