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模不变与示性数 南开数学研究所 韩飞 2 0 0 3 年6 月 摘要 本文给出了在一个复线丛存在的情形下a l v a r e z - g a u m 6 一w i u e n - 支u 克峰 ( a g w 】， l i ) 高维“非凡消去”公式的一个推广。作为推论，我们给出了这个高 维广义消去公式的两个应用。首先，我们考虑了该广义公式在1 2 维时的特殊形 式，得到了物理学家a l v a r e z g a u m 6 ，w i t 【e n 原来发现的对弦理论很重要的关于 1 2 维流形的“非凡消去”公式的推广。其次，在该广义消去公式的帮助下，我 们给出了o c h a n i n e 同余的一个漂亮的解析解释的直接证明。这个解析解释首次 在【l i z ，t h e o r e m4 1 】中被提出，并用解析的技巧加以证明。事实上，我们改进 了 l i z ，t h e o r e m4 1 】中的结果。在附录a 中，我们给出了上面提到的1 2 维广义 消去公式的直接验证。附录b 给出了8 l j 维流形的相关类似结果。本文的主要结 果包含于 h z l ，2 1 这两篇文章中。 m o d u l a ri n v a r i a n c ea n dc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r s n a n k a ii n s t i t u t eo f m a t h f e i h a l l j u n e ，2 0 0 3 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w e 西v ea i le x t e n s i o no ft h eh i g h e rd i m e n s i o n a l “m i r a c u l o u s c a n c e l l a t i o n f o r m u l ao fa i v a r e z - g a u m 6 ，w i n e na n dk e f e n gl i u ( r a g w l ，l i l ) i n t h e p r e s e n c e o fa l le x t r ac o m p l e xl i n eb u n d l e a sc o n s e q u e n c e s ，w e g i v et w o a p p l i c a t i o n s f i r s t ，w es p e c i f yo u rr e s u l t st ot h ec a s eo fd i m e n s i o n1 2a n dg e ta n e x t e n s i o no ft h e “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n f o r m u l ao f a l v a r e z g a u m 6a n dw i t t e n 【a g w f o r1 2 一m a u l f o l d s ，w h i c hi si m p o r t a n tf o rs t r i n gt h e o r y s e c o n d ，谢t ht h eh e l p o fo u rg e n e r a l i z e dc a n c e l l a t i o nf o r m u l a , w e g i v ead i r e c tp r o o f o fab c a u t i f u la n a l y t i c i n t e r p r e t a t i o no f 血eo c h a n i n ec o n g r u e n c e ，w h i c hi ss t a t e da n dp r o v e di nf l i z ， t h e o r e m 4 2 】w i t ha n a l y t i ca r g u m e n t s i nf a c t ，w er e f i n et h e i rr g s u l t s i na p p e n d i xa ， ad i r e c tv e r i f i c a t i o no fo u r g e n e r a l i z e dc a n c e l l a t i o n f o r m u l af o r1 2 d i m e n s i o n a l m a n i f o l d si sp r e s e n t e d a p p e n d i xbo f f e r ss o m es i m i l a rr e s u l t sf o r8 k d i m e n s i o n a l m a n i f o l d s t h em a i nr e s u l t so f t h i st h e s i sa r ec o n t a i n e d i n h z l 2 1 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s w eg i v ea ne x t e n s i o no f t h eh i g h e rd i m e n s i o n a l “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ” f o r m u l ao fa l v a r e z g a u m 6 ，w i t t e na n dk e f e n gl i uf a g w ，f l i ) i nt h ep r e s e n c eo f a ne x t r ac o m p l e xl i n eb u n d l e a sc o n s e q u e n c e s ，w eg i v et w oa p p l i c a t i o n s f i r s t ，w e s p e c i f yo u rr e s u l t st ot h ec a s eo fd i m e n s i o n1 2a n dg e ta ne x t e n s i o no ft h e “m i r a c u l o u s c a n c e l l a t i o n ”f o r m u l ao fa l v a r e z g a u m 6a n dw i t t e nf a g w lf o r1 2 一m a n i f o l d s 、w h i c h i si m p o r t a n tf o rs t r i n gt h e o r y s e c o n d ，w i t ht h eh e l po fo u rg e n e r a l i z e dc a n c e l l a t i o n f o r m u l a ，w eg i v ead i r e c tp r o o fo fab e a u t i f u la n a l y t i ci n t e r p r e t a t i o no ft h ec i c h a n i n e c o n g r u e n c e ，w h i c h i ss t a t e da n d p r o v e di nl l i z ，t h e o r e m4 2 1w i t ha n a l y t i ca r g u m e n t s i nf a c t ，w er e f i n et h e i rr e s u l t s i na p p e n d i xa ，ad i r e c tv e r i f i c a t i o no fo u r g e n e r a l i z e d c a n c e l l a t i o nf o r m u l af o r1 2 一d i m e n s i o n a lm a n i f o l d si sp r e s e n t e d 。a p p e n d i xbo f i e r ss o m e s i m i l a rr e s u l t sf o r8 k d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s a c k n o w l e d g e m e n t t h i st h e s i si sw r i t t e nu n d e rt h es u p e r v i s i o no fp r o t w e i p i n gz h a n g t h ea u t h o r w o u l dl i k et oe x p r e s sh i sh e a r t f e i tt h a n k st op r o f z h a n gf o rh i sg u i d a n c ea n dv e r y h e l p f u ls u g g e s t i o n sa n da l s of o ri n t r o d u c i n gt h ea u t h o rt ot h eb e a u t i f u lb r a n c ho f e l l i p t i cg e n u s i nf a c t ，t h em a i nr e s u l t sh e r ea r ec o n t a i n e di nt h ej o i n tp a p e r sf h z i ，2 1 c o m p o s e db yp r o f z h a n ga n dt h ea u t h o r t h eg r e a tm a t h e m a t i c i a np r o f s s 。c h e mi sd e e p l ya p p r e c i a t e df o rh i se n c o u r a g e m e n ta n di n s t r u c t i o n st ot h ea u t h o ra sw e l la sm a n y y o u n gm a t h e m a t i c a ls t u d e n t si n n a n k a iu n i v e r s i t y t h ea u t h o ri ss of o r t u n a t et h a th eh a so p p o r t u n i t i e st ol i s t e nt o t h el e c t u r e sg i v e nb yp r o f c h e r na n dt oa t t e n ds e m i n a r sh e l di np r o f c h e r n sh o m e t h ea u t h o ra l s ot h a n k sm a n yf a c u l t y , e s p e c i a l l yp r o f h u i t a of e n g i nn a n k a i i n s t i t u t eo fm a t ha n dd e p t 。o fm a t h ，n a n k a iu n i v e r s i t yf o rt h e i rc a r i n ga n dh e l p ，t h e d i s c u s s i o n sw i t hs o m eo ft h e mi n s p i r e dt h ea u t h o ral o t m a n yc l a s s m a t e so f f e r e dt h e a u t h o ral o to fh e l p ，t h ea u t h o rt h a n k st h e mt o o l a s tb u tn o tl e a s tt h ea u t h o rw a n t st ot h a n kh i sp a r e n t sf o rt h e i rl o v ea n ds u p p o r t w h i l eh ei sp u r s u i n gm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h i s w o r ki sd e d i c a t e dt oh i sr e s p e c t a b l e a n d k i n d l ym o t h e r ，y u n z h ux u ，f o rh e r5 0 t hb i r t h d a y 1 i n t r o d u c t i o n h 1 9 5 2 ，r o k h l i n 【r 1 1f o u n dav e r ya m a z i n g f a c tt h a tt h es i g n a t u r eo fas m o o t hc l o s e do r i e n t e d s p i n4 - m a n i f o l di sd i v i s i b l eb y1 6 as i m p l em o d e r np r o o fo ft h i st h e o r e mc d j lb er o u g h l yo u t l i n e d a sf o l l o w s c f z 3 ，1 6 3 1 l e tmb eac l o s e do r i e n t e ds p i n4 - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，v 7 ” b et h ea s s o c i a t e dl e v i - c i v i t ac o n n e c t i o n ，l ( t m ，v t m ) b et h ea s s o c i a t e dh i r z e b r u c hl f o r ma n d a ( t m ，v t m ) b e t h ea s s o c i a t e dh i r z e b r u c h 五f o r m 【c f z 3 ，1 63 1l e tp l ( t m ，v 7 ”) a su s u a lb et h e f i r s tp o n t r j a g i nf o r ma s s o c i a t e dt o ( t m ，v r m ) c f z 3 ，1 62 卜t h e nb yas i m p l ec o m p u t a t i o n ，o n e f i n d s ， l ( t m ，v t f ) ) 4 ) = 百1 p 1 ( t m ，v 7 m ) ， a ( t m ，v 7 ) ) ( 4 ) = 一击p l ( t m ，v t ) ( 1 1 ) u1 h e n c e l l ( t m ，v 7 ”) ) ( 4 ) = 一8 , 4 ( t m ，v 7 ”) ) ( 4 ) ， ( 1 2 ) a n ds o ， ( l ( t m ，v t m ) ，【m ) = 一8 ( a ( t m ，v t m ) ，眦】) ( 1 3 ) r e c m lt h a ta t i y a ha n dh i r z e b r u c hp r o v e di n1 9 5 9 【a t h t h a ti fn i sa n ( 8 k + 4 ) - d i m e n s i o n a ls m o o t h c l o s e do r i e n t e ds p i nm a n i f o l da n dei sar e a lv e c t o rb u n d l eo v e rn ，t h e n ( a ( t n ) c h ( e c ) ，【 ) 2 z ( 14 ) f r o m ( 13 ) a n dt h ea b o v et h e o r e mo fa t i y a ha n dh i r z e b r u c h ，o n eh a s1 6ls i g n ( m ) s ow ec a ni n s o m es e n s ev i e wt h et h e o r e mo fa t i y a ha n dh i r z e b r u c ha sah i g h c rd i m e n s i o n a lg e n e r a l i z a t i o no ft h e o r i g i n a lr e s u l to fr o k h l i n i n1 9 8 7o c h a n i n ed i r e c t l yg e n e r a l i z e dt h eo r i g i n a lr e s u l to fp m k h l i nt oh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s ei n o l l ，i nw h i c hh ep r o v e dt h a tt h es i g n a t u r eo fa l l ( 8 + 4 ) - d i m e n s i o n a ls m o o t hc l o s e do r i e n t e ds p i n m a n i f o l di sd i v i s i b l eb y1 6 d o e st h e r ee x i s ta n yi n t r i n s i cr e l a t i o nb e t w e e nt h e s et w oh i g h e rd i m e n s i o n a lg e n e r a l i z a t i o n s ? i z l f a c t ，e a r l yi n1 9 8 3w h e nt h e yr e s e a r c h e ds u p e r s t r i n gt h e o r y ip h y s i c i s t sa l v a r e z - g a u m 6a n dw i t t e n a g w lf o u n das oc a l l e d “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l aw h i c hr e v e a l st h eb e a u t i f u lr e l a t i o nb e t w e e nt h eh i r z e b r u c h 三f o r ma n dt h eh i r z e b r u c ha - f o r mo fa1 2 - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l d ma sf o l l o w s ， l ( t m ，v r ”) ) “= 8 a ( t m ，v t “) c h ( t c m ，v 您) 一3 2 a ( t m ，v t ”) ) “”，( 1 5 ) w h e r e 野md e n o t e st h ec o m p l e x i f i c a t i o no f t m ，a n dv t o mi sc a n o n i c a l l yi n d u c e df r o mv 丁m ，h e r ei f mi sc l o s e da n d s p i n ，o n ec a ne a s i l yd e d u c ef r o m ( 1 5 ) a n d t h ea t i y a h h i r z e b r u c hd i v i s i b i l i t yt h e o r e m f o rs p i nm a n i f o l d st h a t1 6is i g n ( m ) i nt h e4 - d i m e n s i o n a lc a s e ，( 1 2 ) p l a y sa na n a l o g o u sr o l ea st h a to f ( 15 ) ，t h e “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l a ，p l a y si nt h e1 2 一d i m e n s i o n a lc a - s e s ow em a y i ns o m es e n s ec a l l ( 1 2 ) t h ec a n c e l l a t i o n f o r m u l af o rd i m e n s i o n4 i t sn a t u r 址t oa s ki ft h e r ee x i s t sa l l a l o g o u sc a n c e l l a t i o nf o r m u l af o re a c h ( 8 七+ 4 ) d i m e n s i o n a lc a s e i ft h ea n s w e ri sp o s i t i v e ，o n et h e nm a ye x p e c ti tw i l lb eu s e da sab r i d g e b e t w e e nt h e s et w od i v i s i b i l i t i e s l a n d w e b e r l 1s h o w e do n ec a nu s et h ei d e a so fe l l i p t i cg e o u st od e d u c et h eo c h a n i n ed i v i s i b i l i t y f r o mt h ea t i y a h h i r z e b r u c hd i v i s i b i l i t y h l 1 ，l a n d w e b e rp r o v e df o re a c h ( 8 女+ 4 ) 一d i m e n s i o n a l s m o o t hc l o s e do r i e n t e ds p i nm a n i f o l dm 8 + 4t h ef o l l o w i n gi d e n t i t yh o l d s k s i g n ( m 8 k + 4 ) = 1 6 2 s k - s r 虬 r = o 1 ( 1 6 ) w h e r ee a c hb r ，0srs 女，i sac h a r a c t e r i s t i cn u m b e ro fm 8 “，t h ei n t e g r a l i t yo fw h i c he s s e n t i a l l y d e p e n d so nt h ea t i y a h h i r z e b r u c hd i v i s i b i l i t y i n1 9 9 4 ，k e f e n gl i uf l i le s t a b l i s h e dh i g h e rd i m e n s i o n a l m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l a sf o r f 8 七+ 4 ) d i m e n s i o n a ls m o o t hm a n i f o l d sb yd e v e l o p i n gm o d u l a ri n v a r i a n c ep r o p e r t i e so fc h a r a c t e r i s t i c f o r m si nf l i l ，h ep r o v e dt h a tf o re a c i l ( 8 + 4 ) 一d i m e n s i o n a ls m o o t hr i e m a n n i a nm a n i f o l dmt h e f o n o w i n gi d e n t i t yh o l d s l ( t m ，v 7 肘) = 2 3 2 6 - a j , 4 ( t m ，v 7 ”) c h b j j = s ( 1 , 7 ) w h e r et h eb 1 s8 a ee | e m e n t si nk o ( m ) og1 ns o m es e n s e ，l i u sf o r m u l ar e f i n e st h ea r g u m e n to f l a n d w e b e rf l lt ot h el e v e lo fd i f i e r e n t i a lf o t i n s 0 c h a n i n ed i v i s i b i l i t yc a nt h e nb ee a s i l yd e d u c e df r o m t h ea t i y a h - h i r z e b r u c hd i v i s i b i t i t yb yf 1 7 1 l e tu si nt h ef o l l o w i n gl i s t e n 协t h es t o r yo fn o n s p i nc a s e n o wl e tmb eac l o s e do r i e n t e ds m o o t h 4 - m a n i f o l dn o tn e c e s s a r i l ys p i n l e tb b ea l lo r i e n t a b l ec h a r a c t e r i s t i cs u b m a n i f o l do fm ，t h a ti s ，bi s d u a lt ot h es e c o n ds t i e f e 】w h i t n e vc l a s so f t m i nt h i sc a s e r o k h l i ne s t a b l i s h e di n a 2 jac o n g r u e n c e f o r m u l ao ft h et y p e s i g n ( m ) - 1 - s i g n ( b - b ) 三庐( b ) m 。d 2 笼 r 。、( 1 8 ) w h e r ebbi st h es e l o i n t e r 5 e c t i o no fbi nma n d 引b ) i sas p i nc o b o r d i s mi n v a r i a n ta s s o c i a t e dt o ( 肛，口) c l e a r l y ，w h e nm i ss p i na n d 日= a ，( 1 8 ) r e d u c e st ot h eo r i g i n a lr o k h l i nd i v i s i b i l i t y i nt h ec u ew h e r ebm i g h tn o tb eo r i e n t a b l e ，a ne x t e n s i o no f ( 1 8 ) w a sp r o v e db yg u i l l o ua n d m a r i ni nf g u m l o c h a n i n e f 0 1 1g e n e r a l i z e d ( 1 8 ) t o ( 8 南+ 4 ) - d i m e n s i o n a lc l o s e ds p i n 。m a n i f o l d s h i s f o r m u l a i s a l s o o fl v p ef 18 ) a n dt h u se x t e n d sh i sd i v i s i b i l i t yr e s u l tt os p i n 。m a n i f o l d s f i n a s h i nf f lg e n e r a l i z e dt h e0 c h a n i n ec o o g r u e n c et ot h ec a s ew h e r et h ec h a r a c t e r i s t i cs u b m a n i f o l d bi sn o n o r i e n t a b l e h i sf o r m u l aa l s oe x t e n d st h eg u i l l o u m a t i nc o n g r u e n c et oa n y ( s k + 4 ) 一d i m e n s i o n a l c l o s e do r i e n t e dm a n i f o l d n o wt h e r ee x i s to c h a n i n ea n df i n a s h i nc o n g r u e n c e sa st h eg e n e r a l i z a t i o n so fo c h a n i n ed i v i s i b i l i t y f r o ms p i nc a s et on o n - s p i nc a s e ，n a t u r a l l yo n em a y 雒k i ft h e r ee x i s tg e n e r a l i z a t i o n so ft h ea t 西a h h i r z e b r u e hd i v i s i b i l i t y z h a n gg a v e u sp o s i t i v ea n s w e r si n z 1 ，2 _ h i sr e s u l t sg e n e r a l i z et h ea t i y a h h i r z e b r u c hd i v i s i b i l i t y a n d ，w h e nr e s t r i c t e dt o4 一d i m e n s i o n a lc a s e ，a l s or e c o v e r s ( 1 8 ) a sw e l la 5t h eg u i l l o u - m a r i ne x t e n s i o n o f i t i i lf z 2 ，a p p e n d 1 ，w i t ht h eh e l po ft h e “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l ao fa l v a r e z g a u m 4a n d w i t t e nf a g w lf o r1 2 - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d ，z h a n gc o u l dg i v ea l li n t r i n s i ca n a l y t i ci n t e r p r e t a t i o n o f0 c h n a i n e ss p i nc o b o r d i s mi n v a r i a n t 母( b ) m o r e o v e r ，i tw a sp o i n t e dt h a tah i g h e rd i m e n s i o n a l g e n e t a l i z n t i s no ft h e “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l ao fa l v a r e z ，g a u m da n dw i t t e nw o u l d l e a dt o ab e t t e ru n d e r s t a n d i n go ft h eg e n e r a lc o n g r u e n c ef o r m u l a sd u et oo c h a n i n ef 0 1 ja n df i n a s h i ni f 】 o fc o u r s e ，t h i sr e q u i r e dh i g h e rd i m e n s i o n a l “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l ai se x a c t l yl i u sr e s u l t m e n t i o n e da b o r e c f ( 1 7 ) i nt h et e x t ) i nf l i z ，b yc o m b i n i n gl i u sc a n c e l l a t i o nf o r m u l aw i t ht h ea n a l y t i ca r g u m e n t si n 【z z ，l i ua n d z h a n gw e r ea b l et og i v ea ni n t r i n s i ca n a l y t i ci n t e r p r e t a t i o no f t h eo c h a n i n ei n v a r i a n t 毋( 口) f o ra n y ( s k + 2 ) d i m e n s i o n mc l o s e ds p i nm a n i f o l db ( c o m p a r ew i t h 【0 2 1 ) ，a sw e l la st h ef i n a s h i ni n v a r i a n t 【f j f o ra n y8 女+ 2d i m e n s i o n a lc l o s e dp i n m a n i f o l da p p e a r i n gi nt h ef i n a s h i nc o n g r u e n c ef o r m u l a i np a r t i c u l a r ，t h i sl e a d st oa n a l y t i cv e r s i o n s ，s t a t e di n l i z ，t h e o r e m s4 1 ，4 2 】，o ft h ef i n a s h i na n d o c h a n i n ec o n g t r e n c e s n o wt h er e m a i n e dq u e s t i o ni sw h e t h e rt h e s ea n a l y t i cv e r s i o n so ft h ef i n a s h i na n do c h a n i n ec o n - g r u e n c e sc o u l dh ed e d u c e dd i r e c t l yf r o mt h er o k h l i nt y p ec o n g r u e n c e si n 【z 1 ，2 】i no t h e rw o r d s ， 2 w h e t h e rw ec a nf i n dc a n c e l l a t i o nf o r m u l a sf o rn o n s p i nc a s ew h i c hp l a ya n a l o g o u sr o l e sa st h a tt h e “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r r f l u i a so fa l v a x e z g a u m 6 w i t t e na n dl i up l a yf o rs p i nc a s e t h e p u r p o s eo f t h i st h e s i si st o 百v ea p o s i t i v ea n s w e r t ot h i sq u e s t i o nt 0b em o r e p r e c i s e ，w h a tw e g e ti sag e n e r a l i z a t i o no ft h e “m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f o r m u l a so fa l v a r e z g a n m 6 w i t t e na n dl i u t oat w i s t e dv e r s i o nw h e r en i le x t r ac o m p l e xl i n eb u n d l ei si n v o l v e d m o d u l a ri n v a r i a n c ep r o p e r t i e s d e v e l o p e di nl l i ls t i l lp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h ep r o o fo fs u c ha ne x t e n d e dc a n c e l l a t i o nf o r m u l a w h e n a p p l y i n go u rf o r m u l a t os p i n 。m a n i f o l d s ，w ea r el e dd i r e c t l yt oa nu n e x p e c t e dr e f i n e dv e r s i o no f i l i z ，t h e o r e m4 2 i ( c f ( 4 1 4 ) i nt h et e x t ) a l t h o u g hb yc o m b i n i n gt h i st w i s t e dc a n c e l l a t i o nf o r m u l a w i t ht h ea n a l y t i cr o h h l i nt y p ec o n g r u e n c e sp r o v e di n 【z 2 1 ，w ec a na l s o 吾v ead i r e c tp r o o f o f l i z ， t h e o r e m41 】，w h i c hb y 【l i z ，t h e o r e m3 1 1i se q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lf i n a s h i nc o n g r u e n c ef o r m u l a ， w ed o n tp r e s e n tt h i sd i r e c tp r o o ff o rt h ef i n a s b i nc o n g r u e n c eh e r ef o rt h ec o n s i d e r a t i o no fv o l u m eo f t h i st h e s i si n t e r e s t e dr e a d e r sm a yr e f e rt of h z 2 】f o rm o r ei n f o r m a t i o n t h er e s to ft h i s p a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 w ef i r s tp r e s e n tt h eb a s i cg e o m e t r i c d a t aa n dr e c a l lt h ed e f i n i t i o n so fc h a r a c t e r i s t i cf o r m st ob ed i s c u s s e da n dt h e ns t a t et h em a l nr e s u l to f t h i sp a p e r ，w h i c hi sat w i s t e de x t e n s i o no ft h e “m i r a c u l o u sc a n c e n a t i o n l f o r m u l a so fa l v a r e z g a u r a 4 w i t t e na n dl i u i ns e c t i o n3 w eg i v ead e t a i l e dp r o o fo ft h em a i nr e s u l ts t a t e di ns e c t i o n2 ，a t l a s ti ns e c t i o n4 ，w ed i s c u s ss o m ea p p l i c a t i o n so fo u rt w i s t e dc a n c e l l a t i o nf o r m u l a ，t h e r ea