（基础数学专业论文）关于p对数调和映射相关问题的研究.pdf

摘要 调和映射是解析函数的推广此类映射在流体力学、电学、磁 学、医学以及一些数学分支中都有广泛应用，从而得到了人们的极大 关注，它已成为复分析中的一个热门研究课题 本文主要研究一类推广的调和映射：p - 对数调和映射，其中包括 对数调和映射：即0 对数调和映射全文共分三章在第一章中，我们 主要介绍了一些相关记号、研究问题的背景和主要结果 在第二章中，我们首先将调和映射的s c h w a r z 导数推广到对数调 和映射，并得到其s c h w a r z 导数解析的几个等价命题然后建立了对数 调和映射的s c h w a r z 引理，在此基础上得到了对数调和映射的两个l a n d a u 定理 作为对数调和映射的推广，在第三章中，我们定义了p 对数调和 函数0 o ) ，并讨论这类函数的一些性质，具体如下( 1 ) 狄利克莱问 题：得到了解的存在性及其单叶性的等价条件；( 2 ) 星形性：建立了相 关解析函数、对数调和映射和? 卜对数调和映射之间星形性的关系；( 3 ) 最小化g 阶矩问题：我们找到了其最小化q 阶矩的下界 关键词：对数调和映射，p 对数调和映射，s c h w a r z 导数：l a n d a u 定 理，d i r i c h l e ti i f i j 题，星形性 a bs t r a c t h a r m o n i cm a p p i n g sa r et h eg e n e r a l i z a t i o no fa n a l y t i cf u n c t i o n s t h e s e m a p p i n g sa r ew i d e l ya p p l i e di nf l u i dm e c h a n i c s ：s c i e n c eo fe l e c t r i c i t y ，m a g - n e t i c s m e d i c a ls c i e n c ea n do t h e rb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s h e n c et h es t u d y o fh a r m o n i cm a p p i n g sh a sa l r e a d yb e c o m ea na t t r a c t i v et o p i ci nc o m p l e xa n a l 。 y s i s i nt h i sp a p e r w em a i n l ys t u d yak i n do fg e n e r a l i z e dh a r m o n i cm a p - p i n g s w h i c ha r ep - l o g h a r m o n i cm a p p i n g s ，w h e r el o g h a r m o n i cm a p p i n g s ( i e o - l o g h a r m o i n cm a p p i n g s ) a r ei n c l u d e d t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m en e c e s s a r yn o t a t i o n s ，b a c k g r o u n do fo u rs t u d y p r o b l e m sa n do u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 。w ed e f i n et h es c h w a r z i a nd e r i v a t i v eo fl o g h a r m o n i cm a p - p i n g sa n do b t a i ns e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n so nw h i c h t h es c h w a r z i a nd e r i v a - t i v ei sa n a l y t i c t h e nw ee s t a b l i s ht h es c h w a r zl e m m af o rl o g h a r m o n i cm a p - p i n g s b a s e do nt h es c h w a r zl e m m a ，t w ov e r s i o n so fl a n d a ut h e o r e mo f l o g h a r m o n i cm a p p i n g sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 、w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fp - l o g h a r m o n i em a p p i n g s ( p o ) ，w h i c hi st h eg e n e r a l i z a t i o no fl o g h a r m o n i cm a p p i n g s ，a n d s o m ep r o p e r t i e s o ft h e s em a p p i n g sa r ed i s c u s s e d ，w h i c ha r ea sf o l l o w s ，( 1 ) d i r i c h l e tp r o b l e m ： w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so ft h i sp r o b l e ma n df i n dt h ee q u i v a - l e n tc o n d i t i o no fu n i v a l e n c eo ft h es o l u t i o n s ；( 2 ) s t a r l i k e n e s s ：s o m er e l a t i o n s a m o n gt h ec o r r e s p o n d i n ga n a l y t i cf u n c t i o n s ，l o g h a r m o n i cm a p p i n g sa n dp - l o g h a r m o n i cm a p p i n g sa r eg o t ；( 3 ) m o m e n to fo r d e r 譬：w ef i n da l o w e rb o u n d k e yw o r d s ：l o g h a r m o n i cm a p p i n g ；p - l o g h a r m o n i cm a p p i n g ；s c h w a r z i a n d e r i v a - r i v e ；l a n d a ut h e o r e m ；d i r i c h l e tp r o b l e m ；s t a r l i k c n e s s i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：动态确 沙 o 年r 月g 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密刚 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名：毛态娴劲j 口年r 月四日 导师签名：之f 厶机 山f 。年i 一月彤日 4 1 关t - p 一对数调希j 映射相关问题的研究 1 绪论 首先介绍本文中一些常使用的记号 d 一一单位圆盘：即d = ( z c ：h l ； a d 一一单位圆周，即锄= ( z c ：h = 1 ) ； d ( o = z c ：h 白) ； d ( z o ，r ) = z c ：i z z o i 7 ) ； ( d ) 一一所有定义在d 上满足条件 l 的解析函数所构成的 集合； 一一复数域上的l a p l a c e 算子 = 嘉+ 杀= 4 磊； s 一一所有定义在d 上满足条件i ( o ) = ，( 0 ) 一1 = 0 的单叶解析函 数所构成的集合； 妇一一所有定义在d 上满足正规化条件即，= h + 歹，h ( 0 ) = g ( o ) = 0 ，忽，( 0 ) = 1 的保向调和映射所构成的集合； 岛= ，：f s h 且9 ，( 0 ) = o ) ； s l h = l ：l ( z ) = z 1 2 1 2 口丸( z ) 雨，其中h 和g 均为d 上不含零点的解析函数 ； s l h p = f ：，( z ) = i z l 2 p 己( z ) ，其中l 且满足肛( o ) = o ) ； 咒风= f ：f s l h , , 且l 是星形的) ； s ：玩( ) = ( 厂：f 且己是位星形的 调和映射作为解析函数的推广( f l 】) ，已具有广泛的应用( 【2 4 ) 其 重要性源自于与极小曲面等的密切联系我们已经知道：极小曲面的 欧几里德坐标正是等温参数表示的实值调和函数，换而言之，极小曲 面在一个基平面上的投影给出了一个调和映射；反过来，具有某种 特殊性质的调和映射能够决定一个极小曲面，见【5 】c h u a q u i ，d u r e n 硕士学位论文 矛 j o s g o o d 在i 6 1 中引入了调和映射的s c h w a r z 导数在第二伸缩商w = 口2 ( g 足解析函数) 的条件下，得到了这类调和映射s c h w a r z 导数的一些 性质在2 2 节中，我们把s c h w a r z 导数的定义推广至对数调和映射，并 得到文 6 】中主要结果在对数调和映射中的如下推广 定理2 2 1若f = 日虿是d 上的无零点的对数调和映射：则下 面的命题是等价的： ( a ) 6 ( f ) 足解析的； ( b ) 兵( f ) 是常数； ( c ) 更( 尸) 三o ； ( d ) f 的伸缩商f l ( f ) 是常数； ( e ) 存在无零点的局部单叶解析函数所以及复常数p ：川 0 成立 定理3 2 3 若f + 足由0 dn o d 的一个保向同胚，即f ( e t c ) = e 认( ， 其中a ( t ) 是定义在【o ，2 r r 】上的严格单调递增的连续函数若入( ) = a ( o ) + 2 7 r ，则其d i r i c h l e t 问题的解在d 内是单叶的 4 关丁矿对数调和映射相关问题的研究 对星形解析函数而言，局部单叶必定全局单叶的就调和映射， 而言在局部单叶以及f ( 0 ) = 0 的条件下，星形性蕴含了单叶性( 【1 9 】) 对于p 对数调和映射：我们在3 3 节中得到： 定理3 3 1 若f s l 则下面的三个等价命题成立 ( a ) 矽= h 。足单叶星形的； ( b ) f 咒矾，即是单叶星形的； ( c ) f 是单叶的星形的p 对数调和映射 在文f 2 0 】中，作者给出了对数调和映射。星形性的定义，并得到了 一些相关性质我们在3 3 节中，把 2 0 】中主要结果推广到矿对数调和 映射，结果如下 定理3 3 2 若f s l 矾，则有下面的三个命题等价 ( a ) 砂= ! 是q 星形的单叶解析函数； ( b ) l = h y 是。星形的单叶对数调和映射； ( c ) f 是单叶的0 1 星形的 极值问题是调和映射中的一个重要研究问题女i d u r e n 在【5 】中证 明器中的函数存在最小面积，同时给出了极值函数；在文【2 1 】中，a b _ d u l h a d i 考虑了对数调和映射的q 。阶矩的最小化问题，得到了最小值 取到时的极值函数在3 4 节中，我们讨论了一类p 对数调和映射一 一蜕厩的q 阶矩，结果如下 定理3 4 1 假设f 髭矾，即，( z ) = i z l 2 p l ( z ) ，其中l = 姆满足正 规化条件h ，( 0 ) = g ( o ) = 1 若孵( nj r ) 表示，的q 阶矩( g o ) ，当p21 时，则 r ( 2 p + 1 ) ( q + 2 )( 2 p - 4 - 1 ) ( q + 2 ) + 2 铫，) 2 7 r ( 苗丽一丽而丽 5 关于少对数调和映射相关问题的研究 对数调和映射 设，= “- 4 - i v 在区域d 内解析，则根据c - r 条件可知： j u t 。v yj u 。一j u z 从而u 。+ u 掣= 0 ，z + 口可可= 0 在此基础上；我们引出如下定义： 如果一个二元函数h 在区域d 内有二阶连续偏导数，且满足l a p l a c e 方 程： h = 等+ 等= 4 豢一o ， 则称日足区域d 内的调和映射( ( 2 2 ) d u r e n 在 5 中证明了如下结论： 定义在单连通区域dcc 内的复值调和函数。厂有如下表示： f = h + 虿， 其中h ，g 是区域d 内的解析函数；并称 ，= 锱= 器 为，的第二伸缩商一个复值函数，是调和映射当且仅当u 是解析的 值得注意的是：调和映射是保向的等价条件是川 一i 2 ； ( 3 ) h ，g 在原点处解析且满足g ( o ) = 1 ，h ( 0 ) 0 关于单叶对数调和映射的其它性质，见【2 3 2 7 】假定，是定义在d 上的单叶对数调和映射，如果，在d 内无零点，贝j j l o g f 在d 上是单叶 调和的，且，有如下表示 f = 7 哂； 如果f ( o ) = 0 ，则 f ( z ) = z l z l 2 p ( z ) 万两， 其中h 和9 是d 上无零点的解析函数 对于不同的黎曼流形间的调和映射已经得到了广泛研究( 见f 2 4 ，2 8 ，2 9 1 ) ，但是关于对数调和映射的研究还相对较少下面我们给出 一个对数调和映射的例子 例1 ：令f = h + 歹是d 上的调和映射，则 f ：e ，：e e 虿：召 足d 上的对数调和映射同时，我们可以得到如下几条性质： ( i ) 一个对数调和映射复合上一个解析函数仍旧是对数调和的； ( 2 ) 一个解析函数复合上对数调和函数不一定是对数调和的；例 如令f ( z ) = z + z z 以及w ( z ) = z l z l ：于是，是解析的，枷是对数调和的， 但尸：fo 硼不是对数调和映射 ( 3 ) 所有的解析函数都是对数调和映射 令厂( 肛，d ) = f ：f ( z ) = 扩i z l 2 加 ( z ) 丽，其中幻无零点 则 定理2 1 1 若f 厂( 弘，d ) ，则j f 的伸缩商满足如下不等式： 似圳墨篇揣， 目 旧+ z 鬻i 眦1 删+ z 锱i ( 2 - 2 ) 关于p 一对数凋和映射相关问题的研究 证明由题设可知厂有如下的表示 f ( z ) = 严i z t 2 胁尼( z ) 丽 由于 丘( z ) = m ( 1 + p ) z 7 n 一1 i z l 2 觚九( z ) 歹再了+ z “i z l 2 口” ( z ) 歹两， 厂( z ) = p ”t z m ( 1 + 卢乏m 一1 ( z ) ；可万+ z m i z l 2 p 饥危( z ) ；了两， 于是 比，= 需器= 蔫 由于是由d 到自身的解析函数，利用s c h w a r z p i c k 引理可知： i 糕i i 篙| l 一弘( z 1 ) 弘( 勿) 一l 一瓦勿 从而可得 p ( o ，肛( z ) ) p ( o ，p ( o ) ) + 户( p ( o ) ，肛( z ) ) p ( o ，肛( o ) ) + p ( o ，z ) ， 其中p 是双曲度量，定义如下 柙= 1 0 9 1 1 1 咄+ i z 13 即t a n h ( 扣，z ) ) = i z i 把函数0ht a n h ( 0 2 ) 应用到上述不等式，就得到下面结果： 似圳5 龄揣 因为对z d 均有i t , ( z ) l 0 在这种情况下，存在一个函数类满足h 的假设条件例如取p ：0 ，m ： 2 以及h ( z ) = g ( z ) = 1 ( 1 一z ) 2 ，贝, l j f ( z ) = z 2 1 1 一z 1 4 从而得到了一个保 向的对数调和映射，其伸缩商肛( z ) = z 例4 ：若h ( z ) = e 一口。以及g ( z ) = e 们，其中n 是复常数，m 是一个非 负整数且满足仇2 i q i 在这种情况下，( 2 - 2 ) 变为 i 巧+ ( 2 z l 0 由上可知：r e 卢 一1 2 ，m 足一个非负整数且满足m 2 h 上面不等 式显然成立从而可得如下对数调和映射 f ( z ) = z m l z l 2 口仇e 一。2 e 醯= z m i z l 2 卢m e 2 7 m 缸“， 其中m 2 i 口i ，r e p i 2 ，( 1 ) = 1 且弘( o ) = 动( 1 + ) 例5 ：在例4 的基础上，令p = 0 ，m = l ， h ( z ) = 1 ( 1 + o i z ) 以及9 ( z ) = e x p ( ( 1 a ) l o g ( 1 + a z ) ) ( j 口i 0 表示如下： p = i 硝l + 1 9 7 l = i h l ( 1 + l 1 ) = l h l ( 1 + l 口1 2 ) 曲面的高斯曲率定义为 坼= 一丁a o o gp ) = 一蒜 从而得到可提升为极小曲面的调和映射的s c h w a r z 导数定义如下 s ( f ) = 2 ( 1 0 9 p ) ；：一( ( 1 0 9 p ) 。) 2 ) 取j f ) = l ，l ，则可提升的调和映射与解析函数的s c h w a r z 导数在此意义 下是一致的在文【6 中，作者得到了以下结果 定理c d 0 1 若调和映射，满足w = q 2 ，则下面的命题是等价的： ( a ) s ( f ) 是解析的； 1 l 硕士学位论文 ( b ) 与，对应的曲面的高斯曲率k 是常数； ( c ) ck 三0 ，即相应的极小曲面是一个平面； ( d ) d ，的伸缩商为零； ( e ) 存在某个局部单叶的解析函数h ：使得f = h + 赢，其中o l 是复 数且满足 1 定义2 2 1 ，被称为足调和m s b i u s 变换，即存在m s b i u s 变换h 使 得 厂= h + 元， 其中口是复常数且满足lq ：l 1 定理c d 0 2 调和映射厂满足w = q 2 ，贝, l j s ( f ) = 0 当且仅当，是 一个调和m 6 b i u s 变换 一个很自然的问题是这些结果能否被推广至对数调和映射的情 形呢? 本文主要考虑了在d 上没有零点的对数调和映射首先我们引 入对数调和映射的s c h w a r z 导数6 ( f ) ，而后讨论6 ( f ) 是解析的充要条 件另外我们还建立了调$ 1 m 6 b i u s 变换g l s c h w a r z 导数之间的关系 假定f = h g ，其中日和g 都是d 上无零点的解析函数f 足对 数调和当且仅当1 0 9f 足调和的定义对数调和映射的s c h w a r z 导数如 下： 6 ( 尸) = 2 ( 1 0 9 互( f ) ) ：z 一( ( 1 0 9 要( f ) ) ：) 2 ) ， 其中 互( f ) = i 罟i + l 筹l = i 筹”+ 瞅f ) 1 ) ，q ( f ) = 罟币h ； 且记 兵( f ) = 一再尹万厅f 霄轰善翥 易知，更( f ) 在形式上与巧的定义相似但由于对数调和映射能 否提升为极小曲面i 至今仍是个有待进一步研究的问题，因此a ( f ) 不 具有高斯曲率所蕴含的几何意义，仅仅足形式上的类似当然，我们 希望此定义能够有助于对数调和映射提升问题的讨论 1 2 关_ p 对数凋和映射相关问题的研究 定理2 2 1 若f = 腑是d 上的无零点的对数调和映射则下 面的命题足等价的： ( a ) 6 ( f ) 是解析的； ( b ) 兵( f ) 是常数； ( c ) 兵( f ) 三o ； ( d ) f 的伸缩商q ( f ) 足常数； ( e ) 存在无零点的局部单叶解析函数日1 以及复常数弘：川 l 使 得f = 日l 研 证明首先证明由( 1 ) 推出( 2 ) 根据互( f ) 的定义：经基本计算可得下式 l o g ( f ) = l o gi 鲁l + l o g ( 1 + i q ( f ) i ) ， ( 1 0 c r ( 剐z = 三( 苦一百h i ) + 蒜辫 进而 鲥= 三c 等一鼽茄潞 ( q ( f ) ：孬疆万) 2 ( q ( f ) 。孬疆可) 2 4 i q ( f ) 1 3 ( 1 + j q ( 尸) 1 ) 22 l f 2 ( f ) 1 2 ( 1 + i q ( 尸) i ) 2 根据6 ( f ) 的定义，可得 6 c f ，= c 筹一争拓1h 一等) 2 + 槲袢 ( q ( f ) ：丽) 23 ( q ( 尸) 。亍i 两) z 2 i q ( f ) 1 3 ( 1 + i q ( f ) i ) 22 l q ( f ) 1 2 ( 1 + l q ( f ) i ) 2 ，何 日、 q ( f ) ：n ( f ) h 7h i a ( f ) l o + l e ( f ) i ) h 足d 上无零点的解析函数，因而 ( 1 0 9h ) 7 = 和础卜( 黟器雾一等， 硕士学位论文 n o gh f j s c h w a r z 导数为 s o 。g1 t ) = ( 第一等卜互1 ( 万h t t 一争 从而 6 ( f ) s ( - 。g 口) = i i 豇要等淼一习而罟宰器 一塑盟! 亚兰 2 q ( f ) 1 2 ( 1 + f q ( f ) 1 ) 2 一( 第一等) 茄( 2 - 3 ) 因为6 ( f ) 是解析的，易矢n s ( 1 0 9h ) 是解析的，故6 ( f ) 一s ( 1 0 9h ) 也 是解析的因而满足柯西黎曼方程 ( g ( f ) 一s ( 1 0 9 ) ) i = 0 下面对等式( 2 3 ) 两边各项关于乏求偏导，可得 0 a ( f ) q ( f ) 。 钷i q ( f ) l ( 1 - t - q ( f ) 1 ) 2 1 9 t ( f ) l ( 1 + i q ( f ) 1 ) 2 一一i ：= = 一 差 ( 蒜) 2 = 一， 囊 南( 孺) 2 = 南 2 ( 磊) ( 莉蕊瓣) + ( 器) 2 ( 糯) q ( f ) ：q ( f ) ( 1 q ( f ) l 一1 ) 2 1 f 2 ( f ) 1 3 ( 1 + i q ( f ) i ) 3 1 4 关功一对数调和映射相关问题的研究 整理得 q ( f ) ：q ( f ) ： 。q ( f ) 。q ( f ) i q ( f ) ：1 2 ( i q ( f ) i 一1 ) 2 i q ( f ) l ( 1 + l q ( f ) i ) 2 。 4 l q ( f ) l ：( 1 + i q ( f ) i ) 3 3 a ( f ) ：q ( f ) j q ( f ) ：j 2 ，日日7 、 q ( f ) ： 2 n 2 f q ( f ) 1 2 ( 1 + i q ( f ) 1 ) 3h 7h 2 i q ( f ) l ( 1 + i q ( f ) i ) 2 一” 将方程两边同时乘上因子2 l q ( f ) i ( 14 - i q ( f ) j ) 2 ，即得 呱：丽一盟帮精掣 一( 芳一等) m 斤= o 接下来利用更( f ) 的定义，可以得到 旯( 尸) f 7 h i 2 l q ( f ) ( 1 + i q ( f ) 1 ) 4 = 一f q ( f ) 7 1 2 将上式两边对z 求偏导得到如下结果： 其( f ) ( 1 日7 q 1 2 f l ( f ) l o + l q ( 列) 4 ) ：+ f q ( f ) i ( 1 + f q ( f ) 1 ) 2 互( f ) 2 兵( f ) 名= 一q ( f ) 之二碱 化简得： m l ( 1 + | q ( 珊姘吼一( 第一等) m 坪 一螋2 掣1 q ( f 2 ( 1 + 筹4 - 揣) 倒巩：硒一o ) 、li q ( 硎一弘叫船r 肛 上面的等式就可化简为 互( f ) 2 成( f ) 。= 0 这说明其( f ) ：= 0 由于可巧= r ( f ) ，故 贝( f ) 孑= ( 炎( 尸) ) 彳= 贝( 尸) ：= 0 因此兵( f ) 是常数即命题( 2 ) 成立 1 5 硕士学位论文 接下来我们来证明由( 2 ) 推出( 3 ) 首先反设贝( f ) 是个非零常数，则q ( f ) 7 0 根据炎( 尸) 的定义式可 得 l o g ( 一瓜( f ) ) = 2 l o gi q ( f ) 7 l 一2 l o gl h 7 l l o gi q ( f ) l 一4 l o g ( 1 + f q ( f ) f ) 因而 1 0 9 ( 1 + 瞰f ) f ) = 弘1g 瞅叫f - 互1l o g 陬硎一弘1 刮等卜1 卧卵) ) 因为l o g ( 1 + l a ( y ) 1 ) 是一个调和映射：故其必满足l a p l a c e 方程首先对 其求关于z 的偏导得到 ( 1 0 9 ( 1 + i q ( f ) i ) ) ：= 习孬丢苓褊， 再求关于乏的偏导可得： ( 1 。g ( 1 + l q ( f ) ) ) ：z = 习孬( f 一石褊 l q ( f ) ，1 2 4 1 q ( f ) i ( 1 + l a ( f ) 1 ) f q ( f ) ，1 2 4 1 q ( f ) 1 ( 1 + l q ( f ) i ) 2 。 即 41fi(f)l(1 _ 0 + i q ( f ) i ) 2 一 这意味着q ( f ) ，三0 与反设矛盾故可得更( f ) 三0 证明由( 3 ) 推出( 4 ) 根据上述的证明过程易知员( f ) 三0 蕴含y a ( f ) 是常数 证明由( 4 ) 推出( 5 ) 假定f t ( f ) 为常数c 根据q ( f ) 的定义可知 坐：c ，即( 1 0 9 ( g h c ) ) ，：o h h ( r a g ( 。c ，i j，2u 关y ：p - 对数调和映射相关问题的研究 由定义可知，f = h g 是对数调和映射，于是存在肛使得f 是偏微分 方程( 2 1 ) 的解对比q ( f ) 的定义，可知c = p 从而存在某个常数c - ，使 得川 1 且g = c l h u 因此存在解析函数日l 满足 f = h 1 h 1 肛 其中矾= e 乏t u = c 1 最后证明由( 5 ) 推出( 1 ) 假定存在某个局部单叶的解析函数玩和常数川 1 使得f = 日1 研易知6 ( f ) = s ( 1 0 9 皿) 而s ( 1 0 9h 。) 显然是解析的，故o ( v ) 是解 析的 至此定理证明完毕 根据定理c d 0 2 ，我们易得如下结果： 定理2 2 2 若f = 日召是d 上的无零点的对数调和映射，则6 ( f ) ： 0 当且仅当f = e h + u 五，其中h 足m 6 b i u s 变换，肛是复常数且满足 1 证明易从下述事实得到：6 ( f ) = 0 等价于对应的调和函数，= l o gf 是调春t l m s b i u s 变换 定理2 2 3 若妒是一个局部单叶的解析函数，则对于任意的对 数调和映射f ，fo 妒仍是对数调和的，并且 6 ( fo 咿) = ( 60 妒) ( 垆7 ) 2 + 6 ( 妒) 定理的证明与1 6 】中调和映射的情形类似，此处省略 2 3 对数调和映射的l a n d a u 定理 本节的主要目的是建立对数调和映射的l a n d a u 定理记 a f = n m 日a ，x ，。 e + e - 2 i o b l = l r i + l b 0 口 2 霄l 。 1 1。 和 a f = m i nl 疋+ e - 2 i o b i = l i 足i l 民i 0 0 2 1 r 。 一。 易矢口，女口果j r 0 ，贝l j 厶= a f a f 1 7 硕士学位论文 近些年来，调和映射f l 勺l a n d a u 定理已有很多研究( 1 0 一1 5 ) 为了建 立对数调和映射的l a n d a u 定理，首先证明对数调和映射的s c h w a r z 引 理 定理2 3 1若f ：h g 是d 上的无零点的对数调和映射，满 足p ( o ) = 1 ， 矗l f l i ，2 ，贝0 一 蜊箬铡， 其中m l 和且厶都是正常数以及m = m a x 一l o gm 1 ：l o gm 2 + 7 r 特别的，当z = 0 时，a f ( o ) ( 4 7 r ) m + ，并且 j f ( 2 ) ise x p ( ( 4 m + 7 r ) l z l ) 证明首先定义，全1 0 9 f = l o g h + l o g g $ 【j a r g f ( 一7 r ，7 r 】则厂足一 个定义在d 上的调和映射且满足f ( 0 ) = 0 和 i ，l = 1 0 9f = l o gi f i + ia r gf l il o gl r l 十7 r m + 由于厂是由d 到 m 的调和映射，根据c o l o n n a 在文 1 0 中的定 理3 可知，对于任意的z d 都有 a ，( 枢采且i 了4 m * a r c t a n f 枢i 4 m * h 简要计算可得 丘= 鲁，厶= 譬 从而 a f ( z h 删帆肛l f ( z ) i a a z ，冬渊， ) = l r ( z ) l + l f _ ( 2 ) l = 1) 冬磊揣， l f ( z ) l = i e l ( ：i e l i ( 2 ) l e ( 4 ”) 盯+ 川 定理证毕 利用上述结果，我们建立对数调和映射的如下l a n d a u 定理 定理2 3 2若f ：日虿是d 上的无零点的对数调和映射，满 足f ( o ) = j r ( o ) = 1 和帆例 如，则f 在圆盘d ( 0 内足单叶的，其 中 丌3 g o2 6 4 r n , m 2 芙丁? ，一对数调和映射相关问题的研究 ，1 和 如都足正常数， ，+ = m a x 一l o g - h l l ，l o g m 2 ) + 7 r ： m = 吲r a i n ，稿酬伽 而且f ( d ( 0 ) 包含了一个单叶圆盘i c 9 ( 约，r o ) ：其中 z ；0 = c o s h ( o 讵) ， 绚= m i n 扣h ( 岛以) ，c 。s h ( f o v 2 ) s i n ( 如以) ) ， 善。= 丽7 1 a f ( o ) l z l 一勿i 一1 6 r a _ m 广* l z l 一勿l ( 而7 1 1 6 m 丌m 。* 4 0 、胪，一讫j = o 从而可知f ( z ，) f ( 沈) ，故f 在圆盘d ( 0 内单叶类似于上面的证明方 法可知：对于z ，- 如e 徊a d c o ，则 fl o gf ( z ，) l i 疋( o ) + b ( o ) e 一2 徊ll d z i 一 i 多p ( z ) l i d z i 【o ，：7 1- ，f o ，：7 1 椰) ( 0 一1 6 m m * n 2 o 如l z ii 酬 。赤( 0 利用指数函数e z 的映射性质，可以得到命题中的结果，即f ( d c 0 ) 包含 一个单叶圆盘d ( z o ，t o ) ，其中 p 一争+ p 争 f r a i n 【 e 争+ e 一血2 2 2 s i n c 釉) ， 七o 2 8 面t c 0 从而命题证得 定理2 3 3 若f = 虿是d 上的无零点的对数调和映射，满 足r ( o ) = 0 ，b ( o ) = l 以及a ，。俐，则f 在圆盘d ( ，内是单丌f 的， 其中 7 r 2 12 丽而万 2 0 茎型i 数调和哩壁塑叁塑t 墼墅翌壅 - - - - - - l _ _ _ - _ - _ 一 一 一一 一 而且f ( d ( 。) 包含了一个单叶圆盘d ( z ，r ，) ：其中 z 1 = c o s h ( 矗、2 ) ， r ，：m i n s i n h ( 1 以) 舯s h ( 6 以) s i n ( ，以) ， f ，= 扣 此处尬和且屯都足正常数：m 以及m 与定理2 3 2 中所定义的相同 证明假设彳。和勿是位于圆盘d ( ，内的两个不同点由于a f ( o ) = a f f o ) ：1 ，从而可得 i r ( o ) + b ( o ) e 一2 诏li d z l a f ( o ) l z l 一免l = i z l 一钇l 和 出川i 丁1 6 m m * 1 d z h 刊 协( z ) l li 1 一一1 6 r a m * l o g f ( z ll o g 一_ r 0 成立 证明首先证明必要性由f 在d 内的单叶性可知矗( o ) = o ；若z 0 ，则如0 因此：对于任意的z d ( o 有矗 0 或矗 0 成立 接着证明充分性假定在d 上对于任意的z o 有矗 0 下面利 用度原理来i 正u j l f 的单叶性任取w c a q ，对于p ( 0 ：1 ) ，旋转指数 。去