（基础数学专业论文）一阶泛函微分方程周期解的存在性.pdf

中文摘要 中文摘要 带有周期时滞的泛函微分方程在生物学，经济学，生态学和人口动力系统等实际 问题中有着广泛的应用，例如动物血红细胞存在模型，人口动力系统模型等等，因此 对带有周期时滞的泛函微分方程周期解存在性的研究就更具有现实意义近年来，许 多学者对泛函微分方程周期解的存在性进行了深入而细致的研究，并取得了相当丰富 的研究成果 本文主要研究一阶泛函微分方程周期解的存在性，分两部分进行讨论； 第一章中，我们应用偏序理论和拓扑度理论讨论了一阶泛函微分方程 7 ( ) = 一a ( t ) y ( t ) + h ( t ) f ( t ，u ( t n g ) ) ，y 0 一仡( ) ) ，可0 一 ) ) ) 的非平凡周期廨的存在性，其中n ( t ) ，九( ) ，t ( ) “= 1 ，2 ，n ) 是以丁为周期的连续 函数，且詹a ( t ) d t 0 ( t 是正常数) ，对任意的t r 有h ( t ) 0 ，c ( j p + 1 ，r ) 对 第一变量是n 周期的本章将相关文献中的单时滞泛函微分方程推广为多时滞，并 得到了如下的结论： 定理1 3 1 如果f ( t ，让) = f l ( t ，缸) 一，2 ( ，t ) ，其中f d t ，u ) 是非负连续函数，且 a ( t ，0 ) = 0 ( i = l ，2 ) ，假设 。掣= 悯样 0 ( t 是正常数) ，f c ( j r f o ，o 。) “，【0 ，) ) 对第一变量是t 一 周期的在这一部分的讨论中，我们应用了不动点指数理论得到了两个正周期解的存 在性定理及两个推论： 定理2 3 1 假设( 研) 一( 凰) 成立，则方程( 2 2 1 ) 至少存在两个p 正周期解 玑，抛满足0 l i y l | i p 1 0 钝 推论2 3 1 假设定理( 2 3 1 ) 中的条件( 研) 与条件( 打) 2 被条件( h ) 7 和( h ) s 所代替，结论依然成立 一阶泛函微分方程周期解的存在性 定理2 3 2 假设( 风) 一( 风) 成立，则方程( 2 2 1 ) 至少存在两个弘正周期解 可1 ，耽满足0 jj y d i o ，h ( t ) 0f o ra n yt r ，c ( m “，r ) i st - p e r i o d i c w i t hr e s p e c tt ot h ef i r s tv a r i a b l e w ee x t e n df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h s i n g l ed e l a yi nt h ec o r r e s p o n d i n gp a p e r t om u l t i p l ed e l a y sa n do b t a i nt h em a i nr e s u l t s a st h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 3 1l e tf ( t ，札) = ，1 ( t ，) 一，2 ( t ，) ，w h e r e 五( t ，u ) a r en o n - n e g a t i v e c o n t i n u o u sf u n c t i o n sw h i c hs a t i s f y ( ，0 ) = 0 ( i = 1 ，2 ) a s s u m et h a t 毁眢= 悯掣 0 ( r 0 i sf i x e dc o n s t a n t ) ，c ( n f 0 ，c o ) n ， o ，o o ) ) bt - p e r i o d i cw i t h l u 一阶泛函微分方程周期解的存在性 r e s p e c tt ot h ef i r s tv a r i a b l e i nt h i ss e c t i o n ，e x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n si sc o n s i d e r e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya tv a r i a n c ew i t hk r a s - n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mi nt h er e l a t e dl i t e r a t u r e i na d d i t i o n ，t h eo b t a i n e dr e s u l t s i m p r o v ea n de x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h i sl i t e r a t u r e t h em a i nr e s u l t sc a n b es t a t e d 鹅t h ef o l l o w s t h e o r e m2 3 1s u p p o s et h eh y p o t h e s e s ( h 1 ) 一( h s ) h o l d ，t h e ne q ( 2 2 1 ) h a s a tl e a s tt w op o s i t i v et - p e r i o d i cs o l u t i o n sy la n dy 2s u c ht h a t0 0 p 1 0 抛叭 c o r o l l a r y2 3 1 l e tt h eh y p o t h e s e s ( 岛) a n d ( h ) sh o l d ，a s s u m et h a tt h e p r e v i o u sh y p o t h e s i s ( 凰) h o l da sw e l l t h e ne q ( 2 2 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v e t - p e r i o d i cs o l u t i o n sy 1a n d 伽s u c ht h a t0 i 旧l0 p 1 i i 口2 1 1 t h e o r e m2 3 2 s u p p o s et h eh y p o t h e s e s ( 凰) 一( ) h o l d ，t h e ne q ( 2 2 1 ) h a s a tl e a s tt w op o s i t i v et - p e r i o d i cs o l u t i o n s 玑a n dy 2s u c ht h a t0 0 1l i _ p 2 i n c o r o l l a r y2 3 2 l e tt h eh y p o t h e s e s ( 风) a n d ( h ) l oh o l d ，a s s u m et h a tt h e p r e v i o u sh y p o t h e s i s ( 风) h o l da sw e l l t h e ne q ( 2 2 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v e t - p e r i o d i cs o l u t i o n s 玑a n dy 2s u c ht h a t0 9 1i | 0 ，c ( f e “，r ) 对第 一变量是一周期的 接下来，我们给出本节所需要的一些定义与引理 定义1 2 1 设x 是一个b a n a c h 空间，p 是x 中的一个非空阿子集，若满足 ( i ) 对任意o l ，p 0 以及，u 只都有q u + 卢t ，j d ； ( i i ) 若，- - u p 则= 0 ， 那么称p 是x 中的一个锥 引理1 2 1 设x = ( x ，0 1 i ) 是一个b a n a c h 空间，p 是x 中的一个锥，q 是 x 中的一个开集，若a ：p n 孬+ 尸是全连续算子，b ：p f - 1 0 f l p 是全连续算 子，且满足 一阶泛函微分方程周期解的存在性 ( i 1 。鬻1 1 8 。i f o ； ( i i ) 对任意的z p f la q ，t 0 ，都有z a x t b x 则i ( a ，p n q ，p ) = 0 引理1 2 2 设x = ( x ，”i i ) 是一个b a n a c h 空f , - j ，p 是x 中的一个锥，q 是 x 中的一个开集且0 q ，a ：尸n 孬p 是全连续算子，若对任意的z p n a f 2 都有a z 兰z ，则有i ( a ，尸n q ，p ) = 1 上面给出的两个引理在证明定理的过程中将要用到，它们的证明见文献 2 5 1 ，本 文不做详细证明 引理1 2 3 若y ( t ) 是方程( 1 2 1 ) 的一个t - 周期解当且仅当y ( t ) 是积分方程 f t + t f ( ) = g ( ，s ) h ( s ) f ( s ，( s n ( s ) ) ，鲈( s 一死( s ) ) ，- ，( s h 0 ) ) ) d s ( 1 2 2 ) j t 的b周期解，其中gc友s，=ex；p黼jo-a(u)au 1 lj 一 证明设分( ) 是方程( 1 , 2 1 ) 的一个t - 周期解，则u ( t ) 满足方程( 1 2 1 ) 且 耋，o + = ( ) ，我们在方程( 1 2 1 ) 两边同时乘以e x p ( 片n ( u ) d u ) 即可得到 d - d 7 ( y c t ) e x p ( f o 。c 札，托) ) = e 印( o 。( ) 如1 ( t ) ，( t ， 一n ( ) ) ，! ，( 一忍( ) ) ，- ，妒( 一( ) ) ) 然后对上式两边从t 到t + t 积分得： f 帽( 未( 如，唧“。如，毗) ) ) 幽 = 掣( t + t ) 唧i i , 上f t + tn ( 乱) d “) 一( t ) 唧( z 。( “) 孔) 刮帅( 厶蚺) e x p “t a ( 州n ) 一z = ，肿e x p ( 小岫) 忡出叫枷州s 吲枷，似一) ) d s 从而 舻以f t + 唧te x p ( 譬( 正 n a ( 缸( u ) 也) d u ) ) ( ( s m ( s ”+ ，”( 幽 ，t + t = g ( ，s ) h ( s ) f ( s ，掣( s n 0 ) ) ，0 一忍( 5 ) ) ，3 ，( s 一( 5 ) ) ) d s 2 第一章一阶泛函微分方程非平凡周期解的存在性 即y ( t ) 就是积分方程( 1 2 2 ) 的一个t - 周期解 对g ( t 一容易验证丢( g ( ，s ) ) = 一n ( ) g ( f ，s ) ，g ( t ，+ t ) 一g ( t , t ) = 1 若( t ) 是积分方程( 1 2 2 ) 的一个t - 周期解，那么它满足方程( 1 2 2 ) ，然后我们 将方程两边对t 求导，并由耖，h ，的周期性可得 可船) = 云( g ( t ，s ) ) ( s ) ，( s ，y ( s n ( s ) ) ，y ( 8 一乃( 5 ) ) ，一，y ( s h ( s ) ) ) 幽 + a ( t ，t + 即h ( t + t ) f ( t + l y ( t + t n 0 + r ) ) ，一，可( + r 一0 + t ) ) ) 一a ( t ，t ) h ( t ) f ( t ，y ( t n ( 幻) ，掣( 一您( ) ) ，u ( t 一再。( ) ) ) = - a ( t ) y ( t ) + h ( t ) f ( t ，y ( t 一丁l ( ) ) ，f ( 一亿( ) ) ，( 一( ) ) ) 因此y ( t ) 即是一阶泛函微分方程( 1 2 1 ) 的t _ 周期解引理得证 令x = 协c ( r ，r ) ：0 + t ) = ( ) ) ，在其上定义范数0 = s u pi 毋( ) i ，则 蚝i o ，研 ( x ，i i ) 构成一个b a n a c h 空间，而x x 在范数i | ( ，妒) l | = m a x l l d , l l ，l i 妒1 1 的定 义下也构成一个b a n a c h 空间为了方便，我们记 m 三州r a i n 兰丁g ( 。，s ) sg ( ，5 ) 。蛳m o , s x r g ( ，s ) 三m 且盯= m m ，并令p = 曲x ：( z ) 0 ，( 石) j ( z ) ，vz ，z t ，t + 邪，t 冗 引理1 2 4p 是x 中的一个锥，p p 是x x 中的一个锥 证明显然p 是x 中的一个非空闭子集 任取o t ，p 0 ，妒p 由p 的定义可知对任意的z ，。【t ，t + 卅， 多( z ) 之0 ，( 仃o ) ；妒( z ) 0 ，妒( 2 口1 ；f ，( 。) 所以 。舻( z ) + 妒( 。) o ；o ( z ) + p 妒( z ) 盯( q ( z ) + 卢妒( z ) ) 因此n - - f p 妒尸 若p 且一妒只则对任意的z 【t ，t + 卅，( z ) 0 ，一毋扛) 0 ，从而= 0 ， 所以p 是x 中的一个锥 取( 妒l ，砂1 ) ，( 锄，妒2 ) p p ，由偏序理论以及上述证明可得对任意的口，卢0 ， o ( 毋l ，妒1 ) + 卢( 也，砒) = ( a 1 + p 妒l ，q 赴+ 卢仍) p 尸 因此pxp 是x x 中的一个锥证毕 3 一阶泛函微分方程周期解的存在性 1 3存在性结果及证明 在这部分中，我们给出一l 喻泛函微分方程( 1 2 1 ) 非平凡周期解存在的充分条件 定理1 3 1 如果f ( t ，u ) = f l ( t ，“) 一f 2 ( t ，i t ) ，其中a ( t ，u ) 是非负连续函数，且 ( ，0 ) = 00 = 1 ，2 ) ，假设 1 1 i m n 掣：恤 ( 1 删 i u i o l l 、。 i 臻掣 0 与r l 0 ，使得对任意t r 当r l 时 ，2 ( t ，“) p 川，( 1 3 5 ) 成立取o e 妒( z 1 ) 一卵盯怕0 一e r = p e ) r 设 妒( z 2 ) = 0 妒，由a 2 ( 庐，妒) = 妒以及( 1 3 5 ) 得 ( 盯一e ) r 0 妒l l ；妒( z 。) = a 2 ( 4 d ，妒) ( z 2 ) f x 2 + t = ；g ( x 2 ，s ) ( s ) 如( s ，卵( s ) ) d s j 2 2 m p l t h l t ( f c 。+ 厶，：+ 巩岛) i “s ) | 幽 sm 3 1 i h 1 ( 2 r m e a g o + r m e s ( x 2 ，z 2 + t i g o ) ) = m 3 1 1 h l ( 2 一e ) m e s g o + 卅r 从而m e 5 g 0 4 m l p l h l l ，所以( 1 3 6 ) 式成立 5 一阶泛函微分方程周期解的存在性 i i ! a = m i n z 砺河南可) ，则m e s g 。成立取。磊毛，其中6 = t e i m 。i ，n 卅九( ) 由( 1 3 1 ) 式得存在r r l ，使得对r 以及r 有 ( ，u ) d ( 1 3 7 ) ，o + t 令h ( x ) = a ( x ，y ) d u ，容易验证尸 jo 那么对任意( 妒，妒) a ( p 尸x = ( 丸妒) p p ：i | ( 毋，妒) 0 = r 以及卢0 有 ( 以砂) 一a ( 砂，妒) p ( h ，0 )( 1 3 8 ) 事实上，若存在( 如，讥) a ( pxp ) ，以及0 ，使得 o a i ( 如，粕) = 肋日 咖一a 2 ( o ，讥) = 0 ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) 那么若p o = 0 ，则( 如，讥) 即是算子a 的不动点若肋 0 ，由( 1 3 1 0 ) 式可知，对 上述 0 ( 1 3 6 ) 式成立，根据( 1 3 9 ) 式得如# o h 令旷= s u p # ：加p 日) ， 则矿p o 0 ，因此r i i o l l 如( z ) 矿日( z ) 由( 1 3 7 ) 与( 1 3 9 ) 式可得 如( z ) = i u o h ( x ) + a l ( 如，讥) 扣) f x + t = m h ( z ) + ，g ( z ，可) ( g ，) ( 掣，q d ( 管) ) d y j z l t o h ( x ) + g ( ，y ) h ( y ) f l ( y ，哟( 掣) ) d y j g 0 t t o h ( x ) - 4 - o t g ( 士，y ) h ( y ) l r t o ( y ) d y g o i t o h ( x ) + a m b z r m e 8 g o m h ( x ) 4 - m b e a a # 。h ) ( t o + p 。) ( z ) 这与p 的定义相矛盾因此( 1 3 8 ) 式成立，由引理( 1 2 1 ) 得 ( a ，( p 尸) ，p p ) = 0( 1 3 1 1 ) 接下来将证明存在r 0 ，使对任意妒) a ( p p ) j i 都有a ( 妒，妒) ( ，妒) 取o m a x r , 扁，彳淼 ，则对任意( 九叻e o ( pxp ) 豆，都有 a ( ，妒) 芝( 以妒)( 1 3 1 4 ) 事实上，设i i ( 以妒) 0 = r ，且对vz r ，( z ) 妒( z ) 都成立( 此时| | = r ) ，则 t x + t a ( 妒，妒) ( z ) = g ( ，u ) h ( u ) f l ( u ，町( 可) ) d 鲈 ， t a ( x ，) 0 ) 【c i 刁0 ) i + 刳匆 2 c m i i h r t + m i i h lj t 兄= i i 庐1 i 所以以1 ( 妒，妒) 兰若存在x 0 r ，使( 如) ( 跏) 盯l l l i = a r 从而 ，z + r a 2 ( 九妒) ( z ) = g 0 ，y ) h ( y ) 1 2 ( y ，q ) ) d y f x + t 7g ( z ，y ) h ( y ) c l y ( y ) i + 】匆 2 c m i i h i n t + m h h ij f t a r 所以a ：( ，妒) 兰妒因此( 1 3 1 4 ) 式成立，根据引理( 1 2 2 ) 得 i ，( 尸p ) k ，p p ) = 1 ( 1 3 1 5 ) 由( 1 3 1 1 ) 和( 1 3 1 5 ) 式可得 i ( a ，( p p ) k ( px 尸) r ，( p p ) ) = 1 根据不动点指数可解性( 见文献 2 5 】) 得：存在( 矿，妒) ( ( p p ) j i ( px 尸) ，) 使得 a ( + ，妒) = ( ，妒+ ) 7 一阶泛函微分方程周期解的存在性 即 f x + t 西+ ( z ) = g ( z ，) ( ) ( g ，q + ( s ，) ) d g j ，时r 妒+ ( 。) = 7g ( z ，妒) ( 轳) 厂2 ( v ，7 ( ) ) d j z 并由五( ，o ) = 0 0 = 1 ，2 ) 得咖+ 1 ； i + ( 否则若+ = 妒+ ，则+ = 妒= o ，这与+ ，妒o 相矛盾) ，所以 ，z + r ( 妒一妒) ( z ) = g ( 。，y ) h ( y ) f ( y ，田( ) ) d y j o 即y = 一矿就是方程( 1 2 1 ) 的一个非平凡7 一周期解，定理得证 8 第二章一阶泛函微分方程正周期解的存在性 2 1引言 一阶泛函微分方程正周期解的存在性是泛函微分方程研究的一个重要方面，其方 程形式和研究方法颇多例如文献【7 ，19 】中应用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理研究方程 矿( ) = - 6 , ( t m t ) + a ( ) _ ，b ( 一丁( ) ) ) 的正周期解的存在性，他们给出了方程存在一个或两个正周期解的几个充分条件，即 ( i )t o = 0 ，厶= 0 0 ( i i ) 知= 0 0 ，k = 0 ( i i i ) t o = f ( 0 z o o ) ，k = l ( 0 0 ( i = 1 ，2 ，佗) ，本章也将讨论此方程的多解性，我们将应用不动点指数理 论改进和推广文献【2 4 】中的相应结果 2 2引理 本节将考虑一阶泛函微分方程 f ( t ) = 一口0 ) 可( ) + f ( t ，y ( t 一丁l ( t ) ) ，y ( t 一匏( t ) ) ，y ( t 一7 h 0 ) ) )( 2 2 1 ) 的多个正周期解的存在性，其中口( ) ，矗( ) ( i = l ，2 ，n ) 是以? 为周期的连续函 数，口a ( t ) d t 0 ( 丁是正常数) ，c ( rx 【o ，o o ) “，【0 ，o 。) ) 对第一变量是t 一周期 的令 x = 伯c ( r ，r ) ：v ( t + t ) = y ( ) 9 一阶泛函微分方程周期解的存在性 在其上定义范数吲i = s u pl u ( t ) l ，则( x ， i i ) 构成了一个b a n a c h 空间 t 6 o ，明 任取口x ，t r 定义算子 f t + t ( a u ) ( t ) = g 0 ，s ) f ( s ，( s n ( s ) ) ，( s 一亿( s ) ) ，一，y 0 一( 8 ) ) ) d s j t 其中g ( 如) ；掣掣 e x p ( j ：la ( u ) d u ) 一1 记m 三。娈丁g ( ，8 ) g ( 以8 ) 。当a ( t ，s ) 三m ，且仃= m m k = 矿x ：u ( t ) 0 ，u ( t ) 盯l l u l ，t 咒) ；所= k ：i l y l i 刍 ( 飓“l i mr a m i n 眢 击 ( 风) 存在一个n o ，使得对任意的r 以及p l 有y ( t ，乱) 兹 ( 风l i mm 【。，a x 卅掣 旦m t 其中孔= ( u 1 ，u n ) ，2 。m 她a x 。i 蛳1 定理2 , 3 1 假设( 凰) 一( 3 ) 成立，则方程( 2 2 1 ) 至少存在两个t - 正周期解 y l ，耽满足0 i l y l l i p 1 0 以及0 ( 1 + e ) r l ，矛盾因此对任意的o k , 。以及p 0 ，有y a ! ，+ 脚 根据引理( 2 2 2 ) 可得 i ( a ，群。，k ) = 0 ( 2 3 2 ) 接下来我们要证对任意的剪a ，= b k ：i p 1 ) 以及p ( o 1 】有 p a y y 成立 事实上，若存在珈a k m 以及g o ( o 1 】使得g o a y o = y o 成立，显然g o 0 此时四野f 珈0 一瓦( d ) j 0 如i i = p l ，由条件( 胁) 可知 l 订 ，( ，如 一丁1 ( t ) ) ，珈( t 一见( ) ) ，一，珈。一( t ) ) ) 畚 ( 2 3 ，3 ) 从而 y o ( t ) = g o ( a y o ) ( t ) = 加a ( t ，s ) f ( 8 ，珈( s n ( s ) ) ，珈。一乃( s ) ) ，- ，珈( s r n ( s ) ) ) d s ，“? g ( ，5 ) ，( s ，蜘0 一丁1 ( s ) ) ，珈( s 一乃( s ) ) ，珈0 一t n ( s ) ) ) d s j t ，t 仃 m ，( 5 ，珈( s n ( s ) ) ，珈0 一您( 5 ) ) ，伽( s 一( s ) ) ) 幽 p l 使得对任意的t r ，当 川r 2 时有( 2 3 1 ) 式成立记j = k ：l l y l i 嘉j ( t + t 啪) 脚m a 驴x l ( ( s ) ) i d s 丽l + c m 仃 y o i i t = ( 1 + e ) r 2 从而r 2 ( 1 + e ) r z ，矛盾因此对任意的y a 琢2 以及p 0 ，有y a y 十p 咖根据 引理( 2 2 1 ) 可得 i ( a ，k ) = 0( 2 3 5 ) 由( 2 3 4 ) 式和( 2 3 5 ) 式可得i ( a ，坼。坼。，k ) = - 1 ，根据不动点指数的可解性( 见 文献1 2 5 】) 以及引理( 2 2 3 ) 知，存在y 2 坼。就是方程( 2 2 1 ) 的正t 周期解 综上知，方程( 2 2 1 ) 至少存在两个正t - 周期解讥，抛满足0 i t y , i i p 1 _ * ，存在0 n m t a 这与n 磊i 矛盾根据引理( 2 2 - 2 ) 得 i ( a ，坼，k ) = 0( 2 3 7 ) 由条件( 风) 可知，对常数n 磊存在r 2 p i ，使得当i u i r 2 时，有( 2 3 6 ) 式成立记坼。= 妇k ：i 上 g ( 。，s ) 跫答1 珈。一7 ；( 8 ) ) l 如 n t a t a r l 从而r l n m t a r 2 ，这与 示菇1 矛盾根据引理( 2 2 2 ) 得 l ( a ，k ) = 0 在定理( 2 3 1 ) 中已证明由条件( 王b ) 可得 i ( a ，坼，k ) = 1 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 综( 2 3 7 ) ，( 2 3 8 ) ，( 2 3 9 ) 式知，方程( 2 2 1 ) 至少存在两个正t - 周期解y l ，y 2 满足 0 8 可1 l l p l i i 抛 定理得证 = 墼婆里丝坌童堡星塑丝篁童壅丝 一： 定理2 3 2 假设( 吼) 一( ) 成立，则方程( 2 2 1 ) 至少存在两个t - 正周期解 y 1 ，y 2 满足0 妒1 l 以 0 以及0 r l p l 使得对任意的 t r ，当i u i r l 时 ，1 一，、 f ( t ，u ) 爿i 珏i ( 2 3 1 0 ) 记研，= 可k ：| | 可0 r l 下面将证明对任意的y a 坼。以及卢( o ，1 】有p a y y 成立 事实上，如果存在y o a 群，以及z o ( 0 ，1 】使得y o = 伽 蜘成立，由于 y o a 所。所以( 2 3 1 0 ) 式成立，从而 y o ( t ) = 肛o ( a y o ) ( t ) = 伽g ( t ，s ) ，( s ，珈0 一q ( 5 ) ) ，加( s 一见( s ) ) ，珈( s 一( s ) ) ) d s g ( ，s ) f ( s ，如( 8 7 l ( s ) ) ，y o ( s 一亿( s ) ) ，珈0 一龟( s ) ) ) 如 1，f t + t 需上g ( t ，v ) 螂m a 斗xl y o ( s 一以( 洲s 1 胛- 5 m t = ( 1 一) r l 两边去范数得r l m 黑r 7 n 从而p 2 0 以及r 2 见使得对任意的t r ， 当川r 2 时( 2 3 1 0 ) 式成立记= 耖k ：l l y l l r 2 下面将证明对任意的y a j 屯以及pe ( 0 ，1 】有可p a y 成立 事实上，如果存在y o a 群：以及脚0 使得y o = p o a y o 成立，y o a 坼：所 以( 2 3 1 0 ) 式成立，从而 y o ( t ) = l l o ( a y o ) ( t ) ，件r = 伽g ( ，s ) ，( s ，珈0 一n ( s ) ) ，y o ( s 一匏( s ) ) ，一，珈0 一0 ) ) ) d s i t + t ， g ( t ，3 ) ，( s ，珈( s n ( s ) ) ，珈( s 一忍( s ) ) ，一，蜘( s 一( s ) ) ) 如 ，盯 m ，( s ，蜘( s n 0 ) ) ，蜘( s 一亿( s ) ) ，- 一，珈( s 一( s ) ) ) 如 m 锛z ”增m a 妒xi ( 一。) ) l d s m 萧i l y o l i t = ( 1 一e ) 您 从而r 2 ( 1 5 ) r 2 ，矛盾因此对任意的y a 丘，以及p 0 ，# a y 成立根据 引理( 2 2 2 ) 可得 i ( a ，坼2 ，k ) = 1( 2 3 1 4 ) 由( 2 3 1 3 ) 式和( 2 3 1 4 ) 式可得i ( a ，坼：坼。，) = 1 ，因此存在抛坼。是方 程( 2 2 1 ) 的正t 周期解 1 7 一阶泛函微分方程周期解的存在性 综上知，方程( 2 2 1 ) 至少存在两个正t 一周期解y i ，y 2 满足0 i i v l l i p 2 1 1 w 1 1 定理得证 推论2 3 2 假设定理( 2 3 2 ) 中的条件( 凰) 与条件( 飓) 被以下两个条件所代 替，结论依然成立 ( 凰l i m r am h a x 卅等= 。( h l o “l i r am n a x 卅眢= 。 证明由条件( 凰) 可知，对常数0 赤存在0 r l 见，使得当l u i r 1 时 y ( t ，u ) i “f( 2 3 1 5 ) 成立记瑶。= g k ：i i v l l r l 下证对于任意的y o k , ，以及p ( o 1 】有 y # a y 成立若不然，存在y o a 坼。以及脚( 0 ，1 】使得y o = 肋a 珈成立，由于 y o a 坼。，所以( 2 3 1 5 ) 式成立从而 y o ( t ) = m ( a v o ( o ) f t + t g ( ，s ) f ( s ，y o ( s n ( s ) ) ：y o ( s 一您0 ) ) ，：y o ( s t n ( s ) ) ) d s ，+ ? m ，0 ，y o ( s n ( s ) ) ，v o ( s 一仡( s ) ) ，一，v o ( 8 一，i ( s ) ) ) d s f t + t m 5 上黪i v o ( s t ( 圳幽 m e l l y o l l t = m t e r x 从而r l m t e r l ，这与0 e 赤矛盾根据引理( 2 2 1 ) 得 i ( a ，坼，k ) = 1( 2 3 1 6 ) 再根据条件( 日1 0 ) 可知，对常数0 e 见使得当l u l r 2 时，有( 2 3 1 5 ) 成立记坼。= 妇k ：i i v l f r 2 下证对于任意的y a k 以及 p ( o 1 】，y p a y 成立若不然，存在y o a 蟛。以及i t o ( 0 ，1 】使得y o = 伽a 蛳 成立，由于加a j 屯，所以( 2 3 1 5 ) 式成立从而 v o ( t ) = t t o ( a y o ( t ) ) r t + t s7 g ( ，s ) f ( s ，y o ( s n ( s ) ) ，珈( s 一亿( 5 ) ) ，v o ( s r n ( s ) ) ) d s m e i i y o i i t = m t e r 2 ：丝三里三坠矍里丝坌壅堡里堡塑堡竺童壅堡 从而r 2 m t s r 2 ，这与0 丽1 亍矛盾。因此根据引理( 2 2 1 ) 得 i 似，k ) = 1 在定理( 2 3 2 ) 中已证明由条件( 上，6 ) 可知 i ，k ) = 0 ( 2 3 1 7 ) ( 2 3 1 8 ) 综( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 1 7 ) ，( 2 3 1 8 ) 式知，方程( 2 2 1 ) 至少存在两个正t - 周期解妒1 ，抛满足 0 i f y l0 o ，矗( t ) o ( i = 1 ，2 ，死) ，所得结论改进和推广了文献 2 4 1 所得结论 参考文献 【1 1 1l h e r b e ，q i n g k s ik o n g ，a n d & g g h a n g ，o s c i l l a t i o nt h e o , yf o r f t m c t i o r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o 娜q m 口r v dd e d d e r , 加c ( 1 9 9 强 f 2 j 白玉真，一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性卧数学年刊( 2 0 0 2 ) ，2 9 a 3 3 9 - 3 4 4 3 lb t a n g ，y k u a n 9 7 e x i s t e n c e ，u w i q u e n e a n da s y m p t o t i cs t a b i l i t y o f p e r i o d i cs o l u t i o n s o f p e r i - o d i ch n c t i o u a l - d i f f e t e n t i a | 碍8 址n 琏协卜t o h o k um a t h 工4 9 ( 1 9 9 7 ) 2 1 7 - 2 3 9 1 4 】燕居让，脉冲中立型时滞微分方程的振动性f j 】敷学年刊2 0 0 02 1 ( a ) 67 5 5 - 7 6 2 ， f 5 1a w a u d ，j i a n g , x x u ，an e we x i s t e n c et h e o r yf o rp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st o f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u 8 伽m 【j c o m p u tm a t h a p p l 4 7 ( 2 0 0 4 1 2 5 7 - 1 2 6 2 6 1j k h a l e , t h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t a s le q u a t i o s i m l 毋恤口 v e r l a g ，n e wy d r r k , 1 9 7 7 吲d j m n g ，j w e i ，b z h l m g p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n b | d j f f e r e n t i a ie q a a t i o n sa n d p o p u l a t i o nm o d e l s 【j e l e c t r o n j d i f f e r e n t i a lb q u a t i o n s ，7 1 ( , 2 0 0 2 ) 1 - 1 3 【s y k u a n g ，d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i