（基础数学专业论文）充填半径充填体积和体积增长.pdf

摘要 y 8 0 主5 s 7 m g r o m o v 在其开创性文章“充填黎曼流形”中，证明了大量有趣的 结果，并引入了许多新的几何不变量，其中两个重要的概念是充填半径和充 填体积充填半径是许多重要工作的一个基本要素，例如r g r e e n e 和p p e t e r 8 e n 通过充填半径的下估计改进了一些有限性定理，f ，w i i h e i m 对带有 大充填半径的正曲率流形，获得了很好的结果“这两个不变量很有可能在 黎曼几何的未来发展中起重要作用”( m b e r g e r ) 本文旨在获得某些黎曼流形的充填半径、充填体积的下界，进而给出其 应用 这篇学位论文由三部分组臆 在第1 章，我们首先建立了充填半径的一个映射性质，利用这个性质我 们证明了下面的 定理a 对于任何闭的、定向的、非正曲率流形y ，我们有 f i l l r a d ( y ) 掣f i u r a d ( s ”) 掣 其中，岈。盯( y ) = m a x n 矗( y ) ：。y 作为其推论，我们可以部分地回答g r e e n e 和p e t e r 8 e n 的一个猜想：所 有凸半径为7 r 2 的黎曼流形y 满足f i l l r a d ( v ) f i l l r a d ( p ) 推论b g 代e n e p e e e n 猜想对非正曲率流形成立 我们也附带地建立了装填半径的一个映射性质，作为其推论，获得了一 个微分球定理 第2 章旨在下估计充填体积，主要结果如下： 定理c 设y 是一个紧黎曼流形，且有相同的维数和第一口e 托- 数：出m ( y ) 6 1 ( v ) = n 如果v 的a 6 e j - 血c o 觇映射的度是士1 ，则存在一个常数c n o 使得 f i l l v o l ( y ) 岛- s t 3 护l ( y ) “+ 1 其中s t s 妒1 ( y ) 是矿的稳定1 一s g s t 。l e 定理d 设一个紧的、定向的藜曼n 流形y 被划分成g 个n - 单 形；? ，；，对任意z y ，如果z 到它所在的单形的一1 ) 面 的距离之和6 ，则存在一个常数c 扎 0 使得 f i u v o l ( v ) g 6 ”1 未经俸多、9 7 i 盘 此外，我们也给出了f i v o l ( 伊) 的一个粗糙的下界，并对非正曲率的流形 推导了一个b e r g e r 型的充填不等式 第3 章旨在试探g r o m o v 关于一致可缩黎曼流形体积增长的一个猜想 我们获得了部分结果： 定理e 如果一致可缩的黎曼流形( m ，9 ) k - 拟等距于一个n 维赋范空 间( y “，| | i i ) ，( k 1 ) ，则有 戳r 锩掣击 其中u 。是单位欧氏球的体积 推论f 如果m ”是一致可缩的并且d g 盯( ( m 如) ，( y 4 ， a sac o r o l l a 吼w em a ya n 8 w e rp 盯t i a l l yac o n j e c 七u r eo fg r e e ea dp e _ t e r s e n ：f o r 以lm e m a n n i a nm 蚴i f o l 出yw i t hc o n v e 对七yr a d j l l s ( y ) 7 r 2 = c 。丑v e ) d t yr a d j u so fs ”，f i l t a d ( y ) f i l l r a d ( s “) c o r o l l a r yb f b rn o n p o s i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l d s ，g r e e n ea n d p e t e r s e n s c o n j e c t u r el st r u e i n c i d e n t a u y 】w ea l s oe s t a b u s ham a p p i n gp r o p e r t yo fp a c l ( i n gr a d i u s ，a s i t sc o r o l l a 珊ad i 雎r e n t i a b l e 印h e r et h e o r e mi sd e r i v e d c h 印t e r2i sd e v o t e dt oe s t i m a t e 丘1 1 i n gv 。1 u m ef r o mb e l o w t h em 出n r e s u l t sa r ea sf o l l a w s ： t h e o r e mc l e tyb e8c o m p a c tm e m a r u a nm a n i f o l do fe q u a ld i m e n _ s i o na n dm s tb e t t i 肌u l b e r ：d i m ( 矿) = 6 l ( y ) = 咒1 ft h ea b e l j a c o b im a p o fyi so fd e g r e e 士l ，t h e n 七h c r ei sac o n s t a n t os u c ht h a t f i l l v o l ( y ) s t s 可s l ( y ) ”+ 1 w h e r es 拈驴l ( y ) i 8t h es t a b l e1 一s y s t o l eo fy t h e o r e md a s 8 u m et h a tac o p a c t ，0 r i 咖七e dm e m a 衄i a n 伽m a n i f o l d vi sd i v i d e di n t d 口伦s i m p l e x e s ：? ，。，；i f f o ra 1 1 yz y ，t h cs u m0 f t h e ( n + 1 ) d i s t a n c e s f r o mz t o t h e m 1 ) 一f a c e s 。f t o w h i c h 。b e l o n 擎i s 巧，t h e n t h e r e i sa c o n s ta 1 1 tc n os u c h t h a t f i 、b l ( y ) c n g 扩+ 1 i na d d i t i 。n ，w e 出西v ear o u g hl o w e r b 0 1 1 n do ff i l l v o l ( s “) a n dd e r i v e ab e r g e r t y p ee r n b 0 1 i ci n e q u a l i t yi nt e r m so f 铷i n gv 0 1 u m ef o rn o n p o s i t i v e l y c u r v e dm a i f b l d s g h a p t e r3i 8d e v o t e dt oa t t a c kac o n j e c t i l r eo fg r o m o vo n 、，0 1 u m eg r 叭v t h 。fu n i f o r m l yc o n t r a c t i b l er i e m a n r l i a nm a i f o l d s w eo b t a i np a r t i a lr e s u l t s ： t h e o r e me i fa nu n 怕r m l yc o n t r a c t i b l em e m a 工l n i a 工l 扎m a n i f o l d ( m ，夕) i s - q u a s i i 8 0 m e t r i ct oa nm d i m e s i o n a ln o r m e ds p a c e ( ，”忱( 1 ) ， t h e n w h e r e “ki st h ev 0 1 u m e c o r o l l a vf i f i 8u n i f o r m l yc o n t r a 吐i b l ea n dd 删( ( m ，如) ，( p ) ) o ：日t ( 如) = o ) w h e r e 凰( 畦) ：风( kz ) _ 峨( 巩( y ) ，z ) i st h eh o m o m o r p h i s mi n d u c e db y 如r e p l a c i n gzb yq ，o n ed e 丘n e st h e 丘1 u n gr a d i u sw i t hr a t i o n a lc o e m c i e n t s f i z z r o d ( kq ) 【3 2 】hy i sn o n o r i e n t a b l e ，o n eu s e st h ec o e 伍c i e n tg r o u pz 2 i nt h ed e f i n i t i o ni t i sn o tr e a l l yn e c e s s a r yt h a tyi sr i e m a n n i a n ，m e r e l yt h a t yh a v ea m e t r i c t h i si n 、盯i a t 百v e si m p o r 七a n ti n f o m a t i o na b o u tt h es y s t o l e ( t h e1 e n 时h o fas h o r t e s tn o n c o n t r a c t i b l el o o p ) o fa ne s s e l l t i a lm a n i f o l dy 【2 3 】： s s 1 ( y ) 6 f “冗。d ( y ) u pt i l ln o w ，v e r y1 i t t l ei sk n o w na b o u t 丘l l i n gr a d i u s t h ee x a c t 、r a l u eo f t h i si n v a r i a n th a sb e e nc o m p u t e df o rv e r yf e wm a n i f o l d s 3 1 ，2 3 】h o 、v e v e r s o m ei m p o r t a tr e s u l t sa b o u tp o s i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l d sw i t h1 a r g e 丘l l i n g r a d i u sh a eb e e no b t a i 丑e db yf w i l h e l mf 3 7 1 t h e 矗l l i n gr a d i u si su s e di n n a b u t o v s k va n dr o t m a nf 3 6 1t oe s t i m a t ef r o ma b o v et h em i n i m a l l e n 群ho f as t a t i o n a r y1 一c v c l eo nac l o s e di u e m a n n i a nm a n i f o l d g r e e n ea n dp e t e r s e 2 2 1u s em l i n gt oi m p r o v es o m e 矗n i t e n e s st h e o r e m s i nt h i sd l a p t e r ，w ew i l lp r o v eam a p p i gp r o p e r t yo f6 1 l i n gr a d i u s ，w h i c h i sr e l a t e dt ot h ed i l a t a t i o o fam a p 1 r e c a l lt h a tt h ed i l a t a t i o o fam a p ，：x _ yb e t w e e n 七w om e t r i cs p a c e s ( x ，奴) a n d ( k d y ) i sd e n n e db y 出f ( ，) =s u p z 1 x ，o z d l ，( ，( 茁) ，( 茹) ) d x ( z ，z ) i f ，i sal i p s c h i 忱m a p ，d f ( ，) i st h em i n i m 出l i p s c h i t zc o n s c a n tgs a t 珏 f y i n g 如( ，( z ) ，( z e d x ( z ，。，) t h ed i l a t a t i o no fan o n - l i p s c h i t z m a p i s i 丑n i t y t h el o c a ld i l a t a t i o na 乞oi st h en u m b e r ： 出w ) 2 1 觋( 威j ( ，妇圳) w h e r e b x ( z ，e ) i sa no p e nb a l lo fr a d i u s c e n t e r e da tzo f x i f ( x ，d ) i sa n i n n e rm e t r i cs p a c e ( e g ，r j e m a n i a nm a n i f 0 1 d ) ，t h e nd 订( ，) = s 2 。；b x d i f z ( ，) i f xa n dya r e 融e m a n n i a nm a i l i f o l d s ，a d ，i sd i 雎r e n t i a b l e ，t h e n 珑k ( ，) = l l 虢i lw h e r e 虢：瓦x _ 乃扛) yi st h ed i f f e r e n t i a lo f ，a tz t h r o u g h o u tt h i sc h a p t e r ，ya dw a r ea l w a y sc l o s e d ，c o n n e c t e d ，o r i e n t e d r i e m a n n i a n 札一m a n i f o l d su n l e s ss p e c m c a l l ys t a t e d ，a n dp 1i st h es t a n d 甜d s p h e r ew i t hm e m a n n i a nm e t r i co fc o n s t a n tc u r 、琉t u r e + 1 t h ef b l i o w i n gt h e o r e ms h o w sam a p p i n gp r o p e r t yo f 丘l l i n gr a d i u s ： t h e o r e m1 1 s “卯d 3 e 地时，：v _ i 矿 s 仃o n 石e r dd 昭他e 曰；e n 何i ，j d e 9 ( ，) l = 1 ，f i j j r o d ( 矿) 击z ( ，) f i “丑o d ( y ) ， 砂矿f 如9 ( ，) l ，f 丑d d ( 彤q ) d f z ( ，) - f f z z 胁d q ) f 0 rc l o s e d ，c o n n e c t e d ，o r i e n t e dm e m 锄n i a n 礼一m a n i f o l dy ，t h e r e 壮e m a p sy s “o fe v e r yd e g r e e 七zb yt h eh o p f st h e o r e m w bd e n o t e b y 击f y _ 铲；d 叼= 士 ) t h e8 m a l l e s tn u m b e ros u c h t h a t t h e r e i sa m a p 矿_ s ”w i t hd e g r e e 七o r 一七a n dd i l a t a t i o n 。 c o r o l l a r y1 2 巧勋21 口n d 出z y s “；d e 9 = 士1 ) s3 2 ，旃e 礼 f “r o d ( y ) 7 r 6 如他。口e _ 妒勋1 ，胁e ny 妇o 叫i s 甜印 e 他 尸r 0 虻l e t ，：y _ s 竹b eam a p 耐t hd e g r e e1o r 1a n dd i l a t a t i o nl e s s 2 t h a n3 2 ，w eh a e ： 硎d ( y ) 南硎衄砌( 铲) = 赤；o s ( 一南) f r o m 3 1 ，t h 2 】2 丽互盯。0 8 【_ 而j 1 融1 h 训 21丌 7 r i j 互= 百 b y 【3 7 ，t h 2 ，( 4 ) 】，w ek n o wt h a ty i sat w i s t e ds p h e r e 口 f 0 rp a c k i n gr a d i u si nt h es e n s eo fk g r o v ea n ds m a r k v o r s e nf 27 1 ，w e h a v eas i m i l a rm a p p i n gp r o p e r t y ( p r o p o s i t i o n4 1 ) i nt h em a p p i n gp r o p e r t y ， t h ed e g r e e1 i sn o tr e q u i r e d f o rac l o s e dr i e m a n n i a n 礼一m a n i f o l d ，w ed e n o t e b y 成“v _ 忡伊) t h es m a l l e s tos u c ht h a tt h e r ei sas u r j e c t i v em a py _ 铲 w i t hd i l a t a t i o n 口 a l t h o u g ht h em a p p i n gp r o p e r t yf o rp a c k i n gr a d i u si s t r i v i a l ，t h ef o l l o w i n gc o r o u a r y ，b yp r o p o s i t i o n4 1a n dt h ep o c 七n 一2s p h e r e t h e o r e mo fk g r o v ea n df w i l h e 】mf 2 9 ，t h e o r e mc 】s t r e n g t h e 璐七h er e s u l t i nc o r o l l a r y1 2u n d e rw e a k ra s s u m p t i o n s c o r o l l a r y1 3 ( 陆b ep r o v e na sc o r o l l a r y4 2 ) 三e ty6 e 口d d s e dr e m o 佗一 竹 d n 扎一m o n 咖阻可礼4 ，耳矿1 。n dd 订 y _ * 扩) 0 ，帆d ，q k 一( 矿) 焘，讹e n 删恸帮) 志啊船0 d ( 刚2 去 4 u s i n gk 1 i n g e n b e r g 8i n j e c t i v i t yr a d i u 8e s t i m a t et h e o r e m 【1 3 ，t h 5 9a j l d 出er e m a r ka f t e rt h a q ，t h ef o l l o 吼gc o r o l l a r yi si m m e d i a t e ： c o r o l l a r y1 9 三e ty6 e 口c f d s e d ，o 衍e 竹把d 且 e 竹l n 竹竹t 口n 扎m 口n 司_ o f d 丁h e n f r o d ( y ) 击f 俐r o d ( 酽) 去伽e 。如盯地e 如z f o i 硼c e s ? 俐 如e e 咒。咒do 匿y q 仁砂珏3 ，y 话s i 粥零妇c o 露仃8 c 列。扎do c 勋c ， r e m a r k1 1 0 ( 1 ) r e m o v i n gt h e8 i m p l yc o n n e c t e dr e s t r i c t i o na 皿dr e l a 撕n g 曲ep i n c h 诬gc o n s t a ti no d dd i m e n 8 i o n a lc a s e s ，ar e c e n tr e s l l l t ，d u et of f a n g a n dx r o n g 【1 9 ，c o r 0 3 】，s a y st h a ti fo 占c 爿、，c ，o 0 ( 3 ) c o m b i n i n gt h ec o r o l l a r yw i t h 3 7 ，t h m 2 ( 1 ) 】垂v e st h a ti f 矿i sa n e v e n d i m e n s i o n a lm a n i f 0 1 da n d1 k v5c ，t h e n 去f 船删刚削州) s 硎胁妒) 2p r o o fo ft h em a p p i n gp r o p e r t yo f6 l l i n gr a _ d i u s t h ei n w a r d n e s so f t h ef o l l o w i n g1 e m m aw a ss t a t e di n 【2 3 w i t h o u td e t a i l e d p r o o f ，1 1 0g i v ead e t a i l e dp r o o f ii t s e e m st ot h ea u t h o rt h a ts o m ei i l i l d a s s u m p t i o ni sn e e d e d l e m m a2 1 三甜l ，6 eds u 6 5 e t0 ，om e 删c 印n c ex 弛e ne u e w 三咖s c i 括 m 印妒：l ，_ 三( 明 8 s 三西5 c 娩e 对e n s f o n 庐：x 斗三( y ) 叫泓 d 订( p ) = d 订) 伽c 盯冼e ，o f ? o i 叼c ? 俐y 拈l 讯d e 萌 一一y 妇s 印n m 6 j e i i 砂，m ( 妒) cg o ( y ) 以 es 鲥。，6 d “竹d b d c d 托托扎让口u s m n c i d 扎sd ny ， ，r 。吐w ed e 矗n e 事：x _ l ( y ) b y 驴( z ) ：= 厶 厶( ”) ：2 瓣( ( 妒( ) ) ( 口) + a 。呶( 舢) ) w h e r ez x ，盯va n d a = d ( 妒) s t e p1 庐i sw e l l - ( 1 e a n e d w em u s tc h e c kt h a t 厶o ：y 一r i sab o u n d e d b o t e lf u n c t i o no nvf o r 蜘屯r y6 x e dz o x f i 【a 蜘ya n da s s u m e t h a tl i 妒( g o ) i l l 。( v ) = 岛f b rv f y ，s i n c es u p 。vi 妒( g ) ( ) 一妒( g o ) ( u ) l2 i i p b ) 一妒( 掣o ) 1 i o d x ( ，可o ) ，w eg e t 妒( 可) 扣) ( 妒( o ) ) 扣) 一a d x 白，珈) 一岛一o 妇( ，珈) f o r v y t h e nc l e a r l y 妒白) 扣) + a d x ( 。o ，f ) 一g 一口- 呶( ，o ) + o d x 扛o ，口) 一瓯一口。奴( z o ，珈) h e n c e 丘。( 口) 一c 七一o d x ( z o ，珈) 0 nt h eo t h e rh a n d ， 厶。( ”) 5 器( ( 妒( ) ) ( ) + 。奴( v ) ) 茎妒( 可o ) ) 扣) + 口d x ( z o ，珈) s 岛+ d + d x ( z o ，珈) t h e r e f o r ei 丘。扣) j c 七+ a td x ( z o ，掣o ) f o r j y ，i e ，厶。i sb o u n d e d t h e r e m a i n d e ri st op r o v et h a t 口y ：厶。( ) t ) i sab o r e ls u b s e to fy f o r v t li n d e e d ， 如y ：厶。( ”) f ) = p y ：醇( ( 妒( ) ) 扣) + n 妇( 蛳，f ) ) 。) = u ”y ：( ( 妒b ) ) 0 ) + 。妇( 。，g ) ) 。) ， ：= u 如 掣y w h e r ea g ：= y ：( 妒( y ) ) ( ) + a d x ( 锄，口) = ”y ：( 妒妇) ) 如) o ，n n d 阿m 。( y ) 7 r ( 2 、厅) ，忱e n 托船0 d ( y ) 击呐胎0 d ( 刚去 p r o 西s i i i l i i a r ly ) 矗r s tt a k ez o ys u c ht h a tj 町。( y ) = 锄。( y ) t a k e r o = 彘a n d c o n s i d e re 吼。：瑰。v ( o ，r 0 ) _ 玩( z o ，r o ) t h e nw eh a v e ： f “r 。d ( y ) 品f i f z r 。d ( s ”)7 r d 、 r h 凹e 一d 甜( e 。稼j b y ( 勘，) ) s j n c e 肌冬c a n d 怕= 苁 掣唑：型亚业 1 矿一1 r2 _ 7 羽一 f o rv 。y ( o ，r 0 ) ，坂瓦。y l e t 口= e 。蝾( ) ，玩( ，咖) ，a n d d ( e 卯) ”( x ) = y s i n c ed ( e 印暑) ”= 【d ( e 印) 。r 1 ，o n ed e d u c e s d ( e 印；) 。( 1 ，) j i y i 删0 ( e 叩；) ，诉川 五厕 ，以 ! 五厕 n o t et h a t _ f f s i n ( 庀川) i sa ni n c r e a s i n gf u n c t i o no n ( o ，r o 】，t h e n 捌( e 印= ) s s u p ”且疋o y ( o ，7 0 ) 撕川拆r o 五丽。五而 i e ，卢尼8 i n ( 撕) t h e r e f o r e 品+ 掣= 熹删嘶嘞) = 志 曩p 讯 q c 7 0耵q c 、 、c - 弧 t h i sc o m p l e t e st h ep r o o fo ft h ep r o p o s i t i o n 口 4a m a p p i n gp r o p e r t yo fp a c k i n gr a d i u sa n d d i f 壬e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m r e c a l lt h a tt h e 口地国2 ) p a c k i 丑gr a d i u s ，p 口c x ，o fa c o m p a c tm e t “c s p a c ex i nt h es e n s eo f k g r o v ea n ds m 盯k v o r s e n 2 7 i 8t h el a r g e s tr 0 1 1 f o rw h i c hj yc o n t a i n s 口d i s j o i n to p e nr b a l l s ，i e p n c = ；嚣麓。晏毽。奴( q ) w h e r et h em a x i m u mi st a k e no v e ra l lc o n 矗g u r a t i o n so f 口p o i n t si nx p r o p o s i t i o n4 1 l 以，：僻，奴) - ( y ，d y ) 6 e 口m o p6 e t 如酣nt oc o ”m c m e 打i c 印口c b s 巧，i 55 u 巧e c t 而e ， e n 础。岛抡南唧砒口y 1 尸r 0 吐i ，i sn o tal i p s c h i t zm 印，t h ei n e q u a l i t yi so b v i o u s h e n c ew em a y a s s u m et h a t ，i sal i p s c h i t zm a pa n d 击f ( ，) = o l e tp o c 七口y = ra n d b y ( 可l ，r ) ，。，b y ( 可q ，r ) b egd i s j o i n to p e nr b a i l sc e n t e r e da 土可1 ，可口 r e s p e c t i v e l y i ti se a s yt os e et h a t ，一1 ( b y ( 们，r ) ) ，1 ( b y ( 铀，r ) ) a r e gd i s j o i n ts u b s e t so fx s i n c e ，i ss u r j e c t i v e ，c h o o s ez xs u c l lt h a t ，( z t ) = 玑，i = 1 ，q c o n s i d e rt h eo p e nb a l lb x ( ，r o ) o fx f b r v o b x ( 峦t ，r o ) ， d y ( ，( z ) ，玑) = n 0 ，h a sd i l a t a t i o ng r e a t e rt h a l lo r e q u a lt o2i f ，i sn o tn u u h o m o