（基础数学专业论文）group+action+and+scalar+curvature.pdf

摘要 本文给出l a w s o n 和丘成桐的一个著名定理的证明。该定理断言任何紧流型 如果具有一个紧、连通、非交换李群的有效作用，则它必具有一个数量曲率为正 的黎曼度量。 本文首先给出l a w s o n 和丘成桐的证明思路的一个简单叙述，然后建立起有 纤维结构的流型上面一簇度量的曲率的有关公式。在接下来的论证中，我们在有 如上群作用的流型上以某种方式构造出一簇度量，然后证明这簇度量在远离不动 点的区域上具有正的数量曲率。在不动点附近，我们以一种稍微不同的方式给出 度量的构造。特别的，我们简化了l a w s o n 和丘成桐的步骤。这种简化是非平凡 的，它建立在对不动点集性质的深入和精细的分析基础上面。 a b s t r a c t w e g i v eap r o o f o faf a m o u st h e o r e md u et ol a w s o na n dy a uw h i c ha s s e r t st h a ta c o m p a c tm a n i f o l dt h a ta d m i t sa ne f f e c t i v es m o o t ha c t i o nb yac o m p a c tc o n n e c t e d n o n a b e l i a nl i eg r o u ph a sar i e m a n n i a nm e t f i ew i t hs t r i c t l yp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r e b e g i n n i n gw i t hab r i e f i n t r o d u c t i o no ft h eb a s i ci d e ao fl a w s o na n dy a u w et h e n e s t a b l i s hs o m ef o r m u l a sa b o u tt h ec u r v a t u r e so faf a m i l yo fm e t r i c si naf i b r e d m a n i f o l d t h e nw ec o n s t r u c taf a m i l yo fm e t r i c si nam a n i f o l dw i t hg r o u pa c t i o ni na c e r t a i np r o c e d u r e ，a n dp r o v et h a tt h e yh a v ep o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ea w a yf r o mt h e f i x e dp o i n tb yu s i n gt h ef o r m u l a sw ee s t a b l i s h e d w ec o n s t r u c tm e t r i c sn e a rt h ef i x e d p o i n t s e ti nam o d i f i e db u tc o m p a t i b l ew a y , a n dp r o v et h e yh a v ep o s i t i v es c a l a r c u r v a t u r e i n p a r t i c u l a r , w es i m p l i f y t h e p r o c e d u r e o fl a w s o na n dy a u t h i s s i m p l i f i c a t i o ni sn o tt r i v i a l i tn e e dc a r e f u la n dd e l i c a t ea n a l y s i so f t h ep r o p e r t yo ft h e f i x e dp o i n ts e t g r o u p a c t i o na n ds c a l a rc u r v a t u r e z h e n d o n g h e n a n k a ii n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s 1i n t r o d u c t i o n l e tmb eac o m p a c tc o n n e c t e dm a n i f o l dw h i c ha d m i t sa ne f f e c t i v es m o o t h a c t i o nb yac o m p a c tc o n n e c t e dn o n a b e t i a nl i eg r o u p ，s a yg ，t h em a i n p u r p o s eo ft h i sa r t i c l ei st og i v ea ne x p o s i t i o nt ot h ef a m o u sr e s u l td u et o l a w s o na n dy a uw h i c ha s s e r t st h a ts u c ham a n i f o l dma d m i t sar i e m a n n i a n m e t r i cw i t hs t r i c t l yp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r e 。 t h eb a s i ci d e ai st h es a m ea si nl l y ，w h i l ei ns o m ec o m p u t a t i o nw eu s e t h ec a l c u l a t i o n si nt h ef o r m a l i s md e v e l o p e db yb i s m u t b | t h ei d e ai st h ef o l l o w i n g ，t og e tam e t r i cw i t hp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r e o nm w ef i r s tc o n s t r u c tan o n t r i v i a lf i b r eb u n d l ep w i t ht o t a ls p a c em g ，b a s es p a c ema n df i b r e sd i f i e o m o r p h i ct og 融u s i n gt h ea c t i o no fg ， t h e nw ec o n s t r u c tam e t r i co i lpw h i c hh a sp o s i t i v e “a v e r a g eh o r i z o n t a l c u r v a t u r e ”a n dw h i c hc a nb ep r o j e c t e dt om t og e tam e t r i co nm ，t h e n b v0 n e i l st h e o r e m w ec o n c l u d et h a tt h ep r o j e e t i n gm e t r i co nm h a st h e d e s i r e dp r o p e r t y t h e a p p r o a c hi so r g a n i z e da sf o l l o w s k 2 ，w ec a l c u l a t et h ec u r v a t u r eo faf p r i n c i p l e ) f i b r eb u n d l eu n d e rt h e a d i a b a t i cl i m i to fm e t r i c s i n 3 ，w ea p p l yt h er e s u l t si n 2t op r o v et h a t t h e r ee x i s t sam e t r i co i lmw h i c hh a sp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ea w a yf r o m t h ef i x e d ，p o i n ts e t i n 4 ，w em o d i f yt h em e t r i cc o n s t r u c t e di n 3n e a rt h e f i x e ds e tt og e ts i m i l a rr e s u l t ，h e r ew eu s eac o n s t r u c t i o ns l i g h t l yd i f i e r e n t f r o m 【l y l l 2a d i a b a t i cl i m i ta n df i b r eb u n d l e s t h ep u r p o s eo ft h i ss e c t i o ni st oe s t a b l i s hs o m ef o r m u l a sa b o u tt h ec u r - v a t u r e so fa f a m i l yo f m e t r i c si 1 1af i b r e dm a n i f o i d f o r s i m p l i c i t yw ec o n s i d e r o n l yp r i n c i p l ef i b r eb u n d l ea c t u a l l y ，o u rr e s u l t sc a na l s ob ee x t e n d e dt ot h e c a s eo fr ，i e m a n n i a nf i b r eb u n d l e sw i t ht o t a lg e o d e s i cf i b r e s l e tpb ea p r i n c i p l ef i b r eb u n d l e sw i t hb a s es p a c em a n ds t r u c t u r eg r o u p g ，a s s u m eb o t hma n dga r ec o m p a c ta n dc o n n e c t e d 。w ef i xal e f ta n d r i g h ti n v a r i a n tm e t r i cbo i lg w h i c hh a sc o n s t a n ts e c t i o n a tc u r v a t u r ek 0 w ea l s of i xam e t r i c o nm 。 t h i ss e c t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s ，ef i r s tc o n s t r u c ta f a m i l yo fm e t r i c s 0 1 1p ，t h e nc a l c u l a t et h e i rb i s m u tc o n n e c t i o nw h i c hh a sa v e r ys i m p l ef o r m u n d e rt h ec o n d i t i o n o f t o t a l l yg e o d e s i cf i b r e s 。t h e nw e u s et h i sc o n n e c t i o na n d i t sc u r v a t u r et e n s o rt oc a l c u l a t et h ec u r v a t u r eo ft h el e v i c i v i t ac o n n e c t i o n i ts h o u l db ep o i n t e do u tt h a tt h ed i f i e r e n c eo ft h e s et w oc o n n e c t i o n sh a s s i m p l ef o r m u l ad u et ot h ec o n d i t i o no fh a v i n gt o t a l l yg e o d e s i cf i b e r s 2 。圭m e t r i c so np w ef i xac o n n e c t i o no np i , e ，a n i n v a r i a n tf i e l do fh o r i z o n t a ls p a c e s ， a n dw el i f tt ot h e s ev e c t o rs p a c e st h er i e m a n n i a nm e t r i cg mo nm a n d c a r r yt h em e t r i cbo ng t ot h ef i b r e so f 尸b yt h ec a n o n i c a li d e n t i f i c a t i o n l i e ( g ) cf ( t p ) g i v e nb y l i e ( g ) 叶f ( t p ) ， 一矿 v ( 蕊) = 兰d t | 潮沏8 秽( 巍) ) w ec a l lt h e t a n g e n ts p a c eo ft h ef i b r e s t h ev e r t i c a ls p a c ea n dd e n o t e i t b yt ”p w ed e n o t et h eh o r i z o n t a ls p a c ed e f i n e db yt h ec o n n e c t i o nb y r h p i ti so b v i o u st h a tt h e s et w os p a c e sa r eo r t h o g o n a iu n d e rt h em e t r i c w ec o n s t r u c t e da b o v e f o re a c h 智 0 w ed e f i n ea m e t r i c 乳= 口”+ 去9 甘， w h e r e9 1 7a n d9 9a r et h ev e r t i c a la n dh o r i z o n t a lm e t r i cd e f i n e da b o v e ， t h e f o l l o w i n gl e m m a i se s s e n t i a l 2 l e m m a2 1t h e f i b r e so f 尸i nt h em e t r i cg ua r et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i 0 i d s p r o o c f 【l y ，l e m r a a2 。t j 2 2t h eb i s m u tc o n n e c t i o no nt p l e tv “b et h el e v i c i v i t ac o n n e c t i o no nm ，r m i t sc u r v a t u f et e n s o r ，l e v 。“b et h el e v i - 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