（基础数学专业论文）一类散度自由小波.pdf

摘要 摘要 散度自由小波在不可压缩流体分析及s t o k e s 方程数值求解中发挥着重要作 用b i t t n e r 和u r b a n 构造了具有插值性质的散度自由小波( k b i t t n e ra n dk u r b a n ，o ni n t e r p o l a t o r yd i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t s ，m a t h e m a t i c so fc o m p u t a t i o n v 0 1 7 6 ，n o 2 5 8 ，9 0 3 - 9 2 9 ，2 0 0 7 ) ，但它们是多小波且对偶不是通常的函数本文利 用j i a ，w a n g 和z h o u 的工作，首先构造了一对样条小波，它们的对偶仍为紧支 样条；其次证明这对小波满足微分关系；最后利用b i t t n e r 和u r b a n 的方法( 4 ) 构造了散度自由小波，它们及对偶均由紧支样条生成我们还证明向量值函数在 尺度空问内( 弱对偶意义下) 的投影仍保持散度自由的性质。 关键词：样条小波，微分关系，散度自由，弱对偶 a b s t r a c t a b s t r a c t d i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t sp l a yi m p o r t a n tr o l e sb o t hi nt h ea n a l y s i so fi n c o m - p r e s s i b l ef l u i d sa n di nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fs t o k e se q a t i o n s b i t t n e ra n du r b a n c o n s t r u c td i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t sw i t ht h ei n t e r p o l a t o r yp r o p e r t y ( k b i t t n e ra n d k u r b a n ，o ni n t e r p o l a t o r yd i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t s ，m a t h e m a t i c so fc o m p u t a - t i o nv 0 1 7 6 ，n o 2 5 8 ，9 0 3 9 2 9 ，2 0 0 7 ) ，w h i c ha r em u l t i w a v e l e t sa n dt h e i rd u a l sa r e d i s t r i b u t i o n s b a s e do nj i a ，w a n ga n dz h o u sw o r k ( 7 ) ，w ef i r s t l yc o n s t r u c ta p a i ro fs p l i n ew a v e l e t s ，w h o s ed u a l sa r es t i l lc o m p a c ts p l i n e s ；t h e ni t i ss h o w n t h a tt h ep a i ro fw a v e l e t ss a t i s f yt h ed i f f e r e n t i a lr e l a t i o n s ；f i n a l l y , w ec o n s t r u c t d i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t su s i n gb i t t n e ra n du r b a n sm e t h o d o u rw a v e l e t sa n d d u a l sa r eg e n e r a t e db yc o m p a c ts p l i n e s i na d d i t i o n ，i ti sp r o v e dt h a ti nt h em i l d d u a ls e n s e ，t h ep r o j e c t i o n so fv e c t o r v a l u e df u n c t i o n so n t os c a l i n gs p a c e sr e m a i n t h ed i v e r g e n c e - f r e ep r o p e r t y k e y w o r d s ：s p l i n ew a v e l e t s ，d i f f e r e n t i a lr e l a t i o n ，d i v e r g e n c e - f r e e ，m i l dd u a l i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：猫日期：加乡，厂 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 1 1 研究背景 第l 章引言 小波变换的概念足由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首 先提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公式，当时未能得 到数学家的认可( 1 3 ) 幸运的是，早在七十年代，a c a l d e r o n 表示定理的发 现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上 的准备，而且j o s t r o m b e r g 还构造了历史上非常类似于现在的小波基( 9 ) 1 9 8 6 年法国数学家y m e y e r 偶然发现了一个标准正交小波基之后，小波分析才 开始发展成为一门新学科( 【1 3 】) ，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写的小 波十讲( t e nl e c t u r e so l lw a v e l e t s ) ( 1 0 1 ) 对小波的普及及应用发挥了重要的 作用 小波( w a v e l e t ) 这一术语中的“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则 是指占的波动性与f o u r i e r 变换相比，小波变换足时问( 空间) 频率的局部化分 析它通过伸缩平移运算对信号( 函数) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时 间细分( 1 3 ) 因而能自动适应时频信号分析的要求，聚焦到信号的任意细节， 解决了f o u r i e r 变换不能解决的困难问题从而小波变换被誉为“数学显微镜”， 它也是调和分析在上世纪八十年代取得的重要成就之一，是继f o u r i e r 变换以来 在科学方法上的重大突破 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的电子信息技 术的一个重要方面足图像和信号处理信号处理的目的就是：准确分析、诊断、 北京工业大学理学硕士学位论文 编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构( 或恢复) ( 2 3 ) 从数学的角 度来看，图像处理也可以看作是信号处理( 图像可以看作是二维信号) ，小波分析 的许多应用都可以归结为解决信号处理问题尽管对于稳定不变的信号，理想的 工具仍然足f o u r i e r 分析但是在实际应用中的大多数信号是非稳定的，而特别 适用于非稳定信号的工具就足小波分析( 1 3 ) 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它还包括：量子力学、理论物理；军 事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学 成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面在数学方面，它 已应用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、统计学 等 法国数学家y m e y e r 构造的小波是具有一定衰减性的光滑函数( 9 ) ，它的整 平移和二进尺度伸缩生成的函数系构成平方可积函数空间l 2 ( r ) 的标准正交基 在这之后，l e m a r i 6 和g b a t t l e 又分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函 数此后，s m a l l a t 提出了多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n m y s i s ，简称m r a ) 的概念，利用这一概念，i d a u b e c h i e s 发现了具有紧支集的正交小波( 1 0 ) ，到 此，小波分析已初步形成一门新学科 平方可积函数空间l 2 ( r ) 的一个嵌套子空间序列 y j ：j z ) 称为l 2 ( r ) 的 一个多分辨率分析( m r a ) ( 2 2 ) ，如果满足 ( i ) 单调性：对任意j z ，巧c 巧+ 1 ； ( i i ) 逼近性： u j z 巧= l 2 ( r ) ，n j e zv j = o ) ； ( i i i ) 伸缩性：对任意j z ，( ) y o 令厂( 2 j ) 巧； 第1 章引言 ( i v ) 基的存在性：存在一个函数v o 使得【( 一k ) ：k z 】- 是的r i e s z 这时， 巧称为尺度空间，称为其尺度函数 从上述定义可以看出，任意两个相邻嵌套子空间之间相差一个二进分辨率， 也就是说，只要知道任意一个子空间的基，就可以通过二进伸缩得到相邻子空间 的基因为 ：j z ) 不是三2 ( r ) 的分解，而是单调的嵌套子空间序列，所 以不能由巧中的基来合成l 2 ( r ) 的r i e s z 基因此， m r a 进一步的研究是从 子空间序列 k ：j z - 出发，通过补的方法构造出l 2 假) 的分解子空间序列 ：j z ) ，即所谓的小波子空间序列，使得+ 1 = o 这里。代表直 和，不必是正交和 从一维小波出发，通过张量积的方法可得到高维小波和高维向量小波，具体 的步骤我们将在下部分给出 由于在不可压缩流体的数值模拟及求解s t o k e s 方程的数值解申散度自由向 量场有着重要的应用，因此人们需要构造具有理想性质的散度自由小波散度自 由小波的研究始于9 0 年代初期，b a t t l e 和f e d e r b u s h ( 1 ) 构造了上的正交 散度自由小波；l e m a r i 6 ( 2 ) 构造了具有微分关系的紧支双正交小波；文献 3 指 出，散度自由小波的正交性和紧支性不能兼容由于实用的小波通常定义在有界 区域上，所以目前大多数散度自由小波的构造遵循l e m a r i 4 在【2 中给出的思路 l e m a r i 4 的构造基于l 2 ( r ) 上两对满足微分关系的多尺度分析，然后利用张 量积得到l 2 ( r n ) n 上的双正交向量小波和散度自由小波文献 4 构造了紧支双 正交散度自由的样条小波，然而它们足多小波且对偶不是样条由于利用h e r m i t e 样条得到的插值多小波在3 d 时达5 6 个，而单小波只有2 1 个，且利用对偶小波 北京工业大学理学硕士学位论文 的样条性质可以简化许多运算，所以构造对偶是紧支样条的紧支散度自由样条单 小波无疑足重要的。 注意到c o h e n ，d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u ( 5 ) 及c h u i ，w a n g ( 6 ) 各自独 立发展了紧支样条小波的构造理论前者构造的是紧支双正交样条小波，对偶一 般不足样条；后者构造了紧支半正交样条小波，对偶却不具有紧支撑文献 7 通 过放松对偶性的要求，在新的对偶意义下( 我们称之为弱对偶) ，构造出了对偶是 紧支样条的紧支样条单小波 1 2散度自由小波 设r ，是n 维欧氏空间，l 2 ( 础) 表示舯上的内积空间，相应的内积是 ( f ，g ) = f ( x ) 一g ( x ) d x ， ，g l 2 ( 瞅) ，r n 记l 2 ( p ) 竹= ( 方= ( ，) t ，v i l 2 ( r 竹) ，i = 1 ，n ) 散度算子d i v 定 义为d i v 方= ：1 差，其中差表示v i 对x i 的偏导函数 文献 4 引入了下述符号： h ( d i v ；r ，) = 方l 2 ( r ? ) n ：d i v g l 2 ( r 一) ) ， 矿( d z u ；r n ) = 0 ， 由引理2 2 ， 坞，坞】( t ) 0 从而屿，坞满足弱对偶条件 众所周知，b 一样条坞为尺度函数，下面我们取= 坞，= 坞，并根据 引理2 i 构造样条小波卵及对偶面易见 p ( j ) - - - ( 坞( 巩鸭( 2 护拼= f r m a ( z ) 坞( 2 护州z2 三上m p ( z ) 坞( 詈+ 互j ) 如 二r 厶二 由b 样条细分方程坞( z ) ：壹2 - 一口( ；) 坞( 2 z f ) ，我们有 加1 上毗，夸一9 ( 柚州卅卜 1 m 第2 章样条小波与对偶 由b 一样条对称性及w 4 口= 磊，c 坞，我们得到 础，= 三上嗨c z ， 喜2 1 一。( ；) 嵋c 口+ z j z ) 如= 壹l = o 去( ；) 坞一q + i 从而石两= 冬。嘉( ；) a 铒口0 + g + f 一1 ) 注意到s u p p 朋0 口 o ，p + g ，以及朋_ 卅口( o ) = 口p + q ) = 0 那么，当 j p 或j p 或j 由b 一样条的性质心( z ) = 一l ( x ) 一m 仇一l ( x 一1 ) ，我们有 知驴永垆一2 q + ；2 p - 3 业2 p - i 墩一i ) 眦，卜( 2 x - j ) - 球州叫 一q + 善2 p - 3 譬献了1m 州_ q ( j + 1 - 1 ) m q m 刊 十2 。毫j = o3 譬除了1 ) m 纠_ q ( j + 1 - 1 ) m q 陋十u 对第二项换元，便得 知功叫一q + 薹2 p - 3 c - 1 ) m p + q ( j + 1 - 1 ) m q 陋刊 r2 口+ 薹2 p - 2 ，2 2 - - - 1 - t 、。 萋；? 7 1 m p + 。c 歹z ， - 。z j c 2 z 歹， 1 昏 第3 章微分关系 知洳) l 都i = o _ 1 z ) 酬叫喇 4 q + 薹2 p - 3 群尉了1 ) 酬j + l - - i ， + 喜p 了1m p + 口。一z ) 坞( 2 z j ) 4 譬酣了1m p + a ( q + 2 p - - 2 - - ) m q ，( 2 x - q - 2 t ) + 2 ) 喜p 了1m p + 舯h h p - iq p _ 1 ) 叫 = p - 1p _ 1m p + 口c j + l - i ，+ 喜g 二：) 酬j + l - i ， = 口( 歹+ 1 ) + 1 = 1 p - 1 = q o + 1 ) + m1 ) + g 二 ) 酬歹+ 1 - - 1 ) + 口。+ l - p ) 加+ 1 - 1 ) + 。+ l - p ) = 壹1 = 0g ) 酬j + l - i ，； 喜p 了1 ) 舡叫= 小，= 砉g ) 以叫； 喜p 了1 ) 酬q + 2 p - 2 - l ， = 砉酬m 一嘎 1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 综上所述，我们得到 乏啪州z ) 董j = o2 譬 砉g ) 喇j + 1 - - 1 ) m p 一2 州， = 一4 叩( q p ) ( z ) 利用定理3 1 ，通过适当选取p 和q ，我们可以得到具有相对较短支撑的满足微 分关系的理想小波 有了两对满足微分关系的的小波，下一章将按照l e m a r i 6 ( 2 ) 中的方法构造 l 2 ( r 拓) n 上的向量值尺度函数与小波 3 2 本章小结 本章证明了上一章构造的两对小波( 叩扫，g ) ，叩( q 护) ) 以及( 弛一l ，q + d ，叩1 矿1 ) ) 满 足通常的微分关系 五d 叩( z ) = 4 叩( p 一1 ，口+ 1 ) ( z ) ，瓦d7 7 ( q + 1 ，p - 1 ) ( z ) = 一4 叩( q ，p ) 1 8 - 第4 章 散度自由小波 第4 章散度自由小波 本章利用前两章的结论构造散度自由小波及其对偶；进一步，我们将证明： 在弱对偶意义下的投影算子仍将零散度向量映射成零散度向量，这在分析不可压 缩流体时是至关重要的 4 1一个引理 设，为满足弱对偶条件的尺度函数，a 3 为l 2 ( r ) 到巧= s p a n j ，知，忌z ) 的投影算子，本节将给出a j f 的具体表达式 对1 p 。o ，我们用0 ( z ) 表示所有z 上的序列b 形成的b a n a c h 空间，其 中序列b 满足 l l b i l p = ( i b ( j ) l p ) v p 。o 给定6 1 1 ( z ) ，我们用6 表示相应的傅里叶变换 = 6 ( j ) e 嘭，t r o 和6 的卷积n 蚰定义为。柏( j ) = 知za ( j 一忌) b ( 忌) ， j z 由文献 7 可 知，若。为有限非零序列且对任意t r ，鑫( ) 0 ，则讯b ( z ) ，离散卷积 方程。木u = 口具有唯一解u 2 p ( z ) ，其中 比，= 主( 斯护卅) 啪卜 引理4 1 设紧支尺度函数r ，p 满足弱对偶条件睡+ ，p 1 ( t ) 0 ，k 是专对应 的尺度空间，为l 2 ( r ) 到巧的投影算子，且a 于，= 奄z 勺，七礁，则 = 三( 去z 2 ”高扯m ) t 砒) e ， 1 9 - 一一 北京工业大学理学硕士学位论文 其中丁( 姊= 倍+ ( ) ，p ( 尼) ) 证明由引理2 1 ，对任意的，l 2 ( r ) ， ，2 薹气岛镳+ 互三哪磙 两边与鼠，做内积，我们有 ( ，靠) = k e z 勺，屉( 瞧，岛) + 叼，知( 壤，岛) j ，蕊+ “ v r 鬻弓竺i i i ) ，( 工哦，) = 妣( 瞧，品) j 生意到j , k ，礁，) ：( 2 们“力 二竺兰7 2 ，2 j 尼，) ) = ( f + ( _ 一后) ，享+ ( 一) ) 记f ( 后) ：( + ( 孓享+ ( 二后) ：，。贝 ( 镳，铅) = 丁( 一血) 。故 ( ，岛) = 丁( 七7 一尼) 兰! 固定睢z ，我f 河以将上式看成关h 南的一个离散卷积方程要解此离 散卷积方程，只需证明对任意的r ，有于( 印b 由方括号积的定义， 1 “。 雄) 。薹丁e 叫t = ( 一p ( 一硝e 一班：防n 。， j z 蕊一、州p 1 州尹u 所_ 以由引理4 1 前面的讨论可知 。篆( 去z 2 ”南毋七唧刁扩， 歹z ， 类似地，我们可以写出对，的表达式： a - ，f = 蒹( 1 o 孙丽1 j 0e 恤咄如) 似蒜) ，m z 。l o ， y ，”“7 其中r ( 惫) = 德一( ) ，享弋一七) ) 一2 m 第4 章散度自由小波 4 2性质 在这一节中，我们将证明投影算子a j 作用后仍保持散度自由的性质，即当 d i v ( f ) = 0 时，d i v ( a j f ) = 0 为此，先证明定理4 1 定理4 1 设p ，q 是正整数且p + q 是偶数，令 p = 坞，尹= 坞；一= 坞一。， 贝4 丢a 于9 = a 歹( 9 7 ) 这里g c 1 ( r ) n l 2 ( r ) 专一= 鸩+ l ( - 4 - 1 ) ， 证明利用引理4 1 ，石a a 。+ g = 丢( 岛z 勺，七镶) ，其中 = 三( 1 o 孙丽1e 啦- m ) )( g ，) 且丁( 惫) = ( + ( ) ，毒+ ( 一七) ) 由于哗( z ) = 屿一1 ( z ) 一坞一( z 一1 ) ，故 进而 丢时92 k e z2 j ( 铄一铄+ ，) 2 篆2 j 哪铄一眦2 j c j , k - z 铄 乏时9 = 夕匡( 去2 ”高e 积刊) c ， 铄 睦( 斯扣刊) u ， 换元，便得丢对9 = 知z 2 j 吣( 去后”丽1e 啦- m 峋t )( ( ，) 一( ，一。) ) 铄 由于( 爱 苗- m ) ；一( 厂，磊d - j - ，m ) = ( ，2 j ( 蕊一岛_ 一，) ) ，所以 跏= 乏睦( 去z 2 霄高必刊) 伊蕊k 2 1 懈 北京工业大学理学硕士学位论文 为再次利用引理4 ，1 得到岳a 知= 町( ) ，我们只需证明丁( 尼) = _ ( ) ，享一( _ 尼) ) ： 事实上， 丁( 后) = ( r ( ) ，r ( 一尾) ) = ( 坞( ) ，鸭( 一奄) ) = 屿( z ) 坞( z k ) d x t ，r 由b 样条性质( i i ) ，7 i ( 七) = 丘屿( z ) ( q + k x ) d x 进一步，b 一样条性质 ( i i i ) 蕴含，丁( 忌) = u p + 口( q 十七) 另一方面， ( 一( ) ，一( 一七) ) = ( 坞一l ( ) ，坞+ ( + 1 一忌) ) = 坞( z ) 坞+ ( z + 1 一k ) d x t ，r 由b 一样条性质( i i ) ，悠一( ) ，享一( 一七) ) = 丘坞( z ) 坞+ l ( q + k x ) d x ；利用b 一 样条性质( i i i ) ，一( ) ，手_ ( 一艮) ) = 。( g + 七) 所以r ( 后) = _ ( ) ， ( 一艮) ) 利用定理4 1 及文献 4 中的方法，我们可以证明以下的结论 推论4 1 设厂c ( d i v ；竹) n h ( d i v ；r ) ，则 d i v ( a i f ) = q ( d i v f ) 证明设五：r n _ r 足向量值函数厂c ( d i v ；r n ) n h ( d i v ；r * ) 的第i 个分量， 即厂= ( ， ，厶) 由投影算子面的定义， d 锄c 弓西= d i 可( 骞五汀9 = 如u ( 喜人p 盂五) = 喜去a ；毋五 由定理4 1 及高维投影算子人；的定义，我们有 击a ； = 修mf ，旦o x i 、) ，i ， 从而 妣园乃= 喜 5 ( 去 ) = a ；( 咖乃 第4 章散度自由小波 由推论4 1 ，厂在向尺度函数空间乃投影后保持散度自由 4 3例子 本节将按照文献 4 4 中方法给出具有样条对偶的散度自由小波以二维为例， 我们取+ = 舰，p = m 2 ，一= 尬，一= 慨( + 1 ) ，从第二、第三章的讨论 可知，在弱对偶意义( m i l dd u a lc o n d i t i o n ) 下得到的小波及其对偶 叩+ = 7 7 ( 4 ，2 ) ， 叩一= 叩( 3 ，3 ) ， 西+ = ? 7 ( 2 ，4 ) ，厅一= 叩( 3 ，3 ) ， 满足微分关系 丢机z ) = 4 叩飞) ，石d 州z ) = 一4 张n 那么，尺度函数空间秀由高维向量值尺度函数 c 苫一) ，g 姜+ ) 的伸缩平移生成弱对偶意义( m i l dd u a lc o n d i t i o n ) 下的小波空间嘞由高维向 量值小波 ( 0 一) r o 、 、? 7 一叼+ 的伸缩平移生成 散度自由小波空间回由具有样条对偶的高维向量值散度自由小波 ( 一繁) ，( 一貊旷) ，( 焉) 2 3 一 、 0 t 切0 叩 吖 、j 弋0 0 功 ，-， p g 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 一穗暑学y ) ， ( 一拢溉刃) ，( 三主巍 的伸缩平移生成它们的对偶小波是 ( 一鬻1 7 ) ，( 一繇+ ) ，( 嚣) 即 ( 一锪黪y ) ，( 箍溉向) ，( 三主麓乙) 注意到矿的支集长度为5 ，叩一的支集长度仅为3 ，这将给小波应用中的计算 带来很大的方便而且，利用对偶小波的样条性质环简化许名云簋 4 4本章小结 本章的主要结论是：对厂( 砍u ；胀) n 厅( 出口；础) ，d i u ( 弓西= a ；( d i u 乃； 其次给出一个散度自由小波，它及对偶均由短支集样条小波生成 2 乒 结论 结论 本文针究敢度目由小坡的构造，我们给】出的小坡及对偶均由紧文样条生成 主要结果是定理2 1 ，定理3 1 和推论4 1 定理2 1 设p ，q 是正整数且p + q 是偶数，则由p 阶b 一样条坞和g 阶b 一样 条a 磊生成的小波及其对偶是 叩= p - 三 - 2 q - - 2 降t 黝l = o 酬j + l - 1 ) m p 卅， 亓= 9 + ；2 p - 2 譬喜( 勿q ( j + 1 - - 1 ) m q ( 2 一卜 定理3 1 设p ，q 是正整数，p 2 且p + q 是偶数，则 乏“z ) = 4 弛_ 1 。+ 1 ) ( 巩瓦d7 7 ( g + 。p _ 1 ) ( z ) = 一4 叩( 口“巩 推论4 1 设厂c ( d i v ；r n ) n h ( d i v ；职) ，则 d 动( 西乃= a ；( 出口乃 一2 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 参考文献 1g b a t t l ea n dp f e d e r b u s h ，d i v e r g e n c e - f r e ev e c t o rw a v e l e t s ，m i c h i g a nm a t h j ，4 0 ( 1 ) ：1 8 1 1 9 5 ，1 9 9 3 2p l e m a r i 6 - r i e u s s e t ，a n a l y s e sm u l t i r 4 s o l u t i o n sn o no r t h o g o n a l e s ，c o m m u t a - t i o ne n t r ep r o j e c t e u r se td 4 r i v a t i o ne to n d e l e t t e sv e c t e u r sad i v e r g e n c en u l l e r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a ，8 ( 2 ) ：2 2 1 2 3 7 ，1 9 9 2 3p l e m a r i 6 - r i e u s s e t u nt h 4 0 r 爸m ed i n e x i s t e n c ep o u rl e so n d e l e t t e sv e c t e u r sa d i v e r g e n c en u l l e c r a c a d s c i p a r i ss 4 r im a t h ，3 1 9 ( 8 ) ：8 1 1 8 1 3 ，1 9 9 4 4k b i t t n e ra n dk u r b a n ，o ni n t e r p o l a t o r yd i v e r g e n c e - f r e ew a v e l e t s ，m a t h e - m a t i c so fc o m p u t a t i o nv 0 1 7 6 ，n o 2 5 8 ，9 0 3 9 2 9 ，2 0 0 7 5a c o h e n ，i d a u b e n c h i e sa n dj c f e a u v e a u ，b i o r t h o g o n a lb a s e so fc o m p a c t l y s u p p o r t e dw a v e l e t s ，c o m m p u r ea p p l m a t h 4 5 ：4 8 5 5 6 0 ，1 9 9 2 6c k c h u ia n dj z w a n g ，o nc o m p a c t l ys u p p o r t e ds p l i n ew a v e l e t sa n da d u a l i t yp r i n c i p l e ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 3 0 ：9 0 3 9 1 6 ，1 9 9 2 7r q j i a ，j z w a n g ，d x z h o u ，c o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e tb a s e sf o r s o b o l e vs p a c e s ，a p p l c o m p u t h a r m o n a n a l 1 5 ：2 2 4 2 4 1 ，2 0 0 3 8i 。j s c h o e n b e r g ，c a r d i n a ls p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，1 9 7 3 9y m e y e r ，w a v e l e t sa n do p e r a t o r s ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 2 2 6 - 参考文献 1 0i ，d a u b e c h i e s ，t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ，p h i l a d e l p h i a ，1 9 9 2 1 1y m e y e r ，o n d e l e t t e ss u ri i n t e r a l l e ，r e v m a t i b e i o a m e r i c a n a 7 ：1 1 5 1 3 3 ， 1 9 9 1 1 2i d a u b e c h i e s ，j c l a g a r i a s ，t w o - s c a l ed i f f e r e n x ee q u a t i o n s ( i i ) 1 0 c a lr e g u - l a r i t y , i n f i n i t ep r o d u c t so fm a t r i c e sa n df r a c t a l s s i a mj 。m a t h a n a l y s i s 2 3 ： 1 0 3 1 1 0 7 9 ，1 9 9 2 1 3s g m a l l a t ，aw a v e l e tt o u ro fs i g n a lp r o c e s s i n g ，a c a d e n i cp r e e ，1 9 9 8 1 4r m y o u n g ，a ni n t r o d u c t i o nt on o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ，a c a d e m i cp r e s s n e wy o r k ，1 9 8 0 1 5l d e b n a t h w a v e l e tt r a n s f o r m sa n dt i m e f r e q u e n c ys i g n a la n a l y s i s b i r k h i i u s e r b o s t o n ，2 0 01 1 6c d eb o o r ，r a d e v o r e ，a r o n ，o nt h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i v a r i a t e ( p r e ) w a v e l e t s ，c o n s t r a p p r o x 9 ：1 2 3 1 6 6 ，1 9 9 3 1 7d r c h e n ，o nt h es p l i t t i n gt r i c ka n dw a v e l e tf r a m ep a c k e t s ，s i a mj m a t h a n a l 3 1 ：7 2 6 - 7 3 9 ，2 0 0 0 1 8j ，l b r o w n o nt h ee r r o ri nr e c o n s t r u c t i n gn o n b a n d l i m i t e df u n c t i o nb ym e a n s o ft h eb a n d p a s ss a m p l i n gt h e o r e m j m a t h a n a l a p p l 1 8 ：7 5 8 4 ，1 9 6 7 1 9g g w a l t e r ，as a m p l i n gt h e o r e mf o rw a v e l e ts u b s p a c e s ，i e e et r a n s i n f o r m 3 8 ：8 8 1 8 8 4 ，1 9 9 2 2 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 2 0a g g a r c f a ，g p 6 r e z v i l l a l d n ，o nt h ea l i a s i n ge r r o ri nw a v e l e ts u b s p a c e s ，j c o m p a p p l m a t h 1 8 3 ：1 5 3 1 6 7 ，2 0 0 5 2 1i d a u b e c h i e s ) o r t h o n o r m a lb a s e so fc o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e t s c o m m p u r ea p p l m a t h 4 1 ：9 8 9 9 9 6 ，1 9 8 8 2 2s m a l l a t ，m u l t i r e s o l u t i o na p p r o x i m a t i o na n dw a v e l e t so r t h o n o r m a lb a s e so f l 2 ( r ) ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 1 5 ：6 9 8 7 ，1 9 8 9 2 3s m a l l a t ，at h e o r yf o rm u l t i r e s o l u t i o ns i g n a ld e c o m p o s i t i o n ：t h ew a v e l e t r e p r e s e n t a t i o n i e e er 】、a n s p a m i 1 1 ：6 7 4 6 9 3 1 9 8 9 2 4a c o h e n ，i d a u b e c h i e s ，n o n - s e p a r a b l eb i d i m e n s i o n a lw a v e l e tb a s e s r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a 9 ：5 1 1 3 7 1 9 9 3 2 5j k o v a 苞e v i d ，m v e t t e r l i ，n o n s e p a r a b l em u l t i d i m e n s i o n a lp e r f e c tr e c o n s t r u c - t i o nf i l t e rb a n k sa n dw a v e l e tb a s e sf o rr n ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y 3 8 ： 5 3 3 5 5 5 ，1 9 9 2 2 6e b e l o g a y , y w a n g ，a r b i t r a r i l ys m o o t ho r t h o g o n a ln o n s e p a r a b l ew a v e l e t si n r 2 ，s i a mj m a t h a n a l 3 0 ：6 7 8 6 9 7 ，1 9 9 9 2 7a a y s c h e c o n s t r u c t i o no fn o n s e p a r a b l ed y a d i cc o m p a c t l ys u p p o r t e do r t h o n o m a lw a v e l e tb a s e sf o rl 2 ( 础) ，r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a 1 5 ：3 7 - 5 8 ， 1 9 9 9 2 8w h e ，m j l a i ，e x a m p l e so fb i v a r i a t en o n s e p a r a b l ec o m p a c t l ys u p p o r t e d o r t h o n o m a lc o n t i n u o u sw a v e l e t s ，i n ：w a v e l e ta p p l i c a t i o n si ns i g n a la n di m a g e 2 8 - 参考文献 p r o c e s s i n gi v p r o c s p i e 3 1 6 9 ：3 0 3 3 1 4 ，1 9 9 7 2 9l v i l l e m o e s ，c o n t i n u i t yo fn o n s e p a r a b l eq u i n c u n xw a v e l e t s ，a p p l c o m p u t h a r m o n a n a l 1 ：1 8 0 - 1 8 7 1 9 9 4 3 0b i nh a n ，r o n g - q i n gj i a ，q u i n c u n xf u n d a m e n t a lr e f i n a b l ef u n c t i o n sa n dq u i n - c u n xb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ，m a t h co m o 7 1 ：1 6 5 - 1 9 6 ) 2 0 0 2 3 1m a n u e l af e i l n e r ，d i m i t r iv a nd ev i l l e ，m i c h a e lu n s e r ，a no r t h o g o n a lf a m i l y o fq u i n c u n xw a v e l e t sw i t hc o n t i n u o u s l ya d j u s t a b l eo r d e r ，i e e et r a n s o n i m a g ep r o c e s s i n g 1 4 ：4 9 9 5 1 0 ，2 0 0 5 3 2a c o h e n ，k g r i c h e n i g ，l f v i l l e m o e s r e g u l a r i t yo fm u l t i v a r i a t er e f i n a b l e f u n c t i o n s ，c o n s t r a p p r o x 1 5 ：2 4 1 2 5 5 ，1 9 9 9 3 3k u r b a n ，w a v e l e tb a s e si nh ( d i v ) a n dh ( c u r l ) ，m a t h c o m p ，7 0 ( 2 3 4 ) ：7 3 9 7 6 6 ，2 0 0 1