（基础数学专业论文）几个多复变数全纯函数空间及其复合算子.pdf

摘要 本文所考虑的对象是多复变数中的一些全纯函数空间和加权复合算子 主要内容如下： 1 、定义了单位球岛上的几个加权函数空间日工；，z g ，琊和霹研究这 些函数空间中函数的增长性与边界值的关系，得到了函数或其径向导数属于 相应空间的充分必要条件是其边界值差分的p 次积分平均应具备一定的可积 性或有界性，对单变数情形的结果进行了推广此外，我们讨论了这些空间 相互之间的对偶关系，在一定的条件下，给出了这些函数空间的对偶关系和 对偶空间的刻画作为应用，得到了在p ( t ) = 垆( o a 1 ) 的条件下，以的 对偶空间是全纯l i p s c h i t z 空间l i p ( a ) ( 0 a 1 ) 或b l o c h 空间层( 0 = 0 ) 2 、考虑单位球上的b l o c h 型函数空间b o ( o o t o 。) 这类空间最初源 于单位圆盘上的b l o c h 空间，它又和许多不同的函数空间( 如h p ，髓，b m o a ， q p 等) 有一定的联系，而且是b e r g m a n 空间髓的对偶空间，当0 1 时，还有b o = l i p ( 1 一a ) 我们从研究全纯函数分数次导数的增长性入手， 利用分数次导数给出了它的一类刻画，包括上确界和极限形式的特征，积分 形式的特征以及c a r l e s o n 测度形式的特征，推广了单位圆盘和单位球上一些 已有的结论其中以积分形式表示的特征，还应用于b l o c h 空间上c e s d r o 型 算子的有界性和紧性的研究之中 作为c a r l e s o n 测度的推广，讨论了带权函数p 的c a r l e s o n 型测度，给出了 有界和消没p - c a r l e s o n 测度的等价条件广泛应用于研究函数论问题( 比如 复合算子问题，函数空间的等价刻画等) 的c a r l e s o n 测度、b e r g m a n c a r l e s o n 测度、s c a r l e s o n 测度等都是这种具有一般形式的c a r l e s o n 测度的特例，因 此这种c a r l e s o n 型测度应该具有较为广阔的应用前景 3 、讨论了球上的对数c a r l e s o n 测度，它是c a r l e s o n 型测度的一种特 殊情形利用b l o c h 函数给出了有界和消没p 对数8 - - c a r l e s o n 测度( 参数 s ( 1 ，。o ) ) 的等价条件这既是单变数相应结论的推广，也是和h a r d y 空间 摘要 及b e r g m a n 空间上的c a r l e s o n 定理相对应的结果，可以称之为b l o c h 空间上 的c a r l e s o a 定理作为应用，给出了b l o c h 空间上一种推广的c e s d r o 型算子 有界和紧的充分必要条件相应地，还得到了以b m o a 函数刻画的有界和消 没对数c a r l e s o n 测度( 参数s = 1 ) 的等价条件，即b m o a 空间上的c a r l e s o n 定理 4 、研究单位多圆柱上b l o c h 型空间之间以及单位球上h a r d y 空间之间 和b e r g m a n 空间之间的加权复合算子对于单位多圆柱上不同b l o c h 型空间 之问的加权复合算子，在不同的条件下分别给出了其有界性和紧性的刻画， 得到了一系列比较完整和理想的结果一方面是对单位圆盘及单位多圆柱上 已有结果的推广和改进，同时也使许多已有结论在形式上得到了统一作为 应用，给出了关于乘子的一些有趣的结论，并通过一些实例，说明加权复合 算子与点乘子和通常的复合算子在性质上存在差异另外，我们也考虑了单 位球上i a r d y 空间之间及b e r g m a n 空间之间的女权复合算子，利用c a r l e s c n 型测度，给出了有界和紧性的等价条件对于参数为1 的h a r d y 空间日1 和 b e r g m a n 空间盟，证明了其上定义的加权复合算子的紧性与弱紧性是等价 的 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hs o m e s p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dw e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s f i r s t l y ，w ed e f i n es e v e r a lw e i g h t e ds p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n so n t h eu n i tb a l l ，h 弼，刃，群a n d 彤t h eg r o w t ho ff u n c t i o n si nt h e s es p a c e s d e p e n d s o na w e i g h t e d f u n c t i o np w e i n v e s t i g a t e t h er e l a t i o nb e t w e e ng r o w t h a n db o u n d a r yv a l u e so ft h ef u n c t i o n s ，a n dp r o v et h a taf u n c t i o no ri t sr a d i a l d e r i v a t i v ei si no i l eo ft h es p a c e si fa do n l yi ft h ep i n t e g r a la v e r a g eo ft h e d i f i e r e n c eo fi t sb o u n d a r yv a l u ef u n c t i o ni si n t e g r a b l eo rb o u n d e d t h a ti st h e g e n e r a l i z a t i o no f t h er e s u l t so fo n ec o m p l e x v a r i a b l e m o r e o v e r ，w es t u d yt h e d u a l i t yb e t w e e nt h e s es p a c e s ，a n dg i v et h ed u a lr e l a t i v ea n dc h a r a c t e r i z et h e d u a ls p a c e so ft h es p a c e s a saa p p l i c a t i o n ，w eo b t m nt h a ti fp ( t ) = t o ( 0 冬 q 1 ) t h e n t h ed u a ls p a c eo f 以i st h el i p s c h i t zs p a c el i p ( a ) ( o n 1 ) o r t h eb l o c hs p a c e8 ( o = 0 ) s e c o n d l y ，t h eb l o c ht y p es p a c e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n so nt h eu n i t b a l la r ec o n s i d e r e d t h eb l o c ht y p es p a c e sm ( 0 o 0 0 1d e r i v e df r o m t h eb l o c hs p a c eo nt h eu n i td i s c ，a n dr e l a t e dt om a n yf u n c t i o ns p a c e s ，s u c h a s 舻，醒，b m o a ，q ，a n ds oo n m o r e o v e r ，t h e ya r et h ed u a ls p a c e so f b e r g m a ns p a c e 工： w h e n0 q 1 ，i th o l d st h a t8 0 = l i p ( 1 一o ) w e g i v es o m ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fb l o e ht y p ef u n c t i o n si n t e r m o ff r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，v i as t u d y i n gt h er e l a t i v eo fg r o w t ho ft h ed i f f e r e n t o r d e rf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n ，i n c l u d i n gt h ef o r mo f s u p r e m u ma n dl i m i t ，t h ef o r mo fi n t e g r a la n dc a r l e s o nm e a s u r e ，w h i c ha r e t h eg e n e r a l i z a t i o n so fs o m ek n o w nr e s u l t si nt h eu n i td i s ca n di nt h eu n i tb a l l t h ec h a r a c t e r i z a t i o nd e n o t e db yt h ef o r mo fi n t e g r a lw i l lb ea p p l i e dt os t u d y t h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc e s h r ot y p eo p e r a t o r s w e s t u d yt h ec a r l e s o nt y p em e a s u r ew i t haw e i g h t e df u n c t i o np ，w h i c h i st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec a r l e s o nm e a s u r e t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f b o u n d e da n dv a n i s h i n gp - c a r l e s o nm e a s u r e sa r eg i v e n m a n yf o r m so fc a r 一 1 e s o nm e a s u r e s ，s u c ha st h ec a r l e s o nm e a s u r e ，t h eb e r g m a n - c a r l e s o nm e a - s u r e a n dt h es c a r l e s o nm e a s u r e ，w h i c hu s e di ns t u d y i n gd i f f e r e n tp r o b l e m s o nt h ef u n c t i o nt h e o r ye x t e n s i v e l y , f o re x a m p l e ，t h ep r o b l e m s0 nc o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ff u n c t i o ns p a c e s ，a r eo ft h es p e c i a l e a s e s s ot h ec a r l e s o nt y p em e a s u r e ss h o u l dh a v em o r ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n o i lo t h e ra s p e c t so ft h ef u n c t i o nt h e o r y t h i r d l y , a sas p e c i a lc a s eo fc a r l e s o nt y p em e a s u r e ，l o g a r i t h m i cc a r l e s o n m e a s u r e so nt h eu n i tb a l la r ed i s c u s s e d 。w eg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s - s a r yc o n d i t i o n so fb o u n d e da n dv a n i s h i n gl o g a r i t h m i cc a r l e s o nm e a s u r e ( 1 s 。1i nt e r mo ft h eb l o c hf u n c t i o n s w h i d li st h eg e n e r a l i z a t i o no fc o r r e s p o n d i n gr e s u l ti no n ec o m p l e xv a r i a b l e ，b u ta l s ot h ea n m o g o u sr e s u l to ft h e c a r l e s o nt h e o r e mo nt h eh a r d ys p a c e sa n db e r g m a ns p a c e s ，m a yb ec a l l e d a st h ec a r l e s o nt h e o r e mo nt h eb l o c hs p a c e a saa p p l i c a t i o n ，w eo b t a i n t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h a ta ne x t e n d e dc e s d r oo p e r a t o r o i lt h eb l o c hs p a c ei sb o u n d e do rc o m p a c t m o r e o v e r ，w eo b t a i na l s ot h e e q u i v a l e n tc o n d i t i o n so ft h eb o u n d e d n e s sa n dv a n i s h i n gl o g a r i t h m i cc a r l e s o n m e a s u r e ( s = 1 ) i n t e r mo f t h eb m o a f u n c t i o n s ，t h a ti st h ec a r l e s o nt h e o r e m o nt h eb m o a s p a c e f i n a l l y ，w ed i s c u s st h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e nb l o c h t y p es p a c e so nt h e u n i tp o l y d i s ca sw e l la sb e t w e e nh a r d ys p a c e so nt h e u n i tb a l l w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fw e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e nb l o c ht y p es p a c e so nt h eu n i tp o l y d i s c ，a n d o b t a i nas e r i e so fr e s u l t s ，w h i c ha r ec o m p l e t e da n de x p e c t e d t h e s er e s u l t s a r et h eg e n e r a l i z a t i o no ri m p r o v e m e n to fs o m ek n o w no n e s ，b u ta l s ot h e u n i f y i n go ft h e m a st h ea p p l i c a t i o n ，w eg e ts o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t sa b o u t t h em u l t i p l i e r so nb l o c ht y p es p a c e so nt h eu n i tp o l y d i s c t h e r ea r e e x a m p l e s t os h o wt h a tt h ep r o p e r t i e so ft h ew e ! i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sd i f f e rf r o m t h a to fm u l t i p l i e r sa n dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s w ea l s os t u d yt h ew e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e nh a r d ys p a c e s o i lt h eu n i tb a l l ，a sw e l la s b e t w e e nb e r g m a ns p a c e s s o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n st h a tt h eo p e r a t o r sa r e b o u n d e do rc o m p a c ta r eg i v e ni nt e r mo ft h ec a r l e s o nt y p em e a s u r e o nt h e h a r d ys p a c ea n db e r g m a ns p a c e w i t hp a r a m e t e r1 ，w ef i n dt h a tt h ew e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa r ec o m p a c ti fa n do n l yi ft h e ya r ew e a k l yc o m p a c t 综述 本文的目标是研究多复变数的一些全纯函数空问和复合算子主要内容 包括：单位球上几个加权全纯函数空间的边界值与对偶性、n b l o c h 函数的 分数次导数的刻画，b l o c h 空间和b m o a 空间上的c a r l e s o n 型定理，单位 多圆柱上b l o e h 型空间之间的加权复合算子以及单位球上h a r d y 空间之间 和b e r g m a n 空间之间的加权复合算子的有界性和紧性全文共分为四章 在第一章，我们研究单位球上几个加权全纯函数空间的边界值与对偶性 问题 全纯函数的边界值与其增长性之间的关系问题是复分析中一个引人关注 的问题，在单复变数时已有许多经典的结果从上世纪2 0 年代开始，由g h h a r d y , j e l i t t l e w o o d ，f r i e s e ，m r i e s e 和g s z e g o 等著名数学家创建了 单位圆盘上的日，空间理论，而边界值性质的研究也是该理论的重要组成部 分对单位圆盘上h a r d y 空间中函数的边界值与其增长性之间的关系，有比 较完整和系统的研究其后，也有许多数学工作者对这些结果从不同的方面 进行了推广在【h l 3 2 和 z y 9 4 5 中，h a r d y , l i t t l e w o o d 和z y g m u n d 研究 了单位圆盘d 上全纯函数的边界值与其增长性之间的关系，得到了一些深刻 的结果( 参阅 h l 3 2 ， z y 9 4 5 和【d u 7 0 的第5 章) 此外，f l e t t ( f l e 7 2 a ) 和 t a i b l e s o n ( t a i 6 4 ) 等也进行了一些相关的研究工作b l a s c o 等人在【b l a 9 0 中对这些性质进行了进一步的研究他们引入了权函数n 然后考虑在单位圆 盘d 上定义的增长性与p 有关的全纯函数，将文献 f l e 7 2 a ， h l 3 2 ，【t a i 6 4 和f z y 舀5 中的主要结果推广到更一般的情形。当p 为幂函数时，便是h a r d y l i t t l e w o o d 和z y g m u n d 等人的结果后来，b l f m c o 还做了许多后续的研究 工作( 见 b l a 9 2 ， b l a 9 3 ， b i p 0 2 ) 在多复变数情形，关于全纯函数边界值性质方面也进行了一些相应的研 究( 见f r u 8 0 ) ，但与单变数形成的比较完整和系统的理论相比，尚有待进一 步丰富和完善从这一立场出发，我们考虑了单位球上几个加权全纯函数空 间，研究这些空间中函数的增长性与边界值的关系，并考虑它们之间的对偶 关系 首先，我们在 中单位球b 。上定义了几个加权全纯函数空间日琊，刃， 2 综述 磁和堙，这里的定义是革变数情形在单位球上的推广这些函数空间与经典 的h a r d y 空间有密切的关系事实上，如果掣l i ( ( 0 ，1 ) ) ，1 p o 。，则 有 h l ；c 铭c h c 彤c 嚣 关于上述函数空间，我们主要讨论两个问题，首先考虑这些空间中全纯 函数的增长性与其边界值的关系，得到了一些相应的等价条件我们证明了 ( 见定理1 3 1 和定理1 3 ，2 ) ： f h 钟错f h 9 且i i d l l p = 0 ( p ( t ) ) ( t _ o ) ； 验f 啷锗f e 印且f 1 譬l l a d i p d t o 。 和 f 刃 = 毒f h 9 且i i a f l l p = o ( p ( t ) ) ( t - o ) ； 卿哪错f h p 且f 1 譬懈川p 抓o c 其中1 pso 。，是全纯函数f 的边界值函数，跎e 舻f 分别是f 的一阶和二阶径向导数，。 ，分别是，的一阶差分和二阶差分，而p 是满足一定条件的权函数 研究这些全纯函数空间相互之间的对偶关系也是我们感兴趣的问题 1 9 6 9 年。d u r e n 等在 d r s 6 9 】中考虑了单位圆盘上的l i p s c h i t z 空间 a 。= l i p ( a ) ( 0 o 1 ) 的对偶性问题，给出了k 的预对偶空闻是 1 ，2 * b 南2 f 日( d ) ：上z ( 1 一r ) ”1 i f ( r e 坩) i d 日出 o 。) f l e 7 2 a 中对上述结果进行了推广，研究了他( 1 q o o ) 的对偶性问 题而在f a c p 7 4 中给出了b l o c h 空间的预对偶空间是 j = f h ( d ) ：( r e 埘) i d o d r o 。) ， f b i a 9 0 】将上述结果推广到更一般的加权空间上，利用幂级数方法，给出 了单位圆盘上的加权函数空间日职，邵，绑和嵋之间的对偶关系是 ( 彤r = 日娣，( 鲜) = 召 中国科学技术大学博士论文 3 其中1sp o 。，二+ 二= 1 一 q 本文考虑多复变数单位球上的情形利用积分形式的偶对 1 _ f ( o ) g ( o ) + 驼f ( 2 ) 盼g ( z ) ( 1 一f z l 2 ) 幽( z ) ， d b “ f 刀，g 日三；， 和 一 ， 2 = f ( o ) u ( o ) + f ( z ) 鸵2 g ( 。) ( 1 一j z l 2 ) 幽( 2 ) ， d 口n f 珑，g 刃 得到了完全类似的对偶关系 ( 刀) = h l q p ，( 娣) + = 召 其中1s p 0 0 ，；+ j 2 1 ( 定理1 4 1 和定理1 4 2 ) 上述结果不仅从空间维数而且从参数成立范围这两个方面推广了f a c p 7 4 f b l a 9 0 和【f l e 7 2 a 】中的相关结论作为特例，我们得到了q b l o c h 函数空间 拶( o a 1 ) 的预对偶空间是以( p ( = t 1 _ 8 ) 这一结论而当0 o 1 时，昭。= l i p ( 1 一n ) ( 见 r u 8 0 和 v o o o ) ，d = 1 时，俨就是球上的b l o c h 空间，在单变数范围内，这正是【f l e 7 2 a 1 和【a c p 7 4 】中所考虑过的情形 本文的第二章，讨论了球上的。一b l o c h 函数和小。一b l o c h 函数，利用 分数次导数给出了它的一类特征 单位圆盘d 上的b l o c h 函数一直受到人们的广泛关注，并对此作了深 刻的研究，揭示了b l o c h 函数空间作为b a n a c h 空间的一些性质，也给出了 它的一系列等价特征( 参考【a c p 7 4 ，【a n 8 5 和i a x 8 6 ) 在文献【s t 8 9 中，s t r o e t h o f f 利用高阶导数刻画了单位圆盘及单位球上 的b l o c h 函数，l o u 在【l o u 9 6 中将单位圆盘上的结果进行推广，利用分数 次导数给出了b l o c h 函数的一种刻画，得到了下列结果： f 口乍辛s u p ( 1 一l z l 2 ) 4 i d 4 ，( z ) l 0 ， l o j 1 并给出了积分形式及c a r l e s o n 测度形式的特征 4 综述 z h u 在 z h u 9 3 】中给出了单位圆盘上。一b l o c h 函数( 0 ) 的概 念，并对它进行了系统的研究此后，这一定义被推广到多复变数的情形， 并对单位球上的口一b l o c h 函数空间伊进行了多方面的研究和讨论，如对 偶空间以及各种不同形式的刻画等等已经知道，扩与常见的一些函数空 间( 例如；耳，醒，b m o a ，q 等) 有密切的关系( 晃l y o o o ) ，而且它也是 b e r g m a n 空间聪的对偶空间近十年来，b l o c h 型函数空间的研究引起了 人们较为广泛的兴趣 为了用分数次导数刻画b l o c h 型函数，我们讨论了不同阶的分数次导数 增长性之间的关系，证明了： m ；( r ，) = d ( ( 1 一r ) 一) ( r _ 1 ) 舒屿( r ，d 肛。，) = o ( 0 一r ) 邓) ， 及 屿( r ，) = o ( ( 1 一r ) 1 ) = 争肘；( r ，。0 ，) = 0 ( ( 1 r ) 邓) 其中，h ( b 。) ，0 pso o ，0 n ，卢 o 。，o r 1 进一步，我们利用上面的结论给出了。一b l o c h 函数分数次导数形式的 刻画， ，伊( 玩) 乍寺s u p ( 1 一h 2 ) “p 。1j d 8 ，( z ) j o 。， ：b “ ，钾( b ) 错1 陋( 1 一2 ) ”口- 1 1 1 ) 4 ，( 2 ) i = 0 i ；i _ i 其中0 o ，口 1 而由于分数次导数与径向导数的关系，上述 结果可自然地推出关于高阶径向导数情形类似的结论， 此外，我们也用积分形式和c a r l e s o n 测度形式给出了。一b l o c h 函数的 特征其中的积分形式表示的特征，也用于第三章对b l o c h 空间上c e s & o 型 算子有界性和紧性的研究之中 在考虑c a r l e s o n 测度形式的特征时，我们引入了单位球上的c a r l e s o n 型测度p - c a r l e s o n 测度( 2 4 ) ，其中p 是定义在i o ，1 ) 上的非负递增函数， 且不恒为0 p - c a r i e s o n 测度包含了一些常见的c a r l e s o n 测度形式，如通常 的c a r l e s o n 测度，b e r g m a n c a r e s o n 测度，s - c a r l e s o n 测度以及我们在第 三章中讨论的对数c a r l e s o n 测度这些不同形式的c a r l e s o n 测度，在复合 算子以及函数空间性质的研究中都有广泛的应用，因此p - c a r l e s o n 测度应 该具有较为广泛的应用前景，我们证萌了： 中国科学技术大学博士论文5 单位球玩上的有限正b o r e l 测度p 是有界p - c a r l e s o n 测度的充分必 要条件是( 见2 。4 ，定理2 4 1 和定理2 4 2 ) 一s u p 志z 。隅撕， o 。； 肛是消没p - c a r l e s o n 测度的充分必要条件是 l i 。m 。赤厶焉批 其中，p 是权函数这一结果也是单位圆盘的情形( 见【b l a 9 2 ) 在高维的 推广 第三章，研究球上的对数c a r l e s o n 测度，证明了b l o c h 空间和b m o a 空间上的c a r l e s o n 型定理 c a r l e s o n 测度是现代分析中的一个重要工具，利用c a r l e s o n 测度来研究 函数性质是分析中常用的一种方法例如；c a r l e s o n 测度在解决日p 空间的 插值问题，日冕问题时就起了非常重要的作用此外，c a r l e s o n 测度也常常 用于研究函数空间的刻画和复合算子的性质 对于第二章中讨论的p c a r l e s o n 测度，当p ( t ) 2 可毒可，o s o 。，0 p o o 时，我们称上述的p - c a r l e s o n 测度为p 对数s c a r l e s o n 测 度( 不必具体指明参数的时候，也简称为对数c a r l e s o n 测度) 对于有界和消没对数c a r l e s o n 测度，我们用b l o c h 函数给出了它的一种 刻画即： 芦是有界p 对数8 - - c a r l e s o n 测度当且仅当 w叫砒suii(z)19(若舞)“酬枢cllfll各；aebbnj 。1 1 一气；，“，l 一 弘是消没p 对数s c a r l e s o n 测度当且仅当 对于b ( 岛) 中有界序列 厶) ，如果( 厶) 在占k 中内闭一致收敛于0 ，则 l i m 。s u p 。m 圳( 若) “眦) = 。 其中，1 8 c o ，0 p 。 众所周知，在h a r d y 空间上，有著名的c a r l e s o n 定理， 定理a ( c a r l e s o n ) 设p 是单位球b 。上的有限正b o r e l 测度，0 p o 。， 则有 ( i ) 弘是有界c a r l e s o n 测度当且仅当 ， v f h 9 ( 风) ，i ，( z ) 1 9 咖( z ) c i f l l 备，； j b “ ( i i ) p 是消没c a r l e s o n 测度当且仅当对于俨( 鼠) 中有界序列t 厶) ，如 果 ，。) 在7 n 中内闭一致收敛于0 ，则 ， 1 i m i ，m ( z ) i 舡( z ) = 0 ”j 日“ 对于b e r g m a n 空间的情形，也有类似的结论 上面提到的有界和消没对数c a r l e s o n 测度的刻画，正是h a r d y 空间和 b e r g m a n 空间上的c a i l e s o n 定理在b l o c h 空间上对应的结论，亦可称为b l o c h 空间上的c a r l e s o n 定理 根据上述结果，结合关于b l o c h 型函数分数次导数积分形式的特征，可 得到下面关于推广的c e s d r o 型算子( 见【h u 0 2 ) 在b l o c h 空间上有界性和紧 性的刻画： 具有全纯符号g 的c e s h r o 型算子乃在b l o c h 空间上有界的充分必要条 件是 i 乳g ( z ) 1 ( 1 一h 2 ) 9 一( “+ 1 ) - f a n 如( 。) 是有界p 对数s - c a r t e s o n 测度； l 在b l o c h 空间上紧的充要条件是 l 鸵g ( z ) p ( 1 一f z l 2 ) 一( ”1 ) “d v ( z ) 是消没p 对数s c a f l e s o n 测度 其中0 p o 。，1 s o 。 此外，对于球上的b m o a 空间，也可得到对应的c a r l e s o n 定理( 3 4 ， 定理3 4 1 和定理3 4 2 ) 在本文的最后一章，我们讨论单位多圆桂d ”上不同b l o c h 型空间之间 的加权复合算子以及单位球上h a r d y 空间之间，b e r g m a n 空间之间的加权 复合算子的有界性和紧性 复合算子的研究是全纯函数理论和算子理论结合的产物，研究复合算子 将经典的全纯函数理论的结论应用于讨论线性算子的性质，反过来，也可以 利用算子理论作为工具来研究全纯函数因此，复合算子的研究一直受到数 学工作者的重视 中国科学技术大学博士论文 7 多复变数全纯函数空间上的复合算子的研究，是近几十年来多复变数研 究中比较热门的一个领域，已有许多很好的结果( 参看 l s 0 0 ，【s l 0 1 ，【l s 0 1 ， 【m a c 8 5 ，【z s 0 1 a ， z s 0 3 ， z z 0 2 ) 我们所讨论的加权复合算子将复合算子的 研究和乘子问题结合在一起进行讨论，它的研究结果既可以应用于乘子问题 的讨论，也可以用于对复合算子进行探讨本文主要讨论的是加权复合算子 的有界性和紧性 对于b l o c h 空间上的复合算子，在单位圆盘d 的情形，m a d i g a n 祁 m a t h e s o n 在文 m m 9 5 】中讨论了b l o c h 空间上的复合算子的有界性和紧性， 他们证明了c ；：b ( d ) 一b ( d ) 总是有界的，q ：岛( d ) _ b o ( d ) 有界的 充分必要条件是妒b o ( d ) 同时，他们还证明了 1 一l ，1 2 g ：8 ( d ) - - 4 召( d ) 紧错l 业黔。亡荫郊坝z ) f = o ， 1 一l ，1 2 c v ：b o ( d ) _ 玩( d ) 紧# = i ! m 1f 瑞i ( z ) l = 0 200 1 年，o h n o 和z h a o 在【o z 0 1 中讨论了加权复合算子 。 在b ( d ) 和岛( d ) 上的有界性和紧性，得到了一些充分必要条件，而文献 【x i a 0 0 1 考虑了在b l o c h 型空间之间的复合算子c 0 的性质另外，文献 f z h 0 3 a 在单复变数的b l o c h 型空间上讨论了加权复合算子的问题在多复 变数的情形，文【s l 0 1 研究了有界齐性域和单位球上b l o c h 空间的复合算子 。的性质，【z s 0 1 a ， z s 0 1 b 和 z s 0 3 】中对多圆柱上的b l o c h 空间的复合算 子巴进行了讨论，刻画了巳的有界性和紧性 对于多圆柱上的b l o c h 型空间，文【z h 0 3 c 】刻画了0 p 1 时张删在 伊( d “) 上的有界性以及p = 1 时w ，在b p ( d “) 上的紧性，同时还给出了 在其它情形下的一些充分条件或必要条件 我们对单位多圆柱上的b l o c h 型空间之间的加权复合算子进行了全面讨 论，得到了一系列比较系统和完整的结果给出了当o 芦 o 。时，在不 同的p b l o c h 空间舻( d “) ，小p - b l o c h 空间瑶( d ”) 及小p - b l o c h + ( p 0 ) 空间张( d ”) 之间，- ，有界和紧的充分必要条件，推广或改进了单位圆 盘( m m 9 5 ， o z m ， x i a 0 0 1 ，【z h 0 3 a 】) 和多圆柱上( z s 0 1 a ，【z s 0 3 ， z h 0 3 c ， 【z z 0 2 1 ) 已知的一些结论，并使许多已知结果在形式上得到统一 我们证明了：对于妒h ( d “) ，l p h ( d “，d “) ， 8 综述 w p ，t ：伊( d “) _ + 廖4 ( d “) ( o p ，q ) 有界的充要条件是 卿s u p 。薹”9 i 鼬i g 加脚， 并且 器熹篙糯 妒( z ) 警( z ) i o 。 p ，t ：扩( d “) 一9 4 ( d ”) ( 1 p o o ，0sg o 。) 紧的充要条件是 吣m l i m 。( 1 一i z j n 叫尝( 圳g p ( 比) ) = o ， 出 塞燃m z ) 秘， 和妒b 。( d “) ，妒妒b 。( d ”) ，七= 1 ，2 ，n 同时成立以及 w 名，口：b p ( d “) _ 伊( d “) ( o p 1 ，0 q ) 紧的充要条件是 1 ，糠。妻誊揣篱，急，m 并且砂b 。( d ”) ，咖妒女召4 ( d “) ，= 1 ，2 ，n 同时，给出了算子1 阿名，口：舀8 ( d “) - 瑶( d ”) 和1 阡名，：b ( d ”) _ + 娣+ ( d “) 有界性和紧性的刻画作为应用，得到了一些关于乘子的有趣结论 根据加权复合算子有界和紧的等价条件，可以方便地举出这样的实例： ( 1 ) 阿名，十是有界算子，而复合算子。不是有界的； ( 2 ) w j ，口不是有界算子，但。是有界算子； ( 3 ) w j p 是紧算子，但乘积算子矾，和c ；不是紧算子 见倒4 3 1 ，例4 3 2 和例4 3 3 ，这说明加权复合算予与点乘子和通常的复合 算子在性质上存在差异 另外，我们还讨论了单位球上不同h a r d y 空间及不同b e r g m a n 空间之 间的加权复合算子问题，利用c a r l e s o n 型测度，给出了加权复合算子有界或 紧的等价条件对于w j 口：h 1 ( 晶) - 日1 ( 风) 和i ，十：e ( 巩) i 职( b 。) ， 我们发现w 名，口是紧算子等价于它是弱紧的 第一章几个加权全纯函数空间 在这一章中，我们考虑多复变数中的几个加权函数空间主要内容分为