（基础数学专业论文）亚纯函数正规族与唯一性的若干结果.pdf

攘要 本文主要研究了弧纯函数的派规族及唯一性理论。它们都是复分析中重 要的研究课题。国内外许多学者辩此作出了大爨卓有成效的研究工作。在前 言孛，旋襄黠亚缝溺数魏歪簌族难一犍豹笈溪鹜景菝及这领域熬一些戮究 成果作了综述。全文菇分三章 前富部分我们簿零介绍了戴纯函数的正栽族及唯一性壤论的起源。发屣 过程帮些重要结荣。 畿第一章，我们给出了本文所须的基础知识；亚纯函数值分布理论方面 的基破知识及常用记号，以及正援族与唯一性的一些基本概念，记号以及一 些基零结莱。 雀第二章，我们讨论了亚纯函数的几个藏规定则 巍第三章，我们讨论了亚缝糯数凡个关- = g r o s s 闯题韵雅一往闯题。 关键谢；亚纯函数，正规族，亏纛，微分多项戏，分担值集，唯一性。 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，w es t u d yn o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s so fr n e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n db o t ho ft h e ma r ei m p o r t a n ts u b j e c t si nc o m p l e xa n a l y s i s m u c hw o r k h a sb e e nt a k e no i lt h i si s s u e i np r e f a c e , w eg i v eam v i e wa b o u tt h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n do f n o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s sa n da c h i e v e m e n t sr e s e a r c h e di nt h e s e f i e i d s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e g m e n t s f i r s t l y , t h e r ei st h ep r e f e r e n c e ，i ts h o w st h eo n g i n a l ，p r o c e s so f n o r m a lf a m i l i e s a n d u n i q u e n e s so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n ds o m e t h e i ri m p o r t a n tr e s u l t s i nc h a r p m r l ，w ew i l lg i v es o m eu s u a ln o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t si n v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h et h e o r yo f n o r m a l i t ya n d u n i q u e n e s s i nc h a r p t e r 2 ，w ew i l ld i s c u s ss o m en o r m a l p r i n c i p l e so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i nc h a r p t e r 3 ，w ew i l ld i s c u s st h eu n i q u e n e s so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc o n c e l l l - i n gg r o s sp r o b l e m k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，n o r m a lf a m i l i e s ，d e f i c i e n tv a l u e ，d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s ，s h a r i n gs e t , u n i q u e n e s s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版： 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 雕昌 藏舰族理论是复分析的一个煎耍组成部分。例如复动力系统就以它作为 一个嫩基本的概念。芷规族的概念是由p m o n t e | 在上世纪：十年代引进的。 缝把爨窍菜耱捌紧缝矮豹函数羧豫楚歪筑族，势建立了m o n 耋e l 定翻，甏燕莲 域上内闭一致有界的函数簇在该区域上是正规的。 接着，f m a r 雌m o n t e l 定则的基础上建立了一个著名的判断函数族在区 域上怒褥正规的充疆条件p m a r t y 定则；函数族在区域上或规的充要条传是 函数羧豹球瑟导数糍该嚣蠛上蠹瓣一致有赛。玄藏为久餐疑龋丞数蓑楚答正 规的莆选工具。 另一方面，p m o n t e l 利用模黼数建立了一个基本的芷规定则，即 ，) 是 区域d 上全纯函数羧，若函数族 ， 中每一个黼数兵2 ) 在区域d 内满足，( z ) 0 ，l ，粼族 ， 在区域d 蠹歪矮。该正魏定弱怒濑数族静正麓缝蠢丞鼗羧熬取 值紧密地联系在怒 n e v a n l i n n a 值分布理论的产生又促进了芷舰族理论的深入发展，它在证 明正娥定则时往往怒着关键作瘸。c 。m i r a n 救蓠先利用n c w a n l i n n a ：t 点分布壤论 证实7 ：若全缝菡数簇在区域上一致有，馥歹 ) l 裂族纛该区域上萎媲， 即m i r a n d a 正规定则。该正规定则的重要意义在于它把函数族的正规性和函数 族导数的取值联系起来，从而开辟了正规族理论的新的研究领域，1 9 7 8 年顾 永兴撼m i r a n d a 正规定则推广至溉纯函数情形，郯著亚纯函数族在区域上一致 有，0 ，f c k ) l 翊鹚数蔟在该嚣域上歪筑，入 j 甏宅稍台称为( 沁m i r a n d a 正 规定则。随后人们彼此基础上进行研究，得到了g u - m i r a n d a 正规定则的许多 改进形式。 1 9 9 2 年，w s c h i c h 善先发现? 分瞧毽与蠢艇族静联系势褥到：若鼗缝函 数族农区域土一致分缒三个判粼豹复数，鬟l j 溺数族在该区域上正魏。髓藤许 多学者在这方面取得了丰富的结聚 关于正规族的研究，大都魑按照b l o c h 法则的启示进行的，b l o c h 淀意 戮，皴莱复平蘑上的驻缝函数羧满是菜些条纷溉霉戳退纯为零数，那么巍区 域土翔果函数族一致满是这些条释嚣重函数族在该区域上应该是正规的。这个 法则擞然在一般意义下是不准确的，但人们述是往往根据这个法则去猜测证 明新的正规定则并取得了许多成果 蔫矗 在黼数族正规性的判定上，很长一段时间以来都是采用计算的方法即通 过计算黼数族的球藤母数在区域上是否内闭一致有界来实现的。直到以色列 黎学象z 8 淄鞠撵窭z a l c m a u i 3 | 骥# 絮要丞数簇不正蔑，群么裁霹竣褒簇丞 数族基础上构造一列黼数内闭一数收敛到复平蕊上莱个非常数亚纯函数，这 样就可以用反证法采研究一些正觌族问题。庞学诚对该定理作了重要推广使 它可以逡用到导数上来。 臻一经理论夔蔻复势辑豹一令霪要缀戒都努。主毽纪= 牛每戎，芬兰数 学家i l n e v a n l i n n a g j 粥他本人创立值分布理论歼始了这一领域的研究并取得 了一系列研究成果。他创立的n e v a l i n n a 五值定理和n e v a l i n n a 四值定理是遨一 研究领域的经典结聚，他证明了磁个亚纯函数之同的关系w 由其5 个i m 公荚 蓬或4 + c m 公共焦确定。 自从五值定理和四值定理建藏以后，人们魏开始寻求耀较少的条件米确 定函数间的关系，例如附加某些条件后，两个函数之间的关系相应地就脊可 能p a 3 个或2 个甚至1 个公共值的原象集来确定。 熬箍获三手年季毪鞠五十年谯巾麓，这方藿熬磅究誓对娥鼍：箨滞状态。 六十年代f g r o s s 以公共值集代替公共值避杼研究，这种新的观点的提出 再次引起了人们对这一研究领域的强烈兴趣。从此唯一性联论的研究又活跃 了起来。f g r o s s ，g u n d e r s e n ，纹淡勋等人在这一方霭取得了令世人注曩的成 栗。虽然其有公共镶榘豹亚筑躐数难一往翅嚣怒其有公共穰豹亚筑丞数濮一 性问题的推广，但魑这类问题处理起来难度就太大增加了，对于一般类擞的 公共值集很难确定弧纯函数之间的关系。 1 9 7 6 年g r o s s i 是爨了下列著名趣题：能谬找到嚣个( 蔟至一个媾黻集 台g l ，2 ) 使褥对任俺一对舔鬻数豹整函数，移譬，当鼠是, g 懿公多芝缱 集时必肖- - - g ，如聚这个问题的答案是肯定的，那么这样的集合必须黉有 多大。该问题引起了许多人的兴趣并取得了许多深刻的结果。仪洪勋，方明 亮徐万松等人分裂独立遗解决了逡个阚题。 箕中关于分撞今有限公癸德集合豹难褴理论研究，入枢一童巍罨 找元索个数比较少的u r s e 和u r s m ，许多人对此进行了研究并取得了很多 丰富的结果，然而对予u r s e 和u p s m 中元素个数最少的个数究竟是多少目 兹还尚冤定论。经邈谗多人的不麟努力掇索，1 9 9 8 年，c m n t e rf r a n k 和m a r t i n r e i n d e r s 我虱了个懿有ll 令元索豹u r s m 。 本义利用值分布理论进一步研究了亚纯函数的正规定则和g r o s s f 司题。推 广和改溅了前人的一魑结果。全义装分三章 翦矗 在第一章，我们给出了本文所须的基础知识：亚纯函数值分布理论方面 的基础知识及常用记号，以及正规族与唯一性理论的一些蒸本概念，记号以 及基零缭采。 在第二章，我们讨论了亚纯瀚数的几个芷规定则，改进了林伟川和仪浃 勋，徐焱和方明亮，黄小军和顾永兴，庞学诚等人的有关结果。 在第三章，讨论了距纯函数几个关于g l o s s 阁题鲍唯一饿阀题，改进? 方 明亮和徐万裣，方弼亮窝华歃霉，徐焱，侥悫铃等人静有美结莱。 第1 章基础翔识 本章我们给出了本文中要用到的一些基础知识；- 诬纯函数值分布理论的 一些基础知识和正规族与唯一幢瑷论的一些基零概念和基本结栗。 1 1 亚纯溺数的值分布理论 弧纯函数的值分布理论是由p i c a r d ，b o r e l 。v a l i r o n ，n c v a l i n n a ，a h l f o m 等 数学家建立共发震怒来戆，是土令蹩纪数学镞域孛最受杰羡懿藏藏之一。囊 从上个世纪2 0 代越，值分布理论就成了研究驻规族最为黧瑟的工具。潺里 我们将简单地介绍蝗值分布理- 论的基本概念记号以及一些綦本结果，详细 内容舆w k h a y m a n 2 6 或杨乐 1 3 】 我们用咒机却及n ( r ，) 分别誉示在圆盘0 ：俐r 内的零点个数及极点 个数( 按重数计算) f f l a ( r ，) 表示不考虑重点的极点个数( 一个重极点只算 作一个极点) 对应域，我们可以怒义 ，) _ ( r 击) = r 亟掣出艄志) 1 0 9 ， 肛融万1 = 厂监燃t毋榔击陋 我们胤( r ，) ，丙( r ，) 表示( r ，) ，( r ，o o ，) 等等 我们定义 m 仗万1 ) 一去z 斯鲥灏b 搿 其中l o g + z = n m a l o g z ，o ) 我裁定义n 黝l 雠征整数? 溆f ) tn ( r , f ) + m 文弗。下藿我裁绦 出m ( r ，) 和t ( r ，) 的一些基本性质。 ppp p t ( r ，凡) s t ( r ，厶) ，丁( r 厶) s t ( r ) + l o g p 口= lv f f i lp # l口1 t ( r ，) 是r 的非减函数，也是l o g r 的凸函数。 设，( ? ) 于开平面亚纯，我们定义，( z ) 的级a 为2 1 ( r ，) 的级 a ：垫! 鱼盟 r 一l o g r 设，( 名) 于开平面亚纯，口为任意一复数。定义口的亏量 ：啦= l - l i 搿锗m 肛卜l i i 1 8 u p 甜 定理1 1 1 ( 第一基本定理) 设f ( z ) 是l zj n ( o rs + o o ) 内的亚纯函数，则对任意的有穷复数a 和0 r 冗，有 吼万1 ) = ? ( r ，) + l o g c r i + e ( n ，r ) 其中c r 是7 与在原点的展开式的第一个非零系数，而且 e ( a ，r ) ls l o g + | n | + l 0 9 2 定理1 1 2 ( 第二基本定理) 设，( z ) 是h n ( o r + ) 内的亚纯函数，q 0 = 1 口) 为g ( 口3 ) 个互 相判别的复数( 有穷或无穷) ，若，( o ) 0 ，0 0 ，d j 0 = l 口) 及，( o ) 0 ，则 ( r ，击) 一l ( r ) + s ( r ，) ，) s ( r ，击) 一l ( r ) + s ( r ，) ，= j 。 pg b+ 凡p m ，耐 一 凡 ，嘲 p m 厶p m ，嘲 一 厶 ， l p m 鬻l 鼙墼 娃两簪 其中 m ( r ) = 2 n ( r , 力一( r ，) + n ( r ，去) j 余磺5 ( r ，) 具有翔下住质： ( 1 ) 当，( ：) 是有穷级时s ( r ，) 。o l o g r ( 2 ) 巍，( z ) 有无穷级时s ( r f ) 一o l o g ( r t ( r , ，) ) 至多豫去一令线毪测发爽有穷熬祭会。 定璎1 1 3 ( 对数姆数引理) 设，( 2 ) 是 r ( o r + o o ) 内的亚纯函数，褥g f ( o ) 0 ，o o ，则当0 r 尹 o 都存在正整数溉。，使狠嬲竹 艮时对任意z e 挪 毫x ( 磊( z ) 歹f 。) ) 其中g 怒在复平面c 上非常数的诬纯函数，它的零点级数黧少是，而鼠满 足g 书( ) g 襻( o ) = a + l 。并且口的级不超过2 。 下覆还有两个谯溉筑族孛经常耀戮静定毽。 定瑷1 2 5 ( 儒歇建理) 设c 是一条复围线，涵数，( z ) 和妒( 2 ) 满足条件： ( 1 ) 玄髓在。蠹帮矮接且连续劐秽 ( 2 ) 寝c 上i f ( z ) i 妒( z ) | 则函数f ( z ) + 妒( z ) 和妒( 。) 在c 内部肖同样多的零点即( ，+ 鼽0 ) = 定壤1 2 。6 ( h u r w i t z 定鹫 设矗( g ) 是区域d 内解析函数列，它在d 的紧墩子集内一致收敛到一个非 常数的解析函数，( # ) 若对某个劫d ：有f ( z o ) = o 则对充分小的r o 存 一8 一 辩l 牵垫滩秘瑷 在n 一( r ) ，使得对所有礼 n ，矗( z ) 和，( 。) 巍d ，r ) 内有相同的零点数( 零 点按重数计算) 。 1 3 唯一性 凌本苇孛我钓黪薅萃奔绍噻一经懿基本羧念渡及一些蒺本缝莱。 定义1 3 1 设f ，g 是非常数的溉纯函数n 是复数，若，一8 与g 一口的= 攀点相 同( 计鬟数) ，则称n 楚，g 的c m 公共值，若，一。与擘一口的零点相同( 不计重 羧 ，赠称8 是f , g 豹1 m 公共篷。 定义1 3 2 对子爿# 常数的亚纯函数，和集合羽琵们定义集念层 ，) ，廖，) g 缓f ；。魄e s 0 | 歹力一8 = o 在集合中m 重零点计算轨次。 妻( s ，f ) 一u 蚝s ：| 歹( 名) 一8 = o 在集合中所有零点只计算1 次。 窳义l ，3 3 集会s 懿票对镁纛一霹雾鬻数受纯錾数五窖蘩美蠢链 质：群( 墨f ) = 暑 g ) 蕴涵f 兰g ，剡称集合s 为u r s m 。 同样地集合s 如果对任徽一对非常数全纯函数f ，g 都具有性 质：e ( s , f ) = 蜀 s 黟) 蕴涵，兰夕t 则称集舍s 为u r s e 草在1 9 2 6 年n 删i i 蚴就利用他本人创立值分布理论碰明了著名韵五假定 理与翻值定理，开始了亚纯函数噍一性理论这一领域的研究 定瑗l 。3 。1 ( n e v a l i l m a ：f i 蓬定瀵) 设贰z ) 岛口( z ) 是两个非常数的亚纯函数，口j u 一1 5 ) 是赢相判别的复数 如果0 = 1 5 ) 悬，( z ) 与9 ( ：) 的i m 公共值，则，暑g 。 定理1 3 2 ( n e v a l i n n a l 匹l 值定理1 设，( z ) 与9 ( z ) 是两个非常数的亚纯函数，q 0 = 1 4 ) 是互相判别的复数。 如果叼0 = 1 4 ) 是，( ：) 与9 ( 2 ) 的c m 公共值。如果，g ，则，= t ( 9 ) 。其 中t 是一分式线性变换，且保持q 0 = 1 4 ) 中两值不变，将另外两值互 调，而且互调的两值都是，( z ) 与夕( 。) 的崩。盯d 例外值。 唯一性的研究目前已经取得了许多重要结果，本文主要研究了与g r o s sr 习 题有关的唯一性问题。 第2 章亚纯函数的几个正规定则 2 1 引言与主要结果 在1 9 9 5 年，b e t g w e i l e r 6 得到如下结果： 定理a 假设，是复平面上有限级的超越亚纯函数以及n 1 ，1 - 4 - ；1 ，如 果，( z ) ，”( z ) 一a ( f ( ：) ) 2 0 ，则，( z ) = e x p ( o z + p ) ，其中a ，卢c 在2 0 0 5 年，林伟) j l _ 乖n r 洪勋【l 】去掉了定理a 中有限级这个条件得到如下 结果： 定理b 设，是复平面上的亚纯函数以及o 1 ，1 士磊1 ，这里n n ，如 果f ( z ) ”( 2 ) 一a ( f 7 ( 名) ) 2 0 ，则，有如下形式之一： ( i ) f ( z ) 一e x p ( o t z + p ) ( t o f ( z ) = ( q z + p ) ( i i i ) f = 赤 其中n n ，o z 0 ，卢c 。 同时还得到定理b 相应的正规定则： 定理c 设知 ，) 是单位圆盘上的亚纯函数族以及a 1 ，14 - ：，这 里n n ，如果在上，对每个f ，有，( z ) ，( 名) 一o ( 厂( z ) ) 2 0 。 则函数族 手：，) 在上正规。 本文对定理c 条件，( z ) ，( ：) 一a ( f ( z ) ) 2 o 作了些减弱得到如下结果： 定理2 1 设，- ，) 是单位圆盘上的亚纯函数族及口1 ，14 - 元1 ，l g n 。 如果在上对每个，厂有：，( z ) ，( z ) 一口( ，( z ) ) 2 o 和，( 。) ，( z ) 一口( ，( z ) ) 2 = 0 爿，( 。) = 0 ，则函数族 孚：，) 在上正规。 我们利用定理2 1 得到了下面定理2 2 ，从而改进了定理b 。 定理2 2 设，是复平面上的亚纯函数以及o 1 ，14 - ；1 ，这里竹n ，满 足，( 。) ，”z ) 一a ( f 7 ( z ) ) 2 o 幂4 1 f ( z ) f ”( z ) 一a c f l c z ) ) 2 = 0 = 辛，( z ) = 0 ，则，有 如下形式之一： ( 1 ) ，( z ) = e x p ( + 所 ( 2 ) ，( o ) = ( o t z + p ) 妇 其中7 , n ，o t o ，卢c 。 1 9 7 9 年，顾永兴【5 证明t h a y m a n 提k ：) 的一个著名猜测并得到下面的重要 结果。 定理d 设，是区域d 上的一亚纯函数族族，七是一正整数，如果 ：e e di - - ，对每个，芦，w f 0 及，( 的l ，则，在区域d 上正规 近来徐焱和方明亮 2 】把定理d 作了改进，他们允许，有零点，但在这些 零点处增加了限制条件从而得到了下面的更为一般的形式： 定理e 设k 是一正整数( 3 ) ，k 是一正数，f 是区域d 上：的一亚纯函数 族族，口( 。) 是区域d 上的不取零值的解析函数。如果在d _ h ，对每个f ， 有，零点的级数至少是七以及满足下列条件： ( a ) ，【姊( z ) a ( z ) f ( z ) = 0 = 亭0 j ，【k ) ( z ) i k 则，在区域d 上正规 同样地我们也可以采取允许有零点。但在这些零点处加限制条件的方法 对定理e 中条件( a ) ，( ) ( 2 ) a ( z ) 作些相应的减弱。我们得到下面的定理2 3 。 定理2 3 设南是正整数( 南3 ) ，k ，a 是正数，是区域d 上的一亚纯函 数族，o ( 2 ) 是区域d 上不取零值的解析函数如果在d 上，对每个， 有，零点的级数至少是七以及满足下列条件： 第2 章我纯龋敬的凭争最畿定剜 ( a ) ，( ) ( z ) = 口( # ) 商i f c z ) l a 嘞f ( z ) = 0 = 垮0 l ，( ) ( 。) l k 弱，褒di - 歪燕。 在2 0 0 5 年，黄小军和顾永兴f 2 5 】得到如下结果： 京谨e 黼送域d 土豹驻纯丞数竣，j c 重w ，豹零煮豹级 数后飘，2 f c ) l ，则厂在区域d 上正规。 簸嬲文章孛黪诞臻鞋：较复杂，焉显在文孛最蓐蘩分健织霉囊 “令岔= 善淞，p d e g ( p ) ，尊一d e g ( q ) 卿存在矗( o 篌得矿 ( ) 窖鳓( = 1 + 详耘易得口2 c o g c “) ( ) 的分子分母的次数蓑为3 ( g p ) 一知” 这是不正确的，因为这里的9 2 心) 夕( ) ( ( ) 的分子分母的次数差为不一定 是3 ( 譬一瘀一k 。 零文回避了这个问题并给出了一个稍微简单点的证甥，并且这种证明 方法对照一般的形式，m f c ) ( m 2 ) 也是适用的，我们得到下面的定理2 4 。 定瑗2 4 。设芦怒区域。戆鼗缝蕊数蔟，辫 只歹懿零点瓣级数蠢 且，”，( 。) l ( m 2 ) ，则芦在区域d 正规。 农2 0 0 2 年庞擎诚 2 露簿到了下薅这个定理， 寇理g 设芦避单位圆盘上的贬纯函数族，0 1 ，现，a 3 为三个互相判别的 有穷复数。如果在j 二对v ，宵廖( ，0 4 ) = 磨( ，啦) ，则芦襁上正规。 本文对定理g 遴行了改进，怒8 ，b ，c 为三令蕊耜判黧有穷复数替换藏一般 的亚纯函数口( z ) ，6 ( ，c ( # ) 情形。我们得到定理2 5 忽瑗2 王激嚣域口上懿一耍纯爱数羧，吐涝，联砖，岩) 是区域p 上黪 亚缝函数且满足口( 。) 6 ( ：) e ( = 天6 ( # ) ：) ，和) 8 z ) ，扩( z ) 5 ( 。) ，e ( z ) c ( z ) 如果对每个f 毫芦在区域d 上有：f ( z ) = a ( z ) f t ( z ) 一a ( z ) ，( 力； 6 ( z ) 姊，7z ) = 6 ( 2 ) ，f ( z ) = c ( z ) 蝴f t ( = ) 二c ( 2 ) ，则，在区域d 上正规。 2 2 一些雩l 壤 为了证明以上定理，我们需鞭下面的这些引理。 孳i 璎2 。l 【4 】设a 嚣和是正数。，一 ， 是区域d 上鲍擞纯两数族，满足 下列条箨： 。 ( 1 ) ，心) 1 ( 2 ) f ( z ) e 0 岭0 l ，( 名) i b ) 霰设是d 童豹霪盘以及歹弯m 2 个零点麓，勰z m 毒a ，瓣 有| 馨l f c z j ) 一l | f ， 则，在区域d 土正规。 孳l 矮2 2 2 3 浚歹( 。) = a n z n + a n _ l 扩一1 + + 怒+ 糍，这整镪，8 l 散蹙 满足a n o 的常数。p ( z ) ，g ( ；) 是磁个相互紊韵多项式e c d e g p ( z ) d e g q ( z ) ，南 是一越凝数。若，) 1 ，则，( 名) m 击+ + 伽+ 小，其中口( o ) ，6 为 常数，m 是一正整数 ， 零l 糯2 3 嘲谶，是有限缓的超越亚纯函数。它零点缀数( 至少) 是奄，a 是 一正数。若当，( z ) 一0 时有i ，( ) ( z ) isa ，则对每个z ，lsz 七，( ) ( ：) 取任 何非零复数无限多次。 弓i 溪2 4 i l 】设 ) 是一整数序列，d 1 ，1 - 4 - 石1 ，这里”n ，则存禚正 数使得对每个0 t ，l 都满足i o 。( o 一1 ) 一1 l e 零l 瑗2 5 麓，浚，是复平瑟e 上有羧缓豹驻纯丞数，毒3 是一藏整 数，肖燕一正数，假设，的零点级数至少是南，姐( z ) = 0 蛳l ，( 妨 k ， 3 沣f lf ( ( z ) 1 ，则，( z ) 有如下形式； ( 1 ) ，0 ) ；a ( z 一圆，球，芦破l 1 2 ) ，( z ) = 霹l z - 专e = l f i t + 一l 这里c ，c l 是两个互相剡别的复数。 设，为非常数的亚纯函数，我们称m 【，】= ，n o ( ，) ( ，( ) ) m 为，的微分 单项式，其中n o ，n 1 n k 为非负整数。称1 i f = k i 一1n j 为m f 的次数。进 一步假设m j f f f g f f 3 c j 微分单项式，其次数分别为讹，哟为满足t ( r ，a a z ) ) = s ( r ，) 的亚纯函数0 1 n ) 则称q f l 。套1 叼( ：) 坞为，的微 分多项式，其次数为= m a x l ， 。7 m j 。如果q 【，】的系数a j c z ) 仅满 足m ( r q ( 。) ) = s ( r ，) ，则称q 【，】为，的拟微分多项式。 引理2 6 【2 4 】设，为非常数亚纯函数，q , f l ，q 2 【，】为，的拟微分多 项式其中q 2 i f 0 ，礼为正整数，f n q l f 】= q 2 l f l 如果惋n ， 贝l j m ( r ，q l i f ) = s ( r ，) ，其中。是q 2 的次数。 引理2 7 设f ：n t j 非常数亚纯函数，的零点的级数k ，则 t ( r ，) 鬲3 r ( “n 7 1 ) + 景霄( r ，南) + s ( r ，) 证令： f = f , - ，( ) 一1( 2 2 1 ) 则f 不为常数。( 否则f m f ( k ) = c ，若c = o ，则， ) 一0 ，与，的零点的级数 南矛盾。若c o 则，o 及孚= 7 ；知即( m + 1 ) m ( r ， ) = m ( r ，孚) = s ( r ，) ， t ( r ) = s ( r ，) 矛盾。) 由( 2 2 1 ) 得 丁( r f ) = 0 ( t ( r ，) ) ( 2 2 2 ) 令 ，“口= 一二- f ( 2 2 3 ) 其中 8 ，( ”+ 罕卅； ( 2 2 4 ) 由f 不为常数得a 0 ，此时由( 2 2 2 ) - ( 2 2 3 ) 式及引理2 6 得 r e ( r , a ) = s ( r f )( 2 2 5 槊2 苹亚纯晒数f l 勺几个正规定刚 当翔为，的重数为q 的极点时，由( 2 2 3 ) 式得z o 为a 的重数为m 口一1 的零点。故 有 o1o ( r ，) sr a 6n ( r , a ) 素( r ，a ) + s ( r ，)( 2 2 6 ) 当翔为，的重数为g k + 1 的零点时，z o 为f 一尸，( 1 ) + r u f f f ( ) 重数为 ( m + 1 ) q k 一1 的零点，由( 2 2 3 ) 式得口( 幻) o o ，由( 2 2 4 ) 式得 ( r ，。) 徘) ( r ，7 1 ) + 贾( r ，f 1 ) ( 2 2 7 ) 由( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 式得 吼a ) 粕( r ，7 1 ) + 盹f 1 ) + s ( r ，) ( 2 2 8 ) 由( 2 2 3 ) 和( 2 2 8 ) 式得 舢( r ，) = m ( r ，：1 7 f ) 茎鬻富：未曾 ， r ( r ，n ) + s ( r ，) ”。 取k ) ( r ，) + ( r ，刍) + s ( r ，) 由( 2 2 6 ) 一( 2 2 7 ) 式得 ( r ，) 鬲2 ( - 砷7 1 ) + 熹霄( r ，f 1 ) + s ( r ，) ( 2 2 1 。) 由( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 式得 t ( r ，) s 兰瓤”( r ；) + 熹霄( r ，7 ；两1 ) + s ( r ，) 弓l 理2 7 得证。 定理2 1 的证明 2 3 定理的证明 我们定义_ l ( z ) ：= 鬻南，则我们只须证明咒：= 埘，在上正 规，从 ( 。) 的定义可以得到： 比，= 帮+ 首先，如果h ( e ) = 0 ，则，( ( ) = 0 或0 0 。我们分两种情况： 、情形1 1 如果( 是，的n 级零点，则( ( ) = 击元1 情形1 2 如果( 是，的m 级极点，则( ( ) = i = r 1 鬲1 因此，当h ( ( ) = o 时，有0 l ( e ) i i 击| 第二，我们预测 k ) 1 假如x 使得( e ) = 1 ，则 ( o t ；竺2 孚帮= 。 从情形1 2 , - i 得，( ( ) o o ，故n ，( e ) 2 一，( e ) ，( ( ) 一0 ，由条件这就意味 着，7 ( l ：， 这与妒榉( o ) = k c g + 1 ) + l 矛膳，散g 辑) ( o 一8 ( 翔) 0 在白附近，我们 峦珏薛硝捏理餐 破( ( ) 一口( + 雕( ) 一窖姊( e ) 一口( 瑚 存在点歹0 矗，厶一c o 使得对充分犬的n 有： 静矗) 一8 ( 锄+ 触靠) 一0 这样 毋( 瓠+ 舰厶) 一+ 鳓岛) = 0 由条徉( 鑫) 得 | ( + 加白) j a 这样德 孙( 矗) 一是学一o o 即g ( 岛) ；0 0 矛盾。 博形3 2 若p ( 。) ( ) 8 涵) ，我假可以假定8 ( 铘) = 1 ，娥魄弓l 理2 6 得9 蠢躲 下形式之一2 ( 1 ) a 一芦) - ，a 剐l ，( 2 ) 击铧，c c ， 藏祷形3 。l 一样我稍可捧除裁静 譬形，议考虑嚣考。瓣岔哭有零点c i 鬟 数庇+ l 这与如只有黛数是k 的零点矛盾 定理2 3 得证。 定壤2 4 靛谨鞠， 假设，在区域d 不正规，不妨在翔处不芷规，则由z a l c 黼n 引理得存在点 列d ，一匈及正数列加一o 及函数列厶，使得按球面距离 鲰( e ) ：壶学一g ( e ) ( 2 3 1 ) 群 其中口= 石i 以及9 为非常数亚纯函数，9 的零点的级数七由( 2 3 1 ) 式得 鲰“( ) 鼽( 耐( ( ) 一1 = 厶“( + 加白) 厶( ) ( + 耽厶) 一1 0 ( 2 3 2 ) m h u r w i t z 定理得9 ”g ( k ) 1 或9 “9 ( 砷暑1 由引理2 7 的证明知矿夕( ) 三1 是不 可能的。故g m g ( 。) 1 ( 1 ) 当七= 1 时，i 虫m u e s 2 0 的结果可排除g 超越若g 为有理函数满 足g “矿l ，则g 必有形式1 + 南即分子分母次数一样，我们比较一 下分子分母次数的次数差不可能是零，因此排除9 为有理函数 ( 2 ) 当k 2 时，由引理2 7 得 t ( g g ) s 熹取“r ；1 ) + 熹霄r 哥季每j ) + s ( r ，g ) 丽3t ( r ，g ) + s ( r ，g ) 这得到是g 常数矛盾。故尸在区域d i e 规。 定理2 4 得证。 ， 定理2 5 的证明 假设，在翔d 处不正规，由引z a l c m 觚引理得存在点列d ，一 z o 。正数列砌一0 以及函数列 ，满足按照球面距离内闭一致收敛： = 掣一 其中孽是复平面c 上的非常数亚纯函数我们首先证明9 有性质 g ( e ) = 口( 2 b ) = = 争g l ( e ) = o 事实上设( o 是9 ( o 一口( 句) 的零点。则由h 唧i 乜定理得存在点列厶，厶一白， 使得 g c 矗) ；吐( 巍+ 鲰文) 对充分大藏立。踟条俘，( 。) 一a ( z ) 争，( 名) ；砖簿 矗( + 脚矗) = o ( + 加矗) 因魏 。 蟊( 白) = 脚丘( + m 矗) = 加8 ( + 加白) 一o m o o ) 即孽，( c b ) ；o ，这样我们得至蝤( 0 一。( 硒) = = 矿( e ) = 0 瓣糕霹 瓢( o 兰g k 一白| 5 瓣蠢 ( e ) o ，矿( ) 0 尊( ) ( e ) 0 塞髓漱定毽褥，霹炎努丈豹嚣，袭o k 一螽| 6 7 2 主： 鲰( e ) 一o ( 钿+ 加) 骞是令零点甜重囊埝。在这些零熹楚窍 瓯( ( ) 一鲰( + 鳓0 = 加o ( 钿+ 肌e ) 一肌( + 加e ) i i 加( o ( + 肌( ) 一一( + e ) ) o 因此这魏零点都是萃的。记为& 1 ，g 幡蠡墙它们是互不耜潮豹。帮 鼽( 锄) 一口( + 陬鲕) 一0 ，j ；1 ，2 七 辫2 章薮纯螽蔹鹩，l 争正筏定剽 又因为 磊( 锄) 一鲰8 ( + 加如) 一。 藏 锄一白 由于在0 岂和e ( o 。，g ) 甓的非常数亚纯醋数。如果满足四 ，) = e ( s ，9 ) ，则，拦g 本文对定理a 祭释e ( o o ，霭 麓，e ( o o ，加 n 和e ( o o ，) = e ( o o ，孽) 滋行 了改进得到下面的定理3 1 和定理3 2 并且在此藻础上考虑把极点亏量换成零 点的亏激得到定理3 4 定瑷3 1 假设集合s 一 z ：，一= 1 ) 褥鼻岔是两个满 足e ( o o ，) + 0 ( o o ，尊 1 的非常数亚纯函数如果有e ，) 一 e 雪) 和e ( o o ，f ) 一霹( o o ，曲，则，蠢孽。 定理3 2 瑕设集筋一叠：一一l 搿工雪是两个满 g o ( o o ，f ) + e ( o o ，口) ；的非常数亚纯函数如果w e ( s , i ) ； 层9 ) 和摩( o o ，f ) = 嚣( o o ，9 ) ，则，舞g 定理3 4 设集合s = 。：z 7 2 6 = 1 而，g 是两个非常数亚纯函数，如 果满足e ( 只，) = e 9 ) ，豆( o o ，) = 雪( ，g ) 和e ( o ，) ，e ( 0 ，夕) ， 则，三9 2 0 0 3 年，徐焱【1 5 】找到了另外一个稍微复杂一点集合s 把定理b 中条 , f c e ( o o ，) 百1 1 ，e ( o o ，g ) 器进行了减弱得到了下面一个定理： 定理c 设，9 是两个满足e ( o o ，) + e ( o o ，夕) 2 的非常数亚纯函 数，则存在一个7 元素的集合s ，如果e ( 只，) 一e 慨g ) ，则，暑g 其 中s = z ：萼z 7 一等+ 萼= 1 ) 我们发现定理c 中的集合s = 仁：譬z 7 一等矿+ 警z 5 = 1 ) 可以换成原来 定理b 中简单一点的集合s = ：z 7 一：6 = l ，进而改进了定理b 。我们得到 定理3 3 ： 定理3 3 假设集合s = ：，一= 1 而，9 是两个满 足e ( o o ，) + e ( o o ，g ) 的非常数亚纯函数。如果e ( s ，) = e ( 最g ) ， 则，兰g 。 9 b 1 9 9 9 年仇惠铃【8 】也研究t c m 分担一个有限集合的情形并得到了下 面一个定理： 定理d 假设，g 是两个非常数的亚纯函数且满足6 ( ，) 2 ，6 ( a ，9 ) i ，6 ( ，) = 6 ( o o ，g ) = 1 。再设s = z l ( z 一口p + 6 l 如一d ) = l ，m 3 ，b 1 0 ，七 i ，6 ( o ，g ) 2 ，6 ( ，) = 6 ( o o ，9 ) = 1 是可以减弱为e ( o ，) i ，e ( a ，夕) i ，e ( o o ，) = e ( o o ，g ) = 1 的。即下面一个定理。 釜：耋翌垫璺鍪誊璧= 垒篁：迦= 鹜璧 定理3 5 假设f ，g 是两个非常数的亚纯函数且满足o c a ，) i ，o ( a ；g ) i ，e ( ，) = 9 ( o 。，g ) = 1 t 荐设s = z i ( z g p + b l ( z 一8 严一l ，m 3 ，6 l 0 ，惫 3 ， 则，兰口或，9 兰1 孳l 瑾3 。3 。设支窖鸯秀个嚣鬻数豹踅缝丞数，若宴( 1 ，f ) ； 硪l ，奶，雪( o o ，f ) = 雾( o 。，g ) 邑a o ( o o ，f ) + 3 0 ( 0 0 ，g ) + 2 毛 o ，f ) + 2 邑( o ，g ) 8 ， 则，兰g i 或f g 兰1 证令： 。 妒= 7 f 一z 两f l 一爹+ 2 鲁 凹) 设z o 是，一1 ，g 一1 的单零点，则通过计算可得妒( 知) = o t 证妒兰0 若妒o ，i 虫e ( 1 ，) = e ( 1 ，夕) ，p 二，( o o ，) = p ，( o o ，g ) 得 1 ) ( r ，7 与) = 1 ) ( r ，由) s ( r ， ) t c r , p ) - i - 0 ( 1 ) ( 3 2 2 ) ( r 妒) + s ( r ，) + s ( r ，g ) 而 州r 谫辜麓篙n o 嬲勰黑) + s ( r ，g ， 。， + i ( r ，专) +(