（基础数学专业论文）某些半群的半直积及同余.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学匣论文是本人在导师指导下进行的研究工怍及耿得的研究成 果。裾我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已。g , 7 。l a _ = 。- - 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的蜕明并表示谢意。 学位论文作者签名：弥亚另 导师签字 1 琴l 学位论文版权使用授权书 本学位埝文作者完全了解堂蕉有关保曰、使用学位论文的规定有权保留并向 国家有关部l 1 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阀。本人授权堂 整可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位沦文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 佟扛考 签字同期：2 0 0 ( 年中月加同 铆签司霉媾、 导师签字：f 列 7 、 签字f 期：2 0 0 ( 年0 月归月 山东师范大学硕士学位论文 某些半群的半直积及同余 徐亚男 f 山东师范大学数学科学学院：济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要给出了g v 一半群、g v 一逆半群、左群的n i l 一扩张的半格、右群 的n i l 一扩张的半格及矩形群的m 1 一扩张的半格的半直积的刻画，这些结果都是在 不含单位元的情况下得到的本文讨论了这些半群的半直积的封闭性与含幺半 群的情况不同的是，我们是通过半群s 和t 的子半群t 8 ( = t e l t t ) ) 来刻画 具体内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章给出了g v 半群及g v 一逆半群的半直积主要结论如下： 定理2 1 2 设s ，1 为半群，。：s _ e n d ( t ) ，s 一“( s ) 是给定的半群同态映 刺，则半直积s 。7 1 是g v 一半群的充要条件是 1 ) 对任意的e e ( s ) ，s 和丁8 均是g v 一半群，其中t 8 = 纠t t ) ： 2 1 对任意的8es ，t t ，存在m z + ，使s “m g ( s ) ，且加( “) j ( t b ( ”) 垆5 ”t t s ( 酬，其中s ley ( s ) ； 3 1 对任意的s r e g ( s ) ，t 9 1 ：若te 护15 t t ，其中s l v 0 ) ，则班lee 使t = ) 5 。钾“t 。t 定理2 2 2 设s ，丁为半群，：s - - + e n d ( t ) ：s 。( s ) 是给定的半群同态映 射，则半直积s 。t 是o v 一逆半群的充要条件是 1 ) 对任意的e e ( s ) ，s 和r 均是g v 一逆半群，其中t 8 = 护i t t ) ； 2 ) 对任意的e e ( s ) ，t t ，若u t = t ，则t 。= t j 3 ) 对任意的8 s ，t t ，存在m z + ；使8 ”船9 ( s ) ，且j ( t 4 m p “t t 5 ( 7 ”】，其中s 1 v ( s ”) ； 4 ) 对任意的s r e g ( s ) ，t t ，若tet 5 , s t 3 ”t ，其中s l v ( s ) ，则| t i 7 1 ， 使t = t ) 8 - i 圬“t s t ； 5 ) 对任意的e ，e ( s ) ，u ， t ，若u e z = u ：w ，u = w ：则存在n z + ，使 口妒，) ( n ) k “) m ) ( n ) j 山东师范大学硕士学位论文 一一 第三章给出了左群及右群的n i l 一扩张的半格的半直积主要结沦如下 定理3 1 2 设s ，t 为半群，q ：s - e n d ( 7 1 ) ，s 时。( s ) 是给定的半群同态映 射，则半直积s 。t 是左群的n i l 一扩张的半格的充要条件是 1 ) 对任意的e e ( s ) ，s 和t 。均是左群的n i l 一扩张的半格其中t e ： 妒e 丁 ； 2 ) 对任意的e f ( s ) ，f t ，若觑= t ，则t e = ， 3 ) 对任意的s s ， t t ，存在l z + ，使s “n e g ( s ) ，且州m ) 】 r e 口( t ) n ( f p ( “) j ) “5 ”t t l 。( m ) j ，其中s 1 v ( s m ) ， 4 ) 对任意的s n e 9 ( s ) ，t t ，若t 扩- 3 p - 3 t ，其中s i y ( s ) ，则3 t l t ， 使扰l t = ，且( t l t ) 5 = ( 托1 ) 8 。= 托l ； 5 ) 对任意的e ，e ( s ) ：“，u t ，若矿札= “；1 ，u = u ；则存在n z + 使 ( ，8 w 8 u ) i ( 2 ，8 ) ( “) 】= ( “，u ) 旧) ( n ) j 定理3 2 - 2 设s ，? 为半群，n ：s _ e 7 埘( 丁) ，s 卜矗( s ) 是给定的半群同态映 射，则半直积sx 。t 是右群的n i l 扩张的半格的充要条件是 1 ) 对任意的e e ( 占) ，s 和t 8 均是右群的n n 一扩张的半格其中p ： 蚓t ) ； 2 ) 对任意的s s ， z t ，存在m z + ，使扩r e 9 ( 1 5 _ ) ，且舭m ) 1 ( 州m ) p ”t t 5 ( ”1 ) j ，其中s 1 矿f 5 m ) ； 3 ) 对任意的s r e 9 ( s ) ，t e 若t t 3 l s t t ，其中s 1 v ( s ) ，则9 t 1 t ： 使t = ( 批) 3 。t i 。护t ； 4 ) 对任意的e j ，e ( s ) 、钆，口t ，若“8 钆= u ，v f v = u ，则存在n z + ，使 ( u 7 8 8 叫蛳) = u ) ) ( “” 第四章给出了矩形群的n i l 、扩张的半格的半直积主要结论如下： 定理4 1 2 设s ，2 为半群，：s _ e 7 z d 口) ，sh 。( s ) 是给定的半群同态映 射，则半直积sx 。t 是矩形群的n i l 一扩张的半格的充要条件是 1 ) 对任意的e e ( s ) ，s 和7 1 8 均是矩形群的n i l 一扩张的半格，其中t e ： f e 忙t ) ； 2 ) 对任意的s s ， f t ，存在m z + ，使s m r e 9 ( s ) ，且州m ) 1 ( 小( “) ) 3 - 5 ”t t 5 ( ”其中s 1 v ( s ”t ) ； 2 山东师范大学硕： 学位沦文 3 ) 对任意的s r e 9 ( s ) ，t t ，若t t 丁”。t ：其中乱v ( s ) ，则3 t 1 t ， 使z = t ) 5 “钟“t 5 t ； 4 ) 对任意的e ，f f ( s ) ：u ，w t ，若u 8 u = ， ， = u ，则存在n z + ，使 f u s v ) i ( e 川n ) j = f u s v ) i e ，) 【l ” 这些结果使得对某些半群的半直积的研究不再局限于含有单位元的半群范 围内因而使半直积作为研究半群的工具具有更广泛的应用性 关键词：半直积，圈积，g v 一半群，g v 一逆半群：左群的n i l 一扩张的半格： 右群的n i l 一扩张的半格，矩形群的n i l 一扩张的半格 分类号：0 1 5 27 3 山东师范大学硕士学位论文 s e m i d i r e c tp r o d u c t sa n dc o n g r u e n c e so fs o m e s e m i g r o u p s x uy a n a n i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，pr c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e ir a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s ss e m i d i r e c tp r o d u c t so f g v s e m i g r o u p sg 矿 i n v e r s es e m i g r o u p s ) as e m i l a t t i c e so fn i l e x t e n s i o n so fl e f t ( r e s pr i g h t ) g r o u p s ，as e m i l a t t i c e so fn i l e x t e n s i o n so fr e c t a n g u l a rg r o u p si ti su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ts e r e i g r o u p sh a v en 0i d e n t ic ye l e m e n t st h a tw eg e tt h e s er e s u l t sw ed e s c r i b et h ec l o s e n e s s o fs e m i d i r e c tp r o d u c t so ft h e s es e m i g r o u p s ；u n l i k et h ed i s c u s s i o n so fm o n o i d s ；w ed e s c r i b et h ep r o p e r t i e so fs e m i d i r e c tp r o d u c t si nv i r t u eo fsa n dt e , t h es u b s e m i g r o u p o ft ，n o ti nv i r t u eo fsa n dtt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ： i nc h a p t e il ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya u ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o it h e s e m i d i r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob eg v s e m i g r o u p sa n dg v i n v e r s es e m i g r o u p st h e m a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m2 1 2l e ts ；tb et w os e m i g r o u p s ，d ：s _ e n d ( t ) ，s 一( i t ( 8 ) b eag i v e n h o m o m o r p h i s m ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c t ssx 。ti sag v s e m i g r o u p si fa n do n l y i f = ( i ) f o re v e r ye 目( 9 ) ，sa n dt 8a r eg 矿一s e m i g r o u p s ，w h e r et 8 = f t e j t 丁) ； ( i i ) f o ie v e r ysc - s ，t t ，t h e r ee x i s t s 仃l z 。，s u c ht h a ts “r e g ( s ) a n d t 4 ”。) 1 ( t p ( ，n ) 】) s - s “t t s ( m ) 】, w t l c r e8 1 v ( s ，n ) ： 山东师范大学硕士学位论文 j i j ) f o re v e r ) , s r e 9 ( _ 5 _ ) ：t t ，i f t t s ls t 8 15 0 ：w h e r es l 矿( 9 ) j t h e ni t l ts u c h t h a tt = ( 矿t ) 8 “中“tt t h e o r e m2 2 2l e ts ，tb et w os e m i g r o u p s ，盘：s _ e n d ( t ) ，5 斗o ( s ) b eag i v e n h o m o m o r p h i s m ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c t ss nti sag v i n v e r s es e m i g r o u p si f a n do n l y i f ： i ) f o re v e r ye e ( ，) ，sa n dp a r eg v i n v e r s es e m i g r o u p s ；w h e r et 8 = 妒江 t ) ； i i ) f o re v e r yeee ( s ) ，t t ，i f t e t = t , t h e nt 。= t ； i i i ) f o re v e r y 5es ，t f f , t h e r ee x i s t sm z + ，s u c ht h a ts ”r e o ( s ) ，a n d t ( 5 ( “) 】( t b ( ”) ) 5 ，5 “t t 5 ( ) | ：w h e i es l v ( s ”) ； i v ) f o re v e r ) , 8 r e g ( s ) ，t t j i ftc - 矿。5 t 3 13 t ，w h e r e8 l 1 ( s ) ，t h e n3 t l t ：s u c h t h a tt = ( 州) 5 一彳1 t 3 t ； v ) f o re v e r ye ，f e ( s ) ：u ，刨t ，i f “8 “= ，v f v = v , t h e nj n z + ，s u c ht h a t ( u ，t j ) m ) ( ”) j = ( v e “) m ) ( 吼 i nc h a p t e r3 w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es e m i d i r e c tp r o d u c t so fsa n dtt ob eas e m i l a t t i c e so fn i l - e x t e n s i o n so fl e f t ( r e s p r i g h t ) g r o u p st h em a i nr e s u r sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m3 1 2l e ts ，tb et w os e m i g r o u p s ；( y ：s e n d ( t ) s1 jc i ! ( s ) b ea g i v e n h o m o r n o r p h i s m ，t h e nt h es e m i d i t e c tp r o d u c t ss xn ti sas e m i l a t t i c e so fn i l e x t e n s i o n s o fl e f tg r o u p si fa n do n l yi f ： 1 ) f o re v e r ye s ( s ) 、sa n dt 8a r es e m i l a t t i c e so fn i l e x t e n s i o n so fl e f tg r o u p s ，w h e r et 。= t e i t 7 1 ) ； 2 ) f o re v e r ye e ( s ) ，t t ，i f t e t = t , t h e nt 8 = ； 3 ) f o re v e r ys s ，t t ，t h e r ee x i s t s 竹l z + ，s u c ht h a ts m r e g ( s ) ，a n d 山东师范大学硕： 学位论文 州m ”( 舭”) 1 ) 8 1 g i n t t 5 ( 删，w h e r es 1 v 0 7 “) 4 ) f o re v e r ys r e g ( s ) ，t t ，i ft 护15 t 5 1 5 t ，t h e n ( t l t ) 3 = t t t ；w h e r es 1 v ( s ) ，t 1 t ； 5 ) o re v e r ye ；，e ( s ) ，：u t ，i f 札。u = 札，b f v = u ；t h e n3 n z + s t l c ht h a t ( “，8 8 札) ( 8 ，8 ) ( ”) j = ( u ，u ) ( 。，) ( “) 】 t h e o r e m3 2 2l e ts ：2 1b et w os e m i g r o u p s ：“：s e 扎d ( t ) ，sl _ o ( s ) b eag i v e n h o m o m o r p h i s m ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c t ss n ti sas e m i l a t t i c e so fn i l e x t e n s i o n s o fr i g h tg r o u p si fa n do n l yi f ： 1 ) f ( ) re v m ye e ( s ) ：sa n dt 8a r es e m i l a t t i c e so fn i l e x t e i l s i o n so fr i g h tg r o u p s ，w h e r e t 8 = ( t 8 i t t ) ； 2 ) f o re v e r ys s ，t ，j 竹。z + , s u c ht h a ts m r e 9 ( 5 _ ) ，且t 卜( m ) 】 ( t p ( ”) 1 ) s 1 5 r n t t 5 ( ”) ；w h e r es 1 v ( s ”) ； 3 ) f o re v e r ys r e g ( s ) ，t t ，i ft t s , o t 5 1 5 t ；w h e r e8 1 v 7 ( s ) ，t h e nj t 】t ，s u c h t h a t 忙( 胤) 5 彳1 t 5 t ； 4 ) f o re v e r ye ，e ( s ) ，u ，副t ，i fu 8 钆= u ，v f v = ：v , t h e nj 礼z 十，s u c ht h a t ( u f 。口。u ) 【。，。) ( ”) 1 = ( u 8 札) 【( ，。) ( “”， i nc h a p t e r4 ，w ed e s c r i b et h en e c e s s a r ya n ds u f f m i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es e m i d i r e c t p r o d u c t so f ，sa n dt t ob eas e m i l a t t i c e so fn i ! 一e x t e n s i o t t so f r e c t a r t g u l a rg r o u p st h e m a i nr e s u l t s & r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m4 1 2l e tstb et w os e m i g r o u p s ，n ：s _ e n d ( t ) ，s 时。( s ) b e ag i v e nh o m o m o r p h i s m ，t h e nt h es e m i d i r e c tp r o d u c t s s qti sas e m i l e i t t i c e so f n i l e x t e n s i o n so fr e c t a n g u l a rg r o u p si fa n do n l yi f ： 1 ) f o re v e r ye _ e ( s ) ：sa n dt 。a r es e m i l a t t i c e so fn i l - e x t e n t i o n so fr e c t a n g u l a r gr 0 1 1 1 ) s ，w h e r et 8 = 妒i t , t ) ： 6 些堑型里堑丛! 兰塑兰生笙奎一 2 ) f o r 。8 1 y s s ，t z j m z + ，s i i c ht h a ts ，n r e g ( s ) ，a n d 州m ) 】 ( 拟“ is “t l s ，w h e r es 1 v f s t m ) ： 3 ) f 0 。e v e 。ys r e 9 ( s ) ；t t , i t u ls 丁5 t 3 t ，w h e r es l v ( s ) ，t 1 1 e nj 南丁，s l i c h h a t 扛( f 5 t ) 3 “f 1 燃 4 ) f 0 。e v e r ye ，厂e ( 5 ) ，珏，u z i f 旷u = u ，训如= ，协e n | n z + ，s u c ht h a t ( 札，u ) 咐) ( n ) 】：h v 弦州，h 1 ) t h 。8 8 。8 8 u i t sm a k et h ea r e ao fr e s e a r c h a b o u ts e m i d i r e c cp i o d u c sn o t o b e 。n 6 8 dt 。m o n o i d st h u st h ea p p l i c a t i 。n 。fs e m i d i r e c tp r 。d u e t sa sa ni n s t r u m e n t 。f s t u d i n gs e m i g r o u p si se x t e n d k 。y ”。r d 8 ：s e r n i d i r e c tp r o d l i c t s ，w r e a t hp r o d t i c t ，g v - s e m i g r o u p s ) g v - q u a s l 8 。m j g r o u p 8 ：8 e m i l a t r i c e so fn i l - e x l , e n n 0 1 1 so fr e c t a n g u l a rg r o u p s ) s e n l i l a t t i c e so fn i l 一 。t 。n t i o n 8o f i g h tg r o u p s ，s e m i l a t t i c e s 。f n i - e x t e n t i o n so fj e f tg r 。u p s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 27 7 一些至墅型盔兰堡圭堂堡笙壅 第一章引言及预备知识 5 l l引言 半群的合成与分解是研究半群的个很重要的方面，通过这方面的研究可 以更多地了解半群的性质研究半群的合成与分解有很多方法与手段，而半直积 作为研究半群的合成的工具，具有很大的优越性 我们可以通过刻划半群的半直积及其结构与同余，来刻划这类半群的某些 结构特点及其上的同余这样对半直积的研究就成为一个很重要也很必要的内 容 现有的关于半直积的研究成果大都是在半群含有幺元的条件下得到的1 9 8 3 年wr n i c o 首先刻划了半直积的正则性，1 9 8 9 年t s a i t o 给出了纯f 半群半直积 的刻划，张玉芬老师在1 9 9 5 年给出了弱c i i f t b r d 拟正则半群的半直积和圈积的 刻划，并刻划了这些半直积的结构和最小群同余这些结果使我们对以上这些幺 半群的半直积及其结构和同余有了一个比较明确的认识但以上的结果都建立 在半群含有单位元的这个基础上，这相对就有一定的局限性 为了突破这一局限性，张荣华，刘加云，富文霞等主要对幂等元集为子半群的 丌一正则半群的半直积作了很好的刻划本文主要研究对幂等元集不是子半群的 一正则半群的半直积，我们不是借助半群s 和t 来得到半直积的性质，而是找 到了种新的方法即通过半群s 和t 的子半群t e f = t e 肛t ) ) 来刻划半直积 的性质这些工作都是在张玉芬老师的亲切关怀和悉心指导下完成的：我们主要 是利用在g v 一半群中，每一个正则元都有唯一的群逆这个重要的性质，通过这 种方法、我们得到了g v 一半群g v 一逆半群，i 群的n i l 一扩张的半格，右群的n i l 一 扩张的半格，矩形群的n i l 一扩张的半格这些半群的半直积的刻划 8 山东师范大学颂十学融论文 5 1 2 预备知识 定义1 2 10 2 1 设s 和t 为半群，e n d ( t ) 是t 的自同态半群，。：s - f n d ( 丁) ， s 卜。( s ) 是给定的半群同态映射，对每个8 s 和t t ，用护表示t 在( s ) 下 的像垆( “，显然，剥任意的s ：sl ，s 2 s ，t ，tl ，t 2 t ，有 ( t l t 2 ) 5 = t 弼，t “= ( t “) 。 半直积s 。t 是集合 ( s ，t ) l s s ，t 丁) 关于如下定义的乘法作成的一个半群 ( s 1 ：t 1 ) ( & ，t 2 ) = ( 8 1 8 2 ，牙2 t 2 ) 定义1 2 2 6 】设s 为半群，若对任意的s s ，存在n z + ：使s “r e q ( s ) 则称s 为n 一正则半群 定义1 2 3 ( 6 设s 为一正则半群：若半群s t 的每一个正则元都是完全正 贝0 的，贝0 称s 为g v 一半群 定义1 2 4 6 】 设s 为g v 一半群，且对任意的e ，e ( s ) ，存在n z 十，使 ( e ，) “= ( ，e ) “，则称s 为g v 一逆半群 定义1 2 驴j 设s 为g v 一半群，且对任意的e 、，e ( s ) ( e f t ) “= ( e ，) “，则称s 为左群的n i i 一扩张的半格 定义1 2 6 6 】设s 为g v 一半群，且对任意的e ，e ( s ) ( e e ) “= ( ，e ) “，则称s 为右群的n i l 一扩张的半格 定义1 2 7 1 6 j 设s 为g v 一半群，且对任意的e ，f e ( s ) ( e 门”= ( e 厂) 1 ，则称s 为矩形群的n i l 一扩张的半格 存在n z 一，使 存在n z + ，使 存在n z 十，使 定义1 2 8 1 2 】设s 和丁为半群，s 从左边作用于集合x 上，即对每个s ：7 s ，。6x ，有s z x ，且s ( 哪) = ( 。r ) 。令，“= ， ，：x 叶t 是映射) ， 且满足对任意的，g t 。，z x ，( ，9 ) ( z ) = ，( z ) g ( z ) ，则t x 为半群设0 f ： s _ e n d ( t x ) ，s 一0 = ( s ) 为半群同态映射，其中对任意的s s ：，t x 和。 x ，f 5 ( z ) = ，( s z ) ，则称半直积s 。t x 为s 和丁的圈积，“为s w x t 引理1 2 9 吲设s 为半群，对于v a s ，则。是完全正则的当且仅当 o 0 2 s n s 0 2 本文对于半群s 和元素s s 用岳( s ) 表示s 的幂等元集，r 钾( 5 r ) 表示s 的正则元集，v ( s ) 表示s 的逆元集：c r ( s ) 表示n 一正则半群s 的所有完全正则 元素集合，并且用符号州m ) 】代表t s 一1 。2 攒 9 山东师范大学硕士学位论文 第二章g v 一半群及g v 一逆半群的半直积 本章主要给出半群s 和t 的半直积是g v 一半群及g v 逆半群的充要条件 5 2 1g v 一半群的半直积 引理2 1 i 设s ，丁为半群，“：s - - + e n d ( t ) ，s 卜o ( s ) 为给定的半群同态映 射，半直积s 。t 是c v 一半群，则有 1 ) 刺任意的e e ( s ) ，s 和t 8 均是g l - 半群，其中t 8 = 纠t t ) ； 2 ) 对任意的s s ，t t ，存在7 n z + ，使s r e g ( s ) ，且t d ”t ) ( t b ( 7 。) ) 4 t 加( m ) 】，其中s 1 y ( s m ) ； 3 ) 对任意的s r 叼( s ) ，t t ，若t 矿，3 丁# ，其中s l v ( 5 ) ，则9 t 】e 使t = ( f t ) ”1 乍1 t s t 证明1 ) 对v s s ，t t ：由s 。t 是g v 一半群，j m z + ，( s 1t 1 ) s 。t ， 使得 ( s ，t ) “( 8 1 ，t 1 ) ( s ，t ) “= ( s ，t ) “； 故8 m 8 1 8 ”= s ”，即s “r e g ( + f ) 从而s 为正则半群 对v s r 9 ( s ) ，t e ( 丁) ，发s 1 v ( s ) ，则 ( s ：矿) ( s l ，t ) ( s ：t 3 ) = ( s s i s ：t s s l s t 5 t 3 ) = ( s ，t 5 ) r e 9 ( s 。丁) ： 由5 _ x 。z 1 是g v 一半群，故3 ( s l ，t 1 ) s 。t ，使得 ( s t 8 ) ( s l ，1 ) ( s ：t 5 ) = ( s ，t 5 ) ，( s l ，t 1 ) ( s ，5 ) ( s 1 ，t 1 ) = ( s t 1 ) ， ( s ，t 5 ) ( s 1 ，t 1 ) = ( 8 1 ，t 1 ) ( s ，z 5 ) ， 故s s ls = s ，s i s s l = s 1 ，s l s = s s l ，从而5 _ 为g v 一半群 对v e e ( s ) ：显然t 。是t 的子半群 对v t 8 t 8 ，由s 。t 为g v - 半群，j m z + ，( s 2 ：t 2 ) s 。t ：使 即 1 0 山东师范大学硕士学位论文 故 ( 矿) m = ( ( t 。) ”) 龀8 t ；( t 8 ) m = ( t e s 2 8 ) ”( 8 ) ” = ( t 。) m ( t 8 ) m ， 即( 萨) “r e g ( t 8 ) 故t 。为一正则半群 对v e e ( s ) ，t 8 a e g ( t 8 ) ，设( ) 8 v ( t 。) ，贝0 ( e ，护) ( e ，) ( e ，t 8 ) = ( e ，矿( 玎矿) = ( e ，护) r e q ( s 。t ) ， 由s 。t 是g v 一半群，故3 ( s 2 ，t 2 ) s 。t ，使得 ( e ，矿) ( s 2 ，t 2 ) ( e ：t 8 ) = ( e ，t 8 ) ，( 5 2 ，t 2 ) ( e ，u ) ( s 2 ：屯) = ( 8 2 ，t 2 ) ， ( e ，t 8 ) ( 乩，t 2 ) = ( 8 2 ，t 2 ) ( e ，t 8 ) ， 即 e s 2 e = e ，e 6 2 = 5 2 e 】8 2 e s 2 = s 2 ， t ”8 堰萨= 圪学2 t ”2 屯= t 2 ，t “2 t 2 = 咎。， 故 s 2 = e ，t 8 枣。= t 8 ，圬t 。t ；= 鸪，护= 枣8 ， 从而t e 为g v 一半群 2 ) 对v s s ， 丁，由s 。丁是g v 一半群，j m z + ，( s 1 ，1 ) s 。t ，使得 ( s ，t ) m ( s l ，t 1 ) ( s ：z ) m = ( s ，) m ， 所以s 7 ”= , 5 m 8 1 5 “r 即( s ) ，且 t p ( m ) 】= ( t 卜( m ) 1 ) 5 - 5 t i “f 扣( ”) 】( t 【5 ( ”。) 】) 5 15 ”丁卜m ) j ； 3 ) 对v s r e 口( s ) ，t 7 1 ，若t t ”p ，5 t ，其中s 1 y ( s ) ，设t7 丁：使 t = ( 咿t 5 t ，则( s ：) ( s l ，( 卵- ) ( s ，t ) = ( $ 8 1 s ：( 妒5 t ) = ( s ，t ) r e g ( s at ) ， 由s 。t 是g v 一半群，则| ( s 2 ，t 2 ) s 。t ，使得 坐查塑婆奎堂堡圭堂室笙塞 即 故s 2 = s ，所以 ( s ，t ) = = = = = 故 t=t5 = t 5 = t 5 = t 8 一 = ( t 5 s s 2 s2s ， s 2 s s 22s 2 1s s 22s 2 s ( s ，) ( s 一，t 2 ) ( s ，t ) ( s ，t ) ( s 一1 ，2 ) ( s ，t ) ( s 一1 ，t 2 ) ( s ，t ) ( s 一1 ，t 2 ) ( s ，t ) f s ，t ) 2 f s 一1 ，) 3 ( 8 ，t ) 2 ( s 2 ( s 一1 ) 3 s 2 ，t 5 ( 5 1 ) 3 s 2 t ( s 1 ) 3 。2 t 字1 ) 2 5 2 t ；一1 s2 ；2 t s t ) ( s ，扩。t 81 t ；。彤茅t 5 t ) 18 一5 辅2 t 5 t 1 5 t s i 1 15 2 $ 9 s - - 15 矿t 15 t 5 “( 媚2 5 执 1s 扩1 f 1 批 t ) s - - i6 , 1 5 “t 5 t 其中t ，= 掣；2 穹 定理2 1 2 设s ，t 为半群，乜：s 叶e r z d ( t ) ，8 卜血( s ) 是给定的半群同态映 射，则半直积s 。t 是g v 一半群的充要条件是 1 ) 对任意的e e ( s ) ：s 和t 8 均是g v 一半群，其中t 8 = t e j t 丁1 ) ： 2 ) 对任意的s s ，tet ，存在mez ，使s m r e g ( s ) ，且州m ) ( 州”) 驴5 “t t 3 ( “) l ，其中s l v ( 扩) ； 3 ) 对任意的s r e 9 ( s ) ，t t ，若t 抄5 t 5 ”t ，其中s l v ( s ) ，则3 t l t ： 使t = ( 删5f “tt 证明必要性已由引理2 1 1 给出，下证充分性 对v ( s ，) ( s 。t ) ，由条件2 ) ，j mez + ，使s “r e 9 ( s ) ， 州”】 ( t 5 ( “) 1 ) ”t t 5 ( “”，其中s l v ( s ) ，设t l t ，使 一3 ( ”) = ( o ( 8 ( “) ) 5 t5 “t l t 【5 ( ” 山东师范大学硕士学位沦文 则 所以 m ) 】 于是 1 ) ) 一“= ( 州仉) j ) s ls m “( t t 5 【“垆5 “ = ( 舻“) p5 “利5 ( ”。) 1 = ( t 4 ) 垆3 ”妒“( 州“) = ( ”) 】) $ 1 5 m 掣”州m ) 】 即( s ，t ) ”。r e g ( s 。t ) 所以s 。t 是n 一正则半群 对v ( s ，t ) r e 9 ( s 。t ) ，设( s 2 ，2 ) y ( ( s ，t ) ) ，贝08 2 矿( s ) ；且 t = 产5 啦= t “5 ( t i ) “5 t t “5 t 5 2 3 t 由条件3 ) ，玳l t ，使t = ( 批) 5 _ 1 t i 。t 5 ，于是 ( s ，t ) t ( ( s 一- ) z ，t p 一1 ) 2 t ) ( s ，t ) = 即( s ，t ) 是完全正则的，所以s 。t 是g v 一半群 b m m 少 小m m 龌 s n ，l ， l h 0 眦 ” n 拶m ， ：，飞o，站 ” ： s s s s f f f f f _ f f s s 心 呼 印 警r 嗨哟 旷、一_ o 邓州， = 1 | = 、， s 一s 甲 一s ss 甲 r 矿r 乳 厂o _ 嘲 0 p d j 生i 篓查堂堡主堂垡堡塞 5 2 2 g v _ _ 逆半群的半直积和圈积 。i ? 。! ，2 2 1 设1 5 _ ，? 为半群0 = s _ e n d ( t ) ，s 时。( s ) 为给定的半群同态映 射，半直积s 。t 是g v 一逆半群则有 1 ) 对任意的e e ( s ) ，s 和p 均是g v 一逆半群：其中p ：( 吲。2 ， ； 2 ) 对任意的。e ( s ) ，t 丁，若护f = 则f e ： ，黑翟曼章要、s s ，t 丁，存在m z 。，使s m r e g ( s ) ，且加( 叫 ( 彬”妒t 扩，砂( ”) ，其中s 1 y f s ，n ) ： 。 一 ，。4 ) 翌任妻的，s r e g ( s ) ，? ，若t 一8 t 5 吼，其中s 1 矿( s ) ，则3 如t ， 便t = ( 护s 鹳心： ，帚。黧等意紫e ，i ，j ，皇( s ) ，札i w 丁，若旷扎= ”，”= “j 则存在礼z + ：使 ( u ， ) ( e ，) ( ，。) = f e l l , e ) ( n ) 一 “ 、。证明。：2 由s 。丁为g 矿一半群，由引理2 1 1 知，对v e _ e ( s ) ，s 和丁e 为g v - 半群 。 对v e ，es o s ) ，t ，“e ( t ) ，则( e ，t e ) 逆半群，则存在n z + ，使( ( e ，矿) ( ，u ，) ) n 而s 为g v 逆半群 ( ，u s ) ee ( s x 。t ) ，由s x 。t 为g v ：( ( ，u ，) ( e ：护) ) “，故( e ，) ”= ( ，e ) n ，从 对v ：气、e ( s ) 二设7 1 , e u 。e ( t 。) ，则( e ，u 8 ) ，( e ，u e ) e ( s 。丁) ，由s 。? 为 g ，v - 童竺，则穿在n z + 使( ( e ，u 8 ) ( e ，”。) ) ”= ( ( e ，”e ) ( e ，。e ) ) n ，故( 矿；) n ： ( v e t 2 8 ) “，从而t 8 为g v 一逆半群 2 j 对v ! e t r 若t 8 扣t 则垆即8 ) ，且( e ：f ) ，( e 卅刀( s x 。巩 由sx 。t 为g v 一逆半群：存在n z + ，使 ( ( e ，t ) ( e ，。) ) ”= ( ( e ，t 8 ) ( e ，t ) ) “， 即 ( e ，酽) “= ( e ，t 。矿= ( e ，t ) “， 故( e ，t 。) = ( e ，t ) ，所虬t = 护 3 ) 由 i 理21 1 可得 4 ) 由引理21l 可得 5 ) 对任意的e ，昂( s ) ， z 若“e “：珏 u 7 = u e ( ? ) ，且( e ，? 上) ，( ，u ) e ( s 。丁) 1 4 z ，= u ，由结论2 ) 知 由s 。t 为g i