（基础数学专业论文）广义正则半群的某些问题的研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。掘我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果。也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：满亚丽导师鎏字： 学位论文版权使用授权书 香同i 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 壹t 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：海亚棚 导师签字存目i 签字同期：2 0 0 7 年矸月协同 签字同期：2 0 0 7 年4 月f d 只 山东师范大学硕士学位论文 广义正则半群的某些问题的研究 满亚丽 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文定义了某些广义正则半群，并且给出了这些半群的结构定理具体内容如 下； 第一章给出引言和预备知识 第二章给出可消幺半群上的鼬e s 矩阵半群的定义，并给出可消幺半群上的r e e s 矩阵半群同余问题的研究主要结论如下： 定义2 2 1s = p ( ，正a ；p ) 是可消幺半群t 上的r e e s 矩阵半群，一个三元组 ( r 口，”) ( ，) c ( t ) ( a ) 称为是容许的，若 t 是口一可消的， 巧或a 7 r p 则p ；p 孑叩幻p 孑， 其中( n ( a ) 分别表示，a 上的等价关系的集合，c ( 丁) 表示t 上同余关系的集 合 定理2 2 4s = 一( ，z a ；尸) 是可消幺半群t 上的r e e s 矩阵半群，( _ ，f ) 是s 上 一个容许三元组，则p = m 。) 是s 上的个好同余 反之，对s 上的每个好同余，存在唯一的容许三元组( t q a ) ，使得p = 反。川 第三章定义了一纯整群并，并给出了c p 一纯整群并的结构主要结论如下： 定义3 1 2 一个强c p 一富足半群s 称为一个一纯整群并，若e ( s ) 是带，且满 足e h r e s m a n n 型条件，即e t 条件【9 1 ： ( v 0 ，6 s ) ( n 6 ) 一d ( e ( s ) ) n p 酽 定理3 2 1s 是半群，下列叙述等价； ( i ) 存在p c c ( s ) ，使得s 是一个c p 一纯整群并，且满足； ( c 1 ) 若z ，暑，只硼，则对任意e e ( s ) ，z 删e ； ( i i ) s = 【y ；& = l a 。】其中诸是矩形幂幺半群，且存在几c c ( b ) 使得死是船一左可消的，e ( s ) 是带，并且满足； 山东师范大学硕士学位论文 ( c 2 ) 对v 口，6 死，若印。6 ，则对即o ，珂如，p ，使得 【( j ，1 ，p ) a ，n ，入) j p 目【( 不i t h ，弘) ( 1 ，6 ，a ) 1 p 如 第四章定义了部分可消幺半群上的鼬s 矩阵半群，并给出部分可消幺半群上 的弛e s 矩阵半群的刻画主要结论如下： 定理4 2 1 半群s 有一个理想是可消幺半群上的m e b 矩阵半群当且仅当s 同构于 某个m ( t ；，a ；p ；q ，妒，妒，f ，叩) 定理4 ，2 2 半群= m ( t ；j ， ；p ；q ，仍妒，f ，口) 与+ = m ( r ；，+ ，a + ；p ；q ，矿，矿， p ，矿) 是同构的当且仅当存在同构u ：t _ + p ，映射卢：，- + g ( p ) h 肌，p ：a - g ( r ) a 卜n ，双射，l ：，斗p ， ：a 一”和同构q ：q - q 。使得 ( 1 ) p u = a 砖k i h 脚， ( 2 ) 知 = 赫， ( 3 ) 叩p = q n ， ( 4 ) 妒，i ) ，= p 乏矿扫q ， ) 地， ( 5 ) 妒p ，a ) u = b a 妒( p n ，a 七) 嚼 第五章给出了纯整超r p p 半群同构的刻画主要结论如下： 定理5 2 2 焉= 【y ；& j - 【l ，；露k 】，岛= f y ；】_ 【y ；易码a 甜是纯整超 r p p 半群，设有同构：y y ，使得对v o y ，有同构九：l 死- e ( 砭( 和双 射忆：a 0 - a 0 ，令毋= u 札，妒= u 且对任意的( i ，o ，a ) ，( j ，6 ，p ) 昂， 满足下列条件： ( 1 ) ( ( ( i ，。，a ) j ，0 6 ) 。口) 幺口。= ( ( 1 ，d ) 九，a 九) 。( ( j 1 6 ) 如( ) ， ( 2 ) ) ( ( ( i ，d ，枘，o b ) 币n 口) 此= ( ( i ，n ) 札) c ( o ，6 ) 如) ( ， ( 3 ) d 6 ，p ) 。) 饥p = ( a ) ( d ，6 如) ，p 咖) + 则映射 x ：s l ，f ，口，a ) x = ( ( o ) 妒，a 妒) 是一个同构 反之，每个s l 到函的同构都可如此构造 第六章定义了左交错积，并给出了给出了左c 一完全e h r e s m a n n n 型半群的左 交错积结构的刻画主要结论如下： 2 山东师范大学硕士学位论文 定理6 2 1 令t 是幂幺半群死的强半格，j = u 。y l 是左零带l 的半格分解， 则，和t 的左交错积，。d t 是左c 一完全e h r e s m a t l n 半群 反之，每个左。完全e 1 1 r e s l n a i l n 半群都可如此构造 关键词：半群，广义r e m 矩阵半群， c p 一纯整群并，纯整超r p p 半群，部分 半群，左c 完全e h r e s m a n n 半群 分类号： 0 1 5 2 7 3 山东师范大学硕士学位论文 s t u d i e so ns o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s m a n y 矗l i t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a i l d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n 蛐，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t t h i sp 蠲s a g e 百v e st h ed 醯n i t i o n 8o fs o m eg e n e r 甜i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p sa n dt h e t h e o r e m 8o ft h e i rs t r u c t u r e s i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o n sa i l dp r e l i m i n 捌e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v ead e 矗n i t i o no f e sm a t r i x8 e m i g r o u po nac a n c e l i a t i v em o n i o d a n dd i s c u s st h ec o n g r u e n c eo fr e 鹳m a t r m i g r o u po nac a n c e l l a t i v em o n i o d t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l a w d e 矗n i t i o n2 2 1s = 卢( ，t ，a ；p ) i sar e e sm a t r i x8 e m i 旷o u po nac a n c e l l a t i v em o n i o d t at r i p l e ( r ，盯，7 r ) ( ，) c ( t ) ( a ) w i l lb ec a n e dl j l l k e di f t s 盯一c o n c e “n z i 口e ，p l p 盂a - p 幻p 孑t d e n e 口e re i t e r r 歹o ra 丌p t h e o r e m2 2 4 s = p ( ，互a ；p ) i sar e e sm a t r i xs e m i g m u po nac a n c e l i a “坩m o n i o d t ( r ，丌) i sal i n k e dt r i p l eo fs ，t h e np = p ( r ，j ，”) i sag o o dc o n g r u e n c e o ns c o n v e r s e l h f o re v e r y 9 0 0 dc o n g r u e n c e o f s ，t h e r ee x i s t s a u n i q u e “n k e d t r i p i e ( r ，盯，丌) ， s u c ht h a tp = p ( r ，口，”) i nc h a p t e r3 ，、 ，eg i v ead e 6 n i t i o no fc p o r t h o g r o u pa n ds t u d yt h es t r u c t u r eo fc p o r t h o g r o u p t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o 、 r d e 丘n i t i o n3 1 。2as t r o n gc 一一a b u n d a n ts e m i g r o u pi sc a l l e da p o r t h o g r o u p ，i fe ( s ) i 8ab a n d ，a n ds a t i s 矗e se h r e s m a n nt y p ec o n d i t i o n ，t h a ti st os a y ，e t c o n d i t i o n 【9 】： ( 讹，6 s ) ( 曲) 9 d ( e ( s ) ) n p 酽 t h e o r e m3 2 1si sas e m i g r o u p l t h es t a t e m e n t sb e l o wa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) t h e r ee x i s t sp c ( s ) ，s u c ht h a ts i sac p o r t h o g r o u p ，a i l dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o ni ss a t i s 矗e d ： ( c 1 ) z ，! ，s z p ”：= z e p 掣e ，d re e r fe e ( s ) ( i i ) s = ；= 厶x2 k a d 】，w h e r ee v e f y j sar e c t a n g u l a ru n i p o e n ts e m j g r o u p ，a n dt h e r ee x i s t s 加c ( t 口) ，s u c ht h a t 死i s 儿一1 e f tc a n c e l l a t i v e ，曰( s ) i sa b a n d 4 坐垄塑垫盔兰堡主堂垡堡奎 a n ds a t i s f i e st h et o 儿o w l n gc o n d l t l o n ： ( c 2 ) f o ra n yn ，6 矗，i f a 加6 ，t h e nf o ra n y 卵口，t h e r ee 幽t sj 妇，p ，s u c ht h a t 【( j ，1 码，弘) ( ，n ，a ) 1 。p b p 口【( l 功，p ) ( ，6 ，a ) 1 j l - i nc h a p t e r4 ，w eg i v ead e 矗n i t i o no fp a r t i a lr e e si m t r i 】cs e m i g r o u po nac a n c e l l a t i v e m o n i o d ，a n dt h ed i s c r j p t i o no fp a r t i a lr e e sm a t r i ) 【s e m i g r o u po nac a n c e l 龇i v em o n i o d t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf 0 1 l o w t h e o r e m4 2 ，las 啪培r o u p sh 勰a i d e “w h i c h i 8ar e 郫m a t 血s e m i g r o u p o n ac a n - c e l i a t i v e m o n i o d 争t h e r e 坤a i s o m o r p h l s m b e t w e e n s 觚da m ( t ；工，a ；p ；q ，妒，妒， ，叩) t h e o r e m4 2 2t h e r ee x j s t s8i s o m o r p h j s mb e t w e e n = ，( t ；j ，a ；尸；q ，妒，妒，f ，叩) a n de + = 肘( r ；p ，”；尸。；q ，矿，妒，z 矿，矿) 甘t h e r ee x i s t sai s o m o r p h 峙mc ，：t 。 t + ，m 瓢p sp ：j _ g ( z 叶) th 晰，：a _ + g ( 1 叶) 入一h b n e c t i v em a p s ：j - p ，七： a _ ”a n da i s o m o r p h i s m n ：q - q ，8 u c h t h a t ( 1 扫a 【，= 坝p 支 曲m ， ( 2 ) p h = h 乓：n ， ( 3 ) 和 = 幻赫， ( 4 ) 妒扫，f ) u = p 乏：妒+ ( p q ，i ) 出， ， ( 5 ) 妒( p ，a ) u = l _ 妒( p n ，a j l ：一 i nc h a p t e r5 ，w eg j v ead i s c t 砒i o no f 洳m o r p h i s mb e t w e e no r t h o d o xs u p e rr p ps e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni n f o l l a w t h e d r e m5 2 2 岛= ；& = y ；k 死a n 】，& = 【) ，7 ；彤】= 【y ，；巧a 纠 a r eo r t h o d o xs u p e r p ps e m i g r o u p s ，i ft h e r ee x i s t si s o m o r p h i s m ( ：y y 7 ，s u c ht h a t f o r y ，t h e r ee x i s t sai s o m o r p h i s m 如：厶死t ( ( a n dab 巧e c t i v em 印 讥：a 0 _ a r 币2 拦，洲2 昌讥a n 4 a n y ( i 1 ) & 脚1 p $ ，h e f o l l o w i n gc o n d i t i o l l sa r es a t i s 6 e d ： ( 1 ) ( ( ( t ，d ，a ) 。j ，曲) 札口) 吃以；( ( i ，n ) 札，a 仉) 9 ( ( 五6 ) 毋5 c ) ， 【2 ) ) ( ( ( i ，。，砒，n b ) 锄) p 。= ( ( ，n ) 札) q ( + ( ( 州如) 。， ( 3 ) ( a ( j ，6 ，p ) + ) 以口= ( a 妒o ) ( ( 五6 如) ，p 妒p ) 如e n t h e m a p x ：s l s 2 ，“，o ， ) ) c = ( ( ，。) 币，】印) 5 些查堕垄奎兰堕主兰堡丝塞 i sai s o m o r p h l s m c o n v e r s e l y e v e r yi s o m 唧h i s m 丘o m 函t o 岛c a n b es oc o n s t r u c t e d i nc h a p t e r6 ，w e 舀v ead 靠n i t i o n k f tc r o 鸥p r o d u c t ，a n ds t u d yt h el e f tc r o s sp r o d u c t o fl e f tc f u ue l l r e s m a n n ns e m i g r o u p s t h em a j nr e s u l t sa r e 酉v e ni nf o l l o w t h e o r e m6 2 1ti 8as e m i l a t t i c eo fu n i p o t e n ts e m i g r o u p2 k ，j = u 口l ，ki sas e m i l a t t i c ed e c o m p o s i t i o no fl e f tz e r ob a n d 厶，t h 眦t h el e f tc r o s sp r o d u c tj 母to f ，a n dti s al e f td f u l le h r e s m a n n ns e m i g r o u p c o n v e r s e l y e v e r yi e f tc f u l le l l r e s 啪n n ns e m i g r o u p sc a nb e8 0c o n s t r u c t e d k e y w o r d s ：s e m i g r o u p s ，g e n e r a l i z e di k 凹m a t r 政s e m 追r o u p s ，c p o r t h 蠼了o u p s ，o r t h 0 - d o xs u p e rr p ps e m i 鲈o u p s ，p a r t i a ls e m i g r o u p s ，l e f tc f u l le h r e s m a n i ms e m i g r o u p s c l a s s ；f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 一个纯整半群称为一个纯整群并，如果它还是完全正则的众所周知，纯整群 并可以表示成矩形群的半格，纯整群并的结构已引起许多学者的兴趣，郭聿琦教授 分别称幂等元形成左正则带和正则带的纯整群并为左c 半群和拟g 半群关于左 g 半群和拟g 半群的性质和结构刻划见f 1 ，2 1 众所周知，半群上的格林关系在正 则半群的研究中起着重要作用利用各种广义的格林关系：例如f o u n t a i n 【3 】定义的 格林关系和t a n g f 4 j 定义的一格林关系，可以定义和研究一些广义正则半群 对于强r p p 半群，j b f 0 u n t a i n 【5 】刻划了o r p p 半群的结构；y q g u 0 ，k p s h u m 和 p y z h u 【6 】构造了左c r p p ，c - r p p 半群和左c r p p 半群分别是c l i 舫r d 半群和左。 半群在强r p p 半群内的直接推广由此，我们可以发现对广义正则半群的研究是沿 着研究完全正则半群的轨迹层层推进的 本文主要研究某些广义正则半群的结构其主要思想是利用广义格林关系来研 究广义正则半群的结构 下面介绍一些基本概念： 定义1 1s 是半群，f ( s ) 是s 的幂等元集，定义半群s 上的等价关系c ，彤，w 如下： n 6 当且仅当( 协，y s 1 ) d z = o y 静妇= 的， 冗+ 6 当且仅当( 忱，g s 1 ) 。口= o 铮曲= 曲， 饨= c n 冗+ ， 易知c c ，v e ，e ( s ) ，e c ， 寺e c ， 定义1 2 幺半群s 称为左可消幺半群，如果对任意d ，6 ，c s 曲= 8 c 号6 = c s 称 为右可消幺半群，如果对任意吼6 ，c t ，缸= 辛6 = c s 称为可消幺半群，如果 它既是左可消又是右可消的 定义1 3s 是半群，p 是s 上一个关系，s 称为p 一左可消的，如果对任意的 n ，6 ，c s ，0 6 舶c 净6 胆s 称为p 一右可消的，如果对任意的n ，6 ，c 只6 印c 口= 劬c s 称为p 一可消的，如果s 既是p 一左可消的又是p 一右可消的 注1 4 设s 是半群，s = fy ；& 】即指s 是半群咒陋y ) 的半格y ，特别，若s 是 带，则【y ；& 】即指s 的最大半格分解s = 【y ；妒。，卅即指s 是半群& ( a y ) 的强半格，札口是其结构同态系 定义1 5 只含一个幂等元的幺半群称为幂幺半群( u n i p o t e n ts e m i g r o u p s ) 7 山东师范大学硕士学位论文 注1 6 为方便起见，矩形带，a 和幂幺半群t 的直积称为矩形幂幺半群，记为 ，t a 特别，左零带，和幂幺半群t 的直积，a 称为左幂幺半群矩形带 j a 和左可消幺半群t 的直积j t a 称为左可消板 注1 7 设x 是半群 最j = 1 ，2 ，”) 的次直积记岛；。s ，为x 到& 岛的投 影，使得v ( n l ，0 2 ，口。) x ，( n 1 ，d 2 ，n 。) 硌i 。毋= ( 口i ，q ) 同理，珞i 表示x 到& 的射影使得v ( 0 1 ，d 2 ，d n ) x ，( d 1 ，0 2 ，) 尸鱼= 嘶， 注1 ，8 半群s 上的所有等价关系的集合记为( s ) ，所有同余关系的集合记为c ( s ) ， 所有左同余的集合记为c c ( s ) ，所有右同余的集合记为7 配( s ) ， 定义1 9 设b 是一个带，则 ( i 徊是一个正则带当且仅当对于任意的e ，p b ，e ，印e = 咖& ( i i ) b 是一个左正则带当且仅当对于任意的e ，b ，e 托= e ， ( i i i ) 口是一个左正规带当量仅当对于任意的e ， g 君，e ，g = 印， 引理1 ，1 0 设s 是矩形幂幺半群& = 厶矗a o 陋e y ) 的半格y ，即s = 【y ；鼠= 厶j 吃xa 。l 且f ( s ) 是带，贝4v ( f ，z ，a ) ，( ，z ，a 7 ) 5 n ，v 0 ，p ) ，u ，暑r ，p ) 岛， 【“，z ， ) ( j ，y ，p ) l p k 。= 【( ，z ， ) ( ，f ，p ) p t 。 证明设a ，z ，a ) ，( i ，z ，a ) 5 0 ，( j ，分，p ) ，0 7 ，9 ，p ) s 0 ，v ( 詹，p ) 厶口 。口，( 七，v 7 ) l a 。p ，记g ，。， ) ( ，1 j ；8 ，p ) = ( ；，z ，1 ) 则 z ，a ) ( ，1 l 口，川吃口 = 【( f ，1 t ：口，r ) ( i ，z ， ) ( ，l 瓦口，p ) 】f t 口 = 【( z ，1 死口，r ) ( ，z ，a ) ( 7 ，1 死口，p ，) ( ，1 l 口，p ) 吃口 = f ( f ，z ，a ) ( 七，1 7 二口，p ) 】f t 口 即z ，a ) ( k ，1 l 。，”) 】p 丁b 与( ，v ) 无关同理【( ，1 l 。，”) ( ，曩a ) 】耽f 亦与( ，) 无 关。 设0 ，z ， ) ( j ，g ，p ) = ( m ，u ，y ) ，贝0 z ，a ) 0 ，g ，卢) 】吃。 = 【( i ，1 死，) ( m ，1 瓦口，7 ) 托，a ) ( j ，玑p ) ( m ，1 瓦p ，( j ，1 耶，) j 忍钿 = 【( 一，1 ，a ) ( 1 ，。，a ) ( j ，y ，p ) ( j ，l t j ，p 7 ) 】户k 口 = 【( t ，z ，) ( i ，1 b ，a ) ( 五1 砧，p ) 】。【( ，1 ，a ) ( ，1 功，p ) ( ，y ，p ，) 】局：f = f ( ，z ，) ( i ，1 矗，) ( j ，1 砧，) 】j k 口【( 2 ，1 矗，a ，) ( j 7 ，1 如，) ( ，t f ，一) 】口 8 山东师范大学硕士学位论文 = ，z ，) ( 1 r ，) ，1 功，) ( j 7 ，”，卅口 = ( 矿，z ，a ) ( j ，爹，舻】f 囊口 证毕 推论1 1 l 设s 是矩形幂幺半群& = 厶死k 缸y ) 的半格y ，即s = 【y ；s n = 厶k 】且e ( s ) 是带在t = u n y 上定义运算。：对任意的死，可巧， 茁o ”= z = ( 弓“，a ) 厶xa 。，u ，p ) 如a p ) 【( i ，z ，a ) d ，善，p ) 】f k 口= z 则( t ，o ) 是幂幺半群陋y ) 的半格 证明由引理1 1 0 即得 以下，我们将不加说明地利用推论1 1 1 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献【1 7 - 25 】 9 山东师范大学硕士学位论文 第二章广义矩阵半群的好同余 在本章中，我们给出可消幺半群上的r e e s 矩阵半群的同余问题的研究 2 1 预备知识 定义2 i 1s ，? 是半群同态x ：s _ + r 称为是好的，如果口c 物蕴含d x 6 x ，口冗6 蕴含d x 7 矿呶，s 上一个同余p 称为是好的如果s 到鄙p 的自然同态是好同态 e s 矩阵半群s = p ( j ，t ，a ；p ) m 称为可消幺半群上的融矩阵半群，若t 取 成可消幺半群，p 中元从t 的可逆元群g ( t ) 中取 引理2 1 2s = p ( ，e a ；p ) 是可消幺半群上的r e e s 矩阵半群，则 0 ，9 ，a ) c ( 歹， ，p ) = = 争a = p ， “，9 ，a ) 7 矿( j ， ，p ) = 争i = j 证明易证 定义2 1 3 令蜀= p ( ，t ，a ；p ) ，最= 肛( 正日，q ；q ) 是可消幺半群上的r e e s 矩阵半 群卢：，- g ( 日；i 一心，p ：a 叶g ( 明 一以，妒：f _ z 矽：a - q 是映射， u ：t _ + 日是同态并且满足： r t u = h q 廿，i 妒p “，a a ) ， ( 1 ) 则( 妒，p ，v ，妒) 称为是一个s l 到岛的h 一五元组，定义映射x = x ( 妒，p ，w ，p ，t f i ) ： s l - 如下： x ：囊，譬， ) h ( 妒，p f 0 。) _ ，a 妒) f 2 ) 定理2 1 4 令s 1 = p ( j ，t ，a ；p ) ，s 2 = p ( j 日，n ；q ) 是可消幺半群上的r e e s 矩阵半 群，若( 妒，p ，u ，妒) 是一个毋到岛的b 五元组，则上面定义的x = x ( i p ，p ，u ，v ，妒) ： s 1 - 岛是s l 到s 2 的好同态 反之，每个s 。到岛的好同态可如此构造 证明设y = ) ( ( 妒，p ，u 妒) ，x 是同态易证，下证x 是好的 若( ，g ，a ) c ( j ， ，p ) ，则a = 芦由x 的定义及引理2 1 2 知( ，9 ，a ) x d 0 ， ，p ) x 同样0 ，9 ，a ) 冗( j ， ，p ) = 争0 ，g ，a ) x 7 皂+ ( j ，i l ，肛) x 1 0 山东师范大学硕士学位论文 反之，令x ：毋- + 岛是一个好同态固定1 j n a ，令e 是t 的单位元，则对 ，j j ，由引理2 ，1 2 可定义妒，肛，l j ，妒如下： ( 1 ，g p 五1 ，1 ) x = o ，( ) 晡1 ，口) 0 t ) ， ( 蟊尸五1 ，1 ) x = “妒，p 蛎，口) a j ) ， ( 1 ，e ，a ) x = o ，n ， 妒) q a ) 这里只需证明胁g ( 日) 似n 对于( i 巧i 1 ，1 ) ，j ( f ，p 五1 蜀1 p 五1 ，1 ) 最，使得( i j 巧i 1 ，1 ) ( ，p 五1 p l l p 五1 ，i ) = 托巧i 1 ，1 ) 为一个幂等元所以对于( ，巧i 1 ，1 ) x = ( 仍m 耐，口) ，也存在一个元( ，b ，t ) e 岛，使 得( 妒，脚耐，日) ( ，6 ，) = ( 印，呸；，t ) ，所以m 耐帆6 = q 高，因此存在元素c 日，使 得m c = e 类似的，存在c ，日使得c ，胁= e ，从而得出m g ( 日) ( v f n 玖 g ( 日) ( v a a ) 类似可证 容易看出，l 妒= 矗l 妒= 日对任意野a t 我们有 ( 1 ，9 矗，1 ) x ( 1 ， 巧1 ，1 ) x = ( j ，( 9 u ) 四，口) ( j ，( u ) 耐，口) = ( 五( 9 u ) ( 胁) 螨1 ，口) ， 【( 1 ，9 1 ，1 ) ( 1 ， 1 ，1 ) 】x = ( 1 ，g 1 ，1 ) x = ( 矗( g ) “呖1 ，口) ， 因此( ) ( u ) = ( 9 ) u ，所以u 是同态进而 0 ，g ，a ) x = ( i ，p 1 ，1 ) ( 1 ，9 尸五1 1 ) ( 1 ，e a ) 】x = 0 ，p 矗1 ，1 ) ( 1 ，g p 矗1 ，1 ) ( 1 ，e ，a ) x = ( i 妒，胁呖1 ，口) ( ( 9 u ) 呖1 ，p ) 0 ， a ，a 妒) = ( i l p ，m ( 9 ) l ， ，a 妒) 所以x 具有形式( 2 ) 从而我们得到 ( 1 ，e ，a ) x ( i ，e ，1 ) x = ( 矗p lz a ，a 妒) ( i p ，p 1 ，口) = o ，p l l 飞弧妒j 妒胁p i ，占) ， 【( 1 ，e ，a ) 0 ，e ，1 ) 】x = ( 1 ，p f ，1 ) x ：( j ，卢l f j ) 1 ，口) 从而说明，满足( 1 ) 式 口 山东师范大学硕士学位论文 2 2 广义胁s 矩阵半群的好同余 以下设s = p ( j ，za p ) 是可消幺半群上的r e e s 矩阵半群 定义2 2 1s = p ( j ，z a ；p ) 是可消幺半群t 上的毗e s 矩阵半群，一个三元组 ( r ，口，7 r ) ( ，) xc ( t ) ( a ) 称为是容许的，若 t 是口一可消的，i 巧或a ”p 则p 耐叩幻p 孑， 其中( j r ) ，( a ) 分别表示j ，a 上的等价关系的集合，c ( t ) 表示t 上同余关系的集 合 引理2 2 2 对于上面定义的三元组，定义关系p = p ( 叩。) 如下： “，g ，a ) p ( j ， ，p ) 亭打0 ，p p t 9 p 肚仃p 酊，妒p ( v 七j ，p a ) ，a 7 r p 则p 是s 上的一个同余 证明p 是一个等价关系显然，下证p 的相容性 对( t ，吼a ) p ( j ， ，p ) ，( f ，t ，) s ，k j ，口a ，有功 g 吼口嘞 巳“所以b f 9 最f 己 口 巳f t 昂，且i 巧，因而( 1 ，9 ，a ) ( f ，) = ( i ，g b z t ，) p ( j ， 兄l t ，) = ( 曩凡，p ) ( ：，t ，p ) ， 从而，p 是右相容的类似的可证明左相容性，所以p 是s 上的同余 引理2 2 。3 ( r ，q 口) ，( 一，一，一) 是s 上的两个容许三元组，则 p ( r ) p ( r ，一，) 等r 一，盯一，丌垦7 r 证明令p = p ( ”，。) ，= p ( ，一，。，) p ，若i r j ，则对任意a ，p a ，有 玩吒1 口嘞1 ，所以取吒1 r a 铂吒1 p e ( 七n 因而( ，吒1 ，a ) 比气1 ，a ) ，从 而也有p 7 关系，所以 r ，由此可得r 一，同样的，7 r 丌， 若n 6 ，贝0 ( i ，a ) p 0 ，6 ，a ) “，a a ) ，所以0 ，n ，a ) ( i ，6 ，a ) ，从而d d 6 ， 反之显然 定理2 2 4s = 肛( f ，t ，a ；p ) 是可消幺半群t 上的r e e s 矩阵半群，( r 口， r ) 是s 上 一个容许三元组，则p = p ( v ，。) 是s 上的一个好同余 反之。对s 上的每个好同余，存在唯一的容许三元组( r 乃”) ，使得p = 矿咖，) 证明设p = p ( v ，。) ，由引理2 2 2 知p 是s 上的同余，下证它是好的 设( ，口，a ) p ( j ，6 ，a ) ，对任意的( ，c ，v ) ，( 七7 ，c ，) s ， “，口，a ) p ( 七，c ，) p = a ，口，a ) p ( 七7 ，c ，) p 1 2 山东师范大学硕士学位论文 铮p 7 r p 且场t o r k c b t 盯口b fc ，b ，( w a ，t j ) 争”p 且段t c b l 口最女，c ，乃t ，) 铮7 r p 且嘞6 最k c r 口嘞6 r 女，c ，b ，t ( w a ，t j ) = ( j ，6 ，入) p ( _ i ，c ，p ) p = 0 ，6 ，a ) p ( 七，c ，l ，) p ， 即 “，口，a ) p c + ( 6 ，a ) p 类似的可得 ( i ，d ，a ) 7 寸0 ，6 ，p ) = a ，d ，a ) p 佗+ 0 ，6 ，p ) p 所以p = p ( r ，叩) 是好的 反之，设p 是s 上一个好同余，则x ：s _ 剐p 是一个好同态并且彤p 也是可 消幺半群上的趾e 8 矩阵半群1 8 j 假设彤p = “z ，q ；刎，由定理2 1 4 知存在一个 h 五元组( f ，芦，u ，v ，们，使得x = x 汜p ，p ，”) ，令r = 零，口= 瓦7 r = 每，下证( r ，口，”) 是一个容许三元组 设 r j ， ，p a 则= 必并且有下式； ( 最。1 1 灿= ( b t u ) ( u ) _ 1 ( u ) ( u ) - 1 = ( 玖叭 f m ) ( 唯缸 f 肼) 。( 唯钆_ 靠心) ( 蝴乳口靠坳) “ = p x q t t p i 眨1 q 盎i 乏”i l q 戚p i 嵋i q 茹1 i l = l ， 所以( b 。1 ) u = ( 1 ) u ，即氏1 a 1 类似可证a ”p 净如1 一1 下证t 是口一可消的若一6 c ，即o = 6 因为p 也是可消幺半群上的 e s 矩阵半群，所以“= ，即口6 同样口c 6 = n 口6 因此t 是j 一可消的 必须证明对任意的( i ，毋a ) ，匕矗，p ) s ，有 ( 1 g ，a ) p ( ，一) o ， ，p ) 争“，9 ， ) x = o ，l ，p ) x ， 即 i 巧，a 7 r p ，疡i 9 取 口f 如 尸i k ( v 自，p a ) 甘= 必，蛔= p 口，m ( 9 “j ) n = 助( u ) 唯 只需证明在= k ，枷= p ”时， 岛 9 最t 口局j 丘k ( v ，目a ) 铮m ( ) 心。= 脚( 胁) 1 3 山东师范大学硕士学位论文 这从下面的式子中可以证明； p 。西p 酶o p o j h p 吐 铮( 局f 9 最归= ( 嘞 昂k p 营( 局i u ) ( ”) ( b k ( ，) = ( 勖u ) ( 胁) ( 巳女，) 营( 即珊目，地) ( g ( ，) ( 玖瓠口，f 船) = ( 即珊q j f 脚) ( u ) ( 唯缸”，k f 脚) 铮m ( g ( ，) 玖= 蜥( c ，) 所以p = p ( v ，。) 唯性由引理2 2 3 知 口 1 4 山东师范大学硕士学位论文 第三章一纯整群并的结构 本章主要给出了一纯整群并的的定义，它是纯整群并的一类推广，我们给 出了此类半群的结构 3 1 预备知识 设s 是半群，c g ( s ) 是s 的左同余集合，p g ( s ) ，定义s 上的p 一关系 为： 。c p = = ( 口，6 ) sx s i ( 比，可s 1 ) o $ p n 分 = 6 。p 6 可) ， 容易证明，c p 是s 上一个右同余我们下面用磁表示。所在的c 一一类 定义3 1 1s 是半群，p c c ( s ) ，若对v n 只磋ne ( s ) 也则称s 是一富足 半群若对v n s i 磁n 厶l = l ，则称s 为强一富足半群磁n l 中的唯一的 元记为扩 定义3 1 2 一个强一富足半群s 称为一个一纯整群并，若e ( s ) 是带，且满 足e h r e s m a n n 型条件，即e t _ 条件f 9 】： ( v d ，6 s ) ( 0 6 ) 9 口( 层( 研) 9 扩， 引理3 1 3 设s 是半群，下列叙述等价： ( i ) 动c e ( s ) ，使得s 是一个强一富足半群，且e ( s ) 是矩形带； ( i i ) j p c g ( s ) 使得s 是一个一纯整群并，且e ( s ) 是矩形带； ( i i i ) s 同构于一个矩形幂幺半群f ? a ，且存在彩( ? ) ，使得? 是一左 可消的 证明( i ) = 争( i i ) 由于e ( s ) 是矩形带，所以_ s 满足e t 一条件显然 ( i i ) = ( i i i ) 设( i i ) 成立，取e e ( s ) 并令 s ：= ( 。s iz p = e ) v 。，6 筑，我们有。沈= e 曲= 曲且 ( ，掣s ) 口k 舶蚵曹口p 妇j d 扩6 暑甘妇p 的铮e z p 叫 因此( n 6 ) 9 = e 从而& 是s 的一个幂幺子半群w e ( s ) ，定义映射： 白，e ：研+ ，n 卜e o e 1 5 山东师范大学硕士学位论文 注意到e ( s ) 是矩形带，我们有比，口s 1 c c z f 彤“o v 讳( e n ) p e z p ( e o ) 户e 暑， 争e = e ( e o ) p e 。p e ( e o ) p e 材= e y 故( e o e ) 一= e ，从而白，。是良定义的又 q z s | 、暑f $ e 。f = | e e j = | e f z f e f = f z l = ， 婶g s e l 呔e f z f = e f g f e = e j 哪e f e = e g e = 9 1 因此，c 是一个双射且f 矗= ，进一步地，