（基础数学专业论文）利用有限局部环zpkz上的向量空间构作cartesian认证码.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 设r = z p 七z ，其中p 是素数，k 1 本文利用r 上向量空间构作了一个c a r t e s i a n 认证码，并计算了该认证码的各个参数在假定信源和编码规则按照等概率均匀分布的 条件下，给出了认证码的成功模仿攻击概率b 和替换攻击概率b 。 关键词：c a r t e s i a n 认证码；向量空间；有限局部环 大连理工大学硕士学位论文 u s i n gv e c t o rs p a c eo v e rz p 七zt oc o n s t r u c tc a r t e s i a n a u t h e n t i c a t i o nc od e s a b s t r a c t l e tr = z p 七zb eaf i n i t el o c a lr i n gw h e r epi sap r i m ea n dk 1 i nt h i sp a - p e r ，w eu s et h ev e c t o rs p a c eo v e rf i n i t el o c a lr i n grt og e tac o n s t r u c t i o no fc a r t e s i a n a u t h e n t i c a t i o nc o d e s m o r e o v e r ，a s s u m et h a tt h ee n c o d i n gr u l e sa r ec h o s e na c c o r d i n gt o u n i f o r mp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，t h e 片a n dp 8 ，w h i c hd e n o t et h el a r g e s tp r o b a b i l i t i e s o fas u c c e s s f u li m p e r s o n a t i o na t t a c ka n das u c c e s s f u ls u b s t i t u t i o na t t a c kr e s p e c t i v e l y , o f t h e s ec o d e sa r ea l s oc o m p u t e d k e yw o r d s ：c a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e s ；v e c t o rs p a c e ；l o c a lf i n i t er i n g i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：盏拯日期： 每年日r a 大连理工大学硬士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 又 作者签名： 导师签名： 鼽象 迦l 年月l 日 3 7 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 1 1 课题背景及文献综述 在信息的传输和存储中，安全是至关重要的一般来说，信息系统的安全，是指保 证信息在系统中的保密性、完整性和认证性保密性，即非授权人不能提取系统中的信 息，通常用密码方法解决这一问题；完整性，即表示在有干扰的条件下，系统保证能使 所接收到的信息和原来发送的信息一致，这常常借助于纠错码来完成；认证码，即接收 者能够识别和确认信息的真伪，防止信息被敌方篡改、删除和伪造等 认证使防止敌方进行主动攻击的重要技术，而认证码使解决信息的认证问题的一种 方法万哲先先生于9 0 年代初就发现用有限域上典型群的有限几何可以构作验证码并 且成功地构作了许多验证码，后来在这方面工作的还有游宏教授和南基洙老师及其学生 等，他们利用有限域上矩阵几何和矩阵方法构作了许多验证码特别的，游宏教授和南基 洙老师在研究有限局部环z v 如z 上的向量空间时已经给出了其中一些重要的计数定理 1 2 本文内容结构 第一章绪论概述了认证码产生的背景，发展状况及本文要讨论的内容 第二章预备知识本章着重介绍后面的几章中要用到的一些符号，概念，定理等 1 利用有限局部环z p 七z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 丛塑至鱼 第三章c a r t e s i a n 认证码的构作本章利用r 上向量空间构作了一个c a r t e s i a n 认证码，并且计算了相关参数 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 c a r t e s i a n 认证码 定义2 1设s ，e ，m 是三个非空的有限集合，：s e 一m 是一个映射，它 满足： ( 1 ) ，是满射； ( 2 ) 对任意的m m 和e e ，如果存在一个8 s 使得，( s ，e ) = m ，则这样的 8 是被m 和e 所唯一确定我们称这样的四元组( s e ，m ；，) 为一个认证码 在一个认证码( se ，m ；，) 中，s ，e ，m 分别称为信源集、编码规则集和信息集， ，称为编码映射对s s ，e e ，m m ，如果m = f ( s ，e ) ，则称信源8 在编码规则 e 下加密成信息m ，简称m 包含编码规则e ，也说8 是相应于信息m 的信源基数 lsl ，iel ，imi 称为这个码的参数 定义2 2设( s ，e ，m ；，) 是一个认证码，如果对任意的m m ，总存在唯一的 8 s ，使得，( s ，e ) = m ，其中e 是包含m 在中的任一编码规则，则称这样的认证码为 c a r t e s i a n 认证码 假设在一个通信系统中，除了信息的发方和接收方外，还存在一个敌方，而且敌方 掌握某种技术可以对系统进行攻击通常敌方对系统进行两种攻击：模仿攻击和替换攻 击 模仿攻击，是指敌方在未观测到信道中发方给收方的信息条件下，通过信道发送一 个伪造的信息给收方的攻击 替换攻击，是指敌方截取到发方给收方的一个信息后，进行分析并且发送另一个信 3 利用有限局部环z p 七z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 息( 伪造的信息) 给收方的攻击 我们假设发方和收方彼此信任，且共同对付敌方为防止敌方的模仿和替换攻击， 发方和收方可以选用一个公开的认证码( se ，m ；，) ，但在通信前约定一个固定的编码 规则e e ，此选定的编码规则是保密的如果发方想把信源s s 发送给收方，首先 要用选定的编码规则e 将m 加密成信息m = f ( s ，e ) ，然后把信息m 通过信道发送给 收方当收方接收到信息m 后，要判定m 是否合法，即确定选定的e 是否包含在m 中，如果e m ，则收方认为m 是合法的，然后在e 下解密得到信息8 ，且使得m = ，( s ，e ) 成立如果e 不属于m ，则收方认为仇是非法的 敌方在没有观测到认证系统传送来的合法信息的条件下，伪造一个信息发送给收方， 若收方将此信息作为合法信息接收，则称敌方模仿攻击成功；敌方在截取到认证系统传 送来的一个合法信息，即截取到发方给收方的一个合法信息的条件下，分析并伪造一个 假的信息发送给收方，若收方也将此信息作为合法信息接收，则称敌方替换攻击成功 我们用毋和b 分别表示敌方模仿攻击和替换攻击成功的概率的最大值，并且成为 成功的模仿攻击概率和成功的替换攻击概率 肛一m a x 掣 m m i e i 耻，淼州肇器铲 其中e m 表示编码规则e 包含在信息m 中，即存在信源8 s ，使得f ( 8 ，e ) = m 2 2 群在集合上的作用 定义2 3设g 是一个群，s 是一个集合，若存在映射 gxs s 适合下列条件： ( 1 ) e 术z = z 4 大连理工大学硕士学位论文 ( 2 ) ( g l ，l ：9 2 ) 木x = g l 木( 9 2 宰z ) 对一切z s ，9 1 ，9 2 g 成立，则称g 在s 上定义了一个作用 定义2 4群g 作用在集合s 上，对z s ，称 虿= 夕，i = z 1 9 g ) 为z 在g 作用下的轨道 s 中的两个元素在同一个轨道上，是s 上的一种等价关系因此，两个轨道虿和可 或者重合或者不相交 定义2 5 群g 作用在集合s 上，对z s ，g 的子集 q = 夕a l g 木x = z ) 是g 的一个子群，称为x 在g 中的稳定化子 为书写方便，下面将9 术x 简写为9 z 定理2 1 【1 】群g 作用在集合s 上，则。s 的轨道的势，即i - i 等于指数 g ：q 证明令9 ，h g ，由于 g x = h x g - 1 h x = z 9 - 1 h g z g g z = 危g z 从而由g g = h 夕z 给出的映射可以定义出由6 k 在g 中的全体陪集所组成的集合到轨道 虿= z t g g 之上的一个一一对应，因此有l - i = 【g ：g 4 推论2 1 1 1 】设群g 作用在有限集合s 上，则有 i s l = g ：刚 x e c 其中c ( cs ) 是s 诸轨道中的代表元之集 2 3 有限局部环上的向量空间 设z 加惫z 是模整数p 七的有限局部环，其中p 是素数，k 1 将整数a 在r 中的 像记作瓦显然 是r 唯一的最大理想 5 利用有限局部环z p 七z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 由k ( r ) ( 或者简写为y ) 表示r 上由所有礼元数组( x l ，x 2 ，z n ) ，鼢r ，i = l ，2 n 构成的的礼维行向量空间 k ( r ) 的直和被称为k ( 兄) 的子空间标准环同态7 r ：r _ r ( 冗 是一个域) 诱导了一个冗一模同态a ：v w 若尸为r 的一个子空间并且 d i m ( 入p ) = m ，我们称p 为y 的一个m 阶子空间令钐1 ，t j 2 ( m 佗) 为尸的一 组基我们以mx 佗阶矩阵( 秽1 ，v 2 ，) t 表示子空间p ，记作 p = ( 钞l ，移2 ，) ? 我们用相同的字母p 表示代表子空间p 的矩阵，用，n ( r ) ( m 礼) 表示r 上所有 仇佗阶矩阵，用g l n ( r ) 表示r 上所有礼阶可逆方阵标准环同态7 r 同样诱导了一 个映射a ：，n ( r ) 一，竹( r ) ( 相应的a ：g l n ( r ) _ g l 住( r ) ) 对于 仇佗阶矩阵p 若阶( 入p ) = 7 - ，我们说矩阵p 的实阶为7 _ 群g l n ( r ) 以这样的方式 作用在k ( 冗) 上 ( r ) xg l n ( r ) _ k ( r ) ， ( ( z 1 ，z 2 ，z ，i ) t ) _ ( z 1 ，z 2 ，z n ) 丁 直积g l m ( r ) xg l n ( 冗) 以这样的方式作用在集合a ，n ( 冗) 上 g l m ( r ) xm m ，n ( r ) xg l n ( r ) ，他( r ) ( s ，a ，丁) _ s a t 若a ，b 尬n ，n ( r ) 并且存在s g l m ( r ) 以及t g l n ( r ) 使得b = s a t ，我 们称b 等价于a 用m ( r ，m 佗) 表示冗上所有实阶为r 的mx 礼阶矩阵的集合，用 佗( r ，mx 佗) 表示这个集合元素的数量，也就是说 使得 n ( r ，仇xn ) = l m ( r ，mx 竹) l 引理2 1 1 2 ： 若p 和q 为两个实阶为m 的m 扎阶矩阵，则存在t g l 仡( r ) q = p t 6 大连理工大学硕士学位论文 引理2 1 2 1 ：r 上所有m 维子空间在g l 竹( 冗) 下构成一个轨道 引理2 2 【3 】： g 酬驯= p k n 2 ( 1 一护1 ( 1 一歹1 却胖n 娶- 1 ( 1 - p i - n ) 引理2 3 5 】( s m t 忱标准型) ：对于，n ( 冗) 中的任意矩阵a ，都存在s g l m ( 冗) ，t g l n ( r ) 使得 s a t = 0 其中1 r l r 2 r t k 一1 ，r + t m 参数组( 7 ，t ，r 1 ，r 2 ，亿) 由矩阵a 唯一 确定 引理2 4 1 4 1 ：方程万= 一0 在有限局部环r 上有p r 个不同的解 引理2 5 ：方程组 在有限局部环上 当7 l 时有p 2 8 组解 当7 墨时有p 七组解 证明设 z = a o + a l p l + + a k - l p 知一1 y = b o + b l p l + + b k - l p 七一1 7 可 一o = = 矿 勋 ，j(1【 利用有限局部环z p 七z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 则根据方程组有 b o + b l p + + b k 一功。一1 0 所以有b o = b l = = b 8 - 1 = 0 以及b o = b l = = b k 一。一1 = 0 当7 时b k 一。，6 岛一s + 1 ，b k 一1 各有p 种取法，a k - s , 口七一卧l ，口七一1 也各有p 种取法，a o = b 。，a k 一。一l = b k 一1b o = b 1 = = 玩一。一1 = 0 ，方程组解的组数为 p 8 p 8 = p 2 s 当r 鲁时b 。，b k 一。+ 1 ，b k 一1 各有p 种取法，a k 哺a k 一卧1 ，a k l 也各有p 种取 法，a o = b ”a k s l = b k 一1b o = b 1 = = b s l = 0 ，方程组解的组数为p k - s p 8 = p 七 引理2 6 ： 证明设 方程万= y 在有限局部环r 上有p 七组不同的解 z = a o + a l p l + + a k - t p 七一1 y = b o + b l p l + + b k - l p j c 一1 贝0 有a o p 8 + 口1 p 卧1 + + a k 一8 一l p 七一1 = 6 0 + b t p + + b k l p 一1 所以 b o = b l = = b s - 1 = 0 b s = a o ，b k 一12a k - s - 1 知，a k 一1 各有p 种取法，所以方程在有限局部环上有p 庇组不同的解 8 | i = + + + + + 啼 争 一 l 哩 6 十 + 舻 渺 吣 ，f、【 大连理工大学硕士学位论文 3c a r t e s i a n 认证码的构作 3 1 认证码的构作 拈卜) ( 8 ，( 9 1 ，9 2 ) ) 一9 1 s 9 2 1 g l g l m ( 冗) ，9 2 g l n ( r ) ，8 s 由定义可知任意m m 都存在唯一的8 s 与之对应，使得厂( s ，e ) = m 所以这 样的作用，是满射，由c a r t e s i a n 认证码的定义可知这样的( s ，e ，m ，) 为c a r t e s i a n 认 证码 9 利用有限局部环z p 船z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 3 2 认证码参数的计算 引理3 1s s i = m 一1 证明 由于a 为固定值，所以i s l 只与的取法有关由假定的m n 可知 s i = m 一1 引理3 2 ： m - 1 n - 1 e l = 矿m 2 御2 ( 1 一一) h ( 1 一哪) i = o i = o 证明由引理2 2 即可证明 定理3 1 5 1 ； 设a m m ，n ( r ) 是有限局部环r 上m n 阶矩阵，a 的不变因子 组是( r ，亡，r l ，r 1 ， 、- 、，一 ，其中：= l & = 亡，1 r 1 r 2 n k 一1 ， s 1s 2 哪么，礼( r ) 中与a 等价的矩阵个数等于 p k ( m 2 + n 2 ) n m i = 一0 1 ( 1 一p i - m ) n 任n - 0 1 ( 1 一p 一n ) n zs t 一1r 一1 仃l r t ln r t 一1 = 矿( 1 一矿- 8 ) h ( x p 扣r ) ( 1 一矿嘲+ 件) ( 1 一矿哪押q ) i = 1j = o j = o z 口= 阶“) 2 + r e ( m - r 一亡) + 扎( 礼一7 一亡) + i = 1 引理3 3 ： i = 0i = 0 1 = 1 邵；+ 2 i = lj = i + l p k ( m 2 + n 2 n m i = 一0 1 ( 1 一 f s s j + ( m ，+ 竹一2 r - - 2 t ) e n s t i = 1 p i - m ) n n 渤- 1 ( 1 一p i - , ) r 一1 仇一r 一2 n n r 一2 = 矿( 卜p 。1 ) ( 1 一一r ) n ( 1 一一m + m ) ( 1 _ p m + ) i = 0 i = 0 i = 0 臼= 酬( r + 1 ) 2 + m ( 仇一r 一1 ) + n ( 礼一r 一1 ) + ( m + n 一2 7 一1 ) o 1 0 大连理工大学硕士学位论文 证明由定理3 1 ，根据定义此处z = 1 ，8 1 = 1 ，= 1 ，r = a ，代入即得 引理3 4 1 s ： 子组为 a s 为有限局部环冗上m n 阶矩阵对应的s m i t h 标准型不变因 ( r ，亡，：炉， 的二元组( s t ) 的个数 程 集合中的元素，则满足方程 c 厂a t = a u g l m ( r ) ，t g l n ( 冗) n = p 七( ( r + 2 ) 2 + m ( 7 7 l - r - t ) + n ( n - - r - - t ) ) + ：一1n 8 + 2 t i ：- 1 1 曷；件17 i 8 _ f 9 t + ( m + 他一2 r 一2 t ) ：l 乳r t z 8 i 一1，一1 ( 1 - 哪) i = 1j = o 引理3 5 ： f i t - - r - - t - - 1 n - r - - t - - i ( 1 一p 江r ) ( 1 一p 卜仇+ 件。) ( 1 _ p i 嘶卅。) i = 0 设仇m ，则属于仇的编码规则e 的个数 i = 0 n = p 七( ( r + 1 ) 2 + m ( m r 一1 ) + 竹( 佗一r 一1 ) ) + ( m + n 一2 r 一1 ) n ( 1 一p - 1 ) r 一1m r 一2n r 一2 ( 1 一p 卜r ) ( 1 一一竹+ 1 ) ( 1 一p 扣坩+ 1 ) i = 0 i = 0i = 0 证明令8 s 为仇所对应的信源，则属于m 的编码规则的个数即为满足矩阵方 g l s g 手1 = m ，9 1 g l m ( r ) ，9 2 ( i ) g l 佗( r ) 的解( 夕1 ，夕2 ) 的个数我们知道至少有一对( 9 i ，必) ，g i g l m ( 冗) ，g i g l n ( r ) 使得 从而有 所以有 令 9 i s 方1 = m g l s 万1 = 9 i s 方1 9 ，1 9 1 s g e l g 净s a = ( 夕1 ，夕2 ) 1 9 1 g l 仇( r ) ，9 2 g l n ( r ) ，g l s 万1 = m ) 1 1 伽 利用有限局部环z p 知z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 b = 0 i 9 1 ，万1 夕：) b 1 ，夕i g l m ( r ) ，9 2 ，9 ：g l n ( r ) ，夕f 1 9 1 s 万1 鲍i = s ) 定义集合a 与b 之间的映射 0 1 ，现) 妒：a b ( 9 ，1 9 1 ，万1 9 2 7 ) =( 夕i ，夕1 ) 一1 ( 夕1 ，9 2 ) 其中( 夕7 1 ，观i1 ) 是方程的一个固定解，则妒既单又满所以属于信息m 的编码规则e 的 个数等于i b | 因此，我们只需要计算方程贫s 蝣= s ，贫g l m ( 冗) ，虻g l n ( 兄) 的解( 贫，虻) 的 个数则由引理3 4 可得在l ：1 ，s 1 ：1 ，t ：1 ，r ：s 时 引理3 6 ： = p 知( ( r + 1 ) 2 + m ( m r 一1 ) + n m r 一1 ) ) + ( m + 几一2 r 一1 ) 口( 1 一p - i ) r lt n r 一2 ( 1 一p i - ) i = o ( 1 一p 卜仇+ 件1 ) n r 一2 ( 1 一p 讧计件1 ) t = 0 设m i ，m 2 m ，有共同的编码规则e 属于m l 和m 2 ，则属于m 1 和 m 2 的编码规则个数 在r 2 r 1 + 1 以及口鲁时 n2 p k ( m 2 + n 2 + 疃+ 知 一2 r i r 2 - - m r 2 - - n ? 2 - - m n + 1 ) + 。( m + n + 2 r 2 4 r l + 4 ) r 1 一i r 2 - - ? 1 1 - 2 i - i ( 1 一川) l - i = 0 i = 0 在r 2 7 l + 1 ( 1 一p 扣r 2 押1 “) 以及o 鲁时 m ，一r 2 2 i = 0 n r 2 2 ( 1 一p i - m + r 2 + 1 ) ( 1 一矿哪枇+ 1 ) i = 0 = p 凫( r n 2 + n 2 + r 2 2 r 口2 l 一2 7 1 7 2 - m r 2 一n r 2 一m 一礼+ 3 ) + n ( 饥+ n + 2 r 2 4 r 1 ) r 1 一i r 2 一n - 2 ( 1 一叫1 ) n ( 1 一叫。机+ 1 ) i = 0 在r 2 = 7 1 + 1 以及o 鲁时 ( 1 一p 卜m + 他“) n r 2 2 ( 1 一哺机“) i = 0 n = p k ( m 2 + n 2 + r 一m r 2 一n r 2 一m n + 2 ) + 口( m + n 一2 r 1 + 6 ) r 1 一i t n r 2 2 ( 1 一p 。) 2 ( 1 一叶1 ) i i t = o i = 0 n r 2 2 ( 1 一p 一m + r 2 + 1 ) 1 - i ( 1 一p 一n + ，2 + 1 ) i = o 1 2 铷 一渤 m 渤 大连理工大学硕士学位论文 其中 在r 2 = r l + 1 以及口 差时 ( 1 一p - t ) 2 n = p k ( m 2 + n 2 + r 一m r 2 一n r 2 一t n n + 4 ) + 。( m + n 一2 r 1 + 2 ) r 1 - 1 m r 2 2 r a n k ( m 1 ) = r l ，r a n k ( m 2 ) = r 2 n r 2 2 ( 1 一一押2 “) ( 1 一哪押2 + 1 ) i - - - - 0i = 0 证明设m 1 和m 2 是m 中的不同信息，r a n k ( m 1 ) = r l ，r a n k ( m 2 ) = r 2 ，则由信 源集定义r l r 2 ，我们不妨设r l r 1 ) l 将8 1 分为 将s 2 分为 其中 r 17 2 一r 1 + l 凡一r 2 1 717tt r 2r r 2 一 十上i 一 一上 0 7 17 2 7 1 + 1 佗一r 2 1 ：卜2 d ，：厂多p o o 、( ，：一n + 。) ( r ：一，+ ，) 对贫，虻进行相应的分块： 贫= 鲑= 0 r lr 2 7 - 1 + 1m r 2 1 s 1 2 2 岛2 r 1r 2 7 1 + 1 正2 t 2 2 t 3 2 1 4 s 1 3 & 3 岛3 礼一r 2 1 正3 如 如 2 - n lliij，、ll-、 s r l、l_、 1 1 1& & & ，。一 1 1 1正死乃 ，l_lfltill、 大连理工大学硕士学位论文 则原方程可表为 ( 萎；茎i 兰) ( 1 。，。) ( 蒌t 2 ；1 蒌t 2 i 2 三t 兰鹞) = ( 厶1 。，。) ( 兰i 兰i 萎) ( 1 。) ( 蒌t 2 ；1 蓁t 2 i 2 主t 兰2 3 ) = ( 1 。2 。) 展开后可得： s n 丑l + $ 1 2 d i t 2 1 = i 研1 t 1 2 + s 1 2 d 1 t 2 2 = 0 s n t l 3 士s 1 2 d 1 t 2 3 = 0 1 t l l + 2 d 1 t 2 1 = 0 岛1 五2 + $ 2 2 d 1 正2 = d 1 & 1 乃3 + $ 2 2 d 1 = 0 岛1 t l l + 岛2 d 1 疋1 = 0 岛1 t 1 2 + $ 3 2 d 1 踢= 0 岛1 五3 + 岛2 d 1 = 0 s 1 1 t 1 1 + s 1 2 d 2 t 2 1 = ， s n 正2 + s 1 2 d 2 正2 = 0 $ 1 1 t 1 3 士s 1 2 d 2 t 2 3 = 0 是l 正1 + 2 d 2 易1 = 0 1 乃2 + & 2 d 2 如= d 2 s 2 1 乃3 + 是2 d 2 如= 0 s z l 丑1 + & 2 d 2 死l = 0 岛1 孔2 + & 2 d 2 t 2 2 = 0 & l n 3 + & 2 d 2 t 2 3 = 0 1 5 设 由s s l = 8 1 t 一1 得 所以 则 同理 即要求& 2 满足 岛1 = 0 岛2 d 1 = 0 n ( s 3 l ，t 3 1 ) = l v ( t 3 1 ) = p k r l ( n - r 2 - 1 ) 矿s 3 2 。， 矿岛2 。1 & 2 d 2 = 0 p $ 3 2 。一，2 一l ，l 0 0 1 6 ( m - - r 2 - 1 ) ( m - r 2 - 1 ) = 0 、l 3 3 ；墨足疋正巧巧 ，jlliiiil、 = 一 t 兕嘲o啊。礓嘲o ，ilill-iii、 = 、l o o o d 拴 !您最蹦& & & 是 o o ； o 0 ； 大连理工大学硕士学位论文 岛2 1 1 岛2 2 1 岛2 1 r 2 - r l & 2 2 r 2 - r 1 岛2 1 ，r 2 _ ”l 矿 岛2 2 r 2 _ r 1 + 1 矿 i 岛- r 2 _ 1 1 & 2 。一，2 - 1 ，2 - r l 岛一，2 - 1 ，2 - r l + 1 矿 由引理2 4 可知n ( $ 3 2 ) = p 引m - - r 2 - 1 ) 则 ( r n - - r 2 - - 1 ) x ( m - - r 2 - - 1 ) n ( s 3 2 ，t 3 2 ) = p k ( r 2 - r l + 1 ) ( n - r 2 - 1 ) + 口( m - r 2 1 ) 同理由s 1 t = s 8 1 可得 则 丑3 = 0 n ( s 1 3 ，t 1 3 ) = n ( s 1 3 ) = p k r l ( m - - r 2 - - 1 ) 得到( ) = p a ( n - r 2 - 1 ) 则 由引理2 2 可知 d 1 t 2 3 = 0 d 2 t 2 3 = = 0 n ( s 2 3 ，) = p 知( r 2 - - r l + 1 ) ( m - - r 2 - - 1 ) 知( n - - r 2 - - 1 ) ( 。，t 3 3 ) = p k ( m - r 2 - 1 ) 2 代入原方程组后得 m r 2 2n r 2 2 = 0 ( 1 一p 扛卅叶1 ) p k ( 沪铲1 ) 2 ( 1 一p 卜讲1 ) 1 7 i = 0渤 j o o d = l l i l = l 2 l 1 乃死乃是 d d d d 研 负 岛 + + + + 正正正正& & & & ，iill_l_ilj，、ii_iii、 利用有限局部环z 肋惫z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 等价于 设 则有 展开得 ( 萎：量：) ( 1 。) ( 凳：凳：) = ( 1 。，) ( 量：量：) ( 厶1 。) ( 兰：羔：) = ( 1 。) ( 兰：量：) ( 厶1 。，) = ( 厶1 。) ( 瓷：芝i ) ( 量：喜兰) ( 厶1 。) = ( 1 。) ( 笺：茏：) 1 8 巩1 巩2 d 1 巩1 d 1 既2 ， o o d = = = = l 2 l 2翰砀踢 d d d d & 母& + + + + 正正正丑& & & & ，j、。_， 、lij， 2 2巩巩1 1 巩巩 l l o 、lij， 2 2乃乃 1 1噩疋 = = = l l & 归归 & ，、i【 大连理工大学硕士学位论文 由& l = 巩1 及引理2 2 可知 下面考虑n ( s 1 2 ，巩2 ) 巩1 巩2 d 2 u 2 1 d 2 u 2 2 r l - - 1 n ( s 1 - ，巩- ) = p 角r 1 - i ( 1 一吨) i - - - 0 再次对d l ，d 2 进行分块( 此处假定7 2 一r 1 2 ) 1 r 2 一r l 一11 f 铲 d 1 。l 0 1 r 2 一r 1 1 耻卜 。 对s 1 2 ，巩2 进行相应的分块以后有： 1 9 = = = = 1 2 1 2 研归渺 & & ，i【 、lf、l-、 o 1 矿 、lllj， 寺 盘 盘 乳 勿 砧 巩巩巩 盘 七 。 缸 勿 砧 巩巩巩 缸 缸 砧 巩巩巩 ，。一 = 、l，0 0 矿 ，。一 、lj， 声 声 p 缸 勿 拓 & & & 二 二 盘 缸 勿 孙 & & & h 刍 乳 2 2 2& 毋& ，f-lllilill、 、l 3 3 3 h 刍 瓢 2 2 2巩巩巩 2 2 2 h 刍 玉 2 2 2巩巩巩 1 ， ， h 刍 乳 2 2 2巩巩巩 ，o一 i i 、l， 矿 n一0 1 ，f-ii_il、 、llllli， 3 3 3 h 如 豇 2 2 2 s c ，) s 2 2 2 k 办 玉 2 2 2& 研& l 2 3 2 2 2& & & ，f一 即为 比较等式两边后由引理2 2 知 同理可知 下面考虑( & 2 ，巩2 ) n ( $ 1 2 ，巩2 ) ( 岛1 ，踢1 ) 对& 2 ，巩l 与d l ，d 2 相应的划分后得 = p a ( 1 2 - - r l + 1 ) = p a ( r 2 - - i 1 + 1 ) ( 兰三三差i ；三兰i ! 三) ( 1 。一九矿) = ( 1 。一n 矿) ( 薹圣三差圣三差! ；三) 计算后得 差圣三三三) = ( 矿专2 1 1 矿专2 1 ，2 矿孳2 1 3 对比等式两边有： 2 0 lf 矿矿矿 冉 冉 盘 缸 勿 孙 & & & a 盘 七 乱 勿 彩 & & & d d a 勿 孙 & & & ，。一 = 、 0 o o o o 0 伊伊伊 乱 勿 孙 & & 研 ，。一 = 、lliili， 盘 矗 盘 缸 沈 勿 巩巩巩 盘 盘 七 乱 勿 砧 巩巩巩 d d d 乱 勿 貂 巩巩巩 ，-li-liil、 、l， l 互 乱 2 2 2饬k 饬 u u u 盘 盘 五 乱 勿 孙 忍么么 u u u 乱 沈 龆 如七如 u u u ，jiii_i-lill、 、llij， o o 矿 ，。一 = 、l o 0 矿 ，fi-liiliiii、 、l， 青 寺 怎 乱 叨 砧 & 是& 口 。 二 钉 宓 砧 岛 乱 红 拓 & ，f。一 、l 孔 钇k慨慨伽 针 勉 ，z慨慨伽一p 勉 ，z慨锄 一p ，。一 | i 、l伊伊伊 乱 沈 龆 & 乱 沈 孙 & & 缸 勿 孙 & ，。一 大连理工大学硕士学位论文 l。 越2 ”2 【2 l 1 矿= 由引理2 2 ( 2 l 1 ，2 ) = p k ( 1 一p 1 ) 有引理2 4 可知 由引理2 5 可知 当r 鲁时 当a 鲁时 由引理2 4 可知 由引理2 2 可知 厂p a 巩。 、 【 2 1 1 2 n ( s 2 ：l 2 ，巩2 1 ，2 ) u 2 2 1 ，1 p a 如2 1 1 =0 = 观2 1 2 = p 口( r 2 7 l 一1 ) 厂啪p 口= 巩2 耶 1p 。巩2 l ，3 ：o n ( s 2 2 1 ，3 ，u 2 2 l ，3 ) = p 2 a ； n ( s 2 2 1 3 ，u ：2 1 。3 ) = p 七 卜2 z 一o 【 巩2 孙= 2 ：，。 l v ( s 2 2 2 ”u 2 2 2 。1 ) = p a ( 咿”1 ) 巩2 2 ，2 = & 2 2 2 ( & 2 2 ，2 ，u 2 2 2 ，2 ) = 矿( r 2 - r l - 1 ) 2n 吕”2 ( 1 一p i - - r 2 + r l & 1 ) u 2 2 2 3 p 口= 2 2 3 2 1 利用有限局部环z v 七z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 由引理2 6 可知n ( $ 2 2 ：3 ，u 2 2 ：3 ) = p k ( r 2 - - r 1 - - 1 ) 由引理2 5 可知 当r 鲁时 当o 鲁时 由引理2 6 可知 由引理2 2 可知 综上所述：坏上i 您2 当d 喜时 j， 。，。 、 【2 。，矿 2p a u 2 2 3 1 =0 n ( $ 2 2 3 1 巩2 3 。) = p 2 a ； n ( s z 2 3 l ，u 2 2 3 ，1 ) = p 知 3 ，2 = p a s 2 2 3 。2 n ( $ 2 2 。 2 1 踢2 3 ，2 )= p k ( r 2 - n - 1 ) 巩2 3 ，3 = 2 3 。3 ( 岛2 3 ，3 巩2 3 3 ) = p k + 2 。( 1 一p - 1 ) n ( s 2 2 ，巩2 ) = p 2 k + 2 口( 1 一p - i ) 2 p 2 a ( r 2 - r z - 1 ) p 缸p k ( r 2 - r l - 1 ) 2 = 矿( ( 矿r 1 ) 2 + 1 ) + 加0 2 - 1 + 2 ( 1 一p 一1 ) 2 当a 鲁时 r 2 一r l 一2 r 2 - - r l - 2 ( 1 一p 衙2 + n + 1 ) p 2 k ( r 2 - r l - 1 ) i - - 0 ( 1 一p i - - r 2 + r l + 1 ) ! i 大连理工大学硕士学位论文 n ( $ 2 2 ，u 2 2 ) = 至此我们得到： 当a 鲁时 p 2 k + 勉( 1 一p - 1 ) 2 p 2 a ( r 2 - r l - 1 ) p 她p k ( r 2 - - r l - - 1 ) 2 f 2 - - r l 一2 ( 1 一p 衙2 机+ 1 ) p 2 k ( r 2 - r l - 1 ) r 2 一r 1 2 = 矿r 2 - r 1 2 + 3 + 2 口r 2 - r 1 ( 1 一p 一1 ) 2 i i ( 1 一矿7 2 + r 1 + 1 ) 扛= 0 n ( s 1 1 ，巩1 ) = p 七r r 1 一l ( 1 一p i - n ) i = o n ( s 1 2 ，矾2 ) = p a ( r 2 - r l + 1 ) n ( s 1 3 ，乃3 ) = p k n ( m - - r 2 - - 1 ) ( 岛1 ，观1 ) = p a ( r 2 - - r l + 1 ) ( 2 ，岛2 ) = ( ，) = p 知( ( r 2 - - r 1 ) 2 + 1 ) + 2 口( r 2 - - t l + 2 ( 1 一p - 1 ) 2 ( 岛3 ，) =p k ( 2 - - r l + 1 ) ( i r n - - ? 2 一1 ) + 口( n - - r 2 - - 1 ) ( 岛1 ，t 3 1 ) = p k n ( n - - r 2 - - 1 ) ( 岛2 ，t 3 2 ) = 矿( r 2 - - r l + 1 ) ( n - - r 2 - - 1 ) + 。( m - - r 2 - - 1 ) ( ，如) = p k ( m - r 2 - 1 ) 2 m - r 2 - 2 r 2 - - r l 一2 ( 1 一p 扣r 2 + 1 + 1 ) ( 1 一p 一m 讹+ 1 ) p k ( n - r 2 - 1 ) 2 n - - ? 2 - 2 ( 1 一p - r 2 + 1 ) 铷 渤 御御 利用有限局部环z p 七z 上的向量空间构作c a r t e s i a n 认证码 当o 耋时 n 一1 n ( s i l ，巩1 ) = p h ( 1 一p 卜1 ) i = 0 ( 岛2 ，矾2 ) = p a ( r 2 - r l + 1 ) ( & 3 ，正3 ) = p k n ( m - - r 2 - 1 n ( s 2 1 ，巩1 ) = p a ( r 2 - - r l + 1 ) n ( s ：2 ，2 ) = ( 2 ，巩2 ) = p 七( ( r 2 一r 1 ) 2 + 3 ) + 缸( ，2 一r 1 ( 1 一p - 1 ) 2 ( & 3 ，t 2 3 ) = p k ( 7 2 - - 7 i + 1 ) ( m 叱一1 ) + 口( n - - r 2 - - 1 ) n ( s 3 l ，t 3 1 ) = p k n ( n - - r 2 - - 1 ) n ( $ 3 2 ，t 3 2 ) =p k ( r 2 一r 1 + 1 ) ( n - r 2 - 1 ) + a ( m - r ： - i ) t n r 2 2 r 2 一r 1 2 ( 1 一p i 吖2 竹1 + 1 ) ( ，马3 ) = p 七2 1 2 ( 1 _ p i 一帅2 + 1 ) p k ( ：一1 ) 2 计算后得当o 罢时 他一r 2 2 ( 1 _ p i 吨慨+ 1 ) i = 0 n = p k ( m 2 + n 2 + r ；+ 2 r 1 2 - 5 7 1 7 2 - f 1 r 2 - n t 2 - f l l - n + 1 ) + 口( m + 佗+ 2 r 2 - - 4 r l + 4 ) r 1 - 1 f 2 - - r l - 2 i i ( 1 一吖1 ) i = 0 i = 0 当a 冬时 ( 1 一矿_ r 2 + r 1 + 1 ) ，n r 2 2 ( 1 一p 扣m +