（基础数学专业论文）可展曲面与可展子流形.pdf

中文摘要 摘要 经典微分几何中g a u s s 曲率恒为零的曲面称为可展曲面，它是经典微分几何 中重要的研究内容而在现代微分几何中，子流形是一个重要的研究内容，有着 重要的意义而可展子流形正是对经典微分几何中可展曲面的一种推广本文 主要研究可展曲面和可展子流形的性质和相关定理，并用g a u s s 映射研究可展曲 面和可展子流形，将部分可展曲面的结论推广到高维实空间形式r 和复空间形 式c 上 第一章简要介绍了本文的研究内容以及可展曲面与可展子流形的基本概念 第二章首先介绍了可展曲面的性质，并对曲面成为可展曲面的充分必要条 件，可展曲面上两点间的最短路径等方面对可展曲面进行了研究 第三章首先介绍了可展子流形的基本性质，然后分别研究了实空间形 式冗中的礼维完备子流形m 成为柱面或可展子流形的等价定理以及复空间形 式c 中的n 维完备复子流形m 成为复柱面的等价定理 关键词：可展曲面；可展子流形；g a u s s 映射；柱面 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t i nt h ec l a s s i cd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , t h es u r f a c ei sc a l l e dad e v e l o p a b l es u r f a c e w h e ni t sg u a s sc u r v a t u r ei s0 t h ed e v e l o p a b l es u r f a c ep l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i n s t u d y i n gt h ec l a s s i cd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y b u ts u b m a n i f o l d sa l s op l a yi m p o r t a n tr o l e s i nm o d e r nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y n o wt h ed e v e l o p a b l es u b m a n i f o l dg e n e r a l i z e st h e d e f i n i t i o no ft h ed e v e l o p a b l es u r f a c ei n3 - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e s t h i st h e s i s i sm a i n l yt os t u d yb a s i cf a c t sa n dt h e o r e m so fd e v e l o p a b l es u r f a c e sa n dd e v e l o p a b l e s u b m a n i f o d s ，a n da p p l yt h eg a u s sm a pt os t u d yd e v e l o p a b l es u r f a c e sa n dd e v e l o p a b l e s u b m a n i f o l d s m o r e o v e r , s o m er e s u l t so fd e v e l o p a b l es u r f a c e sa r eg e n e r a l i z e dt od e - v e l o p a b l es u b m a n i f l o d so ft h er e a ls p a c ef o r mr na n dt h ec o m l e xs p a c ef o r m c i nc h a p t e r1 ，s o m ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n df o r m u l a so fd e v e l o p a b l es u r f a c e sa n d d e v e l o p a b l es u b m a n i f o l d sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tr e c a l lt h ed e f i n i t i o na n df o r m u l a so fd e v e l o p a b l es u r f a c e s ， a n dt h e ns t u d yt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o nt h a ts u r f a c e sb e c o m ed e v e l o p a b l es u r f a c e s t h em i m m u mo ft h ed i s t a n c eb e t w e e na n yt w op o i n t so na d e v e l o p a b l es u r f a c ei sa l s o d i s c u s s e di nt h i sc h a p t e r t h ed e f i n i t i o na n df o r m u l a so fd e v e l o p a b l es u b m a n i f o l d sa r eg i v e ni nc h a p t e r3 ， a n dt h e nw es t u d yt h ee q u i v a l e n tt h e o r e m st h a tac o m p l e t en d i m e n s i o n a li m m e r s e d s u b m a n i f o l di nr e a ls p a c ef o r mr b e c o m e sac y l i n d e ro rad e v e l o p a b l es u b m a n i f o l d ， a n dt h a tac o m p l e t en - d i m e n s i o n a li m m e r s e dc o p l e xs u b m a n i f o l di nc o m p l e xs p a c e f o r mc 川b e c o m e sa c o m p l e xc y l i n d e r , r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：d e v e l o p a b l es u r f a c e ；d e v e l o p a b l es u b m a n i f o l d ；g u a s sm a p ；c y l i n d e r i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特另t j 3 n 以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：研嬲 签名日期：。埘年6 月1 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，l l p - 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务：学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：孓，i 矽才i 二 作者签名： 卜7l ，7 彳r 指导教师签名：存毵终 e l 期：纠8 、1 日期：删占- i 第一章绪论 第一章绪论 经典微分几何中g a u s s 曲率恒为零的曲面称为可展曲面，可展曲面 是c a g d 中一类广泛应用的曲面很多工业产品的外形曲面都是可展曲面， 如船壳，飞机机翼表面，汽车风挡等可展曲面是直纹面的一种重要类型，所 谓直纹面是由直线的轨迹所构成的曲面，这些直线称为直纹面的直母线直 纹面上取一条曲线( c ) ，它的参数方程是a = 口( u ) ，它与所有的直母线都相交 设6 ( u ) 为过曲线( c ) 上o ( 让) 点的直母线上的单位向量，则直纹面的参数表示 为：r ( 牡，) = a ( u ) + 6 ( u ) 可展曲面的理论是经典微分几何必涉及的内容，而可 展曲面的定义是这部分内容的基础经典微分几何中是这样定义的，把直纹面分 为两种情形： 1 a 6 ，与b xb 不平行，即( n 7 ，b ，b ) 0 。 2 a 7 6 ，与b xb 平行，即( a ，b ，6 ，) = 0 对于第2 种情形的直纹面我们称为可展曲面 可展曲面有且只有三种，即锥面、柱面和切线面，它对于曲面造型具有重要 的意义例如，如果物体外壳是可展曲面，那么它可以没有形变地展开到平面上， 从而可以用平板材料无形变地设计出来这一性质对于造船业、航空业中的外形 设计具有重要的意义关于可展曲面的微分几何性质，可以在任何一本微分几何 教材中找到可展曲面可以说是微分几何中比较简单的一类曲面 本文将从可展曲面的性质，曲面成为可展曲面的充分必要条件，可展曲面上 两点间的最短路径等几个方面对可展曲面进行研究 以上是曲线与曲面微分几何中定义可展曲面的方式，下面我们用子流形的观 点来定义可展曲面 设s 是2 维的微分流形，而：s _ 舻是浸入映射，则称( so ) 是舻中的浸入曲 面若在s 上有由曲线族 l ，x s ) 组成的叶状结构l 使得每一个( 也) 是直线 段( 称为刻度) ，当将切平面d t ( t z s ) 看作尺3 中的子集时，沿着每一个刻度的方向是 常数，此时( s ，) 称为可展曲面 在本文中，我们将考虑的可展子流形是兄中任意维数的流形设m 是n ( 礼 2 ) 维的微分流形，而：m 一冗是浸入映射，则称( m ，o ) 是r 中的浸入子流 形若在m 上有叶状结构厶其叶 厶，z m ) 是7 维的，每一个【。( 厶) ) 是r 中一 个7 维线性子族的一个开子集，当将切平面也( 瓦m ) 看作r 中的子集时，沿着每 1 湖北大学硕士学位论文 一个6 ( 厶) 的方向是常数，此时( m ，。) 称为可展子流形( r 中一个r 维线性子族 是冗中一个r 维向量子空问的平行移动) 设整数珏一7 是可展子流形m 的阶数， 而r 维的叶 厶) 或 。( 厶) ) 也称为刻度( r u l i n g s ) 定义a ( n ，l v ) 为r 上佗一平面的g r a s s m a n n i a n ，则在m 上可以定义退化 的g a u s s 映射： r ：m a ( n ，n ) 所谓退化是指微分d r 在m 上每一点都是奇异的，而事实上的d r 阶数n r 为了 以后的需要，我们说如果d r 的阶数至多为8 ，且一定存在阶数为s 点，称r 有阶数s 同时认为所提及的量，如m ，o ，三等都是铲的 我们知道可展曲面有且只有三种，即锥面、柱面和切线面而在在本文 中，我们将主要讨论，在什么情况下，一个完备的可展子流形是一柱面而实 际上，对冗中的n 维浸入子流形m ，如果在m 中存在一嵌入子流形m 7 ，使得m 与m 是微分同胚，同时在冗中的个正交变换下，有o ( m 7 ) cr 一，且使 ：m r 一p r r 三r n 的表达式为： v i ， 厂，z v ，( p ，z ) 一( 6 0 ) ，z ) 此时m 为一柱面而每一个 力t i 7 称为柱面的母线 一2 第二章可展曲面 2 1 可展曲面的性质 第二章可展曲面 性质1可展曲面的高斯曲率恒为0 对于直纹面： r ( u ，) = a ( u ) + 6 ( u ) ， 有“= 6 ( u ) ，所以曲面在p 点的沿方向的法截线就是直母线，这是一条直线，它 的曲率为0 根据梅尼埃定理，有： k = kc o s p 因此p 点在方向上的法曲率= 0 根据以前的讨论，只当p 点是双曲点或抛物 点时才可能出现k = 0 的情形这说明了直纹面上高斯曲率k = 0 另一方面，由直纹面的参数表示： 得到： 单位法向量为： r ( u ，) = 口( u ) + 6 ( u ) ， = ”+ ”，r u u = ，r u i ，= 0 a u bbr u0 n = + ， = ，i ，= 因此得到第二类基本量为： r uxr v 竹2 瓦i 订 l = r u u n = - 型监掣拦警世； m = r u u n = 器； n = r u | ，n = 0 3 湖北大学硕士学位论文 再计算高斯曲率： 矿l n m 2 一( 6 ，q ，6 ) 2 5 面渐f2 碡f 刁乎 所以对于( 0 7 ，b ，b ) 0 时有高斯曲率k o ，根据刘维尔公式，切线曲面上的测地线方程为： 萎熹 其中= f v - - 习l ，为所求测地线与乱一曲线所成夹角由( 2 8 ) 可得： d o = e k d u ， 或 口= 州u ) 砒+ g 其中c 为任意常数，代入( 2 1 3 ) 可得测地线的微分方程为： ( 2 1 3 ) 咖一u ) 撕) 泐( 州u ) + c ) d u + 咖= 。 ( 2 “) 在( 2 1 4 ) 中令c = a + 薹得： v - - “) 七( 札) t n n ( g 忌( 札) + c ) d u + d u = 。 ( 2 。1 5 ) 1 9 湖北大学硕士学位论文 仍为切线曲面上的测地线方程m c ，g 的任意性，可令c = g ，则( 2 1 5 ) 是( 2 1 4 ) 的 正交轨线的微分方程，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 的解曲线即为切线曲面上的正交测地线网 综上所述我们得到： 定理2 7曲面为可展曲面的充分必要条件是此曲面上存在正交测地网 2 3 可展曲面上两点间的最短路径 可展曲面是指可以与平面贴合的曲面由直观感觉可知：柱面、锥面都是可 展曲面( 理论上的证明见微分几何中的可展曲面论) 因此，有关可展曲面上两点 间的最短路程问题可以转化为平面上两点问的最短路径问题来加以处理这样， 通过变形的不变质可以使问题化繁为简，同时，对培养空间想象能力有一定的好 处 f ) , j 3 1 在平面( 作为可展曲面的特例) 上，直线z 的同一侧有ab 两点，试在2 上 求作一点c ，使该点分别到ab 两点间的距离为最短? 关于此题的作法和证明这里从略从可以看出：在作法上，我们运用了变折为 直的方法，即变折线a b c 为线段a b ，在证明过程中，我们运用了平面上两点 间的连线中，以线段为最短这一公理 f 歹, 1 3 2 一质点由棱长为a 的正方体a b c d a 1 b l c l d l 的一个顶点a w , 发， 沿着表面运动到q ，求运动的最短距离 解答此题时，若不运用将相邻的两个面展开( 部分地与平面贴合) ，则往往误入 歧途，错误地判断为：由a 沿对角线a b l 运动到b 1 ，再由b 1 沿棱b 1 g 运动到a ，进 而得出最短路程为( 以+ 1 ) o 的错误结果倘若将相邻的一个面展开，则把折面变 成一个平面，很快可以从中得出正确的判断，线段4 a 的长就是a 点运动到a 的 最短路程从而以a c 代替折线a m g 于是，在r t a a c c x 中运用勾股定理得 出正确答案为、5 0 一2 0 第三章可展子流形 3 1 可展子流形的性质 第三章可展子流形 3 1 可展子流形的性质 在本节中，我们将介绍可展子流形的一些相关性质 设c ( n ，) 是定义在r 中的几维向量子空间上的g r a s s m a n n i a n ，( m ，) 是冗的 浸入子流形，g u a s s 影射： i 、：m _ g ( 佗，) 定义在r ( x ) = 也( 瓦m ) 上且也( 瓦m ) 平行于r 中的礼维向量子空间 下面定义r 的阶数，如果r 在点z m 处的微分： 订蛋：瓦m _ t r c z ) g ( n ，) 其在每一点x m 像的维数ss ，且至少有一点像的维数= s 则称r 的阶数为8 设 是m 上的诱导度量，也可看作黎曼度量和m 的法丛r m 上的度量，v 分 别为上的标准联络，d 为m 上关于度量 的l e v i c i v i t a 联络因此，v 蔓就 是y 沿着冗上任意向量场x 的平凡倒数 飞 由于在本节中所讨论的问题都是局部的，因此，( m ，) 是r 的嵌入子流形， 所以在后面的讨论中，我们将认为mcr ，特别地，r ( z ) 可认为是r 中平行 与瓦m 的向量子空间 现在设x ，y 是m 上的向量场，处处与m 相切则可得到正交分解： v 芰= d 芰+ c 2 ( x ，y ) 其中q ：r m o t m _ r m 是m 在冗上的第二基本形式且q 是一个对称张量 场则对q 有下述结论成 ( a ) 对u 瓦m ，有q ( ，u ) = d f 霉( ) ( ) = a t z ( u ) ( z ，) 在m 上取定一点z ，设p 三瓦m ，p 上是p 在疋r 的正交补，则有r ( z ) = 2 1 湖北大学硕士学位论文 p 且t p g ( n ，n ) 三h o r n ( p , p 上) 以下假设g a u s s 映射： f ：m _ g ( n ，) 的阶数为r t r s 为的m 的子集，若订在s 上的阶数小于n r s 则称为r 的奇异 集由此可知r 在m s 上的阶数为佗一r ，因此有隐函数定理可知，在m v 量m s 上 有c 叶状结构l = 厶) m v ，叶状结构上的每一个叶厶都是一个r 维的c 子流 形我们称l 为由r 定义在m v 上的叶状结构由此得到下述结论： ( b ) 设( ( t ) 是r 上的曲线，上t w l ( t ) ，w 2 ( t ) ，1 帆( t ) 是沿着( ( ) 逐点独立的 向量场( 即：形( ) 正( t ) 冗，i = 1 ，2 ，尼) ，若存在函数，( t ) ，使得： j 盖( m w 2 a aw k ) ( t ) = m ) ( 肌aw 2a aw k ) ( t ) 则有 瞰；1 i 七) 的扩张与一沿着( ( t ) 的七一平面平行 ( c ) 每一个叶l 是冗上一个r 维线性子族的开子集，且其在m v 上沿着厶的 切平面是一常量 由( c ) 可知m v 是冗的一个可展子流形，有上所述，可将每一个也看作是一 个刻度( r u l i n g ) ，或者将m v 看作是由l 定义的可展子流形在( c ) 中，我们只考虑 了厶ns 9 且映射r 沿着一个刻度( r u l i n g ) 展开时是奇异的，丽在不满足上述条 件的情况下，可得结论： ( d ) 设e ：f a ，6 】_ m 是m 上条线性参数的直线段如果对某些点z m v ， 有e ( 【o ，h i ) 在一个刻度( r u l i n g ) l z 上，则整个直线段都在l 上，且( ( 6 ) lcm v 3 2 浸入完备可展子流形的相关定理 本节中我们将介绍入完备可展子流形的相关定理，并证明本节的主要定理 定理3 1 设( m ，) 是舻+ 1 中完备( 非奇异) 的超曲面，其g a u s s 映射的阶数为l ， 如果m 中存在个嵌入曲线c ，使得m 与cx 酽_ 1 是微分同胚而在t , + l 中的正 交变换下，有( c ) cr 2 ，且对：m _ r 叶x 彤兰r ，其表达式为：v p c ，z 彤，z ) 一0 扫) ，z ) 则此时( m ，。) 是一柱面 定理的证明已经由h a n m a n 和n i r e n b e r g 在【u 】中完成而当n = 2 时，这个定理 2 2 第三章可展子流形 就是说r 3 中完备可展曲面是一柱面下面我们将讨论在什么情况下，个完备的 可展子流形是一柱面为了讨论清楚这个问题，首先给出一个引理 引理1 设是个有非负r i c c c i 曲率的完备黎曼流形，其上包含一条直 线7 ：r _ ，而m 为另一个有非负r i c c c i 曲率的完备黎曼流形，而等度浸 入圣：m _ ，使得7c 圣( m ) 则存在m 中子流形m 7 和中子流形，使得下列 结论成立： ( 1 ) ，y ( o ) n 。， ( 2 ) 圣在m 上的限制圣：m 7 一m 也是等度浸入映射 ( 3 ) 存在等度映射，：m r m 和f ：n xr _ ，使得t r ，有f 0 ( 0 ) ，t ) = - r ( t ) ，且满足下图所示的计算方式： m txr i d 上 n o | m 垂l - o fn 其中i d ：r _ 冗为恒同映射 在证明引理前，我们先介绍一些相关的知识设是一黎曼流形测地 线，y ：【口，6 】_ ，若7 的切向量 ) 是单位向量，则称7 为法测地线测地线7 。： f 0 ，。) _ 为射线，若7 在任意两点之间的距离是最短的，则称7 为法测地线测地 线7 ：r 一为直线，若，y 在任意两点之间的距离是最短的，则称7 为法测地线因 此，直线1 生成两条射线，分别为： ：【0 ，o o ) 一； ，y 一：【0 ，o o ) _ 分别定义为：耽0 ，= 7 ( t ) ，i = - r ( - t ) 。这些射线将在引理的证明中起重要作 用 现在设是一完备的黎曼流形 7 0 ：【a ，6 】_ ，为上一射线，则f l a - r o 定 义b u s e m a n n 函数3 0 ：n 一冗，其表达式为： 岛( z ) 三l i m t - m t d ( z ，加( ) ) 】，v z n 2 3 湖北大学硕士学位论文 而d 为上的黎曼距离函数则玩是连续且是下调和的 现在假设1 是引理中上的直线，则可得到两条如上所述的两条射线佴和1 一 则有这两条射线可以定义两个b u s e m a n n 函数b + 和b 一，且有： b 一= 一b 。( 3 1 ) 下面我们简单证明( 3 1 ) 由三角不等式可得：b + + b 一0 由b u s e m a n n 函数定义 可知，在直线7 上+ 上乙三0 既然b + + b 一在上是下调和的则当其在上取 得极大值时，它是一常数因此在上，耳+ b 一0 既然b + 和b 一在上是下调和的，则由( 3 1 ) 知在上耳和b 一也是上调和 的因此在n 上耳和b 一是调和的因此由w e y l 引理知，b + 和b 一是上的c o 。函数 下面我们设b ：n _ r 是由毋或一b 一定义的由b 的调和性，贝s j g r a d b 是一个平 行向量场既然y t r ，b 1 7 ( t ) = t ，ig r a d bi 三1 因此g r a d b 的积分曲线是全法 测地线现设7 是上的超曲面，因此垂直于g r a d b 和7 ( o ) n 我们定义等 度映射f ：n xr _ 如下：设z m 且设为通过点x 的g r a d b 的积分曲线，且 使= z ，则： f ( x ，t ) = ( 亡) ( 3 2 ) 则如上定义的f 是一等度映射下面我们来证明引理1 引理1 的证明：引用上面讨论的记号，我们设，7 ，b 和f 如上所述由引理1 的 假设，圣：m _ 是等度浸入，且使v - y ( t ) 圣( m ) ，设：r _ m 是m 上的一测地 线，且使西( ) = 7 对v s ，t r ，我们有： d m ( ( s ) ，f ( t ) ) d ( 圣( ( s ) ) ，圣( ( t ) ) ) = d n ( ，y ( s ) ，- r ( t ) ) = i8 一t1 另一方面，既然7 是法测地线，而圣是等度浸入因此f 也是一法测地线则b t 】的 长度为is ti ，所以i8 一tl d a f ( ( s ) ，( t ) ) 综上所得： d m ( ( s ) ，( t ) ) = ls ti 2 4 第三章可展子流形 现在如上定义两条射线鼻和0 ，在分别由“和一定义b u s e m a n n i 函t 数风和风，则由( 3 1 ) 可知： 现设p ：m 一月是风或p 一，则有： p 一= 一8 + 口= b0 圣， 下证( 3 4 ) ，v x m ，则由b u s e m a l l n 函数的定义可得： 既然圣( f ) = 7 ，则有： 风( z ) = l i m t 。i t d m ( x ，鼻( t ) ) 】； 耳( 圣( z ) ) = l i m t - - 4 0 0 i t 一如( z ，佴( ) ) 】 b + ( 西( z ) ) = l i m t _ + i t a k ( z ，圣( 专+ ) ) 】 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 而d g ( x ，圣( 鼻( t ) ) d m ( x ，矗( t ) ) ，所以：b + ( 圣扛) ) 风( z ) 同理可得：b 一( 圣( z ) ) 肛( z ) 再m ( 3 1 ) 和( 3 3 ) ，则b + ( 圣( z ) ) = 风( z ) ，这就说明( 3 4 ) 成立 下面证明：v x m 。有 d 圣l z ( g r a d m f l ) = g r a d bi 蛋( z ) 为- j i , t t n 班 ( 3 5 ) ，设z m 和u 瓦m ，则： ( v ，( g r a d m b ) ( x ) ) = p = v ( b0 圣) = d ( b ( v ) b = ( d c b ( v ) ，g r a d n b i 垂( 罩) ) 令t ，= ( g r a d m 卢) ( x ) ，我们得到： 1 = ( d 圣l z ( g r a d m 侈) ，g r a d n b l v ( 霉) ) 湖北大学硕士学位论文 i d 垂l z ( g r a d m p ) i i g r a d n b l 圣( 1 l = 1 因此当且仅当d 圣i z ( g r a d m p ) = g r a d g b v ( 。) 时，上式的不等式为等式n ( 3 5 ) 成 立 则m ( 3 5 ) ，当盯是g r a d m l 3 的积分曲线，则( 盯) 是g r a d n b 的积分曲线现在假 设f 是m 上的直线，使得圣( f ) = 7 设m 是m 上过p _ ( o ) 的超曲面，则m 过( o ) 且 其处处与o d m p 正交则当z m t 而已是9 r n d m p 的积分曲线，且满足毛( o ) = 霸 那么对任意的x r ，有 ，( z ，z ) = 已( t ) ( 3 6 ) 定义等度影射f ：n r _ n l 主t ( 3 2 ) 确定，且7 ( o ) n 再e h ( 3 4 ) ，有垂( p 一1 ( 0 ) ) c b 一1 ( o ) ，这和圣( m ) cn 是相同的 如果7 圣( z ) 是夕r n d b 的积分曲线且满 足伽( z ) ( o ) = 圣 ) ，再由( 3 2 ) ，贝i - 。 的t r ，有 f ( 圣( z ) ，t ) = ( ) ( ) e h _ l = 所述，圣( z ) 是g r a d n b 的通过圣 ) 的积分曲线，且有： 因此，m ( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 我们有： 西( 岛) = 蚀( z ) 圣( ，( z ，) ) = 西( & ( t ) ) = 帕( z ) ( t ) = f ( 圣( z ) ，t ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 至此，定理得证 现在由引理l ，容易证明下述定理及其推论 定理3 2 设( m ，。) 是r 中有非负r i c c i 曲率的n 维浸入子流形如果( m ) 包 含r 上7 维线性子族l 7 n ，则( m ，c ) 是一有7 维母线的柱面特别地，( m ，。) 是 可展了流形 2 6 第三章可展子流形 证明：设：m r 是一等度浸入，这里m 是完备的，且有非负的r i c c i 曲 率，且。( m ) 包含冗上个r 维的线性子族y ，用r 代替引理l 中的，设 是y 上 的直线不失一般性，假设2 是x n - - 轴：_ ( 0 ，0 ，) 因此。( m ) 包含z 一轴 则由z 生成的b u s e m a n n 函数就是坐标函数x ，由引理1 ，我们知道7 是r n 一1 三 ( z - ，z ，o ) ) ，m 有等度分裂m 三m 7xr 使得映射l ：m 7 r _ 兄一1 r 有l ( m 7 ) cr ，且c 是m r 上r 一凶子的单位元则定理3 2 即可由此导出 如果一个完备的( m ，。) 的g a u s s 映射r 的阶数为佗一n1 r n ，则不难看 出( m ) 必须包含一个r 维线性子族则由定理3 2 ，可得 推论1设( a to ) 是r 中有非负r i c c i $ 1 率的扎维浸入子流形，且g a u s s 映射f ： m _ c ( n ，n ) 的阶数为礼一7 ，1srsn ，则( m ，。) 是一有7 维母线的柱面 推论2 设( 必) 是r 中有非负r i c c i 曲率的n 维浸入子流形，且g a u s s 映射的 阶数1 ，n ( m ，c ) 是一有r 维母线的柱面 最后我们将介绍复空间形式c 中关于可展子流形的相关定理 定理3 3 设( m ，6 ) 是c 中的n 维浸入复子流形，其g a u s s 映射f ：m _ g ( n ，n ) 的阶数为1 ，如果m 中存在一条闭复曲线c ，使得m 与c 伊一1 是双同态 而在c 中的酉变换下，有c ( c ) cc 一( n - - 1 ) ，且对。：m _ e 积一1 ) c 竹t 一1 三c ， 其表达式为：v p c ，名c ”1 ，p ，名) 一( 6 ( p ) ，z ) 则此时( m ，。) 是一复柱面 定理3 4 设( m ，o ) 是c 中的铊维浸入复子流形，假设m 在诱导的k i h l e r 度量 形式c 如果( m ) 包含c 上r 维复线性子族1srsn ，则( m ，。) 是一有7 维母线 的复柱面 2 7 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】吴传喜，李光汉予流形几何 m i 北京：科学出版社，2 0 0 2 【2 】w uh c o m p l e t ed e v e l o p a b l es u b m a n i f o l d si n r e a la n dc o m p l e xe u c l i d e a n s p a c e s j i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，6 ( 3 ) ( 1 9 9 5 ) ：4 6 1 - 4 8 9 【3 】纪永强子流形几何【m 】北京：科学出版社，2 0 0 4 【4 】a b ek ，ac o m l e xa n a l o g u eo fh a r t m a n n i r e n b e r gc y l i n d e rt h e o r e m j d i f f g e o m ，7 ( 19 7 2 ) ：4 5 3 4 6 0 【5 】f i s c h e rg a n dw uh ，d e v e l o p a b l ec o m p l e xa n a l y t i cs u b m a n i f o l d s j i n t e r n a t j 6 ( 19 9 5 ) ：2 2 9 2 7 2 【6 】梅向明，黄敬之微分几何( 第三版) 【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 3 【7 】j o h no p r e a ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n di t sa p p l i c a t i o n m b e i j i n g ：c h i n am a - c h i n ep r e s s ，2 0 0 6 【8 】g o l d b e r gsi ，c u r v a t u r ea n dh o m o l o g y m l o n d o n ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 6 2 9 2 - 9 4 【9 】c h e nb y ，c r - s u b m a n i f o l d so fak a e h l e rm a n i f o l d j t jd i f f e r e n t i a lg e o m 1 6 ( 2 ) ( 1 9 81 ) ：3 0 5 3 2 2 【l0 】l ia n - m i n ，l ij i m i n a ni n t r i n s i cr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si n a s p h e r e j a r c h m a t h ，5 8 ( 1 9 9 2 ) ：5 8 2 - 5 9 4 【11 】h a r t m a np ，n i r e n b c r gl ，o ns p h e r i c a li m a g eo fm a p sw h o s ej a c o b i a n sd on o t c h a n gs i g n j a m e r j m a t h ，8 1 ( 1 9 5 9 ) ：9 0 1 - 9 2 0 【12 】w ug ，c h e nw ：，a ni n e q u a l i t yf o rm a t r i c e sa n di t sa p p l i c a t i o n si ng e o m e t r y 【j 】 a c t am a t h s c i n i c a ，3 1 ( 19 8 8 ) ：3 4 8 3 5 5 【13 】y a m a g i c h is ，k o nm a n di k a w at ，c t o t a l l yr e a ls u b m a n i f o l d s j ，j d i f f g e o m ， 1 1 ( 1 9 7 6 ) ：5 9 - 6 4 2 8 参考文献 【14 】c h e ng u a n g - h u a ，x us e n - l i n r i g i d i t yo fc o m p a c to fm i n i m a ls u b m a n i f o l d s i nal o c a l l ys y m m e t r i ca n dc o n f o r m a l l yf l a tr i e m a n nm a n i f o l d j a c t a m a t h s c i ( e n g l i s he d ) ，1 6 ( 19 9 6 ) ：8 9 9 6 【1 5 】吴大任微分几何讲义【m 】北京：人民教育出版社，1 9 8 2 【1 6 】b l a i rd e a n dc h e nb y ，o nc r - s u b m a n i f o l d so fh e r m i t i a nm a n i f o l d s j ，i s r a e l j m a t h ，3 4 ( 4 ) ( 19 7 9 ) ：3 5 3 - 3 6 3 【17 】m ox i a o h u a n s u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o ri nas p a c ew i t h c o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r e j m a t h a n n ，9 ( 19 9 8 ) ：5 3 0 5 4 0 【1 8 】陈维桓微分流形初步【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 1 【1 9 】陈维桓，李兴校黎曼几何引论【m 】北京：北京大学出版社，2 0 0 2 【2 0 】h l i n e v as a n db e l c h e re ，o nt h em i n i m a lh y p e r s u r f a c e so fal o c a l l ys y m m e t r i c m a n i f o l d j l e c t u r en o t e si nm a t h ，1 4 8 1 ( 1 9 9 0 ) ，1 - 4 。 【21 】o m o r ih ，i s o m e t r i ci m m e r s i o no fr i e m a n n i a nm a n i f o l d s j m a t h s o c j a p a n j ， 1 9 ( 1 9 6 7 ) ：2 0 5 - 2 1 4 【2 2 】o k u m u r am h y p e r s u r f a c e sa n dap i n c h i n gp r o b l e mo nt h es e c o n df u n d a m e n t a l t e n s o r a m e r j m a t h ，9 6 ( 1 9 7 4 ) ：2 0 7 - 2 1 3 【2 3 】l a w s o nh b ，l o c a lr i g i d i t yt h e o r e m sf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s j m a t h a n n ， 8 9 ( 1 9 6 9 ) ：1 7 9 1 8 5 【2 4 】l ih ，g l o b a lr i g i d i t yt h e o r e m so fh y p e r s u r f a c e j a r k m a t h ，3 5 ( 19 9 7 ) ：3 2 7 - 3 5 1 【2 5 】白正国，沈一兵黎曼几何初步【m 】北京：高等教育出版社，1 9 9 2 【2 6 】c a l a b ie ，m i n i m a li m m e r s i o n so fs