（基础数学专业论文）l1e到f的单位球面间满等距映射的线性延拓.pdf

中文摘要 令e 是严格凸空间，f 是任意赋范线性空间，本文给出z 1 ( e ) 到f 的单位 球面之间的满等距映射k 的表现定理。在满足对任意 n ，存在线性子空 间ecf ，使得v o c s ( e ) xe i ) = s ( f h 的条件下，得到上述映射可以延拓为全 空间上的实线性等距算子的结论。 关键诃：严格凸，等距映射，t i n g l e y 问题 a b s t r a c t l e teb eas t r i c t l yc o n v e xs p a c ea n dfb ean o r m e ds p a c e i nt h i sp a p e r , w eg i v e t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fo n t oi s o m e t r i cm a p p i n gv ob e t w e e nt h eu n i ts p h e r e s o fl l ( e ) a n df w ea l s oo b t a i nt h eg e n e r a lr e s u l t so ne x t e n s i o no fi s o m e t r i c s ：i f t h e r ee x i s t sal i n e a rs u b s p a c e 毋cfs u c ht h a tv o ( s ( e ) 龟) = s ( 只) f o re a c h i n ，t h e nv oc a nb ee x t e n d e dt ob eal i n e a ri s o m e t r yo nt h ew h o l es p a c e k e y w o r d s ：s t r i c t l yc o n v e x ，i s o m e t r i cm a p p i n g ，t i n g l e y sp r o b l e m 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：醉彳参芳 叼年r 月砧日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 嘲即湍 彳月- u 6 日 第1 章 绪论 d t i n g l e y 在文【l 】中曾提出如下问题：若e ，f 是实赋范线性空间，研( e ) 和 s x ( f ) 分别为e 和f 的单位球面，v o ：& ( e ) _ , 9 1 ( f ) 是一个满等距映 射( 即( 岛( e ) ) = ( f ) ，且对于任意的x z ，z 2 研( e ) ，都有i i ( z 1 ) 一 v o ( z z ) 0 = i x l x 2 1 1 ) ，那么k 是否为一个定义在e 上的线性或者仿射 等距算子在& ( e ) 上的限制? 这就是著名的等距延拓问题，有时我 们也称之为t i n g l e y i b 题。d t i n g l e y 在 1 】中仅就有限维的情形给予了 证明，得到以下结果：若k ：& 臣竹) 】_ & e ( m ) 】是到上的映象，则必 有u o ( - x ) = 一v o ( z ) ，比s 1 【戤n ) 】。 文 2 】对无穷维严格凸空间的单位球面问的满等距映射进行了研究，得到 与【1 】类似的结论。 文【3 】一【9 针对下列空间研究了t i n g l e y 问题，并给予了肯定的回答，这 些空间包括：岛( q ，e ) 型空间，c 0 ( n ( q ) 型空间，g ( q ，e ) 型空问的z 1 一和空 间，岛( q ，e ) 型空间的l p 和空间( 其中e 要求一些条件) ，严格凸赋范空间 的f 1 和空间。其中q 为局部紧的h a u s d o r f f _ 空问。 第1 章绪论 文【1 0 】、【1 1 】证明了若( q ，p ) 是o r 一有限测度空间，e 是严格凸赋范空间， 则l 1 ( q ，e ) 的单位球面间的等距算子可以被线性延拓到全空间，并且 针对驴( q ，日) ( 其中日为h i l b e r t 空间) 的某些子空间进行了探讨，给出了关 于t i n g l e yi h - 题肯定的回答。 文【1 2 】首次就不同类型的空间进行了讨论，研究了实赋范空间e 和c ( q ) 间 的等距延拓问题。 文【1 3 】刻画了f p ( f ) 1 ) 型空间的单位球面间的满等距映射的表现形 式，并指出这个映射可以线性等距延拓到全空间。 文 1 4 】针对两个h i l b e r t 空间的单位球面间不是满的等距映射进行研究，并 得到关于t i n g l e y i h - 题肯定的回答。 文【1 5 】综述t t i n g l e y i b 题至2 0 0 3 年的研究现状，2 0 0 3 年之后关于这个问 题的研究又有了一些新的进展。 文【1 6 】中得n - 实自反巴拿赫空间e 的单位球面和共轭空问的单位球面 之间的满等距映射若满足条件：s l ( e ) 的光滑点在s 1 ( e ) 中稠密，且对任 意z s l ( e ) 及岛( e ) 中任意光滑点z o ，都有： i | ( z ) 一l 入i v o ( x o ) l i i i z a x o l l ，v 入r 则可延拓为全空间上的实线性算子。 文【1 7 】得到了较一般化的结果，若e ，f 是赋范( 或一严格凸赋p 一范) 线性 空间，v o ：s l ( e ) _ 研( f ) 是等距映射且对任意的z ，y s l ( e ) ，有 0 ( z ) 一i 入i v o ( y ) | j | | z a y l l ，v 入r 则必可延拓为全空间上的等距算子( 或线性等距算子) 。 本文给出了空间f ，( e ) ( 其中e 为严格凸赋范空间) 和任意赋范线性空间f 的 单位球面间满等距映射k 的表现定理，并指出若上述映射满足条件：对任 2 第1 章绪论 意i n ，存在线性子空间只cf ，使得v o ( s ( e ) e t ) = s ( 只) ，则可以等距 线性延拓。 下面先来说明一些本文中会用到的记号。 e 为赋范空间，记 “耻卜渤，：x i 6e , 忪i i - 刭蚓i 0 ，使 得z = 口可。 注赋范线性空间e 是严格凸的一个常用等价定义是：对任意的z ，y e ，z y ，当忪l i = | l y l l = r o 时，一致的有i l a z + ( 1 一a ) 3 1 j l i r ( 枞 ( 0 ，1 ) ) 。特别的，取r = l ，a = o 5 ，这时有忪+ y l i 0 ，我们可以取歹= 一t 盯- ( 一( z e ；) ) ( j ) 丌， 此时有：i i 盯1 ( 一e ) ) + 万i = 一l i tr - - 【1 , 一v 峋r 【z e v ) ) 0 0 - 1 ) ( | l - v o ( z ，x 这e d ) ) ( j ) y o ( ze j l 2 2 1 1 y o - 2 就与( 2 2 ) 式相矛盾。) 由于k 是满等距映射及0 一v o ( z e i ) 一v o ( z e t ) i i = 2 ，我们可以推出下 列等式： l i v o - 1 ( 一( zxe i ) ) 一zxq 0 = 2 结合( 2 3 ) 式，可以得到： l i v o - 1 ( 一( z 勖) ) ( i ) 一z i l = 2 根据e 的严格凸性，导出： v o - 1 ( 一v o ( zxe t ) ) ( i ) = 一z ( 2 4 ) 综合( 2 3 ) 式和( 2 4 ) 式可以知道： 盯1 ( 一v o ( z e i ) ) = 一z e i 5 第2 章一些主要的引理及证明 这样我们就得到了( 2 1 ) 式： v o ( - - zxe i ) = 一( 名xe t ) j 蛩卜采，取足z = ( x l ，x 2 ，) s ( 1 l ( e ) ) ，则一( z ) s ( j ) ，凼为是 满等距映射，所以存在y = ( y l ，y 2 ，) s ( 1 l ( e ) ) ，使得( ) = 一 ) 。 为了证明引理2 2 ，只需要证明可= 一z 即可，下面我们分z n = 0 和z n 0 这两 种情况进行讨论： ( a ) 当z n = o w ，如果0 ，由是满等距映射及引理2 1 ，我们知道： ”赢偏i i = l l 嘶，一( 丽y n e n ) 0 = v o ( + ( 丽y n ) i i = ”蒜偏| i = 1 1 2 1 1 + | i 赢| j = 2 而同时又有下列不等式成立： ”尚i | _ 到训+ 卜赢i l = ( 1 一i i 可。| | ) + ( 1 0 i i ) = 2 2 1 1 y i i 2 - 2 i l y i i e h 上述两方面的讨论可以知道： 2 2 1 i x n l i 2 2 1 1 y i l 进而得到如下结论： 1 1 秒n i i 芝i | z n l l ，v n n( 2 6 ) 7 第2 章一些主要的引理及证明 因为z ，y s ( z 1 ( e ) ) ，所以有1 = 0 9 = 0 z n 0 ，结合( 2 6 ) 式可 以推出| | 加0 = l i x n l i 。再联系( 2 5 ) 式，我们可以得到如下结论：当x n 0 时，y n = 一x n 。 综合( a ) ，( b ) 的讨论，我们可以知道：y = 一z ，这就得到y v o ( 一x ) = 一y o ) ，引理( 2 2 ) 得证。 引理2 3 e 为任意厅争赋鹾等性空间，y l ，y 2 s ( e ) ，若i l u l4 - 沈i | = 2 恒成立， 则对于任意b ) a 1 ，a 2 r ，有忪1 y 1 + a 2 y 2 1 l = i 入1 i + i 入2 i 。 证明：不妨假设a 1 ，a 2 0 ，眭t h a h n - b a n a c h 定理，存在i e + ，使得 f 1 1 1 i = 1 ，f ( y l + y 2 ) = i l y l + 抛j i = 2 对于 = 1 ，2 ，又有，( 玑) i l 玑i i = l ，故而f ( y i ) = 1 。 进而推知： 入1 + a 2 = f ( a l y l + a 2 y 2 ) l i a l y l + a 2 y 2 1 l a 1 + 入2 从而 i a l y l + a 2 y 2 i = 入1 + 入2 。 对于凡 o s j 情况，类似可证。 8 第3 章 单位球面问满等距映射的表现定理 下面给出在实空间中单位球面s ( z 1 ( e ) ) 到s ( f ) 上满等距映射的表现定 理。 定理3 1 e 为严格凸空问，f 为任意赋范线性空问，者：s ( 1 ( e ) ) 一 s ( f ) 是满等距映射，贝矿对于所有厅知= q f 黝e t s ( t 1 ( e ) ) ，其中规 s ( e ) ，i o l i i = 1 ，有 ( 争墨) = 善啪， 证明：对于任意的z l ，x 2 s ( e ) ，i ，j n ，i 歹，0 入1 ，我们有如下 结论： y o ( a x l e i + ( 1 一a ) x 2 勺) = m o ( x lxc i ) + ( 1 一入) ( z 2 e j ) ( 3 1 ) 事实上，由于是满等距映射以及引理2 1 ，i i v o ( z l e i ) + v o ( x 2 勺) | l = 2 。通过引理2 3 可知，i i , w o ( z 1 c i ) + ( 1 一入) ( z 2 e j ) l i = 1 ，故而存 9 第3 章单位球面间满等距映射的表现定理 在y = ( y 1 ，y 2 ，) 6s ( z l ( e ) ) ，使得 v o ( y ) = ；v o ( x lxe i ) + ( 1 一入) v o ( z 2xe j ) 下面我们从两方面考虑，一方面有下列等式成立： i l u x lxe t i | = i i v o ( y ) 一v o ( x , e 洲 = ( 1 一入) 0 v o ( x lxe i ) 一v o ( x 2 勺) 0 = ( 1 一a ) l i z l e i x 2 e j 0 = 2 ( i 一入) 另一方面有下列不等式成立： i i 可一x l e i l i = 1 一i i 轨i i + i i z l 一y , l i 2 2 1 1 y , l l ( 3 2 ) 结合上面两个式子，我们可以得到： 2 ( t 一入) 2 2 0 犰i l 化简可得：1 1 v , l i a 同理，我们可以得到：i | 协0 1 一a ，这时l i 犰j i + j 珊0 入+ ( 1 一a ) = 1 。 注意n y6s ( z 1 ( e ) ) ，i i y , i i + i i 缈0 1 ，故而有： 1 1 v , l i = a ，i l y j l i = 1 一入( 3 3 ) 且不等式( 3 2 ) 中的等号恒成立，化简得： l l z l 一犰l i = 1 一入= i x l l l i l y , l i 由e 的严格凸性可以推出： 存在o 0 ，使得z 1 一y i = n 犰，即纨= r b z l 。结合( 3 3 ) 式可知y i = a x l ，n 理, - i i i e y j = ( 1 一入) z 2 。( 3 1 ) 式的结 论得到证明。 1n 第3 章单位球面间满等距映射的表现定理 f i 我们用归纳法对任意的n n ，q l 0 ，1 】，啦= 1 ，x l ，z n i = 1 s ( e ) 进行归纳证明。 假设n = k 2 时， ( 其中，q 1 o l k q i 戤e ii = l = 1 。) y o ( x i e t ) i = 1 知+ 1 下面就佗= k + 1 ，q 1 q 七十1 【0 ，1 】，o t i = 1 的情况进行讨论。 i = 1 由前面的归纳假设可以得到： + 1 o l t y o ( x t e t ) i = lc 1 _ ( 圭i = l 一1 - o l k + ，删e t ) + a k + v o ， 且由是满等距映射和引理2 1 ，可以得到： 由引理( 2 3 ) 可以得到： 一1 - a k + l 删e t ) k c x k + l x e k + 1 ， 七+ 1 叱v o ( x i i = 1 e 盹) 故而存在y = ( y l ，耽，) s ( f 1 ( e ) ) ，使得 惫+ 1 ( 可) = q i v o ( x i i = 1 = 1 e i ) = = 2 欲证明n = 尼+ 1 的情况成立，只需要证明玑= o t i 戤即可。对于所有 1l 七谢 毗 七：亘 惫汹 第3 章单位球面间满等距映射的表现定理 的t n ，1 t k + 1 ，由归纳假设可以得到： 恬一x txe t 0 = l i ( 可) 一v o ( x t e t ) i | l i s 七十1 ，i t q t ( 戤e t ) 一q i y o ( z t e t ) l s i s 七十1 ，i t 1 ：g s 血+ 1 j t 1 f 七+ l j t 1 1 9 缸+ 1 j c t ：2fa - 二 二一 j l j 南+ 1 ，歹t = 2 ( 1 一及t ) 同时，我们有不等式： 1 七十1 ，i t1 j k + l d t 1 9 i 七十l ， 和1 j 1 i s 七+ 1 ，t t1 j q i 口i ( x i c i ) 一k ( x t e t ) 哟 b 1 ，j # tz t e t ) 一k c z t z i e i z t e t e t ) ( 3 4 ) i y x txe , l i = 1 一i l y t l l + i i x t 一玑| | 2 2 1 1 y t i | ( 3 5 ) 由( 3 4 ) 、( 3 5 ) 可以推知： i l y , i i a t ，v 1 t k + 1 七+ 1 注意n y s ( z 1 ( e ) ) ，i l y t 0 1 ，故而 t = l y , i i = a t ，v 1 t k + 1 1 2 萨 l 蚪 、 嘶 嘶 第3 章单位球面间满等距映射的表现定理 且不等式( 3 5 ) 中的等号恒成立，化简得： i l 觑一犰0 = 1 0 轨 由e 的严格凸性可以推知存在p o ，满足觑一y , = f l y , ，即轨= r b 耽，再根 据已经证明的i i 纨| i = 砚，我们可以知道 y t = o e t x t ，v 1 t k + 1 从而他= k + 1 的情形得到证明。 根据稠密性，我1 f l , - 7 以得n - 对于所有的z = o q x i e i6s ( f 1 ( e ) ) ，其 i 6 n 中x i6s ( e ) ，啦= 1 ，0 叱1 ，都有( o q x i 龟) = 叱v o ( x i t一ieni e n e t ) 。 对于一1 q i l l z o a o y oj i 做经过v o ( z o e ) ，凡k ( 珈e ) 的直线，这条直线交s ( 只) 于一点磊( 磊 y o ( z o e t ) ) ，由于y o ( s ( e ) e i ) = s ( 只) ，所以在s ( e ) 上存在一点z o ，使 得v o ( z o e i ) = z o 。由于y o ( x oxq ) ，a o y o ( 珈e t ) ，( z o e 1 ) 在同一条直线 上，下面的等式成立： i i y o ( x o 勖) 一( z o e dj i = i i y o ( x o e i ) 一入o ( y o e ) ) i f + i i y o ( z oxe i ) 一入。碥( y o e i ) 0 进一步，我们有下面不等式： l l z o z o l l 1 x o a o y o l + 1 z o a o y oj i 1 ： 1 i w o ( x e i ) 一a y o ( y 白) 0 = a i i ( z 龟) 一v o ( y e i ) l i 、 1 = a i l y 一z 0 = 0 z a 引l ，、 这就证明了( 4 1 ) 式对a 0 均成立。 下面证明一般的结论：对任意的z ，y s ( f 1 ( e ) ) ，入0 ，均有： l j ( z ) 一入k ( 可) l i = i l z 一入秒0 ( 4 2 ) 瞅z = lx i e i ，y2 乙玑白j 【z l 【d ) ) ，根韬疋埋r j 1 利( 4 1 ) 瓦，j 以得 i ni n 到： lv o ( 若z t e t ) 一入( 若犰e t ) i i = 陬懒( 南猢) 刈姗( 觞鞠) l l 黜蚓i k ( 南弛) 叫