（基础数学专业论文）一类秩为2和3的donaldsonthomas不变量.pdf

j 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 迦垒丛 e l期：矽哆歹：巧 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：丛互导师签名：毽垒日 期：塑里：窆! 互 j 、 f j 山东大学硕士学位论文 一类秩为2 和3 的d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量 沈大立 ( i 【j 东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 在这篇文章中我们报告了d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量的基本理论。这些小变 量足发牛在c a l a b i _ y a u 三维流形上的现象。本文首先介绍了d o n a l & s o n t h o m a s 理 论的基础知识，然后给山j ，一个秩为2 的稳定向量丛的模空问的完整结构，从而得 到丫相应的d o n a l d s o n t h o m a s 不变量。接着我们比较j ，p 1 p 上向量丛的稳定 性，并根据这些稳定性结果在p 1 p 上构造了秩为3 的稳定向量从。本文最后总结 了d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量与g r o m o v - w i t t e n 不变量的关系和一般d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量的理论，这些最新的研究进展将会给我们之后的研究：i = 作带来一 些启发。 关键词：稳定向量从：d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量；c a l a b i - y a u 三维流形 山东大学硕士学位论文 ac l a s so fr a n k2a n d3d o n a l d s o n - t h o m a s i n v a r i a n t s s h e nd a l i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ew a n tt or e p o r tt h ef u ut h e o r yo fd o n a l & s o n - t h o m a si n - v a r i a n t sw l f i c hi sap h e n o m e n o nh a p p e n e do nt h ec a l a b i - y a u3 - f o l d s f i r s t l yt h e p r e l i m i n a r i e so fd o n a l d s o n - t h o m a $ t h e o r ya r ei n t r o d u c e da n dt h e nad e t a i l e d c o m p u t a t i o no fr a n k 一2d o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n ti sp r e s e n t e d f o l l o w i n gt h e r a n k - 2c a s e ，w es t u d yt h ec a s ew h e nt h er a n kg o e su pt o3a n dg i v es o m ep r c - l i m i n a x yr e s u l t so nt h es t a b i l i t i e so fv e c t o rb u n d l e s b a s e do nt h e s er e s u l t s ， w ec o n s t r u c tr a n k - 3s t a b l eb u n d l e so np 1xp a tl a s t t h er e l a t i o n sb e t w e e n d o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t sa n dg r o m o v w i t t e ni n v a r i a n t s a sw e l la st h en e w d e v e l o p m e n to fd o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t sa r ed i s c u s s e d ，w h i c hm i g h ts h e d s o m el i g h to no u rf u t u r er e s e a r c hw o r k k e yw o r d s ：s t a b l ev e c t o rb u n d l e s ；d o n a l c k s o n - t h o m a si n v a r i a n t ，s ；c a l a b i y a u3 f o l d s ju i 、 山东大学硕士学位论文 目录 中文摘要i 英文摘要i i 第。一章引言1 第二章d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量的预备知识4 2 1 模空间4 2 2 虚拟模圈5 2 3d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量6 第j 章关于一些d o n a l d s o n - t h o m a s 小变量的计算9 3 1 秩为2 的情形9 3 1 1 y = p xp 的室结构1 0 3 1 2y = p 1 p 上的秩为2 的稳定向量从1 2 3 1 3c a l a b i y a u 流彤上的秩为2 的稳定向鬟丛1 5 3 1 4d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量1 8 3 2 秩为3 的情形1 8 3 2 1 向量从的稳定性1 8 5 3 2 2y = p 1 p 的室结构2 3 3 2 3i = p 1 p 上秩为3 的稳定向量从的构造2 4 第f r q 章与g r o m o v - w i t t e n 不变量的关系2 6 4 1 引言2 6 4 2g r o m o v - w i t t e n 理论$ l l d o n a l d s o n - t h o m a s 理论2 7 4 3 规范场与弦对偶2 8 第五章一般d o n a l d s o n - t h o m a s 不变量3 0 1 1 1 山东大学硕士学位论文 参考文献3 2 豸【谢3 5 k 、 山东大学硕士学位论文 c o n t e n t c h i n e s ea b s t r a c t 。i e n g h s ha b s t r a c t 。i l c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n 1 c h a p t e ri i p r e l i m i n a r i e so fd o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t s 4 2 1 t h em o d u l is p a c e 4 2 2 v i r t u a lm o d u l ic y c l e 5 2 3 d o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t s 6 c h a p t e r1 1 1 o ns o m ec o m p u t a t i o n so fd o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t s 9 3 1r a n k - 2c a s e 9 3 1 1 c h a m b e rs t r u c t u r e so f y = p “p 1 0 3 1 2 s t a b l er a n k - 2b u n d l e so ny = p 1 妒1 2 3 1 3 s t a b l er a n k - 2b u n d l e so nc a l a b i - y a um a n i f o l d s 1 5 3 1 4 d o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t s 1 8 3 2r a n k - 3c a s e 1 8 3 2 1 s t a b i l i t i e so fv e c t o rb u n d l e s 1 8 3 2 2 c h a m b e rs t r u c t u r e so fy = p 1xp 2 3 3 2 3 c o n s t r u c t i o no fs t a b l er a n k - 3b u n d l e so ny = p 1xp 2 ，l c h a p t e ri vr e l a t i o n sw i t hg r o m o v - w i t t e ni n v a r i a n t s 2 6 4 1 i n t r o d u c t i o n 2 6 4 2 g r o m o v - w i t t e nt h e o r ya n dd o n a l d s o n t h o m a st h e o r y 2 7 4 3g a u g et h e o r ya n ds t r i n gd u a l i t i e s 2 8 c h a p t ，e rvg e n e r a l i z e dd o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t s 3 0 r p f e f e n c e s 3 2 v 山东大学硕士学位论文 a c k n o w l e d g e m e n t s 3 5 - 一 i h l 山东大学硕士学位论文 c h a p t e rii n t r o d u c t i o n d o n a l d s o n - t h o m a st h e o r yi sap h e n o m e n o nh a p p e n e do i lt h ec a l a b i - y a u3 - f o l d si nw h i c ht h ed o n a l d s o n - t h o m a s ( d tf o rs h o r t ) i n v a r i a n te s s e n t i a l l yc o u n t s t h en u m b e ro fs t a b l es h e a v e so nac a l a b i - y a u3 f o l dx d tl n v a r i a n t sw e r ef i r s t l y i n t r o d u c e db yd o n a l d s o na n dt h o m a si n 【5 1w h e nt h e ys t u d i e dl f i g h e rd i m e n s i o n a l g a u g et h e o r y o n et h r e a du s e dt h e r el e da l o n gt h ep a t ho fc o m p l e x i f i c 翘t i o nf r o m s t a n d a r dt h e o r y ”t og a u g et h e o r i e si nc o m p l e xd i m e n s i o n s2 ，3 ，a n d4 ，b yw h i c h t h e yf o u n dac o m p l e xa n a l o g u eo fc a s s o nt h e o r y t h a t sw l l yt h ed t i n v a r i a n t w a sa l s ok n o w na st h eh o l o m o r p h i cc a s s o ni n v a r i a n t t h e ni tw a sf u r t h e rd e v e l o p e db vt h o m a si n 2 7 1w h e r et h ed ti n v a r i a n t w a sd e f i n e da n ds t u d i e dr i g o r o u s l yf o rt h ef i r s tt i n m t i l eg o a lo fd tt h e o r y i s1 ) t od e f i n et h cd ti n v a r i a n ta n dt h e n2 ) t oc o m p u t ei t l e t ( x ，l ) b ca p o l a r i z e ds m o o t hc a l a b i - y a u 孓f o l dw h e r e i sa na m p l el i n eb u n d l eo nx ，a n d l e t 丽l ( c ) b et h em o d u l is p a c eo fg i e s e k e rl - s e m i s t a b l et o r s i o n - f r e es h e a v e ! sw i t h t o t a lc h e r nc l a s sc b y | 2 7 i ，t h ed ti n v a r i a n t d t ( x ，l ，c ，r ) z ( ：a l lb e , l c f i i l c dv i at i l em , , , h f l is p a c t ，丽l ( c ) t h e r e f o r e ，i tr e q u i r e st h ef u l ld e - s c r i p t i o no ft h em o d u l is p a c e st oc a l c u l a t et h e s ei n v a r i a n t s b yt h ep r o p o s i t i o n 1 2 6i n 【2 】 丽l ( c ) a d m i t sas y i n m e t r i co b s t r u c t i o nt h e o r y i tf o l l o w sf r o mt h e t h e o r e m4 1 8i n 【l 】t h a t d t ( x l ，gr ) = i ( m l ( r ) ) n o t et h a ti f 丽l ( c ) i sf u r t h e ra s s u m e dt ob es l n o o t h ，t h e nw eh a v e d t ( x ，三，c ，r ) = ( 一1 ) 出1 棚。( “_ ( _ l ( c ) ) ， w h e r e 文a n dxa r ew e i g h t e de u l e rc h a r a c t e r i s t ，i e sa n de u l e rc h a r a c t e r i s t i c sr e - s p e c t i v e l y s o m ew o r ko i lc o m p u t a t i o n so fd o n a l d s o n - t h o m a si n v a r i a n t sh a sb e e nd o n e i n 1 9 1 t h e r et h et e c l m i q u eo fc h a m b e rs t r u c t u r e sw a su s e dt oc o n s t r u c tf u l l m o d u l is p a c e so fs t a b l er a n k - 2b u n d l e sw i t hc e r t a i nc h e r nc l a s s e so i ls o h l ec a l a b i - y a um a n i f o l d s a n dw et r yt oc o n s t r u c ts t a b l er a n k - 3v e c t o rb l m d l e so nc e r t a i n c a l a b i - y a u3 - f o l d si n t h i sp a p e ra n dg w cs o n i cp r e l i m i n a r yr e s u l t s i tf o l l o w s 山东大学硕士学位论文 f r o mt h eh a x d e r - n a r a s i m h a nf i l t r a t i o nt h a te v e r yr a n k - 3b u n d l ec a nb ew r i t t e n e i t h e ra sa ne x t e n s i o no far a n k - 2t o r s i o n f r e e , s h e a fb yal i n eb u n d l e ，o ra sa n e x t e n s i o no far a n k - 1t o r s i o n - f r e es h e a fb yar a n k - 2v e c t o rb u n d l e ；i ne i t h e rc a s e ， t h ee x t e n s i o nr e l a t e st oaw a l li nt h ea m p l ec o n eo fx t h e nt h em a i nr e s u l t a b o u tt h er a n k - 3c a s ew eo b t a i ni s t h e o r e ma 鼢ad i v i s o r c lo ny = p 1 p l e tf = ( d l ，如) 三c l ( m o d3 ) 研纨 d l 2a n dd 2 0 ，f = ( c 1 + f ) 3 ja n df e cb eac h a m b e ro yt y p e ( 3 ；c 1 ，c 2 ( y ) ) s u c ht h a ti t sc l o s u r e 乙c o n t a i n s fa n dt h a t ( 1 ，t ) ” 0f o r ( 1 ，t ) c t h e n ， ( i ) t h e r ee x i s t sar a n k 一3b u n d l es i t t i n gi nan o n t r i v i a le x t e n s i o n 0 一o v ( f 1 - y _ y 7 - 0 w i t hc l ( y ) = c 1 ，4 ( 3 c 2 ( y ) 一c i ( y ) 2 ) = 一王2 ，w h e r ev 7i sl t s e m i s t a b l e ( i i ) t h e s eb u n d l e sv a r el t s t a b l e i ta t t r a c t si n t e n s i v er e s e a r c ha c t i v i t i e sa f t e rar e m a r k a b l ec o n j e c t u r ew a s m a d er e l a t i n gt h ed o n a l d s o n t h o m a si n v a r i a n t sw i t hg r o m o v - w i t t e ni n v a r i a n t s i n 【2 0 1 t h e yc o n j e c t u r e dt h eg e n e r a t i n gf l m c t i o n so fd o n a l c k s o n - t h o m a s i n v a r i - a n t se q u a t e st ot i mg e n e r a t i n gf u n c t i o m so fg r o m o v - 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