（基础数学专业论文）一类四维流形上的伪自由z3作用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要运用e d m o n d s 和e w i n g 的实现定理研究四维流形k 3 # 2 ( s 2 x s 2 ) 上的局部线 性伪自由作用 第一章首先介绍了四维流形在群作用下不动点理论的相关结果，同时介绍了国内外 学者在四维流形的拓扑分类方面的研究成果，并在最后介绍了本文的主要研究工作 第二章介绍了一些预备知识主要介绍了四维流形的基本概念，四维流形上的s p i l l 几何以及流形上的群作用等方面的基本知识 第三章运用g s i g n a t u r e 公式、g s p i n 定理和l e f s c h e t z 不动点公式等工具对 k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 上的局部线性伪自由z 3 作用给出了完全的拓扑分类，得到如下主要结论： k 3 # 2 ( s 2 x s 2 ) 上的局部线性伪自由z 3 作用共有四种类型，并且这四种类型的每一种 都可以由k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 上的局部线性伪自由z 3 作用实现 第四章是对本文内容的回顾 关键词：群作用；局部线性；伪自由；k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 p s e u d o f r e ez 3 a c t i o n so nac l a s so f4 m a n i f o l d s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yl o c a l l yl i n e a rp s e u d o f r e ea c t i o n so n ac l a s so f 4 m a n i f o l d s ，t h a ti sk 3 # 2 ( s 2 xs 2 ) b yt h er e a l i z a t i o nt h e o r e mo fe d m o n d sa n de w i n g i n c h a p t e r1 ，w ei n t r o d u e e t h er e l a t e dr e s u l t so ff i xp o i n t so fg r o u pa c t i o n s o n 4 m a n i f o l d st h e o r ya n dt h em a i na c h i e v e m e n t si nc l a s s i f i c a t i o no f4 - m a n i f o l db ys o m e m a t h e m a t i c i a n s i nt h ee n d ，t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m ep r e p a r a t i o n sa b o u tt h eb a s i ck n o w l e d g eo f4 一m a n i f o l d s ，s p i n 4 - m a n i f o l d sa n dg r o u pa c t i o n so nm a n i f o l d s i nc h a p t e r3 ，w ea p p l yt h eg s i g n a t u r ef o r m u l a , g s p i nt h e o r e ma n dl e f s c h e t zf i x e d p o i n t sf o r m u l a t og e tat o t a l l yt o p o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o no fl o c a u yl i n e a rp s e u d o f r e ez 3 a c t i o n s o nk 3 # 2 ( s z x s z ls u r f a c e s ，o b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t i l el o c a l l yl i n e a rp s e u d o f r e ez 3a c t i o n so nk 3 # 2 ( s z s 上) b e l o n gt of o u rt y p e s ， f u r t h e r m o r e ，e a c ho ff o u rt y p e sc a l la c t u a l l yb er e a l i z e db yal o c a l l yl i n e a rp s e u d o f r e ez 3 a c t i o n so nk 3 # 2 ( s 2 x s 2 ) i nc h a p t e r4 ，w eg i v et i l eo u t l i n eo ft i l ep a p e r k e yw o r d s ：g r o u pa c t i o n ；l o c a t t yl i n e a r ；p s e u d o f r e e ；k 3 # 2 ( s 2 x s 2 ) 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 二美亟绐血整上盘刍查鱼鱼圣三焦! 氧 作者签名：至上翻毽 日期：玉丝3 年乙月坐日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：二美皿礁逊上鲶丛鱼鱼垒五笙! 虱 作者签名： 羡盐堆日期：垄塑宰：年乙月坐日 导师签名：兰幽鱼&日期：逊年- 上p j j - e i 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 四维流形上群作用是四维流形的一个重要研究内容，群作用的不动点集和四维流形 的同调上的群作用之间的关系的一般理论被归纳为著名的a t i y a h b o t tl e f s c h e t z 4 公式 和等变a t i y a h s i n g e r 1 指标定理19 6 8 年，a t i y a h 和b o t t 研究了光滑情形下s p i n 4 流形上的对合作用，得到了的a t i y a h b o t t 引理 4 后来，a e d m o n d s ( 6 3 中命题 3 1 ) 将a t i y a h - b o t t 引理推广到了局部线性的情形此外，对于流形上的局部线性对合作 用a e d m o n d s 6 3 还得到了下面的结论：设m 为单连通的s p i n4 流形，g ：m _ m 为 保持定向的局部线性对合于是，若g 的不动点集非空，则它由孤立不动点或定向曲面 组成而且，a e d m o n d s 利用普序列的理论还证明了：如果素数阶有限循环群在h 2 上 诱导作用的表示为置换表示，则所有的不动曲面都是s 2 有限群作用下曲面的拓扑分类及光滑实现是四维流形上群作用不动点理论研究中 的一个重要问题2 0 0 0 年，k i m 1 3 给出了某些s p i n 4 流形，如：g , y x , q ，k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 以及k 3 # k 3 上的s p i n 偶型z 4 作用的分类，但他并没有给出这些分类作用的存在性的证 明2 0 0 5 年，e d m o n d s 构造了群，。c p 2 某一分类作用的存在性即下面定理： 定理1 1 1 【7 】群。c p 2 存在一个局部线性伪自由z 2 5 作用使得同调表示型为2 ( 5 ) 2 0 0 7 年，l i u 和n a k a m u r a 1 5 ) 利用s e i b e r g w i t t e n 理论的有关结果对l o 曲面上的 局部线性伪自由z 3 作用给出了一个弱拓扑分类，同时也证明了光滑k 3 曲面上不能被光 滑实现的作用的存在性即下述定理： 定理1 1 2 设g 为3 阶循环群则对于k 3 曲面x 上的局部线性伪自由的g 作用 有： ( 1 ) x 上的每个局部线性伪自由g 作用一定是下面表格中四种类型之一而且四 种类型中的每一种都可以由x 上的局部线性伪自由g 作用所实现 作用的分类 t y p e群x g巩 m 醪 畿 b g s i g n ( x g 1一 4 6 6 o1 0 37 4 4 9361 2396 4 1 2 0 1 21 4 31 18 b3 o 38 1 76 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 2 ) 4 型不能被标准光滑k 3 曲面上的光滑作用所实现 l i u 和n a k a m u r a 也研究了k 3 曲面上的局部线性伪自由z 5 作用的拓扑分类及实现 问题，但其结果要比z 3 情形复杂得多 k i m 给出了k 3 ，s 2 s 2 ，k 3 # s 2 s 2 以及k 3 # k 3 曲面上的s p i n 偶型z 4 作用的分 类，而l i u 和n a k a m u r a 研究了k 3 曲面的弱拓扑分类，这就启发我能不能把l i u 和 n a k a m u m 在l o 曲面上证明所用到的e d m o n d s 和e w i n g 实现定理用在k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 上， 本文根据这种思想，得n tx 3 # z ( s 2x s 2 ) 上的局部线性伪自由z 3 作用的拓扑分类以及 实现结果 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章简要介绍了流形的基本概念，四维流形上的s p i n 几何以及流形上的群作用 2 1流形 在这一节中作者将简要介绍流形的一些基本概念详细地可参见文献 2 2 】 定义2 1 1 设x 是一个非空的h a u s d o r f f 空间，如果对于每一点p x ，都存在p 点的开邻域u x ，以及从u 到n 维欧式空间r ”的某个开集上的同胚9 ：u r ”，则称 x 为一个1 1 维拓扑流形 定义中的，9 ) 称为x 的一个坐标卡：此时，开集u 称为点p u 的坐标邻域，妒 称为坐标映射拓扑流形实际上就是在局部上同胚九维欧式空间的h a u s d o r f f 空间，即 它的每一点都有同胚于r ”中的某个开集的坐标邻域 定义2 1 2 设x 是一个力维拓扑流形，9 ) 与，9 ) 是x 的两个坐标卡如果 u n v = 0 ，或者当u a v = f 2 j 时，映射 9o 驴叫：9 ( u n v ) 一9 ( 矿) 和9o 驴_ 1 ：9 ( u n v ) 一9 ( u ) 都是c 7 映射，则称坐标卡，9 ) 与，9 ) 是c 7 相关的。 定义2 1 3 设x 是一个拧维拓扑流形4 = o a ( x ；i ，碓) 则称x 是可定向的微分流形 一般的，满足上述两个条件的( ；) ，( ；x ；i ) 称为是定向相符的 定义2 1 7 2 n 维流形x 上的一个坐标图册 虬，l a 如) 称为一个复结构，若每 个是巩与c ”的一个开子集同胚，且过渡函数。_ 1 是全纯的复流形都是可定向 的，这是因为连通群o l ( n ；c ) cg l + ( 刀；r ) 2 2四维流形 在这一节中作者将简要介绍四维流形的相交形式及其与四维流形之间的关系详情 可参见文献 1 0 设鼠；z ) ，h c x ；z ) 分别是x 的同调群及上同调群，若x 是闭的， 定向的四维流形，p o i n c a r e 对偶定理给出了只；z ) ，h 4 。( x ；z ) 的同构，当x 是单 连通时，一维及三维同调群为0 。所有的信息都包含在且里 定义2 1 5 设x 是一个紧致的，可定向的四维流形对称双线性形式： q r ：h 2 ( x ，锻；z ) h 2 ( x ，砑；z ) 一z 由线：( 口，6 ) = = a b z 定义q 为x 的相交形式由p o i n c a r e 对偶 马( x ；z ) 兰h 2 ( x ，拟；z ) ，级同样n - - i 以定义于h 2 ( x ；z ) 皿( x ；z ) 注意q 的定义只需x 的拓扑结构显然当口或b 是扭元素时鲰6 ) = 0 故通过选 择通过选择马( x ；z ) t o r 的一级组基，可用一个对称矩阵表示绋显然g = 一 设q 是有限生成自由阿贝尔群a 上的一个对称双线性形式9 的秩r k ( q ) 定义为彳 的维数把q 对应的矩阵扩张到彳o z r 且对角化，对角线上+ 1 的个数记为酵，一1 的个 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 数记为西，笏一西的差值称为q 的符号差，记为仃( q ) ，q 称为正定( 负定) 的，若 r k ( 9 = 仃( q ) ( ( ，j j ( q ) ) = - - a ( q ) ) ，其他情形称为不定的q 称为偶的，若q ( a ，a ) 量0 ( r o o d 2 ) ，v a a ；否则就称为奇的q 称为么模，若d e t q = 1 若x 是一个闭4 维流形， 则q x 为么模 若qi ，q 2 分别定义于a 1 ，a 2 上，令a = 4o4 ，设a ，b a 且有分解口= q + a 2 ， 6 = 6 l + 其中q ，岛a 若令： q ( a ，b ) = q ( a 1 6 1 ) + q 2 ( a 2 ，6 2 ) 可定义a 上的对称双线性形式q = q io q 若七 o ，k q 表示9 q ：对于七 h 以及，兰o - ( q ) ( m o d2 ) 的p ，) z 可构造一个具有仃= 仃( q ) 以及，- = r k ( q ) 的么模形式9 = 峨+ 懈 定理2 1 7 设q 是一个不定么模形式，若q 是奇的，则同构于霹 o 巧 ； 若q 是偶的，则同构于螋乓毋堂掣 子z 定理2 1 8 ( r o h l i n ) 若鲰是偶的，则符号差( o - ( x ) ) 可被1 6 整除。 定理2 1 0 ( w h i t e h e a d ) 单连通闭的4 维流形五与五是同伦等价的当且仅当 绋l 兰矾2 定理2 1 11 ( f r e e d m a n ) 对每个幺模对称双线性形式q 都存在一个单连通闭的4 维 流形x ，使得绋兰q 若q 是偶的，则流形x 在同胚意义下是唯一的，若q 是奇的，则有 两个不同胚的流形满足给出的相交形式，至多其中一个有光滑结构类似地，单连通光 滑的4 维流形由它的相交形式决定 2 3 流形的连通和 定义2 3 1 设五，五是两个定向的r l 维流形，互ca x ，( i = l ，2 ) 是边界一个紧的余维 数为零的子流形，9 ：z l 寸z 2 是反转定向微分同胚，通过9 把z l 与z 2 等同起来，我们可 以得到一个新的定向流形，记为五乩置 定义2 3 1 的一个特殊构造的情况是边界和，当我们沿”一1 维球z l z 2 d ”= 1 相粘的 时候，只要每个是连通的，定义就是合理的，结果记为五群五m 个流形x 的边界 和记为# m x ；若m = 0 则由定义得# r e x = d ”定义2 3 1 的另一个特殊构造的例子是 两个连通定向的胛维流形五，五的连通和 定义2 3 2 对于f = l ，2 ，设硝c 五总是嵌入圆盘，9 ：研一硝是反转定向微分同 胚，光滑流形一i n t d , ) u p | ( ) 隅一i n t 岛) 称为五与五的连通和记为五j 5 五连 通和与d j ，或9 的选择无关( 因为任两个保持定向的嵌入圆盘是光滑合痕的) 特别的，m 个流形x 的连通和记为# r e x 若m - 0 。则# m x = s ”注意到由定义得到工与五的边界 和的边界是瞄拌吗，所以，a ( 五群五) = o x , 撑 大连理工大学硕士学位论文 引理2 3 3 假设对称双线性形式q 在子群a ic 彳上的限制是幺模，则 ( 彳，q ) = ( 4 ，q 1 4 ) o ( 么，嫉) 其中 彳= y a q ( x y ) = 0 , v x 4 q 阻。上是幺模当且仅当o 是幺模 证明：若o a 4n4 上，则q ( a ，6 ) = o ，v b 4 ，这与q 1 4 是幺模矛盾x g v x ea 定义4 上的线性函数ahq o ，a ) 由q 1 4 的幺模性，存在唯一6 4 使得 q ( x ，口) = q ( b ，口) ，v a 4 因此，x - b 矸，x - - b + ( x - b ) 4 + 矸这就证了 彳= 4o4 ( 斜，q i 钟) 的幺模性，可由d e t q = d e t q 4 d e t q a i j - = 矸得到 定理2 3 4 设五与五是两个四维流形，其对应的相交形式是既证明 q x # 五= q xo 既 证明：对空间三元组( 五群置，五- i n t o , ，五一硫砬1 应用m a y e r - v i c t o r i s 列，因为 吼( 墨) ( 岛( 五) ) 中的任一类都可由墨一i n td l ( 置一血岛) 中的一个闭的定向曲面表示， 所以皿( 五撑五) = - 2 ( 五) o 马( 五) 对于m a y c r - v i e t o r i s 列可参看 1 2 由定理2 1 1 0 得到瓯。恐i 五兰鳞，显然筑是幺模由引理2 3 3 可推出级，。以= q 。o 绞2 注定理的逆命题也是真的，即若x 量个闭的光滑的单连通的四维流形，且鲻可以 分解成g00 2 ，则存在五，五cz 使得x = 五拌五rq , = 瓯江1 ，2 玛曲面的相交形式是2 乓0 3 日，s 2x s 2 曲面的相交形式是h ，那么玛舟坞曲面的 相交形式；是4 e s ( 9 6 h ，s 2x s 2 撑墨曲面的相交形式是2 乓0 4 口 2 4 四维流形上的s pin 几何 在这一节中作者将简要介绍d i r a c 算子，以及d i r a c 算子所涉及的概念，详细地可 参见文献 1 8 我们将四维欧氏空间看作四元数空间v ，其元素为复2 x 2 矩阵形式： ，f + z r + 如、 q 2 【x + 咖f 一忍。j ， 其中i = 一1 作为一个实向量空间，v 可由下面四个矩阵生成 1 = ( ：) ，= ( ? ：) ，= ( ? 三) ，尼= ( ：一0 ，) 一个四元数q 的行列式定义为： 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 d e t q = f 2 + z 2 + x 2 + 少2 = ， 其中 表示欧氏空间中的点积， s u ( 2 ) _ q v ： = 1 ) ， 单元四元数球面s u ( 2 ) 在四元数乘法下形成一个李群 四维s p i n 群是由2 个特殊酉群作用积生成的： s p i n ( 4 ) = s u + ( 2 ) x s u ( 2 ) ； 一个典型的元素为( 4 ，以) ，其中4 s 虬( 2 ) 我们有一个表示 p ：s p i n ( 4 ) 一6 l ( v ) = _ 【v 到自身的同构) 定义为： p ( 4 ，以) ( 9 = 奠q ( 4 ) q 由于以和4 的行列式均为1 ，故 = d e t ( dq ( a ) _ ) = d e t q = ， 因而此表示保持欧氏内积换句话说， p os p z n ( 4 ) - - s o ( 4 ) cg l ( v ) 设( ) ( ， ) 是一个定向四维黎曼流形黎曼度量可使t x 的结构从g l ( 4 ，r ) 约化到 s o ( 4 ) 因而可选择x 的一个覆盖 u a ；a a 使得相应的转换函数： g o a ：n o s o ( 4 ) g l ( 4 ，r ) 取值于s o ( 4 ) 定义2 4 1 如果， ) 上的一个开覆盖 阮；口a 和一组转换函数 夕筇：虬r 、一s p i n ( 4 ) 在n n q 上满足j d 。邓朝叩以及余闭条件 g 够9 醣吖 则称其为一个s p i n 结构，具有s p i n 结构的流形称为s p i n 流形 因此若在( m ， ) 上有一个s p i n 结构，由雪筇：虬r 、- - s p i n ( 4 ) 定义，转换函数 p + 。夕印：r 、一s q ( 2 ) ，p 一。g 印：虬n 一s u _ ( 2 ) 确定了m 上秩为2 复向量从，分别记为k 及矽记w = 吸0 形 我们将s p i n ( 4 ) 看作一个( 4 4 ) 矩阵空间： 大连理工大学硕士学位论文 ( 孙4 以 这个六维的李群包含下面一个重要的七维李群内： 跏加c 4 ，。= ( 言4 九羔) ：4 s u c 2 ，4 s 矿c 2 x 允u c ，) 此外，上面的表示p 可扩张为表示： p ：s p i n ( 4 ) 。一g t ( v ) ， 定义为； p 。伊a 球= 缈4 并且，我们有群同态石：s p i n ( 4 ) 。一u ( 1 ) ，定义为： 万( ：4a 羔) = d e t c a 4 ，= 。d e t ( 九4 ，= a 2 定义2 4 2 如果( x ) 上的一个开覆盖 ；o r 彳 以及一族转换函数 夕邮：r 、一s p i n ( 4 ) 。 满足p 。夕印卸印和余闭条件，则称之为一个s p i n 。结构 事实上，在单连通的s p i n 流行上，给定的黎曼流形上印澎结构的同构类与x 上的 复线丛是一一对应的并且，h i r z e b r u c h 和h o p f 已经证明了：任何定向四维黎曼流形都 有s p i n 结构。 若联络以在w 上可以局部平凡化，即 ( a a o - ) = = 历+ 九吒 其中九是l 一形式，且其值在s p i n ( 4 ) 。的李代数里，则丸是s p i n ( 4 ) 。联络 设m 是具有s p i n 。结构四维黎曼流形，wo 三是m 的印扬从，以是形。三上的 s p i n ( 4 ) 一联络 定义2 4 3 d i r a c 算子d 4 ：r ( 形。三) _ r ( 形。三) 定义如下： 见缈) = q 以y ( 乞) = qv 耖 d i m e 算子d 。可以分解为： 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 见+ ：r ( 暇。三) 一r ( 矿o ) ，见一：r ( 矿。三) 一r ( 暇。三) 定义矾+ 的指标为： i n d d 4 + = d i m ( k e r ( d a + ) ) 一d i m ( k e r ( d a 一) ) 我们把j a c o b i a n 圆环面j 看成是与固定的g 不变联络4 的曲率相等的线丛l 上的 标架了的u ( 1 ) 联络的等价类的集合，这样，就是一个定义好的联络族，考虑d i r a c 算子的 族 或 脱，它的g - 指标碱 e 蒯是，上的g 等变k 群磁( ，) 中的一个元素 设不动点集，g 分解成连通分支，g = 山u 以u u 以在每个中选取一点f ，通过 限制映射，我们有同态乃：磁( ，) 一( ) 由于每个妊( ，) 就是表示环 r ( g ) - - z t ( t 户= 1 ) ，所以口= 锄如 幺 _ “在巧下的像可以写成乃o ) = ：彰c 2 5 四维流形上的有限群作用： 这一节我们主要介绍四维流形上的有限群作用，群作用的不动点以及不动点的 l e f - s c h e t z 不动点公式，g s i g n a t u r e 公式和g s p i n 定理等 定义2 5 1 设c 是一个群，s 是一个集合，若存在映射 c s - - s s ) h g 搴s 适合下列条件： ( 1 ) p x = x ( 2 ) ( g l 9 2 ) 牛x = 9 1 母( 9 2 幸x ) 对一切x s ，g l , 观g ，成立，则称g 在s 上定义了一个作用 我们说群g 作用在空间y 上，若g 是y 的自同态群，且映射g xv 寸v ：( g ，x ) hg ( x ) 是连续的称g ，= ( 9 g lg x - - x ) 为群g 在点x 处的迷向子群，群g 的作用是有效的， 若只有单位元保持矿中每一点不动，也就是说迷向群中不包含非平凡的正规子群 设x 是闭的单连通的四维流形，g 是流形x 上的有限群作用，则g 作用的不动点 集定义为 f i x ( g ，砷= x 工i v g e g ，g x = z ) 若g 是由夕：x _ x 生成的循环群作用，且g = ，g p = 1 ，“局部s m i t h 理论”意味着f = f i x ( o ，x ) 是由孤立点和曲面组成且l e f s c h e t z 不动点公式给出不动点集的欧拉示性 数 大连理工大学硕士学位论文 x ( ，) = 人( 9 ) = 2 + t r a c e 9 。：h 2 ( 并) 专h 2 ) 对于一般的讨论可参见e 4 最近e d m o n d s 利用等变上同调证明了：所有的不动点 集中的曲面都是球面当且仅当皿( x ) 上的表示为置换表示详细可参见e d m o n d s 6 ， 命题2 4 若群g 在x 上的作用没有不动点，则其作用是自由的 定义2 5 2 空间x 上的一个作用称为伪自由作用，如果此作用在x 的一个离散子 集的补集上是自由的 显然，如果g 为伪自由作用则其不动点集为孤立点集 定义2 5 3 设g ，= 夕g l g x = x ) 为群g 在点x 处的迷向子群如果每一点z 彳都 有一个在迷向群作用下不变的邻域，且g ，在此邻域上的作用等价于某个欧氏空间上的 线性作用，则称此群作用是局部线性的 若g 局部线性作用在四维流形x 上且具有奇数阶循环迷向子群，则每个不动点p 都对应着一个不动点d a t a ( a ，b ) ，它是一个有序对，如果选取g ，的一个生成元e ，则它在 不动点p 上的作用为( z ，w ) 专心口z ，e 6w ) 设循环群g = ，g p = 1 局部线性作用于四维流形x ，t r 有- 不动点五及不变曲面 s j ，赃薯处的不动点d a t a 为 ，匆) ，s j 的法欧拉数为行，且法转动角为p ，( 使得夕从一个定 向法严面转2 r c e j m 到s ，) 则c s i g n a t u r e 公式表示为： s z g n ( g , x ) 。莩篇一手篙 其中= e x p ( 2 z t x - 1 p ) 见 1 1 此外，对固定的9 g ，我们有g s p i n 定理： i n d 口巩= 亭乃= v q ) 其中f = e x p ( 2 u 4 二1 3 ) 且v ( p ) 是相应于每个不动点的一个确定的复数 设不动点p 关于9 有表示型( a ，b ) 则相应于尸点的数1 ，( 一) 由下式给出： 1 ，( p ) = ( f 4 ) 2 一( 4 ) - 1 ，2 ( 9 6 ) 1 陀一( f 6 ) - 1 胆 其中( 善4 ) 2 和( f 6 ) “2 的符号由条件 ( w 7 2 3 = 婶6 ) 帔 3 = 1 ( 2 1 ) 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 决定 一1 2 大连理工大学硕士学位论文 3 k 3 # 2 ( s 2 x s 2 ) t - 的伪自由乙作用 这一章主要研究k 3 # 2 ( s 2 x s 2 ) 上的局部线性伪自由z 3 作用的一个弱分类，且每种分 类都可以由x 上的局部线性伪自由g 一作用实现 首先给出一些记号及局部线性伪自由作用的一些实事 设g 是是三阶循环群g = z 3 ，固定g 的一个生成元9 ，则g 在不动点处的表示可由 一对非零整数表示，记作( 口，b ) r o o d3 因此共有两类不动点，即 t h e t y p e ( + ) - ( 1 ，2 ) = ( 2 ，1 ) t h e t y p e ( 一) ：( 1 ，1 ) = ( 2 ，2 ) 我们采用以下记号设匆是流形x 的第i 个b e t t i 数，且6 + 旺) 是h 2 ( x ；r ) 的最大正 定( 负定) 子空间h + ；购( h 一；r ) ) 的维数对任意的g 一空间v ，设v g 为g 一作用的 不动点集设r = d i m h 。( x ；双) g ，其中= 2 ，+ ，一令x ( x ) 表示x 的欧拉数，s i g n ( x ) 表示x 的符号差 e d m o n d s 和e w i n g 的实现定理我们在g = z 3 的情况下概括e d m o n d s 和e w i n g 的局 部线性伪自由作用实现定理 定理3 1 1 ( 【8 】) 设g 是一个3 阶循环群假设有不动点d a t a d = ( a o ，t o ) ，( 口i ，岛) ( a n ，以) ，( a n 卅，吃+ ，) 其中q ，匆z 3 ( 0 ) ，以及一个g 一不变的对称幺模形式 ：v v z 其中v 是一个有限生成的弘自由z 【g 】模则不动点d a t a d 以及形式，巾) 可以由闭的 单连通的拓扑4 流形上的局部线性伪自由的g - 作用实现，当且仅当下面两个条件成立： ( 1 ) r e p 条件：作为一个z 【g 卜漠，v 可分解为，o 丁，其中f 为自由z 【g 】一模，t 为平 凡的z g 1 模，且有r a n k z t = n ( 2 ) g s f 条件：g 符号差公式成立： j ，g n ( g 舢) ) - 萎端 其中f = e x p ( 2 1 r x - 1 3 ) 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 注1 在【8 】中，a l e d m o n d s 和j h e w i n g 证明了对所有素数p 阶循环群该定理的 实现，对一般p ，t o r 条件要满足，但当p - - 3 ，t o r 条件不需要满足，从事实z k 】的 类数为l 及f 8 1 中推论3 2 得到 引理3 1 2 对于每个满足o 七5 的整数七。都有r l 。上的c - 作用，使得r i 。作为 一个z f g 】- 模满足 r 1 6 兰( 1 6 - 3 k ) z okz g 】 这个具有g - 作用的幺模形式记作r 。“ 证明：当k = 0 时，只需取g 为平凡的作用因此，我们假设k 1 已知r l 。是由 ( 而，) ( ；z ) 构成的格，它满足 1 x l 暑x r o o dz 对任意的i ，j ， 2 y 1 6 而兰0m o d2z j i = 1 r l 。上的幺模双线性形式定义为_ 扭r ，# ： 注意到阶数为1 6 的对称群在r 。上的作用可看成分量的置换对于g 的一个固定的 生成元9 ，定义i ，上的g 作用为 9 = ( 1 ，2 ，3 ) ( 4 ，5 ，6 ) ( 3 k - 2 ，3 k - 1 ，3 k ) ， 其中u ，m ，刀) 为“，矗) 的循环置换 作为l 。的一组基，我们取 一+ e i 。， ( f = 1 一，9 ) ， z = q q 6 ， ( f = l o ，1 5 ) ， 【吉( 岛+ 乞+ e r ) ，( f = 1 6 ) ， 其中e i + e 2 + e 1 6 为弧m 的通常的正交基，于是基( 石+ 五+ 九) 给出了所需要的直和分 解。 引理3 1 3 存在下面的g 不变双曲线形式 1 彳，作为一个形式a 兰日且作为一个z f g l 模a 兰z oz 2 岛。作为一个形式垦。兰2 h ，作为一个z f g l 模马。兰z o z g 1 且6 7 ：2 ，6 g ：0 叩 lj ”ljt 3 鼠2 作为一个形式岛，：兰2 日，作为一个z 【g 】一模岛，：兰z oz 【g j 且砰= o ，衫= 2 大连理工大学硕士学位论文 4 c l ，i ，作为一个形式c l ，l - = 3 h ，作为一个z 【g 】- 模岛。：兰z g 】oz g 】且群= 谚= 1 证明：( 1 ) 的结论是平凡的 ( 2 ) 考虑z c z g 】的一组基( 厂，p ，9 e ，9 2e ) 在这组基上相交形式可由以下这个矩阵 来表示： _ = 三i 了+ 一三 易验证p 表示的是z o z f g l 上的一个幺模偶形式，且醪= 2 ，酽= 0 由于p 的秩是4 ， 所以p 与2 h 等价 ( 3 ) 类似于( 2 ) 的证明，只要把( 2 ) 中的矩阵p 改为一p 即可 ( 4 ) 形式g ，由三个h 的置换给出 下面给出本文的主要结果 定理3 2 1 设g 是3 阶循环群，则对于k a # 2 ( s 2 x s 2 ) 上的局部线性伪自由的g 作用 有：x 上的每个局部线性伪自由g 作用一定是下面表格中四种类型之一，而且四种类型 中的每一种可以由x 上的局部线性伪自由g 作用所实现 表3 1 ：作用的分类 t y p e 群x g巩m 琏 磴 b g s i g n ( x g ) 一 4 7251 2396 鼠 1 62 1 4 1 851 38 a1 3 5 8 1 651 16 及1 0821 459 - 4 证明：假设给定了x 上的一个局部线性伪自由g 作用，l e f s c h e t z 公式 l ( 9 x ) _ 2 + 仃( 夕f 日：( ) ) = 群x g 成立。注意到群x g = 豫+ m 且2 + 9 i ：( 一2 8 ，于是我们 得到 豫+ 礁2 8 这与r e p 条件相容，由于 x ( x g ) = 2 6 + 2 ( 致+ 他) 由定理3 1 1 ，g 符号差公式成立： 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 s i g n ( 9 ，x ) = s i g n ( 92 ，x ) = ( 取一，l ) ， s i g n ( x g ) = 一1 6 + 詈( ，一礁) jlj i 由于s i g n ( x g ) 为整数，故致一m 量6m o d9 结合不等式- 2 8 豫一耽2 8 可得 豫一他= 之1 ，一1 2 ，- 3 ，6 ，1 5 ，2 4 ( 3 1 ) 通过x ( x g ) 和s i g n ( x g ) ，我们可以计算醪和硭由于砰等于3 或5 ：因此我们 有下面的结论： 当纡_ 3 时，2 m + + 丝= 9 当醒= 5 时，2 m + + m = 1 8 由这些方程，以及帆和m 的非负性，我们可得到表格3 1 下面我们将证明所有类型作用的存在性为了证明作用的存在性，我们利用定理 3 1 1 ，构造相交形式上的g 作用设( 吆，) 是k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 的相交形式，它是偶的不定 的由于每个偶不定的形式完全由它的秩和符号差决定，因此( 咯，x ) 与5 日0 r 。同构， 其中h 为双曲形式，r l 。是秩为1 6 的负定偶形式引理3 1 2 及引理3 1 3 分别构造了r 。6 和h 上的g 作用 由引理3 1 2 及引理3 1 3 ，我们可以构造( 略，j ) 上相应的g - 作用构造如下 4 类：垦。ooq ，lo r l 6 4 ， b 0 类：3 彳。岛，oo i 1 6 ，3 ， 墨类：5 a ( g f 郾， 岛类：2 么o g 1o r l 6 4 这样，条件r e p 和g s f 都满足，因此由定理3 2 2 知存在某个闭的单连通的拓扑四 流形m 其相交形式恰为( v x ，x ) ，且m 上有局部线性伪自由的g - 作用其不动点集为表 4 2 中所给由于m 是单连通的，且它的相交形式是偶的，因此由f r e e d m a n 的定理【9 】 知m 同胚于k 3 # 2 ( s 2 s 2 ) 曲面这样我们证明了定理3 3 1 3 1 2d i m e 算子的g 指标 大连理工大学硕士学位论文 x 上的每一个g = z 3 作用都可以提升到s p i n 。结构上的一个g 作用于是，d i r a c 算子d x 的g 指标可以写成i n d 6 d x = j 一。k ，c ，r ( g ) 兰zf t ( t 3 = 1 ) ，其中c ，为群g 的 - 一，= u j j l 1 1， 权为歹的复1 维表示，r ( g ) 为g 的表示环 系数七，可由g s p i n 定理计算( 对于g s p i n 定理，详细地可参见 4 2 1 ) 对于 固定的生成元g eg ，l e f s c h e t z 数i n 凼d x 可由公式 i n d 9 d x = 主6 。而1 ，( p ) ， 计算，其中g = e x p ( 2 万j 3 ) ，v ( p ) = ( 4 ) “2 一( 4 ) - 1 也( 6 ) u 2 一( 6 ) - 1 垃 ( 口，b ) 是不动点p 关于夕的表示型( f 4 ) 2 和( f 6 ) “2 的符号由下式确定 ( 。) 2 3 - ( 纠腔 3 = 1 ( 这是因为此情况下，s p i n 结构的g 一作用生成一个s p i n 一结构上的g - 作用，参见 2 1 ) 这样我们有 i n d g d x = k o + g 毛+ f 2 k 2 = 妻( ，o 一 l ) ， i n d g d x = k o + 2 毛+ 包= ：l 【，0 7 吼) ， i n d 4 d x2 k o + 毛+ 岛= 2 ， 解上面三个方程可得 = 吉 6 + 2 ( 豫一豫) ， 毛= 如= 吉 6 2 ( 豫一一) 我们可以得到下面结果： 对于4 类：i n d g 见= 0 c o + c 1 + c 2 r i g ， 对于最类：i i l d g 巩= - 2 c o + 2 c 1 + 2 c 2 er g ， 对于蜀类：i n d g 以_ - - 0 c o - b c l - - c 2 e r g 】， 对于岛类：i n d g 见= 2 c o + o c l + o c 2 科g 】， 一类四维流形上的伪自由z 3 作用 4 本文内容回顾 本文研究了k 拌2 ( s 2 s 2 ) 曲面上的局部线性伪自由z 3 作用，得到了一个主要结果 4 1 节是对本文内容的简单回顾，4 2 节是对今后工作的展望 4 1 本文内容回顾 本文主要工作是给出了墨拌2 ( s 2x s 2 ) 上的局部线性伪自由z 3 作用的一个弱分类定 理，且证明每类都可以由k 3