（基础数学专业论文）一类广义交叉积hopf代数结构与drinfeld量子偶.pdf

摘要 设日是一个双代数，b 是带有日弱作用的代数，盯：日0 日一b 和7 - ：日。日一b 都是后一双线性映射首先我们给出了b 鬏日成为双代数的充分必要条件，此双代数带有扭 曲交叉积b 券：日和左冲余积bl 日，对于日上的余模余代数b 此双代数是由r a d f o r d 在 文献 2 1 】中提出的，d o i 和t a k e u c h i 又在文献【8 】和【2 7 】中进一步推广而得到的其次我 们对此双代数进行刻画且研究其基本结构性质，并给出了此双代数成为h o p f 代数的充分条 件然后我们又构造出一类新的双代数b 要日，由扭曲交叉积b 袢：日和右冲余积b ，日构 成。这里日是b 上的余模余代数我们同样研究了这个双代数的基本结构和性质，并给出 了成为h o p f 代数的充分条件最后，定义了h 叩f 代数a 的d r i n f e l d 量子偶d ( a ) 上的两 个右2 余循环7 7 ，危：叼：d ( a ) od ( a ) 呻七；允：d ( a ) od ( a ) _ 七，使得d ( a ) ( ，7 ，亍1 ) 成为 一个右扭曲代数，又构造出一个线性映射r 1 ：a 一a ，使得上k 。( ) 是广义的 h e i s e n b e r g 量子偶，并证得d ( a ) f 。亍、垒三k 1 ( 小) 关键词：双代数，扭曲交叉积，冲余积，2 - 余循环，d r i n f e l d 量子偶，h e i s e n b e r g 量子偶 a b s t r a c t l e t 月b eab i a l g e b r aa n d 尼a6 x e df i e l d l e t 月a c t ，e a k l yo na na l g e b r ab a n dl e t 矿：日。日一ba n d 丁：h0 日_ bb et w o 乜b i l i n e 盯m a p s t h e nw ef i n das u m c i e n t a n dn e c e s 8 a r yc o n d i t i o nf o rb 爱日，w i t ht h et w i s t e dc r o 鼯e dp r o d u c tb 移：日a 1 1 dl e f ts m a u s h c o p r o d u c tbf 日衙ac o m o d u l ec o 以g e b r abo 、伦r 日，t of o r mab i a l g e b r a ，w h i c hg e n e r a l i z e s 乞h eo n e si n t r o d u c e db yr a d f o r d 【2 l 】，d o ia n dt a k u c h ii n 8 】a n d 2 7 】n e 娥w ed oac h a r a c t e r - i z a t i o nf b rt h i sn e wb i a l g e b r aa n ds t u d yi t sb a s i cp r o p e r t i e sa n dd e r i 、陀as 施c i e n tc o n d i t i o n f o rt h i sn e wb i a l g e b r at ob eah o p fa l g e b r a t h e n ，w ea l l s o6 n das u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf b rb 嚣日，w i t ht h et 谢s t e dc r o s s e dp r o d u c tb 移：日a n dr i 曲ts m a s hc o p r o d u c tb r 日 f o rac o m o d u l ec o a l g e b r a 日o v e rb ，t of o r mab i a l g e b r a n e x tw ea 1 8 0c h a r a c t e r i z et h i sn e w b i a l g d b r a b 嚣日f i n a l l y ，w ec o n s t r u c tt 飘的r i g l l 乇2 e o c y c l e s7 7 ，亍l0 nd ( a ) o fh o p fa l g e b r aa g i v e nb y ：7 7 ：d ( a ) 圆d ( a ) _ + 七；亍1 ：d ( a ) d ( a ) 一七a n dm a k ed ( a ) ( 叼，乎1 ) b er i g h t t w i 8 t e dh o p fa l g e b r a 。w ba l s o n s t r u c tal i n e 贸m 印冗l ：aoa 斗a aa n dm a k e 日k l ( a ) i n t oag e n e r a l i z e dh e i s e n b e r gd o u b l ea n ds h o wt h a td ( a ) ( 町 南) 笺日矗1 ( a + ) k e yw o r d 式b i a l g e b r a ；t w i s t e dc r o s s e dp r o d u c t ；s m a s hc o p r o d u c t ；2 一c o c y c l e ；d r i n f e l dd o u - b l e ；h e i s e n b e r gd o u b l e 1 1 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：近西猛i 曼导师签名：鼍巨坦玄j 期：迦孕z 丝一 第一章问题背景及主要结果 上世纪4 0 年代初，h h o p f 在研究拓扑群的上链时构造出了一类既有代数结构又有余 代数结构的代数系，到了1 9 6 5 年，m i l n o r 与m o o r e 合作在a 眦o fm a t h 上发表了题为 ”h o p f 代数的结构”的文章后( 见文献【1 8 】) ，这个代数系才被正式称为h o p f 代数 m i l n o r 与m o o r e 的这篇文章是开拓性的，给h o p f 代数的结构研究奠定了基础，此后， h o p f 代数 引起了数学家的广泛重视尤其在1 9 8 6 年，前苏联数学物理学家v g d r i n f e l d 在b e r k e l e y 国际数学家大会上报告的”量子群”一文( 见文献【9 ) ，引起了数学与物理学家的广泛关注 其主要结果是用量子群( 即一类非交换非余交换的h o p f 代数) 的代数结构提供了物理场上 y a n g _ b a x t e r 方程的解d r i n f e l d 因此于9 0 年获得了f i e l d s 奖，从而掀起了h o p f 代数研 究的新高潮可以说量子群理论( 见文献【1 l 】，【5 】) 是李群、李代数、代数群( 或群环) 发展到 一定阶段的产物，综合了物理学与数学的许多分支的思想与内容，具有十分丰富的理论内涵 与应用范围( 例如；在低维拓扑、组合数学、图论、算子代数、辫子群及非交换几何中已得到 成功应用) ，也有其深刻的物理背景量子群理论创立以来日益成为当今国际数学与理论物理 研究的热点之一 在1 9 8 5 年，r a d f o r d 证明了冲积a 带日和左冲余积a 日( 其中a 为一个左日模代 数，且为左日一余模余代数) 构成一个h o p f 代数的充要条件是：a 为范畴各y 口中的一个 h 叩f 代数，此定理被称为r a d f o r d 双积定理d f o r d 双积定理给出了在y e t t e r - d r i n f e l d 范 畴嚣) 侈中构造辫子群( 见文献【1 6 】f 1 5 1 ) 的种方法1 9 9 7 年，t b r z e z i 元s l ( i ，在c o m m i na l g e b r a ( 见文献 4 ) 给出了b r z e z i 而s l 【i 交叉积 2 0 0 5 年， n a = 羞l d f u s k i e w i t s c h 和h 一j 。 s c h n e i d e r 在a n n o fm a t h ( 见文献【2 】) 上通过此h o p f 代数( r a d f o r d 双积) 对有点h 叩f 代 数进行了分类，由此可见r a d 妇d 双积定理的重要性因为冲积( s m 髂hp r o d u c t ) 已经推广 为交叉积，许多冲积成立的结果也相应的在交叉积中得到证明，我的导师王栓宏教授在文献 【2 7 】中将r a d f o r d 双积推广到交叉积和左冲余积上，给出了交叉积和左冲余积构成h o p f 代 数的充要条件在此基础上，我们进一步的推广交叉积的定义，同时也是b r z e z 说s k i 交叉积 的一个特例本文其中一个研究内容是给出扭曲交叉积和左冲余积构成双代数的充分必要条 件，并得到了此双代数的一些性质刻画；本文研究的另一个主要内容是给出扭曲交叉积和右 冲余积( 见文献【1 7 】) 构成双代数的充分必要条件，也刻画了此双代数的性质 d r i n f e l d 的一个重要观点是，量子群是一类拟三角h o p f 代数而且，对任意有限维h o p f 代数，d r i n f e l d 构建了著名的d r i n f e l d 量子偶，这是一类特殊的拟三角h o p f 代数拟三角 h o p f 代数的拟三角结构为诺贝尔物理学奖获得者杨振宁先生提出的量子y a n 分b a x t e r 方程 提供了解所以研究并完善d r i n f e l d 量子偶( 见文献 1 2 】) 的性质是十分有应用意义的，这是 本文的另一个研究主题 东南大学硕士学位论文 主要结果( 一) ：( 见定理3 1 8 ) 设日是域七上的双代数，设b 是左日一余模余代数，且是左日弱作用代数设p ： b 日qb 是余模结构映射，：日ob b 是弱模结构映射设b 榉：日是扭曲交叉 积，其中伊和7 - 是扭曲余模余循环，bl 日是左冲余积则下面的条件是等价的： ( 1 ) j e i 爱日是双代数； ( 2 ) 下列条件： a 1 ) 口( 危6 ) = 席( 九) e b ( 6 ) ， a 2 ) b 是代数映射， a 3 ) 芝二( ( l ，z 1 ) 7 - ( 2 ，z 2 ) ) l ( 仃( l ，z 1 ) 7 i ( 2 ，z 2 ) ) 2 = 盯( 丘1 ，枷( 危2 ，c 2 ) q 伊( 忍3 ，1 3 ) r ( 毳。，z 4 ) 也) ( n 6 ) = n l ( 0 2 ( 一1 ) l 6 1 ) 仃( n 2 ( 一1 ) 2 ，6 2 ( 一1 ) 1 ) 7 - ( 口2 ( 一1 ) 3 ，6 2 ( 一1 ) 2 ) 口2 ( o ) 6 2 ( o ) ， a 5 ) ( l 6 ) 一1 ) 2 ( 九1 6 ) ( o ) = 1 6 ( 一1 ) 圆危2 6 ( 。) ， a 6 ) ( 6 ) l ( 6 ) 2 = ( 1 6 1 ) 口( 九2 ，6 2 ( 一1 ) 1 ) 7 - ( 3 ，6 2 ( 一1 ) 2 ) 4 6 2 ( o ) ， a 7 ) m 盯( ，z 2 ) r ( 庇3 ，? 3 ) = ( 仃( 如1 ，z 1 ) 7 ( 2 ，如) ) ( 一1 ) 3 2 3 p ( 1 ，2 1 ) 7 - ( 2 ，f 2 ) ) ( 。) ， a 8 ) b ( 1 b ) = 1 bo1 口， a 9 ) 反0 6 ) = p ( 口) p ( 6 ) 和p ( 1 ) = 1 1 成立，对任意的口，6 b ，九，f 日； ( 3 ) b 是左日一余模代数，且( 2 ) 中的a 1 一a 8 成立 另外，我们也考虑了由8 券；日和b ，日构成双代数口嚣日的充分必要条件 主要结果( 二) ：( 见定理4 1 4 ) 设日和b 都是域七上的双代数，设日是右b 余模余代数，b 是右日弱作用代数 设p ：日啼日 b 是余模结构映射， ：日ob 一b 是弱模结构映射设b 社：日是扭曲 交叉积，b ，日是右冲余积则下面的条件是等价的： ( 1 ) b 嚣日是双代数； ( 2 ) 下列条件： q 1 ) 口( 6 ) = e 耳( ) b ( 6 ) ， q 2 ) 乏_ ：( 盯( 1 ，z 1 ) 7 ( 2 ，2 2 ) ) 1 ( 盯( 1 ，2 1 ) 7 - ( 危2 ，f 2 ) ) 2 = 仃( 1 ( o ) l ，f l ( o ) 1 ) 丁( 九1 ( o ) 2 ，f 1 ( o ) 2 ) 。危1 ( 1 ) ( 危2 f l ( 1 ) ) 盯( 危3 ，1 2 ) 7 i ( 九4 ，f 3 ) ， 2 东南大学硕士学位论文 q 3 ) ( 。) lq ( n ) 2 = ( ) 0 1 ) 。) ( 0 2 ) ， q a ) ( | 7 l l o ) ) 。) - 1 ( 1 ) ( 而2 n ) ) ， q 5 ) ( 1 2 ) ( o ) o 盯( l ，f 1 ) 7 - ( 3 ，z 3 ) ( 2 2 2 ) ( 1 ) = 九l ( o ) f l ( o ) o l ( 1 ) ( 2 2 l ( 1 ) ) 盯( 3 ，1 2 ) 7 - ( 危4 ，f 3 ) 0 6 ) 声( m ) = 声( ) ，；( z ) 和p ( 1 ) = 1q1 成立，对任意的n ，6 b ， ，z 日； ( 3 ) 日是右b 一余模代数，且( 2 ) 中的q 1 一q 5 成立 我们又考虑了广义扭曲d r i n f e l d 量子偶与广义h e i s e n b e r g 量子偶之间的同构关系 主要结果( 三) ：( 见定理5 2 5 ) 设a 为一个有限维h o p f 代数，上的广义h e i s e n b e r g 量子偶月r r 。( a + ) 与h o p f 代数d ( a ) 的右扭曲代数d ( a ) ( ，) ，亍。) ( 定理5 2 1 ) 同构，即 趴a ) ( 町，龟笺日r ，( a ) ， d ( a ) ( 町创的扭曲结构由右2 一余循环，7 和亍l 决定 3 第二章预备知识 设b 是余代数，余乘记法定义为： ( c ) = c lo c 2 ， j _ _ _ - 对任意的c b h o p f 代数日的反对极记为若妇是双线性的，其逆记为踮1 文章中 所有映射均为忌线性的若无特殊说明 即是圆七 在这篇文章中我们就沿用( 【9 】和【2 4 】) 中的结果、记号和约定 设b 是代数，日是双代数，若b 是左日余模，其余模结构映射记为舶：b 斗 日qb ，6 6 ( 一1 ) o6 ( o ) ；且代数( b ，m b ，p b ) 使得m 廖和肋都是余模结构映射，即 p b ( 曲) = 口( - 1 ) 6 ( - l j 。q d ) 6 ( o ) ， 和 p b ( 1 b ) = 1 o1 日， 对任意的口，6 b ，则称b 是左日一余模代数( 见文献 2 1 】) 设c 是余代数，日是双代数，若c 是左皿余模，其余模结构映射记为船：c 斗 日 c ，c c ( 一1 ) qc ( o ) ，且代数( c ，c ，e ) 使得和c 都是余模结构映射，即 l c l ( 一1 ) c 2 ( 一1 ) oc 1 ( o ) oc 2 ( o ) 2lc ( 一1 ) oc ( o ) 1oc ( o ) 2 ， tr_、 和 c ( 一1 ) e g ( c ( o ) ) = c ( c ) ， 对任意的c c ，则称c 是左日一余模余代数( 见文献【2 1 】) 设b 是代数，日是双代数，定义线性映射：日ob 呻b ，且满足下列条件： ( a 6 ) = ( 危l 口) ( 2 d ( 2 1 ) 1 b = ( ) 1 b( 2 2 ) 1 口= o ( 2 3 ) 对任意的n ，6 b ， 日，则称日弱作用于b ( 见文献【3 】) 设b 是左m 余模余代数，带有余模结构映射p ：b 一日b ，p ( c ) = c ( 一1 ) c ( o ) ，v c j e 7 左冲余积余代数b f 日( 见文献 1 9 】，( 2 1 ) ( d ) ) 作为向量空间b z 日= b 日，且 有 ( cz 九) = ( c 1f c 2 ( 一1 ) 1 ) 。( c 2 ( o ) z 吼 4 东南大学硕士学位论文 对任意的c b ， 日b z 日的余单位映射记为。日 设b 和日是双代数，日是右b 一余模余代数，带有余模结构映射p ：日一日 b ， p ( 危) = 九( o ) o ( 1 ) ，v 九日右冲余积余代数b ，( 见文献( 1 7 】) 作为向量空间b ，日= boh ，且有 ( 6 r ，1 ) 2 ( 6 1 r 1 ( o ) ) q ( 6 2 l ( 1 ) r 九2 ) ， 对任意的6 口， 日b ，日的余单位映射为bo h 回顾文献【4 】中的b r z e z i 璐l 【i 交叉积定义， a 是任一代数，y 是向量空间有可区分的 单位元1 y 映射x ：yoa aov 且厂：y y _ a y 则a 孝y 定义为代数且空间 向量为a0y 乘法定义为： p a 拳y ：= ( p oy ) ( p a 圆一( a x 圆y ) ，( 2 4 ) 则a 桦y 是带有单位元1 群l 且具有结合性的代数，同时也是交叉积本文所构造的代数是 b r z e z i n s k i 交叉积的一种特殊情况 设b 和日是双代数，定义线性映射r ：以固b bo a ，口 6 一铲。口r ；则称 a 轷r b 是广义张量积代数( 见文献 2 5 】) ，乘法定义为：( n 6 ) ( c d ) = a c ro 垆d ，当且仅当 下列条件成立： 对任意的口a ，6 b r ( m bo 如) = ( i 以om b ) ( roi b ) ( 绉qr ) ， r ( i bom a ) 三( m l b ) ( i aor ) ( roi a ) ， r ( 6o1 a ) = l a06 ， r ( 1 ：boo ) = ool b ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 5 第三章一类广义扭曲交叉积结构 本章中日是双代数，( b ，b ，b ) 是左日余模余代数，其中b 教h 上的余乘，即是 j e 7 日是上的余乘，定义为： ( 6f ) = ( 6 lz 6 2 ( 一1 ) 1 ) 。( 6 2 ( o ) f 2 ) ， b 嚣日上的乘法即是b 带：日的乘法，定义为： ( 口。 ) ( 6 。后) ：。( 九1 6 ) 仃( 2 ，七1 ) r ( 饥，克3 ) 。危3 如， 对任意的o ，6 b ， ，七日 3 1b 莨日成为双代数的充分必要条件 我们先给出扭醢交叉积b 舞；日的定义，使其与左冲余积结合构成双代数b 散日 定义3 1 1 设b 是代数，日弱作用在b 上，且盯：日圆日一b 和7 - ：日 日一b 都是肛双线性映射，b 圆日上的乘法定义为； ( no ) ( 6o 后) = ：o ( 1 6 ) 盯( 2 ，七1 ) 7 - ( 九4 ，b ) o 3 ， 对任意的n ，6 b ，忽，七日，由此得到的代数记为b 务：日若b 舞：具有结合性，1 社1 是 此代数的单位元，我们称代数b 斧：日是扭曲交叉积 命题3 1 2 假设盯有卷积逆若7 ( 日。日) cz ( b ) ，那么b 榉：日成为扭曲交叉积的 充分必要条件是盯和7 同时满足下列条件： 奉l 盯( 1 ，h ) 7 - ( 1 ，七3 ) o 如= 1o 后， 2 盯( l ，1 ) r ( 九3 ，1 ) 九2 = l 危， 3 ( l p ( ，9 1 ) ，- ( ，卯) 】) 盯( 危2 ，如9 2 ) 丁( j 1 4 ，七4 肌) q 3 乜弱 = 盯( l ，七1 ) 7 ( 5 ，忌5 ) 盯( 九2 尼2 ，9 1 ) 下( 4 乜，卯) 。 3 七3 夕2 ， 辜t ( l ( 尼1 6 ) ) 矿( 危2 ，如) 7 ( 4 ，忌4 ) 。九3 乜 = 盯( 1 ，h ) 7 - ( 4 ，缸) ( 2 乜6 ) 危3 后3 ， 这里6 b ，危，2 ，夕日 下面我们给出一类扭曲交叉积的例子 r 东南大学硕士学位论文 设b 和露都是群，a 磁( 丑) 是b 的自同构群定义映射”：日x 日_ b ，u ：日露一b 且对于映射q ：日一a 札t ( b ) ，记a ( ) ( 口) = o ，若下列条件满足，则称( b ，日，口，u ，u ) 是群 扭曲交叉系统，并记为r = ( b ，日，a ，u ，u ) ， ( i ) ( 九( z o ) ) ( 是，z ) u ( 九，f ) = u ( 九，z ) u ( 九，f ) ( ( a 1 ) 口) ， ( 磊) u ( ，z ) u ( ，f ) u ( f ，9 ) u ( z ，9 ) = ( 九( u ( z ，9 ) 叫( 2 ，9 ) ) ) u ( h ，f 9 ) u ( 危，2 9 ) ， 对任意的九，z ，夕日，q b 若 ( 1 ，1 ) = u ( 1 ，1 ) = 1 成立，则称r 是正则的其中映射 口：日一a 锃( b ) 称为弱作用，且映射 ：日日_ bu ：日日_ b 都是q 一余循环 若( b ，胃，n ，t ，u ) 是正则扭曲交叉系统，则有： u ( 1 ，九) ( 1 ，危) = u ( ，l ，1 ) u ( ，1 ) = 1 ； 且 1 o = o ；危1 = 1 ； 对任意的 日和o b 作为集合b 券擘，。日：= b 日，定义其上的二元运算为： 7 ( 口， ) ( 6 ，z ) ：= ( n ( 6 ) u ( ，z p ( 允，z ) ， f ) ， 对任意的 ， h ，o ，6 b 当且仅当( b ，日，q ，u ，u ) 是正则扭曲交叉系统时，称( b 轷譬一日，) 是群，且带有单位元l b 棒拿日= ( 1 ，1 ) 在此条件下，则称群b 移譬州露是关于扭曲交叉系统 r 的扭曲交叉积 若对任意的九日，n b 都有 n = n 成立，则称q 是平凡的类似地，若对任意 的九，f 日都有u ( ，z ) = 1 ，u ( 庇，z ) = 1 成立，则称v 和都是平凡的 例子3 1 3 设b 和日都是群，若u ：日日_ 口( 或u ：日日_ b ) 是平凡映射， 则称r 为交叉系统( 见文献 1 】) 在文章中，我们假设7 有卷积逆7 - - 1 且是2 余循环，即它满足以下条件： 7 _ 9 l z ) 7 i ( 危2 ，夕2 ) = 丁9 1 名1 ) 7 - ( 夕2 ，勿) ， ( 3 1 ) 对任意的 ，夕日 设日是双代数，( b ，m b ，p b ，b ，b ) 是左何余模余代数且有左日弱作用矿：日 日呻b 是线性映射设p ：b 呻嚣。召和；胃 召一b 分别是余模、弱模结构映 射本章将推导出bo 日成为双代数的充分必要条件此双代数带有j e 7 券；日的代数结构和 bc 日的余代数结构若( bo 日，p b 社；，m b 带；日，e b ：，日。日) 是双代数，则称四元素组 ( 日，b ，盯，7 - ) 是相容的，记为b 散日 东南大学硕士学位论文 8 首先，我们有下面的引理： 引理3 1 4 设b 榉：日是扭曲交叉积且bl 日是左冲余积若等式b ( 九c ) = 日( ) b ( c ) ， b 盯= 日o h ，e b 7 = 日0e h ，e b ( 0 6 ) = b ( n ) 口( 6 ) 成立，则下面的等式成立： ( 1 ) ( 2 ) i ) ( 九c ) 1 ( - c ) 2 = ( 九1 c 1 ) 盯( 危2 ，c 2 ( 一1 ) 1 ) 7 ( 3 ，钮一1 ) 2 ) 。 4 c 2 ( o ) ； 娩) ( i 1 1 - c ) ( - 1 ) 2 。( 危l c ) ( 0 ) = 呐- 1 ) h 2 c ( o ) ； ( l c ) 2 ( 一1 ) 2 ( 丸l c ) 1 。( h 1 c ) 2 ( 。) 4 c 2 ( 一1 ) 3 ( l - c 1 ) 盯( j b 2 ，c 2 ( 一1 ) l 下( 蚝，钮一1 ) 2 ) 5 c 2 ( o ) ； 对任意的c b ，九日 引理3 1 5 设b 榉：日是扭曲交叉积，且bl 日是左冲余积设p ( 1 b ) = 1 日pl 口， b 矿= s 日o ，日丁= ho 则下面的等式成立： 主) = 扰1 = = ( 仃( 1 ，z 1 ) 7 - ( 3 ，z 3 ) ) 1o ( ( 允1 ，z 1 ) 7 - ( 3 ，z 3 ) ) 2 2 2 2 盯( 1 ，2 1 ) 7 - ( 2 ，f 2 ) o 口( 3 ，2 3 ) 一 5 ，z 5 ) 危4 2 4 ； ( 口( 九l ，f 1 ) 7 ( 3 ，f 3 ) ) ( 一1 ) ( 2 如) 1 ( 盯( 九l ，h ) 丁( 危3 ，z 3 ) ) ( o ) ( 2 2 2 ) l ( 2 2 2 ) 2 1 2 1 圆盯( 2 ，z 2 ) 7 ( 4 ，1 4 ) 3 如； 对任意的 ，l 日 引理3 1 6 基于引理3 1 4 和引理3 1 5 条件，可得到下面的等式成立： ( 1 ( 2 ) ( 伊( 危，咖( 危2 ，训p ( 盯( 九t ，z 1 ) 7 - ( 2 ，f 2 ) ) 2 盯( - ， ( 2 ，2 z ) 。仃( 九3 ，枷( 4 ，f 4 ) ； ( 盯( l ，f 1 ) 7 ( 3 ，f 3 ) ) ( 一1 ) 危2 2 2 。( 盯( l ，z 1 ) 丁( 3 ，2 3 ) ) ( o 吼。盯( 危2 ，f 2 ) 7 i ( 3 ，1 3 ) ； ( 仃( l ，z 1 ) 7 - ( 3 ，f 3 ) ) l ( 寸( l ，f 1 ) 7 ( 九2 ，1 2 ) ) 2 ( o ) 。( 口( l ，z 1 ) 7 - ( 3 ，z 3 ) ) 2 ( 一1 ) 九3 f 3 盯( w - ) 丁( w s ) 。仃( w t ) 丁( 训5 ) 。； 对任意的 ，l 日? 上面的引理都可以直接得到，证明留给读者 定义3 1 窄设b 榉：是扭曲交叉积，那么若下面的等式成立，则称盯，7 - 是扭曲余模 余循环：7 j ： c l 。c 2 ( 。) qc 2 ( 一1 ) = c l 仃( c 2 ( 一1 ) ， 1 ) 7 - ( c 2 ( 一1 ) 3 ， 3 ) 。c 2 ( 。) c 2 ( 一1 ) 2 2 砂 l | 哪 = = 东南大学硕士学位论文 在本章以下部分中，盯，下都是扭曲余模余循环，并有更近的条件： 7 - ( l ，z 1 ) 2 f 2 = 7 - ( 危2 ，2 2 ) 。啪， ( 3 2 ) 对任意的愚，z 日成立 接下来，我们给出b 日成为代数结构的充分必要条件 定理3 1 8 设日是域七上的双代数，设j e 7 是左日余模余代数，且是左日弱作用代 数设p ：b 一 b 是余模结构映射，：h ob b 是弱模结构映射设b 榉：日是扭 曲交叉积，其中口和丁是扭曲余模余循环，bf 日是左冲余积则下面的条件是等价的： ( 1 ) b 赣日是双代数； ( 2 ) 下列条件： a 1 ) b ( 尼6 ) = 日( ) b ( 6 ) ， a 2 ) e b 是代数映射， a 3 ) _ ：( 仃( l ，f 1 ) 丁( 九2 ，z 2 ) ) 1o ( 矿( l ，z 1 ) 丁( 也，z 2 ) ) 2 = 盯( 九，枷( 酬2 ) 。仃( 允3 ，咖( h ，五) ， a 4 ) ( 口6 ) = 口l ( 0 2 ( 一1 ) 1 6 1 ) 盯( 。2 ( 一1 ) 2 ，蜿卜1 ) 1 ) 丁( n 2 ( 一1 ) 3 ，6 2 ( 一1 ) 2 ) 。2 ( 。) 蛔。) ， 如) ( 1 6 ) ( 一1 ) 2 。( l 6 ) ( o ) - 九6 ( 一1 ) 九2 氐) ( 6 ) - 。( 危6 ) z = ( 愚l 6 1 ) 盯( 2 ，6 2 ( 一1 ) 1 ) 7 - ( 3 ，6 2 ( _ 1 ) 2 ) 。 4 6 2 ( 0 ) ， a 7 ) mo 盯( 2 ，咖( 3 ，z 3 ) = ( 口( 庇1 ，z 1 ) 7 ( 九2 ，z 2 ) ) ( 叫九3 2 3 。( ( 危l ，f 1 ) 7 _ ( 2 ，2 2 ) ) ( 。) ， a 8 ) b ( 1 b ) = 1 b 1 b ， a 9 ) p ( 0 6 ) = p ( n ) p ( 6 ) 和p ( 1 ) = 1 1 成立，对任意的口，6 b ，危，z 日； ( 3 ) b 是左日一余模代数，且( 2 ) 中的a ，一也成立 证明：( 2 ) ( 3 ) 很显然( 1 ) 兮( 2 ) 可以从引理3 1 4 - 3 1 6 和文献【2 l j ，定理1 中的结论得到， 因此我们只证明( 2 ) 兮( 1 ) 若( 2 ) 成立，那么( 2 ) 中的a 2 和a 3 可得e b 嚣是代数映射由 a 8 和a 9 ，则( 1o1 ) = 1o1 1 l 成立要证明( ( 口圆 ) ( 6 夕) ) = ( no 九) ( 6 9 ) 只须证明对任意的口，6 b 和 ，9 日有下列等式成立 ( i ) ( ( d 1 ) ( 6o1 ) ) = ( no1 ) ( 6o1 ) ； ( i i ) ( ( n o1 ) ( 10 9 ) ) = ( o 1 ) ( 1o 夕) ； ( i i i ) ( ( 1o ) ( 6 1 ) ) = ( 1oh ) ( 6o1 ) ； 9 东南大学硕士学位论文 ( i u ) ( ( 1 ) ( 10 9 ) ) = ( 1o ) ( 1o 夕) ； 我们先看下列等式 ( ( no1 ) ( 6o9 ) ) = ( 0 6 0 9 ) = ( ( 0 6 01 ) ( 10 9 ) ) = ( 曲o1 ) ( 1 g ) = ( n 1 ) ( 6 圆1 ) 【l 9 ) = ( n 01 ) ( 6 0 夕) 对上述的第三和第五式用( i i ) 式作用，同时( i ) 用于第四式，则可得到： ( 【口o1 ) ( 6o 夕) ) = ( o 1 ) ( 6 因9 ) 接下来，我们计算 ( ( 口。愚) ( 1o 夕) ) = ( ( no1 ) ( 1o ) ( 1o 夕) ) = ( oo1 ) ( ( 1o ) ( 1o9 ) ) = ( 口 1 ) ( 1 圆九) ( 1 夕) = ( ( ao1 ) ( 1 危) ) ( 1o 夕) = ( no ) ( 1o9 ) 把( 3 3 ) 式，( i u ) 和( i i ) ，分别作用于以上第二，第三和第四式，即可得到： ( ( o 危) ( 1 9 ) ) = ( o 危) ( 1 圆9 ) 现在我们可证： ( ( a 五) ( 6 0 夕) ) = ( ( n 固1 ) ( 1 ) ( 6q1 ) ( 1q9 ) ) = ( n 1 ) ( ( 1 ) ( 6 1 ) ( 1 9 ) ) = ( oo1 ) ( ( 1 ) ( 6o1 ) ) ( 1o9 ) = ( 凸 1 ) ( 1o ) ( 6 01 ) ( 1o 夕) = ( n 凡) ( 6 0 9 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 1 0 东南大学硕士学位论文 把( 3 3 ) ，( 3 4 ) 式，( 捌) 和( 钇) ，分别作用于第二，第三，第四和第五个等式即可 以下部分，我们将证明等式( i ) 一( 细) 的正确性 ( no1 ) ( 6 1 ) 0 1 ( 0 2 ( 一1 ) 1 b 1 ) 口( n 2 ( 一1 ) 2 ，6 2 ( 一1 ) 1 ) 7 i ( 0 2 ( 一1 ) 4 ，6 2 ( 一1 ) 3 ) 口2 ( 一1 ) 3 6 2 ( 一1 ) 2 o n 2 ( o ) 6 2 ( o ) 1 口l ( 口2 ( 一1 ) l 6 1 ) ( 丁( 0 2 ( 一1 ) 2 ，6 氧一1 ) 1 ) 7 - ( n 2 ( 一1 ) 3 ，6 2 ( 一1 ) 2 ) 0 2 ( o ) ( 一1 ) 6 2 ( o ) ( 一1 ) 0 口2 ( o ) ( o ) 6 2 ( o ) ( o ) o1 ( 0 6 ) l 。( n 2 ( 一1 ) ( n 6 ) 2 ( o ) 。1 = ( 曲q1 ) = ( ( oo1 ) ( 6 1 ) ) 则( i ) 式得证 ( ( o 1 ) ( 10 9 ) ) = b 1 。眈( - 1 ) 9 l 。2 ( 。) 。夕2 ( 由a 4 和a 9 ) n 1 盯( n 2 ( 一1 ) 1 ，9 1 ) 7 - ( 0 2 ( 一1 ) 3 ，夕3 ) on 2 ( 一1 ) 2 晚 口2 ( o ) 饥 ：皿7 ( o 盯( l ，1 1 ) r ( 3 ，z 3 ) 圆h 2 2 2 ) o 豇) = ：o 仃( l ，z 1 ) 7 - ( 九5 ，z 5 ) 仃( 2 2 2 ，七1 ) 7 - ( 九4 2 4 ，乜) o 3 f 3 后2 鱼n ( 危1 p ( f 1 ，七1 ) 丁( k ，k ) 】) 口( 危2 ，z 2 启2 ) 丁( 4 ，f 4 缸) 3 2 3 = m b 群i ( 如固日0m 。) ( b 。ho 如圆日om 日) ( 如。h0 卢) ( ( oo ) o z 七) 引理3 2 8 证毕 引理3 2 9 b 教日是双代数，定义如上的m 和1 l ，则称( b 馁日，皿7 ，m 2 ) 是弱日一双 模 证明因为皿( 如 ( co ) ) = 皿。( ：( f 1 n 盯( 1 ，七1 ) 7 - ( 5 ，七5 ) ) 盯( f 2 ，危2 如) 7 - ( z 4 ， 4 七4 ) oz 3 h 3 七3 垡乏_ ：( f 1 n ) ( z 2 盯( 九l ，七1 ) 7 ( 5 ，后5 ) ) 口( f 3 ， 2 乜) 7 - ( i 5 ，z 4 ) o1 4 危3 七3 鱼( f 1 n ) 盯( z 2 ， 1 ) 丁( z 6 ， 5 ) 仃( z 3 2 ，h ) 丁( 2 5 危4 ，) o 庶2 = 皿 ：( ( z 1 o ) 仃( f 2 ，危1 ) 7 i ( 2 4 ， 3 ) f 3 2 ) 蠡) = 皿7 ( 皿o ，) ( z ( oo 九) q 后) 引理3 2 9 证毕 命题3 2 1 0 b 嚣日是双代数，则称b 三多b 嚣日至亓珂是弱作用容许映射系统 定理3 2 1 1 b 当pa 当霄日是弱作用容许映射系统则存在唯一的双代数同构映射 ，：b 馁日一a 使得下图是交换的 证明定义，：b 馁日一a 即cl 九一歹( c ) 7 r ( ) ，且定义夕：a b 嚣日即 。一p ( n 1 ) l i ( 0 2 ) 用常规方法可以验证，和9 是互逆的双代数映射 注3 2 1 2 若矿是平凡的，由文献【2 1 】的定理2 ( b ) 也可得出定理3 2 1 1 定义3 2 1 3 设日是双代数，b 是代数， 盯：日 日一b ，1 ：日。日一b 都是 线性映射，且s ：日啼日线性映射若下列条件成立，则称s 是日的( 仃，7 ) - 反对极 ( z ) ( m b 1 ) ( 盯o7 m h ) ( 1o h 。日) 圆日( 10s ) ( 危) = e ( ) ( 1 bol h ) ； ( 1 i ) ( m b 1 ) ( 盯o7 om 日) ( 1o h 。日) 日。h ( so1 ) ( ) = ( 九) ( 1 日01 日) 对任意的 日在此情况下，我们称日是( 玎，7 ) 一h o p f 代数 例子3 2 i 4 设矗是h 叩f 代数，其反对极为s ，设盯：日8 日一七粕77 i ：日 f 一七 都是平凡线性映射我们称s 是日的( 盯，7 - ) 一反对极 命题3 2 1 5 b 馁日是双代数设日是( 伊，7 - ) 一h o p f 代数，其中( 盯，7 - ) 一反对极记为， 且日d m ( j e 7 ，b ) 是b 日d m ( b ，b ) 的卷积逆，则b 餐日是h o p f 代数，其逆元雪定义 1 5 东南大学硕士学位论文 为： 雪( c 。 ) = ( 1l 岛( c ( - 1 ) 危) ) ( ( c ( o ) ) l 1 ) 证明若c b 嚣日，我们有 和木s ( c 。 ) = ( c 1 。c 2 ( 一1 ) 1 ) 雪( c 2 ( o ) 2 ) = ( c 1 。c 2 ( 一1 ) 1 ) ( 1 ( c 2 ( o ) ( 一1 ) 2 ) ) ( ( c 2 ( o ) ( o ) ) 1 ) = ( c 1 盯( ( c 2 ( 一1 ) 1 ) l ，( 翰( c 2 ( o ) ( 一1 ) 九2 ) ) 1 ) 丁( ( c 2 ( 一1 ) 1 ) 3 ，( 铀( c 2 ( o ) ( 一1 ) 2 ) ) 3 ) 圆( c 2 ( 一1 ) 1 ) 2 ( s 0 ( c 2 ( o ) ( 一1 ) 2 ) ) 2 ( 岛( c 2 ( o ) ( o ) ) o1 ) = f c l 仃( ( c 2 ( 一1 ) 危1 ) l ，( 鼬( c 2 ( 一i ) 危2 ) ) l p ( ( c 2 ( 一1 ) 1 ) 3 ，曲( c 2 ( 一1 ) 2 ) 3 ) ( c 2 ( 一1 ) ，1 1 ) 2 ( j 5 k ( c 2 ( 一1 ) 2 ) ) 2 】( s b ( c 2 ( o ) ) 1 ) = ( c lo1 ) ( ( c 2 ) o1 ) ( ) ( 由定义3 2 1 3 的( i ) ) = ( c 1 岛( c 2 ) o1 )