（基础数学专业论文）关于方程npk2解集的例外集合.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究的是每一个充分大的正整数礼都可表成一个数的平方或一个素 数与一个平方数之和 设x 是充分大的数 e ( x ) = 1 n 1 ，x ：n 不能表示一个素数与一个平方数的和 本文给出了如下结果： 任意充分大的整数n 【1 ，x ，我们有 e ( x 1 x 8 这里忙卜( 1 。2 训6 ，6 酬6 1 ，丽i 爵蕊，萼霉赢l p= x b l ( 1 一引，e 3 ，c 4 是正常数与p 以及l 函数的无零区域有关，e 1 与l 函数的无零区域有 关，c 9 与s i e g e l 零点对应的模有关 全文由三章组成： 第一章简要介绍数论发展状况、解析数论的发展以及本文产生的背景 第二章用圆法把函数7 ( x ，礼) =l o g p 分成主项和余项两部分；并 k 2 + p m n 乎k s 西，差p o 猜想h l 成立1 9 6 8 年m i e c h 1 又进一步证明了对任意的c o 猜 想h l 都成立令 e ( x ) = l 佗x ：佗不能表示一个素数与一个数的平方之和) 有上面的结果我们很容易可以看出e ( x ) x l o g x 1 9 8 9 年，p e r e l l ia n dp i n t z 2 又进一步证明t e ( x ) x 9 ，口1 是可计算的绝对常数1 9 9 5 年王天泽老师【3 给出 e ( x 1 x 8 ，这里口= 1 0 9 9 4 4 2 8 b ，b5m i l l ( 五焉矗蠹焉函，警竽) ，并用推论的形式给出了确切 地e ( x ) 的上界 e ( x 1 x o 9 9 并给出了详细的证明过程 一切工作的主要目的是证明猜想成立，尽管估计e ( x ) 的过程与证哥德巴赫数的 例外集十分相似，但估计e ( x ) 的过程中出现了新的困难：l 函数特殊零点且p s i e g e l 零点是否存在，若s i e g e l 零点存在则会出现新的主项，我们针对s i e g e l 零点是否存在 分两种情况证明本节的定理 定理任意充分大的整数礼f 1 ，x ，我们有 e ( x 1 x 8 这里口= 1 一( 1 2 c 9 ) 6 ，6 m i n 6 ，可泛i 可1 虿而，豆孽琴西干1 西丽) ，c 3 ，c 4 是 正常数与p l - 函数的无零区域有关，e 1 与l 函数的无零区域有关，c o 与s i e g e l 零点对应 的模有关最后我们用列表的形式观察的p 取值与上述常数的关系 2 2定义及记号 下面介绍文章中我们将用到的符号 x ，t 和p q 表示充分大的正数，p = 口+ 竹是l 一函数的零点，p 是素数，i i 表集 3 河南大学硕士学位论文 合的基，u ( n ) 表m 5 b i u s 函数妒( n ) 表欧拉函数c o n d x 表特征) ( 的导子， 8 = 盯+ it u ( n ) 表n 的素因子的个数，r ( n ) 是整数n 能表成两个整数平方和的个数， p n ( d ) 表方程尼2 三礼( m m d ) 的解七的个数，l o g jx 表对x 求歹次重叠自然对数我们令 s ( q ) = l o g p e ( 叩) ，f ( a ) = e ( a k 2 ) ， 暑墨p x 乎七西 s ( x ，叩) = x ( p ) l o g p e ( a p ) ，r ( x ，扎) =l o g p ， 考s p s x k 2 + p = ” 手k s 、；，考s p x g v ( a ，g ) = e ( 七2 i a ) ， 血= 1 1 ( ，7 ) = m o - l e ( m r l ) ，t ( 7 7 ) = 噩( 7 7 ) ， + = ， x ( m o d 口) x ( m o d q ) x p r t ，n t t e h ( x ，g ，n ) = x ( 凸) y ( 。 g ) e ( 一a g n ) ，日( 舭) = 日( x o 口，舭) a = 上 一 l p ( x ，n ) = m 州，l ( x ，礼) = l i ( x ，n ) ， 乎k s 面， 雩s m x ，k 2 + m - = n m 删2 篆端砒加( 礼刮咄 1 ) ， 附川= 掣， g ( o ，t ，x ) = i p ：l ( 0 ，) ( ) = 0 ，p 仃，i ，y l t i 2 3 预备引理 由引文 2 的第二节我们可以得到以下引理 引理2 1 如果( q l ，q 2 ) = 1 ，q i 是) ( 吼的模，i = 1 ，2 ，我们有 h ( x 9 1 x 口2 ，q lq 2 ，n ) = ) ( 口l ( q 2 ) x 口2 ( q 1 ) h ( x 口1 ，q l ，佗) 日( ) ( 口2 ，q 2 ，几) ( 2 1 ) 4 口器 = g 脚 河南大学硕士学位论文 引理2 2 若( a ，g ) = 1 ，那么 f ( 三+ 7 7 ) - o ( ( x l o g gq ) + ( q l o g q ) ( 1 + i 叼f x ) ) ( n ，q ，小_ f ( 詈刊一掣确) - 0 ( o g 口成1 柏吼 l f ( n ) 1 4 d7 7 x l o g 墨 j f ( 刀) 1 2 d7 7 1 这里6 ( 3 x ，x 一圭) e 3 1 理2 2 3 令 x 吾，那么有 z 1 i f ( 叩) 2 _ ( 叩) 1 2 dn i _ = # 彳；p x p 一1 ， 引理2 4 令 茜那么有 这里 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) i f ( ? 7 ) t a r ) i d7 ( x q g l 。gx ) 。x 母一1 ( 2 5 ) 击si n l _ 引理2 5 令m 0 j t- ，一 6 河南大学硕士学位论文 其中 o r ( z ) c ( a ) l a - * l o ，则函数l ( s ，x ) ，x 是模r 的复原特征，1 r p ，所有的非显然复零点都在区域 口 o ，则函数l ( 8 ，x ) ，) ( 是模r 的实原特征，1 r 尸，除去可能的一个实零点外，所有的非显然实零点都在区域 仃 1 一硒c o , 2 ，p l o g ， 由( a ) ，( b ) 可知若令c l = r e _ i n c o 1 ，c o 2 ) ，则函数l ( s ，) ( ) ，x 是模r 的原特征1 r p ，除去 可能的一个例外实零点外，所有的零点都在区域 盯 1 一面c 1 ，p c 5 ( 2 1 0 ) 若这个可能的例外零点祷在，它一定是唯一的单的实零点，且矛对应的模f 满足1s f p ，我们称这个例外零点历为e 夕e f 零点( 与p 有关) ( 因为我们考虑的是所有满 足lsr p 的模) 现在我们的目的是用一个适当小的数c 1 代替( 2 1 0 ) 式中c 1 ，使得f 的取值范围由1 f p 缩短到1 f p 2 c 9 一，c 9 是常数由上我们可知 玲1 一面c 1 ，1 f sp 7 河南大学硕士学位论文 - 二二二_ = 二_ _ 二= 二 若庐已满足l fsp 2 c 9 一，则我们继续往下做 假定p 2 c 。一 1 一鼍则我们令函数 1 0 9 p 2 莽 l o gp z c 9 确) = i il ( s ，x ) 1 r p 琵扣x ( m o dr ) 我们用p 蠢= 代替( a ) ，( b ) 中的p ，则这时对应模珀勺例外零点是上面我们提到的声满足 1 f p 托9 叫 则我们可用p 赤代替( 2 i o ) 中的p 若 卜南 阳一面e l 磊= 1 一 很明显我们可用c 1 ( 2 c 9 一e ) 代替c 1 下面我们考虑s 记驴f 零点不存在的情况，则可知函数l ( s ，x ) ，x 是模r 的原特征1 r p ，所有的零点都在区域 盯 0 ，对任意的1 r p ，所有的模r 原特征x ，函数 m ) = l ( 似) 1 s r p x ( m o d r 1 除去可能存在的一个函数外，在区域 盯1 一_ 型吾，i t l i p c 5 0 9 ，一 没有零点，如果这样的例外函数l ( s ，戈) 存在，则对应的更一定是某一个模f 的实原特征， 1 冬f p 2 c 9 一，则函数l ( s ，又) 有唯一的一个单的零点厉( 叼e l 零点) 满足 1 一硒c l 声1 一瓦c 2 孬 令b = x 6 1 ，6 1 是充分小的正数 若x 是模qs 只任意的原特征，则我们把厂( s ) 在区域 仃1 一面c 6l o g g _ x ，i t i 砰 河南大学硕士学位论文 的零点，称为只一排除零点，不包括可能的叼e f 零点定义l ( s ，x ) 所有模r r 的原 特征称为p 1 一排除特征) ( ，且x 满足l ( p ，) ( ) = 0 ，p 是p 1 的排除零点把所有p 1 一排除特征 的模称为只一排除模 我们令a = 高l - ，定义区域 d ( q ，入) = s = 盯+ 汜a 仃l 一南，i t l p 】- 令一( a ，p p 。s ) 表在区域d ( q ，入) 内的所有零点个数用引理2 6 我们来估计p 1 的排除 零点的个数我们很容易得到 一( 1 一可c 6 l 0 9 2 x ，p 1 ，砰) c 3 g ( p 1 ) 只( 2 + c 5 ) c a ( 1 一a ) c 3 g ( p 1 ) e x p ( ( 2 + c 5 ) c 6 b l c 4 ) a ( p 1 ) o o gx 1 ( 2 + c 5 ) c 写b l q 这里 g ( p 1 ) = p 们，若妥善在 因此我们有 i 只一排除零点) i ( 1 0 9 x ) ( 2 + c 5 ) c s h c 4( 2 1 1 ) 由( 2 1 1 ) 式可得至多有( 1 0 9 x ) ( 2 + c 5 ) c 6 6 】q 个r 一排除模，我们可以选p f 矸一，县 ，对 任意的p 1 的排除模r p ，易得 = 1 - 2e x p ( ( 1 0 9x ) 1 一( 2 + 。5 ) c 为b a c a )( 2 1 2 ) 从现在起我们将用到一下符号： p = x b ，q = x p c 7 ，g = g ( p ) = ：_ 动o g 只羹墨存在 = p 的排除特征) ，7 = _ 【p 排除零点 妒= s i e g e l 特征) ，妒7 = s i e g e l 零点) 我们可以知道若令p 1 = t 引理2 3 1 对p = p 1 也成立且r p c 9 2 5圆法与单位区间的分解 圆法设7 - = q - l , 虑f a r e y 数列 对q p 且( a ，g ) = 1 ，1 a q ，用i ( a ，q ) 表优弧 ，a 1 口 1 ， 。口g q q 口q r 9 河南大学硕士学位论文 满足条件一定条件，i ( a ，q ) 所有n d , n n 是两两不相交的我们令 e 2 = 【7 - ，1 + 7 - e l 这样利用f n r e y 数列就把区间 r ，1 + 丁】分成了我们所需要的的两部分历，易所以我 们由 s ( a ) = l o g p e ( 叩) ，f ( q ) = e ( q 七2 ) ， 量s p x 孚s 知扛 及r ( x ，佗) =l o g p 可以得到 k 2 + p = n 蕃s k s ；，考墨p x 1 + 1 啦，他) = f ( q ) 跏) e ( 一n 州q = f ( q ) s ( n ) e ( 一。礼) d q + f ( q ) s ( a ) e ( 一n 佗) d q e le 2 = n ( x ，n ) + r 2 ( x ，礼) 2 6n ( x ，n ) 的分解 ( 2 1 3 ) 对q i ( a ，口) ce 1 ，我们记a = 詈+ 叩，( n ，口) = 1 ，q p ，蚓冬丽1 若令p p ，则( p ，q ) = 1 s ( q ) = e ( q p ) l o gp 等p x 2 冬曼x 州挪川刚 2 丢三x 吒a 咖”唧 = 去7 ( 又) x ( 印) e ( pr 1 ) l o gp 辱彖x 妒( g ) x ( r o 厶o d 口) _ 剐m 叶p ” 。而1 x ( 三，皎波 季曼x 她) e 唧 2 志x ( 三，皎波 声仅川 曲 望一 u 筇 = e 河南大学硕士学位论文 现在我们令 故当) ( = x o s ( 5 志州三，融0 ( n 黜瑚 当x = x o x + 若) ( = x o ，9 若) ( + u 妒， 其它 = 赤矧三，融和鹏州枷 2南，而)x(a)w(xo,)+志，q)r(fo)x(axotmoa x ol m o a 删 g jq ， = 赤x 。篆，c 蒯。川+ 锱t s ( m 2 南x 。篆，丽) x o x 坝x o x , 叩) 一1 圳o 而x 0 ( 0 ) ( + 一x 毛妒聂。酬 = 高州三，丽) x 0 州。m x o x * , r ) 由上面的两式我们可得 我们令 s c 却2 铬t + 志x 。三，c 撇骶叩， 一赤 妒( g ) 。急 c o n , d x i q ，x o ( m o dq ) 7 ( 丽) x 0 x ( d ) 耳( 7 7 ) ( 2 1 4 ) p e c l u p ! l ( p ，x ) - - - o 砷恕忙而1 莓械毗， 1 1 叩“ 净磊 们一 吖、) 丁 叮 + ， 卜x 叩 灯 丹x ， 仅 川 = 仅 i i 彩 、l ， ， = 瑚心 卜 丹 丹 叩 x x x s c ，) c ，) ，i_j、iii_ 们取 聂 旬娥丽“ 互一 上 河南大学硕士学位论文 川一，善。；，紫獬x e u 妒 p ，u 妒， 7 那么我们有 s ( 詈刊= 锵嘞) + d ( n ，g 卅砸，q ，叩) ( 2 1 5 ) 由( 2 3 ) 式我们可得 州枷)=e(_aqn)层f(詈刊s(詈刊e(咄州77p 口 o s q”丽 11 2 喜黠聊) 鹰聊巾训咖 + 昙立y ( q j 咖( 一警) 层确) 脚，g ，班( 邗郴叩 q p 1 a = l 1 。一丽 +萎要v(q川巾了an，鹰f(r1)e(吣州巾nrl)d叩p a = l + 吉，礼) e ( 一了) 9 ： n ，删) e ( 一 口 yy - ，一面 + 善三qe ( 一警) 层撕川s ( 渺e ( - 训却 由s 1 定义我们有 2 7估计s 1 s 12 ；揣嘶) 层唧e ( - 训咖 2 三黠聊, 0 1 刖t 伽 删三嘴掣b 眦伽卜 忉 由引理2 1 0 得l h ( q ，佗) i q ，再由引理2 2 ，引理2 5 ，日6 2 d e r 不等式和等式 厂1f ( r 1 ) t ( 7 7 ) e ( 一礼叩) d 叩：l ( x ，佗) ， j 0 塑堕盔堂塑主堂垡笙銮 一 上式碥嘶鄹，佗) + 三而 i f ( n ) t p ( n ) l dr 1 1 刮咄帅；而别s 刮邮泓喜志c 0 1 限删锄叫f 瞄酬向拼 刮咖鹏卅喜而1 ( 胁g x 忠q q ) 。 刮啦飚卅( x l o g x m p ) 。喜而1 s 1 ：仃( 订，r ) l ( x ，n ) + d ( x 尸二三乒+ e ) 2 8 估计s 2 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 岛= 三弓1 ( 势啉) e ( 一i a n ) 善丽1 7 ( - ) 日( x g ，n ) q ：qf ( n ) w ( x ，叼) e ( 一n o ) d * 7 x ( r o o dq ) q q 互丽1 x 。豺r 劂h ( x o , q x , q , n ) l _ t 一确愀 g x 帅 善。三，而1 x 岳，+ 卜嘛) 日仅吣抛川川 ( 厂专l f ( 7 7 ) 1 2 d 叩) ；( f 霉l v 旷( x 。，q ) ( ，7 7 ) 1 2 d 叩) j 一衣 。一蕊 若口p p ，则我们有w ( ) ( o ，q ) ( ，叩) = w ( x ，7 7 ) ，由此及引理2 2 和引理2 1 0 可得 s 2 ( 1i w ( x ，卵) 2 却) 暑1 r 1 p e e 7 u 妒7 ，l ( p ，x ) = 0 t 由引理2 1 2 ，且令t = 赤我们可以得到 层陬删2 d r x 铷m a 鲫xm a 杏x ( 【莩蒯l o g p 一 因此由( 2 2 0 ) 式，我们有 t + # $ 2 x 5l 0 9 2x e 、。铷m a 剑xm a 赤x ( q r ) - 1i 莩x ( p ) l o g p r p x ( m o d r 、百 仃万 t ：x il 0 9 2x w ( 2 2 2 ) 由 7 的第五章的引理1 1 ，我们有 x ) l 。g p = e o y - 了y p + o ( y p - c 5 l 0 9 2y ) ， 这罩 岛= 娃瓷， 因此 芝h ： (半一吾)xp-c5l092ex(p)logp e 0 h -+ o ( x p 矾 = ( 等等一等) x ) ， t l y i p c 5 。 又因为对任意p e 7u 妒7 螋一一t p ：f t + h u p - l du ： t 当x = ) ( o 时，f ( s ) 的零点与( ( s ) 的零点相同，且当p 充分大时 ( s ) 在盯l 一盟堕旦器笋旦兰翟 有零点，所以我们有 莩t + h i i x ( p ) 。g p = 岛卜篆( 塑笋t p p ) + o ( x p - c 5 l 0 9 2x ) - 莩t + h 1pc5 t 1 1 l 。 t = 一1 7 蚤码。+ u p 一1 d 乱+ 。c x p 一岛，。9 2 x ， 河南大学硕士学位论文 所以 一，f 。t t + h u p - 1 蚶。( x p - e 5l 0 9 2x ) t + h a i ) ( p ) l o g p = i t p e 7 u 妒7 l ( p ，x ) - - - - o ，1 1 f s p 一奄 p 芒e7 u 妒7 上( p ，x ) = o ，f 7 f s p 一5 由【7 的第四章的定理2 ，我们有 w p e 7 u 轳7 工( p ，x ) = 0 ，1 1 i s p 一。5 t t + h u p - l d u i + 。( x p - c 5l 0 9 2x ) m i n q r x 卢，一1 x p + o ( x p c 5l 0 9 2x ) m i n ( x 移，( q r i r 1 ) 一1 x 疗) + p 钾- c s r 一1l 0 9 2x ) p - c 5 + 11 0 9 2x + + r p x ( m o d r )p e 7 岬7 l ( p 。x ) = 0 ，p 。7 机i v i _ p 。5 p c 7 叫5 “l 0 9 2x + 厂厂 ：j ：j f q r l ，) 1 ) 一1 x p r p x ( m o d r ) p g u l ( p ，x ) = 0 ，1 1 i p 。7 十 r px ( m o d r )雎c l u m p l ( p ，x ) = o ，p 。7 十i j s p 。5 由引理2 6 若s i e g e l 零点不存在，我们得到 ff ：_ 一：j r 尸x ( m o d r ) p g 7 u l ( p ，x ) = o ，1 1 i p 。7 十 x 0 1 x 0 1 ：一厂1 一酱p ，柳一( ，p ，p 聃) j 0 ：一x a - 1 d n 一( q ，p ，p c ，+ 时瞥 + z 卜酱 一( q ，p ，p 。7 + ) x 口一1l o gx d a ( 1 0 9x ) 一( 1 - - b c 4 ( 2 + c 7 + ) ) c 6 1 5 x 凸一1 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 删 烈矽 x 三 河南大学硕士学位论文 同理可得 ff ：_ 一一一 r s 尸x ( r n o d r ) 一1 ( 1 0 9x ) 一( 1 一b c 4 ( 2 + c 5 ) ) ( 2 2 5 ) p 星7 u 妒7 l ( p ，x ) - - 0 ，l r l p 。5 易知( 2 2 5 ) 式( 2 2 4 ) 式 由【4 的引理3 4 ，令d z = p 2 + 句机那么我们有 l o 9 1 ( ( 2 + c 7 + e ) 5 1 0 g p ) 一- 1 6 e ( 2 + c 7 + e ) l o g p 一一 若s i e g e l 零点存在，由上和由引理2 6 我们得到我们可以得到 同理可得 厂厂 ：一：0 rx 卢一1 ：， r p x ( m o d r ) p e 7 u 妒7 l ( p ，) = 0 ，i v l s p 。7 十 一厂1 一絮篇簪p d 一( q ，p ，p c 7 + c ) j 0 1 一! ! l ! 三! z 12 11 1 9 三2 二： = 一x 。一1 d n 一( q ，尸p 钾+ ) l o 量2 均+ 1 。8p + z 1 一坦型爹葛晕葛筹( q ，p ，p c c ，+ e ，) x q 一。g x d q g ( 慨p ) + 驾筹掣：g ，+ 驾筹学( 2 2 6 ) r p x ( 啪d r l x p ) = o l e c l u 妒r t 伊5 易矢f l ( 2 2 7 ) 式( 2 2 6 ) 式 由( 2 2 2 ) ( 2 2 7 ) 我们可以得到 令 x 卢一1 g 1 + 2 ( 3 - ( c 2 4 + ( 。2 5 + ) c 5 ) ) 2 9 e s t i m a t eo fs 3 5 = p e 7uf ，：i - y l p c 8 ) ，：= 7 i 1 6 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 刖x 硼可 硼 哩 氍l 计 件n ：i 王茹翼 册等r p一翌皑 蓬一 河南大学硕士学位论文 一q f p ! q a = l 磁一警，鹰附 & = 一f f y ( ) e ( 一警) 上凳f ( 砂 ，。；，警驰) e ( 咄喇霉 ，急，幺， 妒( q ) 叩v “一7 一点三赤丁嘲娥x o x , q , n ) x 台妒忽g 妒( g ) _ 刖刖、 r 害f ( 7 7 ) 乃( 7 7 ) e ( 一仡叩) d 7 7 p u 妒口q l ( p ，x ) - - - - - o 一点需日( x o , q , q , n ) 。 x 岛妒- q p g 妒( g ) 、7 9 ：确) 耳( 咖( 一训却 p 6 j q q l ( p ，x ) = 0 一薹萎需日c x o , q , q , n ，。 q q ，f ( 叩) 乃( 叩) e ( 一n 7 7 ) 却 p e 毛q q l ( p ，x ) = 0 = s 3 ，1 + s 3 ，2( 2 2 9 ) 由( 2 1 0 ) 式，我们有l o g x ， 三善需日c x o , q , q , n ， 尸q qi f ( r 1 ) t p ( r 1 ) d r l p 臼：。一i 虿 l ( p ，x ) = 0 薹萎箐朋邮汁 ( 。v 0 1 驯2 蚓 河南大学硕士学位论文 有引理2 3 可得上式 l 0 9 2 玎 x l 圹1 三帮陬x 0 , q ，q , n ” x e q s p “ 有引理2 1 0 可得上式 l 0 9 2x q j x p 一翻x p 孚一c 8 + c ，( 2 3 0 ) s 3 , 12 - - 雁z u 妒需棚川 ) ( u 妒 口s ， 。 z f ( 们) e ( - 聊) d 叼 p ： 。 + o ( 啄铲日( x o , q , q , n x e e u 妒q p ” ， 厂l f ( 7 7 ) 乃( 叩) l ( 9 p 嚣岳。南蚋il 三2，x ) = 0q q - ：- 二 由引理2 4 上式可得 跚一x 妒萎需日c x o , q , q , n ， 上f ( 们) e ( - 聊7 7 工菇岳o + 0 ( 啄铲日( x o , q , q , n x e e u 妒q p 汁 ， ( q x p l o g x ) i 1 p 5 i l ( o ，x ) - - - o 由引理2 1 0 上式可得 一点萎需日( x o , q , q , n p ) x u 妒 口s 1、17 和蜴e ( 川砌+ 0 ( 1 0 9 3 x ( q x pl o gx 向 l ( p ，x 浩o 1 8 河南大学硕士学位论文 由引理2 1 和弓i 文【7 的第二苹上式司得 =一萎点。掣pr x e u 妒 7、7 毳器嘶，姗n ， + 0 ( 1 0 9 3x ( q x p l o g x ) ) ：一rf 二堕丝( 茎：! ：型 厶。幺。 r 妒( r ) r px e u 妒 7、7 萋器聊姒枷) + o ( 加书e ) 因此我们得到 & ：一t ( ) ( ，r ，礼) 盯( 礼，i p ，r ) r px u p x ( m o d r ) l p ( x ，n ) + d ( x p 二三产+ 6 + x 丢p 孚一c s 机) p ： l f ov 、= 0 2 1 0估计& ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 由& 的足义口j 得 & 萎臂( 9 1 0 9 口) 如柏愀詈刊恸 q p ，o q 。丽 1 设m 为整数，由于积分 小叫把 。1 薹篡 仁3 3 ， 上悔( q ) 1 2 d q = z i 晒e x l o g p e ) | 2 如 = e 。，y l o g p ll o g p 2 z “岫1 _ p 2 ) ) d a 吾p 1 ，船 x 。” = ( 1 0 9 p ) 2 ( 1 0 9 x ) 2 1 9 l 垦一查登堕主堂鱼笙塞 所以 ( 1 0 9 x ) 2 丌( x ) ( 1 0 9 x ) 2 面x = x l o g x 骢玎1 驴1 1 0 9 口咸丢1 j 训( j 厂0 1 愀训2 讲 口 pn 口一焘 x q g g 一1 ( xl 。g x ) p 1 5 e r + e q p 由( 2 1 6 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 8 ) ； q 1 ( 2 3 2 ) 式我们最终得到 若矽不存在或g ( 1 0 9 x ) 一研南 ( 2 3 4 ) r l ( x ，n ) = 盯( n ，p ) l ( x ，几) 一t ( x ，nn ) 矿( 凡，了p ，r ) 三p ( x ，n ) r x p c 9 c ( x ) l x p - 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；一面l o gp o ( e x p ( c l l l o g - ；x) ) 盯( 扎，了，r ) = z ( 1 ，咒，r ) +一萧) ) = z ( 1 ，n ，r ) + 0 ( e x p ( 一( 1 0 9 x ) 1 l - ( 而2 + e s 一) c 6 b l c 4 - e ) ) ( 3 6 ) 所以我们有 盯( n ，p ) l ( x ，扎) 一t ( x ，加) 盯( 几，等，r ) 工p ( x ，礼) r s px ? e 。o 妒p e r x ( m o a t ) l ( 一p , x 1 1 ：o = ( z ( 1 ，佗，1 ) + o ( p 一击一e ) 己( x ，扎) 一t ( x ，r ，n ) ( z ( 1 ，礼，r ) + o ( e x p ( 一( 1 o g x ) 1 1 - ( 菇2 + 石c 5 ) c 毽一b l c 4 + e ) ) l p ( x ，佗) r px e u , p 。 o f ： 一x ( m o d r ) ， = z ( 1 ，n ，1 ) l ( x ，几) 一t ( x ，r ，n ) z ( 1 ，几，7 ) l o ( x ，n ) r 墨px ， e u o 、 p e ： 一x ( ”d r ) l 二，x 岛o + o ( t ( ) ( ，r ，n ) 工p ( x ，佗) e x p ( 一( 1 。gx ) 1 一( 2 + c 5 ) c 6 6 1 一) + 尸一击+ l ( x ，n ) ) 噬尸囊黜) l ( 燎。 因为对任意的p 占：，有i l ( x ，佗) f