（基础数学专业论文）一类加权plaplacian发展方程全局吸引子的存在性.pdf

兰州大学201 0 届硕士学位论文 摘要 在这篇硕士学位论文中，我们主要研究了一类加权p - l a p l a c i a n 发展方程1 “一 d i v ( a ( x ) l v u l p q v u ) - t - f ( u ) = 9 ( z ) 解的长时间动力学行为，得到其全局吸引子的 存在性首先利用g a l e r k i n 方法，证明其弱解的存在唯一性，其中o ( z ) 在有界光滑 区域q 内部及边界上有有限个点退化，非线性项厂( s ) 满足任意次多项式增长条件， g ( x ) l 2 ( q ) ，2 p 礼其次考虑其渐近行为，通过证明( l 2 ( q ) ，l 2 ( q ) ) 上解半 群的连续性，以及解的正则性估计，结合s o b o l e v 紧嵌入定理得l 2 ( 2 ) 中紧i 吸收集 的存在性，从而证明了( l 2 ( q ) ，l 2 ( q ) ) 全局吸引子的存在性由于在正则性更高 的空间中解半群没有很好的连续性，为了得到其中全局吸引子的存在性，我们应 用强弱连续半群的理论结合渐近先验估计方法，得到( 己2 ( q ) ，l q ( 1 2 ) ) 全局吸引子 的存在性，以及初值属于l 2 ( q ) ，加权s o b o l e v 空间孵，p ( q ) np ( q ) 中全局吸引予的 存在性 关键词：加权p - l a p l a c i a n 方程；g a l e r k i n 方法；强弱连续半群；渐近先验估 计；伞局吸引子 1 a b s t r a c t i nt h i sm a s t e r sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h e l o n gt i m eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n o f t h ew e i g h t e dp - l a p l a c i a ne v o l u t i o ne q u a t i o nu t d i v ( a ( x ) l v u l p 一2 v u ) + f ( u ) = g ( x ) a n dd e r i v et h ee x i s t e n c eo f9 1 0 b a la t t r a c t o r w ef i r s tp r o v ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o nb yg a l e r k i nm e t h o d ，w h e na ( x ) a d m i t st o h a v eaf i n i t en u m b e ro fz e r o sa ts o m ep o i n t si n 豆a n dt h en o n l i n e a r i t y 厂s a t i s f i e sa p o l y n o m i a lg r o w t ho fa r b i t r a r yo r d e r ，w h e r eg 己2 ( r 2 ) ，2 p 2 ，( 1 0 3 ) 其中g ，q 是正常数；函数a ：q - - 9 r 非负- j 测，且满足： ( 风) n l k ( 【2 ) ， l x f f v z - 1 i m 。- + i 。n fi x z i - a ( x ) 0 ，其中q ( o ，p ) 当n ( z ) 满足( 凰) ，实质上口( z ) 在砭上最多有有限个零点，即存在，y ，6 o 和有 限集z = z l ，z k c 豆使得球鼠= b ( 乞) ( i = 1 ，七) 两两互不相交，并且 有： l 兰州大学201 0 届硕士学位论文 ( 1 ) a ( x ) 6 i z 一乞i n ，其中z b inq ，i = 1 ，k ( 2 ) a ( x ) 6 ，其中z q u ；鼠 侈0 如a ( x ) 一i z i 口，o t ( 0 ，p ) 方程( 1 0 1 ) 具有广泛的物理背景，特别是在混合物质热传导及约束等离子体 中电子温度传播方面得到成功的应用，其中o ( z ) 所给定( 凰) 条件的物理学意义， 即在有界光滑区域q 的闭包中有有限个点具有很好的绝缘性，所以很自然的假设 在这些点处a ( x ) = 0 详情参见【2 4 ，2 5 ，2 6 】 本文在( 1 0 2 ) 、( 1 0 3 ) 条件下，从加权p - l a p l a c i a n 方程( 1 0 1 ) 解的存在唯一 性出发，考虑其在( l 2 ( 2 ) ，l 2 ( q ) ) ，( l 2 ( q ) ，印( q ) ) 及( l 2 ( q ) ，魄，p ( q ) n ( 2 ) ) 全 局吸引子的存在性本文首次利用强弱连续半群及渐近先验估计方法，考虑问 题( 1 0 1 ) 在( l 2 ( q ) ， ( q ) ) 及( l 2 ( q ) ，叼，p ( q ) nl q ( f 1 ) ) 全局吸引子的存在性主 要困难在于加权因子n ( z ) 的退化使得原本可以在懈护( q ) 空间中考虑的问题，现 没法进行，我们必须重新定义加权空间昵，p ( q ) ，考虑它的紧嵌入定理及加权p - l a p l a c i a n 算子在其下的强单调性，最后在此基础上利用强弱连续半群及渐近先 验估计方法得到全局吸引子的存在性 1 1 关于p l a p l a c i a n 反应扩散方程已有成果及发展现状 耗散系统所对应半群的全局吸引子存在性问题是无穷维动力系统的基本问 题之一，是认识无穷维动力系统长时间演化行为的重要方法之一，近l o 多年来，一 直受到人们的高度重视，并且已经取得了许多重要的研究成果，其中与本文相关 的p - l a p l a c i a n 发展方程全局吸引子的存在性问题，在国内外已取得了一系列的研 究结果，详见【1 ，3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，1 1 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 1 1 当p 2 ，a ( x ) = c o ( 无加权因子) ：b a b i n 、v i s h i k 在著作【1 】巾证明了 当，满足( 1 0 3 ) 及厂7 一z ，z o 时( l 2 ( q ) ，( 魄护( q ) n 三a ( q ) ) ) 全局吸引子的 存在性( p 1 2 7 ，定理3 1 f f 1 3 2 ) ；t e m a m 在著作【8 】中证明了当夕( z ) ( 嵋p ( q ) ) + 及厂( u ) = k u 时( l 2 ( q ) ，l 2 ( q ) ) 全局吸引子的存在性；y a n g 、s u n 、z h o n g 在文献【1 l 】 中证明了当，满足( 1 0 3 ) 以及l t ( 1 0 2 ) 更强条件，一f ，l o 时，( l 2 ( q ) ，l q ( f 1 ) ) 及( 三2 ( q ) ，嚼p ( q ) nl q ( f 1 ) ) 全局吸引子的存在性 2 兰州大学201 0 届硕士学位论文 对加权p - l a p l a c i a n 发展方程也有很多成果k a r a c h a l i o s 、z o g r a p h o p o u l o s 在 文献f 1 8 】中，证明了当p = 2 ，口( z ) 满足( 凰) ( 半线性退化情形) ，非线性项满足 ) 一“ m ) = 一a u + 1 u ，入r ，o 2 ；g ( x ) l o 。( q ) ，p 2 ，a ( x ) = 0 ，z a q ，q ( z ) 0 ，z q 时，证明了边界退化( o ( z ) = 0 ，z a q ) ，但内 部不退化( 口( z ) 0 ，z q ) 时( l 1 ( q ) ，l 1 ( q ) ) 吸引子的存在性，此时初始状态在较 好的空间中( u o l 1 ( q ) ) ，但吸引了所在的空间拓扑较弱( 收敛性较弱) 1 2 本文主要工作 本文在文献 1 6 ，2 1 1 启发下，根据文献1 1 3 】当半群的连续性难以得到时，用强弱 连续半群的理论建立的判定全局吸引子存在的方法，证明当非线性项，c 1 ( r ) ， 且满足式( 1 0 2 ) ，( 1 0 3 ) 及o ( z ) 满足( h o ) 时，( l 2 ( q ) ，l 2 ( q ) ) 全局吸引子的存在性 和( l 2 ( q ) ，l q ( q ) ) 全局吸引子的存在性更进一步，若，( s ) 满足h f i ( 1 0 2 ) 更强条 件，( s ) 一z ，z o 其它条件不变时，得( l 2 ( q ) ，( 眈p ( q ) n l a ( q ) ) 全局吸引子的存 在性并且该退化情形不仅可以在边界退化，也可以在内部退化即o ( z ) 在q 上有 限多个零点既可以在边界上又可以在内部，因此本文进一步加深了文献【1 6 ，2 1 】中 结果 1 3 本文的安排 第二章，简要介绍了本文证明及计算中常用的不等式，弱导数的刻画，半群 强弱连续的概念以及半群具有连续性或是强弱连续半群全局吸引子存在的一些 定理和渐近先验估计的方法 第三章，利用g a l e r k i n 方法证明解的存在唯一性，并应用文献【1 3 】中半群强弱 连续性的判定引理，证明了半群从l 2 ( q ) 到p ( q ) 空间中强弱连续以及从l 2 ( q ) 到 ( 圳1 ，p ( q ) nl q ( f 1 ) ) 空间中强弱连续 3 兰州大学201 0 届硕士学位论文 第四章，证明了本文的主要结果首先，由具有紧吸收集连续半群吸引子存 在性理论，证明t ( l 2 ( q ) ，l 2 ( q ) ) 全局吸引子的存在性；其次用文献【1 3 】中，由强弱 连续半群构造吸引子的理论，对u ，饥进行l q ( a ) ，l 2 ( q ) 范数下的渐近先验估计，从 而分别证明t ( l 2 ( q ) ，p ( q ) ) 及( l 2 ( q ) ，眈，p ( q ) n 伊( q ) ) 全局吸引子的存在性 第五章，总结和展望 4 第二章预备知识 弟一旱 耿亩刘以 2 1 常用不等式 引理2 1 1 ( 脚f d e 环等式) 若p ，q r + ，；1 + i 1 = 1 ，u l ( x ) r p ( u ) ，u 2 ( z ) ( q ) ， zi 仳，( z ) u 。( 圳如( 上i 乱( 刮p 如) ；( 上i 乱。( 硎9 如) ； 引理2 1 2 ( 带e 的y d 乱咖不等式) 设e ，n ，b r + ，p 1 ，；1 + ；1 = 1 ，则 口6 0 ，使得 似r 2 叫卯 p 蛇 芝豢，譬姐 亿， 引理2 1 4 ( g r o n w a l l 弓 理) 设叩是，l 】上连续可微函数，叩 o 且满足 ? 7 7 ( ) ( ) 叩( ) + 妒( ) ； 其中( ) ，妒( ) 是【o ，1 】上的非负连续函数，则v 【t o ，t 1 ， 7 7 ( ) 7 7 ( 0 ) e ( j 乏咖( r ) 打) + 妒( s ) e ( c 咖( r ) d r ) d s ，c 引理2 1 5 ( 一致g m n 伽越引理) 设，妒，叩是【t o ，+ 。) 上正的局部可积函数，叩在其 上局部可积，且 象如 + 7 咖( s ) d s 。t ，。+ ”妒( s ) d s q 2 ，t + r 叩( s ) d s 。3 ， 其c t t o ，且r ，a 1 ，a 2 ，a 3 是正数，则 ? 7 ( + r ) ( 警+ 。2 ) e z p ( n 1 ) 5 兰州大学201 0 届硕士学位论文 定理2 1 6 设煨b n 佗n c 危空间，其对偶空间记为x ，如果让( ) ，v ( t ) l 1 ( o ，t ；x ) 则以下结论等价： ( 1 ) ( ) 是钍( ) 在矽+ ( ( o ，丁) ；x ) 分布意义下关于时间椭弱导数； ( 2 ) 对v 西础( ( o ，t ) ；x ) ，有 z t ( u ( t ) ，( ) ) d t = - j ( o t ( u ( ) ，侥咖( ) ) d ； ( 3 ) | x ，使得 婶h + 小幻d r , a e te ( o t ) ， 即札( ) 几乎处处等于秒( ) 的原函数； ( 4 ) 对v 叩x 4 ，有如下等式成立 要( ，7 7 ) ：( u ，7 7 ) 五i ，7 7 ) _ i u ，7 7 ) 注：上述定理和引理详情可参见【2 ，3 ，8 ，1 7 ，2 2 ，2 3 】 2 2全局吸引子的概念及判定定理 这一节我们回顾有关全局吸引子的一些基本概念以及抽象结果，详见【l ，3 ，8 】 定义2 2 1 设艘b a 住口c 危空间且 s ( ) ) t o 是肚一族算子，称 s ( t ) ) t o 是强弱连 续半群，如果 s ( ) ) o 满足如下三条： ( i ) s ( o ) = i d ( 恒等算子) ； ( i i ) s ( ) s ( s ) = s ( t + s ) ，任意，s o ； ( i i i ) s ( t 礼) z 仲一s ( ) z ，当t n - t r ) , 2 l x n - z ，n _ 注：若( z ) ( z i ) 不变，( i i i ) 6 p s ( t n ) z njs ( ) z 弱收敛改为s ( 如) z 竹一s ( ) z 强收敛，就 为连续半群的定义 定义2 2 2 设 s ( ) o ) 是b o 他o c 空间肚的半群，碇距离空间，如果z 中有有界 子集风满足对x 中任何有界集e 存在t = 丁( b ) 使得对t t ( b ) 有s ( t ) bcb o ， 则称玩为( x ，z ) 有界吸收集 6 兰州大学201 0 届硕士学位论文 定义2 2 3 设 s ( ) t o ) 是曰n 铊n c 九空间姒及距离空间肚的半群，如果集合 满足： ( i ) 衫在x 中闭； ( i i ) 在z 中紧； ( i i i ) ( 不变性) ：cxnz ，s ( ) = ； ( i v ) ( 吸引性) ：对任意x 中的有界集合b ， d i s t ( s ( t ) b ，) - 0 ，t _ ， 其中 d i s t ( s ( t ) ，) = s u pd i s t ( s ( t ) y ，。) = s u p1 磐i is ( ) 可一z i lz y e by e b z 搿 为h a u s d o 明半距离 则称为( x ，z ) 全局吸引子 引理2 2 4 称半群 s ( ) o ) 是耗散的如果其有紧吸收集b ，即对任意有界集b 1 ， 存在时间o ( b 1 ) ，使得s ( ) b 1cb ，对任意t o ( b 1 ) 成立 引理2 2 5 设x 是b 口n o c 空间，若半群 s ( ) t o ) 在空间x 是耗散的即其存在紧吸 收集b ，则在空间x 中存在全局吸引子，满足= u ( b ) 定义2 2 6 设 s ( t ) t o ) 是b n n 口c 危空间x 上的半群，z 是距离空间，如果任意有界 序列 z n ) 黯lc y 和非负数列 t n ) 器1 ，当k _ 。m _ ) ， s ( k ) z 。) 甚。在互拓 扑意义下有收敛子列，则称 s ( ) ) t o 是( x ，z ) 上渐近紧的 引理2 2 7 设 s ( ) ) o 是l 2 ( q ) 上的半群，且 s ( ) ) 茈：o 在l 2 ( n ) e e 有有界吸收集 则对任意e 0 ，任意有界集bcl 2 ( q ) ，存在t = t ( b ) o 和m = m ( e ) ，使得： m ( q ( i s ( t ) u o i m ) ) ，v u o b ，t t( 2 2 1 ) 成立，其中q ( i “i m ) = z q i i u ( z ) i m i ，仇( q ) 表示s 2 的测度 7 兰州大学201 0 届硕士学位论文 引理2 2 8 设跟p ( q ) 中有界集( p 1 ) ，若雕上尸( q ) 上有有限e 一网，则存在m = m ( b ，e ) ，使得对任意乱b 下式成立： ， l u l p d x 2 p + 1 e p ( 2 2 2 ) ，f l ( u m ) 定理2 2 9 ( z h o n g ，y a n g ，s u n 【1 3 】) 设 s ( ) ) t o 是驴( q ) 和( q ) 中半群，其中p q o 以及l 2 ( q ) 有界子集b ，存在m = m ( ) o ，t = t ( e ，b ) 0 使 得： ， i s ( t ) u o l 9 d x m 定理2 2 1 0 ( z h o n g ，y a n g ，s 札n 【1 3 】) 假设 s ( ) ) o 是b n n 口c 空间肚强弱连续半 群，存在有界吸收集，则半群在x 中存在全局吸引子充分必要条件：半群( s ( ) ，o 在 x 中舢一极限紧的，即对任意的e 0 和x 中任意有界集e 存在t = t ( b ) 使得： 7 ( u s ( ) b ) ， t t 其中7 ( b ) 表示集合b 的非紧性测度：7 ( b ) = i n f a 0l 存在直径小于口的有限覆 盖，bcx 有界) 定理2 2 1 1 ( z h o n g ，y a n g ，s u n 1 3 ) 设 s ( t ) ) o 是胪( q ) 上的强弱连续半群若 s ( ) ) o 满足条件： ( i ) 存在某个p ，满足o o 以及l 9 ( q ) 中有界子集b ，存在m = m ( e ) o ，t = t ( ( ，b ) 0 使得 ， i s ( t ) u o l 9 d x m 则 s ( t ) ) t o 在l q ( f t ) 中是u - 极限紧 引理2 2 1 2 ( 见【9 】) 假设 s ( t ) ) o 是b n 礼口c 空间x 上强弱连续半群，存在有界吸 收集，若 s ( ) ) o 是渐近紧的，则 s ( ) ) t o 在x 中有全局吸引子 8 第三章弱解的存在唯一性及其对应半群的强弱连续性 为求解问题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 我们需要弓1 2 , 3 j n 权s o b o l e v 空间的概念，对这样一个 新的空问我们需要对其上的嵌入定理，收敛性及加权算子a 口的性质做一系列的 讨论和说明随后利用o a l e r k i n 逼近方法方法结合g r o n w a l l i ji 理( 一致g r o n w a l l i ji 理) 得到的估计，证明了在加权s o b o l e v 空间中弱解的存在唯r 性解半群强弱连 续性分析根据( z h o n g ，y a n g ，s u n 1 3 ) 中判定定理是简单的对于半群的连续性 目前还没有很好的方法予以证明，但是对以我们所关心的吸引子的存在性问题而 言，半群强弱连续性已经足够了 3 1 解的存在唯一性 定义3 1 1 叼，p ( q ) = u j 曙( q ) 在州i 砩，( n ) = ( 正：。( z ) l w l p d z ) ；范数意义下 的闭包集) ，( w 1 ，p ( q ) ) + 表示其对偶空间，其中函数o ( z ) 满足( 凰) 性质3 1 2 假设函数o ( z ) 满足( 凰) ，则眦p ( s 2 ) q 酽( s 2 ) ，其中l s 。一p 卅n 。， 特别地，职，p ( q ) ql 2 ( q ) ( ”q ”表示紧嵌入) 证明：由h 5 1 d e r 不等式知： y 舰i z ( z n i v u i p 如) 5 ( 上。一南出) 学 因为n ( z ) 满足( 凰) 得： z i v 计如i 吾( z 佩i i p 出) 5 ( l i t p 枷- a d x ) 学 + 否1 ( 凡鼠坍u i p 出) 2 当p 挑p n ，x - - x i p - 监b l i ( e ) ，则哪，p ( q ) q 懈，卢( q ) ，又v p 焉，咄卢( q ) q ( q ) ，r 筠，所以叼p ( q ) q ( q ) ，其中l s 卫n - p + a 又凶为a ( o ，p ) ， 所以一矿+ p a o 群l p n p 2 + p n ，从而p 0 使得 ( a 。( u ) 一a 。( ) ，牡一u ) c p l l u 一秽i l 锄，( q ) i 正日f l ：a 口是从魄，p ( q ) 到( 眈护( q ) ) + 的算子的证明见【1 7 】中第二章，现证其强单调 性，由引理2 1 3 知 口 ( a 。u ) 一a n ( u ) ，u 一口) = a ( i v u l p - ：v u i v v l p - 2 v v ，v ( u v ) ) d x ，n c p l l u 一训锄 p ( q ) 性质3 1 5 ( 见【1 6 】) 假设 俐在明，p ( a ) 中一u ； 一砂在( 孵，p ( q ) ) + 中a 。( “竹) 一妒； 以别甄后矗口( z ) l v u , , i p d x d s gf o 砂( s ) 札( s ) d x d s ； 则矽= a 口( 讹) 引理3 1 6 ( 见【3 】) 设q 是r 礼中有界区域，并且垆( q ) ( 1 p 0 ，1 r q ，z o 时： 一p z g + z 7 g p 石南存b ：= g ( 3 1 5 ) 由式( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 及w ：，p ( q ) ql 2 ( q ) 可知： 丢磊d | j 幢+ ( 1 一e ) | f u _ 。p 时 p ( 哟+ 百e li i u n 孵+ 割让。旧 一c l q 三- i i u n 悒+ ao 夕| | 乞( 哟+ k l q l 后l q i + c ( 1 l g l l 2 ) ( 3 1 6 ) 所以： 丢知乱圳；+ 扣n 1 1 ；- k l a l + d ( 3 1 7 ) i j jg r o n w a l l 翟ji 理o l i 仳。( ) l | ；i l u 。( o ) l i ；e 一+ q ( 1 一e 一。) ( 3 1 8 ) 其巾g = 2 ( kj g t l + c ( 1 l g l l 2 ) ) ，得( 3 1 2 ) 的解对o 都成立对( 3 1 6 ) 两边关于时 间从0 到t 积分： i l u o ( 驯i ；+ ( 2 - 2 e ) i 钍删j p 吵m ) d s + c l 1 1 叫s ) | j 扣+ 一叫s ) j | ；d s 兰州大学201 0 届硕士学位论文 q + f i 让n ( o ) 悖 由式( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 得： ) 巽1cl o o ( o ，丁；l 2 ( q ) ) nl v ( o ，t ；w 口p ( q ) ) n 三。( o ，t ；厶g ( q ) ) 且在其中有界，从而由( 1 0 3 ) 可得： ( 3 1 9 ) 一m 小) ) f i 手如= m 小) ) i 矿如d s u ul z t cm 坩铂- 1 ) + 1 ) d x d s ( 3 1 1 0 ) 一 t ，1 叫 一r 其中孑1 + 石1 = l ，此时 ，( 缸。) ) 在l q 7 ( o ，t ；l q 7 ( q ) ) 上有界，由h s l d e r 不等式： z 。z n ( 圳v u nj v - 2 v u n v v 如d s = 上m 硎专i v | p - 2 v | 0 ( 圳；v 秒如如 怯嘎。，正瞄 p ( n ) ) i i 酬咿；时 p ( n ) ) 其中p 7 满足专+ ；= 1 得： 月nu n ) ) 在( o ，；( w a x ，p ( q ) ) 4 ) 中有界且由( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ， 知存在子列( 不失一般性记为_ f u 。( 5 ) 及存在 乱( s ) l o 。( o ，t ；l 2 ( q ) ) nl v ( o ，丁；仉2 p ( q ) ) nl q ( o ，丁；l 口( q ) ) 使得：在驴( o ，t ；职p ( q ) ) 空间中 ( s ) 一u ( s ) ， 在( o ，丁；l 2 ( q ) ) 空间中 u n ( s ) 玉札( s ) ， 在( o ，t ；( 眈，p ( q ) ) ) 空间中 月口( u 札( s ) ) 一妒( s ) ，( 礼_ ) 接下来，我们证明，( 钍。) 的收敛性，由琏续性及引理3 1 3 得： u n ( z ，s ) _ u ( x ，s ) a e ( z ，t ) q 【0 ，丁) ， 1 2 兰州大学201 0 届硕士学位论文 ，( 札。( z ，s ) ) 斗f ( u ( x ，s ) ) n e ( z ，t ) q 【0 ，t ) ， 并且由( 3 1 1 0 ) ，可假设在l a 7 ( o ，t ；l q ( q ) ) 窄间中，( 。( s ) ) 一叩由引理3 1 6 知： ，( 钍n ) 一，( 钍) 毛f f _ l q 7 ( o ，t ；l q 7 ( q ) ) 空问中成立 下面利用性质3 1 5 证明妒( s ) = a 。( 乱( s ) ) ，即验证性质3 1 5 中( i ) ( i i ) ( i i i ) ，性 质3 1 5 中( i ) ( i i ) 在上述过程中已证，如果证得( i i i ) ，则矽( s ) = a 。( u ( s ) ) 成立，从而原 方程解存在即证 甄“巾帆i p d x d s 0 ，使得对任意的乱o j e 7 以及t ， 悯+ 删；p ， 其中正常数p 不依赖于eu ( ) = s ( t ) u o 证明：问题( 1 0 1 ) 中方程两边同时和u 作内积，由分部积分公式可得： 丢磊d 忙幢+ 上口( z ) i r a i p 如+ z ，( 钆) 珏如= 上9 u 如 结合式( 1 0 3 ) 及定义3 1 1 得： 三刻d “1 1 2 = + ( i e ) ，p ( n ) + 砂e lz 旧+ 弘1 幢 a i i g l l 多一百e ll i 乱幅+ 昙i l u 幡+ 七i q l ， 因为g 2 ，由( 3 1 5 ) 得： 主勃训；+ ( 1 一) l m l p ( n ) + 割训：+ 扣1 1 ；- t 1 ( 4 1 4 ) 同时令f ( s ) = 厂f ( t ) d r ，m ( i 0 3 ) 可知： 西l 训9 一k l f ( u ) 西i u l q + k l ， ( 4 1 5 ) 西i i 乱| l ；一k ll q l f ( u ) d x 历l l u l l ；+ k ll c t l ， ( 4 1 6 ) 因此，f l 了( 4 1 4 ) 可知： fl l 乱( s ) l l p 叫n ) d s + 上f ( ( s ) ) 如d s c ( i q i , p o , k l , 西) ( 4 1 7 ) 另一方面，用毗作用方程两边，可得： l l 抛悒+ 刍爰l i 锄 p ( 啊+ 冱d 上f ( u ) 如丢上9 u 如 ( 4 工8 ) 对( 4 1 8 ) 关于时间从s 至- u t 积分得： 三i l u ( 驯i p ( n ) + zf ( 孔( 啪如 z9 ( z ) “( z ) 如一x ( s ) + 上f ( ( 圳如+ ；1 ( 圳l 铭q 哟 ( 4 1 9 ) 其巾 x ( s ) = g ( x ) u ( s ) d x 对( 4 1 9 ) 两边关于s 从到+ 1 积分结合式( 4 1 4 ) ，( 4 1 6 ) ，( 4 1 7 ) 与第二章第一节不 等式得： 三i l u ( 圳i ，p ( q ) + 上m ( ) ) 如 兰州大学201 0 届硕士学位论文 c 川9 l i 。，( ) 。+ e i l 乱( ) 1 i 锄，( n ) + c ( 1 a l ，肋，1 ，西) e 0 u i | 锄，( 锄+ c ( 1 a l ，伽，k l ，西，i l y l l 2 ) 从而可得： ( 考一e ) ) ，( n ) + 酬u 旧c ( 1 a l m p 七1 ，西，i l g l l 2 ) + 南1 l a l ( 4 1 1 0 ) 所以： i i u l l 诌，( 1 2 ) + i l u l l ：c , ( 1 a l ，伽，k ，西，i l g l l z ) 联系( 4 1 1 0 ) 取p = c o ，t = 7 1 + 1 ，可得结论口 定理4 1 2 半群 s ( ) ) t o 存在( l 2 ( q ) ，l 2 ( q ) ) 全局吸引子奶，并且必在l 2 ( q ) 中 紧致，连通，不变且按j ：，2 ( q ) 范数吸引l 2 ( q ) 中有界集 证明：令u o2 “| i i u l l 锄，( n ) o c t v , l 2 ( q ) 中任意有界集b ，存在t = t ( b ，e ) o 及m = m ( e ) 0 ，使得对任意t t 和u o b 有： 厶凹，i 孔1 9 如 o 和m l = m ( e ) 0 对任意的u o b 且t 冗有： m ( a ( 1 u ( t ) l m 1 ) ) e ， ( 4 2 1 ) 】8 兰州大学201 0 届硕士学位论文 以及 上。m ，2 如e ，上。m 胁，| 夕1 2 如e 另外，由( 1 0 3 ) n - - j 失l l ，存在 龟 0 ，当札一a 如时，有： y ( u ) 一c l u l q ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 令m a = m a x 尬，尥) 且乃，用( u + 眠) 一作用( 1 0 i ) e p 方程两边，并在q 上积 分，可得： 丢丢队让+ ) 一| l ；+ i i ( 钆+ 毛) 一j j ，p ( n ) + l ( 乱) ( 札+ 磊) 一如 = 9 ( z ) ( 让+ 地) 一d x ， ( 4 2 4 ) 其中 ( + ) 一 u + m 3 ，牡一， 0 ，乱 一 记q l = z ( 乱一j 7 i 如) ，结合一厶。i u i 口- 1 ( + 坞) 如矗。l u + 地f 4 d x ，h s l d e r 不 等式，c a u c h