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摘要 在随机滤波理论中，求滤波方程的解是很重要的组成部分许多滤波研究者致力于滤 波模型的解以及解的具体表示的工作一般的线性非奇异滤波模型是可解的，它的最优滤 波是k a l m a n b u c y 滤波而对于线性的奇异滤波模型和非线性的滤波模型是否可解，以及 解的表示正处于研究中 本文根据【1 】中关于滤波理论的最新进展和结论，并结合【4 】和【7 中关于分支粒子系 统逼近奇异滤波的数值解的方法归纳出几类可解的滤波模型 在l 中介绍了以0 u 过程为噪音的两类可解线性滤波模型它们分别由下列方程给 出： ， ld x t = ( b i x t + b o ) d t + c d b ， iy t = h 五十o t ， 其中d 是一个m 维的o u 过程，满足： d o = 一p o t d t + 卢口毗， 0 h ，b 1 ，b o ，c 分别是m d ，dxd ，d 1 ，d d 维的矩阵，而( 玩，眦) 是一个( d + m ) 维的布朗 运动 另一个模型是： i 试= ( b i 五+ b o ) d t + c d 且， 气 iy t = h 五+ 0 t ， 其中d 。是一个m 维的o u 过程，满足： d o t = 一a q 出+ d d b t ， h ，b 1 ，b o ，ga ，d 分别是m d ，dxd ，dx1 ，d k ，mxm ，mxk 的矩阵，而b 是一个k 维 的布朗运动这个模型涉及到线性的奇异的滤波情况 在2 中介绍了一类以o u 过程为噪音的非线性滤波模型，根据系数的关系分成三种情 况讨论了它的最优滤波，并尝试用分支粒子系统来逼近非线性的奇异滤波滤波模型由下 面的方程给出： f 删= 他x ：d t + 巩俩删，i = l ，2 ，礼， j t l l 舻髯+ 0 t ， i = l 其中d t 是一维的o u 过程，满足d o t = 一0 t d t + d w t ，职是一个一维的布朗运动，并且胁，吼 都是常量 关键词：0 u 过程、奇异滤波、k a l m a n b u c y 滤波、最优滤波 h i a b s t r a c t j ，d x t = ( b l x t + b o ) d t + c d b t ， i 轨：日五+ d t ， fd x t = ( b l x t + b o ) d t + c d b t ， i 纨= 觚+ o t ， 仁蓦既哆 i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文具有o - u 噪音的可解滤波模型，是在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：未u 救1 菇 矽明年6 月( 7 日 指导教师确认( 签名) ： 伽夕年占月7 日 学位论文版权使用授权书 够提 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：纠投诫 硼o ( 7 年6 月c 1 日 指导教师( 签名) ： 伽7 年石月7 日 锄擢 引言 在过去的几十年中，滤波理论有了迅猛的发展并且广泛应用于金融数学、工程学、通 讯学等方面 滤波方程的解，也就是滤波模型的最优滤波的表示一直是滤波研究者的重要工作，许 多工作者在这方面已经付出了很大的心血通过研究者的共同努力，1 9 6 1 年( 丑b u c y 和k a l m a n 给出了经典的线性滤波模型的最优滤波，即k a l m a n b u o y 滤波根据k a l m a n b u c y 滤波理 论，对于一般的非奇异的线性滤波模型，求它的最优滤波只要求出相应的条件期望和方差 就可以详细的结论可参考文献【5 】 但是对于非线性的滤波方程，尽管滤波研究者做了大量的工作，目前这类模型的最优 滤波是很难给出具体形式的因此，为了解决这些滤波方程研究者不得不借助数值逼近的 方法在十九世纪末，滤波研究者就开始用粒子系统逼近非线性滤波模型的最优滤波，并 且用最优滤波的粒子系统表示证明了滤波方程解的唯一性此后，很多关于滤波方程的理 论有了很大的发展 在【2 中，d a nc r i s a n 和j i ex i o n g 用带有权重的粒子系统给出了随机微分方程的解的 一个理论逼近表示在【2 】的基础上，【7 q b j i ex i o n g 和l i uh u i l i 又给出了一个可在计算机 上实现的滤波方程的解的逼近表示这样我们可以考虑一般的滤波方程的解 但是在现实生活应用中，我们经常会遇到这样的滤波模型：它的最优滤波是一个只是 支撑在一个面上( m a n i f o l d ) ，而不是整个空间上的概率测度这种滤波我们称为奇异滤波 通过【3 】及【1 】的第十一章中的理论，我们可以把奇异滤波转化成支撑在一个面上的而不是 整个空间上的经典滤波模型但是对于奇异滤波模型的最优滤波还没有系统的理论 本文在上述工作的基础上给出几类可解的滤波模型，并且给出它的最优滤波，特别是 这些模型中包含了线性的和非线性的奇异的滤波模型对于非线性的奇异滤波模型尝试 了用分支粒子系统逼近它的最优滤波，为解决更多的非线性的奇异滤波模型的最优滤波 做出有益的探索 由于一般理论中的白噪音只在广义函数中存在有意义，而在现实生活中经常用o u 过 程来近似白噪音因此本文介绍的滤波模型都是以o u 过程为噪音的滤波模型并且对于 第一个模型严格证明了它的o u 噪音的最优滤波收敛到白噪音控制的最优滤波 下面对文章的内容做一个简短的描述 在l e e 主要考虑了两类线性滤波模型首先在1 1 小节中考虑如下模型： ， id x t = ( b l x + b o ) a t + c d b t ， ly t = h 五十d t ， 1 其中q 是一个m 维的o u 过程，满足： d o t = 一0 t 出+ 讥仍，卢 0 jd x t = ( b l x t + b o ) d t + c d b t ， 1d k ：眠+ 矾， i 玑：日托+ o t ， f d x t = ( b 1 x t + b o ) d t + c d b t ， 1d k ：( ( 日6 1 + a h ) x t + h b o ) d t + ( h c + d ) d b t ， f 啦= 以囊出+ 以 葛d 磁，t = l ，2 ，n ， i ， n i 轨= 鬻+ o t ， 、ii - 1 察到的y t 求出囊在现实生活中，我们也可以用y t 来表示一个公司所做出的业绩，用雹来 表示这个公司其中某一个部门所做出的业绩其中玑也是可以被观察到的那么对于公司 管理者来说能通过y t 来得到是非常有重要的 本文分三种情况来讨论这个模型对于非线性的奇异滤波模型，我们将尝试借助数值 逼近来近似这个模型数值解在2 2 这一节中介绍了怎样利用分支粒子系统来逼近这个奇 异滤波 3 1 噪音是0 - u 过程的线性滤波模型 1 1 噪音是0 u 过程的非奇异的线性滤波模型 在这一小节中，我们考虑以0 u 过程为噪音的一类线性滤波模型滤波模型由下面的 随机微分方程所给出： d x 轨t ：= 日( b l 五x t + + q b o ，) 班+ c d 鼠 c l - ， 其中0 。是一个m 维的0 u 过程，满足： d o t = 一p 0 d t + 卢d m ，卢 0 h ，b 1 ，b o ，c 分别是m d ，d d ，d 1 ，d d 维的矩阵，而( b ，姒) 是一个( d + m ) 维的布朗 运动 下面我们首先把这个0 u 过程为噪音的滤波模型转变成一个一般的模型假设 d y , = e 一肛d ( e 肛仇) 那么硝= 碍根据伊藤公式，我们可以得到 d y , = ( ( h b l + z h ) x t + h b o ) d t + h c d b t + p d m 我们定义 d r , 1 = ( 卢2 + h c ( h c ) + ) _ 1 2 ( h c d b t + $ d w t ) ， 彬= ( ( 日c ) + h c + p 2 ) - 1 2 ( ( 日c ) d w , 一a d b t ) 引理1 1 ( k 1 ，略) 是一个( m + d ) 维的布朗运动 证明：首先我们证明嵋是一个m 维的鞅因为b t ，m 是布朗运动，所以有 e ( wl 兀) = e ( ( p 2 + h c ( h c ) + ) - 1 2 ( h c b t + p 毗) 1 只) = ( p 2 + h c ( h c ) ) - 1 2 e ( h c b , + p 巩) = y 1 即k 1 是鞅 同理我们可以证明曙是一个d 维的鞅 又因为 ( v 1 ) t _ t 厶，( v 2 ) 产饥， 其中k ，厶是m 仇，d d 的单位矩阵，而且 ( y 1 ，v 2 ) t = 0 根据l c 岬s 定理，可知( k 1 ，曙) 是一个( m + d ) 维的布朗运动 口 根据k 1 和昭的定义，b t 可以表示为 d b t = ( ( 日c ) + h c + j 臼2 ) 一1 ( 日c ) + ( 2 + h c ( h c ) ) 1 2 d r , 1 一( ( 日c ) h c + 卢2 ) 一1 2 p d 曙 那么滤波模型( 1 1 ) 又可以表示为 显然滤波模型( 1 2 ) 的最优滤波是k a l m a l l b u c y 滤i 皮，我们用( 霹，霄) 来表示这个k a l m 锄 b u c y 滤波 我们首先来求条件期望和条件方差矩阵记 e = ( 卢2 + h c ( h c ) + ) 1 2 = p ( ，+ h c ( h c ) 卢2 ) 1 2 ， f = ( ( 日c ) + h c + p 2 ) 一1 2 = f l - 1 ( ( 日c ) 日c p 2 + ，) 一1 2 那么方程( 1 2 ) 可以写成 容易看出 id x , = ( b l x t + b o ) d t + c f 2 ( 日c ) e d y , 1 一c f l 3 d v t 2 ， 【戎= e 一1 d m = ( e 一1 ( 日6 l + z l - z ) x , + e 一1 h b o ) d t + d r , 1 = = 砰 根据滤波理论，我们可以得到在p ( r d ) 上的滤波方程：对任一，俨( r d ) ， d ( 几，) = ( 几，l t f ) a t + ( 7 f t ，v f c f 2 ( 日c ) + e + f ( e 一1 h b o + e ( h b l + 1 3 h ) t ) ) d v t ( 1 3 ) 其中 - ( r t ，f t h ，( e 一1 h b o + e 一1 ( h b l + z h ) o ) d 耽 d 魄= 疵一( 7 r t ，e 一1 h b o + e 一1 ( a b l + f l h ) 6 ) d t = 瘟一( e 一1 h b o + e 一1 ( h b l + p 日) 霹) 出 是一个m 维布朗运动， l m ) = v f ( x ) ( b o + 6 - z ) + 专。挈鲳m ) ， d 。i d - - - 1 而吼= c f 2 ( 日c ) e ( c f 2 ( 日c ) e ) 。+ c f p 2 ( c f ) 。，对比r d ，c ) = z 5 、， t ， 回 形 战 十 坨。弘 一御w计严妣陬防 托 聃 聃邯帆州甜胪 t，i 1五双m 飒 根据k a l m a n - b u e y 滤波理论，我们司以得到 r t f 霹= 霹+ ( b o + 6 1 寇) d s + ( c f 2 ( h c ) + e + 鬈( e 一1 ( h b l + p 日) ) ) d ， ( 1 4 ) j 0 j 0 爰靠= 彩6 ；+ 6 l + a t 一( c f 2 ( 日c ) e + 霄( e 1 ( h b t + p 日) ) ) ( c f 2 ( 日c ) + e + 7 口t ( e - 1 ( h b t + p 日) ) ) 。 ( 1 5 ) 因为 f o to , d s = 吼一万1 o t ， 易见口一0 0 时， ，c 0 。d s _ 吼 d o 所以我们经常用o u 过程来近似白噪音 下面我们证明模型( 1 1 ) p a o u 为噪音的k a l m a n b u c y 燃敛到下面方程所给出的k a l m a i l - b u o y 滤波： ，d x t = ( b l x t + b o ) d t + c d b t ， i d y , = h x t d t + d w t 方程中的系数与( 1 1 ) 相同易见上面方程是线性的，k a l m a n b u o y 滤波是它的最优滤 波我们用( 寇，m ) 来表示这个滤波，并且根据k a l m a l l b u c y 滤波理论知 ，t 寇= + 0 ( b 0 + 6 1 寇) d s + 0 日d 以， ( 1 6 ) j j 磊dm = m 坊+ b 1 7 t + c c 一 t h ( t t h + ) ， ( 1 7 ) 其中砖= m f th ( , d s 是- - 4 m 维的布朗运动 现在我们证明当p _ 。o 时，( 毫卢，彬) 收敛到( 爱，m ) 定理1 2 证明：定义 因为 6 且ms u pi 詹一m i = 0 7 7 ， 旦m m i2 ， 斗o t t 1 i r aes u pl 髫一寇1 2 = 0 o 。0 t 0 ，使得s u pi 韶i 噩因为 o s t t 蕊d lr k m ) = ( 彬一m ) b ：+ 6 1 ( 谚一讯) + 否一c h 4 一霄啻。+ 一背雷+ 疗霄+ m 日日仉一c c 所以 s u p ，i 韶一m i - - - - s u p ( 曾一) 6 ；如+ 6 1 ( 谚一) 一( c h t 宇一彬豆+ o ) d s r t ； ，z，c 0 s t 丁 o 一 t 一 0 ，使得s u pl 饥i o t s r k j ，那么我们有 s u pl 饥日h t , 一谚豆4 曰谚i = s u p1 7 , h 日m m 豆雷m + m 青+ 疗m 一谚青啻霄i o s o 0 s t s 矗 = s u pi 讥( 日+ 日一啻+ 詹) 7 t + m 膏+ 豆( m 一谚) + ( 7 t 一谚) 膏豆谚 o s f s 5 鹾i h h 一啻直i + ( + 墨) l 青1 2s u pl ( m 一谚) i o t 8 ( 1 1 1 ) 记 扁；( 2 i c h i k l + i 否一c c i + 磁i g h 一百h i ) t , 赶= 2 + ( + 恐) l 宙1 2 ， 7 通过不等式( 1 11 ) ，不等式( 1 1 0 ) 变为 s u pi 霄一m i 蟊+ 盈 s u pf 谚一7 t d s r t o t tj oo t s 根据c 订o n w a l l s 不等式，我们有 又根据( 1 8 ) ，我们可以得到 所以 现在证明第二个结论 因为 s u pi 谨一m i 扁e k 2 t 0 s t t 1 i m 蜀= 0 ， l j - - - , o o j i ms u pi 霄一m i = 0 卢。o o0 t t 耐= d y t h f ( t d t = h x t d t + d w t 一日五出， d 魄= 疵一( e h b o + e ( h b l + ? h ) f ( f ) d t = e 一1 ( h b l + 3 h ) x t d t + e 一1 h c d b t + e 一1 9 d w t e 一1 ( h b l + f l h ) f c f d t = h x t d t + e 一1 h c d b t + e 一1 ，d w t 一 - i 霹d t 因此通过方程( 1 4 ) 和( 1 6 ) ，我们, - 7 p a 得到 d 毫= ( b o + 6 1 寇) d t + 7 t h h x t d t + 7 t h 。d w t 一7 t h + h f ( t d t ， 枷翠= ( 6 0 + b 1 s ：f ) d t + c f 2 ( 日e ) e d u t + 谨( e ( h b l + p 日) ) e ( h b l + ，h ) x t d t + 谚( e 一( g b l + 日) ) + e - 1 h c d b t + 霄( e ( h b l + p 日) ) e _ 1 f l d w t 一彩( e ( g b l + 卢日) ) e 一( h b l + z g ) 2 f d t = ( 6 0 + 6 l 霹) 出+ d 砒+ 稆啻f - i x t d t + 彩啻e 一1 h c d b t + a e 一 b d w t 一嚷豆 t 2 f d t 。 所以 d ( 克一霹) = 6 1 ( 寇一霹) 出+ ( m 日。日五一彩雷。雷五) 出 + ( m 日+ 一霄啻e 一1z ) d w , 一( m 日日寇一常青豆又尹) d t d d 仇一霄 - i e 一1h c d b t 首先。易得 又有 r tp t e j ( 6 。( 寇一爻夕) ) 出j 2 t e b l ( 寇一爻夕) 1 2 d t ，oj 0 ，t = i b l l 2 t e l 寇一霹1 2 d t ， ，0 e i ( 7 t h + h x t 一韶豆青五) 出1 2 死| 7 t h h x t 一霄青膏五1 2 d t r tr t t e ( 1 7 t h + h x t 一霄日+ h x t 2 d t + i 霄h + h x t 一韶雷4 f c x , 2 d t ) j 0j 0 r t p t 0 ，当 矗，有 e i ( m 日+ h x t 一谚直f i x t ) d t 2 又根据d o o b s 不等式，得 es u p l ( 日一杉青+ e 。1 卢) 删；1 2 4 e i 日一谚百e 一1 卢f 2 d t 厂tp 8 e i ( 一谚) 日1 2 d s + 8 e i 曾( 日一日e 1 z ) 1 2 d s j 0j 0 因为 一l i ms u pi 霄一m i = 0 ，j i m1 日4 一日e 一1 p i = 0 ，s u pl 霄l k 1 ， f l - - * o o0 t t卢- - - * o oo 0 ，使得p 如有 ，l es u p1 ( 日+ 一留豆+ e _ 1 ) 讥亿1 2 o t 0 ，当p 如，有 又因为 ， es u pi 0 毗1 2 e ，es u pi 霄宙+ e 。h c d b , 1 2 0 t tj o0 t t es u p lh 8 h h 文s 一 f ；a 4 a 文；、) d 埒 卿| h 8 h h 文8 一 l ：豆a 文：1 2 d s ，t，t t e | 弋s h h 文8 一 l ：a a 文8 1 2 d s + t el h j f i 叠文s 一 f 2 a a 文i 2 d s j 0j 0 r tr t 卿| h 8 h h 殳f 一 f 8 a a 爻3 1 2 d s + t el h 8 a a 文8 一 f ：良豆文5 1 2 d s j 0j 0 + 砸_ | 曾豆膏1 2 i 宠一霹1 2 d s r tr t t e i i 2 i h h 一青青j 2 i 宠1 2 d s + t e i 一曾1 2 i 雷啻| 2 i 寇1 2 d s - ，0，0 + 砸i 霄疗+ 豆1 2 i 寇一霹1 2 d s ， k s u p o t t i 饥i 恐，肛宜= 日，肛l i m 。s u t p ti 背一m l = o , s u p o t 0 和凰 0 ，当卢 以时有 e s u p lh 8 h h 文3 一 l ；豆豆文? ) d t l 2 6 ，有 es u pi 寇一霹j 2 6 e 。s ，u 。p ，l b l ( 寇一爻? ) d s l 2 + 6 es u p i ( 日日咒一谚膏+ h x , ) d s ) 1 2 j ， ，t o s f ro o t tj o 。 it + 6 e 。8 u pj ( 日+ 一臂疗+ e 一1 b ) d 职1 2 + 6 e 。s u pf。jo ( 日4 日兄一霄膏4 膏霹) d s l 2 0 o 。7 + 6 es u pi g d v 。1 2 + 6 es u pi 膏+ e 一1 h c d b 1 2 o t rj o0 t t f t ，t 6 1 6 1 1 2 t e i 寇一群1 2 d t + 2 4 e + 6 t k 4 1 i lj 毫一霹1 2 d t ， ，0 0 因为e 是一个任意的量，根据g r o n w a l l s 不等式，可得 。l i m es u pi 霹一宠i2 。0 o t 口 1 2 噪音是o - u 过程的奇异的线性滤波模型 在这一下节中，我们讨论被下面随机微分方程控制的滤波模型： i 飒= ( b l x t + b o ) d t + c d b t ， t 舻日x 怕， o j 2 其中q 是一个仇维的o u 过程，满足： d o t = 一a o 出+ d d b t ， h ，b l ，b o ，c ，a ，d 分别是m d ，d d ，d 1 ，d k ，m m ，m k 的矩阵，而b 是一个七维 的布朗运动 首先把这个0 u 噪音的滤波模型转换为一般的滤波模型定义 d k = e - a t d ( e m y t ) 那么= 芹根据i t 5 ，s 公式可得， d y t = d y t + a y t d t ( 1 1 3 ) = ( ( h b l + a h ) x t + h b o ) d t + ( 日c + d ) d b t 这样我们把上述模型转化为下面的滤波模型： id x , = ( b l x t + b o ) d t + c d b t ， 1d m ：( ( 日6 1 + a h ) x t + h b 。) d r + ( h c + d ) d b t 定义r = r a n k ( h c + d ) ，h c + d = ( d 1d 2 ) ，其中d 1 ，d 2 分别是m r ，m ( k - r ) 维的矩阵在下面的讨论中我们不妨假设：r = r a n k ( d 1 ) 事实上，我们可以找到一个七x 后维的可逆矩阵s 使s 只改变矩阵( 日c + d ) 列的顺序， 这样矩阵不会改变方程所给的信息，并且满足 ( 日c + d ) s = ( d 。d 。) ，r 。n k ( b ) = r ， 其中西1 ，d 2 分别是mxr ，mx ( k r ) 维的矩阵 n ) g r = r a n k ( h c + d ) ，根据假设我们可以找到一个m m 维的可逆矩阵t ，使得 t c 日c + 。，= ( 三吾) ， 其中e 是一个7 x ( k 一7 ) 维的矩阵，是一个单位阵那么我们有 删k = c t c 日巩+ a 日，五+ t 日6 。，出+ ( 三言) d 鼠， 并且硝= 巧r y 那么滤波模型最终等价于模型： fd x t ：( 6 1 x + b o ) d t + c d b t ， t 丁d ：c t c 日6 。+ a 日，五+ t 日6 。，班+ ie 0 ) d b ( 1 1 4 ) t d y t = ( t ( h b l + a 日) k + t 日6 。) 出+ ( je ) d 玩， 其中e 是r x ( k r ) 维的矩阵，j 是r r 维的单位矩阵我们使岛= ( 目，研) + ，c = ( q ，q ) ， u 1 是r 维的布朗运动，研是r ) 维的布朗运动，a ，岛分别是dxnd ( k r ) 的矩阵 t “- ( 玎协1 + 删讲t 础“计e 璐 ( 1 1 5 ) 【d x , = ( b l x t + b ) d 亡+ c 1 d b ：+ q d 研 d y , 1 = ( i + e e ) 一( d 磅+ e d b ；) ， d y , ：( ，+ e e ) 一( e d 研一d b 2 t ) 引理1 3 曙，略分别是r r ，贴一m 上的两个独立的布朗运动 证明：与引理1 1 的证明相同口 定理1 4 当r = m 0 如果0 c d ，滤波模型f j 2 圳最终能转化成一个特殊的k a l m a n - b u c y 滤波模型或者 是一个类似c = d 时的模型，即信号过程是可以被直接观察到的 证明：如果c = 0 ，此时模型( 1 2 3 ) 变成如下的模型： 嘁= ( b l x t + b o 皿如扭幻 ( 1 2 4 ) 【d k l = ( 尬咒+ n 1 ) d t + d b t 根据k a l m a n b u c y 滤波理论，易见模型( 1 2 4 ) 是一个特殊的z a l m a n - b u c y 滤波，我们很容 易得到它的最优滤波 如果c = 五那么觑是一个可逆矩阵，并且托= 廊1 印又因为y t 2 是可观察的，所 以x 是可测的因此 7 r t = 札= 嘧- 印 如果0 c d ，那模型是一个奇异的模型为方便起见。假设 m 2 = ( q l ，o t 2 ，o t 。) ，i o q i = 1 ，1 i c ，啦= 0 ，i j 事实上，我们可以找到一个( m r ) ( m 一7 ) 可逆的矩阵足使兄慨= ( 口1 ，q 1 ，q m - r ) + 满足上面的假设记矿= r 庇冠= r 或，那么因为冗是可逆的，所以 = 巧 这样我们的假设是有意义的 这样我们可以找到一个矩阵 使它满足磁坞- 0 并且飓懈一1 也就是说使( 篆) 成为一个dxd 的正交矩阵 记五；五，那么 ( 笔) 五= ( 至) 因此我们可得 x = 尬m + 蝗五 ( 1 2 5 ) 这样根据方程( 1 2 5 ) ，我们可得 d 宠= m 3 d x t = m 3 ( b l 五+ b o ) d t + m 3 c d b 。 = ( m z b l m ；y t + 尬6 1 g 五+ m z b o ) d t + m z c d b t ， 1 6 并且 彤= m 2 d x t = ( m 2 b l m ；y t + m 2 b l m ；x t + m 2 b o ) d t + m 2 c d b t 玩= 小( 篙) ，只= ( 麓篙：舛尸( 研 f 嘁= ( 针鳓驵既 ( 1 2 6 ) l 藏：( f f f t + f t ) d t + p d b t u 石叫 降dfft=篾(st+s瑚f(t)dt州+qd调bt,娼， 饥2 7 ， 个f l 维的单位矩阵，并且磅：謦 例：( i ) 假设 d 瓦= ( 三呈) 五出+ ( 三：) d b c ， 玑蚓， d o t = 一0 t d t + 一3 d b d k = ( 至) 五出+ ( 主三 d 马 这种情况中，d ：七：r = 2 ，m = 4 ，而庇= ( 兰兰) ，哿= 觑五显然可 知一一2 删m x = ( 言4 卜 试= ( ( 旭， 1 8 r ： 舻【三 i 五+ d t ， d。t=一。t出+(号 一2 、i l 蜗 j 一 1 一 o o o 以 ，。一 、lillllli， 0 0 1 2 一 l 一 我们有 d m = 三u 4 2 jl 、 l d b t j 这种情骶一2 ，m 咄并且= ( ：因此一c h 渊 我们可以像上面所述一样来分解信号过程减少它的维数，最终会出现可解的模型 类别三，r 0 证明：根据i t 5 ，s 公式，可得 d z t = 以墨出+ 狮和i i 并且 垫d t ：警：壹霹 一= - - = 出 厶一r 那么信号观察过程可以被表示成： i删= 盹x t d t + 诉函夙，i = l 川2 一，n ， l nn 卜2 i = 1 m 瑚善赝蚺d w t ， ( 2 2 ) i d z , = 胁x t d t + 瓶i u 嘶i 易见( 2 2 ) 是一个特殊的奇异滤波模型对于任一名 0 ，我们有超平面 尥：= z 时：一= z ) 因为垒1 雹= 磊，所以最优滤波巩被支撑在地上，也就是说丌t ( 地) = 1 根据前面的 定义和记号，可得 试= p ( 五) 出+ 瓶e t 删 ：( 击戳m i = 1 ( 啪砺1 妇孵奢厕q 3 而且因为西砰= r 忙t ，a j n ( 霹) d 彰，磊= ( z ) + b t ，因此台d = w o 并且我们可以把布朗 运动b o = 1 ，2 ，n ) 表示如下： d 霹= 董k 州训钟+ 薹聊扣1 2 ，= l i一 所以( 2 3 ) 又可以表示为 试= ( 去印( 五) + 卢( 托) ) 出+ 砺1 百厄删+ ；邑瓶删 ：击泓+ 矗c 五，出+ 喜喜七俪d 毒：骞差白删q 4 由于 慨- 五一赤百( 五一z o ) ， 1 那么根据( 2 4 ) 和定义，慨满足取值在超平面上的随机微分方程： 砒= 面) 出+ n - 1 喜址压白磺+ 壹差弓孵j = l k = lj = 1 一 = 豇( 慨，z t ) d t + 晚( 慨，磊) d 钟+ 0 ( 慨，z t ) d w 2 = 豇( 愧，z t ) d t + m ( 慨，磊) d b ? + c ( a ，五) 讥亿 而观察过程( k ，互) 又可以表示成： d k = 左( 概，z d d t + 、刎+ d w t ，d z t = 声( 慨，z t ) d t + 、聊 妣= 以互皿+ m k 石) d 研+ 以引d 吼， ( 2 5 ) i 疵= o ( 慨，z , ) d t + 戒， 其中c c 慨，邑，= ( 铂c 倪，磊，。) 是一个n 2 矩阵，玩= q 一1 ( 薹) 是一个二维的观 j 武口= 式= 霉 + 一，+ 一，+ 由于( 2 5 ) 是一个经典的滤波模型，它的最优滤波是支撑在超平面 根据k m i 1 n e r - f k k 方程，我们可以得到模型( 2 5 ) 的最优滤波阢的方程：对所有，c 2 ( m z o ) 有 i * t，l ( 阢，”= ( u o ，力+ ( 以，l f ) d s + ( ( 玩，v f c + y h o ) 一( 玩，) ( 以，h o ) ) d ( 2 6 ) j 0j 0 其中 h = 或一( 以，胪) d s ， 是一个二维的布朗运动，而 n n z f = 专尚，+ f t t a i f ， 。i j = l i o = ( a i j ) 是满足o = c c - 4 - m m + 的凡n 的矩阵 根据慨的定义，五的最优滤波应满足 例：假设 那么我们可以得到 几( ) = 阢( 一n - l 2 百( 五一绚) ) ， 亡 0 i = 1 ，2 ， 低驴壶1 2 ；) ，历= 耐憾 ( 五) = m ( r n ，z t ) = 1 ( 心，乙) = c c 慨，磊，= ( 铂c 拖，互，。) 5i ii 2 ；，三) ， 也( 慨，历) = ( 互1 1 一k ；一丢( 五一，一三圪；+ k ；+ 五1 z o ) ( 五一而) ) + ， 也( 慨，历) = 互一k ；一者( 五一，一壹圪；+ k ；+ 五( 五一而) ) + ， q = ( 搓旷= ( 三妗 州啪，= ( 澍慧裳笺剐) ， 霹= 岛，w , o = 所 这样我们得到滤波方程： ，tt t ( 阢，) = ( ，) + ( 阢，l f ) d s + ( ( 阢，v + f c + f h o ) 一( 以，) ( 阢，九0 s ) ) d 垤， 凸 研 嚣 如 + 哦霹 鹭 纨 其中 耥一卜，= ( 澍篙：裂二剐卜眺， 是二维的布朗运动， l f = 去码，+ 盘, a i f ， 而亿礼矩阵a = ( a o ) 满足 ( 生= 叠2 ：兰( 盛! ! f 圣二鱼丛生! 丝( 圣= 鱼丝 a 。( 一f 五= 叠2 1 生f 五! ! i 鬈二鱼丛生! 丝f 圣= 鱼1 2 4 磊 2 2 数值方法求解 由于滤波模型( 2 5 ) 是非线性的，我们只能用数值逼近的方法来近似它的解我们用分 支粒子系统来逼近最优滤波仉注意到因为z o 是观察不到的，所以在时间亡= o 时慨的最 优滤波阢是不连续的因此我们需要找到砺在坛最初概率测度，因为伽= x o ，我们可以 假设x o 的分布在r n 上有连续的密度分布亓o 引理2 1 假设是在条件玩= z 下的条件概率分布，即 矾( 如) = p ( x o 如i z o = 名) 那么 现( 如) = p ( z ) 已( 出) ， 其中已是在超平面尬l 的l e b e s g u e 测度， 烈2 赫 证明：对于任一定义在时上的一个测试函数砂和r 上的一个b o r e l 集合d ，我们有 e ( ( x o ) l z o d ) = ( z ) 1 d ( z 1 + + 一) 亓0 ( z ) 如 ：兢m 删z q - 取定妒 ) 兰1 ，可得 因此 p ( 而e d ) = 上厶亓。( z ) 已( 出) 兆 e ( 毋( 凰) 1 2 0 d ) = e ( e ( 砂( x o ) l z o ) l z o e o ) = 加( x o ) l