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二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 摘要 随着科技的发展，在自然科学和工程技术的研究中，微分方程有 着越来越广泛的应用但生产实际和科学研究中遇到的微分方程，在 很多情况下都无法给出解的表达式，因此其离散后所得的差分方程往 往更具有应用价值近年来，对于方程解的振动性和非振动性的研究 引起了人们的广泛关注 本文我们将研究如下二阶非线性混合型差分方程 ? ( 以一p 。x n 一，) + z ( n ，x a l ( n ) ) 一f 2 ( n ，工屯抽) ) = 0 ( 1 1 ) 其中“”表示前差分算子，民p a x n = 毛“一矗；t p 。) 为实数序列；f 为正整数； 呸( ，1 ) 为正整数序列，_ h l i n 2 = 一，= ；z ：。) 一 ， = o ，o + ，】，z ( ，l _ ，工c r ) i ( 关n ) 于工连i 续，1 , 2 且当工n ( 时n r r n ( n o ) nn10， 有顼( ，l ，力 0 ，f = 1 , 2 本文主要讨论了二阶非线性混合型差分方程，即带正、负项的差 分方程非振动解的存在性我们利用b a n a c h 压缩映射原理和离散的 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，对中立型项系统的四种分布情形给出了方 程存在最终正解的存在性定理 在本文中，中立型项系数p 。的四种情形如下： ( i ) 0 p 。p 1 ，( i i ) 一1 p p 。0 ， ( i i i ) 1 p l p 。p 2 ，( i v ) p l p 。p 2 0 满足l 妒一条件 且 五( ，l ，“) 一z ( n ，1 ，) i q f ( ，1 ) l u v i ，q f ( ，1 ) 0 ，i = 1 , 2 ( 1 2 ) o n + 1 ) q f ( s ) 0 ，使 ( s - n + 1 ) z ( s ，6 ) 一，i = 1 , 2 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 定理2 1 设方程( 1 1 ) 满足条件( 1 ) 和( i ) ，则方程( 1 1 ) 有一 个有界正解 定理2 2 设对于方程( 1 1 ) ，条件( 2 ) 和( i ) 成立，则方程( 1 1 ) 有一个有界正解 定理2 3 设方程( 1 1 ) 满足条件( 1 ) 和( i i ) ，则方程( 1 1 ) 有一 个有界正解 定理2 4 设对于方程( 1 1 ) ，条件( 2 ) 和( i i ) 成立，则方程( 1 1 ) 有一个有界正解 定理2 5 设方程( 1 1 ) 满足条件( 1 ) 和( i i i ) ，则方程( 1 1 ) 有一 个有界正解 定理2 6 设对于方程( 1 1 ) ，条件( 2 ) 和( i i i ) 成立，则方程( 1 1 ) 有一个有界正解 定理2 7 设方程( 1 1 ) 满足条件( i v ) 和( 1 ) ，则方程( 1 1 ) 有一 个有界正解 2 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 定理2 8 设对于方程( 1 1 ) ，条件( i v ) 和( 2 ) 成立，则方程( 1 1 ) 有一个有界正解 关键词：混合型差分方程，中立型项，振动性，非振动性 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i sm o r ew i d e l y a p p l i e di n n a t u r a ls c i e n c ea n de n g i n e e r i n g t e c h n o l o g y w h e r e a s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n f a c e di nt h ep r o c e s so f p r a c t i c a lp r o d u c i n ga n d r e s e a r c hc a l ln o tb es o l v e di nm a n yc i r c u m s t a n c e s t h e r e f o r e ，d i f f e r e n c ee q u a t i o nh a sm o r ea p p l i e dv a l u e i nr e c e n ty e a r s ， o s c i l l a t i o na n dn o n - o s c i l l a t i o no fs o l u t i o no fe q u a t i o nd r a wm o r e a t t e n t i o n i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rm i x e d d i f f e r e n c ee q u a t i o n a 2 ( x 。一p n 。) + 五( ，l ，h 0 f o ra l lx 0 ，i = l ，2 i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h en o n - o s c i l l a t o r y s o l u t i o nt ot h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rm i x e dd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，i e t h e d i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v et e r m o nt h eb a s i so ft h e b a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l ea n dt h ed i s c r e t ek r a s n o s e l s k i i s f i x e dp o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fe v e n t u a l l y p o s i t i v e 4 三堕! ! 垡竺望全型差坌查堡j ! 堑垫堡堕查垄竺 _ - _ _ _ _ 一。 s o l u t i o no ft h ee q u a t i o nf o rt h ef o u rt y p eo fd i s t r i b u t i o ns i t u a t i o no ft h e n e u t r a lt e r m ss y s t e m i nt h ep a p e r , w i t hr e s p e c tt oc o e f f i c i e n tp 。o f t h en e u t r a lt e r m ， w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gf o u rc a s e s ： ( i ) 0 p 。p 1 ， ( i i ) 一1 p p 。0 ， ( i i i ) 1 p l p 。p 2 ， ( i v ) p l p 。p 2 0s u c ht h a t o 一，l + 1 ) 丘o ，6 ) 0 ，i = 1 , 2 对于方程( 1 1 ) 我们假设有如下条件之一 ( 1 ) 在某个区域0 x 0 ，6 】，其中b 0 满足“p _ 一条件 i z ( 疗，“) 一z ( n ，1 ，) 区q f o ) i u y l ，q f ) 0 ，i = 1 , 2 ( 1 2 ) 目 ( j n + 1 ) q f ( s ) 0 ，使 7 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 ( s - n + 1 ) f i ( s ，6 ) 0 为实常数， 吼) 为正实序列；i t , t l r ，n 。是给定 的非负整数，且f 1 申建华在文献 2 2 】中研究了较一般的方程： ? ( j 一p 。j 吒f ) - q 。工。一口= 0 ，l n o 解的振动性，其中p 。0 ，推广和改进了文献【2 5 】的结果韩振来，孙 书荣在文献 2 3 】中用不同的方法研究了具有多变时滞量的二阶中立 型差分方程： ? ( 一n ( ，1 ) 工( ，l 一乃) ) 一q ( n ) x ( n - a j ( n ) ) = o ，n n o i = 1 j = l 解的振动性，其中p 。) ( 扛1 ，2 ，1 ) ，q ，( ，1 ) ( j = 1 , 2 ，s ) 是非负实数； 曩( f = 1 , 2 ，m ) ，仃，( 咒) ( 歹= 1 ，2 ，j ) 是非负整数杨甲山，刘琼在文 献 2 1 1 中研究了更为广泛的一类二阶非线性中立型时滞差分方程： ? ( 一p f ( ，1 ) 工( ，z q ) ) 一q ( n ) f ( x ( n 一仃) ) = 0 ，n n o i = i 正解的存在性和振动性其中 p 。( 哟! ( f = 1 ，2 ，m ) ， q ( n ) 1 均为非负 实数序列，q ( 扛1 , 2 ，m ) ，盯是非负整数；m 是给定的自然数 本文我们将研究的方程是混合型，即含有正、负项的差分方程 ( 1 1 ) 的最终正解的存在性，通过构造适当的映射，应用b a n a c h 压 缩映射原理和k r a s n o s e l s k i i 不动点定理给出了其最终正解的存在性 r 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 定理 在本文中，将中立项系数p 。分为如下四种情形： ( i ) 0 p 。p 1 ，( i i ) 一1 p p 。0 ， ( i i i ) 1 p l p 。p 2 ，( i v ) p l p 。p 2 0 ；差分方程的解 毛 称为最终负的，是指如果 存在正整数，使得当n n 时，有x n 0 ，使得膨。 0 ，使得m l 口 o ，i = 1 , 2 ，及( 1 3 ) ， 所以存在正整数n 。，使得当，l 时，有 o - n + 1 ) i a ( j ，k ) 一五( 文k ) l b c 如下 陬) ( n ) ： 斛玩毛一+ 萎( $ - - n + 1 ) 虢，) - 艇岛j ) ) ) 腔强 【( 2 冀) ( ，l i ) 1 0 ，l n l 对每一个j q ，当聆l l o ，由( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，我们有 ( 戤) ( ，1 ) 口一c m 2 口一_ o - ；匠m 一1 m z 2 m - ， 陬砌) s 口+ 川z + 洲2 _ c t + p 肘：+ 坠半m ：= m z 所以丁q c q 以下证明r 是q 内的一个压缩映射对任意工，y q ，由已知条 件( 1 2 ) 和( 1 3 ) 得 i ( a ) ( ，1 ) 一( 巧) ( ，1 ) l p x n - t - - y n - r + 妻( j n + 1 ) 壹i 五( s , x c r t ( s ) ) 一工( s ，) ，诉。，) i ，= 2 ni = i 2 ( p + ( s 一，l + 1 ) 譬；( s ) ) i k y i l j 。i = 1 ( p + 2 c ) l i 工一y l j p y i 以u t x 一珂0 s ( p + 2 c ) u x y l l 1 0 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 由( 2 1 ) 可得0 0 ，存 在充分大的，当，l n 时， m n n ，不妨设m n n 时， i ( 死y ) ( ，1 ) 一( 瓦) ，) ( n ) l 有萎( s - n + 1 ) 工( s ，功 三，于是当，2 有 = ( s m + 1 ) ( f 2 ( s ，y 吒( ，) ) 一f l ( s ，y 巩( ，) ) ) 一妻( s - n + 1 ) ( 厶( 叫啪) ) - 工( 蹦啪) ) ) i，5 ni 2 薹( + 1 ) ( 舯肋+ 肿沏) 4 三2 故有瓦在q 上是一致柯西的，又易知瓦在q 上一致有界，由离散的 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理可知，映射互+ 死在q 上存在一个不动点， 即 毛= ( 五工) ( ，1 ) + ( 瓦工) ( ，1 ) = o t + p 。x n f + ( s n + 1 ) ( f 2 ( s ，x a 2 ( ，) ) 一l ( s ，工电( ，) ) ) ，n n o 易验证满足方程( 1 1 ) ，由q 的定义，知m l x n m 2 ，n n o 则 此就是方程( 1 1 ) 的一个有界正解定理2 2 证毕 定理2 3 设方程( 1 1 ) 满足条件( 1 ) 和( i i ) ，则方程( 1 1 ) 有一个有界正解 证明设空间b c 和它的子集q 同定理2 1 的证明中所定义，取 m l ，m ：，口满足如下关系： 1 3 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 令 0 m l p m 2 口 m 2 b ， c = 酬半，竺瓮些j ( 2 5 ) 由假设条件o n + 1 ) q 。( j ) 0 ，i = 1 , 2 所以存在正整数，l t i z o ，使得 当n n l 时，有 ( j n + 1 ) l f 2 ( s ，j 吒( ，) ) 一工( j ，( ，) ) i c 膨： ( 2 6 ) 在集合2 上定义映射t ：q b c 如f ( 酬n ) ：p 印 萎。哪“) ( 以砖) - f l ( s x o q ( s ) ) ) 腔仇 【 ( z x ) ( n 1 ) ，l o ，l ，l l 对每一个工q ，并e n l l o ，由( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，我们有 ) 口+ ：一洲：口+ 彬：一生半m ：= m 。， ( 戤) ( n ) 仃+ c 肘：口+ 丝蔷予m ：= m ： 所以丁q c q 我们现在证明z 是q 内的一个压缩映射对任意五y q ，由已 知条件( 1 2 ) 和( 1 3 ) 得 l ( a ) ( n ) 一( 巧) ( ，z ) i 一p l _ 。一y 。一，i + o 一，l + 1 ) l z ( j ，工西( ，) ) 一z ( s ，y t q o ) ) i j = ni = l 2 ( 一p + ( j n + 1 ) q ，( s ) ) 8 x 一) ，0 ( 2 c p ) l l x y lj 1 4 口一 等 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 i i t x r y l f ( 2 c p ) l l x y l l 由( 2 5 ) 可得0 2 c p 1 ，所以r 是q 上的一个压缩映射于是由 b a n a c h 压缩映射原理可知，映射2 1 在q 中存在唯一的不动点，即 以= ( a ) ( ，1 ) = 口+ p 。- f + o 一，l + 1 ) ( ，2 ( j ，) 一z ( s ，( j ) ) ) n n 。 易验证毛满足方程( 1 1 ) ，由q 的定义，知m l x n m 2 ，n n o 所 以此毛就是方程( 1 1 ) 的一个有界正解定理2 3 证毕 定理2 4 设对于方程( 1 1 ) ，条件( 2 ) 和( i i ) 成立，则方程 ( 1 1 ) 有一个有界正解 证明设空间b c 和它的子集q 同定理2 1 的证明中所定义，取 m l ，m 2 ，a 满足如下关系： 0 m l p m 2 口 0 ， 存在充分大的，t i f f i n 时，有萎( s - - n + 1 ) z ( 凡功 n n 时，有 i ( 瓦) ，) ( m ) 一( 瓦y ) ( ，1 ) i = l ( j 一，以+ 1 ) ( ( s ，) ，吒( 力) 一 ( s ，y 嘶( ，) ) 一( s n + 1 ) ( 五( s ，y , r 2 ( s ) ) 一工( j ，y a l ( , o ) ) l 2 薹( + 1 ) ( 纳+ 胂) 4 丢2 1 6 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 即：瓦在q 上是一致柯西的，且易知瓦在q 上一致有界，由离散的 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理可知，映射互+ 瓦在q 上存在一个不动点毛， 即 x n = ( 正工) ( ，1 ) + ( 死工) ( ，1 ) = 口+ p 。f + ( j n + 1 ) ( ，2 ( j ，( ，) ) 一z ( s ，x m ( ，) ) ) ，n n o 易验证毛满足方程( 1 1 ) ，由q 的定义，可知m l x n m 2 ，n n o 则 此毛就是方程( 1 1 ) 的一个有界正解定理2 4 证毕 定理2 5 设对于方程( 1 1 ) 满足条件( 1 ) 和( i i i ) ，则方程( 1 1 ) 有一个有界正解 证明设空间b c 和它的子集q 同定理2 1 的证明中所定义，取 m l ，m ：，口满足如下关系： 令 0 ( p 2 1 ) g i 口 ( p l 一1 ) 肘2 ，且m 2 b c = 酬字，警， 卷型， 亿9 ， 由假设条件( s n + 1 ) q ，( j ) b c 如下 ( 2 1 0 ) 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 i j l + 玉生 m ：严”以： 以弛1 陬力2 1 + 云，黔+ 1 ) ( 胎m 训) 刀d h 【 ( a ) ( ，1 1 ) n o ，l 0 ，i = 1 , 2 我们有 似) 旦p 2 + i n i 一去谢z p ：罢+ 瓦m 1 一i 1 生兽兰堕m ：p z = m m2 p 2 - p 2p 2p 2p 2p 2 c n ，2 署+ 鲁+ 去谢：p ：詈+ 鲁+ 击亟翟m2 丝p t 竺m z p - = 膨：p lp 1p lp lp lp 1 所以r q c q 我们现在证明丁是q 内的一个压缩映射对任意x ，y eq ，由已知条 件( 1 2 ) 和( 1 3 ) 得 i ( 戤) ( ，1 ) 一( 巧) ( ，z ) l ( i 毛+ ，一y n + f i + ( s - n - r + 1 ) i z ( s ，) 一z ( 州们) ) 1 ) 上7 1 j 2 n + fi = l 2 ( 1 + ( s 一玎一f + 1 ) q ，( s ) ) 0 石一y l i s = n + f i = 1 _ - - 1 ( 1 + 2 c ) 0 x - y l l p i 所以l 盼一巧忙去( 1 + 2 c ) 忙一y i i f h ( 2 9 ) 得，0 1 + 2 c 1 所以丁是q 上的一个压缩映射于是由 p l b a n a c h 压缩映射原理可知，映射丁在q 中存在唯一的不动点吒，即 x n = ( 乃【) ( 聆) 1 8 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 = 罟+ 导+ 士妻( s n f + 1 ) ( 五( j ，) 一，2 ( 蹦啪) ) ) ，n n 。 p + fp n + fp n + fj 兰：f 叫 哪吖 。 易验证毛满足方程( 1 1 ) ，又根据q 的定义，我们可知m i m 2 ， ，l n o 所以此矗就是方程( 1 1 ) 的一个有界正解定理2 5 证毕 定理2 6 设对于方程( 1 1 ) 条件( 2 ) 和( i i i ) 成立，则方程 ( 1 1 ) 有一个有界正解 证明设空间b c 和它的子集q 同定理2 1 的证明中所定义，取 m 。，m 2 ，口满足如下关系： 0 ( p 2 1 ) 膨l 口 ( p l 一1 ) m 2 ，且膨2 6 令 一幽t 警mp，訾mp 亿 2 2 。 2l 、。 由条件( 1 4 ) 得，存在充分大的n 。n 。，使得当n n ，时，有 ( j 一，l f + 1 ) 五( s ，6 ) c ，i = 1 ，2 ( 2 1 2 ) 在r al - _ 定义映射t i ：q b c ，正：q _ b c 如下： c 删加j 景+ 苦腔仇， 【( a ) ( ，1 1 )n o n 0 ，存在充分大的，当疗n 时，有o 一疗一f + 1 ) 五( s ，易) n n 时，有 i ( t 2y ) ( m ) - - ( t 2y ) ( n ) i 2 l 去，耋，m 一州m ( s , y a 。o ) ) - - 肿) ) 一去 - ，( s - n - z + 1 ) ( ，l ( s , y q t ( s ) ) _ 以以y 咖) ) ) i 1i 2 1 p 一主( s - n - r + l m 卅肿期) 云吾 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 从而瓦在q 上是一致柯西的，且易验证疋在q 上一致有界由离散的 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理可知，映射互+ 死在q 上存在一个不动点毛， 即有 x n = ( 正x ) ( ，1 ) 4 - ( 瓦工) ( ，1 ) = 去口+ 去+ 去，奏s - n - f + l m “) ) - 肿嘶j ) 其中n n 。易验证毛满足方程( 1 i ) ，根据q 的定义，我们可知 m 。毛m 2 ，n n o 则此毛就是方程( 1 i ) 的一个有界正解定 理2 6 证毕 定理2 7 假设对于方程( 1 i ) 满足条件( i v ) 和( i ) ，则方程 ( 1 i ) 有一个有界正解 证明设空间b c 和它的子集q 同定理2 1 的证明中所定义，取 m 。，m ：，口满足如下关系： 0 m 2 一p l m l 口 0 ，i = 1 , 2 ，及( 1 3 ) ， 所以存在充分大的正整数n 。n o ，使得当n n 。时，有 ( s 一，l r + 1 ) i f 。( s ，y 毋( ，) ) 一，2 ( s ，y 吒( ，) ) i c ( 2 1 4 ) 在集合q 上定义映射r ：q - b c 如下 2 1 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 i 一( 盯一毛+ f m j 以_ = ，z 狐 a 功2 1 + 主( j n f + 1 ) ( 厶( j ，( 一一五( s ，h ( ) ) “一1 【( 戤) ( ，1 1 )n o n n 1 对母一个工s 2 ，开且，l n o ，田( 2 1 3 ) 利( 2 1 4 ) ，我俐有 ( 黝( ，z ) 一去 一m ：一c ) m t ，( 戤) ( n ) 一吉( 口一m t + c ) 肘：p lp 2 所以丁q c q 我们现在证明r 是q 内的一个压缩映射对任意五y q ，由已 知条件( 1 2 ) 和( 1 3 ) 得 l ( 2 x ) ( ，1 ) 一( 7 ) ，) ( ，1 ) f 一( k ，一y n - , - i + ( s - n - r + 1 ) i ( j ，) 一z ( 叫啪) ) i ) a 2 j = n + f i - l 1 2 一( 1 + ( s 一，l f + 1 ) 吼( j ) ) 0 工一y l j 1 1 2 侧+ fi = l 一去( - 化忙y o p f f 以l l z x d p 去( 1 忆忙y o 由( 2 1 3 ) 得，0 一1 + 2 c _ n o 易验证工满足方程( 1 1 ) ，又根据q 的定义，我们可知m x m ， 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 n 所以此就是方程( 1 1 ) 的一个有界正解定理2 7 证毕 定理2 8 假设对于方程( 1 1 ) 条件( i v ) 和( 2 ) 成立，则方 程( 1 1 ) 有一个有界正解 证明设空间b c 和它的子集q 同定理2 1 的证明中所定义，取 m 。，m 2 ，口满足如下关系： 令 0 m 2 一p l m t 口 m 1 一p 2 m 2 ，且肘2 b c = m i n f z q - m l p l m 2 ，m l p 2 m 2 一口】 ( 2 1 5 ) 由条件( 1 4 ) 得，存在充分大的n 。n 。，使得当n ，l 。时，有 ( s 一疗一r + d f , ( s ，6 ) c ，i = l ，2 ( 2 1 6 ) j 2 + f 在q 上定义映射互：q b c ，互：q b c 如下 佤坝n ) ：- 去( 弘k ) 腔m ， 【( 觋) ( ，1 1 )，l o n n l ( 驯( n ) ： _ 去，薹，n 一川胍 y 圳一肿以) ) n 狐 【 ( 巧) ( ，1 1 ) n o 肛 0 ，存在充分大的，当，l n 时，有o 一，l f + 1 ) 五( s ，易) n n 时，有 i ( 疋_ ) ，) ( m ) 一( 瓦) ，) ) i = 卜云1 ，未，z 一川炳( s , y a ：o ) ) - - 舯， 十上p n + r 。( s - - n - - r + 1 ) ( ，2 ( 叫啪) ) _ 五( 啪) ) ) i 2 - j 胁岁- ( s - n - r + l m 卅肿) 一云三 0 对x 0 ，可改为工( 以，0 ) = 0 其它条件不变， 相应的定理结果也成立 3 几个例子 2 ( 以一学铀) + 筹矗：一南矗。= 。 ， 其中p 。= 坠警生，纠，啪m + 2 ，吒( 加州， 胸= 筹一胁= 丽2 一 “旷警，q 2 ( 加丽2 4 我们选取m i = 1 ，m 2 = 2 ，n o = 1 对于任意的h ，1 ，q ，有 i 五( h ) 一五( v ) i = l 予器( u 3 - - i , , 3 ) i 羔堑三警l “一v | ， a ( n ，“) 一a ( n ，l ，) i = ( “3 ) | 雨2 4 尹卜叫 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 萝- ( s - n + l = 妻( s - n + 1 ) 鼍等j 2 n5 2 h ” 、o - - ， 2 4 萎c j n + ，专 一， 、 7 一j j 2 h 口 岁一- ( s - n + l 蛐) _ 妻，。( s - n + 1 ) 斋一 j=，2n 、o - o ， 对于儿：( n - - 1 ) ( r n 2 一+ 1 ) ，当，l l 时，有0 以p 1 n 这样满足定理2 1 的条件，因此方程( 3 1 ) 在，l 1 时存在一个有界正 解事实上，：1 + 三就是这样的一个解 显然，z ( n ，力，i = 1 , 2 ，关于工单调不减，且 萎c 邶拍圆= 艺一( s - n + l ，孳警 5 4 艺，。( s - n + 1 ) 1 j 一 芝一( s - n + 1 ) f 2 ( s 3 ) = 5 4 萎。啪“i 南扣 ，2 j 2 n、- ， 显然，这样也满足了定理2 2 的条件 例2 考虑差分方程 2 ( + i 2 x 。- 1 ) +暑等等矗 2 ( ( ，z + 1 ) 3 + 1 ) 3 ” 一与磐架芸笔磐矗：o ( 3 2 ) 2 ( ( n 一1 ) 3 + 1 ) ( ，l + 2 ) 3 、。 其中以= 一三1 ，f = 1 ，q ( ) = ，z + 1 ，c r 2 ( 聆) = n - - 1 ， 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 工cn，m，=互石j3i(ni而+1)6“3，五cn，“，=玉竺j麦芸；!；：；i?笔静“3， 9 。( 疗) = i 黼，曰：(，z)=6(n-iili)6二(面2了(nj-j61)i3石+_i(nr+2)3)， 我们选取肘l = 1 ，m 2 = 2 ，n o = 3 对于任意的“，v q ，有 i f , ( n , u ) - 五c ，z ，v ，i = i 互瓦瑞c “3 一v 3 ，i i 黼卜一v i 胁沪胁i = i 笺署高警铲刮 6 ( n - ( ( 聆1 ) 一6 ( 1 2 ) ( ，n - 1 1 ) ) ，3 ( n + ( n 2 + ) ，2 ) 3 ) 4 - - 1 - i “一叫 ( ( 聆一1 ) 51 ) 3 2 ) 3 薹( 卜肼聊，= 妻，。( s - n + 1 ) 蒜，2 nj 2 研、1 ，1 ， 鲋8 萎c 卜肼，南，2 n、， 妻( s - - n + l 娩= 萎c 卜斛t ，譬筹篙辫j 2 ，号ho1 ，1 ，、o o ， 螂薹c 南 一 这样满足定理2 3 的条件，因此方程( 3 2 ) 在n 3 时存在一个有界 正解矗事实上，毛= 1 + 嘉就是这样的一个解 显然，工( ，l ，曲，i = 1 , 2 ，关于工单调不减，且 羔( s - n + l 胤啦卜艺( s - n + l ，笺鬻筹辫 鲥2 薹c 卜肼- ，南一 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 薹( + 1 ) 肿，2 ) = 萎( + 1 ) 耥 屹岁一- ( s - n + 1 ) 毒酽一 显然，这样也满足了定理2 4 的条件 例3 考虑差分方程 2 c 一2 u + 嚣卷- 一高篆- = 。 3 ， 其中p 。= 2 ，f = 1 ，呒) = n + 1 ，吒( n ) = n - 1 ， 触= 嚣nn 卷以 。i十z ， 、4 ( n 1 、 q l ( n ) 2 磊。r l , 再t t t 酉1 1 n ，l 一十z 五( n ，“) = 石面4 ( n 丽- 1 ) 口z ( 咒) = 石j 8 ( 再n - 石1 ) 面 我们选取m 。= 丢，m ：= 1 ，咒行。= 3 对于任意的“，1 ，q ，有 i z ( n , u ) - 五c n ，v ，l = i 端c “2 一v 2 ，l ；三卷陋一v i f z ( n ，“) 一f a n ，l ，) i = ( “2 ) l 而虿8 ( n - 石1 ) 而卜y i 萎c j n + c j ，2 萎。一，z + 1 ) ；苦卷4 萎。一n + - ，； 岁一 ( s - - n + l 舭，= 萎c 峋若筹 j = n，= n、o o ，o 、oo ， 8 萎c 邶南 一 这样满足定理2 5 的条件，因此方程( 3 3 ) 在n 3 时存在一个有界 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 正解事实上，：1 一三就是这样的一个解 显然，z ( 咒，工) ，i = 1 , 2 ，关于x 单调不减，且 艺，；。( s - n + 1 ) ，j ( s ，2 ) = ，；。( s - n + 1 ) ：；：；去8 艺，：。( s - n + 1 ) 1 j 。 ，。( s - n + l 胤啦户一( s - n + l ，芒篙 $ 啦 ，2 n 、o o ，”、o - 1 ， 鲥6 艺( s - n + l 瓦b 一，2 np o ， 显然，这样也满足了定理2 6 的条件 例4 考虑差分方程 2 ( 矗+ ；n 五- i ( 2 + i i + 砉) 一) + 言等：一堕生等业矗。= 。 ( 3 4 ) 其中 以一雕n 一- 2 1 ( 2 + i 1 + 1 ) ，仁1 ，q ( n ) = ，l + 2 ，呸( ，1 ) = n + 1 ， 胸= 器一伽= 芈删= 等等， 以加塾笋 我们选取m 。= 三，m ：= 1 ，l = 2 对于任意的u , v e q ，有 i 工( ，z ，“) 一五( n ，v ) l = l 丽2 n + 3t “2 一y 2 ) l 丽2 ( 2 n + 3 ) 卜一v i i ( “) 一厶( n ，v ) j = l 鱼竺掣( u 3 - - v 3 ) l 三尘! 三产卜一v i 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 薹。一n + c j 卜妻，。( s - n + l ，专筹铲6 萎c s n + t ，专 一 萎。一，z + ) 鼋：( j ) = 薹( s n + - ) 墨型笋8 薹。一n + ) 吉 一 这样满足定理2 7 的条件，因此方程( 3 4 ) 在咒2 时存在一个有界 正解事实上，毛：1 一三就是这样的一个解 显然，a ( n ，j ) ，i = 1 , 2 ，关于工单调不减，且 薹c 邶胎力= 艺一( s - n + l ，筹铲8 萎c 删南 一 ，5 月2 h 、o - ， ，2 硐 、o 1 ， 艺，。( s - n + 1 ) 工( s ，2 ) = 羔，。( s - n + 1 ) 墨堡生笋 螂薹c + d 专 o o 4 8 y ( j 一，l + 1 ) 去 o o _ 一、 7 一， j = 口 显然，这样也满足了定理2 8 的条件 二阶非线性混合型差分方程非振动解的存在性 参考文献 1 e t h a n d a p a n i ，k r a v i ，o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rh a f t - l i n e a r d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa p p l i e dm a t h 1 e t t e r s1 3 ( 2 0 0 0 ) 4 3 - 4 9 2 z g 【z h a n g 1 l z h a n g o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n do r d e rf u n c t i o n a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h “s u m m a t i o ns m a l l ”c o e f f i c i e n t c o m p m a t h a p p l 3 8 ( 1 9 9 9 ) 2 5 3 1 3 c h e nm p ，l a l l ib s a n dy uj s ，o s c i l l a t i o ni nn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n c e e q u a t i o n s w i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s ，c o m p u t e r s m a t h a p p l i c 2 9 ( 3 ) ( 1 9 9 5 ) 5 1 1 4 w t l i ，o s c i l l a t i o no fc e r t a i ns e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 2 1 7 ( 1 9 9 8 ) 1 1 4 5 s h s a k e r , o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n c e e q u a t i o n s b u l l k o r e a n m a t h s o e 4 0 ( 2 0 0 3 ) n o 34 8 9 5 0 1 6 z h a n gb ga n dz h o uyj o s c i l l a t i o no fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h s e v e r a l d e l a y sc o m p u t e r a n dm a t h e m a t i c s w i t h a p p l i c a t i o n s ，4 4 ( 2 0 0 2 ) 8 1 7 8 2 1 7 z h a n gz gc h e n j fa n dz h a n gc so s c i l l a t i o no fs o l u t i o n sf o rs e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rn e u t r a lt e r m c o m p u t e r a n dm a t h e m a t i c s w i t h a p p l i c a t i o n s 4 1 ( 2 0 0 1 ) 1 4 8 7 1 4 9 4 8 l i 彤ro s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rs e