（基础数学专业论文）一些脉冲泛函微分方程解的稳定性与周期性.pdf

- i l -湖南师范大学硕士学位论文 的正周期解的存在性，分别得到了一些充分条件 关键词；脉冲；时滞；中立型；渐近稳定性；一致渐近稳定性 重合度理论；正周期解 o 2 a b s t r a c t i nt h i sp f 巾e r 】w es t u d yt h e 氇s y m p o t i e8 t a b i i i t yf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d p e r i 。d i cs 。l u t i o n so fp o p u l a 七i o nm o d e l si n f l u e n c e di 】y j m p u l s e 8 i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ea s y m p o t i cs t a b i l i 哆f o ri m p u l 8 i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t j 。n ： 、 iz ) = ，( ，孔) ，t o ： l z = ，k ( ，z ( t ) ) ，= t ，七z + a l l de s t a b l i s ht h ca s y m p o t i cs t a l ) i l i t yt l l e o r e m sa n dt h eu n i f o r m l ya s y i l l p o t i c s t a b i l i 略t h e o r e m so f z e r os o l u t i o n so ft h ei i n m l l s i v ef u n c t l o i la 1d i h 臼e n t i 越e q u 孙 t i o n ，t h et h e o r e n i se x t e n do ri m p r 。v et 1 ef o r m e rr e s u i t 8 b yu s i n gt h em e t h o do fc o i n c j d e n c ed e g r e e ，i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l t i t i o no fp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hi i n p l j l s e s 姐di n 矗n i t ed e l a y ： f 州( ) = m ( ) f 6 ( 印一f 。伪阮”) 1 ( “) 氘一。n ( ，“) ( u ) 托) ，。t ， jm ) = a 7 2 ( ) 一6 2 ( t ) + ，三。d 2 ( t ，u ) - ( u ) d t t ， t “， l ( t 女) = m ( 砖) 鹏( 石) = 一k j v ，( t ) ，女一l ，2 ，一，m ， 【2 ( t k ) = 地( t ) ，2 ( t i ) = 一 2 飓) ，一l ，2 ，m ， i nd l 瓢p t e rf o u r ，w es t u d yt h ee x i 8 t e n c ea n dg l o b 出a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e p o s i t i v ep e r i o d l cs 0 1 u t i 。no fal o t k a r v b i t e r r as y s t e mw i t hd e l a y sa n di i l l p u l s e s i 尘妒：扶( ) 陬( t ) 一啦( ) m ( t ) 一妻釜n 州( t ) 珊。一q 。 ) ) t t k ， 1耋j ：舶s ) 啪怕) 出j 脏”一p 1 【玑( t k ) = 弘( f 吉) 一玑( k ) = 6 。k 玑( “) ，i = l ，2 ，n i nc b a p t e r 矗v e ，碍s t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s j t i v cp e r i o d i cs o l u t i o no fai m p u l s i v en e u t r a ln l o d a lo fs i n g l e s p e c i e sp o p u l a t i o ng r o w t h ： ( t ) =。( t ) 陋( t ) 一b ( t ) 茁 ) 一q ( ) z ( 亡一n ( 亡) ) 一卢0 ) ，0 下七( s ) z 0 + s ) d s 一7 0 ) 。7 ( 一勺( ) ) 】，靠， z ( t 吉) = ( 1 + 6 ) z ( “) ， 七一1 ，2 湖南师范大学硕士学位论文 a n d r e 8 p e c t l v e l yo b t a i ns o m en e ws 衄c i e n lc 。n d i t i o n s k e y w o r d s ：i m p u l s e s ；d e l a y 8 ；n e u t r a lt y p e ；a 8 y m p t o t i cs t a b i l i t y ；u n i f o r m l y a s y m p t o t ：i cs t a b i l i t y ；c o l n c i d e n c ed e 窜e e ：p o s i t i v ep e r i o d i cs 0 1 u t i o n 湖南师范大学硕士学位论文 第一章绪论 随着科学技术的飞速发展，人们发现脉冲微分方程较之相应的 不带脉冲的微分方程能更真实地反映自然界发展过程的某些现象 科学和技术的许多领域如理论物理、机械、种群动力系统、流行病 动力系统、工业控制、生物、技术经济等许多方面的变化规律都可 以用脉冲微分方程来刻画或描述，这使得对脉冲微分方程的研究更 具有现实意义自b a n o vd d 、s i m e o n o vp s 等1 9 8 9 年出版两本关 于脉冲微分方程的专著以来f l 一2 - 脉冲微分方程在稳定性、有界性、 振动性、比较原理和周期解的存在性等领域的研究都相当活跃 ( 见文【1 1 5 ：3 7 3 3 ，3 8 】) 由于脉冲泛函微分系统的广泛应用，对该系统的研究逐渐成为 热点 1 2 1 建立了该系统的基本理论， 4 ，1 3 讨论了一些线性脉冲 时滞微分方程的稳定性，【6 7 ，l 嗣中利用l y 印u n o v 函数或l y a p u n o v 泛函讨论一般的脉冲泛函微分方程的稳定性本文第二章主要借助 l y a p u n o v 泛函，推广了文f 1 6 j 的结论，讨论脉冲泛函微分系统 iz ”) = ，( ，) ，t o ， l z = ( t ：卫( ) ) ，= 如，后z + ， 获得了一些脉冲泛函微分系统的渐近稳定性的结论 关于对种群动力系统的研究，特别是对l o t b v o l t e r r a 系统的研 究( 包括种群动力系统的持续性、稳定性、 周期解、扩散与斑块、植化相克等) 已取得丰硕的成果 1 7 2 8 ，3 5 3 但对有脉冲作用的种群动力学模型的 研究还很少对种群生态学丽言，脉冲效应还是经常存在的例 如，对一个封闭池塘里的鱼构成一个生态系统，在没有外界扰动的 情形下，鱼的增长规律一般满足l 。g i s t i c 方程 这里k 是环境容纳量但实际情况是我们经常在固定的时间点进行 捕捞和投放鱼苗等这种捕捞和投放鱼苗实际上对种群的数量构成 湖南师范大学硕士学位论文 一种脉冲，所以考虑用脉冲微分方程进行描述，这时相应的l o g i s t i c 方程( 1 1 1 ) 可修正为 jz 0 ) = r z ( 1 一景) ，t t k ，t t o 【z ( ) = 以( 。( t k ) ) ，女j v ， 这里 ( z ( “) ) 是种群的数量z 在“时刻的函数 近年来国内许多数学工作者开始普遍采用拓扑度这一行之有效 的办法来研究泛函微分方程周期解( 见文献 2 4 2 8 】) 本文第三、四、 五章受上述工作的启发，把拓扑度定理应用于讨论脉冲条件下的种 群动力系统周期解 的存在性在第三章，把文 2 剐的模型予以改进，讨论了具有脉 冲和无穷时滞的捕食一食饵生态模型的周期解的存在性问题；在第 四章讨论了具有脉冲和时滞的l o t 虹v o l t e r r a 系统的正周期解的存在 性和全局渐近稳定性；在第五章讨论了脉冲中立型单种群模型的正 周期解的存在性，分另u 得到了一些充分条件 塑童：! 苎查兰塑圭兰竺墼圭 ：! ： h ：= u o ( 砰u q 茼) ， 这里女一警，则日在b 。) 上是r 一稠密的事实上，若一+ r ，则 或者# 一号，】c ，学，或者p 一鲁：t 至少包含月f 的一个点对于后一 种情形，区间e r 一乎，目包含一个测度为c 。的子集0 * ，故 p ( t r ，】n ( h fu 日参) ) 三要= ， 这表明在h 。) 上是r 一稠密的 由条件2 ) ，3 ) 及( 222 ) ，( 22 4 ) 式有 osv ( 仃+ 片) 茎v ( 仃) + e + 丘y 7 ( 亡) d f + v ( t 吉) 一v ( t = ) q + k 帅) 出+ 岛“哪) 出 f 2 2 5 ) c 1 一c 6 正球 ( ) d 一c 7 如。q 0 ) d t c l c 8i 。+ k j n h 叼( t ) d ， 这里6 ( 1 ) ：= ( c 3 ( 7 ) ) ，c 7 ( 1 ) ：= w ( 碧) ，c 8 ( 1 ) = m i n c 6 ( ，) c r ( 丁) ) 由疗的，厂一稠密性及条件4 ) ，当f o o 时，由( 2 2 ，5 ) 式可得 o 撬v ( ) v ( + f v 俅) 。h 磊m ) 一v ( 。* ) c l c 8 厶7 7 ( ) 疵 c l c 8j 0 q ( ) d + 一o 。， 这是一个矛盾从而对 o ，在 o ，k + r 存在t ，使得( 2 2 3 ) 式成 立而( 2 2 3 ) 式成立意味着z ( c ) 是吸引的，故( 2l1 ) 的零解是渐近 稳定的 由上证明知c ，与口和妒无关，c 。( 往2 ，一，8 ) 仅与7 有关，从而 也仅与1 有关，而， o ，+ r 】，故t 也仅与7 有关，若积分c ，q 关于一，h 一致发散，这说明( 21 1 ) 的零解是一致渐近稳定的定理 证毕 注记2 2 1 定理2 21 所需的条件比文 7 】中定理1 的条件弱，下 面的例题2 3l 予以了说明定理22l 也改进了文f 1 5 1 中的定理3 1 与文 1 5 1 中的定理3 1 相比，条件1 ) 与文 1 5 中的定理32 的条件 ( i ) ，“( i 咖( o ) 1 ) sy ( t ，) ( m 1 ) ，这里v = u 十坞”o ( ) ”相 湖南师范大学硕士学位论文9 从而慨幢 ；岛，即恢舱 詈 由于开区间雕和磷所成的区间h u 日乒覆盖闭区间h 一+ 】， 由有限覆盖定理，总可以从中月f u 磷选出有限个区间 删鼍。( 这里 霉c 雕，p = l ，) 和 露= ( ，咤) ) 县。( 这里霹c 硝，口= 1 ， 。) ， 使得 覃 墨。和 鬈) 凳，覆盖h a + k _ 令譬= ( 。；一；c i ，6 ；+ ；蓝) 当t u 凳t 启7 时，由上证明知慨l i 。 蛩， 因为譬 霹，故 口) 凳，与 唁7 ) 警，覆盖【一，一+ k 若+ 掣u 罂，譬7 ，则t 。，有( + 一i 鼋、一 月萨，从而当 0 + 一；c i ，t + 时，i z ( ) i c 3 故 j j ，1 1 2 白( 7 ) ：= ( m i n l ；c ：) ) j = c 3m i n 、厅，芸自) 结合当t u 罂。写时有恢i i 。 蛩，故当h 一+ k 时， i l 丑1 1 2 c g ( 1 ) ：= m i n 导，、7 c 3 ，掣c 3 c 4 ) ( 227 ) 根据条件2 ) ，3 ) 和( 2 2 7 ) 式有 o y ( 盯+ )s 矿( 盯) 一f 了+ “叩0 ) 竹7 ( f | 甄f 1 2 ) 疵+ 矿( f 毒) 一y 0 ) j c l c l o c ”q ( ) 出 c 1 一c l o r “q ( t ) 氓 ( 2 28 1 这里c l 。( 们：= ( c 9 ( 7 ) ) 根据条件4 ) ，当一o 。时由( 22 8 ) 式得 o 磐娶矿( c ) c 1 一c 1 0 z 呱t ) 出_ 一。 这是一个矛盾故在f o ，k + r 可找到满足( 22 3 ) 式的了：吸引性得 证故( 2 11 1 的零解是渐近稳定的 而仅与1 有关，从而丁也仅与7 有关，若( 2 26 ) 关于一是一 致发散的，则( 2 1 1 ) 的零解是一致渐近稳定的定理证毕 在上面的定理中，由于脉冲扰动是向下扰动的，故沿方程( 2 1 1 ) 解的轨线，l y a p u n o v 泛函的单调性得以保持当v 的这种单调性被 脉冲扰动破坏时，我们有下面的定理 定理2 2 3 设存在y 啦( ) ，m ，w 驼以及可测函数q ： 凡+ 一r + 使得 1 ) 眦( i ( o ) f ) 墨矿( t ，妒) 茎i ( j ( o ) i ) + 鹏( i i 咖i f 。) ； 2 ) l y ( t 古，曲) 一v ( 缸，西) f 芦k y ( ，) ， 这里风o 且登凤 。； ， k 2 1 西c 臼，= ；：；，+ 。女，妒。：i ：曰 o ，取 6 = d ( ) ，使得当恻| o 。 6 ( ) 时，成立卢 ( j ) + ( 6 、，乍) 】 积分v 心，轨) 一q ( t ) ( i z ( t ) 1 ) 得 v ( t ) v ( 盯) 一，尹叩( s ) 7 ( 1 z ( s ) 1 ) d s +【v ( t ) 一v ( ) 茎y ( 口) + 卢v ( ) 、 根据g r o n w a l l 不等式 1 】，由( 2 2 l o ) 式可得 v ( ) v ( 盯) n ( 1 + 凤) 矿( 口) ( 1 + 卢) = p v ( 盯) ，t 盯 故 ( ) 1 ) sv ( t ) s 卢v ( 口) 卢隅( 6 ) + ( d ) 啊( e ) ，t a 由m 的单调性知，当2 一时i z ( t ) l s 于是( 2 1 1 ) 的零解是一致 稳定的 湖南师范大学硕士学位论文1 l 取= l ，由上面的一致稳定性证明知存在6 ，= d ( 1 ) ，使得( 2 11 ) 的解z ( ，以妒) 当恻。 d l 时有i z ( c ，q 妒) l l ，并且 v ( ) s 口 ( d 1 ) + ( 6 1 ) 】 叭( 1 ) 根据条件2 ) ，我们有 。 v ( 如) j 仇y ( ) 眠( 1 ) 觑 o ( 7 陋( 亡) l ，扣( ) i 1 6 一r ) f ，1 1 + l 1 ，后z + 令y ( ，甄) = l z ( 6 ) l + j ：! ，1 6 ( s ) l 。( s ) l d s 由于西( o ) = z ( ) ，恻i 。= ( 正，l z ( s ) 1 2 d s ) i ，故 i ! 一，| 6 0 ) f k ( s ) f 如 ( _ ! 一，| 6 ( s ) b ，r 再令 ( j 妒( o ) ) = ( j ( o ) j ) = m o ) | _ ( z ) = ( 正! ，f 6 ( s ) f 2 幽) 知饥 知定理2 2 1 条件1 ) 成立；又v ( 班占) 一v ( k 、曲) = l ( 1 + c k ) z ( k ) 【一i t ( a ) ls o ，知定理22l 条件2 ) 成立；由于 v ( t ，z c ) = 一o ) z 0 ) + b ( t ) z ( t r ) 】s 9 n z ( t + o ) + l b ( t ) i l z ( ) i 1 6 0 一r ) l i z ( 一r ) l 。( ) l z ( ) i 十i b 0 ) l l z 0 一r ) l + j 6 0 ) j l 茁( ) j 一忙p r ) j j t ( 一r ) j 陋( ) 一 6 ( 圳i z ( ) i 取q ( ) = 1 ，( i z ( t ) 1 ) = o ( ) 一i b ( 圳l ( 吼知定理2 2 1 条件3 ) ，4 ) 成立 由定理22 1 知方程( 2 31 ) 的零解是一致渐近稳定的 应用文 7 】中定理l 对例题2 3l 进行分析时，需要假设“n ( ) n ，6 ( ) o ，a ( ) e ( 胪，r ) ，b ( t ，s ，z ) 在【o x 1 4 湖南师范大学硕士学位论文 c | ( r + r ，r ) ，箱! 在o ( ) g ( r + ，r + ) 使得a ( ) + ( ) s 一6 o ，则系统( 3 13 ) 至少存在一个周期解 证明：作变换眠( o ) = e 。t ( “，忙1 ，2 则系统( 31 3 ) 可变为 fz i ( ) = 6 l ( t ) 一o 。d l ( ，“) 矿1 “d u 一o 。( t ，“) 8 。2 ( “d “，t “， jz ；0 ) = 一6 2 0 ) + 。d 。( t ，u ) 矿1 ( ”) d u ， ， i z l ( ) = z 1 ( t ) 一z l ( t i ) = l ( 1 一 l ) ，k = 1 ，2 ，- 一，m ， 【z 2 ( ) = z 2 ( t 吉) 一z 2 ( t i ) = 1 n ( 1 一h 2 ) ，七= 1 ，2 ，竹l f 3 2 1 1 容易看出，如果系统( 3 2 1 ) 有一个u 一周期解( z i ( t ) ，z ；( t ) ) 7 ，则( 埘( t ) ， 婀( z ) ) 丁= ( e x p 旧( 砒e x p 隧( ) 】) 7 是系统( 3 13 ) 的一个u 一正周期解 因此，我们证明系统( 3 2 1 j 有一个u 一周期解 令 d o m l = x = u _ p g l o ，u ；t l ，一；t m ) ， l ：d o m l z ，u _ ( “7 ，u ( t 1 ) ，“( 亡m ) ) ， ：x _ z u b 。( t ) 一 一6 2 ( ) l n f l 1 n f l 一 为方便起见，记 f 。 a 1 ( ) = 6 l ( t ) 一d l ( 亡，u ) 酽1 札) d 一。o ( t ，u ) e 。2 ( “) d u a 2 ) = 一6 2 ( t ) + ，二。d 2 ( t ，u ) e 。1 ( “如， = 1 n 1 一 n ， z = l ，2 、0 似 巾巾 “ 1 l 矿 呱畎 一， 缸 ， 咖州胁胎 m 姐 一 一 m 扣l l 咖叭叫 t“， d、 产-二， ，+ h k ， t 2 0 湖南师范大学硕士学位论文 即 因此 另一方面 啪) l n f 弩 z ，( 。) z ，( ，) + 眉m ) 出+ 置l h ( 卜酬6 ) 1 n 【号麦子 十( 百+ 瓦) u + s l + 2 s 1 ：= l 如v s 2 厝d 2 ( ，) e 。1 玳d d = e 。1 ”1 石2 u z ( q ，) l n 【芋】， z - ( ) z - ( 印) 一碍) f 积一善1 一 - ) jm 7 ) 1n2舞蠹叫一(后l+面)us一2 5 _ 1 ：2 l z -由( 32 6 ) ，( 32 7 ) 有黝m ) l s “m 。1 ) ：2 历 类似地，由( 3 2 3 ) ，( 32 5 ) 有 叭s 。：“t 蚋矽。删c z 。m 矽“锄捌扣渤魄u ， o jo。j uj o 。即 一 以f 2 ) o 0 二1 ，2 ) 令b = b l + 岛+ 玩， 这里岛充分大，使得己呓) | f w o ，则系统( 32 1 0 ) 至少存在一个正周期解 这里证明同上，从略 注记3 2 1 如果s = s z = o ，定理32 1 得到文 3 3 j 的主要结果 | | = i | | | 0 ”0 0 啡 舭m m 第四章具有脉冲和时滞的l o t k a v b l t e r r a 系统的正 周期解的存在性和全局渐近稳定性 4 1l o k t a v 0 l t e r r a 系统的生态模型 具有时滞的n 种群非自治周期l o t k a - v o l t e r r a 系统，其解的各种 性态被广泛的研究，并且获得了一些好的结果，参见 1 9 ，2 1 2 2 ，2 7 ，3 5 ，4 4 及引文对种群生态学而言，脉冲效应是经常存在的，如在固定的 时间点人为地对系统进行投放和收获，这种投放和收获对系统的数 量构成一种脉冲；又如许多种群的出生是季节性的，也可以把这些 种群的出生看作对系统的脉冲因此，为了对种群系统有更精确的 描述，我们考虑使用脉冲微分方程来研究具有脉冲和时滞的n 一种群 非自治周期的l o k t a v o l 汩r a 系统 本节我们考虑如下系统 rnf t ， l 蔓盟= 挑( f ) p ；( t ) 一吼( z ) 虮( ) 一o 州( ) 弘( 一t ，( t ) ) t t ， 一妻巴，。( t ，s ) 蛳( t + s ) d s j = 1 ” 玑( 靠) = 玑( 吉) 一玑( 缸) = 轨k 玑( k ) ， = 1 2 - f 411 1 其中 ( h 1 ) 6 ：g ( ，r ) ，n 。g ( ，r + ) ，“o l g ( ，r + ) ，”g ( 只，r + ) ，= = 。) ，6 棚。，n “，o 训的共同周期为u ，且( t ，s ) 关于s 可积； ( 风) 屯l ( t ) = d 勺2 ( t ) d 一1 在本节中，我们先利用重合度理论 3 3 3 4 建立系统( 4 11 ) 周期 解的存在性，然后利用l y a p u n o v 泛函讨论周期解的唯一性和全局渐 近稳定性 2 4 湖南师范大学硕士学位论文 4 2 周期正解的存在性 先引入下面记号( 以下记号仅限于本章) 5 ：= 6 ：( ) d f百。= j f i “( ) _ = ：f n 如) 眠 勘= j 眉( 鳘出) + 。，( 如) d s ) 出 s 。= l n ( 1 + 6 他) ，s = 1 1 n ( 1 十b 诜) l ，i = 1 ，2 ， 。，n - = l k = 1 定理4 2 1 若玩+ 毛u 耋，瓦， 耥+ ( 弓+ 瓦) u + 岛+ 2 - 易 ， d c t ( d n 9 ( 西。) 。+ ( 瓦，) 。) o ，# l ，2 ，n ，则系统( 4 1 1 ) 至少存在一 个正周期解 证明：作变换叭( t ) = e z ) ，( p1 ，2 ，n ) 则系统( 41 1 ) 可变为 f 圳引癣) 小矽水l 叠誊n 删一。1 j “” i ，= l 忙1 一耋一驰，咖州m ) d s ， e ， i ，( = l n 1 + 6 。h 忙1 ，2 ，n f 4 2 1 ) 为方便起见，记 a 。( ) = 6 。( ) 一啦( ) e z ；( ) 一。，2 ( ) e ( t 一勺( ) ) 一j ! 。，( ，s ) e q 如， = l n 1 + 6 仳 ， z = 1 ，2 ，一，n 容易看出，如果系统( 4 2 1p 阿一个u 一周期解( z j ( t ) ，z ；( t ) ，z ：( t ) ) 7 则( 鲥( t ) ，醛( ) ，峨( t ) ) 7 = ( e x p ( z i ( t ) ) ，e x p ( z ；( t ) ) ，e x p ( z i ( t ) ) ) 7 是系统( 41 1 ) 的一个u 一正周期解，因此我们下面证明( 4 21 ) 有 一个u 正周期解 令d o m = x = t k ，( s ) d s d 一c 肌莲k1 q z = l | ； l ，o r 一，o 胁m + 占酗| 、， 、j、j 0 1 n a a ，一 、lj rf l u 2 6 湖南师范大学硕士学位论文 1 t “ k c “ a l ( s ) 如 a 。( s ) 凼 ) p 十厶 = 1 p + 厶 = 1 譬片4 1 ( s ) 幽d t + b = l j ； a 。( s ) d s 出十k k = 1 由l e b e s g u e 控制收敛定理知q 和k p ( ，一q ) 是连续算子，设n 是z 中任何一个有界开集，利用a s c o l i a r z e l a 定理易证q ( 五) ，k ，( ，一 臼) ( 瓦) 是相对紧集，因此在豆上是l 一紧集 对应的算子方程 有 工z = a j 、r z ，a ( o ，1 ) 蜊：州旷n 愈矽小) 一妻誊酬啪剐h ， 一妻d 矽卅“ 孔( b ) 一a l n 【l + b 。】 对上式两端从。到u 积分得 a 。( ) 出+ = o ： 即 “h 剐) 十妻釜。吲。州- 枷) ) + 妻厂0 。水，。) 一( t + 曲d s ) d t ：如悯 丘h ( 咖“o 冲善善啦。) e 。1 “”+ 蚤- 。， ，s ) e q ”“k 曲出划一怕t t ，u # lj _ lj 5 1 ” 。 f 42 3 1 、；， + + 叫。 叫o 7 料w w 扣 p 一 一 a 几 皓 皓 片e，lii ，-_li-l_-、 = z q p k 2m 地 “ 1 = 砖 ，、l 湖南师范大学硕士学位论文 2 7 且 记o = = o ，t 。+ 1 = u ，由( 4 2 2 ) ，( 4 2 3 ) 式得 f k ( t ) 悼= 仨，k ( t ) | d + 旧( 砖) 一黾( “) i 一一 爿瞰) 陋+ h ( ) e 。t 。+ u ( ) e 。t 岫， j = l f = 1 + 。jo u ( t ，s ) e 。卅5 埘d hs ( b 。十6 。) “+ 黾+ s ， f 424 1 因为z ( t ) x ，所以一定存在矗【o ，u 】u ，t 岛( 6 ) 矗。：如甄( 2 ) ，”1 ，2 由( 4 2 3 ) ，( 4 2 5 ) 得 ( 玩+ 面。) 8 。t ( 靠瓦u + s 。 蚓 l n ( 揣) p 删啪) 十爿愀) 皿+ 量1 舶t * ) l n ( 抵) 十( 百+ 再。) u + s z + 2 咭) 、使得 ( 4 25 ) 另一方面，注意到s u p 甄( ) 存在，蔼且一定存在仇 o ，u u ， f o ，胡 使下式成立 f 426 、 f 4 27 ) 卫。( 卵。) = s u p 。( ) ， i = 1 ，2 ，- ，n ( 4 28 ) t e 呻，u ) 由( 4 2 3 ) 和( 4 28 ) 式有 w ( 玩+ 瓦；) e 。t ( m 云。u + s ；一 u 瓦，e 邓1 ， j = 1 ，j 卸 讪柏一妻：u 确 老南+ ( 弓+ 弓) u 十+ 2 岛 瓦u 十黾一u 西玎 d 等；：；害j + ( b j + b ) u 十+ 2 岛 j = l ，却 一 “ 湖南师范大学硕士学位论文 独 耥一，磊。羔 卷南f 4 29 1，= l ，1i qzvj + ( e + 瓦) u + s j + 2 岛】 = ：慨， 由( 4 24 ) 和( 4 29 ) 有 删砒) 一f 眺) 旷善忡+ 6 t * ) 11 0 1 蛆一( b 。+ b 。) u s 。一2 & = ：且仃， 令 s u p 旧( t ) l m “( 1 9 i ，i 盯b = ：峨，( 421 1 ) 蜒 o ，u 】 显然凰与a 的选取无关。 忆，( 42 1 2 ) 有唯一解( z 知咤，z ：) 7 舻令 h = i l ( 日l ，矾，一。) 1 1 l + g ， 其中e 充分大使得f l ( = r 玉z i ，：z i ) 7 f f e 、则恻 令 n = z ( t ) 一( z 1 ，z 2 ，一，。) r x ：l i z ( ) i l p c o 对一切j ，扛1 ，2 ，和j f ，使得伫风( t ) 出= 。 ，= l 。 定理4 3 1 在( 日。) 一( h 4 ) 的条件下，如果系统( 4 11 ) 的所有非负 解在f o ，o o ) 有界，则定理( 4 2 1 ) 的u 一周期解是唯一和全局渐近稳定 的 证明：设( t ) = ( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 。( ) ) 和( t ) = ( y 1 ( t ) ，驰( t ) ，。( ) ) 湖南师范大学硕士学位论文 3 1 由于翰( t ) 和玑( ) 在【o ，) 上有界，且k ( 靠) 一玑( 缸) i o ，( 一+ o 。) ， 知当( h ，刈时亦有k ( t ) 一玑( ) i o ， 一+ 。) ，因此由( 4 31 ) 式 得到 l i m ( ) 一般( ) | = o ，j = 1 ，2 ，一，n ( 4 32 ) 故系统( 4 11 ) 全局渐近稳定这表明系统( 4 11 ) 在r “中至多有一非 负“一周期解，结合定理4 2 1 知系统( 41 1 ) 仅有唯一的正周期解 又由( 4 32 ) 知该周期解是全局吸引的定理证毕 4 4 例题 下面的例子说明脉冲对周期解的存在是有影响的 例4 4 1 考虑系统 血( ) = 0 ( 趵= ( 硭) = ( t ) = “0 ) ( 1 + 8 i n 2 ”t o 4 u ( ) 一0 2 ) ) ， ( t ) ( 1 + c o s 2 ” o 5 t 6 ( ) 一o 3 ( ) ) ， u ( ) ， 1 5 ( 仉) q = ( 2 一1 ) ，j = ；( 2 一1 ) ，j v 取u = l ，在没有脉冲的作用下，u ( ) 存在周期解，”( ) 的零解全局 渐近稳定( 数值模拟见图4 41 ) 但在脉冲的作用下，由于满足定理 42 1 的条件，从而系统存在一个正周期解( 数值模拟见图4 4 2 ) 4 9 】 湖南师范大学硕士学位论文 3 1 由于翰( t ) 和玑( ) 在【o ，) 上有界，且k ( 靠) 一玑( 缸) i o ，( 一+ o 。) ， 知当l 耋：i 。! 雾墓盟霾交i i ! 一薹! i ；! 一! ：妻一霎i l ；妻霪墓；? i 司 彰笃 j i i7 毛；j ! 二矗! i j ；一l ；! 一i ；! ，一。g 。 l s 。l i 以中藜i ；l ? i 幡篓葡海j 赫鍪蓥翁菥i ；。li i 啦薹。蠢霸掣釜氰 罪t 一 的研究还很少，这其中的主要原因是在运用不动点定理 等工具进行研究时，所涉及的运算较为复杂而对在脉冲效应下的 中立型泛函微分方程的研究工作才起步，有关这方面的文献还很少 3 8 】_ 本章利用重合度理论【3 3 3 4 】，在文【4 5 4 8 的基础上，对一类具有 脉冲的中立型单种群生态模型进行研究，获得- 了_ 该系统正周期解存 在的充分条件 考虑如下脉冲中立型单种群生态系统 iz 7 () 一卫( ) n ( ) 一b ( ) z ( ) 一a ( ) z ( 一，j ( ) ) 一卢( 亡) ，( s ) z 0 + s ) d s 一1 0 ) z ( 亡一丁2 ( t ) ) 】，“， 【z ( t ) = ( 1 + 札) z ( t k ) ， 一1 ，2 ， ( 51 。1) 为了更好地描述系统( 5l1 ) ，假设 ( 日。1：n ( ) ，6 ( ) 都是严格正的连续丁一周期函数；n ( ) ，p ( t ) ，7 ( ) 是 非负连续的t 一周期函数，y ，n g 1 ( r ， 0 ，+ 。) ) ，n g 2 ( r ， o ，+ 。) ) ， 1 靠一1，2 ) ， ( 玩) ：( s ) o ，s 【一l o - 其中r o ；( s ) 分段连续且满足，( s ) d s 1 3 2 湖南师范大学硕士学位论文 图4 4 1 图4 ，4 2 湖南师范大学硕士学位论文3 3 第五章脉冲中立型单种群模型的正周期解 f| 5 1 引言及引理 自从上世纪七十年代以来，随着以中立型泛函微分方程为数学 模型的应用课题的大量涌现，如博弈论、细胞中酶反应动力学、遗 传问题、控制理论等，数学工作者对中立型泛函微分方程的研究越 来越重视，在振动性 3 6 3 8 等方面取得了长足的进展但在周期解 方面f 3 9 。4 3 】的研究还很少，这其中的主要原因是在运用不动点定理 等工具进行研究时，所涉及的运算较为复杂而对在脉冲效应下的 中立型泛函微分方程的研究工作才起步，有关这方面的文献还很少 3 8 卜 本章利用重合度理论【3 3 3 4 】，在文【4 5 4 8 的基础上，对一类具有 脉冲的中立型单种群生态模型进行研究，获得- 了_ 该系统正周期解存 在的充分条件 考虑如下脉冲中立型单种群生态系统 iz 7 ( ) 一卫( ) n ( ) 一b ( ) z ( ) 一a ( ) z ( 一，j ( ) ) 一卢o ) ，( s ) z o + s ) d s 一1 0 ) z ( 亡一丁2 ( t ) ) 】，“， 【z ( t ) = ( 1 + 札) z ( t k ) ， 一1 ，2 ， ( 5 1 1 ) 为了更好地描述系统( 5l1 ) ，假设 ( 日- 1 ：n ( ) ，6 ( ) 都是严格正的连续丁一周期函数；n ( ) ，p ( t ) ，7 ( ) 是 非负连续的t 一周期函数，y ，n g 1 ( r ， 0 ，+ 。) ) ，n g 2 ( r ， o ，+ 。) )