（基础数学专业论文）一类奇异两点边值共振问题解的存在性.pdf

摘要 基于l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量场的解集连通理论，本文研 究了二阶非线性奇异两点边值共振问题 f 乱”( t ) + 7 f 2 u ( t ) + n ( t ) 9 ( 乱) = ( ) ， 。- e t ( 0 ，1 ) “a q 。( o ，1 ) iu ( o ) = ( 1 ) = 0 的可解性和多解的存在性 其中g ：r r 连续有界，o ，h z l 1 。( o ，1 ) l 詹t l z ( t ) l d t ) 关键词：连通；解集；l y a p u n o v - s c h m i d t 过程；奇异；共振 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fac l a s so fs i n g u l a r n o n f i n e a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa tr e s o n a n c e i ( t ) + 7 l 2 “( ) + n ( t ) 夕( u ) = ( ) ， o e t ( 0 ，1 ) “7 a g 。( o ，1 ) i “( o ) = u ( 1 ) = 0 w h e r eg ：r ri sc o n t i n u o u sa n db o u n d e d ， o ，h z l l ( o ，1 ) l 尉t l z ( t ) i d t o o ) b a s e do nt h el y a p u n o v s c h m i d tp r o c e d u r ea n dt h ec o n n e c t i v i t yt h e o - r i e so ft h es o l u t i o ns e to fp a r a m e t e r i z e do fc o m p a c tv e c t o rf i e l d s ，w ee s t a b l i s h t h ee 嫡s t e n c eo fa tl e a s to n es o l u t i o na n dm u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h es t u d i e d p r o b l e m s k e y w o r d s ：c o n n e c t i v i t y ；s o l u t i o ns e t ；l y a p u n o v - s c h m i d tp r o c e d u r e ； s i n g u l a r i t y ；r e s o n a n c e 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：塑燮盘日期：2 生年月三e t l 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 缝整鱼 0 ， 导师签名：乡z 坦! z l 日期：一年月三日 t 上- j 一 刖茜 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分 方程学科的重要组成部分其中共振边值问题和奇异边值问题都有其相应的物理 背景，并在数学、物理等领域有着广泛的应用对于共振情形下的边值问题，首 先要追溯到1 9 7 0 年数学家l a n d e s m a n 和l a z e r 在以他们名字命名的条件下对半 线性椭圆方程边值共振问题解的存在性的研究，见文 1 3 _ 此后的三十多年，对于 共振边值问题的可解性以及多解的存在性的研究也日趋丰满。而研究共振边值 问题的主要方法有：将共振问题经过小扰动转化为与其等价的非共振问题后利用 l e r a y - s c h a u d e r 延拓定理；直接利用l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量场的解集 连通理论，例如文【3 ，6 ，l o ，1 l ，1 3 - 1 8 ，2 2 2 6 】- 但是，这些结果均是对非线性项，菲 奇异( 或，：【0 ，1 】r + r 至多满足c a r a t h e o d o r y 条件：( 1 ) 对a ez 【0 ，”】，( ”) 在r 上连续；( 2 ) 对y u r ，( ，u ) 在 0 ，” 上可测) 的微分方程建立的另一方 面，八十年代以来，受s dt a _ l i a f e r r o 关于奇异边值问题的著名文章f 2 1 】的启发，入 们对非共振情形下的常微分方程奇异边值问题也有了更为深入地研究，参见文 【1 ，2 ，7 ，8 ，1 2 ，1 9 但是，相比较而言，因为在对既奇异又共振的常微分方程边值问题的研究中常 会遇到以下两方面的困难：( 一) 由于非线性项带有的奇性，即使奇异边值共振问题 经过小扰动转化为与其等价的奇异边值非共振问题后，微分方程也不一定能够转 化为与其等价的积分方程；f 二) 即便微分方程能够转化为与其等价的积分方程，但 由积分方程所定义的算子的紧性也不一定能保证所以该类问题的研究工作较 少，进展缓慢就我们所知，只有非常零星的结果：参见文 9 ，2 0 ，而文 9 ，2 0 中， l e b o b i s u d 和o ，r e g a n 都是先将奇异边值共振问题经过小扰动转化为与其等价的 奇异边值非共振问题，然后利用l e r a y - s c h a u d e r 延拓定理获得了至少一个解的存在 性结果 1 目前为止，对奇异的两点边值共振问题，还没有任何关于多解的存在性结果 而且还没有人尝试直接利用l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量场的解集连通 理论来解决既奇异又共振的常微分方程两点边值问题那么，我们自然会问：能否 不通过将共振闯题经过小扰动转化为与其等价的非共振闯题这一过程，而直接利 用l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量场的解集连通理论来研究奇异( 或非线性 项不满足c a r a t h e o d o r y 条件) 两点边值共振问题的可解性和多解的存在性 基于此，本文试图通过l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量场的解集连通理 论来研究非线性项f ( t ，u ) = a ( t ) g ( u ) 和强迫项 均有较高奇性的奇异两点边值共 振问题 i 0 ) + 7 r 2 “( ) + n ( t ) 9 ( u ) = h ( 0 ，d e t ( 0 ，1 ) a q 。( o ，1 ) ( 0 - 1 ) l lu ( o ) = 札( 1 ) = o 分别在符号条件和l a n d e s m a n - l a z e r 条件下的可解性以及符号条件下多解的存在 性文【2 0 】中，0 1 r e g a n 要求非线性项，至多l 1 ( o ，1 ) ，强迫项h l 1 ( o ，1 ) ，而本文试 图研究的问题( 0 - 1 ) 中的非线性项f ( t ，u ) = n ( ) 9 ( u ) 和强迫项h 的奇性更高：a ，h 可 以局部l e b e s g u e 可积，即h z = j l k ( o ，1 ) 1 詹t l z ( t ) d t ) 因此，将( o 1 ) 化为与其等价的系统( 见下文( 1 3 9 ) 一( 1 4 0 ) ) 后，( 1 3 9 ) ，也就是b a n a c h 空间中的余 一维空间( 无限维空间) 中的微分方程不一定能转化为与其等价的积分方程( 积分 算子) ，所以本文首先在第一节中考虑二阶线性奇异两点边值共振问题 i ”( t ) + 7 1 - 2 “0 ) + e ( t ) = 0 ， 。e t ( 0 ，1 ) u a q 。( o ，1 ) ( 0 - 2 ) i lu ( o ) = u ( 1 ) = 0 其中允许i ：( o ，1 ) 一( 一。，+ o 。) 在t = 0 处奇异：詹t l h ( t ) d t o o 我们知道，当i 非奇异时，( o - 2 ) 的余一维空间中的解表示成积分形式u ( ) = 詹g ( t ，s ) 无( s ) d s ( 其中 g ( t ，s ) 的定义见( 1 1 3 ) ，e 在余一维空间中) 是容易成立的事但由于本文中 的奇 性更高，余一维空间中的微分方程和积分方程等价性的验证是相当困难的我们无 2 前言 法做到对无 z l j ：o c ( 0 ，x ) b 詹t ( 1 一t ) l z ( t ) l d t o 。) ，使得u ( t ) = 詹a ( t ，s ) h ( s ) d s 定 义合理这正反映出奇异边值共振问题与非奇异边值共振问题存在着很大差别基 于此，我们利用了不同于以往的全新方法来验证这一等价性，将( 0 - 2 ) 的余一维空 间中的解试图用二重积分的形式来表达，以保证解u ( t ) c 1 ( o ，1 ) ，vt ( 0 ，1 ) ，而 非( ) c 1 ( o ，1 ) ，a , e t ( 0 ，1 ) ( 见下文中的引理1 3 ) 在上述准备工作的基础上， 我们在后续的第二节，第三节中成功地利用l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量 场的解集连通理论给出了非线性奇异两点边值共振问题( o - 1 1 的可解性以及多解 的存在性结果 综上所述，本文： 1 探讨的是一类全新的闯题前人的工作还没有涉及非线性项和强追项均具有较 高奇性的两点边值共振问题解的存在性的研究： 2 不再利用常用的将共振问题经过小扰动转化为与其等价的非共振问题的方法 ( 之后利用l e r a y s c h a u d e r 延拓定理) 解决奇异两点边值共振问题，而是直接利用 l y a p u n o v - s c h m i d t 过程和含参紧向量场的解集连通理论来解决奇异两点边值共振 问题； 3 所使用的将余一维空间中的微分方程转化力与其等价的积分方程( 积分算子) 的方法是全新的，技巧性比较强，并且有一定的难度； 4 前人对奇异两点边值共振问题的研究只涉及其可解性，而本文首次给出了奇异 两点边值共振问题的多解性结果 本文后面的内容安排如下： 1 预备知识( 预备定理和预备引理) ； 2 符号条件和l a n d e s m a n - l a z e r 条件下问题( o 1 ) 的可解性定理； 3 符号条件下问题( 0 - 1 ) 多解的存在性定理 3 1 预备知识 这一节给出本文所用到的一些预备知识，包括本文所用到的一些记号，预备定 理和预备引理为简捷起见，我们对预备定理只做简单陈述，对预备引理给出证明 梗概 本文的主要工具是下面的含参紧向量场的解集连通理论： 定理a 1 1 ，t h e o r e m0 】设c 是b a n a c h 空间x 的非空有界闭凸集t ： 0 i 纠c c ( a 0 ，f 8 f t o ； 4 = ! = = = = = = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = 一 ( a ：) 存在码兰0 使得s 9 ( s ) m ； ( a 5 ) t i m i 。1 ，。g ( s ) = o ； ( a 6 ) 2 ”孺詹o ( ) 毋( t ) 出 r 2 趔矗。( ) 庐( 蚺“ ( a ：) 2 ”万面詹o ( 哪( t ) 出 r o ，0 ( ) = 0 8e t 【0 ) 1 1 很显然， ( 矿) ，是 o , l l 上的有界变差函数，但是( 矿) 7 并非 q 0 c ( o ，1 ) 所以为了排除这种解， 在( 1 一1 ) 中就需要限制j 哇q o c ( o ，1 ) 由于。和a 具有更高的奇性，所以( 1 1 ) 的余一维空间中的微分方程不一定髓 转化为与其等价的积分方程故我们在本节主要考虑线性奇异两点边值共振问题： 5 1 预备知识 以此来探求非线性奇异两点边值共振问题的余一维空间中的微分方程如何转化为 与其等价的积分方程( 积分算子) 首先，我们给出空间z 中的函数具有的一些基本性质 引理1 1 设z z ，则 z s i n ”s z ( s ) d s ed ( 。，1 ) ，z ic o s7 f s z ( s ) d sel 1 ( 。，1 ) 证明 定义( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) 上的司测函数 ， 她归| s i l l ”小) 】噬3 gg 【0 ，0 s 1 和 ， l ( s ，t ) = 0 o 8 。s1 lc o s s z ( 5 ) ，0 ss l 由f u b i n i ，s 定理可知 k m ，圳融= 上, o s i n r f s z 愀 = 他1 1 s i 忪陋 d s e l = ( 1 一s ) js i n ，r s l l z ( s ) l d s ，1 ”s z ( s ) l d s 0 0 所以f o s l n7 i - s z ( s ) d s l 1 ( o ，1 ) 同理 t 1 0 ，1 j f 蝌凇如= 0 1 嘭1 fc o s7 r $ z 。) l d s l 疵 = 代5 协5 l f 水凇枇 r 1 = s ic o s l r s l l z ( s ) l d s 1 1 墨fs l z ( s ) l d s 0 ( y 1 就是我们所说的余一维空间) 其中 v = k e r l = c s i n r t c 耐 y 上= i m l = u z i u ( s ) s i n7 r s d s = 0 ) ，1 则对每一个h z ，h 有唯一分解： h ( t ) = rs i n r t + ，r r ，i v 上，t 0 ，1 】 ( i - i 0 ) 注意到u z 且is i n r s l 7 r s ，s ( 0 ，1 ) ，所以y 上定义合理 对v 口，口z ，我们还定义 ( ”，口) = 2 7 r “( s ) m ( s ) 出 不难验证 ) = 而1s i n 巩仲) = 击c 0 ，l l 是方程u j j ( t ) 4 - 7 r 2 u ( ) = 0 ，t f 0 ，1 】的两个线性无关解并且 虻出= 去， m 圳 ( 毋，) = 2 r r 西2 ( s ) d s = 1 ，垆愀；：唆o g s 螂t l 。 不难验证a ( t ，s ) s ；t 7 i 8 = s ，0 s 1 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 引理1 2 设五v 上，则函数 一，l v ( t ) ：= 妒( ) ( s ) 五( 5 ) d 5 + o ) 妒( s ) i ( s ) 如， ( 0 ，1 ) ( 1 1 4 ) j 0j t 定义合理，并且”( o ) = 0 ，v ( x ) = 0 7 1 预备知识 证明 因为多( ) 元( ) l 1 ( o ，1 ) ，妒( - ) ( ) l 1 ( 5 i ，1 ) ，w 1 ( 0 ，1 ) 所以 呻) = 帅, o 。似) 弘) ) ，1 郴) 砸) 幽 = c ( t ，s ) i ( s ) 凼 定义合理 又由( ) i ( - ) l i ( 0 ，1 ) 可知 。骧帅, o 。邪) 无d s = 而1 。c 。s m 。z 。m ) i ( s ) 如 = 0 同理由妒( ) 元( ) l i ( 曲，1 ) ，v d l ( 0 ，1 ) 可知 ：驶妒( 。) j ( 妒( s ) 8 s = o 因为 z 1 c o s ”tc o s n s h ( s ) l d s = 1 c o s ”t ic 。s ”s ( s ) i d s ic o s z s h ( s ) l d s 故由引理1 1 可知： c o s tc o sl r s 五( s ) d s l l ( o ，1 ) 同理 s i n7 r ts i n r s h ( s ) d s l 1 ( o ，1 ) 所以 o 1c o s ”r c o s w s i ( s ) a s 打 o 。， c o s7 r r c o s 2 r s h ( s ) d s d r ， ( 1 2 2 ) 故由f u b i n i s 定理可知 z 。( 1 c 。s ”rc 。s ”s i ( s ) a s a r = o 。j ( o a c o s ”r 。s ”s ( s ) a r a s + z 1 上。c 。s n rc 。s ”s i ( s ) z r a s = i f o t s i nz r s c o s z s h ( s ) d s + ；1 上1s t n ”z c 。s ”s ( s ) d s 8 钟 力 吣 d h m h h m 三： ，l，l (，l，t，l c ：皇兰望鱼兰坚坠：一 = = = ! = = = = ! ! = = = = = = ! = = = = = 2 2 = = = = ；2 2 2 2 一。 而s i n ”s c o s7 r 5 i ( s ) 墨”s f e ( s ) f l i ( o ，1 ) 令一0 + ，从而有 三l i ms i n 矾，1c 0 8 ”s i z ( s ) d s ：o 丌t 叶o + j 2 即 ， c 骧) j ( 帅) 弘) 出0 ( 1 - 2 4 ) 又i ( s ) v - l ，所以启( s ) ( s ) d s = 0 结合庐( ) 五( ) l i ( o ，1 ) ，从而 。骧帅) j ( ) 砸) d s = 。( i - 2 5 ) ( 1 1 5 ) 结合( 1 1 6 ) ，( 1 。1 7 ) ，( 1 _ 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 可知 ( o ) = o ，u ( 1 ) = 0 引理1 3 设 是( 1 1 a ) 中所定义的函数则 a c o ，1 】n g l ( o ，1 ) 证明首先我们要证明 。( t ) ：一z 1z 币7 ( r ) ( s ) i ( s ) c 醣。加+ z 。z 1 ( r ) 妒( s ) ( s ) d s 。r + a 其中 ：们) j ( 1 饰) i ( s ) 扣：1 邢) 如) 矾) d s = 中( 1 ) 上母( s ) 无( s ) 。s 一上毋( s ) 妒( s ) 5 ( s ) 4 s 由( 1 2 0 ) 知 上f o r s i ni r rs i n ，r s 砸) d s d r 。o z 1z 7 s i n ”rs m ”s 无( s ) 拈d r o 。 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 乏霹篇h ( s ) 粼d s d r 洧= 红m 1 m 。 11 r,dsdr= ) h ( s ) d r ) d s + f t i 。一哪砸涉膨， 一：j c 妒( r ) ( s ) 一一【z 。( 。( 妒( r ) 庐( s( z 1 币7 ( r ) ( s ) 无( s ) d r ) d s 】 一胁帅，f o 。毋( s ) h ( s ) d s - f 1 阶帅渺( 5 篱 以雾 。，妒。，。曲。，：z 。石3 盯，母。，t 。，出，。+ 1 上。c r ，母c 。，a c 。，a a 。， z 。z 1 ( r ) 妒( s ) i ( s ) d s d r = z 。z 3 ( r 坤( s ) k ( s ) d r ) d s + 1 上( r ) 母( 8 1 5 ( s ) d r ) d s l = f i ( s ) 一咖( o ) 砂( s ) 元( s ) d s + 睁( t ) 咖【o ) 1 上妒( s ) 元( s ) 8 3 2z 毋c s ，妒c s ， c s ，d s + 曲c 。z 1 妒c s ，无c s ，d 5 。一。， 9 1 预备知识 由( 1 ，2 8 ) 和( 1 2 9 ) 以及五v 上c z 的事实，推得( 1 2 6 ) 一( 1 - 2 7 ) 成立 又由引理1 1 和i v 上c z 可知， 妒7 ( r ) ( s ) i ( s ) d s l 1 ( o ，1 ) na c t 。( o ，1 ) 。生 妒( r ) 母( s ) i ( s ) d s l 1 ( o ，1 ) na c j 。( o ，1 ) j r 再结合( 1 2 6 ) 一( 1 2 7 ) ，就得到了 a c o ，1 】nc 1 ( o ，1 ) - 注1 2 ：值得一提的是( 1 - 1 4 ) 并不能保证。c 1 ( o ，1 ) 这是因为 j ； ( s ) 元( s ) d s ，p 币( s ) 元( s ) d s a c t 。( o ，1 ) ，所以我们从( 1 1 4 ) 中得到的u 心) = 妒( t ) 詹咖( s ) h ( s ) d s + 庐( t ) f 妒( s ) h ( s ) d s “t ( o ，1 ) 并不意味”c 1 ( o ，1 ) ，因此 积分中值定理不再适用而我们利用引理1 3 中的将w ( t ) 用二重积分的形式表达， 克服了这个困难，证明了”c 1 ( o ，1 ) 引理1 4 设 y 上， 如( 1 - 1 4 ) ( 或等价于( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ) 所定义，则 是边值问题 lu u ( t ) + 7 r 2 u ( t ) + i ( ) = 0 ，n e t ( 0 ，1 ) “a c l o c ( o ，1 ) ( 1 - 3 0 ) i 札( o ) = u ( 1 ) = o 的一个解 、 证明由引理1 2 ，我们只需证明 u ”( ) + ”2 ( t ) + 五( 啦= 0 ， a - e t ( o ，1 ) ， a c ；o c ( 0 ，1 ) ( 1 3 1 ) ”印) 刮z 。似) i ( s ) d s + 卯) ，1 帅) 砸) 如 吲叭) ( 1 - 3 2 ) 所以7 f a q 。( o ，1 ) 从而 删= 妒砸) z 帅) 碓) d 8 + 西) 1 郴) 礤) d s + 妒o ) ) 砸) 帅) 砸) = _ 丌2 帅) z 。郴) 矾) a s - t 2 ) z 1 帅) 硌) d s + 妒) 砸) 一帅) 砸) = 一 2 ( t ) 一a ( t )口e t ( 0 ，1 ) f 1 - 3 3 1 所以( 1 - 3 1 ) 成立 1 0 引理1 5 设r v 上，则( 1 - 3 0 ) 的解集为 ( c ) + o l g ( ，s ) 取s 汹 c 脚 证明 我们知道西和妒是方程u ”( t ) + 7 r 2 “( t ) = 0 ，t 【0 ，1 】的两个线性无关 解 而一( t ) 一”2 u ( t ) = 无( t ) 的任何解均可以表示为 ，1 “( f ) = g ( t ，s ) h ( s ) d s + c ( ) + d 妒o ) ，c ，d r j u 结合边值条件u ( o ) = u ( 1 ) = 0 可得d 一0 所以( 1 3 0 ) 的解集为 却( ) + 詹g ( t ，s ) i ( s ) 如k 珊 一 由引理1 2 和( 1 1 2 ) ，我们可以定义线性算子k ：v 上一伊为 耳( u + ) o ) = ( 曲，一i g ( t ，s ) u + ( s ) d 5 ) ( ) + o ig ( t ，s ) u t ，w , e v 上( s ) d s v (1-340j 0 ) 耳( u + ) o ) = ( 曲，一( t ，s ) u + ( s ) d 5 ) ( ) + ( t ，s ) u t，() 尽管算子k 在上1 ( o ，1 ) 上的限制到l 1 ( o ，1 ) 紧，但是k ：v 上一v 上非紧那么对算 子k 做怎样的限制，它就紧了呢? 我们看下面这个引理 引理1 , 6 对每一个f z + ，定义集合a = p v 上肥( t ) s ( ) t ( 0 ，1 ) ) 则k ( a ) 在c o ，1 中相对紧 证明 凼为( z i ，则i k ( z ) ( t ) i k ( i z l ) ( t ) si i k ( o l l o o t v z a 所以k ( a ) 在c o ，1 中有界由引理1 3 和( 1 3 4 ) 我们知道k ( z ) c 1 ( o ，1 ) n a c 0 ，1 】- 结合( 1 2 9 ) ：对v t l ，t 2 0 ，1 j 以及1 t 2 ，我们有 ，c 2 k ( z ) ( t 2 ) 一( z ) ( t 1 ) l = i ( ( z ) ) 7 ( r ) d r i j “ = f 瓜小咖( s ) d s + 舟) z 1 脚啪i s f ) 小凇跏+ f z l 俐m 圳蛐 s r 2 小郴( s ) 删hr 2 小酬( ( s ) d s 出 f r 郎s 胁+ 2 2 1 蚁汕办 t l 1 预备知识 由引理1 1 ，岳( s ) 0 使得 | i o o 兰m ，钆w 令 砖= t 0 ，1 l s ( t ) + u ( t ) r o ，) e f = 0 【o ，l l l s c ( t ) + u ( e ) r 0 ) c 砖并且 。+ l i m + 。m e 。s t 【o ，1 】i s 庐( ) 一m t o = 1 1 4 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 墼皇墼堡些些墼坚墼丝坠一 从而 。m e 。s 耐= 1 ( 2 6 ) 同理 l i mm 榔霹= 1( 2 _ 7 ) 利用( 2 - 6 ) 和( a 4 ) 以及 2 竹f 1 口( r 1 9 ( 。曲( r ) + u ( ，) ) 母( ，) 出= 2 丌fn ( r ) g ( s 毋( r ) + u ( r ) ) 曲( r ) d r 2 ”上心) 9 ( s 似r ) 札( r ”弛) d r = 2 ”厶m b 。卅h 皿n 渺p m f 2 _ 8 ) + 2 7 r 8 ( r ) 9 ( s ( r ) + w ( r ) ) 双r ) d 7 可知：存在充分大的5 2 使当s 2 ( r ) + u p ) t o 0 时，有： 2 1o ( r ) 9 ( s 2 咖p ) + u ( r ) ) 母( r ) d r 0 ，v j w ( 2 9 ) 同理由( 2 7 ) 和( a 4 ) 以及 2 7 r1 。( ，) 9 ( s ( ，) + 。( ，) ) 毋( r ) d ，：2 ”o ( r ) 9 ( s 毋( r ) + u ( r ) ) ( r ) d r2 7 r j on ( 枇+ 删洲脚”厶。枇+ 删删 咖) j 岸， r 1 0 l + 2 f口( r ) 9 ( s 圣( r ) + u ( r ) ) 毋( r ) d r 可知：存在充分小的s 1 使当s l 妒( r ) + u ( r ) 一r o 0 时，有： 2 n ( r ) g ( s l 咖( r ) + u ( r ) ) 西( r ) d r o ，v u w ( 2 1 1 ) 所以有 西( 3 1 ，u ) 0 使得 令 u 1 1 0 0 m ，乩w( 2 1 4 ) 砑= t e f 0 ，1 l s 毋( t ) + w ( t ) r 0 ，v w )( 2 - 1 5 ) 巧= ( e ( 0 ，1 l s ( t ) + w ( t ) r 0 c 砖并且 从而 同理 因为 。l i m + 。“。o s 。 o ，l l | s ( t ) 一m t o = 1 ( 2 - 1 7 ) 。l i + m 。t t 2 e a s 磅= 1 。i 喳m e a s e f = 1 0 + 一 9 ( + o 。) = ! i m i n tg ( ) 一t ，t ” 所以对任意的e 0 ，存在上述同一个r o 0 ，使当f r o 0 时有 从而 所以 9 ( 沪g ( + o o ) l 蘸g ( ) 啦堕一s 9 ( ) 趔一，比 t 02 0 1 6 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ： 一塑鱼坠墅鳖型堡塑堡坠一 又因为 2 r g ( + o o ) jo ( t ) 庐( ) 出 r 所以对任意给定的上述e ( o ，丛型一石西蒜) ，结合 z n 卜m s 蚶m m 州r _ 2 ”名吣斌州卅吣脚d r 陋。， + 2 7 r o ( r ) 9 ( s p ) + u ( r ) ) ( r ) d r 可知：存在充分大的融，使当p 2 ( r ) + u ( r ) r 0 0 时，对所有的u w ，有 2 ”z 1 m m 蒯r ) + 删打 2 ”( 业盟叫z 1 m ) 卅涉 f 2 - 2 1 ) 同理，因为 g ( - o o ) = l i ms u pg ( f 、 所以对任意的e 0 ，存在上述同一个r 0 20 ，使当 一r o s0 时有 s u p9 ( ) 一g ( - o o ) l 从而 s u p9 ( ) 两十 所以 9 佳) 石两+ e ，比 一r o s0 又凼为 2 ”9 ( - 0 0 ) f 0 1 。( t ) 荆出 r 所以对任意给定的上述( o ，瓦西丽ti 丽一页；_ ) ，结合 2 w 小r ) 9 ( 洲+ 州m 扣2 ”厶嘶) 9 ( 洲+ 川打 f 2 - 2 2 1 + 2 n k g ( s 卅) ) 卅) d r 可知：存在充分小的p 1 ，使当p l 毋( r ) + u ( r ) 一r 0 兰0 时，对所有的u w ，有 ，j 一 ，- 2 ”0n ( r ) 9 ( p 1 毋( r ) + u ( r ) ) 打 2 ( 9 ( 一。) + 5 上。( ”) 。( r ) 打 f 2 2 3 1 jj u f 2 2 3 l 1 7 2 奇异两点边值共振问题的可解性 即 垂( p 1 ，u ) 0 ，v “，w( 3 - 1 ) 令 盆= r a i n 西( 8 2 ，u ) 如仉7 ) ( 3 - 2 ) 则p 0 所以，下面我们只需证明对任意的r ( o ，仞，( 1 3 8 ) 至少有两个不同的解 即可 事实上，由似5 ) 结合定理2 1 中利用定理a 可知：存在r ：r 8 2 0 使得两包含 一条连接 一r ) 百，( o ) 到p ) 面，( o ) 的连通分支( 。，并且 m a x , i ) ( s ，u ) i ( 5 】u ) ( - ，) sm a x 圣( s ，) i ( s ，。) e - _ r 】w ) i 7 下，v t 。w ( 3 - 4 ) 那么利用连通分支0 。的连通性以及( 3 - 3 ) 一( 3 4 ) 可知： 1 9 3 奇异两点边值共振问题多解的存在性 存在c ，上的( 5 3 ，屿) 和( s 4 ，眦) ，并且s 3 ( 一r ，s 2 ) ，s 4 ( 5 2 ，r ) ，使得 圣( s 3 ，) = f ，西( s 4 ，0 j 4 ) = r( 3 - 5 ) 这正说明了5 3 十吣和s 4 5 + 呲是( 1 3 8 ) 的两个不同的解 定理证毕 参考文献 1 】r a g a r w a la n d0 r e g a nd ，s i n g u l a rd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，l o n d o n ，2 0 0 3 2 】r a g a r w a la n d0 r e g a nd ，s o m en e wr e s u l t sf o rs i n g u l a rp r o b l e m sw i t hs i g n c h a n g i n gn o n l i n e a r i t i e s f i x e dp o i n tt h e o r yw i t ha p p l i c a t i o n s i nn o n f i n e a ra n a l y s i s j c o m p u t a p p l m a t h ，1 1 3 ( 1 2 ) ( 2 0 0 0 ) ：1 1 5 【3 】s a h m a d ，a r e s o n a n c ep r o b l e mi nw h i c ht h e n o n l i n e a r i t ym a yg r o wl i n e a r l y p r o c a m e r m a t h s o e ，9 2 ( 3 ) ( 1 9 8 4 ) ，3 8 1 3 8 4 4 】s a h m a d ，m u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u t i o n so fr e s o n a n ta n dn o n - r e s o n a n ta s y m p t o t i c a l l y l i n e a rp r o b l e m s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，9 8 ( 3 ) ( 1 9 8 6 ) ，4 0 5 4 0 9 【5 】5s a h m a d ，n o n s e l f a d j o i n tr e s o n a n c ep r o b l e m sw i t hu n b o u n d e dp e r t u r b a t i o n s ，n o n l i n - e a ra n a l ，1 0 ( 2 ) ( 1 9 8 6 ) ，1 4 7 - 1 5 6 6 】a a m b r o s e t t ia n dg m a n c i n i ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rn o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hl i n e a rp a r ta tr e s o n a n c e t h ec a s eo ft h es i m p l ee i g e n v a h i e ， j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 8 ( 2 ) ( 1 9 7 8 ) ，2 2 0 - 2 4 5 【7 】h a s a k a w a ，n o n r e s o n a n ts i n g u l a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，n o n l i n e a r a n a l y s i st m a ，4 4 ( 2 0 0 1 ) ，7 9 1 8 0 9 f 8 】h a s a k a w a ，o nn o n r e s o n a n ts i n g u l a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，n o n l i n e a r a n a l y s i st m a ，4 7 ( 2 0 0 i ) ，4 8 4 9 4 8 6 0 9 】l e b o b i s u d ，p o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sa tr e s o n a n c e ，j m a t h a n a l a p p l ，1 8 4 ( 2 ) ( 1 9 9 4 ) ，2 6 3 - 2 8 4 1 0 】d g c o s t aa n dj ，v ，a g o n c a l v e s ，e x i s t e n c e n o n l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 8 4 ( 2 ) ( 1 9 8 1 ) ，3 2 8 - 3 3 7 a n dm u l t i p f i c i t yr e s u l t sf o rac l a s so f a tr e s o n a n c e ，j m a t h a n a j