（基础数学专业论文）亚纯函数族的几个正规定则.pdf

摘要 亚纯函数族的f 规性理论是复分析中的一个重要部分，在复分析及相关学 科中有着重要的作用。在过去的几十年里，正规族理论研究得到了相当的关注， 并取得了许多出色的结果。本文主要研究了亚纯函数族的f 规性问题，并得到一 些结果，改进和推广了一些有关的已知结果。全文共分四章。 在第一章，我们对亚纯函数的正规族产生及其发展背景作简要介绍。 在第二章，我们给出了本文所要用到的一些基础知识：亚纯函数值分布理论 方面的基础知识及常用记号，复分析和正规族里的一些基本概念，记号以及一些 重要结果。 在第三章，我们主要讨论了与分担值相关的亚纯函数族的正规陀问题，并桐 应得到了一些j 下规定则。 在第四章，我们讨论了涉及例外函数的全纯函数族的正规定则。 关键词：全纯函数，亚纯函数，正规族，微分多项式，分担值。 a b s t r a c t t h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si so n eo ft h ek e y p a r to fc o m p l e xa n a l y s i s ，a n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nc o m p l e xa n a l y s i sa n d r e l a t e da r e a s i nt h ep a s ty e a r s ，n o r m a lf a m i l i e sa t t a c h e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n ，a n dal o to fr e m a r k a b l er e s u l t sf o rn o r m a lf a m i l i e sw e r eo b t a i n e d i nt h i s p a p e r ，w es t u d yn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n do b t a i ns o m er e s u l t s ，w h i c ha r et h ei m p r o v e m e n t sa n dg e n e r a l i z a t i o n so fs o m ek n o w nr e s u l t s o nt h i st o p i c t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e g m e n t s i nc h a r p t e r1 ，w e g i v eab r i e fr e v i e wa b o u t t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do ft h e t h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s i nc h a r p t e r2 ，w eg i v es o m eu s u a ln o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t s i nv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h et h e o r yo fn o r m a l i t yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i c hw i l lb e u s e di nt h i st h e s i s i nc h a r p t e r3 ，w ed i s c u s sn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sr e l a t e d t ot h es h a r e dv a l u e s i nc h a r p t e r4 ，w ed i s c u s st h en o r m a lf a m i l i e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sr e l a t e dt ot h ee x c e p t i o n a lf u n c t i o n s k e yw o r d s ：h o l o m o r p h i cf u n c t i o n s ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n o r m a lf a r o i l i e s ，d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s ，s h a r i n gv a l u e m 第1 章前言 亚纯函数的币规族理论是复分析的一个重要组成部分。2 0 世纪初p m o n t e l 引入了f 规族概念，它是指一族全纯函数或者亚纯函数的某种列紧性。正舰族理 论的研究既有重要的理论意义，也有重要的应用价值。例如，近年来十分活跃 的复解析动力系统中的基本概念j u l i a 集与f a t o u 集就是由正规性引出的。自p m o n t e l 引入了正规族的概念到现在，正规族理论有了长足的发展，特别是在我 国，从熊庆来、庄昕泰到杨乐、张广厚等，他们所作的奠基工作使我国在正规族 理论的研究方面处于国际前沿地位。 正规族理论的核心就是1 r 规定则的建莎，p m o n t e l 首先把函数族的i i i 舰性与 函数的取值问题联系了起来，这就足经典的m o n t e l f 规定则。p m o n t e l 足利川 模函数证明的，但使用这种复杂的方法似乎难以更深入地研究证规族理论。1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 建立了亚纯函数的两个基本定理，开始了值分布理论的近代 研究。n e v a n l i n n a 值分布理论的产生促进了正规族理论的深入发展，不仅使函 数的正规性与函数导数的取值问题联系起来成为可能，而且使上述m o n t e l 正规 定则的证明变得初等和简单，促进了正规族理论的深入发展。在2 0 世纪3 0 年 代，应用n e v a n l i n n a 理论使正规族理论的研究达到了高峰，涉及哑纯函数族情 形出现了著名的m a r t y 定则，即函数族在区域上j 下规的充要条件是函数族的球面 导数在该区域上内闭一致有界。涉及全纯函数族的情形相继出现了m i r a n d a 、 v a l i r o n 以及庄昕泰正规定则。其中m i r a n d a 定则【1 】的重要意义在于它把函数族 的正规性与函数的导函数的取值问题联系了起来，从而开辟了正规族理论的新的 领域。1 9 7 8 年，顾永兴把m i r a n d a f 规定则推广到亚纯函数族情形，即若亚纯函 数族在区域上有厂0 ，。，( 詹) 1 ，则函数族在该区域卜正规。近年来，自从颐永 兴把m i r a n d a f 规定则推1 。到哑纯函数族情形后，关于业纯函数族i l i 规定则的研 究在我国颇为活跃。有关亚纯函数族的正规定则的h a y m a n 2 】猜想已经全部被证 实，其中不少是我国数学工作者的成果，这标志着正规族理论的研究达到了一个 新的阶段。 1 第1 章前言 2 对于正规族的研究，有一部分是按照b l o c h 原理的启示进行的，虽然这个原 理在一般意义下是不准确的，但人们还是根据这个原理去猜测证明了一些新的正 规定则，详细内容参见陈怀惠【3 】、庞学诚【4 】、陈怀惠和华歆厚【5 】、王跃飞和方 明亮【6 】、叶亚盛【7 】、陈怀惠和顾永兴【8 】等。1 9 9 2 年，w s c h w i c k 首先发现了 分担值与正规族的联系，这为正规族的研究提供了新思路，随后许多学者在这方 面取得了丰硕的成果，详细内容可见徐焱【9 】、刘晓俊和庞学诚【1 0 】、常建明、方 明亮和l z a l c m a n 等人【1 1 ，1 2 】，叶亚盛和庞学诚【1 3 】等等。 过去在建立正规定则时，大部分需要消去原始值，但在消去原始值时，往 往由于需要高度的技巧而使某些工f 规定则的证明，变得相当复杂。7 0 年代以色列 数学家l z a l c m a n 从m a r t yi f 舰定则出发给出了一族亚纯函数不f 规的充要条 件，这样就，j 以用反证法来研究一些正规族问题，但他的这个结果没有能够被 广泛和深入地应用，一直到2 0 世纪8 0 9 0 年代陈怀惠、庞学诚与z a l c m a n 等 人创造性地改进了l z a l c m a n 的工作，把l z a l c m a n 的结果与函数导数联系 了起来，这种方法使正规族理论的研究进入了一个新天地，它被称为z a l c m a n p a n g 1 5 ，8 ，3 ，6 ，1 6 ，1 4 】引理。这种方法不仅使以往许多使用消去原始值的 方法所得到的下规定则的证明变得相当简单，而且又建立了一系列新的f 规定则 本文主要研究了亚纯函数族的正规性问题，并得到一些结果，改进和推广了 一些有关的已知结果。全文共分四章。 在第一章，我们对亚纯函数的正规族产生及其发展背景作简要介绍。 在第二章，我们给出了本文所要用到的一些基础知识：亚纯函数值分布理论 力血的基础知谚 及常用记号，复分析和j i i 规族晕的一些基本概念，记号以及一些 重要结果。 在第三章，我们主要讨论了与分担值相关的亚纯函数族的正规性问题，并相 第1 章前言 3 应得到了一些正规定则。 在第四章，我们讨论了涉及例外函数的全纯函数族的正规定则。 第2 章基础知识 本章我们给出了本文中要用到的一些基础知识：亚纯函数值分布理论，正规 族的一些基本概念、记号和基本结果。 2 1亚纯函数的值分布理论 亚纯函数的值分布理论是由p i c a r d ，b o r e l ，v a l i r o n ，n e v a n l i n n a ，a h l f o r s 等数学家建立并发展起来的，是2 0 世纪数学领域中最杰出的成就之一。自从2 0 世纪2 0 年代起，值分布理论就成了研究正规族最为重要的工具。这里我们将简 单地介绍一些值分布理论的基本概念、记号以及一些基本结果，使用n e v a n l i n n a 值分布论中的一些标准记号，如t ( t ，f ) ，m ( r ，厂) ，n ( r ，) ，s ( r ，t 厂) ，这里 s ( r ，) = o ( 7 1 ( r ，) ) ，r 一。町能除去一个集合e 。e 为具有有穷线性测度的实 数集，每次出现不必相同( 参见【1 7 1 ) 。详细内容见w k h a y m a n 1 8 】或杨乐【1 9 】 或顾永兴、庞学诚和方明亮【2 0 1 。 定义2 1 1 1，2 1 r 嘶，) 2 击z 1 0 9 + 1 1 ( r e i 0 ) i d a 定义2 1 1 7 嘶，击) = 去o o g + 而栖碱n 细 其中l o g + z = m a x l o g x ，o ) ，m ( r ，厂) 也记为m ( r ，厂= ) 或者m ( r ，。) ，是i ，( z ) 的正对数在i z l = r 上的平均值：m ( r ，南) 也记为m ( r ，= n ) 或者m ( r ，o ) 。 定义2 1 2 肌= z ”型宇蚴d t + n ( 0 1 ，) l o 鼽 砷= 0 7 亟与幽d t + f i ( 吖) l o g n 4 第2 章基础知识 5 这里n ( t ，f ) 表示f ( z ) 在z ：i z i t ) 上的极点个数，重级极点按其重数计 算，n ( o ，f ) 表示f ( z ) 在原点处的极点个数，重级极点按其重数计算；丽( ，f ) 表 示f ( z ) 在 z ：h t ) 上的不考虑重级的极点个数，即一个重级极点只计数一 次，元( 0 ，f ) 表示f ( z ) 在原点处的不考虑重级的极点个数，即一个币级极点只计数 一次。其中n ( r ，f ) 称为f ( z ) 的计数函数，( r f ) 称为f ( z ) 的精简计数函数。 定义2 1 2 7 ( r 忍肛 ，击) = o 业字型d t + n ( 咖) 1 0 9 r ， 砒。，) = 叭万1 ) = 0 7 + 元( 0 ，a ) l o g r ， 这里佗( t ，击) 表示f ( z ) 一。在 z ：t ) 上的零点个数，重级零点按其重数计 算；元( ，击) 表示f ( z ) 一在 名：f z f t ) 上的不考虑重级的零点个数，即一个亟 级零点只计数一次。 定义2 1 3 t ( r ，f ) = n ( r ，f ) + m ( r ，) ， 称为f ( z ) 的特征函数。 下面我们给出n ( r ，f ) 、m ( r ，f ) 和t ( r ，f ) 的一些基本性质： pppp 佗( - r ：n 厶) n ( r ， ) ，扎( r 厶) n ( r ， ) ； t ( r ，f ) 是r 的非减连续函数，也是l o g7 的凸函数。 定义2 1 4 设f ( z ) 是丌平面上的亚纯函数，我们定义f ( z ) 的级a 与下级p 分 别为t ( r ，f ) 的级与下级 扣h m s u p 笋， r + o 。 o s pg b+ 厶p m p 耐 一 凡 p 州 p m 厶p m p f l 一 丘 p 嘲 p m pg b+ 厶p 丁 p 瞄 一 几 p d p 丁 厶p 丁 p 旧 一 厶 p 瞄 p t 第2 章基础知识 6 肛：l i m i n fl o g + t ( r , f ) r 一。 l o gr 显然有0 “a 。 定义2 1 5 设f ( z ) 是开平面上的亚纯函数，a 为任一复数。a 称为f ( z ) 的 p i c a r d 例外值，若f ( z ) 一a 没有零点。 定义2 1 6 设f ( z ) 是开平面上的超越亚纯函数，a 为任一复数。定义a 对于 f ( z ) 的亏量( 或者简称为亏量) 为 驰也i ni 。n r 鼎- 1 - l i m s u p 错 容易得出0 6 ( o ，f ) 1 。复数a 称为亚纯函数f ( z ) 的亏值，若其亏量大于0 。 它也称为n e v a n l i n n a 例外值。 下面介绍值分布论中几个非常重要的定理：即对数导数引理，n e v a n l i n n a 第一基本定理和第二基本定理，p i c a r d 定理等。 定理2 1 1 ( 对数导数引理) 设f ( z ) 是i z l n ( o rs 。) 内的亚纯函数，而且f ( o ) 0 ，则当 0 r p r 时，有 m ( r ，等) c 。 1 + l o g + l o g + 厕1 + l o g + 吾+ l o g + 历1 + l o p+log+t(- + l o硝) ) m ( r ，了) c m厕 砉历 p ，小， 其中c 是与f 无关的常数。 定理2 1 2 ( 第一基本定理) 设f ( z ) 是 n ( 0 r 。o ) 内的亚纯函数，则对任意的有穷复数a 和 0 j r r ，有 1 t ( r ，) = t ( r ，f ) + l o gi c r i + e ( o ，7 ) j 一“ 其中c r 是击在原点的展j 1 ：式的第一个非零系数，而且 e ( o ，r ) i l o g + i a i + l 0 9 2 第2 章基础知识 7 定理2 1 3 ( 第二基本定理) 设f ( z ) 是h n ( o rso 。) 内的亚纯函数，不蜕化为常数。又设a j ( j = 1 ，q ) 为q ( q 3 ) 个互相判别的复数( 可以有一个为0 0 ) 。若f ( o ) 0 ，o o ，a j ( j = l ，q ) 及，7 ( 0 ) 0 ，则 ( g _ 2 沙p ，门善( n 忐) _ 1 p ) + 酬r 门 其中 n 1 ( r ) = 2 n ( r ，f ) 一n ( r ，f 7 ) + n ( r ，击) ， 以及 洲) - m ( n 争嘶，告吲掣2 余项s ( r ，f ) 具有如下性质： 当f ( z ) 是有穷级时，s ( t ，f ) = o l o g7 ： 当f ( z ) 是无穷级时，s ( r ，f ) = o l o g ( r t ( r ，) ) ，至多除去一个线性测度为 有穷的集合。 定理2 1 3 ( 第二基本定理的精简形式) 设f ( z ) 是l z i n ( o r 0 0 ) 内的亚纯函数，又设a j ( j = 1 ，q ) 为q ( q 芝3 ) 个互相判别的复数( 可以有一个为。) 。若f ( o ) 0 ，0 0 ，a j ( j = 1 ，q ) 及 f 7 ( 0 ) 0 ，则 ( q - 2 沙p ，) 善肌r 忐) + 剐卅 其中s ( r ，f ) 具有定理2 1 3 中的性质。 定理2 1 4 ( p i c a r d 定理) 设f ( z ) 是开平面上的超越亚纯函数，则f ( z ) 取任意复数无穷多次，至多可能有 两个例外值。当f ( z ) 是有理函数，则f ( z ) 取至0 任意复数，至多有一个p i c a r d 例 第2 章基础知识8 外值，并且f ( z ) 有且仪有一个亏值。 下面介绍值分布论中几个非常有用的不等式：m i l l o u x 不等式，h a y m a n 不 等式以及f r a n k w e i s s e n b o m 引理。 定理2 1 5 ( m i l l o u x 不等式) 设，( z ) 为i z i r ( o r 。) 内非多项式的亚纯函数。若，( o ) 0 ，厂( 七( o ) 1 ，f ( k + 1 ) ( 0 ) 0 ，则当0 7 r 时有 。 丁( 州) 矾卅叭7 1 ) + 万1 j ) 一( r 万1 ) + s ( 删) ， 其中 北肛嘶，“+ m ( r ，竿) + m ( r ，篙。gi 5 - 掣锱铲0 9 2 s ( ? ，) = m ( r ， + m ( r ，l 了一) + m ( 7 ，万= 了) + 1 0 9 生堂兮长石靖南兰i + 1 。g 2 定理2 1 6 ( h a y m a n 不等式) 设f ( z ) 为l z i r ( o 。) 内非多项式的亚纯函数，后是一个j 下整数。若f ( 0 ) 0 ，x ，厂( 。f 0 ) 1 ，( “+ 1 ( o ) 0 及 ( 后+ 1 ) ，。+ 2 ( 0 ) ( ，( 0 ) 一1 ) 一( k + 2 ) ，( 2 + 1 ( 0 ) 2 0 ， 则当0 7 n ，f n ( z ) 和f ( z ) 在d ( z o ，7 ) 内有相同的零点数( 零点 拨呕数汁算) 。 定理2 2 6 ( h u r w i t z 定理) 设厶( z ) 是区域d 内亚纯函数序列，厶( z ) 按球面距离局部一致收敛到厂，每个 厶( 名) 均不取a ( a 为任一有穷复数) ，则f 或者恒等于a ，或者不取a 。 h u r w i t z 定理在函数族f 规性的证明中经常用到，它与z a l c m a n 引理结合起 来在判断函数族是否正规时应用非常广泛。 第2 章基础知识 1 3 定理2 2 7 ( 最大模原理) 设函数，( z ) 在区域d 内解析，则l ，( 名) l 在d 内任何点都不能达到最大值，除非 在d 内厂( z ) 恒等于常数。 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 3 1 1 引言及主要结果 2 0 0 5 年，i l a h i r i 在文2 2 1 中得到了下述正规定则。 定理a 设厂是平而| 二区域d 内的亚纯函数族，a ，6 c ，a 0 。定义 e = 。d ：，7 ( ：) + 志= b ，若仔在证数m ，使iz ，x - e , - ，厂，z e 时 有i ，( z ) i m ，则2 - 在d 内正规。 注3 1 1 ：显然对任意，厂，7 ( 名) + 尚6 定理a 的结论仍成立。 我们可以自然地提出下面一些问题： ( 1 ) 若将定理a 中毋的定义推广为厂7 ( z ) + i 裔= b ( n 为正整数) 时，厂是否 在d 内j 下规? ( 2 ) 若将，7 ( z ) + 百6 改为分担6 ，厂足台在d 内l f 规? 奉章义寸以上问题给予肖+ 定的问答，得到了下列定理。 定理3 1 1 设厂是区域d 内的哑纯函数族，n ( 0 ) ，b 是两个有限复数，定 义巧= z d ：厂7 ( z ) + 方裔= 6 ) ，扎是正整数。若存在正数m ，使当厂尸， z e 时l ，( z ) l m ，则厂在d 内正规。 注3 1 2 ：显然对任意厂厂，7 ( z ) + 下6 ，定理3 1 1 的结论仍成立。 定理3 1 2 设厂是区域d 内的哑纯函数族，o ( 0 ) ，b 是两个有限复数。若 , f i 每组函数9 厂，z22 为。m 黟数， ，7 ( z ) + 尹裔和9 7 ( 2 ) + 南在d 上 分担6 ，则厂在d 内正规。 1 9 9 2 年，s c h w i c k 在【2 1 】中证明了： 定理b 设厂是平面上区域d 内的亚纯函数族，o ，6 ，c 是三个不同复数，若 在d 内对任意f 厂，在d 内，和厂7 分担o ，b ，c ，则y - 在d 内正规。 2 0 0 1 年，h h c h e n 和m l f a n g 在【2 3 】巾证明了： 1 4 第3 2 与分担值相关的亚纯函数正规族 1 5 定理c 设厂是平面上区域d 内的亚纯函数族，n ，b ，c 是三个复数，o b 。 若在d 内对任意f 厂，厂和厂( 岛) 分担o ，b ，并且厂一c 的零点重级至少为k + 1 ， 则厂在d 内j 下规。 2 0 0 8 年，韩明华和顺水兴在【2 4 】f f l 对【2 3 】进行了改进，得到： 定理d 设厂是平面上区域d 内的亚纯函数族，o ，b ，c 是三个复数， o b 。若在d 内对任意厂厂，f c 的零点重级至少为k + 1 ，且面肿) ( o ) c 西，( n ) ，e s ( t ) ( 6 ) c 己( 6 ) ，则厂在d 内正规。 同时张庆德和秦春艳在【2 5 】中得到： 定理e 设厂是平面上区域d 内的亚纯函数族，o ，b ，c 是三个两两判别 的有限复数，d 是一个有限复数，k 为i | i 掺数。如果刈f 任意厂厂，所- h f d 的零点重级至少为k ，在d 内百f f t ，( o ) 一e f ( 。) ，t sc - ，( b ) 虿，( 6 ) ，并且 一e f ( c ) e s ( - ) ( c ) ，则厂在d 内j j i 舰。 注3 1 3 ：在定理e 中，若令c = d = 0 ，则可以得到定理d 。 刘晓俊和庞学诚【2 6 】从分担集合的角度证明了： 定理f 设厂是平面上区域d 内的亚纯函数族，n 1 ，0 2 ，0 3 为三个互异的有限 复数。如果对于任意t 厂厂，在d 内，和t 厂7 分担集合s = n ，n z ：n 3 ) ，则厂在 d 内j i 规。 章文华( 【2 7 】，【2 8 ) 证明了下列结果。 定理g 设厂是单位圆盘上的亚纯函数族，n ，b 是历个互异的非零复数， s = o ，6 。如果对于任意厂厂，厂的零点重级至少为七十1 ，k 为一个正整数， 且在d 内动( s ) = 百渺) ( s ) ，则厂在a 上正规。 本文继续探讨分担集合和正规族的关系，将定理b 、定理c 、定理d 、定理 e 和定理g 的结果推广到分担由两个瓦异的有限复数值组成的集合的情形卜，得 到了一些结果。 定理3 1 3 设厂是区域d 内的亚纯函数族，0 1 ，0 2 ，c 是有限复数，n 1 0 2 ，s = n 1 ，0 , 2 ) 。若对于任意f ( z ) 厂，s ( z ) 一c 的零点重级至少为k + 1 ，且在 d 内e s ( t ) ( s ) c 可( s ) ，则厂在d 内正规。 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 1 6 事实上，我们证明了更一般的结论，如f ： 定理3 1 4 设厂是区域d 内的亚纯函数族，b 1 ，6 2 ，c 是有限复数，并且 b 1 b 2 ，s = b 1 ，b 2 ，o , 0 ( z ) ，a l ( z ) ，o 知一1 ( z ) 在区域d 内全纯。若对于任意 f ( z ) 厂，f ( z ) 一c 的零点重级至少为k + 1 ，且在d 内吾h ( ，) ( s ) c 己( s ) ，其中 ( i 厂) ( _ z ) = 厂( ( z ) + a k - 1 ( 2 ) 厂( k - 1 ( z ) + + a l ( z ) f 7 ( z ) 十a o ( z ) f ( z ) ，则厂在d 内 正规。 定理3 1 5 设厂是区域d 内的亚纯函数族，a ，b 和d 为三个两两判别的有限 复数，c 是一个判别于a 和b 的有限复数，k 为正整数。如果对于任意f ( z ) 厂， 所有，( z ) 一d 的零点重级至少为k ，s = o ，6 ) ，在d 内e ，( - ，( s ) ce ，( s ) ，并且 否r ( c ) c 西卅) ( c ) ，则厂在d 内正规。 3 2 主要弓i 理 引理3 2 1 【2 9 】设，是c 上的亚纯函数，n 是一个正整数，b 是一个非零常 数。若厂n 厂7 b ，则f 是一个常数。若厂是一个超越亚纯函数，则广f 7 取每个有 限非零复值无穷多次。 引理3 2 2 【3 0 】设厂是c 上的非常数有理函数，佗是一个正整数，则f n f 7 取每个有限非零复值。 引理3 2 3 【3 1 1 设f ( z ) 是有穷级的超越亚纯函数，k 是一个正整数，a 是 一个非零有限复数，若f ( z ) 的零点重级至少为k + 1 ，则，( 七( z ) 能取到a 无穷多 次。 。 引理3 2 4 3 2 1 设厂( z ) = o n 扩+ a n - 1 扩一1 十+ 咖+ 豁，o o ，0 1 ，是 常数，且n 。0 ，q ( z ) 和p ( z ) 是互素多项式，d e g ( q ( z ) ) d e g ( p ( z ) ) ；k 是正 整数。若，2 ( 。) 1 ，则 他) 2 吾+ - + 。+ 南 若f ( z ) 的所有零点重级至少为k + 1 ，则 m ，= 筹， 第3 i 与分担值相关的亚纯函数正规族 1 7 7 ( 0 ) 和j 是常数。 3 3 定理的证明 定理3 1 1 的证明： 假设厂在z o 处不i 卜规，则由z a l c m a n 引理，存在点列z y ，z 3 一z 0 ；函数列 乃厂：j j j 数列p 。_ o + ，使得 一l 缈( ( ) = 阿+ 1 h ( z j + n ( ) ， 在c 上关于球面距离局部致收敛到一个非常数的亚纯函数夕( ( ) 。 彰( ( ) + n 町”( ) 一阿+ 1b = 巧 i t + 1 f ；( z j + 乃 ) + a f f “( 勺+ d ( ) 一6 ) ， 在c 上除g 的极点的区域上关于球而辨! 离局部一致收敛到9 7 ( ) + 南。 断言：必存在( 0 c ，使得g t ( ( 0 ) + 歹薪= 0 。 事实上，9 7 ( ( ) + 南= 蛆擎，并且9 ( ( ) 的零点不是9 7 ( ( ) 夕”( ( ) + 。的零 点。若9 ( ( ) 为非常数有理函数，由引理3 2 2 知，g ( 0 ，在白的某邻域，使得 1 9 ( ( ) i k ，当j _ o o 时，乃( ( ) 内闭一致收敛到9 ( ( ) ，故i 缈( ( ) 一夕( ) i 0 ，使得d ( o ，j ) nd ( g ，j ) ： o ，其中d ( ( 0 ，6 ) = f ( ：i ( 一( 0 l 6 ) ，d ( 筛，6 ) = ( ：i ( 一g i j 。由( 3 3 1 ) 式，仔在0 d ( ( 0 ，6 ) ，g d ( 鲒，6 ) ，使得对于充分大的j ， f ；( z j + 乃白) + 刁孓亏1 a i i 丽一= o ， 形( 乃+ 乃g ) + 巧可亏j a i i 万一6 = 。 由已知条件，对厂，g 厂，7 + 秀和9 7 + 万a 分担b ，则对任意j 卜整数m ， 岛( 乃+ 丹白) + 丽丽a 山= o ， 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 1 9 ( 勺+ p j i ；) + 丽再a 丽一6 = 。 固定仇，使j _ o o ，且乃+ 约白一0 ，勺+ n g _ 0 ，则 岛( o ) + 丽a 一6 = o j n 。， 又器+ 鬲a b 0 ，否则乜+ 靠三丘胪三b 。若b 0 ，由引理3 2 1 和引理 3 2 2 知，岛儡+ n 必有零点，即岛+ 焘必有零点，与岛+ 东三b 0 矛盾。 若b = 0 ，则丘舞垫三0 ，由岛名+ 。与儡无公共零点知，儡+ n 三0 ，即 盛n + 兰l 三一。( ，此与厶的单值性矛盾。故儡+ 雨a b 0 。 由只+ 壳一b 的零点的孤立性知 z j + p 南= 0 ，z j + p j j = 0 从而白= 一苦，g = 一苦，与白d ( o ，6 ) ，g d ( g ，6 ) ，且d ( 白，8 ) n d ( ( 8 ，6 ) = d ，矛盾，故9 7 + 万a 仅有一个零点。 设白为9 7 + 万a 的唯一的零点，则岛不可能为g 的极点，从而 b 为夕7 9 ”+ o 的唯一零点，由引理3 2 1 知，g 不为超越亚纯函数。 若g 是非常数多项式，则可设9 7 圹+ n = a ( 一 o ) 2 a 是一个非零常数，f 是一 个正整数，z n 2 。令妒= 籍，则妒7 = gr g ”。从而妒7 = a ( ( 一 0 ) 2 一n ，妒”= a f ( ( 一白) ，n 2 。则妒的零点重级几+ 1 3 ，但妒仅有一个零点白，故妒 有相同的零点 b ，从而垆7 ( 0 ) = 0 ，此与妒7 ( 白) = 一a 0 矛盾。故g 和咿均为有理 函数，且妒7 + a 仅有一个零点白。 下面证明不存在这样的有理函数妒。 设 妒( ) = 4 镣带等筹丢滞 ( 3 3 2 ) a 为非零常数，且m t 几+ 1 ( i = 1 ，2 ，8 ) ，n j 凡+ l ( j = 1 ，2 ，t ) 。 记 m 1 十m 2 + + m 。= m ， ( 3 3 3 ) 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 2 0 由( 3 3 2 ) 得 佗1 + n 2 + + 仇= n ( 3 3 4 ) 妒，( ( ) = a 与笛蒜岽葛杀繇铲= p q l a ( 3 3 5 ) 其中p ( ( ) = ( m 一) ( 卧。一1 + a s + t - 2 卧扣2 + + a o ，p 1 ( ( ) ，q 1 ( ( ) 是多项式。 因妒7 + o 仪有一个零点( 0 ，由( 3 3 2 ) 得到 妒k ) = 一口十丽耵唧高第丽= p q l a ( 3 3 6 ) 由( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 得到 其中 其中 妒7 ，( ( ) = a 譬群蔫睬豸嘉臻铲， ( 3 3 7 ) g ( ( ) = ( + t ) ( 一m ) ( 2 3 + 2 一2 + 6 2 。+ 2 一3 ( 2 5 + 2 一3 + + b o 情形1 f n + t 由( 3 3 6 ) 知， 妒7 k ) = 丽丽景甓舄毪丽阿， ，( ( ) 一( f 一v 一) ( + ( ：1 ( 一1 + + c o 由( 3 3 9 ) 和( 3 3 1 1 ) 知， d e g ( p ( ( ) ) s + t 一1 ， d e g ( q ( ( ) ) 2 ( s + t 1 ) d e g ( p 1 ) = d e g ( q 1 _ ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) d e g ( q t ) = + t = d e g ( p 1 ) = m s + d e g ( p ) m 一+ ( 8 + t 一1 ) sm + t 一1 ， ( 3 3 1 2 ) 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 故m - n 1 ，由妒= 籍，则m t ，n j ( i = 1 ，2 ，s ) ( 7 ，= l ，2 ，) 为n + 1 的倍 数，则m 和也应为n + l 的倍数，则m n n + l 。由n 2 知，m n 3 。 故d e g ( ( ) ) = 8 + 一1 ，d e g ( p l ( d e g ( 9 1 ( ( ) ) ，与( 3 3 1 1 ) 矛盾。 情形2 f n + t 由( 3 3 2 ) ( 3 3 6 ) 和( 3 3 9 ) 知，d e g ( p l ( ( ) ) d e g ( q l ( ( ) ) ，即m s + d e g ( p ) n + t ，m n t + s - d e g ( p ) t + s s t + 1 1 ， 臣i ja i v 。1 人j f 一一t 0 ，则d e g ( r ( n 得到 从而得到矛盾。 情形3 z = n + t m 2 8 + 亡 坐+ 旦 兰 n ，m n n + 1 3 ，则d e g ( p 1 ) = m 一8 + 8 + t 一1 = m + t 一1 ，d e g ( q 1 ) = n + t ，d e g 1 ) 一d e g ( q 1 ) = m + t 一1 一_ t = m 一一1 2 。此与d e g ( p 1 ) d e g ( 口1 ) 矛盾。故m n 。由( 3 3 7 ) 和( 3 3 8 ) 得到 l 一1s d e g ( g ( ( ) ) 2 ( 8 + t 一1 ) ( 3 3 1 5 ) 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 山( 3 3 1 0 ) ，( 3 3 1 4 ) 和( 3 3 1 5 ) ，2 = n + t 和m n 有 一斟， 2 ( s + t - 1 ) 斟1 2 s 伊1 希+ 蔫邯鬻一 得到矛盾，即厂在d 内正规。 定理3 1 2 得证。 定理3 1 4 的证明： 假设厂在z o d 内不止规，由z a l c m a n 引理，存在复数列，z n 一幻；函 数列厶，厶厂；正数列砌_ 0 + ，使得 “沪坐等业， 在c 上关于球面距离局部一致收敛到一个非常数的皿纯函数夕( ( ) 。因为厶一c 的 零点重级至少为k + 1 ，则夕( ( ) 的零点重级至少为k + 1 ，且g 的级至多为2 。 k l 9 乎( ( ) + “k 。- i a t ( + 肪( ) 夕( ( ) i = 0 = 辟( + 肌( ) + 。t ( + 风( ) 臂( + 砌( ) i = 0 由a i ( + m ( ) 9 9 ( ( ) 一a i ( 2 0 ) 9 ( ( ( ) 得到a i ( + 肌 ) 夕( ) ( i = 0 ，1 ，k 一1 ) 在 c 上局部有界，从而 k 一1 夕磬( ( ) + p n i ( 锄+ 舰( ) 9 ( ( ) 一9 。( ( ) i = 0 下面分三种情形证明。 情形1 c = b 1 断言：9 ( 2 ) ( ( ) s 号9 ( ( ) = 0 。 如果存在某个( 0 c ，使得夕( 七( 白) s ，即存在某个b i s ，使得夕( 七) ( ( 0 ) = b i 。又有夕( ( ( ) b i ，否则9 ( 2 ( ( ) 三6 ，g 为至多k 次多项式，此与g 的零点重级 第3 章与分担值相关的亚纯函数正规族 至少为k + 1 矛盾。由h u r w i t z 定理，1 竽在厶，当佗充分大时，靠_ ( o ，使得 k 一1 9 乎( 厶) + p ，k 。- i a l ( 锄+ 岛。厶) 夕( 厶) i = 0 = 群2 ( + 耽厶) 十n t ( + 肌厶) 臂( 钿+ 砌 n ，厶( + 舰厶) b l ，则 舶) _ l i m 坐专业= 热丛半= ，熙警一 与夕( 。( ( 0 ) = b i 矛盾。故存在 厶) 的子列( 记为 b ) ) ，使得对每个j ，厶，( z + 肌，厶，) = b l ，从而 拍) = 熙坐学= 熙坐学扎 故9 ( 白) = 0 。 情形1 1 b 2 0 断言：夕( 2 ( ( ) b 2 。 因为9 ( 七( ( ) b 2 ，否则g 为k 次多项式，与g