（基础数学专业论文）三维minkowski空间中的类光线汇.pdf

at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s l i g h t l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e i nt h r e e d i m e n s i o n a lm i n k o w s k i s p a c e b yh u n a s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 j ，趣曾t蚕量墨口-箩 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 学位论文作者签名： 胡之司p 日期：2 d o q 6 弓。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年一年口一年半口两年口 学位论文作者签名： 古目姆降 签字h 期：a o o q 6 ，弓。 导师签名： 签字日期： 堆主 u 以厶、。 东北大学硕士学位论文 摘要 三维m i n k o w s k i 空间中的类光线汇 摘要 直线汇理论是古典微分几何的一个重要研究领域，作为双参数的直线族，它对于 研究曲面的无穷小变形问题和求解特殊微分方程( 如：s i n e b o r d o n 方程) 有重要的指导 意义近二三十年，希腊的t s a g a s 教授和p a p a n t o n i o u 教授将线汇引入到三维m i n k o w s k i 空间，推广了线汇在物理和力学上的应用根据线汇中光线的类型，将线汇分成类时 线汇、类空线汇和类光线汇三种 本文研究以类光方向为光线方向的类光线汇在第二章介绍m i n k o w s k i 空间、线 汇、n u l l s c r o l l 及b s c r o l l 的基础知识在第三章，首先，给出类光线汇的定义接着， 由于类光线汇的特殊性，其上的可展曲面是退化的，于是利用b s c r o l l 来替代可展曲 面的概念仿照两个可展曲面生成焦曲面的方法，类似的由b s c r o l l 生成一个曲面， 可证这个曲面为参考曲面最后，讨论类光线汇的主要曲面，且证明了b s c r o l l 恰好 为主要曲面时线汇需要满足的条件 关键词：类光线汇；n u l l s c r o l l ；b s c r o l l ；主要曲面 e q u a t i o n s ( s u c ha ss i n e b o r d o ne q u a t i o n s ) n e a r l yt w o t ot h r e ed e c a d e s ，t h eg r e e k p r o f e s s o r t s a g a sa n dp r o f e s s o rp a p a n t o n i o ui n t r o d u c e dr e c t i l i n e a rc o n g r u e n c ei n t ot h r e ed i m e n s i o n a l m i n k o w s k is p a c ei no r d e rt op r o m o t et h ea p p l i c a t i o no fr e c t i l i n e a rc o n g r u e n c ei np h y s i c s a n dm e c h a n i c s a c c o r d i n gt ot h et y p eo fl i g h t ，w ec a nd i v i d er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c ei n t o t h r e et y p e s ：t i m e l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e ，s p a c e l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c ea n dl i g h t l i k e r e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s so n et y p eo fr e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e ，l i g h t l i k er e c t i l i n e a r c o n g r u e n c e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo fm i n k o w s k is p a c e ， r e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e ，n u l l - s c r o l l ，a n db s c r o l le c t i nt h em i r dc h a p t e r , f i r s to fa l l ，w e g i v et h e d e f i n i t i o no fr e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e t h e n ，a sar e s u l to fs p e c i a l i t yo fl i g h t l i k e r e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e ，t h ed e v e l o p a b l es u r f a c e so ni ta l ea l ld e g e n e r a t e ，s ow et h i n ka b o u t u s i n gb s c r o l l st or e p l a c ed e v e l o p a b l es u r f a c e s d e v e l o p a b l es u r f a c eg e n e r a t e sf o c a ls u r f a c e ， b yt h es a m em e t h o d ，w ea l s ou s eb - s c r o l lg e n e r a t ea n o t h e rs u r f a c ew h i c hi st h er e f e r e n c e s u r f a c eo ft h el i g h t l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e f i n a l l y ，w ed i s c u s st h em a i ns u r f a c eo ft h e l i g h t l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e ，a n dp r o v ew h a tc o n d i t i o ns h o u l db es a t i s f i e db yt h e l i g h t l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c ew h e nb s c r o l li sj u s tm a i ns u r f a c e k e yw o r d s ：l i g h t l i k er e c t i l i n e a rc o n g r u e n c e ；n u l l - s c r o l l ；b s c r o l l ；m a i ns u r f a c e i i i - 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t 。i i i 第1 章引言1 1 1 线汇的发展及研究背景1 1 2 本文主要研究内容1 第2 章预备知识3 2 1 ，z 维m i n k o w s k i 空间3 2 2 三维m r n k o w s k i 空间中的向量4 2 3 三维m i n k o w s k i 空间中的曲线7 2 4 三维m i n k o w s k i 空间中的曲面7 2 5 三维欧氏空间中的线汇9 2 6 以类光方向为母线方向的类时直纹面1 5 第3 章以类光方向为光线方向的线汇1 9 3 1 类光线汇与可展曲面1 9 3 2 类光线汇与b s c r o l l 2 2 3 3 类光线汇的主要曲面与b s c r o l l 3 0 3 4 类时线汇形成b s c r o l l 的条件3 3 第4 章总结3 5 参考文献3 7 致谢3 9 _ i v 东北大学硕士学位论文 第1 章引言 第1 章引言 1 1 线汇的发展及研究背景 空间中双参数直线族的直线全体称为直线汇，族中的各直线称为汇的光线【l 巧】这 方面的理论开始于1 8 3 0 年h a m i l t o n 对于欧式空间曲面双参数法线集的研究1 8 6 0 年， k u m m e r 在他的论文a l l g e r n e i n et h e o r i e d e rg e r a d l i n i g e ns t r a h l e n s y s t e m e ( 发表于c r e l l e s j o u r n a l i s t7 卷) 中对直线汇做出了系统的讨论，对相关的重要元素都有所涉及，只是基本 形式的构造与参考曲面的选择有关，在证明空间中任意两个线汇的等价问题中不能使 用，所以后来s a n n i a 在1 9 0 8 年对k u m m e r 构造的基本形式加以改良，引入空间中两光 线的能率万s i n 8 的概念来改造直线汇的第二基本形式，其中万为空间中任意两光线间的 最短距离，秽为两光线间的夹角s a n n i a 构造的第二基本形式完全由线汇所决定，故可 以用来研究直线汇的等价问题 同时还有很多的学者对这方面的理论进行了讨论和研究，国外，m a l u s ，d u p i n ， h a m i l t o n ，b e r w a l d ，v k o m m e r e l l ，d a r b o u x ，v o s s ，w e i n g a r t e n 对线汇的发展都做出 了巨大的贡献o g u r a 利用s a n n i s 基本形式定义了线汇的配分参数，主要参数和平均 参数国内，苏步青教授在2 0 世纪二三十年代对线汇也做出了巨大的贡献，在1 9 2 6 年研究了直线汇的构图问题，证明了直线汇配分参数和平均参数所满足的一个重要定 理r i b a u e o u r d 对极小线汇作了系统的研究，得到了很多定理，如：一个极小线汇的 中点包络面是极小曲面近二三十年，线汇的研究主要集中在希腊，希腊的t s a g a s 教 授和p a p a n t o n i o u 教授将线汇引入到三维m i n k o w s k i 空间，并对此做了一些讨论 6 8 1 利 用m i n k o w s k i 空间中直线向量的分类和曲面的分类来讨论直线汇，利用线汇的两叶焦 曲面之间的映射的性质对直线汇作了分类，利用线汇的两叶焦曲面间的一一对应关系 所建立的映射，证明了线汇的焦曲面之间的映射是共形映射，保面积映射时线汇的存 在性，且证明了在m i n k o w s k i 空间中线汇焦曲面之间的映射可以是保持平均曲率的例 如利用直线汇证明了m i n k o w s k i 空间中极小旋转曲面只有悬链面 1 2 本文主要研究内容 对于三维m i n k o w s k i 空间中的类时线汇和类空线汇的性质，已经有很多研究，可 东北大学硕士学位论文第1 章引言 以看出这些结果与欧氏空间中的线汇的性质很类似本文研究以类光方向为光线方向 的类光线汇，探讨它是否也有与欧氏空间的线汇相同的性质，例如可展曲面，焦曲面， 中点曲面，主要曲面等等 类光线汇上沿着任意一个方向d u ：d r 做一个直纹面，由于类光线汇的特殊性可知， 如果这个直纹面是可展的，则它一定是退化的，于是不可像欧氏空间中的线汇及 m i n k o w s k i 空间中的类时，类空线汇一样利用可展曲面定义焦曲面和中点曲面的概 念而又由于这个直纹面以类光方向为直母线方向，所以它可以写成n u l l s c r o l l 的形 式，而b s c r o l l 又是n u l l s c r o l l 中的特例，于是想到利用b s c r o l l 来替代可展曲面的概 念，经计算得到结论，除去某些特殊类光线汇外，对于类光线汇及某一常数c ，总可 以找到两个方向使形成的特殊直纹面n u l l s c r o l l 为b s c r o l l 仿照欧氏空间线汇中的可 展曲面生成焦曲面的方法，我们也类似的由b s c r o l l 生成一个曲面，可证这个曲面为 参考曲面最后，我们讨论类光线汇的主要曲面，且证明了b s c r o l l 恰为主要曲面时 线汇需要满足的条件 一2 一 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 ，l 维m i n k o w s k i 空间 定义2 1 假设矿是以维向量空间，且在矿上有一个对称的双线性函数 ( ，) ：v x v 专r ， 则可以选取一组标准正交基底k ) ( 扣1 ，2 ，刀) ，使得 g 扩= c 巳，p ，= 屯= 兰。三三二：? 刀 称 为向量空间y 上的内积 设g 驴的值为1 的数目为小，为一l 的数目为p ，贝l jm + p = 疗若聊和p 中任意一个为 零，则此时的空间为刀维欧氏空间，记为e “；若m 和p 均不为零，则此时的空间为，z 维 伪欧氏空间( 或l o r e n t z 空间) ，记为群；特别地，当p = 1 时，称向量空间v 为拧维 m i n k o w s k i 空f b l ，记为研；当刀= 3 ，p = 1 时，称向量空间v 为三维m i l l l ( o w s k i 空间9 。1 1 1 ， 记为研 定义2 2 设y 是玎维m i n k o w s k i 空间，任取向量口v ，口0 ， 若 ( 口，口) o ，则称口为类空向量； ( 口，口) = o ，则称口为类光向量； ( 口，口) 0 ，则称口为类时向量 我们规定零向量为类空向量 由于m i n k o w s k i 空间中向量的特殊性，所以在m i n k o w s k i 空间中有两种常用的标架： 正交标架和伪正交标架 定义2 3j 下交标架碡) ： - 3 - 第2 章预备知识 ，勺，= g 驴= 岛= l ! ，圣三：；! 万一1 = 岛= i = j = 2 ，珂- 1 ；i = 1 ，= n ；i = 以，j = 1 ， i j ( i ，j = 2 ，n - 1 ) ， i = j = 1 ，拧 k i 空间中的向量 设口= 扛。，x ：，屯) ，= 。，y ：，y 3 ，其中，_ ，y ；r ( i = 1 ，2 ，3 ) 的内积定义如下： ( o f , ) = 筇= x l y l + x 2 y 2 - x 3 y 3 ， ( 口，) = q 矽= x l y 3 + x 2 y 2 + 石3 y 1 若向量口，的内积为零，则称口，正交 性质2 1 日中不存在两两正交的类时向量 证明设口= x l , x 2 ，x 3 ，= y l y 2 ，y 3 ) 为两个任意的类时向量，则有 而2 + z 2 2 一x 3 2 0 ，y 1 2 + y 2 2 y 3 2 0 ，则称厂= ，( j ) 为类空曲线； 缸，口) ，g = 0 2 = ( o ，) 称为曲面s 的第一基本量 定义2 1 1 设曲面s 的方程为r = r ( u ，1 ，) ，对于s 上的类空点或类光点，设刀为单位 法向量，则 ( 甩，d 2 ，) = 刀d u 2 + 2 ，z 幽咖+ 刀咖2 称为曲面s 的第二基本形式，用i i = l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 表示其中 三= 以= ( ，z ，厂枷) ，m = ，l = ( ，l ，) ，n = n r = ( 咒，) 称为曲面s 的第二基本量 定义2 1 2 设曲面的第一基本量，第二基本量分别为e ，f ，g 和l ，m ，n ，令 日= 骂2 e 筹gf， 一 2 i k 2 阿l n - 刁g 2 e gf ， j 一 2 l h ，k 分别称为曲面s 的平均曲率与g a u s s 曲率 东北大学硕士学位论文笫2 章预备知识 2 5 三维欧氏空间中的线汇 定义2 1 3 在e 3 中，给定曲面s ：，= r ( u ，) ，( “，1 ，) d 及向量函数 r = r ( u ，v ) ，似，) d ， 通过点r ( u ，v ) 沿方向r = r ( u ，) 的双参数直线有如下向量表示 t ( u ，f ) = r ( u ，1 ，) + t r ( u ，) ，( “，v ) d 称此双参数直线族为直线汇，简称线汇线汇中的直线称为光线，其中曲面s 称为线 汇的参考曲面，r ( u ，) 称为光线的方向向量 现在我们作两个微分形式 d o 2 = ( 掀，d r ) = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ， ( d r ，d r ) = e d u 2 + ( + 厂) d u d v + g d v 2 ， 其中 e = ( r 。，兄) ，f = ( r ur ，) ，g = ( 尺，r ，) ， p = ( r u , r 。) ，f = ( ，r 。) ，f = ( 吒，r ，) ，g = ( ，r ，) 这两种形式称为线汇的k u m m e r 的基本形式一般来讲，f f 定义2 1 4 凡是由一个曲面的法线所构成的直线汇称为法线汇 接下来给出引理2 4 引理2 4 一个直线汇成为法线汇的充要条件是f = f 成立 证明设直线汇是由一个曲面的双参数法线所构成的，则此f h l 面的点必可用向量 表示为 ，= r ( u ，v ) + t ( u ，v ) r ( u ，1 ，) ， 其中，t = t ( u ， ，) 表示适当的函数因为线汇中的光线与上述曲面正交，所以对于此曲 面上的任何方向d u ：d v ， ( 尺，d r ) = 0 ， 即 一9 一 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 ( 足d ( ，+ 尔) ) = o ， 我们可把它改写为 锄a t + ( r ，吒) = o ，瓦o t + ( r ，) = 。， 但是上式的可积分条件是 面0 ( _ 0 t ) = _ 0 【瓦0 t o uo u ) ，钟咖 即 知屹) = 杀( 砩 也就是 ( r ，屹) = ( r 。，) ， 所以必须成立厂= f 反过来，假定厂= 厂，则兰+ ( 尺，乞) = o ，_ o t o uo h + ( r ，) = o 可积分，得 t c u , v ) = 一( r ，屹) 咖+ 似，。) 咖+ 常数， 这时由，r ( u ，v ) + f ( “，v ) r ( u ，) 所决定的曲面必定与所给的直线汇正交，就是说，这 直线汇是法线汇 从一个直线汇中任意抽出单参数的直线族，这个族就构成一个直纹面，而且它的 表示方程是 缈( “，1 ，) = 0 ，或u = 厂( 1 ，) ，或，= 厂 ) 我们来决定直线汇中的这个直纹面要成为可展曲面的条件 设l ( u ，y ) ，l ( u + d u ，1 ，+ d v ) = ，7 为一个线汇的两条邻近的光线；在一阶无穷小的范围 内，用r 与r + 积分别表示，与，的单位方向向量；万为，之间的最短距离，设 ，l = ( 兄，1 ，) 是公垂线的单位方向向量，则 刀= c r d r ， 其中，c 是它们相应分量的比例因子在一阶无穷小的范围内，如用d o y j ：示l ，之间 的夹角，则 一1 0 一 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 d o 2 = ( 积，d r ) - e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ， 这就是k u m m e r 所引进的第一个基本形式由于 ( r 积) 2 - - r ，r ) e r ，积) 一( 尺，积) 2 = ( 积，d r ) - d o 2 ， 所以得到 ，l ：r x 塑 因为行列式 ( r ，咒，r ) = 抠瓦可o ， 即三向量r ，尺。，尺，是线性无关的，所以成立分解式 r r u = a r + b r 。+ c r ， 注意到关系式 ( r ，r ) = 1 ，( r 。，r ) - - r ，r ) = 0 ， 便有 a = ( r ，r r 。) = 0 ， e b + f c = 0 f b + g c = 一e g f 2 。 由此确定么，b ，c ，从而得到 尺r 。= 产兰号( e r ，一职。) 4 e g f 2 同样可得 r r ，= 产= 二= = 号( f r ，一g r 。) 4 e g f 2 于是，可以改写 从而 刀：尺一d r ：! 塑塑筵竺竺1 2 坐 d o 4 e g f 2 d o 一1 1 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 万= ( d r ) = ( n ，乞如+ o 西) 1 = f = = = 兰f ( 乞咖+ r , d v ) ( e r ，一咫。) d u + ( f r ，一g r 。) d v 】 e g 一 “d o ( f f 一f e ) d u 2 + ( 一矽+ 可7 一g e ) d u d v + ( 露一g f ) d v 2 一；= = = = = = = = = = ：一 0 e g f 2 d o 万= 孺赢1l e 砒d u + + 伽f d vf ，d 凯u + + g 础d 叫i 所以当直线l ( u ，) 沿方向d u ：d v 变动时，为了能组成一个可展曲面，相邻两直线间的 最短距离万必须是二阶无穷小，即 l e d u + 只如只托+ g 洲 i e d u + f d vf d u + g d v l 0 ll = 汶旱一个二阶微分方程官常义了两个堕参狮可属曲而j ；搴谈样毪们得到 引理2 5 经过一个直线汇的任何一条光线，一般可引两个可展曲面 定义2 1 5 各条光线，与各个可展曲面的腰曲线有一个切点，称为，的焦点，每条 光线上有两个焦点，它们的轨迹称为二叶焦曲面 上述的可展曲面决定法是从量的角度出发考虑的，然而这图形对直线汇来说是射 影共变的，所以从射影的观点出发也可以作出定义 线汇中的一条直线，( “，v ) 是由方程 ，= r ( u ，) + p r ( u ，y ) 所定义的，其中，= ( x ，y ，z + ) 表示，上动点的坐标，而且p 是参数 倘若，是，的一个焦点，则 p = p ( u ，y ) ， 而且 d r = c r ， 其中，c 是适当的比例因子由厂= r ( u ，v ) + 肚( “，v ) 可得 一1 2 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 从而得 也就是 d r = a , + v s + ( d p ，r ) ， ( r u , d r ) - - 0 ，( d r + ) = o e d u + 巩+ p ( e d u + f d v ) = 0 ， 厂锄+ g d v + p ( f d u + g d v ) = 0 消去p ，则可得到可展曲面的微分方程 降+ 砌砒+ 叫乩 i e d u + f d vf d u + g d v i 如果消去d u ：咖，则得到p 所满足的二次代数方程 即 防e + p e p f 三：p g l ：o ，i + g + i ( e g f 2 ) p 2 + 【g e 一( + 7 ) f + e g p + 曙一= 0 设岛，p 2 为上述方程的两根，则 a + 如= 一生铲， 岛仍= 筹， 而且光线，( ”，1 ，) 的两个焦点的向量表示为 = ，+ p k r ( k = l ，2 ) 2 ，+ i 。i ，z j 定义2 1 6 两个焦点的中点称作线汇中光线f 的中点，它的向量表示为 r0=，(甜，v)一堡兰三二三群尺(“，y) 中点的轨迹称为中点曲面假如把这个曲面取为参考曲面，则 g e + e g = ( f + f 7 ) ， 已知一个微分方程 一1 3 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 a ( u ，v ) d u + e ( u ，v ) d v = 0 ， 在直线汇中就决定一个单参数的直纹面族，这些直纹面与参考曲面的交线构成了一个 单参数曲线族，它的定义方程即为上式 对于光线，( “， ，) 和给定的方向d u ：d v ，取其邻近的光线， + 如，1 ，+ 咖) = ，由此 可得从，出发的沿方向d u ：d v 进行的一个直纹面奶可以求出r d 的腰曲线与，的交点 为 ，。= r ( u ，v ) + r r ( u ，1 ，) ， 其中 ( d r ，d r ) e d u 2 + ( 厂+ 厂) d u d v + g d v 2 ，= 一= = 一- - 二二一 ( 积，d r )e d u 2 + 2 只加咖- i - g d v 2 表示，的公垂线与，的交点到参考曲面与，的交点间的距离 由此看到，在一条光线，上，距离，是与方向d u ：d v 有关系的因此我们会问应该 取什么方向时才能使得，取到极大值或极小值要解决这个问题，只要把，看成d u ：d v 的函数而求它的极大值或极小值就可以了记d u ：d v = t ，于是可得 ( 旭+ p 弦2 + 2 厅+ ( 厂+ 厂7 ) p + ，g + g = 0 由墨：0 ，我们得到 o t ，( e t + f ) + 纠+ 丢( 厂+ 厂) = o ， 厂( f t + g ) + 妻( 厂+ 厂弦+ g ：0 由此消去，并仍把t 改写成d u ：d v ，则有 l e d u - i - f d vf d u - i - g d v i i p c l u + l ( f + f ) d r 三( 厂v ) d u + g d v i = o ， 按照上式所定义的两个方向恰恰对应于，的极大值与极小值的方向 定义2 1 7 根据上述微分方程所定义的两个单参数直纹面称为主要曲面 假如由前面的两个方程中消去t ，所得到的关于，的方程 1 4 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 l，+e圭r。+厂e+，f7乏|：王二厂l=。 对应于，r 2 的两点是由 吒+ r 2 一生紫， 忙错4 ( e gf ， 一2 ) = r + r k r ( 尼= 1 ，2 ) 所定义的这两点称为光线l ( u ，1 ，) 的极限点 根据两焦点之间线段中点的表达式知 p l + 色= _ + 吃 这个等式说明两极限点之间的线段与两焦点之间的线段有同一中点，即光线l ( u ，v ) 的 中点 另外，可知 ( f i - r 2 ) 2 _ ( 岛- p 2 ) 2 = 4 ( p l p 2 - r 。r 2 ) = 志盯v ) 2 - 4 们= 筹 这表明两焦点之间线段的长度决不大于两极限点之间线段的长度，而且两者当且仅当 线汇是法线汇时才相等 2 6 以类光方向为母线方向的类时直纹面 对于三维m i n k o w s k i 空间曰，其上的内积定义为 = x l j ，l + x 2 y 2 一x 3 y 3 ， 外积定义为 x j ，= l ；i；f，f；：i，一i；：；：i)， 第2 章预备知识 f - - ， g = 0 ， d = 网= 正丽= i ， 为直母线方向的 当 = 0 ，曲面x ( “，) 是退化的【1 1 - 1 7 1 当 0 ，曲面x ( “，v ) 是非 退化的，是类时的接下来，我们仅讨论非退化曲面，即 0 令 咖岗， 我们知道，向量场n ( u ，y ) 是曲面x ( u ，v ) 的法向量场，且为类空的 我们同样可以得到曲面z ( 甜，) 的第二基本形式 肚“2 m 一班，尚蚍掰+ 2 砒舢删， 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 其中 l = d 一1 ( 口7 ( “) + v 6 ( “) ，6 ( “) ，a ”( “) + v b ”( ”) ) ， m = d 1 ( 口( “) ，6 ( “) ，b ( ”) ) ， n = 0 ， 则曲面x ( u ，) 的高斯曲率k 为 k 2 网l n - m 2 = 地訾巡， 曲面x ( “，) 的平均曲率h 为 ：，e 一2 f m + g l 一 ( 口( ”) ，6 ( “) ，b ( “) ) 爿2 2 ( 1 e g 乏j f 矿2 d 丁一 一 2 i ) 定义2 1 9 令z ( ，v ) = a ( u ) + 仿( “) 是三维m i n k o w s k i 空间研上的以类光方向6 似) 为直母线方向的直纹面，则当 0 时，z ( “， ，) 的腰曲线为 x ( “) = 口( “) 一( i 耥) 6 ( 甜) 腰曲线与直母线6 ) 的交点称为腰点 定义2 2 0 三维m i n k o w s k i 空间中的直纹面x ( “，v ) = a ( u ) + v b ( u ) ，如果a ( u ) 和6 似) 满足 = = o ， _ 1 ，并上l f 口7 ( ”) = 力( “) ( “) ， ( “) = 一( “) 口( 材) 一允( “) y ( “) ， iy ( “) = ( “) ( “) ， 其中口( “) = 口( “) ，y ( “) = 6 ( “) ，f l ( u ) = y ( “) 口( 材) ， _ l ， 和分别为日中 的内积和外积，则此直纹面称为n u l l s c r o l l 特别地，若兄( “) 0 ，( “) 为常数，则直纹 面x ( “，v ) = 口( “) + v 6 ( “) 称为b _ s c r o l l i s - t 9 引理2 6 【2 0 1 三维m i n k o w s k i 空间曰中的以类光方向6 ) 为直母线方向的任意非 可展直纹面x ( u ，1 ，) = 口似) + 仿( “) ，均可以写成n u l l s c r o l l 的形式，其中 = = 0 ， = 1 一个b - s c r o l l 当且仅当导线a ( u ) 是直纹曲面x ( u ，v ) 的腰曲线 一1 8 一 向的线汇 t ( v ，f ) = ，( ”( 1 ，) ，1 ，) + t r ( u ( v ) g , g l , i 9 v ) ，一，i iy ，y ，l7 ， 其中 - 0 ，即r ( “( ，) ，1 ，) 为类光向量 所以 下面讨论此直纹面为可展曲面的情况： 因为 以下简记尺( “( ，) ，) 为r = 0 ， = 0 由m i n k o w s k i 空间中的l a g r a n g e 公式 我们可知 ( a x p , r x 8 ，舷糍耕 = = 一( 0 ， 解方程( 3 2 ) ，得到两个方向 a ：4 e c 2 0 d hf + c 4 e 咖 e 一 ( 3 3 )，一、一一， 抛f c 4 e d ve 即对于给定的参数c ，类光线汇选定方向d u ：d v 满足( 3 3