（基础数学专业论文）局部顶点李代数及其结构.pdf

摘要 在二维量子共形场理论中，顶点( 算子) 代数正是对应于c h i r a l 代数的数学 对象，并且在某些方面它类似于结合代数。( 同时，在许多方面顶点( 算子) 代 数也类似于李代数和交换结合代数) 。因此，构造顶点代数的各种例子就显得尤 为重要。在文 d l m ，一种新的构造方法由另外一种代数概念局部顶点李 代数所得到。 本文我们更详细地讨论了局部顶点李代数和顶点p o i s s o n 代数的概念，并且 给出了许多性质和例子。我们证明了对于由局部顶点李代数构造所得的顶点代数 的任意忠实模，具有对于这个局部顶点李代数的限制模的结构。这正是文 d l m 】 中定理4 8 的逆命题。受到文 p r 中推论5 6 的启发，我们定义了局部顶点李代数 同态的概念，并且证明了局部顶点李代数的同态可惟一地诱导出由它们分别构造 所得的顶点代数之间的同态。 关键词：李代数；局部顶点李代数；顶点p o i s s o n 代数；顶点代数； a b s t r a c t v e r t e x ( o p e r a t o r ) a l g e b r a sa r ek n o w na st h em a t h e m a t i c a lc o u n t e r p a r t so fc h i r a l a l g e b r a si nt w o d i m e n s i o n a lq u a n t u mc o n f o r m a lf i e l dt h e o r ya n da r ca n a l o g o u st o a s s o c i a t i v ea l g e b r a si nc e r t a i na s p e c t s ( a tt h es f i n ct i m e ，i nm a n ya s p e c t sv e r t e x ( o p e r a t o r ) a l g e b r a s a r ea l s oa n a l o g o u st ob o t hl i ea l g e b r a sa n dc o m m m a t i v e a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ) s o ，i ti si m p o r t a n tt oc o n s t r u c tv a r i o u se x a m p l e so fv e r t e x a l g e b r a s i n d l m ，an e w m e t h o dw a sc r e a t e dt oo b t a i nv o r t e xa l g e b r a sf r o ma n o t h e r a l g e b r a i cc o n c e p t l o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a i nt h ep r e s e n tp a p e r , w ea n a l y z et h ec o n c e p t so fl o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a sa n d v e r t e xp o i s s o na l g e b r a si nd e t a i l ，a n dg i v es o m em o r ep r o p e r t i e sa n de x a m p l e s w e s h o wt h a ta n yf a i t h f u lm o d u l ef o rc e r t a i nv e r t e xn g e b r ac o n s t r u c t e df r o mt h el o c a l v e r t e xl i ea l g e b r a sh a sar e s t r i c t e dm o d u l es t r u c t u r ef o rt h el o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a t h a ti st h ec o n v e r s et h e o r e mo ft h et h e o r e m4 8i n d l m m o t i v a t e db yc o r o l l a r y 5 6i n p r ，w eg i v eo u tt h ed e f i n i t i o no ft h eh o m o m o r p h i s mo fl o c a lv e r t e xl i e a l g e b r a s a n dw es h o wt h a t t h eh o m o m o r p h l s mo fl o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a sc a n u n i q u e l yi n d u c eav e r t e xa l g e b r ah o m o m o r p h i s mb e t w e e nc e r t a i nv e r t e xa l g e b r a s c o n s t r u c t e df r o mt h el o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a s k e yw o r d s ：l i ea l g e b r a ；l o c a l v e r t e xl i ea l g e b r a ；v e r t e xp o i s s o n a l g e b r a ；v e r t e xa l g e b r a ； l o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a s j i a n c a is u n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s q i n g d a ou n i v e r s i t y ，q i n g d a o2 6 6 0 7 1 p ，r c h i n a e m a i l ：j c s u n t o m c o r n a b s t p - a c t i nt h ep r e s e n tp a p e r w cf o r m u l a t ec e r t a i nn o t i o n so fl o c a lv e r t e xl i e a l g e b r aa n dv e r t e xp o i s s o na l g e b r aa n dg i v es e v e r a lc o n s e q u e n c e so ft h ed e f i n i t i o n c o n n e c t i o nb e t w e e nl o c a iv e r t e xl i ea l g e b r aa n dv e r t e xa l g e b r aa r ed i s c u s s e dw j s h o wt h a ta n yf a i t h f u lm o d u l ef o rc e r t a i nv c r t e xa l g e b r a sc o n s t r u c t e df r o mt h ei o c a i v e r t e xl i ea l g e b r a sh a sar e s t r i c t e dr o o d u l es t r u c t u r cf o rt h el o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a w eg i v eo u tt h ed e f i n i t i o no ft h eh o m o m o r p h i s mo fl o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a s a n d w es h o wt h a tt h eh o m o m o r p h i s mo fl o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a scanu n i q u e l yi n d u c ea v e r t e xa l g e b r ah o m o m o r p h i s mb e t w e e nc e r t a i nv e r t e xd g e b r a sc o n s t r u c t e df r o mt h e 1 0 c a lv e r t e xl i ea l g e b r a s 1 i n t r o d u c t i o n v e r t e x ( o p e r a t o r ) a l g e b r a s ( f l m ) w h i c ha r eaf a m i l yo fn e w ”a l g e b r a s ”a r e k n o w ne s s e n t i a l l yt ob ec h i t a la l g e b r a si nt w o - d i m e n s i o n a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y t h en e wa l g e b r a s & r ec l o s e l yr e l a t e dt oc l a s s i c a ll i ea l g e b r a so fc e r t a i nt y p e s i nf d l m lan o t i o no fw h a tw ec a l iv e r t e xl i ea l g e b r ai sd e f i n e dt ou r d 印t h e r a m m a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s t h ed e f t n i t i o no fav e r t e xl i ea l g e b r ai s m o t i v a t e db yt h ev i r a s o r oa l g e b r a ，a f f i n ea l g e b r a sa n dt h en o t i o no fv e r t e xa l g e b r a r o u g h l ys p e a k i n g t h en o t i o no fv e r t e xl i ea l g e b r ai sa ”s t r i n g y ”a n a l o g u eo ft h e n o t i o no fl i ea l g e b r a ，w h i c hg e n e r a l i z e st h ev i r a s o r oa l g e b r aa n da i m n el i ea l g e b r a s av e r t e xl i ea l g e b r ad e f i n e di nt h i sp a p e ri sal i ea l g e b r aw h o s eu n d e r l y i n gv e c t o r s p a c ei se s s e n t i a l l yt h el o o ps p a c eo fae e r t a i nv e c t o rs p a c eu a n di ti sak i n do f ”a f f i n ea l g e b r a ”b a s e do nv e c t o rs p a c eui n s t e a do faf i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s of o re v e r yv e c t o rui nt h eb a s ev e c t o rs p a c e ，o n ec a nf o r mt h ef i e l do rv e r t e x o p e r a t o ru ( z ) = n e zu ( n ) z + 1 i nt h ec a s eo ft h ev i r a s o r oa l g e b r a ，ui se i t h e r o n ed i m e n s i o n a lo rt w od i m e n s i o n a id e p e n d i n go i lt h ec e n t e rb e i n gz e r oo rn o t f t h ev i r a s o r oa l g e b r ai sn o tae l a s s i c a la f f i n ea l g e b r ai na n ys e n s e 1 ? 叫。r d 5 叽dp m 5 e 5 l 0 。8 1v e 。8 ”l 1 。a 1 9 8 b 8 ，v e 。xp o i s s o na l g e b r a ，v e r t e xa l g e b r a l i e a l g e o r a t y p e s e tb ya j 懈s - t e x 2 l o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a t h et h e o r yo fv e r t e xa l g e b r a sc o n s t i t u t e sam a t h e m a t i c a l l yr i g o r o u sa x i o m a t i c f o r m u l o r i o no ft h ea l g c b r a i co r i g i n so fc o n f o r m a lf i e l dt h e o r ys o ，i ti si m p o r t a n t t oc o n s t r u c tv a r i o u se x a m p l e so fv o r t e xm g e b r a s i nl d l m i ，an e wm e t h o dw a s c r e a t e dt oo b t a i nv e r t e xa l g e b r a sf r o ma n o t h e ra l g e b r a i cc o n c e p t l o c a lv e r t e xl i e a l g e b r a i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w ea n a l y z et h er e l a t e dc o n c e p t si nd e t a i l ，a n dg i v e s o m em o r ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e s ，w eh o p et h e s er e s u l t sw i nb el t s c f u lt os t u d y f u r t h e rt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e s et w oc o n c e p t s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s s e c t i o n2i sa b o u tf o r m a lc a l c u l u s i ns e c t i o n 3w ef o r m u l a t et h en o t i o n so f1 0 c a lv o r t e xl i ea l g e b r aa n dp r e s e n ts o m er e s u l t s i ns e c t i o n4w ed i s c u s st h en o t i o n so fi c a a lv e r t e xp o i s s e na l g e b r aa n dg i v es o y o e r e s u l t s i ns e c t i o n5w ec o n s t r u c tv e r t e xa l g e b r a si r lm o r ed e t a i la n dt h e i rm o d u l e s f r o n tv e r t e xl i ea l g e b r a sb yu s i n gt h ew o r ko fl o c a ls y s t e mi n t r o d u c e di n l i 2 】 t h e nw eg i v ea ni n t e r e s t i n gc o n v e r s et h e o r e mo ft h e o r e m5 9 s i n c ei th a sb e e na n i m p o r t a n tp r o b l e mi nt h et h e o r yo fv e r t e xa l g e b r a st oc o n s t r u c tn e we x a m p l e so f v e r t e xa l g e b r a s ，t h ev e r t e xa l g e b r ac o n s t r u c t i o nb a s e do nt h ev e r t e xl i ea l g e b r ai s o fc e r t a i ni m p o r t a n c e s e c t i o n6i sd e v o t e dt ot i l es t u d yo fh o m o m o r p h i s mo fl e t a l v e r t e xl i em g e b r a s l o c a lv e r t e xl i ea l g e b r a 3 2 c a l c u l u so ff o r l t l a lv a r i a b l e s i nt h i ss e c t i o n ，w er e v i e ws o m ef o r m a lv a r i a b l en o t a t i o n sa n dt h ef a i l d a m c n t a l p r o p e r t i e so fd e l t af u n c t i o nf r o m f l m a n dw ea l s of o r m u l a t es o m es i m p i er e s u i t s w h i c hw i l lb eu s e dl a t e r t h r o u g h o u tt h ep a p e r ，z ，2 ；0 j z l ，y ，y o ，9 1 ，z ，z o ，孑l ，a r ei n d e p e n d e n tc o m m u t i n gf o r m 出v a r i a b l e s t h es y m b o l sz ，n jcs t a n df o rt h e i n t e g e r s , t h en o n n e g a t i v e i n t e g e r sa n dt h ec o m p l e xn u m b e r s v e c t o rs p a c e sa r eo v e rt h eg r o u n d 矗e l dc f o ra n yv e c t o rs p a c eu ，删o w i n gf f l m lw es e t ( 2 1 )u z1 】 = a n x n 】n 。矿) n e e ( 2 2 ) ( 2 3 ) 矿( p ) ) = j n 矿f 陋”= f 。z ”f 。矿 n = 0 ( 2 4 ) 矿陋，z 1 j = o 。z ”im ，z ，o 。矿) n = m ( 2 5 ) z 山( 孚) 可字) ( 2 6 ) z 心( 等) _ x - 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