（基础数学专业论文）函数空间连续性及紧性的一些讨论.pdf

函数空间连续- 陛及紧性的一些讨论 基础数学专业 研究生索剑峰指导教师梁基华教授 在d o m a i n 理论中，函数空间的研究是重要而基本的 a c h i m j u n g 3 l 证 明了若d ，e 是有最小元并且具有性质m 的d c p o ，那么【d e 】连续蕴涵 d 是l a w s o n 紧的或者e 是l d o m a i n 刘应明，梁基华【1 】证明了对一个 d c p 0 d ，d 是连续l d o m a i n 当且仅当对所有核紧空间x ，陋一d 是连 续l d o m a i n 但是对于d 不是l d o m a i n ，关于函数空间陋一d 的连 续性及紧性却讨论甚少 本文中。我们考虑了一个有趣的例子 乱它是一个典型的非双有限d o m a i n 也非l d o m a i n 的连续d c p o ，我们证明对所有稳定空间x ，一 n 】是 连续d c p o 并且其上的s c o t t 拓扑和i s b e l l 拓扑是一致的同时对于函数 空间的l a w s o n 紧性，我们举例说明了存在稳定空间到m 的函数空间不是 l a w s o n 紧的也举例说明了存在稳定空间到双有限d o m a i n 的函数空间不是 l a w s o n 紧的又进一步通过这两个例子证明了若l 是一个具有最小元的连 续d c p o ，对任意的稳定空间x ，一l 】是连续l a w s o n 紧的，则工是一个 l d o m a i n 关键词t 双有限d o m a i n ；l d o m a i n ；函数空间；稳定空间 d i s c u s s i o no nc o n t i n c o m p a c t n e s s o ff u n c t u i t ya n d i o ns p a c e f o u n d a t i o n a lm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：s u o j i a nf e n g a d v i s o r ：p r o f l i a n gj i h u a i ti si m p o r t a n ta n de s s e n t i a lt or e s e a r c hf u n c t i o ns p a c ei nd o m a i na c h i m j u n gp r o v e dt h a t d _ e 】i m p l i e de i t h e r di sl a w s o nc o m p a c to rei s l d o m a i nw h e nda n dea r ed c p ow i t hp r o p e r t yma n dl e a s te l e m e n t l i uy i n g m i n ga n dl i a n gj i h u ap r o v e dt h a tf o ra l lc o r ec o m p a c ts p a c exa d c p odi sc o n t i n u o u sl d o m a i ni fa n do n l yi f 【x _ d i sc o n t i n u o u s l d o m a i n b u tw ek n o wl i t t l ea b o u tc o n t i n u i t ya n d c o m p a c t n e s so ff u n c t i o n s p a c e 【x _ d 】f o rd w h i c hi sn o tal d o m a i n i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rai n t e r e s t i n ge x a m p l e 尬w h i c hi sn e r t h e ra b d o m a i nn o ral d o m a i n w e p r o v e t h a tf x _ 尬】i sc o n t i n u o u sd c p o f o ra l ls t a b l es p a c ex tf u r t h e r m o r e ，l s b e l la n ds c o t tt o p o l o g yo n 【x _ m 1 】 a g r e e f o rl a w s o nc o m p a c t i nf u n c t i o ns p a c e w eg i v et w oe x a m p l e st op r o v e t h a tn o te v e r yf u n c t i o ns p a c ef r o mas t a b l es p a c et omo rt ob d o m a i ni s l a w s o nc o m p a c t ，w h i c hs h o w e st h a t 【x _ l 】i sc o n t i n u o u sl a w s o nc o m p a c t f o ra l ls t a b l es p a c ex i m p l i e sl i sal d o m a i n ，w h e r eli sac o n t i n u o u s d c p 0w i t hl e a s te l e m e n t k e yw o r d s ：b d o m a i n ；l d o m a i n ；f u n c t i o ns p a c e ；s t a b l es p a c e i i i 致谢 本文的完成得益于我的导师梁基华教授的悉心指导， 以及四川大学数学学院拓扑与模糊数学教研室老师们的关 心和奚小勇博士的大力帮助，在此向他们表示衷心的感谢 三年多来，是他们始终不渝的关怀、鼓励、教诲和帮助， 使作者得以j 惯利完成学业导师梁基华教授严谨的治学态 度，循循善诱的教学方式，脚踏实地的工作作风给予作者 深刻的启迪和影响，使作者受益终身在此，作者向导师表 示深深的敬意和最衷心的感谢! 奚小勇博士为本文的写作 提供了大量的资料，再次表示感谢 也感谢我的父母及家人，你们多年来对我的关心和物 质上支持，使我能够全心全意的投入学习，顺利完成学业 让人永远难忘的历程端正和肯定了我的人生准则，增 强了我挑战未来的信心和进取的勇气最后，我再次感谢 我敬爱的导师梁基华教授，感谢各位专家和老师 1序言 七十年代产生的d o l n a i n 理论作为理论计算机科学研究的最重要的内 容，是程序设计语言指称语义学的数学基础 一个d o m a i n 范畴能够作为一个程序语言的指称语义模型的基本要求是 它是c a r t i s a n 闭的而一个d o m a i n 范畴是c a r t i s a n 闭的一个重要条件是对 于两个该范畴中的元，它们的函数空间是否在此范畴中自从1 9 9 1 年a j u n g 解决了d o m a i n 范畴的分类问题吼证明了具有最小元的连续d o m a i n 范畴 c o n 死恰有两个极大的c a r t i s a n 闭的满子范畴：连续l d o m a i n 范畴和 f s d o m a i n 范畴具有最小元的代数d o m a i n 范畴a l g 上也恰有两个极大 的c a r t i s a n 闭的满子范畴：l d o m a i n 范畴和双有限d o m a i n 范畴因为连 续工一d o m a i n 是l d o m a i n 的收缩，这样就提出了一个至今未解决的公开 问题；同样作为双有限d o m a i n 收缩的连续b d o m a i n 范畴和f s d o m a i n 范畴是否等价由于f s d o m a i n 和连续b d o m a i n 都是通过函数空间来刻 画的，因此研究它们的函数空间的性质自然的成为了很重要的工作 a c h i m j u a g f 3 1 证明了若d ，e 是有最小元并且具有性质，n 的d c p o ，那么旧一e 1 连续蕴涵d 是l a w s o n 紧的或者e 是l d o m a i n 1 9 9 5 年，刘应明，梁基 华【1 】证明了对一个d c p od ，d 是连续l d o m a i n 当且仅当对所有核紧空 间x ，i x _ d 1 是连续l d o m a i n 受此工作的影响，最近奚晓勇证明了所有稳定空间到连续b d o m a i n 的 函数空间是连续的1 4 】 本文考虑了一个有趣的例子舰，它是一个典型的非l d o m a i n 也非双 有限d o m a i n 的连续d c p o ，本文证明了所有稳定空间到m l 的函数空间是连 续的并且其上的l s b e l l 拓扑和s c o t t 拓扑是一致的 5 1 序言 2 接下来一个自然的问题就是对任意的稳定空间x ，函数空间一几n 1 是 否是l a w s o n 紧的本文举例说明了存在稳定空间x ，瞵一m l 】不是l a w s o n 紧的同时也举例说明了存在稳定空间x 以及双有限d o m a i nb 1 使一b 】 不是l a w s o n 紧的并且进一步通过这两个例子证明了若l 是一个具有最小 元的连续d c p o ，对任意的稳定空间x ，陋一纠是连续l a w s o n 紧的，那么 l 是一个l d o m a i n 2 预备知识 一个偏序集d 称为定向完备偏序集当且仅当d 的每一个定向子集有上 确界对一个d c p o d ，z ，y d ，我们说茁y ，如果给一个定向集fcd 并且ysv f 则。! d 对某个d ef 一个d c p o d 称为连续的，如果对所 有的z d 集合uz = d ：y 茁) 是定向的并且z = v 扎x 若z x ， 则称z 是d 中的紧元，我们记k ( d ) = z ed ：。z ) 称一个d c p o 是 代数的，若对所有x d ，u zn k ( d ) 是定向集且z = v ( g zn k ( d ) ) u 称为s c o t t 开集当且仅当矿是一个上集，且若有定向集s p 使 u s u ，则s n u 9 空集加上s c o t t 开集组成的拓扑，称为p 上的s c o t t 拓扑，记为d ( p ) 本文中d c p od 上总赋予s c o t t 拓扑尸上的l a w s o n 是由1 z tf 为集生成的拓扑，其中z p 且f 尸为有限集记p 上 的l a w s o n 拓扑为a ( p ) 若p 关于l a w s o n 拓扑是紧空间，我们简称p 是 l a w s o n 紧的 一个偏序集d 称为具有性质m ，如果对任意有限集acd ，对所有的 x a ，都有y m 曲( a ) ( a 的所有极小上界组成的集合) ，使得y 。若d 具有性质m ，并且对任意有限集a ，m u b ( a ) 也是有限集，则称d 具有性质m a l a 2 a 3 2 预备知识 4 如图所示的m 1 就不具有性质m 如图所示的日l 具有性质m 0 1 b 1 t 0 2 b 2 d 是一个d c p o ，一个连续映射，：d d 称为一个d e f l a t i o n ，如果 f i d d 并且，的像是有限的，称为幂等的如果f of = i 一个具有最小元的d c p od 称为双有限d o m a i n ，如果p d j 中的所 有幂等d e f l a t i o n 是一个定向集，且它们的上确界正好是i d d ， 对任意子集acd ，定义 u o ( a ) = a ， u 1 ( a ) = 士dl 卫是u “( a ) 中某个有限集的极小上界 。0 ( a ) = u ”( a ) h e n 这样双有限d o m a i n 还有这样的刻画t 一个具有最小元的代数d c p o 是双有限d o m a i n 当且仅当k ( d ) 具有性 质m 并且对任意有限集合ack ( d ) ，u 。( a ) 是有限的 一个偏序集称为完备格，如果它的任意子集都有上确界和下确界 一个具有最小元的d c p o d 称为l d o m a i n ，如果v 茁d ，lz 是完备 格 我们说一个拓扑空间x 是核紧的，如果x 的开集格a ( x ) 是连续格称 一个核紧空问x 为稳定的，如果对任意的u ，v v n ( x ) ，u k u v 7 ， 那么有u y n y 2 顼备知识 5 x 是拓扑空间d 是赋予s c o t t 拓扑的d c p o 记【x d 】是所有x 到d 的连续函数所构成的集合并在其上赋予点态序即：，sg 仁净比 x ，s ( x ) 9 ) 称【x d 是x 到d 的函数空间 d ，e 是d c p 0 ，连续函数r ：d e 称为收缩若存在连续函数e ：e d ，使得r 。e = i d e 对u q ) ，s d ，定义一个映射u 8 ：x d 如下： 叭s = k z xe 觚u , 显然，u s 是连续的，称之为阶梯函数 3f x _ 尬 的连续性及拓扑一致性 对上一部分的例子晒，它不是双有限d o m a i n 也不是l d o m a i n 这 部分证明了对所有稳定空间x ，一尬1 是连续的，并且其上的i s b e l l 拓扑 和s c o t t 拓扑是一致的 引理3 1 【5 l 设x 是核祭空间，d 是连续d c p o ( j ) ，【x o l ，u q ( x ) ，s d ，u ，- 1 ( 1 s ) ，那么有u s f ( 2 ) ，= v u slu 1 - 1 ( f fs ) ) 引理3 2 设x 是核紧空间，d 是代数d c p o ，h 【x d 1 ，h 形如 h ( x ) = a l ，石仉，( i = 1 上，xgu 职， = 1 这里a 。( d ) ，且- 4 f 在k q ( x ) 使得以ck f - 1 ( ta d ，则h f 证明对一d j 内任一定向集 丸 。e s ，满足，svh 。，那么有 s s ( v h 。) 一1 ( t 哦) = u h ：1 ( tn 。) ) s - 1 ( t 口o k 因此存在s t s ，使得k 1 ( ta i ) dm3 巩，那么有h 目j 以2h 仉由定向性 存在h 。h 。0 = 1 n ) ，显然h 。h ，因此h ， 3 【x 叶m 1 】的连续性及拓扑一致性7 对任意的f 一m 1 ，我们记如下形式的连续函数h 所构成的集合为 i o ) ： ? 1 ， l 幻， i 上其它 其中若矾西，则有h - i ( t 。k ) f - i ( ta i 。) ；若眦垂，则有h - 1 ( t 6 i ) ，_ 1 ( t6 ) 由引理3 2 ，任意h e s ，有h ，显然，对任意满足u ，一1 ( t - s ) 的阶梯函数u s e ，由引理3 1 ，我们有，= ve ，下面我们证明毋是 一个定向集 定理3 1x 是稳定空间，一蝇 ，则毋是一个定向集 证明任意 1 ，h 2 毋 班心 1 姒加侄 x 巩，( k = l n ) z m ， z w j ， 其它 其它 当z 巩u ，取h ( x ) = a i 。z u ，取h ( x ) = 一 k = 1 茁仉n ，取 ( 。) = m a x a a j 。) 口巩n 正，取 ( z ) = n “；z m n ，取 ( z ) = 。m ( u u 乃) ，取 ( z ) = b l ；z 五( u 仇u ) ，取危( z ) = b 。 i = 1t - = l 凡l = 南 肌 石 z z m l = o i ， ，五疋 z o 茹 3i x m 1 】的连续性及拓扑一礁性 n z 乃( u u k u 啊) ，取h ( z ) = b 2 k = l 若。w tnt 2 ，则h i l ( tb 1 ) n h i l ( 1b 2 ) 圣 k 1 ( t 6 - ) n 崎1 ( 仲：) 厂1 ( t6 ) n s 一1 ( t6 。) = u 厂1 ( tn 。) 2 = 1 存在8 n ，肌n 噩c 虾1 ( tb 1 ) n k l ( t6 2 ) ，。( t 。) 并且可以使得 a 。so a j 。取h ( z ) = a 。对z w 2 n 孔，类似的有t n ， n nc 蚵1 nb 2 ) n k l ( tb t ) ，_ 1 ( to t ) n s 鳓。，a j l 取 ( z ) = t 令 = 2 ：a j 。 8 “) ；五= 尼：a i 。 ；) 由上讨论，我们可得h 如下 h ( z ) = 啦。，x v k u ，( k = l n ) i e 厶 。，z uu k ， ( 1 = 1 m ) 七n a ，z mn t 2 ， n t ，z n n ， b l ，z ( m ( u u 死) ) u ( n ( u 氓u ) ) ， 君嗉1 b 2 ，。( 1 ( u u 噩) ) u ( 正( u 巩u - 碓) ) 疋， i ；lk = l 上，其它 由h 的构造可得 一1 ( 。) = i 1 ( fo “) uuk 1 ( t ) ，一1 ( t 盘“) 建矗 一1 n j 1 ) = 一( tn 。) uu 崎1 ( tn “) ，_ 1 ( 1 ) 七 一1 ( t6 z ) = 蚵1 ( t6 ，) u 圬1 ( 1 ) 厂1 ( t6 ，) ， h _ 1 ( z ) = k 1 ( 仲2 ) u 圬1 ( 1b 2 ) 厂1 ( 仙z ) nm 一1 ( t ) = ( a i l ( t6 1 ) n i 1 ( t6 2 ) ) u u i 1 ( t 啦。) u u 5 i 1 ( t ；) ，一1 ( t 风) 幻 j j 扛 取瓦 u 坼 m u v 0 3 【x - m 1 】的连续性及拓扑一致性 9 h 一1 ( t 。) = ( i 1 ( ta ) n h ；1 ( tb 1 ) ) u u i 1 ( tn ；。) u u h ；1 ( t 。 ) 厂1 ( t 毗) = l1 = 1 因此，h 连续且有h h 1 ，h 2 h e s 所以e s 是一个定向集 定理3 2x 是稳定空l 司，则一尬1 是连续d c p o 证明由引理3 1 ，定理3 1 ，对任意，一m l 】，可得，= v e s 因此 一尬j 是连续d c p o 一个一d 】上的拓扑称为i s b e u 拓扑，记为i s ( x ，d ) 如果这个拓扑 是由如下形式的开集作为子基所生成的： n ( h ，v ) = ( f x d 】：$ - 1 ( v ) h ) 这里日是n ( x ) 的s c o t t 开集，矿是d 中的s c o t t 开集 定理3 , 3x 是一稳定空间，则i s ( x ，m i ) = 口( 一尬 ) 证明显然，i s ( x ，m i ) c 口( 一a 矗 ) 另一方面，根据定理3 2 ，我们只需要证明对任意，一尬1 ，介，是 i s b e l l 开的对任意的ge r r ，9 = v b 因次存在h b ，这里h ( x ) = q ： i = 1 n ) ，c m ，使得，h ，且h - 1 ( tc i ) g - 1 ( t 臼) 显然h = n ( 价 ；l h - 1 ( t 白) ，tc ) 是g 的i s b e l l 邻域对任意的h ，h - 1 ( tc i ) 女。( tc ) 所 以hsk ，k 因此我们有h hc 介，这样俞，是i s b e u 开集，定理成 立 4 关于函数空间紧性的讨论 上一部分已经讨论了对任意稳定空间x ，一m 1 】是连续d c p o ，那是 否对任意稳定空间x ，【x m t 】是l a w s o n 紧的，答案是否定的 旬眈 e 1 e l 赋予s c d 托拓扑是稳定的，现说明【e - 一m l 】不是l a w s o n 紧的 定理4 1 a l 一个代数d c p od 是l a w s o n 紧的 = 辛k ( d ) 有性质m 例4 。l e l _ m 1 】不是l a w s o n 紧的 证明任意f e 1 一尬】，f 的像点是有限个所以【e 1 一m 1 】是代数d c p o 考虑下面两个映射 te l 6 l ，t0 2 b 2 若，是它们的一个上界，te lnte 2 = t 显然应有f ( r ) b 1 ，f ( t ) 2b 2 ， 则j 如，( t ) = n 蛔显然，不是极小上界。所以f e l 一 不具有性质m 由 定理4 1 ，c 蜀一舰】不是l a w s o n 紧的， 在【4 1 中，吴小勇讨论了对任意双有限d o m a i nb ，对任意稳定空间x ，一 引是连续d c p o 那是否一b 1 】是l a w s o n 紧的答案也是否定的 ，口 4 关于函数空间紧性的讨论 我们在 0 ，1 1 上赋予通常拓扑，那么它是紧h a u s d o f f 空间，并且对任 意u ，v e ( i o ，1 】) ，有u v = 辛存在闭集f ，使得uc fc v 那么若有 c ，y l ，u ，则存在闭集f l ，毋，使得ucf lc ，ucrck ，所以 c ，c 只n r c h n k ，故u hn k 因此 o ，1 】是一个稳定空间，我们把 o ，1 】赋予通常拓扑的空间记为， 我们在第一部分提到的b l 是一个双有限d o m a i n 对个d c p o d ，a 是d 的一个子集，我们记u b ( a ) 是a 的所有上界所 组成的集合 定理4 21 6 1 一个连续d c p o d 是l a w s o n 祭的 = = d 是s c o t t 拟紧 且对任意a o ，6 ，b ，u 6 ( 8 ，”) 能被有限个形如介c 的并所覆盖，其中 c u b ( a ，分) ) 例4 2 【，一b 1 1 不是l a w s o n 紧的 证明令u = ( 0 ，告) ，v = ( ，1 ) ，u 7 = v = ( ，鲁) 那么有u u ，v v ， 因此u 。b l u b x ，v 6 2 v b 2 取a o = ( i 1 ，) ，a t = ( ，麓) ， a n = ( i 1 + 南，丢+ e 南) ，那么 a 。) 。e _ 是两两不相交的且a 。cu l=u=u nn + 1 中，记= + 南，= i 1 + 南，那么a 。= 扛。，) v n n ，取 v b l ，v b 2 的一个上界为，n 易验证厶是连续的 i6 l l 6 2 矗( z ) ： n 。 i 。 it 。( o ， 】 z 晦1 ) $ ( ，z 。1 ( 4 1 ) 。，告) z a 。 4 关于函数空间紧性的讨论 1 2 若 j b 1 】是l a w s o n 紧的，由定理4 2 ，应存在f c u b u b 1 ，v7 6 2 ) ，且f 有限，使得u b u b l ，v b 2 ) u 1 c ，c f ) 因此对y n n ， 应存在g f ，使得g 因为g u b 1 ，c n v b 2 ，所以 v z u = v ，g ( z ) b l ，c ：( z ) b 2 又因为g ，忭，所以 妇( 去，圳，g ( z ) = a 。 v x ，三) ，g ( z ) = 0 2 吐 如果妇a 。，g = a l ，由于g 1 ( t fa 2 ) c 疗1 ma 2 ) _ ( 。，瓠那么嚷1 ( 1 a 2 ) = ， ) ub 。，其中f k i 3 ，；) ，且c k ( b 。) = a 2 ，显然c 一( 下fa 2 ) 不是开 集，与g 的连续性矛盾所以3 x a 。，瓯( z ) a 1 ，y n l ，n 2 n ，且n l n 2 ， 不妨设n 1 n 2 ，v x a 。l ，有z ( i 1 ，z 。2 所以g 。( z ) = a l ，由于3 x a 使得c i n 。( z ) a l ，所以c k 。g 。故 c k ：n ) 两两不同，这和f 的有 限性矛盾因此 ，一日1 1 不是l a w s o n 紧的 我们知道，连续性和l a w s o n 紧性是具有收缩不变性的对一个具有最 小元的d c p o l ，若l 不是一个l d o m a i n ，则l 有b l 或 彳1 作为收缩队 若x 是一拓扑空间，d ，e 是d c p o ，且e 是d 的收缩，那么显然有 一矧是一d 】的收缩， 定理4 3l 是具有最小元的连续d c p o ，若对任意的稳定空间x ，一 引是连续l a w s o n 紧的，那么l 是一个l d o m a i n 证明假设l 不是l d o m a i n ，那么有蝇或b 作为l 的收缩所以 瞵一尬】或一日】是一目的收缩，因此是连续l a w s o n 紧的，但这 与例4 1 或和例4 2 矛盾因此l 是一个l d o m a i n ，9 ：d e 是从集合d 到d c p o e 的映射，称为关于g 是有限分 离的，如果存在e 中的一个有限集m ，使得v x d ，都有某个m m 满足 ，( z ) s m s9 ( 。) 4 关于函数空间紧性的讨论 1 3 一个具有最小元的d c p od 称为f s d o m a i n ，如果存在一族d 上的映 射( 五) ；曲它们是定向的且上确界正好是i d d ，其中每个五关于s c o t t 拓扑是 连续映射且关于i d d 是有限分离的 我们把平面上的所有闭圆加上它自己放在一起作为一个集合。在上面赋 予反包含序所构成的d c p o 称为闭圆盘我们知道闭圆盘就是一个f s d o m a i n ，但是却不清楚它是否是一个连续b d o m a i n ， 对于f s d o m a i n ，我们也进行过关于函数空间的研究更特别的，就对 闭圆盘来说，如果能够找到一个稳定空间到它的函数空间是不连续的，就能够 解决f s d o m a i n 和连续b d o m a i n 的一致性问题但是我们基本上认为 所有的稳定空间到闭圆盘的函数空间是连续的，确却的证明还在进一步研究 中因此这里我们留下了几个问题： ( 1 ) 是否存在一个稳定空间到形式闭球的函数空间是不连续的 ( 2 ) 我们试想通过函数空间的性质来研究f s d o m a i n 和连续b d o m a i n 的一致性是否可行 参考文献 l 】l i u ，y m l i a n g ，j h ，s o l u t i o n st ot w op r o b l e m so fj d ，l a w s o na n dm m i s l o v e 【j j l t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n ，6 9 ( 1 9 9 6 ) 1 5 3 1 6 4 f 2 】l i a n g ，j h k e i m e l k ，c o m p a c tc o n t i n u o u sl - d o m a i n 【j 】ic o m p u t e r a n dm a t h e m a t i c sa p p l i c a t i o n ，3 8 ( 1 9 9 9 ) ，8 1 8 9 1 3 j u n g a ，c a r t e s i a n c l o s e d c a t e g o r i e s o f d o m a i n 【m 】，v o l u m e 6 6o fc w i n a c t s 。1 9 8 8 f 4 】x ix i a o y o n g ，c o n t i n u i e t yo ff u n c t i o ns p a c e _ l o v e r s e m i n a r i e sd o m a i n s 【5 】e r k e r t ，e s c a r d o m h ，k e i m e l k ，t h ew a y - b e l o wr e l a t i o no ff u n c t i o ns p a c e so v e r s e m a n t i cd o m a i n s 【j 】，t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n 8 9 ( 1 9 9 8 ) 6 1 - 7 4 【6 】j u n g