（基础数学专业论文）具有奇性的非线性椭圆型边值问题及其特征值不等式.pdf

摘要 本文首先简单介绍了具有奇性的非线性方程边值问题的历史背 景、现状以及一类变分不等式的发展， 在第二章里，我们讨论如下含临界对数位势的半线性双调和方程 d i r i c h l e t 边值问题 z b ， ( 1 ) x a b 在空间嘲( b ) 中的非平凡解的存在性，其中b 是r 4 中单位开球域， 且p 2 。 首先定义了非线性双调和方程中临界位势的概念，然后推导了含 临界对数位势的h a r d y 不等式t 当维数n = 4 时，对任意非平凡的 u ( z ) h 0 ( b ) ，当z x 0 时，都有 ，2r 厶f 二习西南如4 以l u 1 2 如 利用这个不等式证明了问题( 1 ) 对应的泛函满足山路几何从而得到 如下的存在性结论：对任意的p ( 2 ，+ o o ) ( 此时包括次临界、临界和 超临界指数的情况) ，若a a d = 成立，则该问题无解；若a 0 ，a ( x ) l ”( n ) 且。( z ) 0 ，n r “是个有界区域，并 且边界是充分光滑的。空间维数n 2 。对于问题( 2 ) ，得出如下的 特征值不等式 坯 ，十篱卜v 而第二类问题所含的奇系数属于h a r d y 位势，即 j 2 ”肛薛，蚝b ，f 4 ) iu = 面o u = 0 ，z o b ， ” 簿 i v 中国科学技术大学博- i - 学位论文 2 0 0 6 年 其中o l 0 ，4 】：空间维数 q ，b 为单位球。该问题被称为双调和 算子的s c h r 6 d i n g e r 问题。对于这个问题，我们得出如下几个不等式： 1 对任意n ，m 1 ，考虑问题( 4 ) 的前( m + t ) 个特征值， 有 ，+ 桨暑妻m 2 对任意n ， l 1 ，考虑问题( 4 ) 的前胁+ 1 ) 个特征值， 有隐式估计 和显式估计 姜瓦兰m 3 1 2 n 2 c 3 1 2 ( 荆。胆 鲁p m + 1 一胁一鲁” 却m + 黼( v 2 ( 黔) 其中结论2 的两个估计都强于结论1 的估计。 在第三章最后一节，我们还给出了一些具有低指标特征值的更优 估计和评述即：对任意n n ，m n ，关于问题( 4 ) 的一些低指标 特征值，有更强的估计 其中 m 矧m 如) 警参 【1 + 口十g ( 口) n f ( ) 去】肛。， v 如) = 掣 l 2 删) ：丽3 2v 2 j ( + 2 ) _ l ，z ( 8 ) 我们通过实际计算验证了在某些低维数空间里，对问题( 4 ) 的某 些低指标特征值来说，估计( 8 ) 更优于估计( 3 ) 和估汁( 5 ) 一( 7 ) 。 在第四章里，我们讨论了如下的含奇性权的拟线性b r e z i s n i r e n b e t g 型问题 | ，州1 i v 卵1 v 垆觜+ - 嚣删( 9 ) i “= 0 ，z a n 。 的非平凡解的存在性和不存在性，其中0 ncr “是一个具有e 1 边界的有界开集，l p n ，一0 0 2 f i r s t l y ，t h ec r i t i c a lw e i g h tf o rt h en o n l i n e a rb i h a r m o n i ce q u a t i o n i sd e f i n e d ，a n dt h e ng e tt h eh a r d yi n e q u a l i t yw i t hl o g a r i t h mw e i g h t l ：i i 二i ；赫a z a ：i “1 2 a z f o ra l ln o n t r i v i a lu ( z ) 日0 ( b ) ，i fz z oa n dt h ed i m e n s i o nn= ( i n c l u d i n gs u b e r i t i c a l ，c r i t i c a l ，s u p e r c r i t i c a lc a s e s ) ；i fa 0 ，( z ) el 。( q ) a n d0 0 ) 0 ，ncr 。( 2 ) i sa b o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r ya st op r o b l e m ( 2 ) ，w eg e t t h ei n e q u a l i t y 坯 1 + 4 ( ( n + 2 + 4 ) ) 2 j b 2 1 h v n 2 ( 3 ) 廖 喈稿蒜笺 v i i i 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 6 年 a n o t h e rk i n do fs i n g u l a r i t yi n v o l v e si , h e l a r d yw e i g h t ，t h a ti s 2 u = 肛爵，z b u = 器= 0 ，z o b ( 4 ) w h e r eo 【0 ，4 】，a n dt h ed i m e n s i o nn n ，bi st h eu n i tb a l l t h i s p r o b l e mi sc a l l e dt h es c h r 6 d i n g e rp r o b l e mo ft h eb i h a r m o n i eo p e r a t o r s o m ee i g e n v a l u ei n e q u a l i t i e sf o rp r o b l e m ( 4 ) a r ea 8f o l l o w s ： 1f o ra l ln d ，m i ，c o n s i d e r i n gt h ef i r s t ( 7 n + 1 ) e i g e n v a l u e s o fp r o b l e m ( 4 ) ，w eo b t a i n 。茎+ 黑裂妻胁 ( 5 ) 2 f o ra l ln “，m i ，c o n s i d e r i n gt h ef i r s t ( m + 1 ) e i g e n v a l u e s o fp r o b l e m ( 4 ) ，w eo b t a i nt h ei m p l i c i te s t i m a t e a n dt h ee x p l i c i te s t i m a t e 篱( 荆。一 8 ( ，v + 2 ) 鲁”。 8 ( n + 2 1 * r a + 1 肛m + m a 二。2 n 二2 c l s 2 ( 6 ) ( 7 ) t h et w oe s t i m a t e so fr e s u l t2a r eb o t hs t r o n g e rt h a n ( 5 ) i nt h el a s ts e c t i o no ft h ec h a p t e r3 ，w ea l s os h o ws o m er e m a r k s a n dm o r es t r o n g e re s t i m a t e so fs o m el o wi n d e xe i g e n v a l u e s 】i e m 1 ，7 n n w h e r e 咖) ：掣r 删) ：耐3 2 俘2 1v + 2 ) 叫。 口 0vj ( 8 ) t h r o u g ht h ep r a c t i c a lc o m p u t a t i o nw ef i n do u tt h a t ，i ns o m el o w d i m e n s i o n ss p a c e jf o rs o n i cl o wi n d e xe i g e n v a l u e s ，t h ee s t i m a t e ( 8 ) i s s t r o n g e rt h a n ( 3 ) a n d ( 5 ) 一( 7 ) 瓮蒜 “ 1 m m， 胆 、 m ， i nc h a p t e r4 ，t h ea u t h o rc o n s i d mt h ee x i s t e n c ea n df i o y i e x i s t e n c e o fn o n t r i v i a ls o l u t i o n st oq u a s i l i n e a r b r e z i s - - n i r e n b e r g - - t y p ep r o b l e m s w i t hs i n g u l a rw e i g h t s f d i v ( 一”l v 训p - 2 v u ) 【n = 0 ， 觜十一赫 z x e a n f ! , ( 9 ) w h e r e0 qcr o ”i sab o u n d e do p e ns e tw i t hc 1b o u n d a r y a n d 1 p n ，一。 0 ) 这样的权，对于不同阶数的偏微分方程来说，o 的大小都是至关重要的，这 也就产生了一个被称为临界权的问题，现在流行把n 所能达到的最大值叫做 临界的h a r d y 指数 另一个重要的难点是方程含有临界的s o b l e v 指数，由于从护空间到对 应的s o b o l e v 空间的嵌入失去紧性，使得一般可应用于连续紧嵌入的方法都 失去效用，极小化序列也不再满足( p s ) 条件。要解决这个问题，其中之一的 方法是借助于p l l i o n s 1 ，2 1 的集中紧原理，使得极小化序列满足一种局部的 ( p s ) 条件，即( p s ) 。条件，并通过强极大值原理 3 来寻求相应问题正解的存 在性。 本章的内容主要是简单介绍与本文有关的非线性椭圆型方程的奇性问题 研究的进展和几种类型的变分不等式及其应用于奇性问题的发展历史结合 先行者的有关工作，也介绍了本文的主要工作 1 1 奇性问题的历史和现状 正如德国数学家庞加莱( j hp o i n c a r d ) 所说，若想预见数学的未来，正确 的方法是研究它的历史和现状。先从介绍近来国际上的相关工作开始，展开关 于奇性问题的研究。至于更早的相关哿陛问题的进展，读者可以参阅 4 , 5 ，6 ，e t c 以及其中的文献。 2 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 6 年 在文献【7 】中，p a o l oc a l d i r o l i 和r o b e r t am u s i n a 讨论了调和方程 z l o u = ，( u ) ，z n 的奇性问题其中，a 瓞，f c ( 豫) ，n 是r ”中的有界光滑区域泼问题 是一类维静态带奇性s c h r g d i n g e r 方程的简单模型。有关s c h r 6 d i n g c r 方程 的一些性质读者可以参看wf r a n k 、d l a n d 和rs p e c t o r 对于该方程， 显然，当a 0 时，零点就是问题的奇点；当 0 时，奇点发散到无穷远 处p a o l oc a l d i r o l i 和r o b e r t am u s i n a 在二维单位球b 内给出了o = 0 时 和a 0 ，0 g 0 ，z q ；“= 0 ，z 舯， 、 其中p 0 ，n c 瓞“由h a r d y 不等式 z 荠曼( 圭) 2 正i v 砰，强 z ， p k而直征特第 2 0 0 6 正 第一章绪论 3 e n r i c oj a n n e l l i 得到方程离散谱存在的充要条件是肛 面= ；( 一2 ) 2 并且 分别当灿 万一1 和面一1 “ 0 ，0s 2 ，2 ：= 2 ( n a ) ( _ 7 v 一2 ) ，ncr 川，n i m a l e n d u c h a u d h u r i 也通过上面的h a r d y 不等式( 12 ) 得到该问题离散谱存在的充要 条件是 p 肌2 = ；( n 一2 ) 2 4 在证明有解问题时，像h b r e z i s 和ln i r e n b e r g 1 】一样，我们分别就n = 3 和n 4 两种情况进行讨论，而其中卢是个至关重要的数当9 ( u ) = 3 , u q - 1 ， 其中2 q 2 ；时， n i m a l e n d uc h a u d h u r i 对解的存在情况作了细致的分 类。有兴趣的读者可以自行参看该文献 x i o n gh u i 和s h e ny a o t i a n 在【4 6 j 文中所讨论的双调和奇性l 可题要求的 0 o 4 其实就类似于n i m a l e n d uc h a u d h u r i 5 1 中调和问题的0 o | 1 一 u u ，j(1【 4 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 6 年 。篇 ( 1 。) 其中n 5 ，f 2 是豫“中一有界光滑开区域，u 雕( n ) 且2 p 2 ”= 篙，这时方程才有非平凡的解该文主要研究三类半线性奇陛问题，第一 v q r 上a 类是含次临界位势和临界指数，即n ( 0 ，4 ) ，p = 去；与；第二类是含临界位 r - l jv q 势和次临界指数，即a = 4 ，2 0 ( 1 _ 1 0 ) 才能使h 一可积当，= 蚓，妒( q ) 时，在单位球内考虑，则有 ( z f) 9f o o 由( 1 1 0 ) 可知，这时要求p i n 皇誊l 2 ：黟于调和问题( 1 8 ) ，如果，口( n ) ，p 譬，则该问题属于弱 奇性问题；如果，驴( n ) ，1 p 譬，则该问题属于螽奇性问题 考虑非线性椭圆型双调和问题 f 2 u = ，u ，z n ， iu 一舞：o ，。a 孟， ( 1 1 1 ) 其中qc r 为有光滑边界的区域，n 5 ，其对应泛函为 考察积分 i ( u ) ；伽i z d x 胁2 a x ；，舶。 6 中国科学技术大学博士学位论文 的存在性因为弱解u h ；( q ) ，则由s o b o l e v 嵌人定理可知u 三鹊( n ) 利用h 6 1 d e r 不等式，有 肛蜒( 小) 等( a x ) _ 可见，要上式左边的积分可积的话，则要求，l 譬( 踊。 同理由( 1 1 0 ) ，当f = l x l ，f p 时，在单位球内考虑，应有 m 圹x ) ；l 慨 ( 1 1 2 ) 所以这时要求p 学。 定义1 3 ：对于调和问题( 11 1 ) ，如果，酽( n ) ，p i n ，则该问题属于弱 奇性问题；如果f l p ( n ) ，1 0 ，易见n 必须 满足a 4 这就是为什么o = 4 时寺是双调和算子临界位势的原因。这 是也称q = 4 为双调和问题的临界h a r d y 指数。 在柱面对称的区域里，n g h o u s s o u b 和g y u a n 1 3 利用变分原理研究了 如下拟线性p - l a p l a c e 方程的非平凡解和多解的存在性 f 高。篡( l l a ) 其中a 和肛是两个正数，qc 皿“是包含原点的光滑有界区域，且0 茎8 茎p n ，p r p + = n p ( n p ) 。ng h o u s s o u b 和gy u a n 8 1 先用p o h o z a e v 恒 等式1 正g l t 界位势和临界指数共存时，即r = p + = ；笔且g = 矿( s ) = 而n ；- 8 p 时，该方程无解该文还详尽地把s o b o l e v 临界和次临界非奇性问题非平凡解 的情况列成两个表格，此略。n g h o u s s o u b 和gy u a n 认为，解的存在性极 大程度上依赖于n ，p ，r ，q 和a 的取值 当p = 2 时，问题( 1 1 3 ) 被b e r t i n 和c i o t t i 这两个天体物理学家看成是 银河系的动力系统的模型而建议mb a d i m e 和g t a r a n t e l l o 1 4 1 做了详尽的研 2 0 0 6 芷第一章绪论 7 究它其实是来自于平常所见的p o i s s o n 方程 妒= 4 7 r g p ， 其中妒为引力势能，p 为物质的密度妒是关于p 的变量且柱面半径r = i z l 同时类似于 1 3 和 1 4 】的研究还有x u a nb e n j i n 4 5 】所研究的下述问题 一a p = a l u r u + 肾，z n ， 【u2 0 ，z a n ， 其中，2sp n ，0 茎5sp ，1 r p 0 且n r ”= 敢“r ”一”是一个包含零点在内的光滑有界区域2 茎k 茎 n z = ( ，。) r ”腿”一耳详情请读者自行参见x u a nb e n j i n 4 5 。 1 2 含权的变分不等式 在我的硕士毕业论文中，有关h a r d y 不等式的发生和发展历史已经做过 比较详细的叙述。那些说过的在此就不再重复，其相关的信息可见于参考文献 【1 5 2 1 在这一小节要说的是近年来含权的变分不等式的发展以及对以往阐 述的补充 早在1 9 1 9 年，分析大师g h h a r d y 1 5 1 给出了这样的不等式，对于任意 的1 p 0 ，ncr ”，且 札一删邓i n f 吼黹 对于p - l a p l a c e 算子，he g n e l l 等【28 1 得出 i 麓，s ，怫t + g 眺，讹喇9 ( 毗 ( 1 3 0 ) 其中，n p l ，p + = 斋笔，qcr ”，g 1 ，笃粤孚 ，c = c ( n ，g ，q ) ，且 ， s n p2 删i q n f i 2 ) o 矛 由不等式( 1 3 0 ) 可知，当且仅当维数临界时，余项包含护的“线性”模 有关临界维数的概念读者可参看f 2 9 ，3 0 1 最近s h e ny a o t i a n 等 3 1 也得出了一些带余项的h a r d y 不等式，但由于 本文的重点并不是讨论不等式的余项问题，所以虽然那些不等式很好，却不一 一列举了。 近来也有些学者讨论由lc a f f a r e l l i ，rk o h n 和ln i r e n b e r g 2 4 所发起的 c a t t a r e l l i k o h n n i r e n b e r g 不等式，这些其实都是含权的h a r d y 不等式 关于奇性问题和h a r d y 不等式的其它应用及其它一些不等式，读者还可 另行参看：e h l i e b 3 2 1 ，c m a y a - r s h i v a j i a a l ，k a is e n gc h o u - c h i uw i n g c h u 3 4 1 ，h b r e z i s mm a r c u s 3 5 】，a d i m u r t h i s a n d e e p 3 6 】，j vg o n c a l v e s o h m i y a g a k i 3 7 ，g h h a r d y - j el i t t l e w o o d 3 8 ，3 9 】，s , l s o b o l e v 4 0 1 ， g o o k i k i o l u 4 1 一v g l a s e r - a m a r t i n hg r o s s - w t h i r i n g 4 2 1 ，g h h a r d y - j e l i t t l e w o o d - g p d l y a 4 3 1 及其中的参考文献 近年来有不少人开始在h e i s e n b e r g 群( 李群的一种) 上研究h a r d y 不 等式，这也有一些研究成果，如p n i u ，h z h a n g 和yw a n g 4 4 1 等先定义 h e i s e n b e r g 群上的l a p l a c e 算子 d i v h ( v h ) 之后得出相应的不等式 上。 v 删忙( 字) 9 上。( 导) 9 ( 黔 其中u 帮( h 0 ，o ) ) ，1 a o = 成立，则该问题无解；若a o ，则问题( 13 5 ) 都至少 有一个正解 显然对于问题( 1 ) 来说，若2 0 ，a ( ：j ) l ”( 5 2 ) 且n ( m ) 0 ，nc 豫”是一个有界区域，并且边界 是充分光滑的。空间维数n 2 。对于问题( 13 6 ) ，得出如下的特征值不等 式 坯 t + 等等卜v n 2 s ， 而第二类问题所含的奇系数属于h a r d y 位势，即 2 u 嚣= p ： i 赤p ，。x eb ，, 0 o b ( 1 3 8 ) lu = 嚣= ， z ， ” 1 2 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 6 年 其中o 【0 ，4 】，空间维数n a ，b 为单位球。该问题被称为双调和算子的 s c h r f d i n g e r 问题。对于这个问题，我们得出如下几个不等式： 1 、对任意n 。，m 1 ，考虑问题( 1 3 8 ) 的前+ 1 ) 个特征值，可得 岫f z 。+ 8 m ( n 2 + g 2 2 ) x 鲁a 池 ( 1 3 9 ) 2 、对任意n o ，m l ，考虑问题( 1 3 8 ) 的前( m + i ) 个特征值，有隐 式估计 粪志m a l 2 n 2 c 3 一( 。1 胆 a 。， 鲁芦。+ 1 一“一鲁” 、7 和显式估计 卢。+ 。p 。十躲( 喜肛。) 1 7 2 ( 喜“；胆) c - a - ， 其中结论2 的两个估计都强于结论1 的估计 在第三章最后一节，我们还给出了一些低指标的更优估计和评述。即： 对任意n a ，m n ，关于该问题( l 3 8 ) 的一些低指标特征值，则有更 强的估计 帅 ( 1 川时咖) 等参 f 1 4 2 1 【1 + 口+ g ( 口) m ( j j v ) 去 卢。， 其中 咖) ：掣 1 胆，m ( ) _ 丽3 2v f j 2 - ( + 2 ) 叫。 通过实际计算验证了在某些低维数空间里，对问题( 1 3 8 ) 的某些低指标 特征值来说，估计( 1 4 2 ) 更优于估计( 1 3 7 ) 和估汁( 13 9 ) 一( 1 4 1 ) 在第四章里，讨论了如下的含奇性权的拟线性b r e z i s n i r e n b e r g 型问题 ，刮h l v 训坤v = 觜+ - 器羔。 ( 1 。) it 上= o ， z o q ， 的非平凡解的存在性和不存在性，其中0 q r “是个具有c 1 边界的有 界开集，1 p _ ，一。o o 0 2 0 0 6 皂第一章绪论 1 3 当p = 2 ，a = b = 0 ，c = 2 时，问题( 1 4 3 ) 变为 忙： o n ， z a n ， 其中，o = 2 + = - i 2 j n 正是临界的s o b o l e v 嵌入指数，这种情况h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 4 1 进行了细致的研究，得出不少有广泛影响的结论因为当 q = 面2 n 时嵌入硪( n ) 一l a ( q ) 是不紧的，所以相应的能量泛函不满足全 局的( p s ) 条件，对于常规的变分方法来说，寻找临界点会遇到很大的困难 h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 从处理s o b o l e v 不等式的达到函数入手，对截断函数 的能量水平进行分析，得到这样的结论；对任意的c 面1 2 ，能量泛函满 足( p s ) 。条件，其中s 是s o b o l e v 不等式的最佳常数 本节先研究了问题( 1 4 3 ) 相关的特征值问题 忙1 j 乳r 2 孔蚓士“如叫乳r 屯1 。蔷 并论证一个紧嵌入定理，它是经典r e l l i c h k o n d r a c h o v 紧嵌入定理的推广即 紧嵌人定理假定0 qc 豫是一个具有c 1 边界的有界开集且1 p ，一o o n 字，如果1 r 鹊，a ( 1 + o ) r + n ( 1 一；) 成立的话， 那么嵌入珑- ，( r “) 一l 7 ( n ，”) 是紧的 再利用p o h o z a e v 恒等式得到了解的不存在性：如果a 0 且q 是一个 关于零点的( 光滑) 星形区域，那么问题( 1 4 3 ) 无解。 最后，根据达到函数得到了问题( 1 4 3 ) 解的存在性结论假定0 ncr ” 是个具有c 1 边界的有界开集。且1 p n ，0 口 等，。6 墨a + l ，q = p ( 。，6 ) = 爿兰，d = 1 + 。一b ( o ，l l ，c 智，0 a l ，那么问题 ( 4 1 ) 有个非平凡解u 砚，( n ) 另外，当p = 2 n 时，令q = b 1 ( 0 ) 为r “空间的单位球，且一。 o 盟笋，nsb n 十1 ，q = 2 + ( n ，b ) = - 寿，d = 1 + n b ( 0 ，1 1 ，c 茎n 一2 2 a ，0 a a 1 ，这时问题( 1 4 3 ) 存在一个非平凡的径向解u 口。1 2 ( q ) 此外还有一个推论；假定0 ncr “是一个具有c 1 边界的有界开集，且 p = 2 n ，0 兰n 盟手，。sb n 十1 ，口= 2 4a ，6 ) = 孑竺乞，d = 1 + n b ( 0 ，1 】，csn 一2 2 a ，0 2 ，瑶( b ) 中的范数定义为 i i u l l = l i “1 | 硼( 。，= ( ei u 1 2 出) 1 7 2 2 1 引言及主要结论 高阶调和问题最早由p ，p u c c i 和j s e r r i n 1 系统研究的，考虑问题 警d ，u ：d 裂u ? ! 址0 ，。嚣 仁z ， lu = = 2 = = d 。u = ，o a n ， 、7 其中川m 一1 ，m 为自然数，s = ( + 2 m ) ( 一2 1 ) 是临界指数且 u ( 0 ) 留( n ) 日驴( n ) 空间是四。( q ) 以范数 巴= i 号“1 2d x ， m 是偶数， f | u 幢= ，f v ( ! 学u ) f 2d x ，”l 是奇数 为闭包。p p u c c i 和j s e r r i n 1 1 首次根据第一特征值的取值范围和如下问题正 解的存在性的关系定义了临界维数的概念，即 定义2 1 1 1 j 在某些维数里，方程若是要有正解的话，则系数a 必须满足 h a 0 ，a p 为 ( 一) ”u = a u 的齐次d i r i c h l e t 边界问题的第一特征值。这时称这些维数为临 界维数。 当m = 2 即双调和情况时，p p u c c i 和js e r r i n 证明了当区域q 是 r 1 ( 4 ) 中球体时，问题( 2 2 ) 对任意的a ( o ，a ( 2 ) 在硪( n ) 中至少有 1 9 2 0 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 6 年 一个正的径向解当4 n 8 时，他们推测：存在某个a o ( 0 ，a ，) ，对 任意的 ( a o ，a l ”) ，问题( 2 ，2 ) 至少有一个正解。即他们认为位于4 和8 之 间的维数即为临界维数，也就是说，临界维数n = 5 ，6 ，7 在中p p u c c i 和js e r r i n 证明了当n 是单位球b 且n 4 m 时，对 任意的a ( 0 ， r ) ，问题( 2 2 ) 至少有一个正的径向解；而当2 m a 时，方程至少有一个正解，满