（基础数学专业论文）具有尖峰孤立波的浅水波方程的适定性理论及解的行为分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了具有尖峰孤立波的浅水波方程的适定性理论、极 限行为及无限传播速度。d p 方程( d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程，简称 d p 方程) 是d e g a s p e r i s 和p r o c e s i 得到的，他们发现只有三类方程 满足这一族的渐近积分情况：k d v 方程，c a m a s s a - h o l m 方程和 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程，因而它们具有相似的性质。c a m a s s a - h o l m 与d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的两维耦合方程包括了c a m a s s a - h o l m 方程与d e g a s p e r i s p r o c e si 方程。 第二章主要研究广义d p 方程的局部适定性问题。应用索伯列夫 空间的一些不等式、偏微分方程相关知识和k a t o 理论，证明方程有一 个唯一的连续依赖于初值的局部解。第三章主要研究了一类带色散项 的d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的适定性问题，通过应用粘性估计和先 验估计，证明了在r 俾) n 僻) 至少有一个弱解存在，并且满足一组有 约束条件的熵不等式；在口俾) n b v ( r ) 上存在熵弱解。第四章主要研 究色散b 族方程的无限传播速度及yjo 时解的极限行为。我们得到 尽管初始值( x ) 具有紧支集，但在任意小的时间段【0 ，s 】上方程解本 身和它的次微分中至少有一个或者两者在无穷远处的衰退速度比 一的衰退速度要慢；并且证明了当色散系数y 趋于零时，带色散项b 族方程的解趋近于b 族方程的解。第五章主要研究c h 方程与d p 方程 的两维耦合方程初值问题的局部适定性，运用k a t o 定理，得到了初 值问题的局部适定性理论。 关键词：d - p 方程，适定性，弱解，熵弱解，极限行为，无限传播速 度，d p 与c h 方程的两维耦合方程 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ew e l l p o s e d n e s sp r o b l e m ，l i m i tb e h a v i o ra n di n f i n i t e p r o p a g a t i o ns p e e df o rs h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n s 诚啦p e a k o ns o l i t o ns o l u t i o n s d e g a s p e r i sa n dp r o c e s is m d i e dt h ed - p ( d e g a s p e r i s - p r o c e s i ，i e ，d pe q u a t i o n ) e q u a t i o n 。t h e yf o u n dt h a tt h e r ea r eo n l yt h r e ee q u a t i o n st h a ts a t i s f yt h ea s y m p t o t i c i n t e g r a d i l i 哆c o n d i t i o nw i t ht h i sf a m i l y ：t h ek d ve q u a t i o n ，t h ec a m a s s a - h o i m e q u a t i o n , a n d t h e d e g a s p e r i s p r o c e s ie q u a t i o n t h ec a m a s s a - h o l me q u a t i o n i n t e r a c t e dw i t ht h ed e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o nc o n t a i n st h ec a m a s a a - h o l ma n d d e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o n s c h a p t e rt w os t u d i e st h el o c a lw e l l - p o s e d n e s so ft h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h e g e n e r a l i z e dd e g a s p e r i s - p r o c e se q u a t i o n b ya p p l y i n g s o m es o b o l e v s i n e q u a l i t i e sa n dr e l a t e dk n o w l e d g eo fp d ea n du s i n gk a t o st h e o r y , w ep r o o ft h a t t h e r ei sau n i q u el o c a ls o l u t i o no ft h i sp r o b l e mw h i c h c o n t i n u o u s l yd e p e n d i n go nt h e i n i t i a lv a l u e c h a p t e rt h r e es t u d i e st h ew e a ks o l u t i o n 、e n t r o p yw e a ks o l u t i o nf o r d e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o nw i t hd i s p e r s i v et e r m b yu s i n gv i s c o u sa p p r o x i m a t i o n s a n dap r i o r ie s t i m a t e s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ew e a ks o l u t i o n ，s a t i s f y i n g ar e s t r i c t e ds e to f e n t r o p yi n e q u a l i t y i n t h ec l a s sl 2 僻) n r 僻) ，a n di n r ( r ) nb v ( r ) e x i s t i n ge n t r o p yw e a ks o l u t i o n c h a p t e rf o u rs h o w st h ei n f i n i t e p r o p a g a t i o ns p e e da n dt h el i m i tb a h a v i o rf o rt h eb f a m i l ye q u a t i o nw i t hd i s p e r s i v e t e r m w es h o wt h a te i t h e rt h es o l u t i o ni t s e l fo ri t sf i r s td e r i v a t i v ec a nn o t , o rn e i t h e ro f t h e mc a l ld e c a yf a s t e rt h a ne 刊a ti n f i n i t eu n i f o r m l yi na n ys m a l lt i m e r v a l 【o s 】， a l t h o u g ht h ei n i t i a ld a t u mg o h a sc o m p a c ts u p p o r t ；a n dw ep r o v et h a tw h e n d i s p e r s i v ep a r a m e t e ryc o n v e r g e st oz e r o ，t h es o l u t i o no fb f a m i l ye q u a t i o nw i t h d i s p e r s i v et e r mc o n v e r g e st ot h a to fb - f a m i l ye q u a t i o n c h a p t e rf i v es t u d i e st h el o c a l w e l l - p o s e d n e s so ft h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h ec a m a s s a - h o l me q u a t i o ni n t e r a c t e d w i t ht h ed e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o n ，w ep r o o ft h a tt h e r ei sa u n i q u el o c a ls o l u t i o no f t h i sp r o b l e mw h i c h c o n t i n u o u s l yd e p e n d i n go nt h ei n i t i a lv a l u e k e y w o r d s ：d e g a s p e f i s - p r o c e s ie q u a t i o n ，w e l l - p o s e d n e s s ，w e a ks o l u t i o n ，e n t r o p y w e a k s o l u t i o n ，l i m i tb e h a v i o r , i n f i n i t ep r o p a g a t i o n s p e e d ， c a m a s s a - h o l me q u a t i o ni n t e r a c t e dw i t ht h e d e g a s p e r i s - p r o c e s i e q u a t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：巷秀明 1 引堋蝴 指导教师签名：刁z 野 年月日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名苍务嘲 日期：川年f 乙月罗日 江苏火学硕士学位论文 1 。_ l 研究背景及意义 第一章引言 非线性科学是继量子力学、相对论后2 0 世纪自然科学的重要发现。物理学大 师爱困斯毽曾预言：掰由于物理学的基本系统都是非线性的，因此所有的数学物理 都必须从头研究 。非线性科学的迅速发展使它成为众多科学的前沿课题之一。特 别是近十几年来获得了重要进展，不仅开拓了数学物理新的研究领域，还在许多 高科技领域有着重要的应用。 近吾年来，数学物理学家、力学家们利用动量守恒定律、质量守恒定律和交 分原理建立了许多流体运动的数学物理模型。在建立这些数理模型中，大多数都 是用非线性偏微分方程进行表示的，其中最经典的就是n a v i e r - s t o k e s 方程。将 n a v i e r s t o k o s 方程用各种数学方法进行渐进展开，获得了不同的流体运动方程， 特别是水波方程，如k o r t e w e g d ev r i e s 方程、b u r g e r s 方程、b b m 方程、b o u s s i n e s q 方程等等。 近十年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。由 于它的研究涉及等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、金融领域等，所以近年 来倍受重视。无论是可积系统，还是耗散系统，系统的斑图选择演化及其时空动 力学复杂行为规律，因它们在拟序结构、高速光纤通讯、化学反应斑图、生物中 斑图、纳米的量子效应等方面的巨大潜在应用背景，使对它们的研究成为众多科 技关注的热点之一。另一方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材 料力学及浅水波运动规律研究中有广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理学 界关注的热点问题之一。讨论浅水波方程解的相关性质( 特别是水波方程的局部 适定性理论、稳定性理论、散射理论、解的整体存在性及b l o w - u p 理论( 爆破现象) ) 并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定物理材料属性等方面均具有极 大的应用价值。 非线性偏微分方程c a u c h y 问题( 或称初值问题) 的定性理论在非线性偏微分 方程理论研究中有着非常重要的地位。由于物理学、力学和工程技术等方面的许 多问题都归结为偏微分方程的定解问题，因而数学物理方程最终目的是研究这些 江苏大学硕士学位论文 问题的解法。但是数学物理方程的任务也不只局限于是对具体的问题来研究求解 的方法，它还要对物理学、力学和工程技术中所可能碰到的方程及其定解问题作 系统的研究。这些研究有助于求解问题，也有助于把实际问题归结为偏微分方程 的定解问题。因此它一方面从量的侧面来考察这种归结的合理性，另一方面对定 解问题的提法给出一定的要求。这样在数学物理方程就需要考虑对事先选定的某 函数空间，定解问题的解在该函数空间是否存在、唯一并且稳定即适定性的问题。 1 2 研究现状和研究内容 文献 1 中d e g a s p e r i s 和p r o c e s i 研究了如下三阶色散p d e 守衡律族： + c o u ，+ 肛。_ a 2 u 搬i ( q u 2 + c 2 + c 3 1 心嚣) x ( 1 2 1 ) 其中，口，c o ，q ，c 2 ，c 3 是实常数。如果q = - 2 c j c r 2 , c 2 = 白经过一系列变换后，方程 ( 1 2 1 ) 就转化为b 族方程的形式： p 一+ p + 班畋2 b u , u 一+ ， o ，x 尺( 1 2 2 ) l u ( x ，0 ) 一u o ( 功，x e r 。 令b = 2 ，方程( 1 2 2 ) 变为c a m a s s a - h o l m 方程，文献 2 研究了该方程具 有双哈一密顿结构，且是完全可积的。c a m a s s a - h o l m 方程被很多研究者所研究。在 文献 2 3 中，建立了该方程的数值模拟和守恒量。在文献 4 中，讨论了该方程 的对称性和可积扰动问题。在文献 5 中，用变量方法研究了该方程的孤子解。田 立新等在文献 6 中讨论了该方程的行波解和双孤子解，并引进了凹面、凹面尖峰 孤子和光滑孤子解得定义。田，宋，殷在文献 7 8 中考虑了广义c - h 方程，发 现了新的精确尖峰解和孤立子解。在文献 9 1 0 1 1 中，c o n s t a n t i n 和e s c h e r 研究了该方程的全局存在性，解的爆破和h a m i l t o n 结构。在文献 1 2 中， c o n s t a n t i n 和s t r a u s s 证明了孤立波具有c - h 方程孤立子的谱性质，并且它们的 形状在小扰动下是稳定的。在文献 1 2 1 3 1 4 中， c o n s t a n t i n ，j l e n e l l s ，r b e a l s ，d s a t t n g e r ，和j s z m i g i e l s k i 研究了该方程的 散射问题。在文献e 1 5 1 6 中，c o n s t a n t i n ，j e s c h e r 和r d a n c h i n 研究了非线性 非局部浅水波方程的碎波解，其中如果解有界但是它的斜率在有限时问内无穷大 时碎波成立。 在方程( 1 2 2 ) ，令b = 3 可得到d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程： 2 江苏大学硕士学位论文 一h 缸+ 4 “心一3 心口。+ 口l 工。，t o , x e r 。 ( 1 2 3 ) 在文献 1 7 中d e g a s p e r i s ，h o l m 和h o n e 通过构造拉克斯对证明了方程( 1 2 3 ) 的可积性他们也证明了方程( 1 2 3 ) 有双哈一密顿结构和无穷多守衡量，且有与 c - h 方程相似的精确尖峰解。 d - p 方程可看作一个非线性浅水波方程的一个模型，它的渐近精度与c - h 方程 相同，在文献 1 8 中，d u l l i n ，g o t t w a l d ，和h o l m 证明d - p 方程可通过k o d a m a 变 换从浅水波中得到。v a k h n e n k o 和p a r k e s 在文献 1 9 中研究了方程( 1 2 3 ) 的行 波解。h o l m 和s t a l e y 研究了方程( 1 2 3 ) 的孤子解的稳定性及数值尖峰解。 在d - p 方程给出以后，它被广泛的研究，例如，在文献 2 0 中殷朝阳证明了 方程( 1 2 3 ) 在初值h 。僻) ，( s 兰) 的条件下线性周期局部适定性，导出精确爆 破准则，并给出一个爆破结果。在文献 2 1 3 2 2 中给出了方程( 1 3 ) 的强解与整体 弱解的整体存在性。目前，在文献 2 3 j 中l e n e l l s 归类了所有的弱行波解。在文 献 2 4 中m a t s u n o 研究了多重孤子解和它们的尖峰极限。在文献 2 5 中h e n r y 以 及在文献 2 6 中m u s t a f a 均证明了方程( 1 2 3 ) 有无限传播速度。在文献 2 7 中 c o c l i t e 和k a r l s e n 证明了在r ( r ) n s v ( r ) 和r 职) n r 俾) 上存在唯一的全局熵 弱解。 除了与c a m a s s a - h o l m 方程的相似，这两类方程还有很多不同之处。 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程不仅有尖峰孤子解u ( t ，工) = c e 一卜，c 0 ，而且有下述形式 的激波解： 砧o ，x ) = _ ! s g n ( x ) e - n ，k o 。 c a m a s s a - h o l m 方程有l a x 对：一专吵一砌妒2 0 ；d e g a s p e r is p r o c e s i 方程有 l a x 对：虬一一砌缈t0 ，其中m 一“一。这两类方程的守衡量也不相同， c a m a s s a h o l m 方 程的 三 个 重要 的守衡 量 为 日 ) 。正眦玩易 ) 。f r m v d x e 3 ( u ) 。正口3 d x ，而d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程相应的 三 个重要的守 衡 量 为 马 ) 正历出，h 2 ( u ) 一正 2 + k 2 ) 出，h 3 ( u ) 一正 3 + 比) 出， ， 其中 3 江苏大学硕士学位论文 m 一( 1 二a ：) 砧，y - ( 4 一a ：) 以比。 方程( 1 2 3 ) 中的缸也换为缸“吒q 0 ) 变为： 鸭一u t = + 缸”畋= 3 u ；“。+ 甜够砧 ，t o ，x e r( 1 2 4 ) 我们把方程( 1 2 4 ) 称之为广义d p 方程。 方程( 1 2 3 ) 加一色散项变为 u t l 缸+ 缸“，+ r ( u 一够# ) 善- 3 u x u = + 比够。，t 0 ，x e r ( 1 2 5 ) f a l q u i 2 8 以及陈，刘和张 2 9 最近提出了两维耦合广义c a m a s s a h o l m 方程 为： ，- 一比他一机+ 户级， 屏一一( 肛) ；， 其中m - u 一“。在文献 2 8 2 9 3 0 中，这个广义系统和c 锄a s s a h o l m 方程类似 是a k n s 层的第一负流，具有双哈密顿结构、尖峰和多重解。这个广义系统的基本 思想是把l a x 对包含在附加函数里面然后从这个广义的l a x 对形式中提取出这个方 程的基本性质。 另一方面，在文献 3 1 中z i e m o w i tp o p o w i c z 提出了两维耦合广义 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的哈密顿形式为： 肛；一如成“一( 毛+ 乞) p 比善， 刀l i = - 3 m u ，一他配+ k 3 p p , , ， 其中m - a 一乜比。当白- 屯一1 ，岛为一个任意常数或者乞t 1 ，岛一0 ，畸取任意值 时。第二种广义形式为： p ti - 2 p u x p p = - 3 m u ，一h p + 2 p o x ， 其中朋一a 一1 地。 同时在文献 3 1 中建立了c a m a s s a - h o l m 与d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的两维耦 合方程： p 一3 m ( 弛+ 屹一他( 叭? ( 1 2 6 ) l 吩一- 2 n ( 2 u , + 屹) - n , ( 2 u + d 。 其中m m 一，n 一 ，一k 。这就是耦合系统的方程，其中包括了c a m a s a a h o l m 方 程与d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程。事实上当n = ，= 0 时调节系统的时间后还原成 江苏大学硕士学位论文 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程；当m = 比= 0 时系统还原成c a m a s s a - h o l m 方程。方程 ( 1 2 6 ) 有三个独立的守恒量： i - i o 。f ( m + n ) d x , q = p _ 聊。卜2 驯3 d x , = r _ 9 玎扣2 掰1 + 2 卵+ 1 2 n x m x n 川m 抛棚一4 砖以五m 7 + 2 卢) 出， 其中五是一个任意常数。有趣的是当名= 0 时鼠正好是d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程 的c a s i m i r 函数；当旯= 1 2 时变为c a m a s s a - h o l m 方程的c a s i m i r 函数。从三个独立 守恒量的存在性可以看出这个系统是可积的。 在上面的研究基础上，本文研究了广义d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的c a u c h y 问题的局部适定性理论。带色散项d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的弱解、熵弱解。色 散b 族方程的无穷传播速度及，一0 时解的极限行为。最后还研究了c a m a s s a - h o l m 与d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的两维耦合方程的局部适定性理论。 符号说明：我们用| i p 表示空间p ，1 p o ) 的局部适定 性问题。应用索伯列夫空间的一些不等式、偏微分方程相关知识和k a t o 理论，证 明方程有一个唯一的连续依赖于初值的局部解。 2 1准备知识 为了研究厂义d p 方程( 1 2 4 ) 的局部适定性，首先将建立局部适定性用到的 k a t o 定理及引理作相关介绍。 考虑抽象拟线性发展方程 石d v + a ( d t m 厂，f 。，v ( o ) 一v o ( 2 1 1 ) 令x ，y 为h i l b e r t 空间，使得y 连续紧嵌入x ，令q ：y x 为一拓扑同构。 工，x ) 定义为有所有的y 到x 的有界线性算子组成的空间，若x = y 则表示为 三仁) ，假定 ( i ) a ( y ) e l ( y ，x ) ，渤z 有 ( 彳( 少) 一a ( z ) ) w t l x 4i l y - z 1 1 j1 1 w t l r ) ，z ，w l ， 在l ，的有界集上一致有a ( ) ，) g ，1 ，励。 ( ii ) q a ( ) ，) q 4 - a ( y ) + b ( y ) ，其中b ( y ) el ( x ) 在y 的有界集上一致有界， 0 ( b ( y ) 一曰( z ) ) 叫l z 2 i l y - z l l ，1 1 w l l y ，z y ，w 石。 ( i i i ) 厂：y 寸】，也可扩张成x 到x 的映射，在y 的有界集上有界，且 l i s c o - s ( ：) l l y - , i l y - ：1 1 r y ，z e y ， i i f ( y ) - f ( ：) l l - o 和( 2 1 1 ) 的唯一解，使得v - ，) c ( 【0 ，t ) ；dn c l ( 1 0 ，r ) ；x ) 。 6 江苏大学硕士学位论文 此外，映射_ 小，v o ) 是从y 到c ( 【0 ，r ) ；n n c l ( 【o ，r ) ；盖) 连续映射。 证明：定理2 。圭。l 在 3 2 】中有详细的证明。 一些有用的引理： 引理2 王。2 ( 见 3 2 】) 令y ，t 力实数，使得一y t ，。那么 l 瞻艮- 寺) ，融t t f g l l 。c | | 卅| ，m 。 这是因为当s 妄时，h 8 是一个b a n a c h 代数。 引理2 1 5 令詹 i 3 ，那么l k b m i 。 这个引理直接来源于s o b o l e v 嵌入定理。 鬟理2 。1 。6 令茗，y 必薅个b a n a c h 空闻，y 连续紧嵌入x ，令一a 是罗国在x 上黪 c o 一半群的无穷小生成元，s 为y 到x 的同构，当且仅当一a 一一s a s 。1 为 夏国- s t ( o s 越在x 上的c o 一半群的无穷小生成元，y 是一五容许的，此井，如果y 是一a 容许的，那么一a 在y 中的部分就是r o ) 到y 的限制的无穷小生成元。 引理2 1 6 在 3 4 3 中定理5 5 中4 5 节及定理5 8 中有详尽的证明。 2 。2 局部适定性 令m l u 一，方程( 王。2 。4 ) 可写成双曲型拟线性发展方程 7 江苏大学硕士学位论文 胨：+ 翟：缸嚣= b 吣印(221)u i 小( 0 砷- o ( 力一芦( 力，z 尺 、。 定义p ( x ) _ i e - h ，x r ，那么( 1 一a ：) 1 厂一p 事f 对所有的fe l 2 伍) ， p * y = 甜。用这个定义，可以改写方程( 2 2 1 ) 为如下 j 栅蚝一吼州嘉一虿1 蛳 。胙灭( 2 舢) 【u ( o ，力= u o ，x e r 或写成等价的形式 卜蚝卅m _ ) 1 ( 嘉一丢咖 。撕尺( 2 2 3 ) 【“( 0 ，矽t ( 力，x e r 定理2 2 1 给定日3 ( r ) ，( s 吾) ，存在一个最大值z z ( ) 。和方程( 1 2 4 ) 的唯一解，使得h 一距( ，) c ( 【0 z ) ；日5 ) n c l ( 【0 ，z ) ；日5 - 1 ) 。此外，解连续的依赖于 初值，即映射_ m ( ，) ：h 5 - c ( 【0 ，z ) ；日。) n c l ( 【0 ，丁) ；日8 _ 1 ) 是连续的。 令 a ) 一u o ， m ) = 一a ，( 1 一a 矿( 三n + l 甜m 一互1 甜2 ) ， r = h $ 9 x = h $ - 1 , 人= ( 1 一酲) i ，q = 人5 。 显然q 是从日5 到日5 - 1 的同构，为证明定 理2 2 1 ，应用定理2 i 1 ，我们只须证明a ) ，厂 ) 满足条件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 。 引理2 2 2 算子a ) 一“a ，“日5 ，j 昙属于g 口，1 ) 。 证明：因为r 是h i l b e r t 空间，a ( u ) e g ( l 2 ，1 ，励当且仅当存在实数，使得 ( 口) ( a ( u ) y ，y ) 。- - l l y l l ：， 仰对某些( 或全部的) 彳 ，a + a 的范围都在石上。 首先证明以) “日。，j 詈，因而h ，心r ，定义帆i | 工- ，那么有 ( 彳( ”) y ，y ) 。= ( ”a 幽y ) 。= 一寻似y ，y ) 。三t j u x l l pi i y b c 删仨 8 江苏大学硕士学位论文 令= c ，我们有( 么( 甜) y ，y ) 。 - - p l i y l i ：。 下面证 。因为叠0 ) 是个避算予且满足( 露) ，因露对所有盼2 爹，( 甜+ 妁在互2 中 有稠密区域。 给定甜，葶 i 3 ，y e l 2 ，有广义l e i b n i z 公式，在置一中有 净善蚵) 1 u x y + u o j y 由h ，r ，有 d ( a ) = d ( u o ，) = 罗f ，u o ，y r 一 z r ，一a 嚣( u z ) e l - d ( ( u o 善) ) - d ( a ) 假定似+ 甜) 的范围不全在r 上，那么存在z e l 2 ，z 0 ，使得 ( 2 1 + a ) y ，z o = o 。 因为日1c d ( a ) ，有d 在l 2 中是稠密的，所以z d ( a 。) 且在中a z + a - 0 。 注意到d - d ( a ) 与三相乘，分步积分结合妇) 中结果得到 o = ( ( 五，+ 爿) z ，z ) 。= ( a z ，z ) 。+ ( z ，4 z ) 。( a 一) l l z o l l ：，v 2 p 。 因而得到z = 0 与假设z 0 矛盾，引理2 2 2 得证。 引理2 2 。3 令鼾a ( u ) - u o 善，对所有的ue 酽，s i 3 。那么a 弛) 互僻8 ，磐) ，且 l i ( 爿似) 一彳( z ) ) w i | o 从一z i | o0 w | l 跖，z ，w e 灯5 。 证明：令砧，z ，w 露。，s 詈 ，那么有 | 陋一盖0 ) ) 叫| 。- - c l i , 一z l l 。p 洋叫ls t 瞄一z t t 。h ， 在上面不等式中令z = o ，可得a ) 己蝉3 ，r 。引理2 2 3 得证。 戮理2 2 4 对搿露。，有曰“) * 【 8 ，u o j 】a - s e l ( l 2 ) 。此外， | | ( 艿( 掰) 一君) w 坠- 鹧1 1 - , l l ，1 1 1 1 1 0 证明：令“，z 日。，s 鲁，且w 三2 那么有 i i e u ) 一曰( 砌叫| 。= 0 i k ， 一d a ，卜3 叫i 。 9 江苏大学硕士学位论文 i 雌，( u v ) k 1 忆r ，i 卜1 a ，叫i 。 墨：i l y - z l l 。i l w l l o 。 ( 引理2 1 3 中令7 = o ，t = s 一1 ) 在上面不等式中令z = 0 ， s ( u ) e l ( l 2 ) 。引理2 2 4 得证。 引理2 2 5 令厂 ) = 一屯( 1 一a ：) 。1 ( 害l _ 甜m 一三”2 ) ，那么厂在日5 的有界集上是有 界的，满足 ( 口) l l f ( y ) - f ( z ) l l ；- 鸬i l y - z l l s ， y , z e h 3 ， 0 ) i i s ( y ) - s ( ：) l l 川- 三，因为日“是一个b a n a c h 代数，故有 i i s ( y m z ) i 卜卜”劫一 嘉卅+ 1 ) 彳) | l 嘉0 y n + l _ z n + l0 + l l j y 2 _ z 2 k 而l i y m 掣“k = l l ( y - 吼y ”+ y ”1 z + + 少) 虬陟一剖i 少”+ y n - i z + + 矿札 l l y ，i i 。( 1 l y l l ：+ v i i ：l l z l l ，+ + i i z l l 7 ) ：ak 。i l y i i ， 隔 ) i2 _ z 2 忆0 y i i 。i l y + z i i 。- ( 1 l y l l , + 1 1 z i i 。) l l y _ z l l , _ - k 2i l y - z i i 。( k 2 兰，因为日“是一个b a n a c h 代数，故有 i l f ( y m ) i i + 姒丁1 嘉+ 1 卅+ 1 ) 一l ( y 2 _ _ z 2 ) | l 熹0 y n + l _ z n + i 卜勃y 2 _ z 2 l 而妒1 一，l = l l ( y - z x y ”+ y 舻1 z + + 矿) i l - l l y - 叱。杪+ y z + + 矿忆 i l y z i i 。一( 1 l e l l t _ + i l y l l t _ - ii i z i i 。一。+ + 1 1 4 1 ：_ 。) = ak ，i l y z i i 。一，q ( 3 ) l y 2 一z 2 i | i - 2 i l y - z 忆i l y + 4 1 。4 - s 这种情况，对s 葶壹定理2 2 至解的唯一慌嗳显得到。 考虑方程( 1 2 4 ) 令m q ) i 2 “ - u 一，有 _ d m + a o ) m + b ( t ) m ，f ( o ，m ( 0 。 2 秘( 0 ( 2 2 4 ) a t 这里矗m 一3 0 ，( u r n ) ，b ( t ) m 一- 2 u m x ，f ( o - 瓴。 - - u 撵 。 因为 “c ( 【0 ，z ) ；朋4 ) ，日r ，有m e c ( o ，z ) ；日扣2 ) ， 碳 一o o ：) 鼯 c ( 融z ) ；臀) ，营盼是得到删c ( 【o ，z ) ；嚣) ，其中蕴涵 u e c ( o , t ) ；h ) 。因为( 1 一a ：) 是从日一到日。2 的同构，由此可证明定理2 2 6 。 注意到 群鼍c ( 【o z ) ；日5 ) ，托膏日m 。h “是一个b a n a c h 代数，得到 b ( t ) e l ( h 蹦) ， c ( 【g r ) ；露一) e 首先需要证明族么o ) 有一个与空间石- 好 ，y - h 的唯一发展算予 u o ，f ) ，其中 一s h s 一2 ，1 一s k s 一1 ，k h + l 。因此裰据 3 5 3 中弓 理3 。1 的证翡，需要 证明以下三个方面： ( i ) a g 僻矗，毛彩，坳投。， ( i i ) a ， a k - hh 】 “在r 上一致有界， ( i i i ) a ( f ) 五俾七，h 6 ) 依，强连续。 先证明( i ) 。露 是一h i l b e r t 空间，众) g 僻奔，毛囝( 见 3 6 】) 当且仅当存在实 数使得 0 ) 么8 ) 罗，y 。节别差， ( 6 ) 对某些( 或全部的) a ，- a 是日 上c o 一半群的无穷小生元。 1 1 江苏大学硕士学位论文 首先证0 ) 令y e h a 6 a ，0 u y ) 3 a “a ，( - 【a - h ) u l a “y + a 岫( u a 6 ) ，” 一3 a 6 a ， a - h , u a 6 y + 3 0 ，( u a 6 y ) ( 彳o ) y ，y ) 。= - 3 a 6 a ， 人- hu 人6 y + 3 0 x 人6 y ) ，人6 y ) 。 = 3 ( a h + l a - hu 厅y ，a h - iy ) 。+ 吾( z “y , a h y ) 。 3 l 卜“+ 1 人- h ，u 眨。r ，0 6 y l i ：+ 三o “。i l 矿0 6 y 0 ： - i 3 ，有 i l b 。( t ) y l l 。= 丸 人冉6 ，3 甜a 枷1 y i l d ”a 。【 一如卜”y j j o _ c h u ，i t y l l 。 ( 在引理2 1 ：3 中令y = 一o + 1 l f s - 1 ) 应用引理2 1 6 和半群的扰动定理，有h ”1 a ( t ) 容许的。应用引理2 1 6 y - h “，x h 6 ，s a “一，得到一a ( t ) 是日6 _ l c o - 半群的无穷小生成元。既 然a o ) - a ( f ) + 置 ，且p ) 三俾6 ) ，利用半群的扰动定理，有- a o ) 是日 上c o 一 半群的无穷小生成元。那么( 证明完成。 下证( i i ) 令y r ，那么 6 以 人岫，材 l l - - c i 卜吐n y l l 。 ( 在引理2 1 3 中令厂= 叫 + 1 ) ，t = k ) 最后证明( i i i ) ，令y 日k ，那么 江苏大学硕士学位论又 l k 4 0 + f ) 一彳o ) ) y 0 。- - - 1 1 3 a ，( 甜o + f ) 一“( ，) ) y k - 3 1 1 ( ( o + f ) 一u ( t ) ) y ) l l n c l k + f ) 一“o ) 亿。 1 y l l 。“ c i ”+ f ) 一 ( f ) 虬t l y l l 。 ( 在引理2 1 3 中令7 = s 一1 , t = h + 1 ) 由甜的连续性，( i i i ) 得证。 上述- - + 条件满足族a ( f ) 发展算子 u o ，f ) 的存在唯一性，特别当 一j y s 一1 时， u ( t ，f ) 映日7 到它自身。 令y h m ，x h 柚。注意到y e c ( o ，z ) ；h 。1 ) n c l ( 1 0 ，r ) ；h 卜2 ) ，通过算子 u ( t ，f ) ) 的性质，得到 要( v o ，f ) 肌。u o ，f ) ( 一曰p ) 朋p ) + ，p ) ) 在r 【0 ，】上积分可得 肌o ) - u ( t ，0 )