（基础数学专业论文）一族拟共形映射的二阶变分.pdf

摘要 本论文主要研究一族拟共形映射的二阶变分，在已有成果的基础上进行了进一步 探索，得出了复平面上一族特定的标准拟共形映射关于参数f 在原点处的二阶变 分表达式。主要方法是对原点附近的拟共形映射一阶变分进行估计。 本文共分四章。 第一章主要介绍两个重要的共形不变量：共形模和极值长度，这是引入拟共形映 射概念的基础。 第二章介绍经典c 1 类拟共形映射，进而引入一般拟共形映射，并讨论了它的一 些主要性质，最后得出一般拟共形映射等价于b e l t r 锄i 方程的r 广义同胚解。 第三章通过两个积分算子丁( ) 和日( ) ，对于全平面有紧支集的复特征研 究b e l t r 锄i 方程的同胚解，得出相应的全平面拟共形映射的无穷级数形式的表 达式。 第四章是本文的核心内容。对于一族对于参数f 解析的复特征“( z ) ，可求出相 应的一族标准拟共形映射g ( ，2 ) 。对于任意固定的z ，g ( f ，z ) 可看作关于f 的 解析函数，因而有一阶和二阶变分。对于“= f 的情况，本文算出了其二阶变 分的表达式。 关键词：b e l t r 锄i 方程，积分算子，标准拟共形映射，二阶变分 3 原创性及学位论文使用授权声明 论文原创性声明内容： 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 学位论文作者签名：酶亚徇 日期：泗孑年 月31 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的 的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以 采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：陴互编导师签名：女0 互斩 日期：驷富年f 月? 1 日日期：孑年，月31 日 第一章共形模与极值长度 第1 节共形模 这一小节，我们讨论一个重要的共形不变量：共形模。为了给出共形模的定义， 首先定义拓扑四边形。 定义1 1 拓扑四边形 若q 是一个j o r d a n 区域，在边界上沿着正向( 局部使得区域落在边界左侧的方 向) 依次指定四个不同点z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，则区域q 连同四个有序点一起称为拓扑 四边形，记为q ( 磊，z 2 ，乙，z 4 ) 。指定的边界点毛，z 2 ，z 3 ，z 4 称为拓扑四边形的顶 点。边界弧( 毛，z 2 ) 和( 乞，z 4 ) 称为其第一组对边，边界弧( z 2 ，弓) 和( 乙，z 1 ) 称 为其第二组对边。 由于第一组对边和第二组对边的不同，所以q ( 气，乞，乞，缸) 和q ( 之，乃，乙，毛) 被认为是两个不同的拓扑四边形，而q ( 乙，乞，毛，乙) 与q ( 弓，乙，刁，乞) 则被认 为是同一个拓扑四边形。如果两个拓扑四边形之闻只相差一个共形变换，并且保 持顶点的依次对应，我们称它们共形等价。 有了拓扑四边形后，我们可以定义其共形模。 定义1 2 拓扑四边形的共形模( 模) 任意给定的一个拓扑四边形q ( z l ，乞，乞，乙) 都共形等价于矩形r ( o ，口，口+ f ，f ) ， 其中尺= 缸+ 砂io 文 口，o 少 o ) 。因为q 是j o r d a n 区域，可以将9 同胚扩充到 边界，建立a q 与实轴点的一一对应，设0 = 9 ( 乃) ，歹= 1 ，2 ，3 ，4 ，于是应该 4 第2 节极值长度 上面讨论了共形模，以下讨论另外个共形不变量：极值长度。 定义1 6 极值长度 复平面c 上给定区域( 或者双连通区域) d ，r = y ) 是d 中曲线族，y r 局 部可求长。设尸= p ) 是d 上非负b o r e l 可测函数全体，对于任意p p ，定 义d 的p 面积为：聊j d ( d ) = 伽2 出砂，每条曲线y r 的p 长度为： d 名( y ) = p i 龙| o y 考虑尸的一个子集只= p 尸io m p ( d ) o 。) ，曲线族r 的极值长度定义 为：如( r ) = 翟普鬈( y ) 7 聊p ( d ) ) 由于对j d 乘上任意的常数，孵巧( y ) 7 ( d ) 不会改变值。所以可以考虑p 满 足某些特定的规范条件，得到相应的等价定义： 等价定义1 ：互= p 异l 所p ( d ) 1 ) ，如( i ) = s u p i n f 鬈( y ) ； 。 p 只 r l 等价定义2 ：忍= p 异i 乃( y ) 1 ) ，( r ) = ( 烂( d ) ) ； 等价定义3 ：e = ( p 层f 臀名( y ) = ( 蛳如( r ) = 翟d ) ) o 洲嗍m = 南= 南怕= 器p ， 则有：p 互，j c l 2 最，p 3 只。这并不改变瑰 名( ) ，) 优p ( d ) 的值，故有： 屯( r ) = 谶孵军( ) ，) 7 怖( d ) ) = 泌赔军( y ) ( d ) ) ，其中f - 1 ，2 ，3 。 7 第3 节共形模与极值长度的一些性质 前面两个小节我们分别讨论了两个共形不变量：共形模和极值长度。它们之间有 什么关系呢? 我们有如下定理： 定理1 1 0 设q ( 毛，乞，乞，z 4 ) 是一个拓扑四边形。又设r 是第一组对边( 即弧( z l ，乞) 和弧 ( 乙，乙) ) 之间的所有局部可求长的连线所组成的曲线族。则有 m ( q ( z 。，z 2 ，乞，z 4 ) ) = 九( r ) 】。 由定理1 1 0 和定义1 6 的等价定义2 ，我们有： m ( q ( 毛，z z ，z 3 ，z 4 ) ) = 氍m p ( q ) 其中罡为集合 p 尸lo o ，使得当力 时，任意一点z a q 到a q 的距离d ( z ，a q ) s ， 则我们称q 从内部趋向于q 。此时有： l i m m ( q ) = m ( q ) 刀 双连通区域的情况是类似的。 定理1 1 7 设b 是一个双连通区域，c l 与c 2 是c b 的两个分支。如果任意一条c l 与c 2 的连线都一定与闭曲线) ，相交，我们称闭曲线) ，隔离c 1 与c 2 。设r 为一切b 内 隔离c l 与c 2 的闭曲线所组成的曲线族。于是有： m ( 艿) = ( 允( r ) ) 。 定理1 1 8 对于上面的r ，其极值度量为c 蝌，其中为删队c 1 1 帅共 形映射，c 为任意正的常数。 足理1 1 9 m ( b ) i n 朋p ( b ) ， p f ( 召) = _ 2 历渺，= p 尸io ( b ) ，p l 龙l 1 ) ，p 为b 口 y 上定义的非负b o r e l 可测函数全体。 等号当且只当b 为环域 zi 吒 izi 吃) ( o 吒，眨 ibi ，此时有： 舻砉，战= 黼 需要注意的是，仅满足l ，( z ) l 1 则不一定是c 1 类拟共形映射，例如： 肛弛) = 卉在单位圆内是c 1 类腿且有： a ：厂= i f 之，a 三厂= i i _ 薷 所以复特征肛，( z ) = z 2 满足ip ，( z ) i 1 ，但不存在常数后 1 ，使得在单位 圆 zl i zi 1 ) 内均有i q ) l 后，所以该映射并非单位圆 z i i zi 1 ) 上的c 1 类拟共形映射。如果改变定义域为： zl izi ，) ，其中r 为小于1 的正常数，则 可取尼= 厂2 o ， 使得( 口，6 ) 中任意有穷多个互不重叠的小区间( ，巧) ，七= 1 ，2 ，z ，只要 ( 口，6 ) 上绝对连续。 都有i9 ( ) 一妒( 巧) i s ，我们就称复值函数9 ( f ) 在 i = l 与实值函数相同，复值函数9 0 ) 在( 口，6 ) 上绝对连续的充要条件是9 q ) 在 ( 口，6 ) 内几乎处处可微，且对任意的x ( 口，1 5 i ) ，y ( 口，6 ) ，都有： j ， 弘7 ( 于) 衍= 9 ( 少) 二妒( x ) j ， 有了这个概念，我们可以定义a c 上性质。 定义2 1 74 c 上性质 设厂是定义在区域d 内的复值连续函数。如果对于任意矩形 r = x + y fi 口 x 6 ；c y o ，存在艿 o ，使得只要 聊( 仃) 2 。引进积分 算子 丁( ) = 一土f 睁蜴毒咖，= 考+ 忉。 万分厶一z 为了强调丁( ) 在某点z 处的值，有时将丁( ) 写成丁0 ) 。 这个积分算子具有以下的性质： 设0 ( c ) ，p 2 且在圆 z l lzi 厂) 之外为零。则丁国( z ) 在全平面上是有 界函数并有估计式：i 丁0 ) l m ( p ，厂) l i i p ，其中m ( p ，) 是依赖于p ，的 常数。 证明：对于任意一点毛c ，由于在圆 zi i zi ，) 之外为零，我们有： c 剖= 昙i 坦嘶皆剐扣畦m 扣叫l 壶忆咕弓= 1 凇砌不等式) 寺坦i 击m 吉 = 扣k 也，l 扣吉 l 一一艨争驯 = l 舷篆旨考咖一蟮争驯 = l 赂氦嘏驯扣咱引i 因此! 现i 一一孵争驯= 。 z 钿 z z o努l 岛一z oj 所以在c - 历，有丢酬引= 艏砦溉因此酬啪 宓oi ( 一z nj c 一万上解析。 要证明其在d 外解析，只需证明在点解析，即证明l i m 死( z ) 存在。事实上， z 只需证明乃酢) = 。( 高) ，当z 一时。 由： 觋和= 一昙! 受嘴倒叼 = 昙驴咖一! 鳃昙螋韵 h d”d 。 其中： 弓驴( 纠考砌l 扣叫卜扣训p ( 邶) ) 言 而： i 照昙螋嘞l 受扣u l 占= 。 故! 鳃z 乃( z ) = 昙驴( g ) d 考却，得证乃( z ) = 。( 高) ，当z 专时。 定义3 5p o m p e i u 公式 设d 是一个有界区域，其边界由有限条逐段光滑简单闭曲线组成，记为r 。又 设厂是闭域历上的连续可微复值函数。则当铴d 时，有： 弛护去呼等一妻睁砂 这就是p 0 m p e i u 公式。当厂在d 上解析时，v z d ，屯厂0 ) 兰o ，此时p o m p e l u 公式还原成c a u c h y 公式。 如果厂在区域q3 历上有k ( p 2 ) 广义导数，则该公式依然成立。 下面介绍另外一个积分算子：日( ) 。 定义3 6 积分算于爿l ， 设c 孑，这里c 孑表示全体无穷次可微且有有界支集的函数所组成的空间。 定义积分算子： 脚) _ - 昙孵髻却 称为的h i l b e r t 变换。在c a u c h y 主值意义下，有： 脚卜昙赌争考咖 玑脚卜去鍪， 驻器考却 以后的讨论都是基于c a u c h y 主值意义的。对于积分算子日( ) ，有如下的定理： 定理3 7z y 鲫n a l d e r o n 不等式的二维情形 对于任意的尸：1 p o 。，存在一个只依赖于p 的常数4 ，使得 1 1 日( ) 1 1 p 4l i 1 1 p ，v g a z ( g 。厂) = a w g 田z + a i g 田z 厂，a 三( g 。) = a w g 回三厂+ a i g 田三厂。 特别的，当是拟共形映射并取g = 一1 时，有： 1 = a w 厂1 田：厂+ 毛厂1 田z 厂 o = a w 厂1 哆厂+ a ；厂1 哆厂 于是： r 广腆) = 一 一一， p 。1 ) o 八力= 丙南 于是拟共形映射的逆厂- 1 的复特征为： 一他) = 考。 设d 是一个区域，在d 内讨论b e l t r a m i 方程： a ：w ( z ) = j l f ( z ) a z w ( z ) ，z d ，| | j l l 。i i l 。 设w = g q ) 是这个方程的任意一个厶广义解，又设w = 厂( z ) 是这个方程的一 个厶广义同胚解，即区域d 上以p 为复特征的拟共形映射。由定理3 1 7 ，复合 函数g 。- 1 有厶广义导数，且v w 厂( d ) ，有： a i c g 。1 ，= a ：g 回i 厂。1 + a 三g 田；7 一= 旦型等考三笋孵 = ! 二丝：善望望善= o = = 一= ij ia z 厂l z i 硅厂1 2 这就是说，函数go 厂- 1 在区域厂( d ) 内有厶广义导数，且满足c a u c h y r i e i i l a n n 方程。由其有厶广义导数得其满足彳c 上性质，因而g r e e n 公式成立，故在 厂( d ) 的任意圆盘内，线积分i g 。- 1 龙与积分路径无关。因此g 。厂1 为解析 函数。设g 。厂一= 妒，则g = 9 。厂。于是得到下面的相似原理： 定理3 1 9 相似原理 设( z ) 是区域d 的拟共形映射，其复特征为肛0 ) 。则b e l t r a m i 方程 畦w ( z ) = j l l ( z ) a z w ( z ) 的任意一个厶广义解可以表幕蒌蓁捌鬻；篓 叁烈也警 缝i 萋：- _ 霎囊蓁型鲤。彗黯妻i 蚺骘岳蓁嚣蘑蚶爵秽隆黾薹鬟钵萄篓雾i 谣 阳要粪；孽i ；灞型疆爨琶妻譬羹羹蕊丝，- 翼；| 是p 的连续函数。下面再介绍一个定理： 定理3 1 3 算子h ( ) 在厶中保持范数不变，即： | lh ( ) 1 1 2 =i l 1 1 2 ，v 厶 由此定理可得人2 =1 ，再由人p 是p 的连续函数，我们得到当p 专2 时， 人pj 1 。 第2 节be l t r a i 方程解的存在性及其表示 由第一小节最后的讨论，可以得到下面的定理： 定理3 1 4 考虑奇异积分方程：国= ( z ) 日( 国) + 办( z ) ，l lj l l 忆 1 。其中办 2。由i lp 忆 o ， 使得任意p ( 2 ，2 + 】，有i i l l 人p 1 。 对于p = x 定理3 2 2 具有给定复特征的全平面拟共形映射w = 厂( z ) 满足下述规范条件，则一定是唯 一的： 厂( o ) = o ，厂( 1 ) = 1 ，厂( o 。) = 。o 。 拟共形映射还具有h o l d e r 连续性： 定理3 2 3 每一个k 一拟共形映射都是h o l d e r 连续的，其h o l d e r 指数仅依赖于k 。 与共形映射类似，拟共形映射也有延拓定理和r i e m a n n 映射定理： 设w = ( z ) 是j o r d a n 区域d ，到区域d ，的拟共形映射，歹= 1 ，2 ，并且 d ln 砬= 科n 叫= o 。若简单弧) ，cq n d 2 ，并且乃自d ，内可同胚延 拓到y 上，而且石i ，= 六i ，则映射： 州= 凇三掣y 是d lud 2u ) ，上的拟共形映射。 定理3 2 5 设区域d 是一个单连通域，边界点多于一点，j l l ( z ) 是d 内给定的可测函数， | | j l l 忆 1 ，则存在一个以为复特征的拟共形映射把d 变成单位圆。 前面的所有讨论中，( z ) 总有紧支集。去掉这个限制，同样有存在性定理： 定理3 2 6 在复平面c 上给定一个可测函数p ( z ) ，i i 忆 1 ，则存在唯一的全平面的拟 共形映射w = 厂( z ) ，以为其复特征，并保持o ，1 ，。不动。 下面讨论规范拟共形映射对参数的依赖性。 3 7 定理3 2 7 设= p ( z ，f ) 对于任意固定的复参数f 是z 的有界可测函数，且： i ij l l ( z ，f ) 忆尼( f ) 1 其中后( f ) 是与z 无关的数。又设p = ( z ，f ) 对于任意固定的z c ，是f 的解 析函数。则以j l l 为复特征的且保持o ，1 ，a 。不动的全平面拟共形同胚w = 厂( z ，f ) 解析依赖于f 。 3 8 第四章一族拟共形映射的二阶变分 在定理3 2 5 中提到了，对于给定的全平面定义的可测函数p q ) ，i ip 忆 1 ， 存在唯一的全平面的拟共形映射w = 厂( z ) ，以p 为其复特征，并保持o ，1 ，o 。不 动。这样的拟共形映射称为规范拟共形映射。 于是，可以定义一族规范拟共形映射w p ，对于任意给定的f c ，我们有： ( 1 ) = ( z ，于) 是全平面定义的可测函数，l ij l l ( z ，f ) 忆后 ) 1 ，七o ) 是 与z 无关的常数； ( 2 ) w p 是以j l l = j l l ( z ，f ) 为复特征的规范拟共形映射。 如果对于任意固定的z c ，j l l = ( z ，f ) 是f 的解析函数，则由定理3 2 6 ，w p 关于f 解析，所以应该有一阶和二阶变分。考虑比较简单的情况： 设= c z ，f ，= 篙冀兰f 1 ，其中c z ，为存在有界支集的可测函数， l l 忆 1 。有表示定理，厂( z ，f ) 是一族以p = ( z ，f ) 为复特征的全平面拟共 形映射。固定z c ，由定理3 1 6 ，我们得到全平面拟共形映射的表达式： 厂( z ，f ) = z + 丁( ( z ，f ) ) + 丁( ( z ，f ) h ( j l l ( z ，f ) ) ) + 丁( ( z ，f ) h ( ( z ，f ) ( ( z ，f ) ) ) ) + fz + f 丁( p ( z ) ) + f 2 r ( p ( z ) 日( p ( z ) ) ) + ，l fi 1 iz ，lfl 1 显然，当ifi 1 时，这个表达式表示的拟共形映射是规范的，其关于f 的任意阶 变分为o 。 当lfl 1 时，可复合上一个线性变换，得到规范拟共形映射的表达式： w 亿归黼 3 9 厂( z ，f + f ) 一厂( 1 ，f + f ) = ( z 一1 ) + o + f ) ( 丁( ( z ) ) 丁( ( 1 ) ) ) + o + f ) 2 ( 丁( ( z ) 日( ( z ) ) ) 一丁( ( 1 ) 日( ( 1 ) ) ) ) + = ( z 一1 ) + 红丁( ( z ) ) 一丁( ( 1 ) ) 】+ f z ( 丁( p ( z ) 日( p ( z ) ) ) 一 丁( ( 1 ) h ( ( 1 ) ) ) ) + + f ( ( 丁( p ( z ) ) 一丁( ( 1 ) ) ) + 2 f ( 丁( ( z ) 日( ( z ) ) ) 一丁( ( 1 ) h ( p ( 1 ) ) ) ) + d o z ) ) + d ( f 2 ) 所以有： 厂( o ，f + f ) ( 厂( z ，f ) 一( 1 ，f ) ) 一( o ，f ) ( 厂( z ，f + f ) 一厂( 1 ，f + f ) ) = f ( ( z 一1 ) 丁( ( o ) ) + 2 f ( z 一1 ) 丁( ( o ) 日( ( o ) ) ) + d 0 2 ) ) + d ( f 2 ) 由于： 厂( 1 ，f + f ) 一厂( o ，f + f ) = l + o + 于) ( 丁( ( 1 ) ) 一丁( p ( o ) ) ) + o + f ) 2 ( 丁( p ( 1 ) 日( 肛( 1 ) ) ) 一 丁( p ( o ) 日( 肛( o ) ) ) ) + = 1 + f ( 丁( ( 1 ) ) 一丁( ( o ) ) ) + f z ( 丁( p ( 1 ) 日( p ( 1 ) ) ) 一 丁( ( o ) 日( ( o ) ) ) ) + + f ( ( 丁( ( 1 ) ) 一丁( j l f ( o ) ) ) + 2 f ( 丁( j l l ( 1 ) 日( ( 1 ) ) ) 一丁( ( o ) h ( p ( o ) ) ) ) + d o z ) ) + d ( 缸z ) 厂( 1 ，f ) 一厂( 0 ，r ) = 1 + f ( 丁( ( 1 ) ) 一丁( j l l ( o ) ) ) + d o z ) 所以有： f ( 厂( 1 ，f + f ) 一厂( o ，f + f ) ) ( 厂( 1 ，f ) 一厂( o ，f ) ) = f ( 1 + 2 f ( 丁( ( 1 ) ) 一丁( j l l ( o ) ) ) + d o z ) ) + d ( 缸z ) 由、得到其在原点附近的一阶变分的估计： 一 g ( z ，f ) = ( 丁( p ( z ) ) 一z 丁( 卢( 1 ) ) + ( z 一1 ) 丁( 肛( o ) ) + 口f 2 f ( 丁( ( z ) 了j l l ( z ) ) 一z 丁( ( 1 ) 月7 p ( 1 ) ) ) + ( z 一1 ) 丁( ( o ) h ( ( o ) ) ) ) + d ( f z ) ) ( ( 1 + 2 f ( 丁( j l l ( 1 ) ) 一丁( p ( o ) ) ) + d o z ) ) 而前面我们求出了其在原点的一阶变分： a g ( z ，f ) i ，：o = 丁( j l l ( z ) ) 一z 丁( p ( 1 ) ) + ( z 一1 ) 丁( ( o ) ) “l 因此，可以计算原点处的二阶变分： 要酢力i f 。 孑如此。 “m 塾尘塾型：! f _ o f = l i m ( ( 丁( ( z ) ) 一z 丁( ( 1 ) ) + ( z 1 ) 丁( ( o ) ) + 2 f ( 丁( p ( z ) h ( ( z ) ) ) 一z 丁( ( 1 ) h ( ( 1 ) ) ) ) + ( z 一1 ) 丁( ( o ) 日( ( o ) ) ) ) + 0 ( f 2 ) ) 一( ( 1 + 2 f ( 丁( j l l ( 1 ) ) 一 丁( ( o ) ) ) + d ( f z ) ) ( 丁( ( z ) ) 一z 丁( ( 1 ) ) + ( z 一1 ) 丁( ( o ) ) ) ) o ( ( 1 + 2 f ( 丁( p ( 1 ) ) 一丁( j l l ( o ) ) ) + d 2 ) ) ) = 2 ( 丁( ( z ) h ( p ( z ) ) ) 一z 丁( ( 1 ) 日( ( 1 ) ) ) + ( z 一1 ) 丁( ( o ) h ( j l f ( o ) ) ) ) 一2 ( 丁( ( 1 ) ) 一丁( ( o ) ) ) ( 丁( ( z ) ) 一z 丁( j l l ( 1 ) ) + ( z 一1 ) 丁( ( o ) ) ) 我们设： 互( z ) = 丁( ( z ) ) = 一土f 睁蜴考咖 7 【石