（基础数学专业论文）加法机器拓扑共轭嵌入到拓扑动力系统中的充分必要条件.pdf

中文摘要 动力系统是非线性科学的一个重要组成部分。后来经过p o i n c a r e ，l y a p u n o v ， b i r k h o f f 等人的研究和发展，动力系统己成为2 0 世纪最富有成就的一个数学分支。 动力系统主要研究的问题是点在迭代作用下的渐进性质。由于直接研究动力系统的动 力性状相当困难，因此，探究两个拓扑动力系统拓扑共轭( 或半共轭) 的充分必要条件 是拓扑动力系统研究中非常重要而又有意义的问题。本文主要研究了加法机器与拓扑 动力系统的某一子系统拓扑共轭( 或半共轭) 的充分必要条件，其本质是用加法机器来 刻画拓扑动力系统的动力性状。 第一章主要介绍加法机器的历史背景，加法机器的重要性及作者的工作。第二章 给出了加法机器的一般型描述。第三章给出了本文的主要结果，即加法机器拓扑共轭 嵌入到拓扑动力系统中的充分必要条件。第四章我们总结了这篇文章的主要结果和创 新，以及有待进一步展开的研究。 关键词 加法机器，拓扑共轭，拓扑半共轭，子系统 a b s t r a c t ( 英文摘要) d y n a m i c a ls y s t e mi sa ne s s e n t i a lc o m p o n e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e d u et o t h e f u n d m e n t a lw o r ko f p o i n c a r e ，l y a p u n o v , b i r k h o f fa n ds oo n ，d y n a m i c a ls y s t e ma p p e a r sa s a l li m p o r t a n tb r a n c ho ft h em o d e mm a t h e m a t i c so ft h er i c h e s ta c h i e v e m e n t si n2 0 mc e n t u r y t h ed y n a m i c a ls y s t e mm a i n l yi n v e s t i g a t e st h el i m i tb e h a v i o ro ft h ep o i n tu n d e ri t e r a t i o n h o w e v e r , i ti sr a t h e rd i f f i c u l tt od i r e c t l yi n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft o p o l o g i c a l d y n a m i c a ls y s t e m s t h e r e f o r e ，i ti sav e r yi m p o r t a n ta n dm e a n i n g f u lq u e s t i o nt oe x p l o r e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fas u b s y s t e mi nt h eg i v e nt o p o l o g i c a l d y n a m i c a ls y s t e mt h a ti sc o n j u g a t e ( r e s p ，s e m i c o n j u g a t e ) t ot h ea d d i n gm a c h i n e w e m a i n l yi n v e s t i g a t et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fas u b s y s t e mi n t h eg i v e nt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e mt h a ti s c o n j u g a t e ( r e s p ，s e m i c o n j u g a t e ) t ot h e a d d i n gm a c h i n e i ne s s e n c e ，w eu s et h ea d d i n gm a c h i n et oe x p l o r ed y n a m i c a lb e h a v i o ro f t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s i nc h a p t e r1w em a i n l yi n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do f a d d i n gm a c h i n ea n d t h ei m p o r t a n c eo ft h ea d d i n gm a c h i n e t h ep u r p o s ea n dm a i nr e s u l t sa lea l s os u m m a r i z e d i nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r2w e g i v et h eg e n e r a ld e s c r i p t i o no fa d d i n gm a c h i n e i nc h a p t e r3 w eg i v et h em a i nr e s u l t s ，n a m e l ye s t a b l i s han e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo fas u b s y s t e mi nt h eg i v e nt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e mt h a ti sc o n j u g a t e ( r e s p ， s e m i c o n j u g a t e ) t ot h ea d d i n gm a c h i n e i nc h a p t e r4w es u m m a r i z et h er e s u l t sa n d i n n o v a t i o no ft h i st h e s i s ，a n dp r e s e n to u rv i e wo fp e r s p e c t i v e sf o r t h ef u t u r ei n v e s t i g a t i o no f t h ea d d i n gm a c h i n e k e yw o r d a d d i n gm a c h i n e ，t o p o l o g i c a l l yc o n j u g a t e ，t o p o l o g i c a l l ys e m i c o n j u g a t e ，s u b d y n a m i c a l s y s t e r n s 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学 位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：名啦指导教师签名： 7 彳碍不 如l o 年乇r 如黾 k 年6r 。e t 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：务百菜 7 ，晦只oe l 西北火学硕士学位论文 第一章绪论和预备知识 1 1 前言 随着自然科学和技术的发展，正在改变着科学研究的方法和传统学科的划分。 “数、理、化、天、地、生”这些曾以纵向发展为主的基础学科，与日新月异的新技 术相结合，使用数值，解析和图形并举的计算机方法，推出了横跨多种学科门类的新 领域。例如，拓扑动力系统的研究与诸如遍历理论、拓扑群、一般拓扑、组合、数论、 代数、泛函分析等其他数学分支密切联系在起。这种发展的一个重要特征，可以概 括为“非 字当头，即出现了以“非”字为首而命名的一系列新方向新领域，其中非 线性科学占据相当重要的地位。例如，牛顿研究过的天体运动和伽利略研究的摆都是 非线性力学中的典型问题。而动力系统是非线性科学的一个重要组成部分，也是2 0 世 纪最富有成就的一个数学分支。 动力系统的研究可以追溯到牛顿创立微积分，建立三大定律以及万有引力 定律的非凡科学家。在牛顿体系中，以时间为参变量的微分方程占据了主导地位。牛 顿的经典著作自然哲学数学原理在接下来的两个世纪中成为人们研究问题的典范， 人们甚至乐观地认为可以像牛顿顺利解决二体问题那样，通过求出微分方程的显式解 来处理任何天体问题。遗憾的是，这种愿望从未实现。 到了1 9 世纪末，情况发生了质的转折，著名的法国数学家p o i n c a r e 出版了天 体力学新方法。一个重要的转变在于他将相空间的几何系统参数向量所有可能 值构成的空间引入分析过程，将人们的注意力从方程的单个解转移到所有可能解曲线 及其相互关系上来。这种方法虽然对方程的单个解不能提供太多的信息，却能得到一 些甚至大部分解曲线信息。运用颇具遍历论味道的方法，p o i n c a r e 说明了对所有有界 h a m i l t o n 系统，“大部分”解曲线在p o i s s o n 意义下是稳定的。 2 0 世纪早期。g d b i r k h o f f n l 在继承并发展p o i n c a r et 作的基础上，为这一学科 建立了大范围的理论框架，使得动力系统一词首次见于其专著。k r y l o v 和 b o g o l i o u b o v 2 】的工作使得动力系统成为一个独立的研究对象。 随着p o i n c a r e 定性分析方法的引入，动力系统研究的焦点从以微分方程定义系统 的模式转移到相空间与作用群上。b i r k h o f f 的工作无疑使这种转变更加明朗化。在其 著作动力系统( 1 9 2 7 ) 中，他以一般度量空间上的群作用作为动力系统来研究众 多动力学性质。特别地，他在这个一般范畴下重建t - 自t 面提到的p o i n c a r e 的结论。 第一章绪论和预备知识 动力系统在不少领域有广泛应用。近二三十年来，由于计算机的广泛应用，数学 中动力系统理论的成长以及统计物理学中的不少成果，如重正化理论等，使得非线性 科学更加兴旺。各门学科有各自的非线性问题，如激光理论中有不少的非线性光学问 题，工程结构变形大的情况下中要用到非线性的结构力学，无线电技术中涉及非线性 的震荡理论，说明化学反应中出现的螺纹波的起源要用合适的非线性数学模型来解释 等等。 二十世纪六十年代，动力系统开始迅速活跃起来，新的研究方向相继产生。今天 的动力系统大致可以分为微分动力系统、拓扑动力系统、遍历理论、h a m i l t o n 动力系 统、复动力系统、随机动力系统等若干方向 3 。 拓扑动力系统主要研究的问题，大致可以分为两类：一类是孤立地研究一个自 映射迭代生成的动力学复杂性质，即长时间的形态，另一类是把一个动力系统看作某 个空间内的一个点，研究诸如在微小扰动下动力性状的改变。 在本文中，一个拓扑动力系统就是指由拓扑空间上的连续自映射所生成的迭代 系统。由于一般动力系统的动力性状很难研究，例如由非线性微分方程定义的动力系 统。这是因为大部分非线性微分方程不存在显式解，故与线性动力系统相比，该动力 系统的动力性状就很难研究。因此，选择一个典型的容易研究的非线性动力系统，并 通过该动力系统来研究一般动力系统的动力性状就显得特别重要。我们熟知的这样的 典型动力系统就是加法机器，符号动力系统。 加法机器的一个典型特征是，在映射的迭代过程中，时间被看成离散的时间段， 在每个时间段系统处于一个指定的状态，每个状态用一个指定的符号来表示，随着时 间趋于无穷，系统的动力性状就可以用无穷符号序列表示出来。因此，这是一个动力 性状比较直观明了动力系统。 定义1 1 h 1 设厂：x 寸x 是从集合x 到自身一个映射，记 4 ( x ) = f o f ”1 ( 石) ， f o ( 工) = x ， 称厂”( 力为厂关于x 的n 次迭代。 从上述定义可以看出，f o = i d ，当刀2 时，f 8 = f 。f ”1 ，其中耐表示恒同映射。 关于迭代问题有一个流传很广的趣味数学问题： 在一条海船上，有5 名水手，养了1 只猴子，他们有一堆椰子放在甲板上。夜里， 一名水手到甲板上把椰子均分成5 份，剩下1 个给猴子，自己取走l 份，便回去睡了。 2 两北大学硕十学位论文 过了一会，又一名水手来了，他把甲板椰子又均分成5 份，恰好又剩下1 个给猴子， 自己取走l 份。过一夜，5 名水手都这样来把椰子分一回，每回都是均分成5 份剩下 1 个，自己取走1 份，把剩下的1 个给猴子。天亮了，5 人一同到甲板上把剩下的椰 子均分后，又剩下1 个给猴子，问这堆椰子最初至少有多少个? 这是一个典型的迭代 计算问题，参见张景中，熊金城 4 。 1 2 加法机器的历史背景 我们日常生活中经常用到钟表、汽车的里程表、物理学中波的传播、计算机中的 二进制表示法。我们知道它们的工作原理吗? 我们知道它们的数学模型吗? 让我们以 钟表，计算机中的二进制表示法为例来分析一下它们的原理，建立它们的数学模型。 例1 钟表原理。 图l 钟表的原理是：秒针走了6 0 秒，分针走了1 分钟，分针6 0 分，时针走了1 个小 时。我们建立它的数学模型如下：如图2 所示，从左到右分别以秒、分钟、小时为三 个纵轴，分别记为秒轴、分钟轴、小时轴。在秒轴上刻度从0 到5 9 ，每一刻度为1 秒，6 0 秒即o 秒。同理在分针轴上刻度从0 到5 9 ，每一刻度为1 分钟，6 0 分钟即0 分钟。在小时轴上刻度从o 到1 l ，每- n 度为l 小时，1 2 小时即0 小时。由图2 知 当前的时间为2 时3 分1 秒。秒针从5 9 到0 ，分针向上走一个刻度( 1 分钟) 。同理分 针从5 9 到0 ，时针向上走一个刻度( 1 小时) 。 图2 现在我们对上面的钟表原理进行推广，假设纵轴有可数多个，每个纵轴上最大刻 第一章绪论和预餐知识 度不一定相同，它的运动原理类似于钟表的原理，则那就是我们所要研究的加法机器 的数学模型。 例2 计算机中的二进制表示法原理。 计算机中的二进制表示法的原理是：两个数相加，当两个数的后一位两数字相加 所得和能被2 整除时向前一位进1 ，当所得和不能被2 整除时，那么两个数的前一位 两数字相加所得和看能否被2 整除，对于以后位置依次按照这种方式运算。 例如 1 0 0lll 0 0 1 + 1 0 1 0 011 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 计算机中的二进制表示法原理对应的数学模型如下图3 ，图中表示的数字是 0 11 0 1 0 0 1 0 0 11 0 _ -厂、 ；。?。 图3 如图3 所示，从右至左，当第一位从1 变到0 时，在第二位加上1 ，如果第二位 是o ，那么运算之后第二位数字就是1 ，如果第二位是l ，那么运算之后第二位数字是 0 ，以后位上按照这种法则运算。 现在我们对上面的原理进行推广，假设纵轴有可数多个，每个纵轴上最大刻度 不一定相同，它的运动原理类似于计算机中的二进制表示法原理，则那就是我们所要 研究的加法机器数学模型。 综合例1 ，例2 可知加法机器映射原理只不过是钟表原理，计算机中的二进制表 示法原理的推广。 1 3 加法机器的重要性 人们认识问题，研究问题的方法是：用简单研究复杂，用特殊研究一般。例如， 在求解方程中，一般用低次方程研究高次方程；微积分思想是用规则来研究不规则。 研究拓扑动力系的方法也是如此，因为直接研究拓扑动力系统的动力性状一般比较困 难。由于两个拓扑共轭的动力系统具有完全相同的动力性状。我们常用几何直观的、 4 西北大学硕士学位论文 动力性状已清楚的动力系统来研究动力性状未知的动力系统。加法机器( 其中的加法 机器映射又称为计程器映射( t h eo d o m e t e rm a p ) 和螺线管( t h es o l e n o i d ) ) 的动力性 状也是一类动力性状比较直观明了的拓扑动力系统。因此，通过拓扑共轭或半共轭的 方法，把一个复杂拓扑动力系统与加法机器相比较，也是拓扑动力系统研究中的一个 重要而有意义思想和方法。 像别的数学分支一样，拓扑动力系统的一个中心问题便是动力系统的分类。于 是一个自然的问题是：两个拓扑动力系统什么时是“一样的”? 在一般拓扑学中，两 个拓扑空间如果同胚，那么我们认为它们是一样的；而在代数中，两个群如果是同构 的，那么认为它们是一样的。同样在拓扑动力系统中，也有一个判断两个拓扑动力系 统何时是“一样的 标准，那就是拓扑共轭。由于两个拓扑共轭的动力系统具有完全 相同的动力性状。因此，通过拓扑共轭或半共轭的方法，我们可以用几何直观的、动 力性状已清楚的动力系统来研究动力性状未知的动力系统。例如，我们知道符号动力 系统的动力性状是非常直观的。( 其上的的转移映射是拓扑传递的、拓扑弱混合的、 拓扑强混合的、k 阶符号动力系统的拓扑熵为l o g k 、而且有非常明显混沌性质。它是 d e v a n y 混沌的，l i y o r k 混沌的，参见周作领 5 2 和r o b i s o n 6 ) 。因此，在拓扑动力 系统研究中，常把符号动力系统作为研究工具，利用拓扑动力系统或它的子系统与符 号动力系统拓扑( 半) 共轭的方法来研究拓扑动力系统或子系统的动力性状。如s m a l e 马蹄是一个非常复杂的动力系统，究其本质，它蕴含符号动力系统，参见 7 ，8 。h e n o n 映射和l o g i s t i c 映射，在拓扑共轭意义下都被认为是混沌的，因为它们有子系统拓扑 共轭与符号动力系统，参见 6 ，9 ，1 0 。张筑生在 1 1 中给出了一个紧致系统有一个子 系统与尼阶符号动力系统拓扑共轭的充分必要条件。成丹丹，王延庚和卫国在 1 2 中给出了一个动力系统可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系统充分必要条件。 加法机器的动力性状也是非常直观的。例如加法机器映射是一个同胚映射，底空 间为可度量化空间。每个加法机器都是极小集，加法机器是等度连续系统，参见 1 3 。 直观上讲，等度连续系统中的任何两个不同点随着时间的推移将保持同样的差距，即 他们的轨道是“平行 的。 因此，通过拓扑共轭或半共轭的方法，把对复杂动力系统的动力性状的研究转化 为研究加法机器的动力性状。由于加法机器的动力性状已是直观明了的，这样我们研 究的问题就变得相对简单了。 5 第一章绪论和预备知识 1 4 关于加法机器目前研究现状 在拓扑动力系统研究中，我们知道加法机器既是一个重要的研究对象，又是研究 其它复杂拓扑动力系统的重要工具。目前关于加法机器本身的研究已经非常清楚。但 是用加法机器来研究其它的拓扑动力系统还有待于进一步研究。因此，在拓扑动力系 统研究中，主要是把加法机器当做工具，通过拓扑共轭或半共轭方法用加法机器来研 究其它的拓扑动力系统。例如，罗俊在 1 4 中证明了遗传可分解可链连续体上，不含 非2 方幂周期轨道的连续映射限制到每个非周期回复点的c o 极限集上拓扑半共轭于加 法机器，得到了s u a l i n e 可链连续体连续映射拓扑熵为o 的五个充要条件。罗俊在 1 5 中证明了闭区间上的连续映射厂，若没有非2 方幂周期点，则厂限制到每个非周 期回复点的国极限集上拓扑半共轭于加法机器，从而其拓扑熵为0 并且每个回复点都 是几乎周期点。于是闭区间上的连续映射厂有0 拓扑熵当且仅当下述四个条件之一成 立( 1 ) 厂没有非2 方幂周期点；( 2 ) a ( f ) = w ( f ) ；( 3 ) w ( f ) = q w ( f ) ； ( 4 ) q w ( f ) = r ( 厂) 。 在线段动力系统( o ，1 ，f ) 中，许多作者已经证明了厂的非游荡集的各种子集拓扑 半共轭加法机器，参见b l o c k 和c o v e n 1 6 ，j o n k e r 和r a n g d 1 7 ，h o f b a u e r 和r a i t h 1 8 ， t a n g 1 9 ，w i l l l i l s 2 0 。圆周动力系统也存在加法机器，参见k a t z n e l s o n 2 1 。 l o u i sb l o c k 和j a m e sk e e l i n g 在 2 2 给出了：如果线段动力系统f ：i 一门可一个 子系统拓扑共轭与加法机器( 口，厶) ，我们说动力系统，：，j ，包含这个加法机器 ( 口，五) ，记日( 五) = i n f e r h ( f ) l f ：，一，f 包觎 ，如果口是一个有素数构成的序 列，且2 在这个序列中出现i | 次( 尼o ) ，则h ( 五) = 等等，而且对于每一+ e w e - 个加法机器( 口，五) 的线段动力系统f ：，一，有何( f ) 罢娶。l o u i sb l o c k 和j a m e s k e e l i n g 在 2 3 中用无限极小集且极小集中每个点都是正规回复点来刻画加法机器。 b u e s c u 和s t e w a r t 在 2 4 证明了李雅普诺夫康托集是一个加法机器。m a r k u s 和m y e r 在 2 5 证明了对任意的口，在紧辛流形上的r - h a m i l t o n i a n 系统中存在子系统拓扑 共轭与加法机器。n i t e c k i 用加法机器来描述区间上的分段单调函数形成的动力系统 2 6 。加法机器在描述一维动力系统方面也起着重要作用，例如b l o k h 的谱分析理论 2 7 。 6 两北大学硕十学位论文 1 5 本文研究目的和主要成果 动力系统是2 0 世纪最富有成就的一个数学分支，也是非线性科学的一个重要组 成部分。在拓扑动力系统研究中，动力系统的问题多种多样的，但其核心问题却是轨 道的渐进性质和拓扑结构。由于直接研究拓扑动力系统的动力性状一般比较困难，所 以我们想通过拓扑共轭或半共轭的方法，用加法机器来研究复杂拓扑动力系统的动力 性状。因此，探求拓扑动力系统存在子系统与加法机器拓扑共轭或拓扑半共轭的充分 必要条件是一项非常重要而又有意义的思想和方法。 本文的一部分工作已经以论文名加法机器拓扑共轭嵌入到拓扑动力系统中的充 分必要条件在西北大学学报( 自然科学版) 发表。本文主要研究拓扑动力系统存在 子系统与加法机器拓扑共轭或拓扑半共轭的充分必要条件。在第三章给出了拓扑动力 系统存在子系统与加法机器拓扑共轭或拓扑半共轭的充分必要条件。并给出了一些推 论，例如如果拓扑动力系统存在子系统与加法机器拓扑共轭，那么这个动力系统存在 极小集，从而也有回复点。 1 6 预备知识 定义1n 3 1 设石为紧致的h a u s d o r f f 空间，g 为拓扑群，如果：g xx - - x 连续且 满足： ( 1 ) 对任意x x ，有( p ，x ) = x ，其中e 为群g 的单位元； ( 2 ) 对任意x x 和g l ，9 2 g ，( g i ，( 9 2 ，工) ) = ( 蜀9 2 ，x ) 成立。 那么就称( 彳，g ，) 拓扑动力系统。一般的也直接用( x ，g ) 记一个拓扑动力系统。 如果上面定义中以非负整数加法半群z + 替代g ，其中z + 为非负整数全体，那么 称( x ，z + ，) 为一个半离散动力系统。一个半离散动力系统可以由一个连续映射生成， 所以我们所指的拓扑动力系统是指偶对( z ，厂) ，其中x 是紧致的h a u s d o r f f 拓扑空间， 厂：石专x 是连续映射。 定义2 隋1 设( x ，厂) 为拓扑动力系统，如果x 的闭子集kcx 对厂是不变的，即 厂( 五) ck ，则把厂在k 上的限制映射 fk ：蜀专k 所生成的拓扑动力系统( 氙，厂k ) 或f l x o 称为拓扑动力系统( x ，厂) 或厂的子系统。 定义3 嘲设( x ，厂) 和( 】，g ) 为两个拓扑动力系统，如果存在同胚映射 7 第一章绪论和预备知识 使得 h ：x 专】， h f = 办 则称厂和g 拓扑共轭。即下述图表具有交换性： x bx 上五上h y 一y 善 这时称而是从厂到g 拓扑共轭。 定义4 瞄1 在定义2 中，如果h ：x _ 】，仅仅是到上连续的，则称厂与g 拓扑半共轭， 厂叫作g 的扩张，g 叫作厂的因子，h 叫作从到g 的拓扑半共轭。 定理1 嘲设( x ，厂) 和( 】，g ) 为两个拓扑动力系统，如果j i i 是从厂到g 拓扑共轭，则 乃。是从g 到厂拓扑共轭。 定理2 1 设( 置) 和( 】，g ) 为两个拓扑动力系统，如果厂拓扑共轭或半共轭与g ， 则厂”拓扑共轭或半共轭与g ”，对任意，l 0 。 定义5 嗍对每一点x x ，工在厂的迭代作用下生成的集合 x ，厂( x ) ，f 4 ( z ) ，) 称为x 在厂的作用下生成的轨道，记作o r b ( x ) 。 定义6 睛3 设拓扑动力系统( x ，) ，如果 o r b ( x ) = x对任意x x 则称动力系统( x ，厂) 为极小的。如果子系统( 瓦，f i x , ) 为极小的，那么称子集五为x 的极小集。 注意：( 1 ) 极小集概念描述了拓扑动力系统在拓扑意义下的不可分解性，即一 个极小系统无真子系统。 ( 2 ) 极小集中每个点都是回复点。 定理3 啪3 ( t y c h o n o f f 乘积定理) 任何一族紧致空间的乘积空间都是紧致空间。 定义7 嘲对于石x ，如果存在正整数序列刀，哼o o ，当f 寸时，使得 驻m 厂一0 ) = x 8 两北大学硕十学位论文 则把x 叫作厂回复点。 定理4 口3 1 设拓扑动力系统( x ，厂) ，如果子集墨为石的极小集，则kca p ( f ) 。 定理5 跚3 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集。 定理6 啪3 从紧致空间到h a u s d o r f f 空间任何一个一一的连续映射都是同胚。 9 第二章加法机器 第二章加法机器 2 1 引言 既然加法机器在研究复杂拓扑动力系统方面扮演着如此重要的角色，那么它到 底是一种什么样的拓扑动力系统呢? 具有什么样的性质呢? 本章我们系统的给出加 法机器的一般型描述。以便从理论上和几何直观去理解它的动力性状。 2 2 加法机器的一般型描述 下面给出加法机器的一般型描述： 设口= ( ，五，六，) ，其中z 为大于或等于1 的自然数。记s = o ，1 ，2 ，z - 1 ，并 赋予s 离散拓扑，则墨是一个紧致拓扑空间。 作乘积拓扑 口2 兀墨5 ( 向，红，屯，) 口：t 墨，v f 1 。 据t y c h o n o f f 乘积定理知a 口是紧致空间。 设对任意i 1 ，匆s ，对任意m 0 ，刀1 ，称 。 向，乞，吒】= ( 五，而，恐，) a 口：x m + 。= 毛，+ ：= 也，+ 。= 吒 为有限序列( 白，乞，毛，吒) 的柱形。为了方便，记。 毛，也，毛，吒】= 毛，乞，毛，吒】。 记r 是由全体柱形构成的集合，则 ( 1 ) r 中每个元素既是开集又是闭集； ( 2 ) 1 1 是可数的： ( 3 ) i 是口的乘积拓扑的一组基。 可以验证口是完全不连通的，即它的每一个连通分支只有一个点组成。又因为a 口 是h a u s d o r f f 空间，故口是可度量化的，。上一个常用的度量是： 对任意戈= ( 五，恐，恐，) ，y = ( y l ，y 2 ，乃，) a 口 1 以艺力2 忑两i 专而面 下述等价度量有时也会用到： 以( w ) ：妻冬掣 1 0 两北大学硕l ：学位论文 这里当玉= 乃时，d ( x i ，以) = 0 ，当而y i 时，d ( 而， ) = 1 a 在口上定义“+ 如下： 对任意工= ( 五，x 2 ，x 3 ，) ，y = ( y l ，y 2 ，y 3 ，) 口， ( m ，儿，y 3 ，) + ( 五，x 2 ，x 3 ，) 2 ( z l ，z 2 ，z 3 ，) ， 其中z l = ( 五+ 咒) m o d ( z ) ，z 2 = ( 恐+ y 2 + r 1 ) m o d ( j 2 ) ，其中当五+ 乃 - 1 ， 记 y 5 【屯，也，b ，】2 t ，如，毛，t 】令x 【局，屯，b ，乞1 2h - l ( r 【岛，岛，屯。乞】) 。记 p j = 5 哺，屯，铲jc x ：v i s ，奄s 。 下面验证尸满足定理中的( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 。 1 3 第三章加法机器拓扑共轭嵌入拓扑动力系统充分必夏条件 ( 1 ) 由于誓毛如，太】为口非空闭子集，且| l l 是同胚映射，故x 阮l $ ，乞，走1 = j i l - 1 ( 磁，岛，乞】) 为人中非空闭子集。又因为人为x 中的闭子集，故强，乞乞】也是x 中的非空闭子集。 对任意砟。，如，】p 5 ，黾脚州p 。如果暇，乞，也】 川。，聊2 ，他】，则存 毛e i i o j ，使得气饯，因而瞻，也，氏，恕 n 鸭，m 2 ，m i o ，他】= o ，所以 坼毛，如，】n 誓二，他，】= a 。由于j l 是同胚映射，知 彳蠢岛，七j 】n 爿高。，嘞。鸭j = j j l - 1 ( 誓毛岛，】) nj i ；- 1 ( 卅2 ，j ) = g 。 厂( 彳赢，恕，k , 1 ) = f h - 1 ( 誓毛，岛，屯】) = - 1 五( 城，如，七j 】) = 五1 五( 【向，如，吃】) = 矗叫( h 玎：，仇】) = ( 珉桫讥】) = 砟m ，刚， 其中 强，r 2 ，恐，毽】= 五( ，恕，毛，t ) ，故条件( 1 ) 成立。 ( 2 ) 对任意s 1 ，磁k 。，1 = 矗一、y s + 鼢l 厶】) c h - i ( 磁拓矧) = 强知剐。故条件 ( 2 ) 成立。 ( 3 ) m - 于硝n f l ( 黾虮】) 2 9 厂1 h 。1 ( 珉扣蚓) 2 9 j j i 1 ( 磁扣矧) = h - l ( 叫n ，。( 珉，屯，矧) ) = j j i q ( ( 毛，岛，恕) ) ， 由于h 为同胚映射，故 - 1 ( ( 毛，屯，屯) ) 是单点集。从而州n ，。- ( 强缸矧) 是单点集，所以勖耐( q 庀( 黾茸矧) ) 1 。故条 件( 3 ) 成立。 充分性：设对任意s 1 ，存在x 的子集族 p = ，如，。乞jcx i v i j ，向s ) 满足定理中条件( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 。 第一步，构造( x ，f ) 的一个子系统( 人，fl ) 。 首先，证明对任意( 毛，如，色) a a ，q 厂一( 黾拓蚓) 是一单点集。 事实上， 由于口( 毛，k 2 ，气】) ：【毛，k 2 ，颤】， 由条件( 1 ) 知 f ( 黾如，j ) = 砟知州故厂一( 砥。砂。乞】) 3 黾，铲。】，所以 1 4 ：= = = = 型竺鲨望垒垒= = = = = = = = = 一 亘厂( 黾加划) d f i x ：渤一鼢。由定理条件( 2 ) ，再据紧致空间有限交性质，故 垒砟心，矧。，从而亟厂( 黾知川) f 2 j 。又由条件( 3 ) 知，垒厂飓f x i ；, 缸啮1 ) 是 一单点集。 其次，令a = ( ：v ) e 虬鱼一( 稚南矧) 下边两个结论成立 结论1 ：a 是x 的闭子集。 据下边的命题矢日雠屯亘厂一( 稚驴矧) 2 叠厂吨( 孙u e f 。 稚妒划) ，由( 南，屯。婷& j = l “ j 2 i 爿南电，南1 是有限集，且每个元素都是闭集，故。u 。，摊。，b ，州是闭集，由于厂是连续的，故 “l 自如，- 以】一 厂一讯屯矧) 是闭集，故妒( u p 川) 是闭集，从而a 是闭 集。 结论2 ：f a ) c 人。 对任意x 人，设x = 垒厂( 黾缸矧) ，则 厂( x ) = 厂( 且厂( 稚扣一) c n ，f ( f 弋黾盼川) ) c n 。f 一( 厂( 黾打蚓” = a 厂一鸭( 稚咖川) ，其中h ，挖：，肛，吃】2 无( 白，砭，岛，吃 ) of 1 3 于州n f 吨( 磙m 刈) 是一单点集，故厂( 石) = 叠厂一鸭( 黾州) ，又据a 的定义知至厂一( 黾鼢川) a ，即 厂( x ) a ，因而f ( a ) c 人。 由结论1 和结论2 知( 八，fl ) 是( x ，厂) 的一个子系统。 第二步，定义同胚映射h ：人一a 。 定义磊：a - + a 口，对任意旦厂也( 知嚏1 ) 人， j l ( 垒严( 摊知= ( ，小) o 下面证明h 是同胚映射。 首先证明h 是一一映射。 第三章加法机器拓扑共轭嵌入拓扑动力系统充分必要条件 ( 1 ) 由人的定义知h 是满射。 ( 2 ) 是单射。 若( 墨，也，毛) = ( n i ，r 2 吩) ，则对任意的f 1 ，有砖= n i 。v , i e i e i 于删n f 一( 坛如，屯】) 和q 厂1 ( 群m ，以】) 是单点集。故 删nf 吨( 群k t 如，屯】) 2q 厂吨( x n i 儿】) 。 所以 是单射。 由( 1 ) ( 2 ) 知h 是一一映射。 其次，证明h 是连续映射。 对任意的x 人，设x 2 问n f 一鸭( 唯，_ ，司) ，从而办( 工) = ( 墨，k 2 ，t ，) 。为证明五在 z 连续，只需证明对任意i 1 ，存在x 在人中的邻域阢使得对任意y u ，有 以( 办( x ) ，j l z ( y ) ) s 詈即可。由下面的命题知人2 9 厂鸭( 讯也曼，。黾如忐1 ) 故 人c 厂嘶( 硪u 铲一磙如削) 从而人c 硪羔，。一1 ( 一i q 而削) ，由于是由互不相 交的有限个闭集构成，又由于 人= 人n 哦曼，。p ，吨( 誓i 与而刖) 2 硪曼，。一( 厂一( _ i 屯州) n 人) 故a 可看作人中有限个闭集的并，所以厂一唧( 稚而矧) n a 是a 中的开集，从而 厂喝( 唯，甄司) n 人是x 在a 中开邻域。令u = f 一吩( 咯，珏明) n 人，对任意j ，u ，可 设y 2 州n f 一( 毪如，工】) ，由h 的定义知| j l ( y ) = ( z ，五，z ，丘t ，矗z ，z ) 。因为 y u ，从而j ，f 嘶( 唯，爵，明) ，故而( y ) = ( 墨，砭，岛，丘t ，j ；：+ ：，z ) ，因此 成( j i i ( x ) ，i i ( 力) 三，所以j i l 是连续的。 又因彳是紧致空间，人是x 中的闭集，故由预备知识中定理5 可得人是x 的紧 致子空间。因口是h a u s d o r f f 空间，又因为h 是- - - - 映射且连续的，由预备知识中定 理6 知h 是同胚映射。 1 6 西北人学硕 学位论文 第三步，证明h fi a = l h 。 只要证明对任意x 人，可i a ( x ) = l h ( x ) 即可。 一方面，对任意x 人，设x 5 同n f 吨( 蚝 】) ，贝l j f ( x ) 2q 厂( 厂一( x i 2 如削) ) c 矧nf 一( 厂( 摊。，址，匕】) ) 。q 厂一( 张以】) ，其中【，1 1 ，l z ，玛，t l s 2 厶( 【毛，如，屯，红】) 。 由于q 厂飞( 黾州) 是一单点集，故厂( z ) - 州n f 一( 雒m 川) 。因此 矽j ( x ) = 矿( x ) - h ( 州n f 一( 黾 州”2 ( ，2 l ，他，驴) 。 另一方面，由条件( 1 ) 知对任意s 1 ，由于 五( 岛，k 2 ，k 39 9 也】) = 强，刀：，咒，】，故s o ( n t k , ，乞，屯】) cn s o ( t k , ，屯，也】) = n h ，刀：，n s ，故五( ( 白，乞，岛，) ) = ( ，z ：，伤，) 。 因此五j i i ( 茗) = f 。h ( n f 一( x 5 【毛，岛，屯，屯】) ) = 厶( ( 毛，乞，岛，) ) = ( 珂。，n 2 ，n 3 ，) 。 s = l 所以矿l a = 五五。 命题在上述定理中( 毛。如y 。n f一(黾知】)=n厂一(讯船u)ca s = ls = l 也，。p 黾如一毛】) 。 ( 毛。如，。”聪，h ，t 1 e p i ” 证明对任意x ( 向南y ) e 屯州n t 吨( 氙矧) ，存在( 墨，乞，砖，) 口，使得 x e 硝n f 一鸭( 黾。乜，。屯】) ，故对任意s 1 ，石f 一( 强，岛。】) ，故 艇吲n f 吨( 一u ；一稚，铲。屯】) ，从而 5 。l 讯恕， 】e | p i 一“” b v 蚴n 圹f ( 稚鼢矧) c ! = l 厂吨( u 黾加廿 对任意xnf一鸭(。u，黾，也，乞】)，可知对任意s1，i 1 2 讯, t 2 ， 】e p i ” z 厂鸭( 讯加u 悔，。| p i 该如，】) ，从而厂鸭( 引讯扣u 嘶，。| p ，黾，岛。，】。则对任意s 1 ，存在 黾而引e p 5 ， 使得f ( 石) 而矧，存在：，矗“】p ”， 使得 1 7 第三章加法机器拓扑共轭嵌入拓扑动力系统充分必要条件 f 1 ( x ) 硪0 饵矗i 】。由于住+ 。= m s 五+ l ，故o ) = 厂啊“ ) = ( 厂) 丘广1 ( 厂( x ) ) ， 又因为厂( 强，。屯】) = ，t 2 。，屯】，所以 f ( 黾，砂，】) = 厂”s j s + l ( 黾，铲州) = ( 厂) ”1 ( 厂( 摊向，乞1 ) ) = 傩却，】，从而 厂1 ( x ) 稚缸蚓。又由于0 抽】c 磁曩引，故厂( x ) 磁而五】，故 碌驴训n 黾知蚓o ，所以= 岛，f 2 = k 2 ，= t ，f ( 工) 磁k 以 + i 】，由归纳 法知这样就确定口中一个点( 毛，乞，屯，) ，使得对任意j 1 ，f 鸭( 工) ，屯，屯】， 所以胜u 、：n u 一啊( 磁打o 。a ( 畸，屯，) ea s = l “ 故( 毛，如v ) e 。问n f 吨( 砧州) 3 旦厂吨( 加u 池，。p 磁加川) 。所以 雠如旦厂飞( 黾咖矧) 5 旦飞( 讯恕芝该打砂 用同样的证明方法可以证明下边的定理。 定理2 设口= ( z ，五，五，) ，其中石为大于或等于1 的自然数，记m i = 五五五- j l ， 墨= o ，1 ，2 ，石- 1 ) ，则拓扑动力系统( x ，厂) 有一个子系统( 人，厂i a ) 与加法机器( 口，厶) 拓扑半共轭的充分必要条件是对任意s 1 ，存在x 的子集族 p 。= 5 【屯，岛，铲lc x ：v i s ，恕墨 ， 满足： ( 1 ) p 是由互不相交的非空闭子集构成且f ( x 【毛。如。砂屯】) = x 5 【 如咐q 1 ，其中 ，刀：，力，n ，】2 厶( 毛，屯，毛oo k s ) ： ( 2 ) 对任意s 1 ，有x 州【毛，屯。lcx 5 【与，屯，砂屯】。 由于加法机器是极小集，由拓扑共轭不变性知下面推论成立。 推论1设拓扑动力系统( x ，厂) ，如果拓扑动力系统( x ，厂) 有一个子系统与加法 机器拓扑共轭，则拓扑动力系统( x ，厂) 有极小集。 由于极小集中的每个点都是回复点，所以下面推论成立。 推论2 设拓扑动力系统( x ，厂) ，如果拓扑动力系统( x ，厂) 有一个子系统与加法 机器拓扑共轭，则拓扑动力系统( 肖，厂) 有回复点。 西北人学硕十学位论文 3 3