（基础数学专业论文）关于css空间与kcss空间及某些广义度量空间的并.pdf

摘 要 摘要 我们知道度量化定理是拓扑学的重要定理之一，推广度量空间的主要方法是 从度量化定理出发，用各种方式方法减弱其条件例如，由n a g a t a s m i r n o v b i n g 的度量化定理出发将其条件减弱，就可得到许多重要的广义度量空间：m 。空间， m s 空间与m 3 空间就是我们所熟知的广义度量空间正则乃空间称为m 3 空 间，如果x 具有盯垫状对基 1 9 6 6 年b o r g e s 引入了对m 3 空间的两种刻画： 即层对应和g 函数 层对应和g 函数的引入促使拓扑学者们从其它角度研究广义度量空间，并且 引入了一些不同的空间类：半层空间，七半层空间以及这里要讨论的c s s 空间 同时这些空间的引入，又进一步丰富了广义度量化理论 1 9 7 3 年，h w m a r t i n 引入了c s s 空间的概念c s s 空间与半层空间相类 似，c s s 空间是指空间中的紧集都是一致g 6 集的空间本论文的第2 章，主要 证明了具有拟g 6 ( 2 ) 对角线的空间是c s s 空间另外，还证明了如果x 是可数 个闭的c s s 空间的并，则x 是c s s 空间；c s s 空间的可数积是c s s 空间 第3 章证明了如果空间x 可以表示成可数个闭的空间( 或半层空间) 的 并，则x 是p 空间( 或半层空间) 本论文的第4 章推广了c s s 空间的概念，得到了k - c s s 空间类，并对七一 c s s 空间的基本性质展开讨论，得出了k - c s s 空间具有遗传性；能被完备映射 保持；两个闭的k - c s s 空间的并是k - c s s 空间除对k c s s 空间的基本性质 进行研究外，主要给出了k - c s s 空间如下的g 函数刻画： 摘要 死空间x 是k - c s s 空间当且仅当x 存在g 函数满足： ( a ) ( z ) = n 9 ( n ，x ) ：n ) ； ( b ) 若x 中的点列 z 。) 收敛于z ，且y n 9 ( n ，x n ) ，n n ，如果 可。) 存在 收敛子列 耖n 。) ，则 可。) 收敛于z 通过上述的g 函数刻画，证明了k - c s s 空间具有可数可积性；在次中紧空 间中，k - c s s 空间具有“局部整体”的性质讨论了肛g s s 空间与c s 空 间的关系，即第一可数的k - c s s 空间是c s 空间 最后，讨论了有关正则对角线的一些小结论，即具有正则对角线的w 8 ，p 空 间与具有强展开这样的广义度量空间之间的关系 关键词：c s s 空间；k - c s s 空间；c s 空间；拟瓯( 2 ) 对角线；次中紧空间； 9 函数；p 空间 a b s t r a c t a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h em e t r i z a t i o nt h e o r e mi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t t h e o r e mi ng e n e r a lt o p o l o g y w ec a r lr e d u c es o m ec o n d i t i o n so ft h em e t r i z a t i o n t h e o r e mt og e ts o m eg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s f o re x a m p l e ，w ec a ng e t 蝇一 s p a c e s ，m 2 - s p a c e sa n dm 3 一s p a c e sb yw e a k i n gt h ec o n d i t i o n so fn a g a t a - s m i r n o v - b i n g sm e t r i z a t i o nt h e o r e m ar e g u l a r7t l - s p a c exi sc a l l e dam 3 - s p a c e ，i fx h a saa - c u s h i o n e d - p a i r b a s e i n1 9 6 6 ，b o r g e su s e ds t r a t i f i a b l eo p e r a t o ra n dg f u n c t i o nt od e s c r i b em 3 - s p a c e s t r a t i f i a b l eo p e r a t o ra n dgf u n c t i o nu r g e ds c h o l a r st ou s eo t h e rm e t h o d st o s t u d yg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s s c h o l a r so fg e n e r a lt o p o l o g yh a v ei n t r o d u c e d s o m ed i f f e r e n ts p a c e ss u c ha ss e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e s ，k - - s e m i s t r a t i f i a b l es p a c e s w ew i l ld i s c u s sc s s s p a c e sw h i c ha r es i m i l a rt os e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e s a tt h e s a m et i m e ，t h e s es p a c e sh a v ee n r i c h e dt h ec o n t e n to ft h et h e o r yo fg e n e r a l i z e d m e t r i cs p a c e s i n1 9 7 3 ，h w m a r t i ni n t r o d u c e dt h ec l a s so fc s s c s ss p a c e sa x es i m i l a rt o s e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e s xi sc a l l e dac s s s p a c e ，i fi t sc o m p a c ts e t sa r eu n i f o r m l y g 6 - s e t s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w em a i n l yp r o v et h a ti fs p a c exh a s aq u a s i g 6 ( 2 ) d i a g o n a l ，t h e nxi sac s s s p a c e i fx i st h eu n i o no fc o u n t a b l e f a m i l yo fc l o s e dc s ss u b s p a c e s ，t h e nxi sac s ss p a c e w ea l s os h o wt h a tt h e c o u n t a b l ep r o d u c to fc s s s p a c e si sac s ss p a c e i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r ，w em a i n l ys h o wt h a ti fxi st h eu n i o no f i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 c o u n t a b l ef a m i l yo fc l o s e dp - s u b s p a c e s ( s e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e s ) ，t h e nx i sa p s p a c e ( s e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e ) i nt h ef o u r t hp a r to ft h ep a p e r ，w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p t i o no fc s ss p a c e a n dg e ta n o t h e rc l a s so fs p a c e s ，w ed e n o t ei tb yk - c s ss p a c e i nt h i sp a r t ，w e d i s c u s st h eb a s i cp r o p e r t yo fk - c s ss p a c e s k - c s ss p a c e sa x eh e r e d i t a r ya n d c a nb ep r e s e r v e db yap e r f e c tm a p p i n g au n i o no ft w oc l o s e dk - c s ss p a c e si sa k - c s ss p a c e i na d d i t i o n ) w em a i n l yg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fk - c s ss p a c e si n t e r m so fc e r t a i ngf u n c t i o n 乃s p a c ex i sak - c s ss p a c ei fa n do n l yi fxh a sagf u n c t i o ns a t i s f y i n g ( a ) z ) = n 夕( n ，z ) ：n 】 ( b ) i fas e q u e n c e z n 】- o fxc o n v e r g e st oz xa n d g ( n ，z n ) f o re a c h n n ，i f y n ) h a sac o n v e r g e n ts u b s e q u e n c e 可n k ) ，t h e n 可n k ) c o n v e r g e st oz w ep r o v et h a tt h ec o u n t a b l ep r o d u c to fk - c s ss p a c e si sak - c s ss p a c eb y gf u n c t i o n i fx i ss u b m e s o c o m p a c tl o c a l l ya n dk - c s ss p a c e ，t h e nxi sk - c s s a n dw ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nk - c s ss p a c e sa n dc ss p a c e s w eh a v e ac o n c l u s i o n ：i fxi sf i r s tc o u n t a b l ea n dk - c s s t h e ni t i sac ss p a c e a tl a s t w eg e tac o n c l u s i o no nr e g u l a rg 6 一d i a g o n a l w eh a v et h a ti fxi s u pa n d 口一s p a c ea n dh a sar e g u l a rg d d i a g o n a l ，t h e nxi sd e v e l o p a b l ea n dh a sa s t r o n gd e v e l o p m e n t k e y w o r d s ：c s ss p a c e ；k - c s ss p a c e ；c ss p a c e ；q u a s i g 6 ( 2 ) d i a g o n a l ；s u b m e - s o c o m p a c ts p a c e ；gf u n c t i o n ；1 3 - s p a c e i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：王丽霞日期：2 口。7 年手月如臼 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：王丽霞导师签名：童5 屯嗜日期：勘。芦9 第1 章绪论 1 。1 概念与记号 第1 章绪论 本文中的x 代表非空的拓扑空间 定义1 1 1 ( 【4 】)乃空间x 称为层空间，若x 存在算子u ：nx2 x 一丁， ( 7 1 , ，f ) h 矿( n ，f ) t ，对任意f 2 x 满足： ( a ) fcu ( n ，f ) ，u ( n + 1 ，f ) cu ( n ，f ) ，n n ( b ) 若r ，f 2 2 x 且只cf 2 ，则u ( n ，f 1 ) cu ( 礼，r ) ，n ； ( c ) f = n ( u ( n ，f ) ：n ) 若对于空间x 的开集进行考虑可得其对偶定义： 定义1 1 2 ( 4 】)正空间x 称为层空间，若x 存在算子f ：n t _ 2 x ( 钆，矿) hf ( n ，u ) 2 x ，对任意u t 满足： ( 1 ) f ( n ，u ) c n ； ( 2 ) 若巩，u 2 t 且巩c ，则f ( n ，巩) cf ( n ，u 2 ) ，钆； ( 3 ) u = u ( r ( n ，u ) 。：t i , ) 定义1 1 3 ( 1 3 】)设( x ，丁) 是拓扑空间，函数g ：n x _ 丁称为x 上 的夕函数，如果对n n 及z x 有： ( 1 ) x g ( n ，z ) ； ( 2 ) 9 ( n + 1 ，z ) cg ( n ，z ) 定义1 1 4 ( 8 】)丑空间x 称为半层空间，若x 存在算子u ：nx2 x _ 丁， ( n ，f ) hu ( n ，f ) t ，对任意f 2 x 满足： 1 一 北京工业大学理学硕士学位论文 ( a ) fcu ( n ，f ) ，u ( 礼+ 1 ，f ) cu ( n ，f ) ，n ； ( b ) 若r ，足2 x 且rcr ，则u ( n ，f 1 ) cu ( n ，f 2 ) ，n ； ( c ) f = n 矿( n ，f ) ：n ) 与层空间相类似，半层空间也有对偶定义 定义1 1 5 ( 2 4 】) t x 空间x 称为k 半层空间，如果x 存在算子u ： n 2 x _ t ，( 7 , ，f ) hu ( n ，f ) e7 - ，对任意f 2 x 满足： ( a ) fcu ( n ，f ) ，u ( n 十1 ，f ) cu ( n ，f ) ，n ； ( b ) 若r ，兄2 x 且f lcf 2 ，则u ( n ，f 1 ) cu ( 礼，f 2 ) ，t t n ( c ) f = n u ( n ，f ) ：t t ) ( d ) 任意紧集ccx 若c nf = 0 ，则存在几n 使得cnu ( n ，f ) = 0 从以上定义我们知道：层空间令k 半层空间净半层空间 e 是x 中的所有非空紧集构成的集族 定义1 1 6 ( 2 5 】)空间x 称为c s s 空间，若x 存在算子g ：n xc t ，( t t ，c ) ha ( n ，c ) t ，对任意c c 满足： ( a ) c = n g ( 讥，c ) ：r t ) ( b ) a ( n + 1 ，c ) ca ( n ，c ) ，n ； ( c ) 若d c 且ccd ，贝0g ( 礼，c ) cg ( 死，d ) ，扎n g 称为x 的c s s 算子 定义1 1 7 ( 【2 2 】)空间x 称为c s 空间，若x 存在算子g ：n c _ 丁， ( n ，c ) ha ( n ，c ) t ，对任意c c 满足： ( a ) c = n a ( n ，c ) ：n ) ； 2 第1 章绪论 ( b ) g ( n + 1 ，c ) cg ( 几，c ) ，礼； ( c ) 若d c 且ccd ，贝0v ( n ，c ) cg ( n ，d ) ，礼n 定义1 1 8 ( 1 3 ) 空间x 具有g 6 对角线，如果是积空间x 2 中的g 6 集，其中= ( z ，z ) ：z x ) 为xxx 的对角线 引理1 1 9 ( 1 3 1 )空间x 具有酝对角线当且仅当x 存在开覆盖列 ： 礼) ，使对任意的x ，y x ，z y ，存在礼n ，使得y 隹s t ( x ，) ( 等价地， 对每一z x ， z ) = n s t ( z ，) ：7 , ) ) 覆盖序列 ：礼) 称为关于x 的g 6 对角线序列 若不要求g 6 对角线序列 ：7 , ) 为x 的开覆盖可得到拟岛对角线： 定义1 1 1 0 ( 1 3 )空间x 具有拟g 5 对角线，若x 存在开集族序列 ： 礼) 满足：任意的z ，y x ，z y ，存在7 , n ，使得z s t ( z ，玩) cx y ) ， 开集族序列 ：n ) 称为x 的拟g d 对角线序列 将g 6 对角线序列加强得到g d + 对角线： 定义1 1 1 1 ( 1 3 )空间x 具有g 5 + 对角线，若x 存在开覆盖列 ：n 】满足：对每一z x ，( z = n ( s t ( z ，碥) ：礼) ，称 ：礼) 为x 的 g 6 + 对角线序列 由引理1 1 9 ，定义1 1 1 0 ，定义1 1 1 l 可知：g 6 + 对角线兮瓯对角线专拟 g 6 对角线 定义1 1 1 2 ( 1 7 ) 空间x 称为盯口空间，如果x 存在盯闭包保持闭集族 厂满足：任意的x ，y x ，x y ，则存在f 厂，使得z fy 岳f 定义1 1 1 3 ( 2 7 ) 拓扑空间x 称为仿紧的，如果x 的每一开覆盖具有局 北京工业大学理学硕士学位论文 部有限的开加细覆盖 定义1 1 1 4 ( 5 】)拓扑空间x 称为次仿紧的，如果x 的每一开覆盖具有 仃离散的闭加细覆盖 定义1 1 1 5 ( 3 2 ) 拓扑空间x 称为口加细空间，如果x 的每一开覆盖“ 具有开加细覆盖y = u ：n ) 满足： ( t ) x = uk ，n ； ( 2 ) 对每一z x ，都存在n ：n 使得o r d ( x ，坡；) u 。 关于口加细的相关结论参见文献( 4 3 】) 为叙述方便，引入一些约定和记号 设( x ，丁) 是拓扑空间，称函数g ：u x _ 丁是x 上的夕函数，若 每一z g ( n ，z ) ，不妨设g ( n + 1 ，z ) c 夕( n ，z ) ，本文均用g 表示g 函数本 文所讨论的空间若无特别说明都满足乃分离的拓扑空间，表示正整数集， u=n u o ) 如果“是x 的开集族，令s t ( z ，“) = u u “：z u ) ， s t 2 ( z ，“) = u u 甜：uns t ( z ，甜) d ) ，u ( x ) = ( u ：z u “ 空间x 的 两集族“与y ，若对任一u , 都存在v v 使得ucv ，则称“ v ；令 4av = unv ：u ，v y ) 令c 是x 中的所有非空紧集构成的集族， 2 x 代表x 中的所有非空闭集构成的集族 z 。) 是x 的点列，c _ z 。) 是序列 z n ) 的所有聚点构成的集合 本文未定义的概念与术语可参阅文献( 【2 0 】) ( 3 5 】) ( ( 3 8 】) 1 2 研究背景及依据 一缸 第1 章绪论 1 9 6 6 年，拓扑学家b o r g e s 对具有口垫状对基的丑空间用层对应和g 函数 进行刻画，激发了拓扑学者从另一角度来研究广义度量空间，并且引入了一些不 同的空间类例如半层空间，老半层空间等等拓扑学家们对这些具有层对应的 空间类进行研究，得出了一些较好的性质层空间，半层空间及七半层空间都具 有遗传性、可数可积性，并且能被连续闭映射( 正规的k 半层空间能被连续闭映 射) 保持它们具有对偶定义，g 函数刻画定理另外，从覆盖性质方面来看，层 空间是仿紧空间；半层空间是次仿紧空间从定义我们知道它们三者也有一定的 关系： 层空间净七半层空间半层空间； 第一可数的七半层空间是层空间； f r d c h e t 的尼半层空间是层空间 拓扑学家给出的半层空间的g 函数是通过空间中的收敛序列进行刻画的： 即空间x 上的g 函数满足：对于z x 及序列 z 。：n ，若2 7 g ( n ，z n ) ，n n ，贝0 z n ) _ z 我国的拓扑学家高智民和林寿分别在1 9 8 6 年( 1 0 】) ，1 9 8 8 年( 3 9 】) 给出了 蠡半层空间的g 函数刻画这为进一步研究k 半层空间及我们所引入的k - c s s 空间提供了重要的研究依据我们知道半层空间的闭集是一致的g 6 集；k 半 层空间除了闭集是一致的g 集外，还考虑了闭集与紧集不相交时的算子应满足 的条件；与半层空间相对应，m a r t i n 于1 9 7 3 年在文( 2 5 】) 中提出了c s s ( c - s e m i s t r a t i f i a b l e ) 空间，即讨论的是空间中的紧集是一致g 6 集的性质并给出 了一些包含c s s 的空间类，它们是：盯徉空间；具有g j 对角线的空间；( x ，丁) 是拓扑空间，若存在sct ，( x ，s ) 是c s s 空间，则( x ，丁) 是c s s 空间在文 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 2 8 】) 中，m o h a m a d 证明了正则拟可展空间是c s s 空间但在2 0 0 6 年，文( ( 3 】) 的作者指出了m o h a m a d 的证明是有问题的在文( 3 】) 中，作者还给出了c s s 空间的g 函数刻画，并证明了0 加细的局部c s s 空间是c s s 空间 类似于k 半层空间，我们在c s s 空间的基础上进一步考虑了空间中的紧集 与紧集不相交的情形，引入了k - c s s 空间类讨论了k - c s s 空间的遗传性，闭 并的性质，映射保持性质；并且给出了k - c s s 空间的夕函数刻画，并由此证明 了k - c s s 空间满足可数可积性在该部分的一个主要结论就是；若x 是次中紧 局部k c s s 空间，则x 是k - c s s 空间 1 9 7 9 年，k y u n gb a il e e 在文( 2 2 】) 中引入了c s 空间，即空间中的紧集是 一致正则瓯集，并且给出了一些等价命题我们利用这些命题可以得到：第一 可数的k - c s s 空间是c s 空间最后，得出k - c s s 空间是n a g a t a 空间的一些 充分条件( 其中n a g a t a 空间就是第一可数的层空间( 1 8 】) ) 在文( 【1 7 】) 中，h o d e l 利用g 函数引入了3 空间的概念2 0 0 0 年，g o o dc 等人引入了m c m 空间，并且证明了p 空间与m c m 空间等价；提出m c m 空 间是否是b 遗传的问题2 0 0 3 年，彭良雪教授和林寿教授对该问题作了肯定回 答在本文中我们得到了更好的结果：如果空间x 可以表示成可数个闭的卢空 间( 或半层空间) 的并，则x 是p 空间( 或半层空间) 对角线也是一般拓扑学研究的主要内容，例如g 6 对角线，g 6 对角线等等 z e n o r 在1 9 7 2 年引入了正则对角线的定义( 3 4 】) ；a r h a n g e l s k i i 在文( 2 7 1 ) 中对 其进行了深入的研究本论文在此基础上得出了关于正则对角线的一结论：即具 有正则对角线的u p ，p 空间与具有强展开这样的广义度量空间之间的关系 第1 章绪论 1 3 主要结果 本论文首先讨论了c s s 空间的性质：可数个闭的c s s 的并是c s s 定理 2 2 3 ，c s s 空间满足可数可积性定理2 2 5 ，具有拟g 6 ( 2 ) 对角线的空间是c s s 空间定理2 2 8 ；其次讨论了其它广义度量空间的闭并的性质定理3 1 3 及定理 3 ，1 ，4 ；最后讨论了k - c s s 空间：9 函数刻画定理4 2 4 ，可数可积性定理4 2 。5 ， k - c s s 空间“局部兮整体”性质定理4 2 1 0 ；关于正则对角线的定理5 2 1 定理2 2 3如果x = u ：m ) ，是闭的c s s 子空间，m n ， 则x 是c s s 空间 定理2 2 5 x = r i 。，其中是c s s 空间，几n ，则x 是c s s 空间 定理2 2 8若x 具有拟g 6 ( 2 ) 对角线，则x 是c s s 空间 定理3 1 3 如果x = u ：m ) ，其中都是x 的闭子空间，且 是m c m 空间，m n ，则x 是m c m 空间 定理3 1 4 如果x = u x m ：m ) ，其中都是x 的闭子空间，且 是半层空间，仇n ，则x 是半层空间 定理4 2 4 空间x 是k - c s s 空间当且仅当x 存在g 函数满足： ( a ) z = n ( g ( n ，z ) ：n 】； ( b ) 9 ( n + 1 ，z ) cg ( n ，z ) ，n ； ( c ) 若x 中的点列f z n ) _ z ，且如夕( n ，x n ) ，n n ，如果 妒。：n ) 存 在收敛子列 可。：k ) ，则t y 。 _ z 定理4 2 5 x = 兀。，其中是k - c s s 空间，n n ，则x 是 北京工业大学理学硕士学位论文 后c s s 空间 定理4 2 1 0x 是次中紧空问，若x 是局部k - c s s 空问，则x 是k - c s s 空间 定理5 2 1x 是正则空间且是具有正则对角线的p 空间，u 口空间，则x 是可展空间且满足强展开 第2 章c s s 空间 2 1 预备知识 第2 章关于c s s 空间 半层空间是拓扑学家在上个世纪7 0 年代提出来的，半层空间中的闭集是一 致g 6 集，拓扑学家不仅给出了其对偶定义，而且还用g 函数对其进行刻画，并 对其内在的性质进行研究得出了如下结果 命题2 1 1 ( 8 】)空间x 称为半层空间，若x 存在算子f ：nxt 一 2 x ，( 珏，u ) 一f ( n ，u ) 2 x ，对任意的u t 满足： ( 1 ) r ( n ，u ) cu ，n ； ( 2 ) 若巩，u s 丁，矾c 巩，则f ( n ，巩) cf ( n ，巩) ，礼i ( 3 ) u = u f ( n ，u ) ：n ) 命题2 1 2 ( 8 】)乃空间x 是半层空间当且仅x 存在g 函数满足： 对z x 及序列 z 。：n ) ，若z 夕( n ，z 。) ，礼n ，贝z 。一z 用g 函数刻画很容易证明半层空间具有遗传性及可数可积性 命题2 1 3 ( 8 】)半层空间具有遗传性 命题2 1 4 ( 【3 5 】) 半层空间能被完备映射所保持 c r e e d e 于1 9 7 0 年( 8 】) 证明了半层空间为连续闭映射所保持 命题2 1 5 ( 【1 3 】) 半层空间具有g 6 对角线，正则半层空间具有g 6 对角 线 覆盖性质方面： 命题2 1 6 ( 8 】)半层空间是次仿紧空间 吼 北京工业大学理学硕士学位论文 关于映射和次仿紧的相关结论参阅文献( 3 6 】) ( 3 7 ) ( 4 0 ) 2 2主要结果及证明 c s s 空间是由m a r t i n 在1 9 7 3 年( 2 5 ) 提出的，但在当时没有引起人们的 重视，因此很少有人对它进行专门研究我们通过定义可以看出，c s s 空间与 半层空间既有许多相似之处也有不同的特点对于c s s 空间的性质进行进一步 的研究，有助于区分它与其它广义度量空间，也有助于丰富广义度量化理论 我们可以象半层空间一样给出c s s 空间的对偶定义 定理2 2 1x 是c s s 空间当且仅当x 存在算子f ：n t p 一2 x ，其中 丁7 = y ：x y 是x 中的紧集，v 丁) ，对任一v 丁，满足： ( a ) u f ( n ，v ) ：礼) = v ，f ( n ，v ) cf ( n + 1 ，y ) ，礼； ( b ) 若k ，r ，且kc ，则f ( 凡，) cf ( n ，) ，死n 利用定理2 2 1 我们可以得出两个闭的c s s 子空间的并是c s s 空间 引理2 2 2( x ，丁) 是一拓扑空间，x = kum ，其中m 与k 是x 的闭 c s s 子空间，则x 是c s s 空间 证明：设丁，= u ：x u 是x 中的紧集，u 丁) ，对任意w t 7 ， w ：( w nk ) u ( 彬nm ) 由于m ( n 蚝) cx ，x w 是x 中的紧集， 蚝( nk ) = k 且蚝是x 中的闭集。所以k 是x 中的紧集 即k ( n k ) 是子空间m 的紧集，同理m ( n m ) 是子空间m 中的紧集 由于m 与k 是c s s 空间，设r 与f 2 分别是m 与k 的满足定理2 2 1 的算子令= u ：m u 是m 中的紧集，u 死) ，强= u ：蚝u 1 0 _ 第2 章c s s 空间 是k 中的紧集，u 死) 任w 丁，则彬nh 强，wnk 强，令 f ( n ，w ) = 只( 礼，nm ) u 足( n ，wn 蚝) ，则f 满足定理2 2 1 中的( a ) ( b ) 所以 x 是c s s 空间口 定理22 3如果x = u ：m ) ，是闭的c s s 子空间，m n ， 则x 是c s s 空间 证明：由引理22 2 ，我们不妨设五nc x m + 1 ，m n 对m n ，我们令 为k 的c s s 算子对于x 中的任一紧集f ，fn = n m ，这样 zgn 皖( n ，fn 咒) ：k n ) ，因此xg u ( 礼，f ) 由算子u 的定义易知：当两紧 集fce 时，有u ( 礼，f ) cu ( 仃，e ) ，因此x 是c s s 空间 口 引理2 2 4 ( 3 】)( x ，t ) 是c s s 空间当且仅当x 存在函数g ：n x _ 丁， 对z ，y x 满足： ( a )n ( 9 ( n ，z ) ：礼) = z ) ，9 ( n + 1 ，z ) c9 ( n ，z ) ，7 1 , ； ( b ) 若对于x 中的序列 z 。】- _ y ，则n g ( n ，z 。) ：礼】c ) 称该函数是x 的c s sg 函数 利用c s s 空间的g 函数刻画，我们可以证明c s s 空间满足可数积性质 北京工业大学理学硕士学位论文 定理2 2 5 x = 兀。k ，其中k 是c s s 空间，几en ，则x 是c s s 空间 证明：对i n ，由于五是c s s 空间，设g i 是x 上满足引理2 2 4 的 g 函数对z x 及n n ，定义夕( 礼，z ) = 兀t 。x 易知 z 夕( n ，z ) ，且夕( n + l ，x ) c 夕( 礼，z ) ，礼n 若y x ，y 2 7 ，贝0 存在i n ，使 得盈y i ，由于 戤) = n g i ( n ，q ) ：n ) ，所以y i 譬n 吼( 钆，) ：礼) 这样存在几n ，使得玑簪夕t ( 礼，翰) 取仇= m a x i ，n ) ，则y 隹9 ( m ，z ) 这样 z ) = n g ( n ，z ) ：n ) 若x 中的序列 z 。 一y ，下证n g ( n ，。) ：n ) c 可) 令z 。= ( ：i ) ，y = ( 歇：i ) 。由于序列 z 。) _ y ，所以对每个i n ，序列 _ z i ：礼 _ y i 这样n 吼( n ，z ：) ：n n ) c 犰】假设存在z y ，z n 舀( n ，) ：仃) ，令z = ( z i ：i ) 则存在j n ，使得z 1 y 1 对于每个 礼n ，z 9 ( n ，z n ) ，于是有勺n g j ( n ，z i ) ：礼歹) 而 z i ：n 歹) 一y j ，贝4 有n 夕j ( n ，z i ) ：n j ) c y a ，这样乃= 协这与乃协矛盾假设不成立， 所以n 9 ( n ，z 。) ：n c 可 i 因此x 是c s s 空间 口 下面我们将证明具有拟g 6 ( 2 ) 对角线的空间是c s s 空间 定义2 2 6若空间x 存在开集族序列 己k ：n ) 满足：任意z ，y x ， 若z y ，存在礼n ，使得。s t 2 ( z ，) cx v ) ，则称( 碥：礼) 是x 的 拟g 5 ( 2 ) 对角线序列，称空间x 具有拟g 6 ( 2 ) 对角线 m m o h a m a d 在( 【2 8 】) 中给出了关于拟g ；对角线的一刻画，对于具有拟 g j ( 2 ) 对角线的空间，我们得到如下很有用的引理； 引理2 2 7若x 具有拟g 6 ( 2 ) 对角线，则存在开集族序列【碥：n ) ， 1 2 第2 章c s s 空间 使得任z x ，若z 不是x 的孤立点，则存在递增序列 礼m ( 。) ：m ) 满足 z 厶。十。( 王) - kz 厶。扛) ，m n 且_ z 】- = f l s t 2 ( z ，己厶。( z ) ) ：仇】 证明：设 k ：礼) 是x 的拟g ( 2 ) 对角线序列，对任一z x ，则 z ) = f l ( s t 2 ( z ，k ) ：n c ( z ) ) ，其中c ( z ) = n ：z uk ) 令n 。= b ：bcn ，b 0 ，l b l ( z ) ，i n 对每个礼n ，令域= 八 u ，( 工) ：i n ) ，则 城+ l n ：n 且n ( t ) n 。，满足w = ( z ) 这样我 们令心+ 1 = f ，死m + 1 。礼( ! ) ，于是磷幺+ 。= 阮。 因此存在递增数列 几，m ：m n 】cn 及_ n m ：m n ) cn ，使得坼，m = 碥。，m n 由于 z ) = n ( s t 2 ( z ，碥) ：m ) ，因此 z ) = n s t 2 ( z ，碥。) ： m ) 由于n 州1 n m 且n ，m + 1 n ，m ，因此坼_ + 。_ w ，这样玩。十- _ 。， m n 口 定理2 2 8若x 具有拟g 6 ( 2 ) 对角线，则x 是c s s 空间 证明：令_ ( ：n 是x 的拟g d ( 2 ) 对角线序列且满足引理2 2 7 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 对任意z x ，礼n ，定义夕( 礼，z ) 如下： ( 1 ) 若z u 且z 不是孤立点，令g ( n ，z ) = s t ( z ，玩) ； ( 2 ) 若z 是孤立点，令夕( 钆，z ) = z ) ； ( 3 ) 若z 簪u 且z 不是孤立点，令夕( 礼，z ) = x 令 ( n ，3 7 ) = n g ( i ，z ) ：i n 对于x 中的任意紧集c ，ccu ( ( 礼，z ) ： z c 】显然成立若y 岳c ，下证存在礼n ，使得y 岳u ( 几，z ) ：z e ) 反 证，假若对每个n n ，都存在奴c ，使得y 九( 礼，x n ) ，则 z 。：礼) cc 由于g 是紧集， z 。：竹) 存在聚点o ，且a c ，因此a y 对每个n n ，由于y g ( n ，x n ) ，因此z n 不是孤立点若a 是孤立点，则存 在礼l n ，使得z 。= a 因此g ( n t ，凸) = 9 ( n l ，z 。1 ) = o ) 由于y g ( n l ，z 。1 ) ， 因此y 9 ( n 1 ，o ) = q ) ，这样y = o 这与ygc 矛盾因此a 不是孤立点这样 n 与z 。都不是孤立点，其中n n 由引理2 2 7 ，存在递增数列 n 。( o ) ：m ) ，使得。+ 。( 。) _ 礼m ( n ) 即 有既。u 。( 。) 而x i 。不是孤立点，则有g ( n 。( q ) ，z ) = s t ( z t 。，碥。( 。) ) 由于 y ( i 。，z i 。) = n ( g ( j ，x i 。) ：j i m ) c 夕( n m ( o ) ，x i 。) ，所以y s t ( x i 。，z ，f n 。( 。) ) 令x i 。= y n m ( 。) ，因此y s t ( y 。( 。) ，乙厶。( 。) ) ，可。( 。) c 且可n 。( 。) s t ( a ，己f n 。( a ) ) 因此y s t 2 ( a ，玩。( 。) ) ，m n 而t o ) = n s t 2 ( n ，碥。( 。) ) ：m ) ，因此得出 秽= a ，矛盾因此存在n n ，使得y 盛u h ( n ，z ) ：z c ) ，即x 是c s s 空 间 口 1 4 第2 章c s s 空间 2 3 本章小结 根据半层空间的对偶定义给出了c s s 空间的对偶定义，但c s s 空间的对偶 定义又与半层空间的相区别，对偶算子并不是定义在整个空间拓扑上的，而是只 定义于开集的余集是紧集之上的我们利用该对偶定义证明了两个闭的c s s 空 间的并是c s s 空间；并在此基础上推出了可数个闭的c s s 空间的并是c s s 空 间象半层空间一样，我们利用c s s 空间的g 函数得出了c s s 空间满足可数可 积性在该章，我们利用m o h a m a d 对拟g 6 + 对角线的刻画方法对拟瓯( 2 ) 对角 线进行了刻画最后，得出了c s s 空间类的一个充分条件，即具有拟g 6 ( 2 ) 对 角线的空间是c s s 空间c s s 空间除了这些性质特点外，是否还具有其它的性 质，还有待于对其进一步的研究 1 5 _ 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章m c m 空间与半层空间的可数并 3 1 定义及结果 若x 是拓扑空间，( a n ) n 。和( b 。) n 印是x 中两序列集，如果a 。cb 。， n u ，贝4 记为( a 。) 墨( b 。) 定义3 1 1 ( 1 2 】) 如果存在算子己厂，对于空间x 的任一交为空集的递减闭 集列 d j b n 都对应一开集列u ( d 3 ) ) = u ( 死， 岛) ) ) 。e