（基础数学专业论文）有限单群的纯数量刻画.pdf

有限单群的纯数量刻画 基础数学专业 研究生：许明春 指导教师：施武杰教授 摘要 设g 是有限群，”。( g ) 表示g 中元素的阶的集合， ( ”。( g ) ) 表示满足条件 ”。( g ) = 心( 日) 的有限群廿的同构类类数，称 ( 7 r 。( g ) ) = h ( g ) 为g 的h 函数 群g 称为可用元素阶的集合刻画的群( 可分辨群，不可分辨群) ，如果h ( c ) = 1 ( 1s ( g ) 。c ，h ( g ) = 0 0 ) 在1 9 8 9 年，旋武杰教授提出了如下猜想 猜想设g ，日为有限群，h 为单群，则g = h 当且仅当( 1 ) ”。( g ) = ”。( 日) ，( 2 ) g j = 作者在第二，三节对上述猜想进行讨论，得到下面的定理a ，定理b 定理a 设g 为有限群，m ( q ) 为l i e 型单群2 巩( q ) ，n 4 或d d q ) ，其中f 为 奇数，l 5 则g = m ( q ) 当且仅当( 1 ) 7 r 。( g ) = n ( m ( q ) ) ，( 2 ) 1 c i = i m ( q ) _ 定理b 设g 为有限群，s 4 ( q ) 为辛型单群则g = s 4 ( q ) 当且仅当( 1 ) l r e ( g ) ”。( 函( 口) ) ，( 2 ) i g l = l & ( q ) | 上述猜想是用两个条件对有限单群进行刻画，而不少单群可仅用元素的阶的 集合这一个条件刻画，作者在第四节做了这方面的工作，得到如下定理： 定理c 设g 为有限群，l = l 3 ( 3 ( 2 ”一1 ) ) ，m 2 或者g 2 ( 3 “) 则g ! l 当且仅 当心( g ) = 。) 群g 的元素的阶之集合相同，即g 的循环子群的阶之集合相同在2 0 0 2 年， 日本数学家s a b e ，n i i y o r i 用可解子群的阶的集合代替循环子群的阶的集合，提出 如下问题： 四川大学博士学位论文 ( a b e i i y o r i ) 问题：设g 表示有限群 o r d ( s 训( g ) ) ：= g 的可解子群的阶之集合 假定s 为非a b e l 有限单群，且 o r d ( 只0 f ( g ) ) = o r d ( s 。“( s ) ) 那么g 是否同构于s ? 。 对上述问题的讨论，就散在单群作者在第五节证明了如下定理 定理d 设g 是有限群，s 是散在单群假定 0 7 d ( 只“( g ) ) = o r d ( s 捌( s ) ) 那么g ! s 关键词有限群，可解群，元素的阶，单群，同构，素图 四川大学博士学位论文 d o c t o rt h e s i s p u r eq u a n t i t a r r i v ec h a r a c t e r i z a t i o no f f i n i t es i m p l eg r o u p s s p e c i a l i t y ：p u r em a t h e m a t i c s c a n d i d a t e ：x um i n g - c h u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs h i i e a b s t r a c t g r o u p s c o n s i d e r e di nt h et h e s i s0 x ef i n i t eg r o u p sa n ds i m p l eg r o u p sa r en o n - a b e l i a n l e tgb eaf i n i t eg r o u p d e n o t eb y7 r e ( g ) t h es e to fa l lo r d e r so fe l e m e n t si ng b y ( 7 r e ( g ) ) t h en u m b e r o fi s o m o r p h i s mc l a s s e so fg r o u p sh s u c ht h a t7 r e ( 月。) = 7 r e ( g ) ，a n d b yl g lt h eo r d e ro f g a g r o u pg i ss a i dt ob ec h a r a c t e r i z a b l eo n l yb yi t ss e to fe l e m e n to r d e r s ( r e c o g n i z a b l e ，i r r e c o g n i z a b l er e s p e c t i v e l y ) i f ( 丌。( g ) ) = 1 ( ( 7 r e ( g ) ) 。， ( 7 r e ( g ) ) = 。 r e p e c t i v e l y ) i n1 9 8 9 ，p r o f e s s o rs h iw u j i ep u tf o r w a r dt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r e c o n j e c t u r e l e tgb eag r o u pa n dmaf i n i t es i m p l eg r o u p t h e ng ! m i fa n d o n l yi f ( 1 ) 17 r e ( g ) = 7 r e ( m ) ；( 2 ) l g l = i m t t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ea b o v ec o n j e c t u r ea n dp r o v e st h ef o l l o w i n gt h e o r e maa n d t h e o r e mbi ns e c t i o n2a n ds e c t i o n3 ： t h e o r e mal e tgb eag r o u pa n dm ( q ) al i et y p es i m p l eg r o u p2 d n ( g ) ，n 4o r d # ( q ) ，l 5 ，1o d d t h e n g ! m ( q ) i f a n d o n l y i f ( 1 ) 7 r 。( g ) = 7 1 e ( m ( q ) ) ；( 2 ) l g l = m ( g ) | t h e o r e mbl e tgb eag r o u pa n d 受( q ) af i n i t es y m p l e e t i cs i m p l eg r o u p t h e n g 2 & ( g ) i f a n do n l yi f ( 1 ) 。( g ) = 7 1 e ( 乳( g ) ) ；( 2 ) i g l = l s ( q ) i t h o u g ht h ea b o v ec o n j e c t u r ec h a r a c t e r i z e ss o m ef i n i t eg r o u p sb yt w oc o n d i t i o n s ， m a n y f i n i t eg r o u p sa r ec h a r a c t e r i z e db yo n l yt h es e to ft h e i re l e m e n to r d e r st h ea u t h o r o b t a i n st h ef o l l o w i n gt h e o r e mci ns e c t i o n4 ： 四川大学博士学位论文 4 t h e o r e mcl e tgb eag r o u pa n dl = l 3 ( 3 ( 2 ”1 ) ) ，m 2 ，o rg 2 ( 3 “) t h e n g!li fa n d o n l yi f f 。( g ) = 7 r 。( l ) n o t et h a t7 i ( ( l 3 ( 3 ) ) ) = p r o f e s s o rs h iw u j i ea n dp r o f e s s o rv d m a z u r o vg i v e f o u rp a i r so fg r o u p sgs u c ht h a t ( ”e ( g ) ) = 2 ： ( 1 ) l 3 ( 5 ) ，l 3 ( 5 ) 2 ；( 2 ) l 3 ( 9 ) ，l 3 ( 9 ) 2 1 ；( 3 ) s 6 ( 2 ) ，( ) 亭( 2 ) ；( 4 ) 0 7 ( 3 ) ，0 i - ( 3 ) i i lt h el a s ts e c t i o nt h ea u t h o rd i s c u s s e sa i lo p e np r o b e l e m ，w h i c hw a sp u ti b r w a x d b yj a p e n e s ep r o f e s s o rsa b ea n dp r o f e s s o rn i i y o r ii n2 0 0 2 ，a n dp r o v e s t h ef o l l o w i n g t h e o r e md p r o b e l e m ( a b e i i y o r i ) l e tg b eaf i n i t eg r o u pa n dsb ea nn o n a b e l i a ns i m p l e g r o u p a s s u m et h a tt h es e to r d ( s s 。f ( g ) ) o fo r d e r so f s o l v a b l es u b g r o u p so fgc o i n c i d e s w i t he r d ( s 删( s ) ) t h e ni sg i s o m o r p h i ct os ? t h e o r e mdl e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dsb eo n eo fs p o r d i cs i m p l eg t o u p s t h e n g ! s i fa n do n l yi ft h es e to r d ( s s 州( g ) ) c o i n c i d e sw i t ho r d ( s 8 州( s ) ) k e yw o r d s ：f i n i t eg r r o u p ，s o l v a b l es u b g r o u p ，o r d e ro fe l e m e n t ，s i m p l eg r o u p i s o m o r p h i cg r o u p ，p r i m eg r a p h s 四川大学博士学位论文6 术语和符号 本文中，我们使用以下术语和符号 所有的嚣郝是有隈群 字母g 总表示一个有限群 # 6 表示整数n 整除蘩数b 字母p 总表示一个素数纠| 6 表示p 整除b 而p 抖1 不整除b ， 对有限集合a ，川表示a 中含有的元素个数 设* 为鑫然数，* n ) 表示”中戆豢函子金俸缝液酶集合 设h n 为整数黩h 兰2 兰3 若( h ，) ( 2 ，6 ) ，则存在素数s 使褥s ( “一1 ) ，s 不整狳( h 。一1 ) ，z n 称素数s 为妒t 的本源素西子并记这弹豹s 为h 。这时 h 模8 的指数为n ，记h 模s 的指数为e x p 。( ) w a l t e r f e i t 称s 为关于( h ，n ) 的 z s i g m o n d y 索数。 对有限群g ，i g l 表示群g 的阶，”( g ) = ”( g i ) ”。( g ) 表示g 中元素的阶的集合，h ( 凡( g ) ) 表示满足条件凡( g ) = ( 日) 的有 限群娌的同构类类数，称 ( n ( g ) ) = h ( g ) 为g 的h 函数 群g 称为可用元素阶的集合刻画的群( 可分辨群，不可分辨群) ，如果h ( a ) = 1 ( 1 ( g ) o 。， ( g ) = 。) n ( g ) ：一 n n i g 有共轭类c ，使1 c = n ) ，即n ( g ) 为g 的共轭类类中元 素个数蛉集合， n ( g ) ：一( n i a 有极大子群m ，使1 g ：m 1 一) ，即7 1 t ( g ) 为g 的极大子 群鲍攒数组成鳃集合。 群g 的( 循环) 素图r ( a ) 定义如下：囤的顶点集为群g 的阶的所有素因子 组成黪集合，两令骥点p 裙g 钙攘，姿璺仪姿g 鸯p q 跨元素r ( a ) 懿连通分 支数厢t ( a ) 表示，连通分支用7 r i 表示，i = 1 ，2 ，若g 燎偶数阶群，我们总假 定2 7 i 孔8 ) 以整除关豢午乍成镳序集，乒( 回记这德序集f 回的极大元的集， 胁= m ( g ) = n 1 芦( g ) 1 使得的素因子在瓤 a r d ( s o r ( a ) ) ：= g 鲍胃解子嚣熬除之集合， 设a 是自然数集的某一子集，由a 可定义素图f = f a 如下： r 的顶点集矿一砖一佃：p 为素数，p in ，a a ，读点p ，q 连结当且仅当存 在o a 使得p q a 上面的量可以是某种群论性质，例如：幂零性，交换性，循环 子嚣，极大予群，等等 四川大学博士学位论文 我们取 s z ( a ) ：= h g1 日为一g 的量子群) 并且p 悬从踺( g ) 到n 的一映射： p ：s z f g l 4 n 昱- p 日) ) ， 7 本文考虑下面映射： o r d ( h ) = i h 因此p 的映像集p ( 是( g ) ) 是自然数集的子集，可定义p ( 魄( g ) ) 一豢图，我们穆之 为g 的( n 兰卜素胬，简称为g 的三一索图，记之为 r p ( s z ( c ) ) = r f p ，i ) ( g ) = r ! ( g ) t 凝撂以上怒剩，玫p 为浃射m d ，敬三为箨嚣子群瑟缮烈( p 。墓) 一素夔麓跫上 面的豢图r ( g ) ，即g 的循环素图，或元的阶之集合的索图 f ( g ) = r ( 。，d 删。) g ) = f q c ( g ) t 敬p 为浃射d ，取置为可解子群丽得到涵s ) - 素窝就是g 静可解素图 r f 胛d ，。蕊l ( g ) = r 8 耐( g ) 四川大学博士学位论文 1 引言 看 g 定 推 8 。! 墅j 乎有限警瞥定理完成后，不少群论学者试图用一些基本数量或参数对所 有有限单群一个整体的刻画 。 本文讨论如下一般性的问题： 设g ，m 为群，m 为一已知群，g ，m 某种数量关系一致，那么g ，m 关系如 何? g m 是否同构或差异多大? 关于这方面的研究成果，我们举几个有名的工作 在i 9 8 7 年，施武杰教授开辟了单群的纯数量刻画，提出了下面的猜想1 1 ，得 到j c t h o m p s o n 的肯定随后j g t h o m p s o n 又提出两个猜想，使这方面的研究 有了重大进展 若g 是有限群，令n ( g ) ：= n n i g 有共轭类c ，使 c l = n ，即n ( c ) 为 g 的共轭类类中元素个数的集合j g t h o m p s o n 在给施武杰教授的信中提出了 一个用纯数量刻画单群的猜想 ( t h o m p s o n ) 猜想设g ，m 为有限群，n ( g ) = ( m ) ，m 为非交换单群，又 z ( c ) = l ，则g ! m 在文 1 2 ，1 3 ，1 4 ，陈贵云教授证明了：当单群m 的素图分量数t ( m ) 2 时 t h o m p s o n 猜想成立 当t ( m ) = 1 时，t h o m p s o n 猜想尚未解决 若g 是有限群，令丌c ( g ) ：= k n g 有极大子群m ，使i g ：m i = ，即 7 1 - t ( g ) 为g 的极大子群的指数组成的集合 在文 3 1 ，黎先华教授证明了 定理1 1 设g ，s 为有限群，s 为单群，又 g i = l s l ，仉( g ) = 7 1 - t ( s ) ，则g = s 四川大学博士学位论文 用群的元素之集合和群的阶刻画单群 9 设g 是有限群， ( g ) 表示g 中元素的阶的集合，h ( t r 。( g ) ) 表示满足条件 ”e ( g ) = ( h ) 的有限群日的同构类类数，称 ( ”。( g ) ) = ( g ) 为g 的h 函数 群g 称为可用元素阶的集合刻画的群( 可分辨群，不可分辨群) ，如果 ( g ) 1 ( 15h ( g ) 0 0 h ( a ) = o o ) 在文 4 4 中，施武杰教授提出了如下猜想： 猜想1 1 设g ，h 为有限群，日为单群，则g ! h 当且仅当( 1 ) ”。( g ) ”e ( 日) ，( 2 ) i g l = i h l 上述猜想作为一个未解决的群论问题已载入文 3 8 问题1 2 3 9 文 4 4 ，4 7 ，4 8 ， 6 4 ，6 5 ，6 6 ，l o 证明了上述猜想对除阶大于1 0 8 的辛群，正交群以外的所有单群都 成立， 我们在第二，三节对猜想1 1 进行讨论，得到下面的定理a 定理b 定理a 设g 为有限群，m ( q ) 为l i e 型单群2 d ，。( q ) ，n 4 或d l ( g ) ，其中f 为 奇数，l 5 则g = m ( q ) 当且仅当( 1 ) n ( g ) = 7 r e ( ( q ) ) ，( 2 ) l c l = m ( q ) l 定理b 设g 为有限群，8 4 ( g ) 为辛型单群则g = s 4 ( 口) 当且仅当( 1 ) ”。( g ) = 7 r 。( s 4 ( q ) ) ，( 2 ) i g i = j 5 4 ( q ) 1 因此，这方面的研究成果总结为下面定理 定理1 2 设g 为群，m 为下述单群之一： ( 1 ) 散在单群； ( 2 ) 交错群； ( 3 ) 除风，d 。外的l i e 型单群； ( 4 ) q ( g ) = & ( q ) ； ( 5 ) d 。( q ) ，其中n 为奇数； ( 6 ) 【m i 3 l lq = 3 ，3 2 m ，p r o , ，p 3 为素数| 。 ll 2 ll 1 jl 2 j 1 lf 1 g 2 ( 4 )i 1 2 g 2 ( 2 2 “) l l 1 最( 2 )| t 2 段( 2 2 讯机) |m 2 1 2 f 4 ( 2 ) l1 2 e 6 ( 2 ) i 1 s p o r a d i c 群lg 五 l 1 1 2 挂 妒 四川大学博士学位论文1 3 引理5 2 3 指出条件( + + ) 蕴涵f g f = 俐，是解决( a b e i i y o r i ) 问题的突破性 引理文 1 】没有得到如下引理5 2 3 引理5 2 3 设g 表示有限群，s 表示非a b e l 有限单群假定 那么i g i = i s o r d ( s 。l ( g ) ) = 0 7 d ( 只o f ( s ) ) - ( * t ) 定理d 的证明的基本思路：由 9 的有限群的a t l a s ，得到散在单群s 的可解 素图的信息，应用引理5 2 2 分析g 的单截断，使用单群阶的a r t i n 定理，比较群 阶；必要时使用f r a n t i n i 论断分析群的结构，使用f r o b e n i u s 群的数量性质，从 而排解一些别的情形最终由单群分类定理得要证明的结论 在研讨单群的纯数量刻画过程中，分析单截断都要使用下面的单群阶的a r t i n 定理( 引理2 2 1 0 ) ，以后的证明中不再赘述 四川大学博士学位论文 1 4 2 用元素的阶的集合和群的阶刻画单群2 d 。( 口) ，d z ( g ) 其中f 为奇数 2 1 引言 在本节我们证明下面的定理a 定理a 设g 为有限群，m ( q ) 为l i e 型单群2 d 。( q ) ，n 4 或d f ( q ) 其中1 为 奇数，l 5 则g = m ( q ) 当且仅当( 1 ) n ( g ) = ”。( m ( q ) ) ，( 2 ) i g | = l m ( g ) j 2 2 一些引理 首先，我们有数论引理 引理2 2 1 设h ，为整数且h 2 ，n 3 ，若( ，n ) ( 2 ，6 ) ，则存在素数s 使得 s i ( h “一1 ) ，s 不整除( h 。一1 ) ，i n 证明见文 7 9 定义称满足引理2 2 1 的素数s 为h “一1 的本原素因子并记这样的s 为h 。 这时h 模s 的指数为n ，记h 模s 的指数为e x p 。( 在文 1 8 中，w a l t e r f e i t 称s 为关于( h ，n ) 的z s i g m o n d y 素数这种素数与 l i e 型单群的阶有重要联系 f 面引理是所要讨论的单群的元素的阶部分信息 引理2 2 2 设q = 2 “，4 n = p t ：p 1 为素数，p f l ( 2 “一1 ) ，e x p p 。( 2 ) = 2 r a n ， 乃= p 2 ：p 2 2 素c g ，p 2 1 ( 2 2 ”( “一1 ) 一1 ) ，e x p p 。( 2 ) = 2 m ( n 1 ) 则有2 p i e ，r 。( 2 d 。( q ) ) ，p i 丑，( i = 1 ，2 ) 证明设g = 2 d 。( q ) ，q = 2 “，n 4 在文 2 8 定理1 的证明中的情形( 5 ) ， 已经列出全部对合的中心化子的阶，足以判定在素图与2 的连接情况设。，t 。，0 四川大学博士学位论文 是g 的全部对合共轭代表系，记瓯= c c ( t k ) 其中1sksn 贝4 有r = 2 州2 ，并 且 ”( q ) = ”( q 2 ( g ) 2 d 。一f ( q ) ) ，当“是型也( 1 2 n ，f 为偶) ， ”( g ) = ”( q f 一2 ) 2 ( q ) g f ( q ) ) 当“是型a ( 1 l n ，f 为偶) 由此可以看出 ”( i c k l ) = 7 r ( g 一2 ( 口) ) = ”( 21 - i ( q “一1 ) ) l rl 曼z n 一2 因此2 p 。毛n ( 2 d 。( q ) ) ，p 。互，( i = 1 ，2 ) 引理2 2 3 设q = 2 “，n 4 ，n 为奇数 五= p l ：p l 为素数，p t l ( 2 ”一1 ) ，e x p p 。( 2 ) = m n ) ， 噩= p 2 ：p 2 为素数，p 2 i ( 2 2 “( “。) 一1 ) ，c x p p 。( 2 ) = 2 m ( n 1 ) ) 贝0 有2 p 百7 r 。( d 。( q ) ) ，p i 置，( i = 1 ，2 ) 证明在文 2 8 定理l 的证明中的情形( 4 ) ，已经列出全部对合的中心化子 的阶，足以判定在素图中与2 的连接情况类似于引理2 2 2 容易验证结论成立必 须指出的是，n 为奇数的条件是必要的换言之，当n 为偶数时，2 p 2 t r 。( 巩( g ) ) ， p 2 t 2 ；但当n 为偶数时，2 p 1 f i e ( 风( g ) ) 如下引理2 2 5 和2 2 6 引理不能如引理2 2 2 和引理2 2 3 直接由相关文献得 到为了证明这两条引理需要下面一些预备知识 下面三条引理的符号取自文献 7 5 x 表示有限域g f ( q ) 上的向量空间y 的 非奇异线性变换或非奇异矩阵= ( t ) 表示有限域g f ( q ) 上的异于t 的首一 不可约多项式表示的次数m ( 妒) 表示x 的初等因子扩的重数设 曲( t ) = a 。+ o l 1 t + + t r 是g f ( q ) 上的首一多项式，使得咖( o ) = o o 0 ，我们定义 如下首一多项式( 其零点为咖( t ) 的零点的倒数) 孑( t ) = ( a o ) 一1 矿咖( t 一1 ) = o i l 十+ 。i l a l t 一1 + t 易见，如果庐( t ) = ( t ) ，( t ) t 土1 ，则有2 l 我们在此列举典型群的阶的公式，比较典型群和l i e 型群的记号 g l ( n ，q ) l ：口n ( “) 2 ( 矿一1 ) t 2 n 四川大学博士学位论文1 6 i g u ( n ，r 2 ) l = r “( “2 ( r 。一( 一1 ) 。) ， ( 2 ) l i s n 其中g u ( n ，r 2 ) 是一般酉群，u n o ) 是酉型单群 i s p ( 2 n ，q ) l = q 7 。n ( q 班一1 ) ( 3 ) 1 9 “ 其中s p ( 2 n ，q ) 是2 n 一维辛群，& 。( g ) 是辛型单群 i g o + ( 2 n ，q ) l = 2 q “”一1 ( q “一1 ) ( 9 2 。一1 ) ， ( 4 ) l 。兰n l 其中g o 十( 2 n ，q ) 是2 n 维一般正交群，w i t t 指数为n ，d 去。( q ) 或d 。( q ) ( l i e 记号) 表示对应的单群 g o 一( 2 n ，q ) l = 2 q “( “一1 ( 矿+ 1 ) i i ( q “一1 ) ， ( 5 ) l 茎2 ”一1 其中g o 一( 2 n ，q ) 是2 n 维一般正交群，w i t t 指数为n 一1 0 7 ( q ) 或2 巩( g ) ( l i e 记 号) 表示对应的单群 g o ( 2 n + 1 ，q ) l = 2 q 矿( q “一1 ) ， ( 6 ) l 三l 兰” 其中g o ( 2 f t + 1 ，q ) 是( 2 n + 1 ) 一维一般正交群，o z 。+ 1 ( q ) 或b n ( q ) ( l i e 记号) 表示 对应的单群 为方便起见，约定：当n 为偶数，g o ( n ，q ) 表示g o + ( n ，q ) 或者g 0 1 n ，q ) ；当 n 为奇数，g o + ( n ，q ) = g o 一( n ，q ) = g o ( n ，口) 引理2 2 4 设d 是有限域g f ( q ) ，其中q = p o ，p 为奇素数 ( 1 ) x 相似于g o ( n ，q ) 中某一矩阵，当且仅当 ( a ) x x ”1 ，即m ( 妒) = m ( 妒) 对所有晚一 ( b ) x 的每一初等因子( t - 4 - 1 ) 2 有偶重数 进一步，设n 是偶数，而且条件( a ) ，( b ) 成立如果x 的所有形如0 土1 ) 2 1 的初 等因子具有正重数，则有x 相似于g o 一( n ，q ) 的某一矩阵，且相似于g o + ( n ，q ) 的 某一矩阵；如果x 无形如( t - 4 - 1 ) 2 + 1 的初等因子，则x 相似于g o 一( t i , ，q ) ( g o + ( n ，q ) ) 的某一矩阵，当且仅当，“u r n ( 妒) il ( m o d 2 ) ( e 口，“肛m ( 妒) = 0 ( m o d 2 ) ) ( 2 ) 设x g o 一( n ，q ) 或g o + ( n ，q ) 记 a ( 妒“) = l g u ( m 。，q ) 1 ( 妒= 孑) 或l g l ( m “，q ) 1 1 2 ( 孑) ( t 士1 ) ； 四川大学博士学位论文1 7 a ( 矿) = i c o ( r q ) l ( = t 1 ，p 奇数) 或q 一 i s p m “，q ) i ( 西：t 士1 , f f 偶数) b ( ) = q v # m r * m - - ( 一( “曲l ：a ( ( 7 ) p 其中g o ( m p ，g ) 是正交群，对应的h e r m i t i a n 不变量为赃( x ) ，q = q l ( c , l ，m 。= m ( 妒) 则有在g o 一( n ，q ) 或g o + ( n q ) 中x 的中心化子的阶为 i c ( x ) l = b ( 咖)( 8 ) o 证明见文 7 5 l5 2 6 情形( c ) 的( i ) 和( i 7 ) 引理2 2 5 设q = p “，p 为奇素数，l 4 乃= p l ：p 1 为素数，p l l p 2 “一i e x p p l ( p ) = 2 r o t ， t 2 = p 2 ：p 2 为素数，p 2 1 p 2 “一1 ) 一1 ，e x p p 2 ( p ) = 2 m ( 1 1 ) ) 贝有p p i e t r 。( g o 一( 2 1 ，g ) ) ，p 。置，( i = 1 ，2 ) 和p p ，- 暮t r e ( 2 d ! ( 口) ) ，p 。蜀，( i = 1 2 ) 证明首先，我们有 i c o 一( 2 z ，q ) l = 2 一( 1 - - 1 ) ( q 。+ 1 ) i i ( g “一1 ) 1 及m ( 妒) 一1 ，弘一1 ， 得到p 不整除i b ( 西) l 由此可见p 不整除i x l 最后霉戮p p i g r c e ( g o 一( 2 1 ，g j ) ，融曩，i 一1 ，2 ) ，粥善( 2 d ( g j ) ，张霉，( i = 1 ，2 ) 则 g f 理2 2 6 设q = p ，p 为奇素数，f 4 ，l 为整数 聂= p 1 ：p l 为素数，p l | p “一i ，e x p p ：酾一m l ， 噩= p 2 ：p 2 为素数，p 2 p 2 ( 1 _ 1 ) 一1 e x p p 。( p ) = 2 m ( i 1 ) 1 p 魏毛# 。( g 0 + ( 2 ，4 ) 葶瑟p p 2 9 n 。( d t ( q ) ) ，其审p 2 砭。 ( 2 ) 当为奇数时，p p l 鼋丌e ( g o + ( 2 1 ，q ) ) 和p p l - 芒v ：。( d f ( q ) ) ，其中p l 噩 证明首先，我们有 l a o + ( 2 1 ，q ) i 一2 q 2 2 一( q 。一1 ) 1 1 ( g 瓠一1 ) l s i 茎 一1 设x g o + ( 2 t ，g ) ，p l l l x i 或p 2 1 1 x l ，鼽置，( = l ，2 ) ，其中i x l 焱示x 在 g o + ( 2 t ，曲中x 鲍狳我靛燎淡露p 不嫠狳 x i 其方法是出公式( 8 ) 计簿l c ( x ) l 。 对所有，利用公式( 7 ) ，只须证明p 不整除b ( 西) 瘫线瞧代数黧謦 ，x 辐蔼于短箨m ，褥掰楚难一一维稿等困予妒静为 o f ( q ) m 上的不可约多项式) 的伴随方阵的童和如果不计护的伴随方阵在m 的 主对燕装上鳇次彦，剿掰是唯一礁定麓。 四j i 大学博士学位论文 1 9 ( z ) 设x g o + ( 2 l ，q ) ，p 2 l l x i ，其中p 2 t 2 如果m 的每直和项的阶至多2 l 一3 那么p 2 不整除i x 【 下面我们假设m 的某一直和项的阶至少2 l 一2 由引理2 2 4 ，可以推知廿= 孑，m ( 妒) = 1 ，肛= 2 l 一2 ，或2 1 ，对x 的某一初等因子妒否则，咖石或m ( 杪) 1 m 的每直和项的阶；，这与假设相矛盾进一步，由孑的定义及= 石制 l 还 有2 恻我们有肛= 1 否则，p 2 ，得到p 2 不整除i x l ，这与假设相矛盾由公式 ( 2 ) ，( 7 ) 及m ( 妒) = l ，肛= l ，得到p 不整除l b ( ) l _ 情形( 1 ) 如果= 2 1 2 ，则有x 的另外的初等因子有下列可能情况： ( 1 ) 毋l = t4 - l ，m ( 曲1 ) = 2 ，p 不整除i b ( 咖1 ) 1 ( 2 ) 咖1 = t + 1 ，m ( 妒1 ) = 1 ：2 = t 一1 ，m ( 曲2 ) = 1 ；p 不整除l b ( 事1 ) | ，p 不整除i b ( 咖2 ) | ( 3 ) 咖i = t a ，m ( 咖1 ) = 1 ，石= t a ，m ( 孑1 ) = 1 ，a 士l ：p 不整除l b ( 九) i ， p 不整除i b ( e t ) | - f 4 ) 咖1 = 孑1 ，j 声l 】= 2 ，”l ( 咖1 ) = 1 , p 不整除j b ( 咖1 ) j 对上述四种情况，由公式( 7 ) 得到p n 整除i x l 情形( 2 ) 如果= 2 l ，则有x 只有唯一的初等因子由公式( 7 ) 及m ( 缈) = 1 肛= 1 得到p 不整除i b ( 咖) | 由此可见p 不整除i x l 最后，得到p p 2 - g r r 。( g o + ( 2 l ，g ) ) ，p 2 t 2 ，卯2 乏”。( d f ( q ) ) ，p 2 t 2 ) 设x g o 。( 2 a ，q ) ，p l i l x i ，其中p l n 如果m 的每直和项的阶5f 一1 ，则有p 1 不整除i x l 下面我们假设m 的某一直和项的阶至少1 首先我们假设m 的某一直和项的阶至少f + 1 由引理2 2 4 ，可以推知= 石，2 1 1 咖t ，m ( 护) = 1 ，f + 1s 卢s2 1 对x 的某一初等因子缈 我们在此处用l 为奇数，可以得到肛= 1 否则，有p 2 ，可以推出 f ， 进而p l 不整除i x l ，这与假设相矛盾 下设p = l ，p l i ( q l l 一1 ) 令d = g c d ( 1 ，) 有p t l ( q 4 1 ) 由引理2 1 l 可以推 出= 2 1 进而，p 不整除i x | 四川大学博士学位论文 我们又设m 的某一直和项的阶为f 由引理2 , 2 4 ，可以推出毋孑，”t ( 妒) = 1 ，p = f 因p t i l x i ，则p = 1 由公式( 1 ) ，( 7 ) ，得到p 不整除i x | - 最后，有 即l 芒仃e ( g o + ( 2 l ，q ) ) ，p l 丑，p p l e 7 r 。( d t ( q ) ) ，p l n 注1 证明中用到f 为奇数的假设，上述结论对f 为偶数不成立 注2 引理2 2 3 ，引理2 2 6 在证明定理2 4 2 ，定理2 4 3 起了关键作用因此 当n 为偶数时，对d 。( q ) 的猜想暂时不能解决 引理2 2 7 设g = g l 。( g ) ，q = p “，其中p 为一素数则有g 的p 一元素的最 高阶pk l o g p “，其中l 刮表示z 的最小整数 证明见文 1 0 的引理1 8 引理2 2 8 设g 为有限单群2 2 | | i g i ，且l g l 2 弘，则有g 为下列之一单 群： ( 1 ) 特征为2 的l i e 型单群或者2 f 4 ( 2 ) ( = 1 1 ) ； ( 2 ) l 2 ( r ) r = 2 8 + 1 为一f e r m a t 素数( = s = 2 ) 或r = 2 8 1 为一m e r s e n n e 素数( k = 5 ) ； ( 3 ) a 6 ( = 3 ) ，( 3 ) ( 自= 5 ) ，a s ，a 9 ，m 1 2 ，u 3 ( 4 ) ( k = 6 ) ，a 1 0 ，m 2 2 ，以( = 7 ) ，h s ( k = 9 ) ，尬4 ( 女= 1 0 ) ，s u z ( k = 1 3 ) ，r u ( k = 1 4 ) f i 2 2 ( k = 1 7 ) ，c 0 2 ( k = l s ) ，c o i ( k = 2 1 ) ，或b ( 女= 4 1 1 证明见文 6 0 的引理2 注3 在文 6 0 有一印刷错误，a s 在文 6 0 】的引理2 被遗漏 引理2 2 9 设g 为有限单群p | | i g ，且l a l g k 一1 吼= 1 是g 的正规群列，而g g 件t 是c c t 1 的极小正规子群 于是，存在某一i 使得7 r ( g 。) n 1 1 ，1 3 = 0 且”( g ) nf l l ，1 3 0 令g = n ，g i 一1 = 日于是有g2 日 n 1 是g 的正规群列，并且 h + = 驯是g + = g ，的极小正规子群进一步，7 r ( ) n 1 l ，1 3 = 0 且”( 日) n ( 1 l ，1 3 ) 0 因7 r ( 日) n 1 1 ，1 3 0 ，我们有1 1 7 r ( 日) 或1 3 7 r ( 日) 我们将证 明1 1 ，1 3 皆在”) 不失一般性，我们考虑1 3 7 r ( 日) 而l l 毛轩( 日) ，另一种情形可 类似考虑因而儿7 r ( g 日) 设p 是日的一s y l o w1 3 子群，俐= 1 3 我们有 g = 舀( p ) 日日! n a ( p ) ( g ( p ) n 日) ，由f r a t t i n i 论断于是1 l 7 r ( 舀( p ) ) 园 g 没有阶为1 1 - 1 3 ，g ( p ) 有一子群，阶为1 1 1 3 ，且为f r o b e n i u s 群因而1 1 l ( 1 3 1 ) ， 矛盾我们得到1 1 ( 日) ，当1 3 ”( h ) 同样，我们得到1 3 7 r 旧) ，当1 1 7 r ( 日) 所以，l l t l 3 | | 日+ | 进一步，h + = h 是伊= g i n 的极小正规子群，日+ 为同构 单群的直积，而h + 无1 1 1 3 阶元，只能有日4 是单群因1 日+ l 曼l g l ，1 11 3 | | h + i ， 检查单群阶( 见文 9 】) ，日4 仅为2 d 6 ( 2 ) 最后，得到g = 2 d 6 ( 2 ) 定理2 3 3设g 是一群，则g12 仇( 2 “) ，n24 ，当且仅当( 1 ) 7 r 。( g ) = 7 r 。( 2 d 。( 2 “) ) ；( 2 ) l g l = 1 2 d 。(