（基础数学专业论文）完全广义混合隐拟似变分包含与混合变分不等式解的算法.pdf

完全广义混合隐拟似变分包含与 混合变分不等式解的算法 基础数学专业硕士研究生倪如俊 指导教师邓磊教授 摘要 最近几年，d i n g ，h o n g - k u nx u 和n o o r 等国内外学者对变分不等式近似解的计 算的有效迭代算法进行了许多的研究，并且分析了这些算法的收敛性本文力图用 辅助变分不等式技巧和c q 方法分别讨论一类完全广义混合隐拟似变分包含问题和 一类混合变分不等式问题的近似解 主要结果如下： 1 我们较系统全面的介绍变分不等式理论发展的历史背景，研究现状以及本文 所做的工作 2 对解完全广义混合隐拟似变分包含问题，应用辅助变分不等式技巧，提出预 测一矫止迭代算法通过引入单值映射的旷偏松弛倒矿强单调性和集值映射的关 于h 的g 一偏松弛强 单调性的概念，证明了由这个算法所产生的迭代序列的收敛性 3 对混合变分不等式问题，我们提出c q 迭代算法，并且证明了由c q 迭代算法 所产生的序列是强收敛于它的解的 本文的结果是对以往一些相应结果的改进和推，“ 关键词：完全广义混合隐拟似变分包含问题预测一矫正迭代算法9 一偏松弛 倒矿强单调性关 - t - h l 构g - 偏松弛强q 单调性c q 方法 a b s t r a c t a l g o r i t h m sf o rc o m p l e t e l yg e n e r a l i z e d r r 矗x e di m p l i c i tq u a s i v a r a t i o n a l l i k e i n e l u s l o n sa n qm l x e qv a r l a t l o n a ll n e a u a l l t v s p e c i a l i t y ：f u n c t i o n a la n a l y s i s a u t h o r ：r u - j u nn i s u p e r v i s o r ：p r o f l e id e n g a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，e f f i c i e n ti t e r a t i v ea l g o r i t h m st oc o m p u t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s o fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yh a v eb e e ns t u d i e db yd i n g ，h o n g - k u nx u ，n o o ra n do t h e r a u t h o r sa th o m ea n da b r o a d t h e ya l s oa n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v e a l g o r i t h m s t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st 0m a k ed i s c u s s i o nan e wc l a s so f c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n sa n dm i x e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yb ya p p l y i n gt h ea u x i l i a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt e c h n i q u ea n d c qm e t h o d t h et h e s i si sc o m p o s e do ft h r e es e c t i o n s f i r s t ，w es h o wt h er e a lb a c k g r o u n d o ft h ep r o b l e m sw es t u d ya n dt h em a i nw o r k st h a th a v eb e e ns t u d i e db ym m l ya n - t h o r s w ea l s oi n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o na n dt h em a i nr e s u l t si nt h i sa r t i c l e s e c o n d ，p r e d i c t o r - c o r r e c t o ri t e r a t i v ea l g o r i t h mi ss u g g e s t e df o rs o l v i n gc o m p l e t e l y g e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o np r o b l e mb ya p p l y i n gt h e a u x i l i a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e b yi n t r o d u c i n gt w oc o n c e p t so fg - p a r t i a l l y r e l a x e dr e v e r s a l 矿s t r o n g l ym o n o t o n i c i t yo fs i n g l e - v a l u e dm a p p i n g sa n dg - p a r t i a l l y r e l a x e ds t r o n g l y 口m o n o t o n i c i t yw i t hr e s p e c tt oho fs e t v a l u e dm a p p i n g s ，w ep r o v e t h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db ys u g g e s t e di t e r a t i v ea l g o r i t h m i nt h el a s ts e c t i o n ，c qi t e r a t i v ea l g o r i t h mi ss u g g e s t e df o rs o l v i n gm i x e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r o b l e m t h e nw ep r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ec qm e t h o d h ia 1 1 t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h ep a p e rg e n e r a l i z ea n du n i f yk n o w nr e s u l t si n r e c e n tl i t e r a t u r e f ； k e y w o r d s ：c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k ei n - c l n s i o n s ；p r e d i c t o r - c o r r e c t e ri t e r a t i v ea l g o r i t h m ；g - - p a r t i a l l yr e l a x e dr e v e r s a lf r s t r o n g l ym o n o t o n e ；g p a r t i a l l yr e l a x e ds t r o n g l y ”m o n o t o n ew i t hr e s p e c tt o ；c q m e t h o d 独创性声明 学位论文题器：塞垒盖鎏垒毽赵夔窒金鬣金童鎏佥囊金丕笠塞勰 数簋洼 本人声明所呈交的学位论文憋本人在导师指导下进行的研究工 佟及取褥麓磷究成采。据我所知，除了文中特魏翻教标注鞫致滚翡遗 方外，论文中不包含其他人已经发袭或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 阕工终懿慝恚对本磺究蘑徽酶经侮贡献均激在论文中俸了羁臻的 说明并表示谢意。 学位论文穆袭： 涩枣链签字疆朝：弦醇年j t 月2 弓疑 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被套阕秘氆阕。本人授投嚣南大学蚕贾究生院可以将学位论文懿 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保蜜懿学位论文在解密蓐逶月零授权书，本论文：强不器密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：儡拓馒导师签名：磐侈凌 。 签字嚣期：j 0 0 7 年1 夸月j 号基 签字基期：7 唧每窖月穹嚣 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：耍塞立陵逝垣盘腿属生堂电话： 遵讯地址：委塞壹鍪堡遗整! ! ! 篷邮编： 12 生z e ! i ! ! i 1 7 l 0 0 6 l 第1 章引言与预备知识 第1 章引言与预备知识 1 1引言 研究变分不等式近似解的计算的有效迭代算法和分析这个算法的收敛性是变 分不等式理论中的一个重要而有趣的问题下面我们叙述与本文密切相关的一些 算法方面的研究现状和本文所做的工作 d i n g 在【l l 中应用辅助变分不等式技巧，介绍并研究了h i l b e r t 空问中的一类广 义混合似变分不等式问题： 设日是一个实h i l b e r t 空间，其巾l 和( ，) 表示范数和内积，c ( 日) 是h 中的所有 非空紧子集所构成的集族设t ，a ：h c ( h ) 是集值映射，n ，7 7 ：h h 一日是 单值映射，妒：h 一( 一，+ o o l 是实泛函，求z h ，“t ( z ) 和口a ( z ) 使得 ( n ( u ， ) ，o ( u ，z ) ) + 妒( ) 一妒( z ) 0 ，v y h ( 1 1 1 ) 通过引入偏松弛矿强单调性的概念，证明了由预测一矫正迭代算法所产生的迭 代序列的收敛性 作为推广，d i n g 在 2 】中利用辅助变分不等式技巧和偏松弛矿强单调性的概念 介绍并研究了h i l b e r t 空间中的一类广义混合拟似变分包含问题d i n g 在【3 1 中通过 引入g 偏松弛强单调性的概念，利用辅助变分不等式技巧研究了h i l b e r t 空问中的 一类广义非线性混合变分不等式问题 受以上文献的启发，本文在第二章中研究一类h i l b e r t 空间中的完全广义混合 隐拟似变分包含问题： 设h 是一个实h i l b e r t 空间，其中i i i l 和( ，) 表示范数和内积，e ( 日) 是日中的所 有非空紧子集所构成的集族设a ，b ，c ，d ，e ：h c ( h ) 是集值映射，n ：hx h x h _ h ，q ：hx h 一日和g ，h ：h 一日是单值映射，妒：h x h r u + o 。 是一个实值函数，w 是h 中预先给定的一个元考虑下面的完全广义混合隐拟似变 分包含问题：求z h ，a a ( 9 ( z ) ) ，b b ( z ) ，c c ( 。) ，d d 扛) 和e e ( z ) 使得 ( a n ( b ，c ，d ) + w + ( e ) ，叩( g ( 暑，) ，g ( z ) ) ) l p ( 9 ( z ) ，g ( z ) ) 一妒( 9 ( ) ，9 ( z ) ) ，v g ( 可) h ( 1 1 2 ) 通过引入单值映射的旷偏松弛倒矿强单调性和集值映射的关于 的g 一偏松弛 强口单调性的概念，证明了南预测一矫正迭代算法所产生的迭代序列的收敛性 与问题1 1 1 比较，问题1 1 2 将变分不等式推广为完全广义混合隐拟似变分包 含，并且将偏松弛矿强单调性和9 一偏松弛强单调性的概念推广为旷偏松弛倒矿强 单调性的概念利用辅助变分不等式技巧建立了一种解决该变分不等式问题的预 测一矫正算法，并证明了所得到的序列是强收敛于它的解的 2 0 0 6 年，n a k a j o 和t a k a h a s h i 4 在h i l b e n 空间中研究了一类迭代程序： i t , 0 c l y n = q 。z 。+ ( 1 一) t z 。 g = z c ：i l 一。0 i i x 。一。i i ( 1 1 3 ) iq 。= z c ：( z 。一。，：t o z 。) o ) ix n + l3p c r w 2 x o 令o t nc 【0 ，口) 对某一个a 【0 ，1 ) ，忍表示日到它自身的一个闭凸子集c 上的度量投 影 由于每一步m a n n 迭代都被使用于构造集合c ；和q 。，而g 和q 。被使用于构造 下一个迭代z 。+ 1 因此将这种迭代程序( 1 1 3 ) n q 做m a n n j 塞代程序的c q 方法 2 0 0 6 年h k x u 5 】把n a k a j o 和t a k a h a s 拘迭代程序【4 】推广为i s h i k a _ a 迭代程 序并且提出近似点算法( r o c h a f e l l a r 6 ) 的c q 迭代程序，用于在h i l b e r t 空f u q 中找 到极大单调算子的一个零解 1x o c ly n = o t 。x n + ( 1 一o ) j 0 ( z 。+ e 。) ( = c ：l i 玑。一训1 2s0 一u l l 2 + 2 ( 1 一n 。) ( z 。一口，e 。) + l i e 。1 1 2 1 ( h = 口c ：( z 。一口，知一z 。) o ix n + l = p c n 钆z o ( 1 1 4 ) 令五表示a 的预解算子c 0 ) 和 e 。) 是误差序列 受以上文献启发，本文在第置章中，通过应刖h k x u 5 的思想，c q 迭代算法被 建议用来解决混合变分不等式问题，我们证明了由c q 迭代算法所产生的迭代序列 的收敛性，我们的c q 方法统一和推广了相应的结果 47 】 1 - 2 文献综述 变分不等式最早起源于1 9 6 6 年g u i d os t a m p a c c h i a 的一篇研究椭圆泛函微分方 程的文章i s l 中此后，c o t t l e 、l i o u s 、b r o w d e r 、k yf a n 等人在变分不等式和互补 问题上做出了大量的工作随着变分不等式理论的日趋完善，它在力学、经济、交 通运输、运筹学、优化与控制理论、微分方程问题、非线性规划等方面都有广泛 的应用变分不等式理论已成为当前数学方法中非常有效的数学工具之一，其应用 也不断拓广，形成一个颇具规模的体系 2 1 3 预备知识 众所周知，投影方法、预解算子技巧、，卜近似映射技巧和关于( 日，目) 一单调算 子的预解算子方法( 文献【9 _ 1 4 】) 可以用来解变分不等式问题可是，预解算子的估计 本身就是一个困难的问题，而且要求算子一定是强单调和l i p s c h i z t 连续的为了克 服这些缺陷，就激励我们去发展辅助原则技巧来研究各种( 广义) 非线性混合变分不 等式的解的迭代算法和存在性，可见文献1 ，2 ，3 ，1 5 - 2 2 1 最近几年，d i n g 1 - 3 和n o o r 1 6 - 2 1 应用辅助原则技巧，提出了一种新的预解一 矫正迭代算法来解决一般的混合拟变分不等式和广义混合拟似变分不等式问题 并证明了由这个算法所产生的迭代序列的收敛性2 0 0 6 年，n a k a j o 和t a k a h a s h i 4 1 在h i l b e r t 空间中提出了一类m a n n 迭代程序的c q 方法同年，h k x u 5 应用该方法 提出近似点算法( r o c h a f e l l a r 6 ) 的c q 迭代程序，在h i l b e r t 空间中找到了极大单调 算子的一个零解， 本文第二章研究了完全广义混合隐拟似变分包含问题解的预测一矫正算法；第 三章研究了混合变分不等式问题解的c q 迭代算法 1 3 预备知识 为了叙述方便，我们简单的介绍一下相关的概念和结果 定义1 3 1 2 3 】设b ，c ，d ：h c ( 日) 是集值映射，n ：hx 日xh 一日， 叩：hxh 日和g ：h 一日是单值映射称( ，) 关丁相对于b 的第一个变 量是g 一偏松弛倒矿强单调的，如果存在一个常数o 0 ，使得v x ，y ，z eb l b ( z ) ，6 2 b ( ) ，有： ( n ( b l ，) 一n ( b 2 ，) ，u ( g c v ) ，g ( z ) ) ) 2 一q i l 9 ( z ) 一g ( z ) l t 2 类似地，给出( ，) 分别关于相对于c 的第二个变量和相对于d 的第三个变量 的g 一偏松弛倒俨强单调性的定义 如果对任意的b ，c ，d h 都有n ( b ，c ，d ) = 一l ( 6 ，c ) 和对任意的z ，y 都 有q ( z ，y ) = 一q ( ，z ) 那么定义1 3 1 可以导出下面的映射( ，) 的旷偏松弛q 一强单 调忭的概念 定义1 3 2 设b ，c ：h c ( 日) 是集值映射，n ，町：h h 一日和g ：h 一日是 单值映射称j 】v ( ，) 关于相对予b 的第一个变量是g - 偏松弛什一强单调的，如果存在 个常数o 0 ，使得忱，y ，z h ，b l b 忙) ，b 2 b ( ) ，有： ( ( 6 l ，) 一( 6 2 ，- ) ，目( g ( z ) ，g ( ) ) ) - n l l v ( x ) 一g c z ) 1 1 2 若对任意的。，y h 都有q ( z ，y ) = z y ，那么定义1 3 2 就是d i n g 3 m 的旷 偏松弛强单调性的概念若g ；1 ( i 表示日上的恒等算子) ，那么定义1 3 2 就 3 1 3 预备知识 是d i n g 7 6 p 的偏松弛矿强单调性的概念若对任意的z ，y 日都有叩( z ，y ) = z y 和( b ) ，c ( z ) ) = b ( 。) 是单值映射，那么定义1 3 2 就是n 0 0 r 【2 1 】中的旷偏松弛强 单调性的概念 定义1 3 ，3 1 2 3 1 设m ：日一2 h 是集值映射，7 1 ：日日一日和g ，h ：h 一日是 单值映射称m 是相对于h 的旷偏松弛强q 单调的，如果存在一个常数p 0 ，使 得v u ， ，z h ，z m u ，! ，m y ，有： ( h ( x ) 一 ( ) ，叩0 ( 2 ) ，g ( 口) ) ) 一卢0 9 ( z ) 一g ( u ) 1 1 2 若h ，gil ( 1 表示h _ h 的恒等映射) ，那么定义1 3 3 可以导出下面的集值映 射m 的偏松弛强口单调性的概念 定义1 3 4 设m ：h 一2 日是集值映射，7 1 ：日x 日一日是单值映射称m 是偏 松弛强卵单调的，如果存在一个常数p 0 ，使得v u ，u ，z 日，z m u ，y m y ，有： 往一! ，叩( z ，口) ) 一卢0 z u 1 1 2 若z = 乱，那么定义1 3 4 就是f a n g 1 4 】中的集值映射m 的矿单调性的概念 若q ( ，v ) = 札一u 和z = u ，那么定义1 3 4 就是f h g 1 4 】中的集值映射m 的单调性 的概念 定义1 3 5 【2 i 敢射妒( ，) ：hx h r u + o o 称为是斜对称的，如果满足： 妒( 仳，u ) 一妒( “，口) 一妒扣，钍) + 妒 ，仃) 0 ，v u ， h 注意：如果妒( ，) 是双线性的函数，那么妒( ，) 是非负的 令a 是h i l b e r t 空间日中的一个极大单调算子，a 的预解算子厶( p o ) 定义 为厶= ( i + p a ) _ 1 众所剧之，山是一个非扩张映射 一表示弱收敛，一表示强收敛“k ( z 。) = z ：j 。一z 表示 z 。 的弱u 一极限 集 、 引理1 3 i 实h i l b e r t 空间中的范数不等式 “一 0 2 = i n i l 2 一l i v l l 2 2 ( 让一口，口) ， h 引理1 3 2 令c 是中的一个闭凸子集对于某一个z h ，u e 满足不等 式( u z ，口一u ) 0 对所有 c 当且仅当让= e c z 引理1 3 3f g o e b e la n dk i r k 2 4 1 ) 令c 是实h i l b e r t 空间h 中的一个闭凸子集和 令t ：c c 是一个非扩张映射并且见z ( 丁) 0 若c 中的一个序列 z 。 满 足一z 和z 。一t x 。_ 0 ，那么z = t z 4 1 3 预各知识 引理1 3 4 令日是一个实h i l b e r t 空间给定一个闭凸集cch 和点，y ，t ， 日同时也给定一个实数a r 那么这个集合 d ：= c ：i l y 一口1 1 2 i i z 一, 1 1 2 + ( ， ) + n ) 是凸集( 并且是闭集) 引理1 3 5 ( h k x u n ) 令c 是日中的一个闭凸子集令 z 。) 是日中的一个序 列且h 令q = p c u 若 z 。 满足乩，( z 。) cc 和下面的条件 那么。口 0 z 。一“0 i i 一q l l ，v n 5 ( 1 3 1 ) 第2 章完伞广义混合隐拟似变分包含问题解的预测一矫正算法 第2 章完全广义混合隐拟似变分包含问题解的预测一 矫正算法 2 1完全广义混合隐拟似变分包含问题 设日是一个实h d b e r t 空间，其中l i 和( ，) 表示范数和内积，c ( 日) 是日中的所 有非空紧子集所构成的集族设a ，b ，e d ，e ：h g ( 日) 是集值映射，n ：h 胃x h h ，q ：h h h 和9 ，h ：h 一日是单值映射，妒：日日一r u + o 。 是一个实值函数，叫是日中预先给定的一个元考虑下面的完全广义混合隐拟似变 分包含问题：求z h ，a a ( 9 ( z ) ) ，b b ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) 和e e ( z ) 使得 ( a n ( b ，c ，d ) + + ( e ) ，卵( 9 ( 可) ，9 ( z ) ) ) 妒( g ( z ) ，g ( 。) ) 一妒0 ( 可) ，9 ( z ) ) ，v g ( 可) h ( 2 1 1 ) 特殊情况： ( i ) 若ai0 ，对任意的b ，c ，d h 都有n ( b ，c ，d ) = 一 ，1 ( 6 ，c ) ，hi0 ，w = o 和9i j ( ，表示日上的恒等映射) ，那么问题( 2 1 1 ) 导出了下面的广义混合拟似变分包含问 题【2 l ：求z 日，b b ( 。) 和c g 扛) 使得 ( n i ( b ，c ) ，町0 ，z ) ) + 妒国，z ) 一妒( 。，z ) 0 ，v y h ( 2 i ，2 ) ( i i ) 若对任意的z ，y 日都有妒( z ，y ) = 妒( z ) ，那么问题( 2 1 1 ) 导出了下面的广 义混合似变分不等式问题 1 】求z h ，b b ( z ) 和c e ( z ) 使得 ( l ( 6 ，c ) ，叩( 可，z ) ) + 妒( ) 一妒( z ) 0 ，v y h ( 2 1 3 ) ( i i i ) 若对任意的z ，y h 都有q ( z ，y ) = g ( z ) 一g ( 9 ) 和g i ，那么问题( 2 1 1 ) 导 出了下面的广义非线性混合变分不等式问题【3 】求z 日，b b ( z ) 和c c ( 。) 使 得 ( 1 ( 6 ，c ) ，g ( y ) 一g ( z ) ) + 妒( g ( ) ) 一妒( 9 ( z ) ) 0 ，v g ( 口) h ( 2 1 4 ) ( i v ) 若对任意的b ，c h 都有l ( 6 ，c ) = b c ，那么问题( 2 1 1 ) 导出了下面的广 义混合变分不等式问题：求z h ，b b ( z ) 和c c ( z ) 使得 ( b c ，g ( ) 一g c x ) ) + 妒( 9 ( ) ) 一妒( g ( z ) ) 0 ，v g ( 可) 日( 2 1 5 ) ( v ) 若c 兰0 和b 是单值映射，那么问题( 2 1 1 ) 导出了下面的般的混合变分不 等式问题【2 l j ：求z 日，使得 ( b ( z ) ，g ( u ) 一g ( z ) ) + _ p ( 9 ( 可) ) 一妒( g ( z ) ) 0 ，v g ( 可) h ( 2 1 6 ) 6 2 2 完伞广义混合隐拟似变分包含问题解的预测矫正算法 如果对映射a ，b ，e d ，e ，( ，) ，7 7 ( ，) ，g ， 和妒作适当的改变，很容易看出文 献【1 3 ，1 6 - 2 1 】和相关文献中的大量的( 广义) 非线性混合变分不等式以及他们的推广 都是这个问题( 2 i 1 ) 的特殊情况，这一点显示了问题( 2 1 1 ) 更一般 2 2完全广义混合隐拟似变分包含问题解的预测矫正算法 在这一节中，通过应用上面的概念和辅助原则技巧，解问题( 2 1 1 ) 的预测矫正 迭代算法被提出和讨论已知初值z ea a ( g ) ) ，b b ( ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) 和e e ( z ) ，考虑下面的辅助变分不等式f 司题p ( x ，a ，b ，c ，d ，e ) ：求窑日使得 ( 9 ( ) 一g ) ，g ( y ) 一g ( ) ) + p ( a n ( b ，c ，d ) + w + ( e ) ，町0 ( ) ，9 ( 动) ) + p 妒( 9 ( y ) ，g ( 岔) ) 一p 妒( g ( ) ，9 ( ) ) 0 ，v g ( ”) h ，其中p 0 是常数， ( 2 2 1 ) 从下面开始假设这个辅助问题p ( x ，。，b ，c ，d ，e ) 至少有一。个解注意到，如果岔= z ，在a ( g ( 岔) ) ，b b ( 司，a c ( 童) ，d d ( 窑) 和岔e ( 动，那么( 奎，a ，6 ， d ，句就是 问题( 2 1 1 ) 的一个解于是提出下面的解决问题( 2 1 1 ) 的预测一矫正算法 算法2 2 1 给初值z o h ，a o a ( g ( z o ) ) ，b o b ( x o ) ，c o c ( x o ) ，d o d ( x o ) 和e o e ( z o ) ，通过下面的迭代方式来计算问题( 2 1 1 ) 的近似解( z 。，a 。， k ，d n ，e 。) ( 9 ( 珈) 一g ( x 。) ，g ( y ) 一9 ( ) ) + p ( n 。一( b n ，c n ，d n ) + w + h ( e 。) ，叼( g ( ) ，g ( 鲰) ) ) + p 妒( g ( f ) ，g ( 肌) ) 一p 妒0 ( ) ，9 ( 鲰) ) 0 ，v g ( ) ( 2 2 2 ) ( g ( z n ) 一g ( ) ，9 ( y ) 一9 ( ) ) + p ( o ：一( 醵，以) + 埘+ ( e ：) ，叩( 9 ( ”) ，g ( ) ) ) + p 妒( 9 ( g ) ，9 ( ) ) 一卢妒0 ( ) ，9 ( ) ) 0 ，的( ) 日 ( 2 2 3 ) g ( x 。+ 1 ) 一g ( 。) ，g ( u ) 一g ( z 。+ 1 ) ) + p ( n ：一( ，) + w + ( e ：) ， 叩( 9 ( ) ，g ( ：+ 1 ) ) ) + p 妒( g ( y ) ，g ( x 。+ 1 ) ) 一p 妒( 9 ( z 。+ 1 ) ，g ( z 。+ 1 ) ) 0 ，v g ( ) h ( 2 2 4 ) a 。a ( g ( x 。) ) ，i l a 。+ 1 一n 。0sh ( a ( g ( x 。+ 1 ) ) ，a ( g ( x 。) ) ) k s ( z 。) ，i l b + 1 一k 0sh ( b ( x 。+ 1 ) ，b ( x 。) ) c 。c ( z 。) ，i i c + 1 一c i i h ( c ( x 。+ 1 ) ，c ( x 。) ) d 。d ( z 。) ， l i d + 1 一d nj ish ( d ( x 。+ 1 ) ，d ( x 。) ) e n e ( z 。) ，i l e 。+ 1 一e n 0 h ( e ( x 。+ i ) ，e ( z 。) ) 7 2 3 收敛什分析及其证明 a ( g ( y 4 ) ， 醍b ( ) ， g ( 鼽) ， 以d ( ) ， e ：e c y n ) ， n ：a ( g ( ) ) ， 醚b ( ) ， e ( ) ， d ( 钿) ， e c z ) ， l i 口：+ l 一6 日0 ( 蜘+ 1 ) ) ，a ( g ( ) ) ) 0 坛+ 1 一g i l 日( b ( 鲰+ 1 ) ，b ( 蜘) ) i i 厶+ l c ：1 0s 日( g ( 鲰+ - ) ，c c y ) ) 0 + l 一0 h ( d ( y n + i ) ，d ( ) ) i i e o l e l i 日陋( + 1 ) ，e ( 蜘) ) 0 + 1 一0 日( g ( + 1 ) ) ，a 0 ( ) ) ) 0 碟+ 1 一坛0 日( b ( 9 ( + 1 ) ) ，口0 ( ) ) ) 0 + 。一4 1 i 日( g ( z 1 ) ，e ( ) ) 0 + 1 一“日( d ( + 1 ) ，d ( ) ) 1 1 + 1 一e ：l | s 豆( e ( + 1 ) ，e ( ) ) ，n = 0 ，1 ，2 ，( 2 2 5 ) 其中p 0 ，p o 和p o 是常数，茸是c ( h ) 上的h a u s d o r f f 度量 2 3收敛性分析及其证明 引理2 3 1 设( z ，a ，b ，c ，d ，e ) 是问题( 2 1 1 ) 的一个精确解， z 。 ， k ， c 4 ， ( f r i 和 e 。 是由算法3 1 所产生的问题( 2 ，1 ，1 ) 的近似解的序列设妒( ，) 是一个斜对 称的双射和对任意的z ，y 日都有q ( 。，耖) = 一目( ，z ) 如果( ，) 分别关于相对 于b 的第一个变量，g 的第二个变量和d 的第三个变量都是g _ 偏松弛倒矿强单调 的( 其中常数分别为q l o , a 2 o 和0 3 o ) ，a 是偏松弛强目单调的( 其中常数 为n 4 0 ) 和e 是相对于 的旷偏松弛强q 单调的( 其中常数为n 5 o ) ，那么 5 i i g ( x n + 1 ) 一a c x ) 1 1 2s1 1 9 ( z 。) 一g ( x ) 1 1 2 一( 1 2 p 芝二o ) 0 9 ( 耳。1 ) 一g ( 。) 0 2 ( 2 3 1 ) t = l 5 l | g ( z 。) 一g ( z ) f 1 2 i i g ( z 一1 ) 一g ( z ) 1 1 2 一( 1 2 卢乏二q ) l l g ( z 。) 一g c q ) 1 1 2 ( 2 3 2 ) 吾 5 i i q ( 蜘) 一g o ：h 1 2 怕( 蜘一1 ) 一9 ( z ) 0 2 一( 1 2 p f 啦) ( 鼽) 一9 ( z 。) 1 1 2 ( 2 3 3 ) 证明：设( z a ，b ，c ，d ，e ) 是问题( 2 1 1 ) 的一个解，则n a 0 ) ) ，b b 扛) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，e e ( z ) 和 p ( 口一n ( b ，c ，d ) + 叫+ ( e ) ，町( 9 ( 可) ，g ( z ) ) ) + p 妒( 9 ( 可) ，9 ( $ ) ) 一p 妒( 9 ( z ) ，g ( z ) ) 0 ，v g ( y ) h ( 2 3 4 ) 8 2 3 收敛件分析及其证明 p ( a - n ( b ，c ，d ) + t d + h ( e ) ，叩( 9 ( ) ，9 ( z ) ) ) + 卢妒( g ( 暑，) ，9 ( z ) ) 一却( 9 ( z ) ，g ( z ) ) 20 ，v g ( 鲈) 凰 ( 2 3 5 ) p ( a - n ( b ，c ，d ) + t u + ( e ) ，q ( g ( v ) ，9 ( z ) ) ) + p 妒( 9 ( f ) ，9 ( z ) ) 一p 妒( g ( 。) ，g ( z ) ) o ，v g ( ) h ( 2 3 6 ) 其中p 0 ，p 0 和p o 是常数 在( 2 3 6 ) 中取y = x n + l ，并f i 在( 2 2 4 ) 中取= z ，得 p ( a n ( b ，c ，d ) + t u + 九( e ) ，町( g ( z 。+ 1 ) ，g ( z ) ) ) + p 妒( g ( z 。+ 1 ) ，9 ( z ) ) 一p 妒( g ( z ) ，9 ( 。) ) 0 ( 2 3 7 ) 白( 研i + 1 ) 一9 ( z 。) ，9 ( z ) 一g ( x 。+ 1 ) ) + p ( o ：一( 醚，d ：) + 叫+ ( e ：) ，q ( 9 ) ，g ( x n + 1 ) ) ) + p 妒( g ( z ) ，g ( z 。+ 1 ) ) 一p l p ( 9 ( z 。+ 1 ) ，g ( 1 + 1 ) ) 0( 2 3 8 ) 由妒( ，) 是斜对称的，并且对任意的z ，y 日都有q ( z ，y ) = 一町( 玑z ) ，将( 2 3 7 ) 加( 2 3 8 ) 得 ( 9 ( z 。+ 1 ) 一g ( = 。) ，g ( x ) 一9 ( z ，1 ) ) 2p 0 ) ，有 ( h i e ) 一 ( e ) ，u ( g ( z 。+ 1 ) ，9 ( z ) ) ) 一n 5 i i ( g ( x 。+ 1 ) 一g ( z ) 1 1 2 l h n ( x ，y ) = - u ( y ，z ) 得 ( h ( e ) 一 ( e ：) ，q ( g ( z ) ，9 ( z 。+ 1 ) ) ) 一0 5 i ic g ( x 。+ 1 ) 一9 ( z 。) 0 2 ( 2 3 1 1 ) 9 由于( ，) 分别关于相对于b 的第一个变量，g 的第二个变量和d 的第三个变 量都是旷偏松弛倒矿强单调的( 其中常数分别为q l o , a 2 o 和q 3 0 ) ，故 ( ( 鹾，) 一n ( b ，c ，d ) ，叩( 夕( z ) ，g ( z ，) ) = ( ( 醚，) 一n ( b ，) ，q ( 9 ( 。) ，g ( x 。+ t ) ) + ( n ( b ，) 一n ( b ，c ，) ， ，7 ( g ( z ) ，g ( x n + 1 ) ) + ( n ( b ，c ，d ：) 一n ( b ，c ，d ) ，q ( g ( z ) ，g ( z 。+ 1 ) ) - a l l l ( g ( z ) 一g ( 3 + 1 ) 1 1 2 一n z l lc g ( z ) 一g ( x 。+ 1 ) 1 1 2 一a a l l c g c z ) 一g ( x 。+ 1 ) 1 1 2 = 一( a i + o z 2 + o e 3 ) l l ( g ( x + 1 ) 一g ( z ) 1 1 2( 2 3 1 2 ) 由( 2 3 9 ) - ( 2 3 1 2 ) 得 5 ( 9 ( + 1 ) 一夕) ，夕( z ) - g ( x + 1 ) ) 2 一p 啦怕( + 1 ) 一9 ( ) i f 2 ( 2 3 1 3 ) i = l 由( 2 3 z 3 ) 得 l i g ( z + 1 ) 一g ( ：v ) 1 1 2 = i i g ( z 。) 一g ( x ) 1 1 2 一i i g ( x 。+ 1 ) 一g ( z ) 1 1 2 2 ( g ( x 。+ 1 ) 一g ( z 。) ，9 ( z ) 一g ( z 。+ 1 ) ) 5 i i g ( z ) 一g ( x ) 1 1 2i b c z n + - ) 一g ( z ) 1 1 2 + 2 p o t l l 9 ( z 。+ 1 ) 一g ( ) 1 1 2 t = 1 因此，当p i ( 2 ：1o q ) 时，有 5 l l g ( z 。+ 1 ) 一g ( x ) 1 1 2 i i g ( z ) 一g ( x ) 1 1 2 - ( 1 2 p o 洲g ( 。n + 1 ) 一g ( ) 0 2 i i g ( z ) 一g ( x ) 1 1 2 l = 1 ( 2 3 1 4 ) 在( 2 3 5 ) 中取y = 钿，并且在( 2 2 3 ) d p 取y = z ，得 p 缸一n ( b ，c ，d ) + w + ( e ) ，q ( g ( ) ，g ) ) ) + 卢妒0 ( z 。) ，g ) ) 一p 妒0 ( z ) ，9 ( z ) ) 0 ( 2 3 1 5 ) ( g ( 钿) 一g ( ) ，g ( x ) 一9 ( 钿) ) + p ( 一n ( e n ，畋) + 础+ ( e ：) ，町( g ( z ) ，g ( ) ) ) + 日妒( 9 ( z ) ，g ( 2 。) ) 一p 妒( g ( 。) ，g ( z 。) ) 20( 2 3 1 6 ) 因为妒( ，) 是斜对称的和对任意的z ，y h 都有q ( z ，) = 一町( ，z ) ，并且集