（基础数学专业论文）分形插值函数的光滑性与可微性.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 分形插值函数首先是由b a r n s l e y 于1 9 8 6 年在论文f r a c t a l f u n c t i o na n di n t e r p o l a t i o n 中提出的，它为数据拟合提供了一种 新的途径分形插值方法具有很强的灵活性，不仅可以用来拟合光滑 的曲线和曲面，而且更是在不光滑曲线和曲面的拟合中显示其独特的 优越性 本课题的主要工作是研究了分形插值曲线、曲面的光滑性与可微 性的问题第一章对分形插值函数的产生，发展概况作了简单介绍第 二章介绍了一些基本概念及相关的命题第三章中介绍了分形插值曲 线的基本概念，构造了一类迭代函数系，介绍了由此迭代函数系产生 的一类非均匀分形插值函数的可微性，光滑性以及这类分形插值函 数在区间上几乎处处可微的和在某点不可微的充分条件第四章中， 首先给出了分形插值曲面的概念，其次在矩形区域上构造了一类迭代 函数系，研究了由此迭代函数系产生的一类非均匀分形插值曲面的可 微性与光滑性问题，给出并证明了分形插值曲面几乎处处可微的条 件，同时得到了分形插值曲面在某一点不可微的充分条件并进一步 研究了一类非均匀分形插值曲面的光滑性与h 6 1 d e r 指数，当垂直比 例因子满足一定的条件时，分形插值函数满足h 6 1 d e r 条件，并在分 形插值曲面不是一平面时，给出了h 6 1 d e r 指数的一个估计范围 关键词：迭代函数系；分形插值函数；分形插值曲面；光滑性；h 6 1 d e r 指数；可微性 江苏大学硕士学位论文 t h ec c 咀讲o ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nw a sp r o p o s e db yb a r n s l e yi n “f r a c t a lf u n c t i o na n di n t e r p o l a t i o n i n1 9 8 6 i th a sp r o v i d e do n cn e ww a y f o r t h ed a t af i t t i n g f r a c t a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o nh a st h ev e r ys t r o n gf l e x i b i l i t y , i tc a n f i tt h es m o o t hg u r v ca n ds u r f a c e ，m o r e o v e ri t su n i q u es u p e r i o r i t yi si nt h en os m o o t h c u i v cf i t t i n g i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w em a i n l ys t u d yt h es m o o t h n e s sa n dd i f f e r e n t i a b i l i t yo fac l a s s o ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nc u r v ef u n c t i o na n ds u r f a c ef u n c t i o n i nc h a p t e r1 ，w e i n t r o d u c et h ep r o d u c t i o na n dt h ed e v e l o p m e n ts u r v e yo ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m ef o u n d a t i o nc o n c e p t sa n dt h e o r yo ft h ef r a c t a l i nc h a p t e r 3 ，w eg i v et h eb a s i ce o n c e p to ft h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n , t h e nw es t r u c t u r ea c l a s so fi f s ，o nt h eb a s i co fw h i c h , w eg a i nac l a s so ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n w es t u d yt h ed i f f e r e n t i a b i l i t ya n dt h es m o o t h n e s so fi t w eg a i nt h es u f f i c i e n c y c o n d i t i o n , w h i c hm a k et h ef u n c t i o nd i f f e r e n t i a b l ea l m o s te v e r y w h e r eo nt h ee x t e n t ， a n dn o td i f f e r e n t i a b l ea tap o m i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h eb a s i cc o n c e p to ft h ef r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c ef u n c t i o n , a n dt h e nw es t r u c t u r eac l a s so fi f so nt h er e c t a n g l e a r e a s ow eg a i nac l a s so ff r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c ef u n c t i o n ，w h i c hi sn o te q u a l t h e nw es t u d yt h ed i f f e r e n t i a b i l i t ya n dt h es m o o t h n e s so ft h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o n s u r f a c e w eg a i nt h a to ns o m ec o n d i t i o n , i ft h e r ei sau p r i g h t n e s sp r o p o r t i o nf a c t o r , w h i c hi sz e r o ，f r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c ef u n c t i o n i sd i f f e r e n t i a b l ea l m o s t e v e r y w h e r e ，a n di ti sn o td i f f e r e n t i a b l ea ts o m ep o i n t w ea l s os t u d yt h es m o o t h n e s s a n dh 6 1 d e re x p o n e n t ，w h e nu p r i g h t n e s sp r o p o r t i o nf a c t o rs a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s ， t h e nf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ns a t i s f i e sh 6 1 d e re x p o n e n t i ff r a c t a li n t e r p o l a t i o n s u r f a c ei sn o tap l a n e ，w eg e tt h ee s t i m a t i o no fh f l d e re x p o n e n t 。 k e y w o r d s ：i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ；f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ；f r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c e ；s m o o t h n e s s ；h 6 1 d e re x p o n e n t ；d i f f e r e n t i a b i l i t y 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密d 学位论文作者签名i 同伟佛 年p 月f 日 尊导教师签名：例 7 引嘲留日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 阀啼绎 日期：7 年，1 月肜日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 分形几何是现代非线性性科学中的一个重要的研究领域，它的思想和方法已 经渗透到自然科学的各个领域图像压缩和曲线拟合原来分别属于信息科学和应 用数学中研究课题，但经过b a r n s l e y 等人开创性的工作，将它们与分形几何联系 了起来在1 9 8 6 年b a r n s l e y 又提出了分形插值函数的概念，它是一种新的插值方 法 1 1分形插值函数的产生 自e u c l i d 几何创立以来，人们就试图把人世间的一些美妙的几何体，如圆、 椭圆、双曲线和椭球等写成数学语言随着基本初等函数如幂函数、指数函数、 对数函数和三角函数的陆续出现，传统数学对几何体的描述仿佛变得妙不可 言但对大量存在的离散数据，这些玲珑乖巧的基本初等函数又变得无可奈何， 这就产生了“插值”这一课题尽管有n e w t o n 插值、l a g r a n g e 插值和s t r i n g 插 值等方法的面世，但都难以解决几何体的低阶全局光滑问题，直到2 0 世纪6 0 年代“样条插值函数 的提出与应用，一个用低阶多项式解决全局光滑性的问题 才算有一个圆满的解决可见几百年来，科学家对插值问题的解决是朝着愈来愈 光滑的方向发展的但是事物总是又会朝着它的反方向发展，出现了分形几何人 们先是设法用数学语言去描述分形，但如同e u c l i d 几何中的圆、椭圆、双曲线 和椭球一样，尽管迭代函数系统等数学语言可描述出分形几何的基本图形，如 k o c h 曲线、c a n t o r 集、s i c r p i n s k i 三角形等，但对无穷无尽的大自然几何体，如 山脉、云彩、洞穴中悬挂的钟乳石、森林的轮廓等是非常难得到它们的数学表达 式的于是人们又想到了插值，但这可不是插值得越来越光滑就越好，而恰恰应 该是它的反面，因为它插值的对象是分形，故这是一种分形插值函数 分形几何实际上是大自然几何，分形插值函数当然可以去描述大自然中那些 美不胜收的场景不仅如此，分形插值函数也为拟合经验数据提供了一个新的途 径，虽然它不足以以“最小二乘法”去拟合( 射流、火箭等) 喷嘴处的时间温度 曲线，也如同传统几何一样难以分析由仪器读出来的脑电压，但它却能用于拟合 h a u s d o r f f 度量空间中的经验数据，原因是分形插值函数的图形被看成是紧的 分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征，它也能科学的用 “公式 来表示，能快速的被表示出来它们之间的主要差别在于分形插值函数 江苏大学硕士学位论文 的分形特征，如它有非整的维数，并且是针对集合而非针对点的 1 2 分形插值函数的发展概况 分形插值方法是迭代函数系统( f i s ) 理论在函数插值这一数学领域的成功 应用b a r n s l e y 首先给出了这一方法和关于分形插值函数的连续性、分形图像的 分形维的一般理论，现在这一数值方法已成为自然景物造型和一些物理过程仿真 的有力工具 众多学者对一元及多元分形插值函数的方法的理论和应用进行了大量的研 究，得到了一些结果目前，分形插值曲线已经得到了广泛的研究，如：分形插 值曲线的构造，误差分析，稳定性等，并都得到了一系列的结论近年来，很多 文献介绍了分形曲面的研究方法：随机生成法和分形曲面的插值分形插值曲面 理论和方法也得到了一定的发展如：分形曲面的计算公式，分形曲面的维数估 计，小波类型级数表示等 分形插值函数的极值问题是一个在解决许多问题时都会遇到的基本问题， 因分形插值函数一般并不具有良好的光滑性，传统求极值的方法将不再适用因 此，这一问题变得比较困难在一般情况下，可使用计算机在有限精度下进行搜 索取得近似的极值，为保证这种方法的有效性，则要求函数在一个小的局部范围 内，函数值变化不太大，即需要其具有相对较好的连续性因此，有必要讨论分形 插值函数光滑程度的刻画问题g d o n o v a n 考虑了已知两个插值点的仿射迭代函 数系产生的分形插值函数，得到分形插值函数是h 6 1 d e r 连续的沙震在文献 1 给 出了一类分形插值函数的h 6 1 d e r 性质，并得到在迭代函数系满足一定的条件下， 分形插值曲线是h 6 1 d e r 连续的卢建朱在文献 2 和 3 中分别考虑了已知n 个均 匀的插值点和n 个非均匀的插值点的仿射分形插值，得到分形插值函数h 6 1 d e r 指 数的估计李红达在文献 4 中讨论了更一般的分形插值函数的h 6 1 d e r 连续性和 可微性问题描述了分形插值函数的光滑程度，给出了i f s 的各个参数与分形插 值函数光滑程度及可微性的关系，说明了在一般情况下，分形插值函数若连续则 毕具有h 6 1 d e r 连续性王宏勇在文献f 5 】中用h 6 1 d e r 连续性描述了一类非均匀分形 一一 插值曲面的光滑性问题 分形插值函数实际上是一个迭代函数系统的吸引子，并且一般是连续的，处 2 江苏大学硕士学位论文 处不可微的但当构造的迭代函数系中的垂直比例因子满足一定的条件时，产生 的分形插值函数却是几乎处处可微的，这似乎与分形的特征矛盾实际上，此时产 生的函数图形并不是分形图形但它是迭代函数系的吸引子，故仍称其为分形插 值函数 有关分形插值曲面的光滑性与可微性的结论还非常少，在文献 6 中，王国 忠以等腰直角三角形区域作为函数的定义域，将每边n 等分，构造了一类迭代函 数系，讨论了由此迭代函数系生成的分形插值曲面的可微性问题柯云泉在文献 7 中将定义域扩充到矩形区域上，并将其等分为2 个小矩形区域构造了一类 新的迭代函数系，研究了由此迭代函数系产生的分形插值曲面的可微性问题与 文献 6 相比，在应用上更具有广泛性本课题的定义域也是在矩形区域上，但将 一边非等分为n 份，另一边非等分为m 份，构造了一类迭代函数系，讨论了由此迭 代函数系产生的一类非均匀的分形插值曲面的可微性 3 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 弟一旱墨令僦芯 2 1 迭代函数系( if s ) 迭代函数系是构造分形集的一种有效方法有关于它的论述是由h u t c h i n s o n 在1 9 8 1 年的著名论文f r a c t a la n ds e l f - s i m i l a r i t y 中给出的，至今已有十分丰富的 内容特别是b a m s l e y 等人的工作，将其与计算机应用相结合，发现了分形图像 压缩技术，取得了巨大成功迭代函数系理论还是分形逼近的基础实际上，在 应用中出现的分形，其内在的动力学机制往往很不清楚，而研究它的迭代函数系 为分析和处理此类问题提供了有力的，甚至是唯一的手段下面我们介绍有关的 概念和结论 2 1 1迭代函数系的基本概念 定义2 1 1 【8 1 设( x ，d ) 是一非空的完备的度量空间，d 是石上的距离一组有限多 个空间x 到自身的m ，w 2 ，映射，记为w = m ，；( 置形) 称为一个 迭代函数系( s ) 如果存在一个实数，0 c o 和口 o ，有 i 厂( x ) 一厂( 】，) i c i x y r r ，】，f ， 则称，是满足指数为口的h o l d e r 条件，口称为h o l d e r 指数，并写成厂e l i p 。a 特别地，当口= 1 时， l s ( x ) - s ( r ) i 0 粗略地说，连续模表明了，当自变量的两个值相差不大于万时，函数的两个 值彼此之间究竟能相差多少直观地说，缈( ，艿) 的值越小，函数将越平滑 容易看出，若，工概口，则有缈( 厂，点) c 酽，反过来也成立，也就是说关 系式 f l i p p 与 国u ，8 ) c 8 。 是完全等价的： 2 3 函数的可微性 6 江苏大学硕士学位论文 l i l y 2 3 11 9 】设函数z = 厂( 毛y ) 在点异( 而，) 的某领域u ( 昂) 内有定义，对于 u ( p o ) 中的点尸( x ，y ) = ( 而+ 缸，+ 缈) ，若函数，在点j f 3 处的全增量& 可以表 示成 应= f ( x o + a x ，y o + 缈) 一厂( x ，y ) = a a x + b a y + o ( p ) 其中a ，丑是仅与点蜀有关的常数，p = 以委可，d ( p ) 是较p 高阶的无穷小量， 则称函数，在点昂可微 定理2 3 i 9 1 ( 可微性的必要条件) 若二元函数，在其定义域内一点( ，y o ) j 蚵 微，则厂在该点关于每个自变量的偏导数都存在 定理2 3 2 9 1 ( 可微性的充分条件) 若函数z = ( 墨y ) 的偏导数在点( 而，y o ) i 拘i 某个领域内存在，且与在点( ，) 处连续，则函数厂在点( ，) 处可微 对函数可微性的研究，一般都利用可导性与可微性的等价来考虑，或是利用 可微的定义来判别，这样的条件太强，其实更多的情况下，我们想知道函数在什 么条件下可以使其“基本上可微这里的“基本上可微”可以认为是“几乎处 处可微” 定义2 3 2 【l 。l 若( x ) 是定义在【口，b 】上的实值函数，作分划 a ：a = x o 毛 毛= 6 以及相应的和 v = l 厂( 五) 一厂( 毛一。) i 1 = i 称为厂( x ) 在【口，6 】上的变差作匕( ) = s u p 讼：为【a ，b 】的任一分划) ，并称它为 ，在【口，6 】上的全变差若鬈d ( 厂) o o ，则称它为厂在【口，6 】上的有界变差函数，其 全体记为曰矿( 【口，6 】) 定理2 3 3 1 1 1 若( x ) 是定义在【口，6 】上的单调上升实值函数，则厂( x ) 几乎处处 可微 7 江苏大学硕士学位论文 定理2 3 4 1 1 设fec ( - - o o ，捆) ，且令z ( x ) = 厂( x + r ) 一厂( x ) ，咱 x ，t a m o 若 对任意f ( 嘲，佃) ，z ( x ) 对x ( 咱，佃) 可微，则( x ) 在( 硼，佃) 上可微 定理2 3 5 p 1 1 若厂曰y ( 【口，6 】) ，则厂( x ) 在【口，6 】上几乎处处可微 推论若厂( x ) 是定义在【口，6 】上的绝对连续函数，则厂( x ) 在【口，6 】上几乎处处可 微 2 4 本章小结 本章主要给出了迭代函数系的概念，作为生成分形插值函数的重要方式，具 有十分重要的意义其次给出了h & d e r 条件与光滑性的定义，并给出了可微性 的定义，在此基础上研究了一般函数的可微性问题，和函数几乎处处可微的条件 8 江苏大学硕士学位论文 第三章分形插值曲线的光滑性与可微性 传统的插值方法是以被插值对象的光滑性为前提条件，而自然界中的许多曲 线不具备这样的光滑性因此，这种方法很难描述分形曲线的特征分形插值方 法所得到的曲线具有预先给定的分形维数，它能够更好地刻画出自然界中普遍存 在的处处不光滑的曲线为准确地描述自然现象，社会现象提供了一个崭新的、 有效的数学模型和工具 3 1 分形插值曲线的基本概念 给定闭区间，= 【口，b 】，令口= x o 而 x n = 6 是j 上的一个分划，其中 2 令，y l ，y 是任意一组实数，i g k = ix r i g i , = 【而巾薯】，i = 1 2 ，令厶是j 专j r l 的一个压缩同胚，满足条件 l , ( x o ) = 墨- l ，l i ( h ) = x g ( 3 1 1 ) 并且对某个0 1 ，有 i 厶( ) 一厶( 甜：) l t1 - - 1 2 l v u 。，砧：e i 令f 是k 斗r 的连续函数，满足条件 鼻( ，y o ) = 乃一，e ( h ，蜘) = 乃 ( 3 1 2 ) 并且对某个o q 1 ，有 l 互( “，v 1 ) 一只( “，v 2 ) i g jl v l 一v 2 l ，v u j ，h ，屹r 定义映射咀：k 专k 劬( x ，y ) = ( 厶( x ) ，e ( x ，y ) ) ，其中i = 1 ，2 ，n ( 3 1 3 ) 则 k ；q ，i = l2 ，n ) 构成一个迭代函数系 定理3 1 1i s 】存在，上的连续函数厂， 使得，的图像 9 = 删( ) = ( x ，( x ) ) l x ，) 是迭代函数系 尬哆，f = 1 2 ，) 的不变集，即 g = u ：。哆( g ) ，并且厂( 薯) = 我们称这样的，是对应于 k ；哆，i = l 2 ，n ) 的 9 江苏大学硕士学位论文 分形插值函数 在此引入记号： 日( ，) ：表示由，中的非空紧子集组成的集合，其中，= 【口，b 】 日( k ) ：表示由k 中的非空紧子集组成的集合，其中k = l x r 定理3 1 2 嗍设厂是对应于迭代函数系 k ；r a ，i = l 2 ，n 的分形插值函数， g = g r a p h ( f ) ，则对于任意彳日( k ) ，有 溉厅( 矿( 4 ) ，g ) = o ， 从而分形插值函数是唯一的 3 2 分形插值曲线的可微性 在迭代函数系( 3 1 3 ) 中，如果令厶( x ) = q x + q ，曩( x ，y ) = q x + 玩y + z ， 即 哆( 石，y ) = ( q x + 吃，c ，x + 4 y + f ) ，i = 1 ，2 ，n ( 3 2 1 ) 其中a ，, c i ，d ，e l ，z 为实数，并且满足条件( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式，则称此迭代函 数系 ，尺：q ，吃，蛳) 为第一迭代函数系在第一迭代函数系中，若z 不是常 数，而是x 的一般非线性连续函数谚( x ) ，即 锡( x ，y ) = ( q x + q ，4 y + 谚( x ) ) ，i = i ，2 ，n ( 3 2 2 ) 则称迭代函数系 j ，r ：q ，吱，纨) 为第二迭代函数系 假定谚( x ) 均是可微的，对形如( 3 2 2 ) 的迭代函数系，定义另一迭代函数系 j r ：q ，吐，”其中劬b ，少) = ( 哆x + b ，鲁y + 丢谚b ) ，z = - ，2 ，且 满足式( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 的条件则称 ，足：q ：，) 为 ，尺：q ，呸， 的关联迭代函数系，下面的定理说明了厂( x ) 的可微性及厂( x ) 与关联i f s 的关 系： 定理3 2 1 【4 i 设厂( x ) 是 ，尺：q ，哆，) 定义的第一或第二类分形插值函 1 0 江苏大学硕士学位论文 数，若厂( x ) 可微，则( x ) 是关联i f s 的所定义的分形插值函数 定理3 2 2 1 4 1 设厂( x ) 是 ，r ：q ，呸，) 定义的第一或第二类分形插值函 数，若厂( x ) 在，上连续可微的充分必要条件是 ( 1 ) i x r ：o h ，呸，c o n ) 的关联i f s 是双曲i f s ，且满足条件( 3 1 2 ) ( 2 ) 存在常数c ，使得 厂( 而) + ，( ) 出= 谚( ) + 暖( 而) + c ( f = 1 2 ，) ， 其中厂( ) 为关联i f s 所定义的分形插值函数 文献【1 2 】和【1 3 】将区间等距离分割，分别研究了等距离插t g a _ k n - - 类分形 插值函数的可微性，柯云泉在文献【1 4 】中进一步研究了区间在非等距分割的情况 下，在其插值点上的一类分形插值函数的可微性问题得出以下结论： 在仅考虑，= 【o ，1 】上的非等距分割，其分割点为o = 而 恐 h = 1 ，并 设小区间= 【而巾而】，= 以一薯q ，定义迭代函数系 k ，q ：i = 1 ，2 ，n ) ，0 2 3 ) 其中q ( x ，y ) = ( 而_ + k l x ，d ，y + q ，( x ) ) ，o d ， 1 ，q f ( x ) l i p m 由3 1 中定理 可知迭代函数系( 3 2 3 ) 有唯一的吸引子g ，并且是连续函数：j 专【口，纠且满足 厂( 薯) = 只的像，并称厂( x ) 为迭代函数系( 3 2 3 ) 的分形插值函数 定理3 2 3 1 1 4 】 对于迭代函数系( 3 2 3 ) ，q , ( x ) ec 1 ( 待1 2 ，n ) ，如果存在某一 i e 仙2 ，n ) ，使得z = o ，那么分形插值函数厂( x ) 在【o ，l 】上几乎处处可微 定理3 2 4 【t 】对于迭代函数系( 3 2 3 ) ，如果o 喀 1 ，对于 g f ( x = c ，x + e i ( f = 1 ，2 ，) ，并且插值点非线性，那么对于磊= 荟o u 珥k - ii li 一。， 当仅有有限个吐i l 时，分形插值函数厂( x ) 在而处不可微，其中c l ， 岛( i = 1 ，2 ，) 为常数 1 1 江苏大学硕士学位论文 3 3 分形插值曲线的光滑性 在3 谳 1 5 1 9 q b 作者对一元及多元分形插值函数方法的理论和应用进行了 大量的研究，得到了一些结论，文献【2 0 】中对由仿射变换构造的分形插值函数的 h 6 l d e r 连续性进行了研究李红达，叶正麟等在3 谳 4 q b 讨论了更一般的分形 插值函数的h s l d e r 连续性得到如下结论 定理3 3 1 【4 】设厂( x ) 是由迭代函数系( 3 2 2 ) 确定的分形插值函数，对任意的 正实数j ，若满足下列两个条件： m a x 旧：i = 1 , 2 , - , n ) 1 ， 3 ( 2 ) 存在正常数m 。，对比，y ， i 谚( x ) 一破( y ) i a 如i x y r ( i = l 2 ， r ) ， ( 3 3 2 ) 则存在正实数m ，使分形插值函数厂( x ) 满足 i f ( x ) - f ( y ) - u l x y l 。 溉，ye ，( 3 3 3 ) 即( x ) 是h i 5 1 d e r 连续函数，h o l d e r 指数为j 此定理用h o l d e r 连续性描述了插值函数的光滑程度，给出的定理在一定程 度上说明了f ( x ) 的光滑程度与q ，d j 及函数谚( x ) 的关系 如果仅考虑谚( x ) = q x + z 的分形插值函数，我们可以得到如下的推论： 推论设厂( x ) 是由迭代函数系( 3 2 1 ) 确定的分形插值函数，对于正实数0 s 1 ， 若 一黔乩2 ，) 0 ，使得 l f ( x ) - f ( y ) j - m i x - y 5 ， 即厂( x ) 是指数为s 的h o l d e r 连续函数 推论说明第一类分形插值函数的光滑性由q ，面完全决定在m 觚 4 ) 1 的 江苏大学硕士学位论文 条件下，由t o a ； 1 ，则必存在正实数s 满足( 3 3 1 ) ，因此厂( x ) 必具有h 6 l d e r 连续性c e r e s d , ；1 条件f ，插值函数卜) 司能不存在，即使存在，它也是 不连续的 关于分形插值曲线的光滑性与连续性，沙震等人还得出以下结论： 定理3 3 2 | s i 设厂是由( 3 2 3 ) 所确定的分形插值函数，记口= 施 l ， 1 盈g n 、 7 = m 。g a 蜊x f 、) ，d = 罂势 珥) ，q = 1 暖1 1 4 1 4 ，c = 恶紧 q ) ，则有 ， ( 1 ) 若c 1 ，则对任何满足y 碉l o g d + 口一的y 有厂三驴y 定义3 3 1 【3 】，在x 点的h 6 l d e r 指数是 吃= 粤妥t n f 兰钾：y 曰( x ，占) ) ， 且称办= i l l f 吃，x e i ) 为f 的h o l d e r 指数 定理3 3 3 【1 2 1 给定l 珥 专时，f ( x ) 具有h 6 l d e r 指数 = 一l o g 弋( m 石a 万x 1 4 1 ) 定理3 3 4 【3 1 给定i g l 1 ，则( x ) 是三勿( 垒) 连续，其中皂= l o g ( p i m i a _ x l a 一, i ) 即对任意的而y ，存在正数m ，使 得 i 厂( x ) 一( y ) j m i x y l 定理3 3 5 3 1 给定1 4 1 7 时，厂( x ) 的h o l d e r 指数h 满足h h h ，其中 万：l o g ( m a x4 ) ， ：l o g ( m a x l d , i ) 1 0 9 i l o g ! 3 4 本章小结 本章通过构造迭代函数系，产生分形插值曲线，介绍了分形插值曲线的唯一 性定理简单概述了分形插值曲线的可微性，即其在区间上几乎处处可微的充分 条件，在某点处不可微的条件，并介绍了一类双曲迭代函数系产生的非均匀分形 插值函数的光滑性，和在满足一定的条件下分形插值曲线的h o l d e r 指数的一个 估计 1 4 江苏大学硕士学位论文 第四章分形插值曲面的可微性与光滑性 上一章主要介绍了二维空i 司中分形插值曲线的司微性与光滑性本苹在前一 章的基础上，将研究对象推广到三维空间，利用类似的方法研究了分形插值曲面 的可微性与光滑性，得出相关的结论 4 1 分形插值曲面的基本概念 设整数m ，n 2 ，并记m = 札2 ，m ) ，= 札2 ，以) ，= 【a ，b 】，j = 【e ，d 】， d = ，j i 和，上的两组剖分分别为： a = 而 毛 = 6 与 c = y o 弗 咒= d ， 并记五= ( 而，薯】，= ( 乃。，乃 ，岛= j ，r d = u d o ，f m ，j 对任意的f m ，i u ij 1 定义4 ( x ) ：【口，6 】_ 【小五】，4 ( x ) = x + q 为一个 线性同胚变换，且满足：4 ( ) = 薯巾4 ( ) = 薯 类似的，对任意的j en ， l 吩i l 我们定义哆：i t ，d 】专 乃小乃 ， b ( y ) = v y + b j ，且满足：色( ) = 咒一。，易( ) = 乃 我们用l i p ( d ) 表示全体定义在d 上的二元l i p s c h i t z 连续函数构成的集 合对定义在区域d 上的一组满足l i p s c h i t z 条件的二元连续函数伤( 而y ) ，及一 组满足j 乃i 1 ( 扛1 2 ，职j = 1 2 ，刀) 的任意实数略，定义一组映射 乃：dx r 专岛尺如下： 毛( x ，y ，z ) = ( 4 ( x ) ，哆( 少) ，略z + ( x ，y ) ：( x ，y ，z ) d xr ) ， ( 4 1 1 ) 从而得到一个迭代函数系( i f s ) ： d x r ，t ，( x ，y ，z ) ；f m ，j ) ( 4 1 2 ) 定理4 1 1 2 1 上述定义的s 有唯一的不变集g ，使得g ：0 0 乃( g ) i = lj = i 定理4 1 2 2 1 1 如果雠i 乃i l ，则连续函数( x ，y ) 的图象g 是上述s 的吸引 子的充分必要条件是厂( x ，y ) 满足如下条件： 江苏大学硕士学位论文 f ( x ，j ，) = 吒( 4 1 ( x ) ，巧1 ( y ) ) + 伤( 4 1 ( x ) ，巧1 ( y ) ) ， ( 4 1 3 ) 其中( x , y ) 岛，f m ，j 根据w s d r ，t ；f = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ，刀) 的定义我们有： i x r ，4 。；f = 1 ，2 ，聊) ，4 。( x ，z ) = ( 4 ( x ) ，珥。z + 仍。( 石，c ) ) ； ( 4 1 4 ) i x r ，4 d ；f = 1 ，2 ，聊) ，4 d ( x ，z ) = ( 4 ( x ) ，如z + ( x ，d ) ) ； ( 4 1 5 ) i x r ，( j a ；= 1 ，2 ，甩) ，力( y ，z ) = ( 哆( y ) ，珥，z + 研j ( 口，y ) ) ； ( 4 1 6 ) i x r ，秽；= 1 ，2 ， ，秽( y ，z ) = ( 哆( y ) ，z + ( 6 ，y ) ) ( 4 1 7 ) 定理4 1 3 w s ( 4 1 2 ) 的吸引子是连续函数厂( x ，y ) 的图象的充分必要条件是 w s ( 4 1 4 ) ( 4 1 7 ) 的吸引子分别是边界连续函数z “，) ，引，6 的图象， 且满足： ( 1 ) 。( 口) = 4 ( c ) ，。( 6 ) = 6 ( c ) ，f x d ( 口) = 4 ( d ) ，d ( 6 ) = 6 ( d ) ( 4 1 8 ) ( 2 ) q ，m , j ( a , y ) - q ，“( 6 ，y ) = z ，j 6 ( y ) 一d ( 4 1 9 ) e j ，i = 1 ，2 ，m 一1 ；j = 1 2 ，n ( 3 ) 仍，+ 。( x , c ) - ( p “( x ，d ) = 碣，_ ，z d ( x ) 一巧+ 。“ ( 4 1 1 0 ) 比i , i = 1 2 ，m ；j = 1 ，2 ，n 一1 4 2 分形插值曲面的可微性 考虑i f s ( 4 1 2 ) 中4 ( x ) = 薯一。+ 1 , x ，哆( y ) = 乃4 + l lj ，= 鼍一薯- l i i = 乃一乃。， 伤( 墨y ) = 嘞x + y + 白砂+ 白，o 嘞 1 ，f m ，j e n ， d = 【o ，1 】【o ，1 】的情形，记乃( x ，y ，名) = 略z + ( x ，y ) 定义一组映射毛： d r 专岛r ，如下： 弓( x , y ，z ) = ( 4 ( x ) ，哆( y ) ，吃z + 纺( 墨y ) ：( x , y ，z ) d r ) i i 得到一新的迭代函数系： 1 6 江苏大学硕士学位论文 d r ，丁驴( x ，y ，z ) ；j m ，_ ， ( 4 2 1 2 ) 设厂( 而y ) 是由w s ( 4 2 1 ) 式生成的分形插值曲面函数，且满足定理4 1 2 ，定 理4 1 3 的条件 对盯= ( ，之，t ，) 1 ，一，册) 。，8 - - u , ，五，矗，) 1 ，一，刀 。，引入如 下记号： 厶t ) 24 。4o 4 ，2 气。气。气， 夏甜) 2 墨 。毛办。气a ，咴甜x t ) = 噍 叱噍矗 而以( 。) ，与曩砸) ( 。) 为恒等映射，噍甜x 。) - 1 定义函数 a o ( x o ) 2 憋以( t ) ( 而) ， b ( ) 2 舰，( y o ) ， 巧甜) ( ，y o ，z o ) = 。l i m 。t 、, 甜) ( 而，y o ，z o ) 作移位变换f ：盯一1 7 ，万一万， 即 谚= f ( 五，五，五，) = ( 左，五，) 我们还可以推出 z 玎= f ( ，之，t ，) = ( 之，) ， = z t ，产1 一z t - l ，一l + 吃( 一知，o ) 2 五一i ，一五- 1 ，一l + 毛( 一z o o ) = 弓，+ z i l ，一l 一乏，_ 1 一弓一l ，一吃( z o o = z i 。j 一d # z 一知。一+ ) ( 4 2 2 ) 引理4 - 2 1 对仃= ( 毛，之，t ，) 1 ，聊) c o ， 罗- - u i ，如，五，) l ，疗) 。 ( 五y ) 。，则有一，彳( 仃) = 喜( 垂i li 一。， 曰( 万) = 喜( 鲥n h i ) f ( 叫) = 薯( 垂噍山弦五( 么( 叫，b ( 凇) ) ， 1 7 江苏大学硕士学位论文 i v ) 丁( 盯，万) = ( 彳( 仃) ，b ( 万) ，f ( 仃，万) ) 证明i ) 以如( x ) - - - - - 4 l ( x i 2 一。+ l ti 工) = 屯一。+ l i 吆一。+ ki 一般的有气( x ) = 喜( 鱼i l1 ) 气一。+ 垂i 卜， 由于ki 1 ，那么可以得到 彳( 仃) = 舰。( x ) = 喜( 斟 。 i i ) 类似于i ) 同理可证 i i i ) 因为曩 如如( x ，y ，z ) = ( 4 ( x ) ，吃( 少) ，吃止z + 饩止( x ，y ) ) = 九z + 叱畋如( x ，少) + ( 4x ) ，( y ) ) 一般的有： f 。h 2 j 2 i , j k ( x , y ，z ) ：f 垂吃矗 z + f 簋嚷 噍 ( x ，y ) + 芝f 鱼叱抽k ( 气忆q ) ，屯a ( y ) ) ，z ) 2 【g 吃矗j z + 【g 嚷 j 噍 ( x ，y ) + 善【娶叱抽虹 ( 气忆q ) ，屯a ( y ) ) 于o 噍 1 ，那么 f ( 叫) = l i m f 讹, _ ( w ，z ) = 喜f ，卉r = l 反r _ 山弦 ( 4 ( 叫，召( ，艿) ) i v ) 由 毛五( x ，y ，z ) = 五 ( 4 ( x ) ，吼( y ) ，气办( x ，y ，z ) ) ，显然成立 g 是w s ( 4 2 1 ) 的吸引子，由引理4 2 1 得g = ( 彳( 仃) ，口( 万) ，f ( c r ，万) ) ) 由 又g 是连续函数厂：。j r 的像，设x = 么( 仃) = 善。o ( 娶t - i i ll d ， y = 曰( 万) = 喜( 枞 u 有 m ，少) = ，( 叫) = 喜( 壶噍q 山 ( 彳( 叫，b ( 凇) ) ( 4 2 3 ) 显然，当仃= ( 1 1 1 ) 时，x = o ；当盯= ( 删m ) 时，x = 1 ( 4 2 4 ) 当万= ( 1 l 1 ) 时，) ，= o ；当万= ( 册n ) 时，y = 1 强4 对于s 蚴油果插值点( ，乃) 撇面，磊= 圭t = l 。旧， 江苏大学硕士学位论文 2 旧 ， x = 瓦+ ，p ：f i 。 x i e 4 - i + p = 1 ，2 t = p