（基础数学专业论文）一类cw复形的同伦分类.pdf

交换图1 1 的性质2 ， 1 2 $ 导出同调群的同构 ，1 3o 有右逆2 1k 是同构4l 定理41 证明3 。 ， 6 1 命题6 j 证明2 。 ，。 62命题65 的证明6 。 ， 63 命题65 的证明中( g 。) 州，! vo ( 矗k ，v ，) 。口 64 命题6 ，j 的证明中( 卯o ，) 。女，! 厶 ， 6 5 命题65 的证明中对列变换风的讨论 66 命题6 5 的证明中对r ，的讨论 67 命题6 5 的证明中对矗，的讨论2 6 0 0 挖 垢 盟 盯嚣 第一章预备知识 本文总假定p 是奇素数，每一个空间都带基点，每一个映射都是保基点的连续映射。文 章中所涉及的拓扑学基础概念均不再加以说明而直接应用。具体涉及点集拓扑的内客可参见 1 ，【1 7 ；文章中涉及代数拓扑的一般概念可参考【4 】，【5 】，【2 2 】，【2 3 ， 1 4 】， 1 3 】；文中关于同伦 论较深入的结果参见 2 5 】， 1 6 k 1 8 1 ；同调论方面的内容可参考【1 1 】，【2 4 1 ；局部化的概念主要 参考专著 1 9 】。 1 1 引言 五十多年来，国内外有很多学者参与4 ：多面体的研究。如张素诚 1 0 】沈信耀f 2 】，h j b a u e sa n dm h e n n e s 【9 ，hw h e n n1 15 】，k s h i r a i w a 2 1 ，jh c w h i t e h e a d 2 6 1 h j b a u e s a n dm h e n n e s 8 ，陈胜敏 2 0 】th j b a u e sa n dy d r o z d 【6 】，【7 ，y a d r o z d 【1 2 等等。 对这类问题的研究有很多方法。其中 2 1 ，【2 ， 2 0 】， 1 2 】等曾采用矩阵的方法处理多面 体的标准化。我们现在沿用这一方法，在文 2 0 】的基础上，对p 局部的有限a 磐一s 多面体，即 。却一5 多面体作迸一步的讨论。 下面，我们首先来作一些准备工作。 1 2 s 怎、的构造 l ， 设 d 一，) 是除p 之外的全体素数之集，设妒。：铲一驴有度数，则路) 是 商空间 u 【2 ；一l ，2 订：j s 一 这里( 孙n ，z ) 一( 2 m + 1 ，妒。( z ) ) a 顺便指出讫) 的非平凡胞腔只在三个维数中出现它们是： 1 。七+ 1 维胞腔 【2 m 一1 ，2 叫s 一( m = 1 ，2 ) 这里( ，。) 一( ，z 7 ) 幸= 寺妒。( z ) = 妒。( 。7 ) 且= = 2 l 7 i 4 几个常用映射一1 预备知识 x _ y j 抽、 ( p ) 一j ( p ) 交换图1 1 ：p 一局部化空间k ，) 的性质2 这里r ，g 是与p 互索的整数。第二个同伦说明如f ： 考虑如下定义的万 吨) 一p a e 笛1唯) 一；矿e 笛1 8l s 冬) 一，c ( s ) ) 路) 一。g ( 吨) ) 万( 。) = 妒( z )0 s 冬) ) i ，z = 【亡，叫 ( 咎，g 】e s 0 ) ) 由交换图1 2 知万导出同调群的同构，从而万是同伦等价。 为了方便，暂时记 日。= 珥。( 路) ) ，研。- = 品1 ( s 蔷) ) 复薹= 麓j 蕊一( 一卿e 苗1 ) 一蕊 1 4 几个常用映射 下面给出本文常用的几个映射。 1 4 1 p 和吼 设口：麟一s xvs x 是余乘法，琅：似v s x 一腑( = 1 ，2 ) 是把其中的一个s x 映为一点的收缩映射，则 啦。p 竺i d0 = 1 ，2 ) 因谁) = s ( 1 ) ，铲一矿e + 1 = s ( 舻一1 一矿8 ) ，故有相应的p 和口1 ，啦。 9 j 5 一些重要结论 一i 顼各知识 1 4 2本文常常省略对应法则的映射 下列映射本文有时不标明对应法则 1 。含入映射伊一铲一。ae + 1 的p 一局部化映射 s 二) 一铲一p ae 州 2 。把铲映为基点的收缩映射铲一e + 1 一s ( 铲) 与同胚s ( 铲) 一s 1 的复合映射的p 一局部化映射 ：伊一旷e 1 一1 3 。由图 胪一扩+ 1铲一矿e + 1 |l ll s 一9 。曲g ( s ) 皇争s 一9g ( s ) 和d ( t ) = 。( z s 。) ，。陋，z = p ，妒( z ) ( p ，。】e + 1 ) 确定的a 单值，从而连续。 4 。由 铲一矿矿+ 1伊一p t “e + 1 s 一gg ( s ) ! 二s 一讪9g ( s 七) |1li 竺a r ) = 妒( z ) ( z 铲) ， n 乍，。】_ ( g ( 铲) ) 确定的0 7 单值，从而连续。 1 5 一些重要结论 1 5 1 7 r m ( s 冬) ) 若 4 p 一5 。则当m 4 p 一5 ，则当m 和一5 ，则当”； 4 p 一5 ，则当m 女+ 4 p 一6 时，有 rz p m i ” s “一f e ”十1 s 一矿e + 1 。 ；名。z ，p 7 n = 或一l r n = 南+ 2 p 一4 或七+ 2 p 一2 m = + 印一3 其它的 l 注1 5 1 1 5 1 的证明借助于稳定同伦群，直接的证明不知。 注1 5 - 2 我们可以从1 5 1 推证l _ 5 2 ( 参见1 6 1 ) ，1 矗3 ( 参见1 62 ) ，1 5 4 ( 参见1 6 3 ) 。 1 6 1 5 重要结论的证明 1 6 1 1 5 2 的证明 首先注意 7 0 。( s v 矿g + 1 ，s ) 2n n i ( s ) 对2 7 n 2 一1 成立( 由 1 6 】p 8 2 定理2 1 4 即知) 。 由( 鲈一矿e 抖1 ，伊) 的同伦正合序列和上述同构知，序列 ”m ( 铲) 三一+ 丌r ，。( 驴) 一7 r 。( 驴p re 。+ 1 ) 一7 r m - 1 ( 驴) 幺“( 驴) 对7 n 2 一1 是正合的，从而当m 卸一5 ，出m 露n + 卸一5 ，故d i m 贾2 n l ，从而由1 2 2 】( p 4 5 8 ) 定理1 1 知 s ：( 费，k 1 一【s 露，s k l 是满射。因此存在：露一使s ，= 。 嘭 ，v 两 = k 一坞 ，v 似 4 2 定理4 1 的证明 四4 a p h t p 一5 多面体的映射锥表示 9 。由6 。，7 。，8 。和引理( 2 1 1 ) 知 s x 6 焉。s k 一，lg ( s k ) 8 。l 引篙11 ) s 一s ，g ( s k ) l o 。因g ( sa ) 兰s ( g “) 故 s k s f c 蝎k 、竺s o k f e k 、 事实上，由 f 1 。 一陋，。】和 c 1 习 一 f 司 确定的映射 s k s f c l s k 、一s i k f c k 、 是同胚。 1 1 。设9 ：s x s ( k 一，ga _ ) 和 ：s ( n 一，c w ) 一s x 互为同伦逆则因n 4 p 一3 故 s ：“一，c r 】一【s x ，s ( 一，c - ) l 和 s ：【 ，一，g k ，x 一陋( 一，c 彤) ，s x l 都是同构，从而存在 ：x k je k 和 hll ，c k x 使 s 口= 口， s 2 ，。 因此 s ( 9 7 。赶7 ) = s ( 9 7 ) 。s ( 打) 29 。忍2 t d = s ( d ) 同理 s ( 。9 7 ) 竺5 ，“d ) 又因 s ：，x 】一 s x ，s x 】 和 s ：、k fg 爱1 i ( 一fg 最一瞄t k 一| c 畏1 。s o k 一| c 云受 部是同构，故 7 。9 72 1 d ，9 7 。 72 1 t d 这说明 x 2 k e c 砭 口 第五章 4 基本多面体的定义 5 1 a 口肌i 基本多面体的定义 定义5 1 1 如果a 。多面体族 满足下列两个条件： p1 对每个a ”。i 多面体k ，都存在a l ，a 。a ，使 2v b p2 对每个a a ，若地! v ”，则必有 ! 或k ”! 这里+ 表示单点组成的空间。那么我们称 虬) ；a 为a 。基本多面体组也称k x 为 基本多面体。 5 2推论5 2 1 推论5 2 1 若0 t 2 p 一3 九，则 茹7 】o j z ) u s “却一矿e 7 州+ 1j o j o 是a 。基本多面体组。 p 阳西由定理( 3 ，2 1 ) 和定义( 5 ，1 1 ) 即知。口 第六章空间的相关矩阵 6 1 ， 的构造 设一，e 露和x 与定理( 4 1 1 ) 的相同，因 恳 r 】 故【，】的同构象可用矩阵来表示如下： 我们把这个矩阵记作 。易见局：厩一坞是复合映射 商。一畏lk m ， 这里玎一坞是把k 一 映为基点的收缩映射。 为了找一。“，一s 基本多面体组，或者找基本多面体x ，x 使 x = x ，! k 一| g 畏 我们希望通过矩阵 的变换实现上述目的。 因为i 厩， 毛 有四种类型，它们分别与z ( p ) ，z 屈，z 肋( ) z 肋，o 同构，为了方便，我 们按m 0 0 r e 空间的维数和类型把矩阵 写成分块矩阵。 由( 1 5 1 ) 、( 1 5 2 ) 、( 1 ，5 3 ) 、( 1 5 4 ) 知( ， 中有许多元素是零，我们只把可能非零 的部分写出来。 第一步：将 中在暇葑2 ”，s 苗印- 3 】中取值的部分记作j 或记作以，易见，j 是 中的如下部分，而且矩阵了的阶是 岛入2 p 一3 2 5 坞 弛 ，0 触 ，o 、， 6 i ， 的构墙六6 空间的相关矩阵 s 韶- ，s 蒜： 臂。3 j t + 卸一3 u 0 ) o 第二步：考虑 中的如下部分，记 扩“一e n 州 蹁。 驴“一e ”i + l s “+ - 十2 p 一4 、一e “+ l + 2 p 一3 w n曰t g r t o h 十；+ 2 p 一3 e ，f u f p ) s ”+ 件印一3 一e “+ 印一2 g w “， 则b i ，c ，沙驴，p ，g f ，h2 的元素取值在与z 肋同构的群中，而m 的元素在 f s ”卸一e ”。+ 却，s ”i e 1 + 1 1 中取值。即取值在与z 屈0z 肋同构的群中，我们把w 件1 的每个元素分成两个元素。 第三步：记吡“。阶矩阵w t + 1 为 盯 4 ；+ 1 这里4 在暇苟”2 9 ，s 苗1 中取值，a “1 在( s 苗”印，s 苗 中取值。记 w ；+ 1 a + 1 规定( 翼，。窘1 ) 是蟛1 在同构 p 州2 一3 一t e ”2 ”，伊 一，8 叶”1 口jp = e of o h ok o $ a 1 丑1c 1 d 1e 1 f 1 g 却一4h 却一4 耳却一4 a 却3b 2 p 3 d 印一3e 印3 叭，n 啦嘲 十 计 s 以 劫+ 叶 口 0 + n 臼 c ，) 书 印+ 则象 的下 6 。2 l x k f c 畏、的相关矩阵l ，i 1 六6 。空间的相关矩阵 第四步：记 e of o h ok 0 a 1b 1c t l d 1e 1f 1 g 1 h 1k o a 2 p 3b 2 p 一3 d 却一3e 2 p 一3 6 2 ( x ，k fc k ) 的相关矩阵i ，i i j 定义6 2 2 称61 中的 分剐为( x ，一，g 露) 的相关矩阵1 ，相关矩阵l i 。 注63 1 6 3 一些注 。= o = = 没有 g t f 4 4 a 汁1 d ”l g t + l 一没有 错没有( 口印篇州) 矗= o 铮没有( ? ) f 。f ；) 注6 3 5 中没有j ，而且 是准对角矩阵。但 不是对角矩阵。 2 7 6 j 4 j 己m g m 的定义 六6 空间的相芙矩阵 2 。 行变换2 的第j 行变号。与之对应的 玩l 藏：屿一 r 是复合映射 挑i = s n ，- s n ) = m i 。x 这里v 7 是s 7 v ，的同伦逆，即 似，。】= 1 一t ，。 2 4 f 列变换拖 的第j 列变号。与之对应的 g 。l 坞： 0 一k ：! i 勺定义与玩i 磁：鸭一k 一样。 3 “ ! 行变换幻( e 。f 0j ) 或( d 。pp ) 的第j 行加到第行( z 0 ，记 ，j o = j ) 。与之对应的 弛护一s 糍恤3 一牙 是复合映射 s f 采+ 却一一s 巍“”3v s 糍十2 ”3 一霄 。- ! 列变换飓， ( 蠹：) 或( 善! ) 。 劫一s ，的第e 列如 吼豁s 旒。k s 糍一踹v 蹦一 4 。 行变换4 ( d pp ) 的第，行加到( a b t9 ) 的第行。 玩i s m 一小- 1 ) 。十却3 ：s e _ 露 这里 9 一一一( s e ) v ( s e ) 一( s 一8 ) v 霭嚣+ 印_ 3 一露 s 、一e = f 讳什卸一4 一( ，一1 ) e ”+ 计2 p 一3 口。 2 9 到第，列。( 记 6 4 卺m g m 的定义 六6 空阊的相关矩阵 垆c 列变换风， ( 至! ) 的第m 列加到( 萋) 的第，列a 吼 s n * 1 一咿“：s p _ s e 一( s e ) v ( s ve ) 一( s e ) vs 菇一k 5 。 行变换l 5 ( 口，t 。) 的第j 行加到( 1 b p ) 的第行。 与之对应的 玩i 如。：s e _ 是复合映射 这里 s e = s “+ 件卸一“一( ) e “+ 2 p 一3 dr s 。c 列变换飓， ( 吾) 的第m 列加到( 至) 的第，列。 吼f ”l 一“_ l 】b ：s e _ k 6 。 行变换工6 ( p 日”) 的第j 行加到( d 目p ) 的第行。 与之对应的 玩i s 旅一一蹴怖一一露 j l落 1 丁l kq “ 矿 旷 一 计 一 侮 q 硝 “ 一 s p v 汁 0 s p j f s 一0一 1 -v 里 s 这 6 4 雹m g m 的定义 六6 空间的相关矩阵 s s v s s v ( s ”2 ”3 一，e ”2 p _ 2 ) 。费p 7 s = s 旒+ 2 ”3 。c 列变换， ( 参) 的第m 列加到( 薹) 的第，列。 北糍：s 藏。k ( 与卯类似) 是复合映射 s 蕊一寒vs 拼2 5 l 裹v ( s ”一，学，e 州) 一 下面的变换要讨论s 一。nr 中的。 7 。 行变换l 7 ( 4 1 口；g t ) 的第j 行加到第行，而且t 2 1 毋一。从而 j 。 玩l n 。：s e 一露 s e 一( 扎叫( s 叫竖( s x 6 5 i 命题67 5六6 。空阊的相关矩阵 与之对应的 乳l 如。：s e k 是复合映射 s r 一( s 一一) v ( s r ) 驾( s r ) v ( s ”i 一，扩“) 一k 这里 s c = s “机一一( ：) e “+ 件1 不难看出玩：元一露和乳k k ，= l ，2 ，9 都是同伦等价。事实上只需注意( 1 4 1 ) 中的吼。p ! z d 即可。 我们规定 ( 或 ) 经过行变换l 一之后的矩阵就是 ( 或 ) ( 或 ) 经过列变换斤k ，之后的矩阵就是 这里 r ，= 1 ，2 9 。 ( 或 ) 6 5 命题6 5 为j 更好地理解和运用定义( 6 4 4 ) 我们给出下面的命题。 命题6 5 - 1 设6 + 是i 卸一，吨) 】的一个固定的生成元，又设 妒： s 笛2 ”3 ，谁) l z 加 是满足下述条件的同构： 【列= 妒( f ， ) t 。 对每个( ，| 【s 苗却，s & ) 】都成立。 假定 妒： s 蚪2 7 一矿e 抖印，s 】一【s 笛2 9 一，s 岛】 或 妙： 胪+ 2 ”4 一矿e 抖印，吨) 一( s ：；= 2 ”，蹈】 或 妒： 却，铲一矿e 1 】一 s 笛卸，谁) 1 66 命题6 5 的证明六6 空间的相关矩阵 妒： s 笛却，伊一，。e 一f s ；i 2 ”3 ，锩) 的初等变换( 消去变换或倍法变换) 。但不是全部的消去变换和倍法变换。而行变换l 。和列 变换l 9 把( g 1h k ) 的第j 行加到第行，同时把( a ”1 疗件1g i + 1 ) 的第j 行 列变换r 。把( 至) 的第。列加到第，列，同时把( 曼兰 ) 的第* 列加到第，列。 6 6 命题6 5 的证明 p r 0 。f 首先注意矩阵 和 除某行之外全都相同。下面分别讨论可能不相 同的行。 l 中位于第j 行第m 列的元素的代表映射厶，。是复合映射 雨j 一天lk m m 而 中位于第j 行第m 列的元素的代表映射( ，矾) 如。是复合映射 砀i 砀3 砀i 虹m t ， 这里咿，是复合映射 磁与面v v 弦三羁 1 。、，。一 是的同伦逆。故 【厶mo 妒。妒，】 办。v 。啡 vo 厶。啡 = r 厶。o 】 2 渺m 。 2 弘m 6 j 6 。命题6 。5 的证弱六6 空闻的相关矩阵 2 。 中位于第j 行第m 列的元素的代表映射( ，o 玩) j 。是复合映射 丽i 生砀，虹m m 这里v 7 使( 图6 1 ) 同伦可换。其中+ 表示常值映射。故 芝f 交换图6 1 ：命题6 5 证明2 。 ，j 。】+ ( 。玩) 。 = 【v 。( 办。v ( o 刃如。) 。口 = 【乃似。vo ( i do v ) 。口 =0 即 【( ，。彘) ，。 _ 一 厶。1 3 。( 驴酽f ) ，。玩的第行显然是( d 。口p ) ，的第j 行与第行之和n 这里 ( d e 。p ) ，噶和( d 4e 2 ) ，分别表示 和 中的分块矩阵( 以 下采用类似的记号) 。 4 。把( a ipa ) ，和( 4 。b 9 ) ，哦中位于第行第m 列的元素分别记为z 胁和 弧。，把( d e 1f ) ，中位于第j 行第m 列的元素记为。，则由玩的定义知 k 。= 。枷+ 栌。；) 这里 ：协一一。矿”2 邮一s 荔协以 的定义见( 14 2 2 。) 。 丽舻是由h 导出的同伦群之间的同构。 5 。 注记 行变换l 5 ，行变换l 6 和行变换l 4 类似。行变换岛和行变换上3 ( 在 中考虑) 很 类似。行变换l t 和行变换l 8 类似。故下面只讨论行变换。 6 。由可换图62 不难看出 ( 以”1 b + 1 g “1 ) ，= ( a 1 + 1b ”。p + 1 ) ，o 罾e 而且( g 。日2 片。) ，。孔的第七行是( 分h 1k i ) ，的第j 行与第行之和。 66 命题6 。5 的证明六6 空闻的相关矩阵 设d e g 妒= 矿妒一t p ，则因t 2 t 5 t 故d e g 妒含有p 因子，从而不改变( + 1 p + 1p + 1 ) 记昂= s 苗m 9 ，s ae = “+ 2 p 一3 一。妒8 ”件2 一2 ( = j ，) 则容易看出下图是可换的 s te s ( s ) s v 讳一( s 一 e ) y ( s je ) 一s ( 昂) v s ( 品) 点。 l ， 下面讨论列变换甩。： 首先由的定义知 和 至多只有两列可能不相同。 列变换r l 和r 2 分别与行变换l 。和l 2 类似，这里不再讨论。 下面先讨论列变换r 3 。 由同伦可换图63 知 瓦。l - + 牙 口l v 螈； f 。一f w ， k l 蹶vs 藏 卫最寒 + i v 蹴v 蹦 l 币 蹴v s 蕊v s 藏 交换图63 ：命题6 5 的证明中对列变换r 3 的讨论 ( 9 。，) ，! v 。( 厶彬v w ，) 。目 即 o ，) 删，】： 厶 0 + 【，t 刊 品 趴 v 卜 品 一 曲 一 v lh十 一 沁 一 品= i+ 品 6 z 定理6 6六8 。空间的相关矩降 这表明( j 蚕 ) ”，的第j 列是( 蚕) ，的第t 列的同构象与( 薹) 的第，列之和a 而且 则由同伦可换图6 7 知 m m h ft 。 s 一。s “。，量1 ) e “( 2 12 i 牧嬉 ( s ke ) v ( s je ) a - 旦s j e v ( s jc ) v ( s je ) ( s kp ) v ( s jc ) v ( s 一，e ) 交换图66 ：命题65 的证明中对岛的讨论 =v o ( ( n 7o ) v 硒，) 。口 设d e g 谚：“一r ，则d e g 妒有因子p 。故由可换图6 7 知 。，旧， 且( ) ，的第，列是( 象) ，的第，列与第m 列之和。 6 7定理6 7 定义6 7 7 设k 一，g 露如同( 4 1 1 ) ，假定下列两个条件至少有一个条件成立 条件1 。 o r r 盟0 = o ，1 ，2 p 一4 ) 口 飞h r s ，l ve k g 6 8 定理6 8 六6 空间的相关矩阵 砜v 矾 l 品v 品 ( s 一e ) v ( s 一，e ) 一s ( 品) v s ( s ) l 讪v ti a v l t “ 昂v 品一( s 一，e ) v ( s 一，e ) 一s ( 昂) v s ( s ，) i v 交换图6 7 ：命题65 的证明中对r 7 的讨论2 条件2 。 o f 譬“= o ，1 ，2 p 一4 ) 则利用( 6 44 ) 的行变换“( 七= 1 ， ，9 ) 和列变换吼= 1 ，9 ) 可以把 化成 使 的每一行( 而且每一列) 至多只有一个非零元，同时把以化成 jr 使，广的每一行( 而且每一列) 至多只有一个非零元，而且以，的非零元是下面的形式 p o 【溯 这里 d ：s 苗2 9 - 1 一s 甜2 9 一，7 ：露一。 6 8定理6 8 1 定理6 8 1 设k 一，e k 如同“j 纠，而且假定 n = ( 驴一矿e + 1 ) v v ( 伊一e 。+ 1 ) 、- - - - - - - - - - - - - 、，- - - - - 二 k = ( s + 即一3 一一e 斗却一2 ) v v ( s + 卸一3 、- ，胡e 女+ 2 p 2 1 k = 札+ t ) 则 = 十a ”1 可以化成下面的形式 ( j ：，影 3 9 6 8 定理6 8六6 。空间的相关矩阵 其中l ，和，都是m m 阶矩阵，k 7 和以是( r m ) ( a m ) 阶矩阵ak 7 和a 7 的每一 行( 且每一列) 都至多只有一个非零元。j 是j o 州口n 标准形，是单位矩阵，而且 扛( 。 这里 可以是零。而没有写出来的元素一定是零。 记 s 一口e s 一日e 则 k fc 天= k x 央奇i i 、是基拳多面体。 下面用示意图来表示可能出现的地。其中的“一”表示矩阵中的非零元且属于k 或j 。“爿”表示属于，或a 7 的非零元。 情形。 情形擎 s 一。e 或s ( s 一口e ) 0 g ( s 一口e ) l s 一口8 、lil 占 啦 + 州 舻 矿 一 矿q 一哪 + + p 扩 = | | e n i i e e n i i 、 、 s l s g 6 8 定理68 六6 空间的相关矩阵 情形于 情形扩 g ( s 一口e ) j s 一口f t r g ( s 一月e ) e ( s 一日e ) g ( s 一口e ) i s 一。p 9 g ，( s 一口e j l l g ( s 一日e ) j s 一。8 e ) 。 ls a i 婺i 薹薹，l g ；缨。蠹；旋馨囊嚣藿荔b 烈譬 零两i g i 醵琶；阵妻曩鸳要墓羲毁掣 誊薯茎亳： i ? i j ? i娶霎霎 x : 6 ，9 引理6 9六67 空间构穗关矩阵 憧粥p g ( s 一日e ) l0 s np f g ( s 一口e ) j0 s 一。 f g ( s 一口c ) i0 s 一。 f f g ( s 一口e ) 注68 2 情形6 。和情形7 。相当于第2 种类型。 注6 8 3 情形6 。相当于f 1 5 中的e = 1 ，女任意。 注6 8 4 情形7 。相当于 1 5 中的 = 2 ，e 任意。 6 9引理6 9 引理6 9 9 设o u z 厅，则s 矩阵 可以用下面两种消法变换将( a 。) 一化成每一行( 而且每一列) 至多只有一个非零元 。 行变换l ”第i 行加到第j 行( i j ) 护 列变换r 灯 第z 列加到第j 列( i o ) 则用变换局mq 次即可消去n 。凡，这样可以把( n n l f ) 化成 假定s = 一l 结论已成立，要证5 = 也对。由归纳假设，可将 n 2 1 0 2 e 、 ( j；) o 七l 。 o k # 化成每一行( 每一列) 至多只有一个非零元的矩阵 o ：t o 乞、 b 吲 在( n v ) 跏的后a 一1 行中施行与上述相同的变换t 就可把( n 。，) k 。t 化成( n 0 ) k 。e 。 用变换厶- 若干次可将( n 0 ) k ，化成( n ：) m 使后( 女一1 ) 行与( n 0 ) t 。c 的相同，而且( 0 0 ) 的每一列至多只有一个非零数。 至于每一行的进一步化简如同s = l 的情形一样处理，这些变换不会改变后一l 行。 口 其中 记 6 1 0 引进一些记号 ( o 甜) 。x 噜= ( 。一j ) 。x 。 ( n t ，) 列2 ( 啦卜，) ( n u ) ，f = ( n ，。一) 。 z o = 是) 4 4 、 ) 历 ，i、 = 单 ，j 6 i i 注记 则由( 6 4 4 ) 知变换_ l 3 ，l 4 全部单向消法变换。 = 、) 6 1 1注记 若( 6 7 ) 的 条件1 。 和 条件2 。 同时成立，则变换l 3 ，l 4 ，l 8 ，风，兄4 ，飓 就是 单的全部消法变换( 单向，如同69 的变换k 和只 ) 6 1 2定理6 7 的证明要点 下面我们给出定理( 6 7 ) 的证明要点。 第一步：将j 化为 砂。 a 1 a 2 a h o 。矿位于第一行，矿* o 位于最后一列。 第二步：依扬。_ 3 7 易。咄，蜀的次序逐个地化简五。 若行变换改变了已化好了的标准型( 即每一行每一列至多只有一个非零元) ，则用有关的 列变换恢复改变了的标准型。同样地，若列变换改变已化好的标准型，则用行变换恢复标准 型。不过，要时常改变形如s 一矿e 和s 一矿e 以及s 岛和s 蔷) 的排列次序，使标准型随时 目2 p 一3 、 可以恢复即可。另外i ；。，一3 ) 和( e 。f o ) 的化简要特别。 u j 、 当化简伊一时，又要改变j 的标准型。需要用i _ b 印一3l 的列变换恢复j 的标准型。 恼瑚 而化筒 时，如果没有( 6 7 ) 的 条件1 。 或 条件2 。 ，那么不可能把一般的 化成每一行每一列至多只有一个非零元，因为上述化筒会循环。因此，总有某处的 矩阵非零元较多，这就是文 1 5 】中第二类型的同构之处。 由 条件1 。 或 条件2 。 ，上述化简过程不会反复( 即循环) 。 4 5 舻泸 ， 是不筐换变 法 消 龟单 q 的 一 单 p 2 ， = 1 睁 靛砥 、，一 霸磷 c 暮 p 口飓 玩 ， 印p 曙如 x 6 1 3 j67 7 的证明要点 六6 。空间的相关矩阵 而小“的标准型不变。至此， 已化成如下的形状 0o p l 0 o 00 局 0o0 + t 表示此处a ”1 有非零元。下面化简剩下的b ，p 2 部分，首先把它分成四块 4 ，b ，c ，) ( 如下图) o0 # i abo0 o0 c 上) 00o 丰 依次化简口、，) ，a ，以后通过行与行，列于列的互换，使下图之外的部分都化成标准 型( 每一行( 每一列) 至多只有一个非零元) 。而 处的零元越来越多。凡是 处耳处 的零元的所在行与列也都可化成每一行( 每一列) 至多只有一个非零元。这样只剩下 女 。 处耳的相应元都非零。这一块，相当于( 6 8 1 ) 的j o r d a n 块，。记作j 。 通过行与行互换以及倍法变换，使与j 相应的a 件1 部分为单位矩阵，。用相似变换可 4 7 6 。1 36 j 7 的证明要点六6 。空间的襁关矩阵 将t ，7 化成 卜 ) 其中q 为基本的有理简化型( 见【3 p 、3 1 6 ) ，即 g = o 一 1oi 1 o 一口! 1 一n # 儿一卜q 卜 卜g ) “ 最后不难把q 中的( ：i ：) 化成个非零元，且以卅不变。 注6 1 3 1 有些多项式 x 第七章应用 7 1 概述 现在，我们开始用前面讨论的方法，对一类特殊的4 ，多面体进行同伦分类。当相关矩 阵 中出现分块时，由前面的讨论可知。化简时很容易出现循环的情况。我们曾试图 日i ，标准有理简化型来解决这问题。然而在矩阵化简标准有理简化型时。有时会出现需要 行：畏或列乘以占的运算，可惜这些不是容许变换。同时，化简过程中到底经过多少次的运算 仍k 化简才可判断为循环，这也不好掌握。因为在胞腔十分复杂时，会出现虽然不循环，但是 化澎所需步骤相当多的情形。为此，很有必要找出一些不变量，可以在相关矩阵没有化简之 前，事先判断出会不会出现循环。这两个问题，可以作为我后续研究的课题。 7 2较复杂的几个例子 为了方便，我们将全体相关矩阵为r 行q 列的a 。，多面体记作略。；( r ，q ) 。易见当t ，为 零矩阵且r 和q 固定时，蟛。( rg ) 是有限集。当j 为非零矩阵时，无论r 和g 是否固定， 珥。( q ) 都是无限集。 为了用计算机对某些多面体进行固伦分类，下面的讨论总是假设j 为零矩阵，不 仅r 和q 固定，而且让许多分块矩阵的元素都只取一个固定的值o 。为此，我们用 蟛i 。( n ，x ”，x u ) 来表示分块都为s 阶的，除分块矩阵x “，x ，u 外，其他分 块矩阵中的元素都取为n 的全体肖。j 多面体。 ( 。，z ，x 站) 是一类特殊的e w 复形。其元素是a 。“多面体。它将成为下面 几节的主要研究对象。之所以不能对全体_ _ 4 。t ( t 如一5 ) 多面体进行讨论，是因为即便对 于以5 。t ，就算胞腔个数很少，其相关矩阵的阶数可能相当高，化简标准型的运算量惊人。下 面我们对5 局部化空间，随机生成每个分块是2 2 的相关矩阵，然后化出它们的标准型。从 中可以看出，即使十分简单的几何体，他的相关矩阵已经足够的可怕了。 三生塑逊坐型兰 查互堡旦 _ h _ 一一 j 原始相关矩阵为 ll2l 3l34 423 34o3 00o0 00o0 0000 oc00 0000 oco0 0000 0 口0o 00oo bd0o 0oo0 o0o0 00o 口 0000 oo00 o000 0000 0000 000o 00 00 00o0 0000 od00 0o00 o000 oc00 00o0 o00o 0000 ooo0 0o o0 oo00 00 0o 0 自o0 o0 o0 0o od oo00 o0oo 000o 00o0 doo0oo 0000o0 口0o00o ao00j0 34j ：13 413 ：24 332o ：2 4 3 22 ：0 103j 3o2ld4 oo0000 o00000 oo0ooo oo0dbd 000000 00 口o00 0ooo00 o00o00 0o00o0 000ooo o0000o 0 00 00 0 000 o 00 000000 0o0000 o00o30 000o00 o000o0 0o0oo0 ooo000 o0o000 o08o0o 0000o 0 0000o0 000o00 0oooo0 oo00oo ooo ooo 0e00b0 口ooo0o 000oo0 ooo o0o o oo000 doo0 oo o oo o oo 0o oo o 0o0oo 00 o 0 o0 oo oo o o o on o 00000 00 00 0 o 00 00 oo 0 o 0oo0 0o o 00oo0 口0 0 00 口0 口 00 o 0o000 12 0 42000 23l41o00 3 44 0 oo o0 37 3 43oo0 q0 ：10 o oo 12 1 3 3 00d 0o0oo230 000oo3l2 b00000ol ooeo0l22 00 d 00013 0000d o30 o00ooo 00 oo000ooo 0o00o0oo 0 e0 0 oo o0 口0 0 o 00 00 000oo00 0 0o000d 0d 0 0000 00o 00 口a 口o00 0o000o0o o000 0 oo0 0o o o 0oo o 000oo0 o0 o 00 o o0 00 0a0000d0 oo0do00 口 oooon no0 0oooo0oo 0o00o000 og0oodog 000od 0o0 0000o o 00 = oo o 0o oo b 00 o0 o 00 oo 6 oo 00000 0 口oo 0 o0oo0 od0oo 00 0 o0 00o0d 口0000 o0o00 00o0o 0ooo0 0o000 oo000 o3 口00 140 o o 12o0 o 32no0 03o00 i1o o0 0 o21l 0o 1 00 0o140 o03l2 00233 o 口121 00ooo 0aa o0 0o o00 0o0 d0 0oo0 0 00000 o000o o0qoo 000o0 d0o00 0oo00 0o 000 o00o0 e ogo0 oaao0 00o00 ooo oo0 000 oo0 o00 000 ooo 0od 0 口口 000 00o 0oo 0oo 00d o00 0o0 000 000 d00 8 o8 ao0 00o 320 4oo 42 ： o32 340 43 00o 0 00 0 口0 000 00o 0oo ooo 0o0 o00 日o0 no o ooo o00 eo 口 00 口 ao0 0oooo 0ooe0 0oo00 ooooo ooo00 0o0 口o o0d0o 00000 oo 口oo 口oo0o 0000o 0o0o0 00o00 00 000 00oo0 ooo 00 oo000 000 00 0d00o coedo 000oo o0d0o 0000o 0 0o 口o o 0oo0 ooo oo ooo0 口 0 o0d0 00o0o 0 口0ao 0 日000 口口00o a0o0 e 0 00o0 ：0oo0 looon ：000 口 0000 loo 0o 2 o0o0 o42l0 e234 04l 0 2 33o 0 日o 0 0 o o o o o 0 0 o 8 0 0 o 0 0 o 0 0 0 a o o 0 0 o 0 0 g 0 0 2 3 2 2 0 3 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o o 口o 0 0 0 e 0 0 o 0 o o 0 o 0 0 o o o 0 0 o o o o 0 2 1 0 2 3 l o o o o 0 口0 0 0 o o o 口o o o 0 e 0 0 0 0 o o o c 0 0 o o 0 o o o 0 0 o 0 l n 2 o 3 2 0 8 o o 0 4 0 0 o o 0 0 o d 0 0 b 8 o 0 0 o 0 o 0口0 0 0 0 o o o o 0 0 q o 1 2 l 2 4 3 0 0 o o 0 0 o o o o 0 0 0 口b 0 0 0 o o o o d e 0 o 0 0 0 o o o 0 0 0 0 0 o 3 4 ：o 2 0 0 0 0 o 0 0 o o o o o 0 o 0口0 0 0 0 o o o 0 0 0 o 0 0 o o 0 4 3 2口3 3 0 o 0 o o 0 0 0 o 0 o o 0 o 0 0 d 0 口o a 0 o 0 o o o 0 o o o 0 o o o o o 0 3 2 0 2 3 o 0 d o o o o e 0 0 0 0 o d 0 0 0 0 d 0 0 0 o d o 0 0 0 d b o 0 0 0 o o o o 3 4 0 o o 0 o 0 o q o o e 0 0 o o 0 o 0 o 0 0 0 o o o o 0 0 0口o 0 0 0 o 0 0 0 0 口0 2 2 o 3 40口0 o o 0 0 0 0 0 o o 0 o 口0 o n a o o o o 0 o o 0 0 口n o o o o 0 o o 0 o 4 4 l 3 目0 0 0 0 o o 0 o q o d 0 o o 0 0 0 d 0 o o o o o o o 0 0 口n 0 o o o 0 8 0 0 2 3 i 2 3 3 0 0 0 0 o 0 0 口q 0 ；i i；：；i l i l3 三互塑塑塑丝坠型三 一生墨塑 。_ _ 一一 其标准型为 0o0 o0 ： o 】o 10d 000 o00 000 000 ，o0 0oo j 口d 900 000 000 000 ；00 oo0 0oo 00 ， joo o00 000 0 n 0 00c 000 00 0oc 000 700 ：oo 000 000 ooo 000 00o ooo o0o 00o 0o0 0oo 0oo 000 0o0 ooo oo00 oo0o o0oo 000o c00o 0a00 3003 00l0 ooo1 01d0 3j 口0 0o0o 0000 0 o00 00oo 00e0 0000 0000 0 o00 00q0 o 00o 0 ooo 0o0o 000o 0 000 0 c00 0 dd0 0 00o o0 0 o 0ooo 00o0 oooo 0000 0 0 00 oo0o 0d0 口 o0o o o0o0 0 000 00oo o b ao 0000 o o0 0 nqb 口 00oo o00o o0ob oo00 01o0 100o o00o 0 0 00 d c oo 0 0o o 00 口c o 00 0 0000 oq0l o00 口 0 c1 0 0o0o 0000 0o00 口00o 0a0o 0o00 oooo 330c o000 00o0 00co oo0q gco0 0 o 0e 0 0 00 oo00 0 d 0o 口0 口0 0 o 00 0o00 oooo o o oo 0d00 o00o oo0o 0o00 0o00 eoo0 o0000000o 000o00o00 0oooo000o 000oooo00 00000oo0o 0ooooo0o0 ooo0000ao 0 c 0o o oo 0 0 口0oo o0doo o 0 0o0od00 0o 口10 0 o00 901o0000o o100d000o ooo8o0 口oo 1 o ooo