（基础数学专业论文）gh分次r模范畴与r（h）模范畴的等价性.pdf

张门掀o f ，分次r - 模范畴j 月彻一模范畴的等价性 三 摘要 环论是数学中非常庞大的分支，它有着悠久的历史，讨论不尽的课题。近 年来，分次环理论被人们广泛地讨论。用g 表示任意群，环r 称为g 分次的， 如有 r 2 窘，r s ( 加群直和) ，且r g r r g h ，v g ，矗g 。 c o h e n ，m 和 m o n t g o m e r y , s 【1 1 对于有限群g 引入了s m a s h 积r # g 的概念，并讨论其性尻 c n a s t a s e s c u 和s r a i a n u 2 、4 】等讨论了g - 分次环的理论。刘绍学教授在文【3 】 中对任意g 集g h ，和具有单位元的g 分次环胄给出了一般s m a s h 积r # g h 的定义，利用环的矩阵表示研究了s m a s h 积r # g h 的一些环性质，证明了g 分次r 一模范畴( g ，r ) - g r 与皿分次r # g h - 模范畴( h , r # g h ) - g r 是同构的( 见文 【3 】) 。 本文在此基础上，设r 是强g 分次环，对于任意群g ，利用强g 分次环的 性质，讨论g h 一分次模范畴( g h ，妁一g r 与模范畴震一m o d 之闻以及模范 畴r # g h m o d 与r ) 一m o d 之间的等价问题。整个过程如下所述，在第二 节给出了分次环，s m a s h 积r # g h 等基本定义，在第三节先给出强分次环成立 的一个充要条件( 引理3 1 ) ，然后证明了g h 分次模范畴( g ，月) 一与模 范畴r ( “一m o d 之间的等价。 定理3 2 设置是强g - 分次环，员f j 函子r 霁，一和( 一) 叫给出g h 分次模范畴 ( g h ，r ) 一g r 与模范畴r 一m o d 等价。 作为一种特殊情形，得到如下推论，即文f 4 】中的一个重要结论。 推论3 3 设r 是强g 一分次环，则函子r 固- 和( ) 。给出g - 分次模范畴 ( g ，r ) 与模范畴r 。一m o d 等价。 在第四节，先给出函子，然后证明了强分次环r 上的模范畴r # g h m o d 根，】撇坝| j 学伊论上 与r ) 一m o d 等价。 定理4 1 设矗足强分次环，则月。一：r # g h m o d r 一m o d 和 r 蚍，? h ， r 篇，一：r 一m o d 寸r # g h m o d 是一对互逆的等价函子，即模范畴 r # g h m o d 与尺”一m o d 等价。 同样，作为特殊情况，也可以得出下述推论。 推论4 2 设胄是强g 一分次环，则函子ro 一和函子r o 一给出了模范畴 r # g 心 r 。一m o d 与r # g m o d 是等价的。 在推论4 2 中取特殊情况，即g 为百限群，即为文 1 】中的一个重要结果。 最后，在第五节，就以上两个定娌。给出一些具体的应用，得出关于g 一分 次环月上g h 分次n o e t h e r 模及a t i n 模的一些重要结论( 详见文中定理5 1 至推论5 7 1 。 堂塑堡! ? 豫分逛哆模范畴吁霄彻模范畴的等价件 一4 a b s t r a c t t h et h e o r yo f t i n g si sag r e a tm a t hb r a n c h ，i th a sal o n gh i s t o r y i ts e e m st h a ti t c o u l d n tb ec o m p l e t e l yd i s c o v e r e d a n dt h et h e o r yo ft h eg r a d e dr i n g sh a sb e e n w i d e l ys t u d i e d l e tgb ea na r b i t r a r yg r o u p ，ar i n gri sg g r a d e di fr = or 。 g c - o w h e r ee a c h r g i sa na d d i t i v es u b g r o u po f 震a n d 哎毛r g h ，f o ra l l g ，h g e s t a s c s c u s 1 h i a n ua n do t h e r sh a ds t u d i e dt h et h e o r yo f t h eg - g r a d e d t i n g si nt h et e x t 【2 ，4 】c o h e n , ma n dm o n t g o m e r y , sg a v et h en o t i o no fs m a s hp r o d u c tr 撑g p r o f e s s o r s h a n x u el i ug a v et h en o t i o no fs m a s h p r o d u c tr # g hf o rg s e tg ha n dg r a d e dr i n g r ，a n dp r o v e dt h a tt h eg h - g r a d e dr - m o d u l ec a t e g o r ya n dt h er # g h - m o d u l e c a t e g o r ya r ei s o m o r p h i cw i t ht h er e p r e s e n t a t i o no f m a t r i xt i n g si nt h et e x t 【3 】 a tt h eb a s eo ft h e s e ，l e trb eas t r o n gg - g r a d e dr i n g 。b yt h ep r o p e r t yo f s t r o n g g - g r a d e dr i n g s ，w ed i s c u s st h ee q u i v a l e n c eb e t w e e ng h g r a d e dm o d u l ec a t e g o r y ( g h ，r ) 一g ra n dm o d u l ec a t e g o r yr 一m o d ，a n dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n m o d u l ec a t e g o r yr # g h - m o da n dm o d u l ec a t e g o r yr ( 一m o d w ef o l l o wt h e s t e pb e l o w i ns e c o n dp a r t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fg g r a d e dr i n g s ，s m a s hp r o d u c t r # g h , e t c i nt h i r dp a r t ，w eo b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs t r o n g g 。g r a d e dr i n g s ( 1 e m m a 3 1 ) ，a n d p r o v e t h a tg h m o d u l e c a t e g o r y ( g h ，晨) - g ra n dm o d u l ec a t e g o r yr ”一m o da r ee q u i v a l e n t n 。o 肿m 3 2l 。rb ca s t r o n gr i n g ，t h e nf u n e t o r s r 爱) 一a n d ( - ) 。u s h o wt h a t g h 。m o d u l e c a t e g o r y ( g h ，r ) - g ra n dm o d u l ec a t e g o r yr 一m o da r e e q u i v a l e n t a sas p e c i a lc a s e ，t h ef o l l o w i n gc o r o l l a r yi sd r a w n , i t so n eo ft h ei m p o r t a n t c o n c l u s i o n si nt h et e x t 4 张月极硕i 。学位论文 c 。m l i a r y 3 3l 麒rb ea8 r o 唱g 。g 。a d e dr i n g ，m e n 如n c t o 。sr q 趣- a n d ( 一) r s h o wt h a tg g r a d e dm o d u l ec a t e g o r y ( g ，r ) 一g ra n dm o d u l ec a t e g o r yr 。一m o da r e e q u i v a l e n t i nf o r t h p a r t ，w e d i s c u s st h e e q u i v a l e n c e b e t w e e nm o d u l e c a t e g o r y r # g h 一 如da n d r ( 何) 一 i b d ， w e p r o v e t h a tr # g h m o d舭d r ( - m o da r ee q u i v a l e n to n s t r o n gg r a d e dt i n g s t h e o r e m 4 1l e trb eas t r o n g g r a d e dr i n g ，t h e n f u n c t o r sr r 肇| f r # g h m o d 专r ( 一m o d a n d r 一。一：r ( 一m o d 专r # g h m o d a l ea c o u p l eo fm u t u a l l yi n v e r s ee q u i v a l e n tf u n e t o r s ，i no t h e rw o r d s ，m o d u l ec a t e g o r y r # g h m o da n dr ( 一m o d a r ee q u i v a l e n t a l s oa sa s p e c i a lc a s e ，w ec a nc o n c l u d et h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y c o r o u a r y 4 2 ：l e trb eas 仃o n gg g r a d e dr i n g ，t h e n f u n c t o r s r 黧一a n d r 2 5 h o w h a t 疋一坳d a 1 1 dr # g 一胁da r ee q u i v a l e n t w et a k ega saf i n i t eg r o u pi n c o r o l l a r y4 2 ，i t i so n eo ft h e i m p o r t a n t c o n c l u s i o n si nt h et e x t 1 】 a tl a s t , i ns e c t i o n5 ，b yt h et h e o r e m sa b o v e , w eg i v es o m e i m p o r t a n tc o n c l u s i o n s a b o u tg h - g r a d e dn o e t h e r - m o d u l ea n da r t i n - m o d u l e ( t h e o r e m 5 1t oc o r o l l a r y 5 7 、 张门极g h - 分次帛模范畴j 卅模范畴的等价性 6 栅次肛模范畴与吣模范畴 的等价性 1 引言 环论是近代代数学研究中的一个重要方向。群分次环是环论研究中不可或 缺的组成部分，c o h e n ，m 和m o n t g o m e r y 等人在群分次环上作了许多有价值的结 论，他们给出了有限群g 分次环( 分次代数) 、s m a s h 积以及群作用之间的关 系，得到了许多重要的结果。随后有许多人对分次环与s m a s h 积进行了深入讨 论，参见文献【2 7 】，【9 1 2 。对于任意群g ，及其子群h ，n a s t a s e s c u ，c 、r a i a n u ， s 和o y s t a e y e n ，f 在文献 2 】中研究了具有单位元的g 一分次环与有限可迁g 一集的 s m a s h 积。刘绍学先生在文献f 3 】中讨论了具有单位元的g 分次环震与任意g - 集g h 的s m a s h 积( 冲积) b f g h ，得到了分次环r 上的g h - 分次模范畴( g h , g ) - g r 与环r # g h 上的模范畴l 群- g h - m o d 是同构的( 文【3 】中定理1 ) 。若将s m a s h 积群g 好看成群接分次环，此时臻分次环捌g 抒上的撄分次模范畴 ( h ，r # g h ) 一g r 与g - 分次r - 模范畴( g ，r ) - g r 是同构的( 文【3 】中定理7 ) 。 本文在他们已有的工作的前提下，重点讨论了g 日一分次r 一模范畴与 r 一模范畴，模范畴r # g h m o d 与r 一m o d 之间的等价性，通过构造两 个互逆的等价函子足算，一与( _ ) 州得到了在r 是强g 一分次环的情况下，g h 一 分次模范畴( g h ，r ) 一g r 与模范畴腰”m o d 是等价的( 本文定理3 2 ) ，进而 由此推出作为特例的g 一分次模范畴( g ，r ) 一g r 与模范畴疋一m o d 之间的等价。 张门檄硕i 学位论文 再利用具体的函子证明了对于强g 分次环r ，模范畴r # g h m o d 与 r 旧一m o d 等价的结论( 本文定理4 1 ) 。以此出发，得出在n o e t h e r 模及a r t i n 模上的一些应用( 见本文定理5 1 至推论5 7 ) 。 2 准备知识 本节介绍一些基本定义。 在本文中，设g 为任意群，p 为g 的单位元。r 是有单位元1 的g 分次环， 即r = o r g ( 加群直和) ，且满足r g 凡量r 曲，v g ，h g 。若r g r = r 朗， g e u v g ，h g ，则称环r 为强g 一分次的。r 。中的元称为阶为g 的齐次元。若r r ， 则r = ，g ( 这里是有限和) ，其中名表示，的g 分量。关于群分次环、分次模 g e g 的基本性质均参见文 2 】。g 一分次环胄上的分次模范畴记作( g ，r ) j ( 也；己作 r - g r ) 。 称4 为g 集，若映射( g 在4 上的作用) ：g a 斗a 满足条件： g ( h a ) = ( g h ) 口，口口= 玎，v g ，h g ，口a 。由于任意g 集a 都是可迁g 一集的并集， 又任一可迁g 集同构于g 的某个子群日在g 中的全体左陪集 g h = b h ，i i 自然作成的g - 集，其中g h = q h ，f ， 是日在g 中的左 陪集的一个代表集，因而我们在讨论中总是将g 集取作g h ，h 是g 的任意子 群( 参见【3 】或 5 】) 。 定义z 1 2 设为g 集，g 分次环置上的模膨称作a 一分次模，如果m = 是m a ( 加群直和) ，且满足r 。m 。m g 口，v g s g ，口a 。若r s m a = m p ， v g g ，口a ，则称m 是强4 - 分次r 模，彳分次模m n a - 分次模的同态称 作a 分次同态，如果矿( m 。) 虬，v a a 张门极g h - 分次帛模范畴j 只删一模范畴的等价性 在本文中，我们取g 集a 为g h ，g 分次环r 上所有g 集g h - 分次模与 他们之i b j 分次同态作成的范畴记作( g h ，r ) 一g r 。 定义2 2 3 设g 是任意群，r 是g 一分次环，g h = 盯。h ，i i 是任意可 迁g 集。对于任一仃，h 引入符号名。，以 名。，i i 为基作自由r - 模 r # g h2 鲁峨。，其中乘法定义为： ( 吒一) ( 一) = a b 。”， g o l h = o 一 ( 再按线性扩张到整个厨吲日上去) ，其中口，b r ，b = ，而6 。r 。是元素b g d j 的g - 分量。由于g 日是可迁的，故总有g g ，使g 盯，h = 仃，h 。又由于只有 有限个6 。不为零，因而上式右端的求和式是合理的。可直接验证加群剧g 日关 于上述乘法作成一个结合环，称之为g 分次环r 与g h 的s m a s h 积，记为 g q - g h 。 如果r 是具有单位元的g 分次环，当g h 有限时，剃g ，日是具有单位元 的环；当g h 无限时，z 群g h 是无单位元的环，但它是具有局部单位元的环。 若r 是一个g 分次环，日是g 的子群，则r 是左r ( 一模和右r ( ”) 一模， 其模运算就是r 中乘法，此外，胄可看作g 分次环足上的g h 分次模 置_ 。恶，。r 。一其中r 。一2 荟以。特别地2 薹匙2 荟2 尉螂是一个 g l t = o ，hg h t h 日- 分次环( 参见文【5 】) 。 张门板硕j 学位论文 3 分次模范畴( g h ，r ) 一g r 与模范畴r t m m o d 的等价性 9 本节通过构造两个互逆的等价函子r 冀，一与( - ) 一，给出g 日- 分次模范畴 ( g h ，r ) 一g r 与模范畴r 一m o d 之间等价的结论，为此我们先证明下面的引 理。 引理3 1 设r 是g 分次环，则环r 是强g 分次的充分必要条件是每个 g i h 分次胄模都是强分次的。 证明：j任取m ( g i h ，r ) 一g r ，因为r 是强g 一分次环，所以 r 。= r g r v g g ，从而对v g g ，仃，h g h 有 m g h2r e mp h 2 r g r g - l m g 口? h r g m 口l h 又由于r g m q _ i = r m g t ，所以r g m q h = m “h 。即m 是强分次的g i h - 分次r 模。 仁将r 看作g h 分次r 模，由于每个g t h 分次且一模都是强分次的， 所以 r g r 听h = r g ，h ，鼬可g g ，o l h g h 所以 也( 恩r ) 2 雯彤 h h - a j hp h = g c y j h 因为若胴= 盯，h ，则g h h 2 9 c r h ，所以r 曲是是r p 的一个直和加项， p h ，g a y ( r g r r 曲，所以r g r = r 曲，h e g ，即r 是强g 一分次环。 口 现在，对于g 分次环r 和g 集g i h ，定义从模范畴r 旧) 一m o d 到g h 分次r - 模范畴( g h ，r ) 一g r 的函子： 张门极g h - 分次b 模范畴j 耳彻，模范畴的等价性 rq 一： r ”1 一m o d _ ( g h ，r ) 一g r ”i u 卜rou r i j g 卜1 0 9 其中g ：u 寸矿是模范畴一卿一胁d 中的r “一模同念，l 。g ：月篇，u _ r 舟v 是g i h 分次r 模同态。这里对任意的u r 一m o d ，令 似舟，。”= ”舄，u ，v c r ，h g h 因此，贝霁，( ，是一个g 日- 分次r - 模。 另外，还可以定义) ，k g h 分次r 模范畴( g 日，r ) 一g r 到模范畴r 一m o d 的限制函子： 卜) 。h ：( g h ，r ) 一g r 斗r ”一胸d m h ( m 、c h = me h l f 、m m j n 忖m 吁 寸n 。h 利用如上定义的两个函子，我们得到定理： 定理3 2 设r 是强g - 分次环，则函子r 黛，一和( _ ) “给出g 日- 分次模范畴 ( g h ，r ) 一g r 与模范畴r 一胸d 是等价的。 证明：首先任取m ( g h ，r ) 一g r ，令 a m ： r 嚣i m e h - m a m o 固哟= r m ，v r r , m e mc h 。 则c 嘞是一个r - 模映射，这是因为 【，( ，o 肌) ) = a t u ( r ，o m ) = ，门竹= ，( ，m ) = r o l f p o 脚) 计，r r ，m m d ，由于 r 肇，m c h = 。、急| 乒r 黧1 m c h l a 。h2 ，皂| 0 r 。，h 算。me h ) 张月饭硕i j 学位论文 是g 月一分次r 模，而且 a m tr 叫嚣m g h l 2 q r 州r e h 尊m c h 2 月o r , h a m ( r 。“舄，m e h ) = r ，j h m m ，? h 所以口。是g h 一分次r - 模同态。 其次，对于( g h ，r ) 一g r 中任意对象m 和以及任意 f h o m ( 6 帆肛g ，( m ，) ，下面图中的矩形是可交换的 m r 霉m e h 屿 m f0 1 q 0 f 、。h fl n r 基。nc h 与 n 这是因为对任意的r 固埘尺舞，m e m ，都有 f ( a t m p o 聊”= f ( r m ) = ，丁( 珊) 口( 1 0 ) ( ，固m ) = 口( ，p 厂( 脚) ) = ( m ) p ) i 以a 是从函子( r 碧，一) o ( 一) 一至t j ( g h ，r ) 一g r 上恒等函子的一个自然变 换。 对任意的m ( g h ，r ) 一g r ，因为m 是强分次的，所以口。是一个r 满射。 下面我们考虑k e r a m 。 k e r a m 是r ，。，m e l t 的g 日分次子模，由引理3 1 知，它是强分次子模。 k 甜a m ) c h2 ( k e r a m ) f 、t r 鐾1 me h ) e h 2 k 钟n mn t r “甚1 me h l 张门极g h - 分次m 模范畴1 j 旷n 模范畴的等价性 1 2 5 k e r ( c t u ) 。h 其中( t z m ) e h ：舟斗肘“是一个多构( 因为足一= 月”) 。因此， ( k e r a m ) m = 0 。由于r 是强g - 分次环，及k e r o ：m 是强分次子模，故 ( k e r a f ) 西h = r 毋( k e r c t m ) 跗= 0 所以k e r a t m = 0 ，所以仃m 是一个自然同构。 另一方面：任取u r 一m o d ，令 尾：俾霁，u ) 一斗u ，p u ( 1 x ) = x ，x e u 其中，( r 零，u ) e n2 r e h 嚣，u ，显见，尾是一个r 模同态，并且对于任意的 u ，v r 一m o d 及任意g h o m r 。m d ( u ，矿) ，下图中矩形是可交换的。 u 嘏算，u ) e n 屿 u 9 0( 1 0 9 ) m j ， g 上 v ( r 震，矿) “j q 矿 这是因为对任意的d r d ，x u ，我们有 确( 口o z ) = 矾( 1 0 a x ) = g ( a x ) = a g ( x ) ， 【岛( 1 固g ) 】( 口圆x ) = 所( 口o g ( x ) ) = p v ( 1 0 g ( x ) ) = a g ( x ) 因此，夕是从函子( 一) 一o ( 足碧，一) 到r 一j i 勿d 上恒等函子的一个自然变换，又 易见，对任意的u r 一m o d ，屏，是盖一模同构，所以是一个自然同构。 综上可知，借助于函子r 舟，一与( 一) e h ，得到范畴( g h ，r ) 一矿与r 一m o d 是等价的。 张月板硕r 学位论文 推论3 3 设异是强g 一分次环，则函子r 2 一和( 一) e 给出g 一分次模范畴 ( g ，r ) - g r 与模范畴r 。一m o d 等价。 证明：在定理中将换成平凡子群和) 即可。 注：以上推论3 3 是文【4 】中的一个重要结果。 口 4 模范畴r # g h m o d 与露( m m o d 的等价性 利用上节的定理3 2 和文【3 】中定理1 ，可知在r 是强g 一分次的情形下，模范 畴r # g h m o d 与r ) 一m o d 是等价的，在这一节，我们将给出具体的函子 来证明此结论。 定理4 1 设r 是强g 一分次环，则ro 一：r # g h m o d 寸r ( 一m o d r # g ，h 和r 霁，一：r “一m o d _ r # g h m o d 是一对互逆的等价函子，即模范畴 r # g h m o d 与r ( 一m o d 等价。 证明：因为r 为强g 一分次环，所以艘。= r ，殄g ，因此有 r s ) = 峨。= r # g h o i t t e g i 由文 5 】知道，r 是左( 右) r # g h 一模，且对于矽= r 硒，h ，矿= 一，昧。， 可作映射 驴：固v = r 固r r 撑g h ， 醇“ r 1 0 1 使得 妒( w o v ) = w ( v 。) h ，v w r ，v r o i h c - g h e e g g o t h = h 由于是为强g 一分次环，可验证伊：霞霁，r 斗r # g 胃是双r 存g 胃- 模同态、 中间月旧1 一模同态，且为满射，从而也是单射( 参见文【5 】) 。所以，所以对于任 张月极g z 限分次m 模范畴j 酽t 模范畴的等价性 1 4 意的肘r # g h m o d ，r 霁，。粤m ) 与m 作为r # g h 一模同构，将此同 构记为。 对任意的m ，n r # g h m o d 及f h o m r ，h ( m ，) ，则下面的矩形是交 换的： r 霉博r 肇f h m 岫 m r 固( 且固一) u ) 山f 上 r 霉1 ( 1 er 爨i h q n 所以，乃是函子( r 霹，- ) o ( r 。嚣：- t - ) 与r # g h 一胁d 的恒等函子之间的自然变 换。 另一方面，作映射v ：vow = r 圆r 专r ， r # g i h r # g h 由于r 为强g 一分次环，可验证有：r 圆r 斗r “是双r 一模同态、 中间r # g h 模同态，且为满射，从而也是单射( 参见文【5 】) 。所以对于任意的 m 震( 一m o d ，r0 ( 尺固m - ) 与m 作为r ( 一模同构。将此同构记为f 。 r # g hr i “ 。” 对于m ，n r 一m o d 及g h o m r 。h ) ( m ，) ，则下面图中的矩形是交换 的。 r r 熙抒( r 算，m ) 址哼 m 。 r o ( 尺。一) ( g ) 山g 上 ro ( r 圆) _ ! e o r # g i h r l u l 。 所以，f 是函子( r 。圆。一) o ( r 舞，- ) - 与r 一m o d 恒等函子之间的自然变换。 rrvw 豇嚣 = o y 张月极顾l ：学位论文 因此r # g h m o d 与r ) 一m o d 等价，rp 一与ro 一是互逆的等价函 r # g r “； 子。口 推论4 2 设r 是强g 一分次环，则函子尺。一和函子月圆一给出了模范畴 h 帅 嵋 r 。一m o d 与r # g m o d 是等价的。 注：以上推论4 2 中取特殊情况，即g 为有限群，即为文 1 l d o 的一个重要 结果。 5 一些应用 在文 4 中，作者引入了分次环矗上的群g 一分次n o e t h e r ( a r t i n ) 模，并讨 论它们的性质，在本节中先引入分次环r 上的g h 分次n o e t h e r ( a r t i n ) 模，即 将群分次n o e t h e r ( a r t i n ) 模的概念推广到g 一集g h 分次模上，然后给出前面定 理的一些应用。 定义5 1 设肘为g h 分次胄模，若m 关于其g h 分次子模满足升链 ( 降链) 条件，则称m 为g h 一分次- n o e t h e r ( a r t i f i ) r 模 定理5 1 设r 是强g 一分次环，m ( g h ，r ) 一g r ，则肘是g h 分次 n o e t h e rr 一模的充分必要条件是m “是n o e t h e rr 一模。 证：j 设r t m _ 模 幺。中任一子模升链： m l m 2 ks m 。k 则 r 盘，m i 矗舞，m ：c kc 一7 矗舟，m c _ k 为m 中g h 分次r 模升链，因为m 是g 分次n o e t h e rr 模，所以存在 ，使玎n 时，有 ( r 霁，m ”) “2 ( 月舟，m “) “2 k 张门擞g h - 分次肛模范畴i 片彻一模范畴的等价作 1 6 根据定理3 2 有( r 碧，m ，) “兰m ，r i = 1 , 2 ，k ，所以= m 3 k 即r 一模m 。是n o e t h e r 模。 乍 设g 日分次r 模m 中任一分次子模升链： n l n 2 k 。k 则 ( n i ) d ( 2 ) mc _ k ( 乜) k 为m 的胄一子模升链。由r ”模m 是n o e t h e r 模，所以存在， 使玎n 时，有 ( 。) 。= ( n ) e h = k 由定理3 2 知r 霹，( ，) m 兰m ，i = 1 , 2 ，k ，所以m2 n 2 k 所以设g h 分次r 一模m 是分次n o e t h e r 模。 口 定理5 2m 是n o e t h e rr # g h - 模的充分必要条件是m “是n o e t h e r 且( 一模。 证：利用定理4 1 ，与定理5 1 类似可证。 推论5 3 设月是强g 一分次环，则下列条件等价： ( 1 ) r ”是n o e t h c r 环； ( 2 ) 每个有限生成的r 一模是n o e t h e r 模； ( 3 ) 每个有限生成的g h 分次r 模是分次n o e t h e r 模 ( 4 ) 每个有限生成的r # g h 模是n o e t h e r 模； ( 5 ) r # g h 是n o e t h e r 环。 证明：显然有( 1 ) 营( 2 ) ，( 4 ) 营( 5 ) 口 张月极硕i 。学位论文 ( 2 ) 营( 3 ) 由定理5 ，1 可以直接得出，( 3 ) ( 4 ) n 7 由定理5 2 可以直接得出。 。 口 类似地，可以考虑g h 一分次a r t i n 模，有如下结论： 定理5 4 设r 是强g 一分次环，m ( g h ，异) 一g r ，则m 是g h 一分次 a r t i n r 一模的充分必要条件是m “是a r t i nr 一模。 证明：类似于定理5 1 可证。 口 定理5 5m 是a r t i nr # g h 一模的充分必要条件是m 是a r t i nr “模。 证明：利用定理4 1 可证。 口 推论5 6 ：设r 是强g 一分次环，则下列条件等价： ( 1 ) 畏是a r t i n 环； ( 2 ) 每个有限生成的r m - 模是a r t i n 模； ( 3 ) 每个有限生成的g h - 分次r 模是分次a r t i n 模； ( 4 ) 每个有限生成的r # g h 一模，是a r t i n 模； ( 5 ) r # g h 是a r t i n 环。 推论5 7 设r 是强g 一分次环，则下列条件等价： ( 1 ) r 。是n o e t h e r ( a r t i n ) 环 ( 2 ) r 是g 一分次n o e t h e r ( i r t i n ) 环； ( 3 ) r # g 是n o e t h e r ( a r t i n ) 环。 注：以上推论5 7 中( 1 ) 营( 2 ) 即为文 4 】的一个重要结果。 张月极g h - 分次m 模范畴t j 疗伸一模范畴的等价件 参考文献 【1 】c o h e n ，m ，m o n t g o m e r y , s ，g r o u p g r a d e dr i n g s ，s m a s hp r o d u c t sa n dg r o u p a c t i o n s ，t a m s 1 9 8 4 ，2 8 2 ( i ) ：2 3 7 - 2 5 8 【2 】n a s t a s e s c u ，c ，r a i a n u ，s ，o y s t a e y e n , 1 7 ，v a n ，m o d u l e sg r a d e db yg s e t ，m a t h z ，19 9 0 ，2 0 3 ( 4 ) ：6 0 5 6 2 7 3 】刘绍学，( 3 - 分次环与g 一集的s m a s h 积，数学学报，1 9 9 3 ，3 6 ( 2 ) ：1 9 9 2 0 6 【4 】n a s t a s e s c u , c ，o y s t a e y e n , ev a n , g r a d e dr i n gt h e o r y , m a t hl i b r a r y , v 0 1 2