（基础数学专业论文）几类plaplacian多点边值问题及非线性微分方程组解的存在性的研究.pdf

中央民族大学硕士学位论文 摘要 本论文主要应用l e g g e t w i l l i a m s 不动点定理、双锥不动点定理、 a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理以及锥压缩与锥拉伸不动点定理等非线性 分析的理论和方法，研究了一类具有反馈控制的非线性泛函微分系统 正周期解的存在性，以及带有p l a p l a c e 算子的多点边值问题正解的 存在性和多重性问题全文共分为三章： 第一章主要介绍了具有反馈控制的非线性泛函微分系统以及带 有p l a p l a c e 算子的多点边值问题的应用背景和国内外关于这些问 题的研究现状与成果，并简述本文的主要研究成果 第二章主要利用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理，研究了具有反馈 控制的非线性非自控泛函微分方程组的多重正周期解的存在性我 们证明了，对非线性项加以适当的增长性条件，所研究的方程组至少 存在三个正周期解 第三章研究带有p l a p l a c e 算子的三阶三点边值问题。我们分别 运用双锥不动点定理、l e g g e t w i l l i a m s 不动点定理、锥压缩与锥拉伸 不动点定理讨论了这些问题正解的存在性，多重性以及不存在性 关键词：反馈控制微分系统，p l a p l a c i a n 多点边值问题，正( 周期) 解，存在性与不存在性，锥上不动点定理 中央民族大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n st oo n ek i n do fn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h f e e d b a c kc o n t r o l ，a sw e l la st h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v e s o l u t i o n st op - l a p l a c i a nm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h e m e t h o d sa n dt e c h n i q u e se m p l o y e dh e r ea r ei n v o l v e di nn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i s ，s u c ha sa v e r y - p e t e r s o nf i x e d - p o i n tt h e o r e m 、c o n e t e n s i l ea n dc o m p r e s s i o nf i x e d - p o i n tt h e o r e m 、l e g g e t t - w i l l i a m s f i x e d p o i n tt h e o r e ma n dd o u b l e c o n ef i x e d - p o i n tt h e o r e m t h i s d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dr e s e a r c hs t a t u so nt h e n o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hf e e d b a c kc o n t r o la n d p - l a p l a c i a nm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa th o m ea n da b r o a d w ea l s op r e s e n tab r i e fs u r v e yo fo u rr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n ga v e r y - p e t e r s o nf i x e d p o i n tt h e o r e m ，w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h e n o n l i n e a rn o n - a u t o n o m o u sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hf e e d b a c k c o n t r o l ，a n dp r o v et h a tt h i ss y s t e ma d m i t sa tl e a s tt h r e ep o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n su n d e rc e r t a i ng r o w t hc o n d i t i o n si m p o s e do nt h en o n l i n e a r i t y i nc h a p t e r3w ei n v e s t i g a t es e v e r a lk i n d so fp - l a p l a c i a n t h i r d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e ， m u l t i p l i c i t ya n dn o e x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o nt ot h e s ep r o b l e m sb y i i 中央民族大学硕士学位论文 u s i n gd o u b l e - c o n ef i x e d - p o i n tt h e o r e m , l e g g e t t - w i l l i a m sf i x e d - p o i n t t h e o r e ma n dc o n e t e n s i l ea n dc o n e c o m p r e s s i o nf i x e d - p o i n tt h e o r e m ， s e p a r a t e l y k e y w o r d ：d i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h f e e d b a c kc o n t r o l ；p l a p l a c i a n m u l t i - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ；p o s i t i v e ( p e r i o d i c ) s o l u t i o n ； e x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c e ；f i x e d p o i n tt h e o r e m si nc o n e s i i i 中央民族丈学硕士学位论文 中央民族大学研究生学位论文作者声明 本人声明：本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究成果。对前 人及其他人员对本文的启发和贡献已在论文中作出了明确的声明，并表示了谢 意。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其它机构已经发 表或者撰写过的研究成果。 本人同意学校根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法等有关规定将 本人学位论文向国家有关部门或资料库送交论文或电子版，允许论文被查阅和借 阅；本人授权中央民族大学可以将本人学位论文的全部或者部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其它复印手段和汇编学位论文( 保密论 文在解密后遵守此规定) 。 作者签名：王宇晴日期： 2 0 0 9 年4 月 王导嚷 4 5 中央民族大学硕士学位论文 第一章绪论 第一节本文有关问题的研究背景和发展综述 微分方程边值问题既具有重要的理论意义，又有着深刻的应用背景物理 学、生物学以及化学等领域的许多自然现象都可以用微分方程来描述最优控制 理论、数学建模等学科的许多数学问题大多都可归结为求解微分方程边值问题 因此对微分方程边值问题的研究是非常必要的 2 0 世纪6 0 年代初发展起来的最优控制理论是利用了古老的变分法，而求解 变分问题的方法之一就是把变分问题推演成微分方程的边值闷题，然后求解 大多数有趣的自然现象是变化的，并且仅能由涉及变量的方程来描述因 此，研究微分方程边值问题对于解决客观实际问题有很重要的价值 微分方程边值问题在理论和实践中都有着非常重要的作用，它们常常被用来 描述许多物理，生物和化学现象，到目前为止，人们对微分方程边值问题的研 究已经取得了丰硕的成果，如文献【3 ，1 3 ，2 1 , 2 3 ，2 8 ，3 0 ，3 4 ，3 6 3 7 ，3 9 ，4 8 - 4 9 ，并初步 形成了比较完备的理论体系 带有p l a p l a c e 算子微分方程的边值问题，在非牛顿力学，宇宙物理，血 浆问题和弹性理论等诸多领域都有广泛的应用，参见文献 1 3 ，1 6 ，2 0 ，2 4 3 0 ，3 7 3 8 ，4 0 ，4 4 4 5 2 0 0 3 年，j o h nr g r a e f , 钱川喜和杨波曾研究了四阶三点非线性微分方程边 值问题，给出了这个问题的正解的存在与不存在的充分条件2 0 0 5 年，葛渭高 和任景莉推广了k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，得到了新的锥上的不动点定理2 0 0 3 年，刘萍和李永昆利用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理研究了具有反馈控制的非线性 泛函微分方程组的多重正周期解的存在性国内的钟承奎，范先令，陈文源编写 的非线性泛函分析，葛渭高编写的非线性常微分方程边值问题也是本研 究领域的重要的参考书这些文献深入地探讨了微分方程边值问题除此之外， 国内的郭大钧等教授带领的研究团队，都在此方面做出了丰富的成果 中央民族大学硕士学位论文 本文涉及的主要内容有：非线性微分方程的周期解，带有p - l a p l a c e 算子的 三阶三点边值问题，含有参数的p - l a p l a e i a n 三阶三点奇异边值问题下面我们先 对这两方面问题的研究背景和发展做一概述 非线性微分方程的周期解 微分方程周期解的问题有着非常好的的应用背景，早在二十世纪五六十年 代，人们在研究力学和工程控制等问题的时候，提出了大量的微分方程的系统模 型，并且希望知道这些微分方程模型的解是否有周期性或近似周期性轨线的性 态，最著名的是人口问题模型中的m a l t h u s 模型，其次还有l o g i s t i c 模型，广告 模型等微分方程模型，这就使得我们去探寻微分方程的解，从而解决这些实际的 微分方程模型的问题 2 0 0 3 年刘萍和李永昆在文 9 中使用a v e r y - h e n d e r s o n 不动点定理来研究形 如 的具有反馈控制的非线性微分方程的正周期解的存在性文中要求 ，( f ) ，j j l ( f ) ，g ( t ) c ( r ，( 0 ，佃) ) ，并且都是缈周期函数而且国 0 是一个常数，通过 定义一个凸锥上的算子，将闯题( 1 1 ) 转化为积分算子方程，再根据 a v e r y - h e n d e r s o n 不动点定理得出了( 1 1 ) 至少有两个正周期解的结论 2 0 0 4 年，葛渭高，白占冰等在文 1 5 中利用用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理 处理了一维p l a p l a c i a n 形如 砟0 ( f ) ) ) + g ( f ) 厂以缸f ) ，石) ) = o f ( o ，1 ) ， ( 1 2 ) 其中边值条件为 c z 砟( x ( o ) ) 一目九( x ( o ) ) = o ，以( x ( 1 ) ) + t 劫i p ( 工。( 1 ) ) - - o ，或者 x ( 0 ) - g 。( 1 ( 0 ”= o ，x ( 1 ) + 9 2 ( 石( 1 ) ) = 0 其中非线性项厂与一阶导数项有直接关系，最终得至u - j 问题( 1 2 ) 有三个正解的充 ， 一 叹 卜 仃 以 卜 “) a 7 r ， _ ：，1 刘 眦 、少 ， 广、 ，f、 、= ：， 吒 川 矗 一 一 出一出如出 中央民族大学硕士学位论文 分条件 2 0 0 3 年，j o h nr g r a e f , 钱川喜和杨波在文 2 0 】中利用k r a s n o s e l s k i i 不动 点定理研究了如下四阶微分方程边值问题 心力2 7 ( 力俐0 ：k l ( 1 3 ) 【“( o ) = “( 1 ) = u w ( o ) = - u 。( p ) - u ( 1 ) = 0 、 。 正解的存在与不存在的充分条件 借鉴上述的方法和问题的提法，我们也做了一些工作关于三个正解存在 性的文章还可参考文献 2 ，1 5 ，2 7 二带有p l a p l a c e 算子的三阶三点边值问题 带有p l a p l a c e 算子微分方程边值问题，在非牛顿力学，宇宙物理，血浆 问题，弹性力学，气体涡流，天体物理及p - l a p l a c i a n 的径向对称解等实际闯题 和理论研究中都有广泛的应用 在带有p - l a p l a c e 算子的微分方程中，丸是非线性项，可以建立一个格林 函数，然后构建一个新的积分方程截至目前，此方向已取得了极为丰富的成果 田元生，刘春根在文 2 4 】中应用a v e r y - p e t e r , s o n 不动点定理，讨论了类形 如 j 彬。( ) ”。+ 口( ) 厂( 伽) ，材。( ) ) = o ， 1 ； ( 2 1 ) 【“( 0 ) = “( 1 ) = a u ( q ) ，u w ( o ) = 0 的三阶p l a p l a c i a n 三点奇异边值问题多重正解的存在性其中九( j ) 是 p - l a p l a c e 算子 2 0 0 5 年，葛渭高，任景莉在文 1 4 】中研究了具有非线性边界条件的拟线性边 值问题 办y 棚i 小缈) = o o k j ； ( 2 2 ) i y ( o ) 一s o ( y 。( o ) ) = 0 = y ( 1 ) + b t ( y 。( 1 ) ) ， ( 其中，皖，蜀：r 专尺连续非减) 正解的存在性，并推广了k r a s n o s e l s k i i 不动点 定理，得到了新的锥上不动点定理 中央民族大学硕士学位论文 受到上述文章启发，我们用双锥不动点定理研究了一类三阶p l a p l a c i a n 三 点边值问题正解的存在性；另外还讨论了含有参数的p - l a p l a c i a n 三阶三点边值 问题正解的存在性与多重性 第二节本文研究的问题及主要结论 我们的主要工作是应用l e g g e t - w i l l i a m s 不动点定理、双锥不动点定理、 a v e r y - p e r t e r s o n 不动点定理以及锥压缩与锥拉伸不动点定理研究具有反馈控制 的非线性微分方程组和带有p - l a p l a c e 算子的多点边值闯题 在第二章里，我们讨论了 妄= ，c f ，x 。，+ f c 乙，“。一万。，x。2 2 。， 【d 班u = - h 砸) + 北) 雄叫) 。 定理2 2 2 令o 口 6 b n ，当( f ，“，1 ，) 【7 7 ， x b ，b p i o , d ； ( c 3 ) r t ，“，v ) a d ，当( 以v ) 【o ，缈】【o ，a l x o ，讣 麟l ( 毗) ( f 一万( f ) ) | d ；6 赌l 工- t + f ) i ，口 m a r xx 2 ( t + r ) l ，m 倒i n i 工：o + f ) i 6 ， a n d m 慨a x 。i 工s ( f + f 】 0 ，口6 k b ，使得 对( f ，x ) 【0 ，l l x 0 ，6 】，f ( t ，工) 0 ； 对( x ) e o ，1 】【0 ，口】，f ( t ，工) 九( 鱼) 。 m ， 成立，则边值问题( 3 2 1 ) 至少有两个正解材，( d 和”2 ( f ) 且o 8 口 收l ， 其中i t “l l = m = t 。l o , 1 l u ( t ) i 本文第三章第三、四节讨论了含有参数的p l a p l a c i a n 三阶三点边值问题 f 力( ”。( f ) ”+ 2 a ( t ) f ( t ，“( f ) ) = 0 ，o t 1 ； 【“( 0 ) = 材( 1 ) = a u ( r t ) ，u w ( o ) = o ( 3 3 1 ) 以及当( 3 3 1 ) 中2 = 1 时，即下面边值问题 砟( “。( 州蜘( ( 瑚) ) 卸，脉f l ，唬= ( 以) 一，i 1 + 吉= l ，口，哆( 。，1 ) 主要结论如下： 定理3 3 2 令厂。 1 ，取自然数七3 ，并且砟( 昙) 允 力( ，设存在常数 5 中央民族人学硕七学位论文 0 c i c 2 使得 ( a ) f ( t , y ) 办( 鲁) ，对于c 2 - y - k c ：和1 j | f 1 1 七， ( b ) 厂( f ，y ) 九( c 1 ) ，对于0 y c 1 和0 t 1 ， 那么，方程( 3 3 1 ) 至少有三个正解 定理3 4 1 如果( 砟( 彳) 厶) - 1 名 ( 砟( 曰) 最) 一，那么边值问题( 3 3 1 ) 至少有一 个正解 定理3 4 ，2 如果( 力似) 五) - 1 名 ( 彩( b ) 只) ，那么边值问题( 3 3 1 ) 至少有一个 正解 定理3 4 3 假定( h 1 ) ( h 2 ) 和以下条件成立 ( d ) 3 f ( t ，“) 丸( 彳卅“) ，v ( t ，“) e o ，1 x ( 0 ，佃) 那么边值问题( 3 3 1 ) 没有正解 定理3 4 5 假设有常数0 q 乞 c 3 c 4 和也，岛 3 ，佃) ，使得 ( i ) f ( t ，z ) 丸( qi k ) ，v ( t ，z ) o ，1 】【o ，c f 】，i = l ，4 ， ( i i ) f ( t ，z ) 丸( q ( 砖) ) ，v ( t ，z ) 【l 墨，l 一1 k a x c , k , ，c f 】，f = 2 ，3 那么边值问题( 3 4 4 ) 至少有两个正解 定理3 4 6 假设有常数0 c i c 2 c 3 c 4 和毛，毛e 3 ，佃) ，使得 ( i i i ) f ( t ，z ) 。( q k ) ，v ( t ，z ) 【0 ，l 】 o ，q 】，i = 2 ，3 ， ( i v ) f ( t ，z ) 。( q 三( 也) ) ，v ( t ，z ) 1 岛，l 一1 毛】【q k , ，c f 】，f = l ，4 那么边值问题( 3 4 4 ) 有至少两个正解 定理3 4 7 假设有常数0 e l c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 - 4 x ) + o f p ) 成立类似的，厂是锥尸上的非负连续凸泛函， ：尸_ f o ，) 且连续对于任意五少p 和o f l ，我们有 7 似+ ( 1 一f ) y ) 纱( x ) + ( 卜f ) y ( y ) 令y 和o r ：定义在p 上的非负连续的凸泛函，口是定义在p 上的非负连续凹 泛函，而y 是定义在p 上的非负连续泛函那么对于正实数a ，b ，c 和d ，我们 定义下列凸集： p ( r ，d ) = x p i7 ( x ) j ， e ( r ，口，b ，d ) = xep i6 口( 工) ，r ( - ) - 4 ， p ( r ，0 ，口，抚c ，d ) = x e p i6 口( x ) ，9 ( x ) 岛7 ( z ) d ， 以及一个闭集r ( r ，沙，口，d ) = 工p j 口妙( 石) ，7 ( 石) d 下面的a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理用来证明本文的主要结论 定理2 2 “2 设尸是实b a n a c h 空间e 上的一个锥令7 和0 是p 上的非负 连续凸泛函，口是p 上的非负连续凹泛函，而缈是p 上的非负连续泛函且对于 o 2 6 ： ( s 2 ) 对z p ，口，b ，d ) 和p q x ) c ，有口q x ) b ： ( s 3 ) 对x r ( r ，y ，口，d ) 和吵g ) = a ，有。正g ( r ，沙，a ，d ) 和陬) 口 那么r 至少有三个不动点而，x 2 ，x ，酮，并且有 7 “) d ，当i = l ，2 ，3 ， 6 口( j c l ) ，口 g ：) ，口( 而) 0 ，存在 o ，对于任意的凡孝雪c ， i i r l l - cl i 善1 1 c , j l 厂一孝0 p l l 工0 麟r 尼( r 万( r ) ，s ) g ( s ) 凼= 筇躐l 薯( r ) l 其中；懋r 足1 6 f 一6 0 l s k g ) 凼定义m _ 历1 证毕 由引理2 2 1 ，以上定义的泛函满足如下关系： 口( x ) 秒( 工) = 缈( 工) ，v x e p ( 2 2 7 ) 此外，对于每个工p ，有 删：时啡掣：m r ( x ) ( 2 2 8 ) 我们发现v t 【o ，1 】和v x ep ，有吵似) = 五缈g ) 因此，定理2 2 1 的条件( 木) 成寺 二主要结论 为了方便，我们引入下面的记号 以= m a xf k ( t 一万o l s k g 协m a xr g ( t 一仃 s 必 = m i n f g ( t + r , s ) d s ，d = m a xf g ( t + r , s ) d s ，= m a xr k ( f ，s k ( s ) 凼 我们的主要结论如下： 定理2 2 2 令。 口 6 b n ： ( c 3 ) 对( f ，“，v ) 【o ，r _ o x 0 ，a x o ，d 】，f ( f ，如v ) a d 那么，方程( 2 2 3 ) 至少有三个正解五，x 2 和x 3 ，使得 m 。g a s x 。 ( ，o x ；，j ( 、t 一万( f ) ) l d ； m 社i n l x ( t + r ) i b ， 6 赌k ( f + f ) i ，认m 。g a 卯x 1 x z ，t + f ) l ， 和m a x x 3 1 6 f + f 】 6 ) o 对于工p ( r ，0 ，口，b ，b f l ，d ) ，有 渤f ( f ) | 几m a x 。lx , ( r ) v - b f l ，躐i ( 瞬) ( f 一万o ) ) 即 使得易毛( f ) bminmlnfg一(t托s碜=b一，n ii + f 协= r l - g t 兰l 山 、7 。 1 e 对十x p ( r ，0 ，口，b ，b ，d ) ，有a ( t x ) b 这就表明定理2 1 的条件( s 1 ) 已 被满足 其次，由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 可知，对所有工p ( 厂，口，6 ，d ) 和p ( 及) 万b ，有 口( 功9 ( 蹦 砉= 6 因此，定理2 2 1 的条件( s 2 ) 也成立 最后，我们证明定理2 2 1 的条件( s 3 ) 也成立很明显，当；f ，( o ) = 0 a 时， 有o 萑r ( r ，l f ，a ，d ) 设x r ( r ， f ，a ，d ) ，少( x ) = 口，那么，对于t 【o ，c o 】，有 m 峨a x 甜i ( r ) i _ “m 哪a x 。i ( x ) ( t 一万( 训d 因此，0 x t ( r ) a ，0 ( ( 1 ) x ) ( t - 6 ( 0 ) d ，t o ，国】， 由条件( c 3 ) ，可知 w ( t x ) = m 咐a ；x 。i ( t x ) ，( f ) l = m a xj ： ”g ( f 托s ) f ( ，( 慨) ( j 一万( s ) ) p 三，n g + ! ， c c ，( c ， 成立，其中m ，l 由( 料) 给出，g ：- - - - i i l a x 埘g ( f ) 和舀：= r a i n f e ，g ( f ) 如第二章所示， 刘平和李永坤在文 9 中得到了问题( 2 2 1 ) 的两个正周期解但在本文中，我们 完全去掉了假设( h o ) 而且，在给f 加上更一般的非线性条件后，我们得到了 问题( 2 2 1 ) 至少有三个正周期解 1 6 中央民族大学硕士学位论文 第三章带有p l a p l a c e 算子的三阶三点边值问题 第一节引言 近年来，对带有p l a p l a c e 算子的微分方程边值问题的研究受到人们的广泛 关注，也取得了很多优秀的成果，如文献 2 1 2 6 ，3 2 ，3 3 ，3 5 ，3 6 1 田元生和刘春根用凸锥上的一个不动点定理，讨论了一类三阶p l a p l a c i a n 三点奇异边值问题 l ( 砟( 甜”( f ) ) ) + 口( f ) ( f ， ( f ) ，“( f ) ) = o ，0 f l ； 【“( o ) = u ( 1 ) = a u ( r d ，“。( o ) = 0 在非线性项依赖于未知函数厂的一阶导数的情况下正解的多重性，得到了这类边 值问题至少存在三个正解的充分条件 文献 1 4 】推广了k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，得到了新的锥上的不动点定理， 双锥不动点定理 受以上文献的启发，本章第二节研究了三阶p l a p l a c i a n 三点边值问题 ( 3 2 1 ) ，利用双锥不动点定理只构造了一个泛函，得到了这类边值问题至少存 在两个正解的充分条件 2 0 0 8 年，s e s h a d e vp a d h i 和s h i l p e es r i v a s t a v a 用l c g g e t t w i l l i a m s 不动点定 理研究了如下一阶泛函微分方程多重周期解的问题 y ( f ) = 一口o ) 少( f ) + a , f ( t ，y ( 矗o ) ) ) 带有p - l a p l a c e 算子的微分方程边值问题，在非牛顿力学，宇宙物理，血浆 问题和弹性理论等诸多领域都有广泛的应用，参见文献 1 5 - 1 7 ，2 1 - 2 3 在上 述文献中，所得到的结果都是关于p - l a p l a c i a n 二阶方程两点或多点边值问题方 面的， 而关于p - l a p l a c i a n 高阶方程多点边值问题的存在性和多重性结果却很 少见文献 1 9 应用l e g g e t w i l l i a m s 不动点定理研究了一阶微分方程存在三个 1 7 中央民族大学硕士学位论文 非负周期解的充分条件，文献 2 0 应用锥拉伸与锥压缩不动点定理，在最近的文 2 4 中田元生和刘春根运用文 2 的a v e r y - p e t e r s o n 四个泛函不动点定理讨论了 问题 砟o ”) i 胁( f 小岛掣。0 ，o “d ； ( 3 3 1 ) l y ( o ) = y ( 1 ) = 口j ，仞) ，y 1 ( o ) = 0 当参数五= 1 时可以有三个正解但是文 2 4 的结果需要构造四个泛函，证明比 较烦琐，对非线性项的增长性要求较多 本章第三节研究更一般的带有参数旯扰动的三阶p l a p l a c i a n - - - 点边值问题 ( 3 3 1 ) ，通过变量变换，可以把问题( 3 3 1 ) 转化为一个二阶三点边值问题，然 后利用l e g g e t - w i l l i a m s 不动点定理， 可以证明该问题当参数五在某个区间内变 化时有三个正解，从而原问题( 3 3 1 ) 至少存在三个正解我们的结果推广并改 进了文献 2 4 的结论 2 0 0 3 年，j o h nr g r a e f , 钱川喜和杨波在文 2 0 】中利用k r a s n o s e l s k i i 不动点 定理研究了如下四阶微分方程边值问题 f ( f ) = 2 9 ( t ) f ( t ) ，0 f 0 ，a 6 k b ，使得 对o ，石) 【0 ，l 】【0 ，6 】，f ( t ，x ) 0 ； 七一t o f 口( t ) d t 七 1 9 中央民族大学硕士学位论文 对( f ，x ) e o ，1 】x 【0 ，口】，f ( t ，功 九( - ) i h 2 其中，条件( h 1 ) 、( h 2 ) 、( h 3 ) 、( h 5 ) 在本章中总成立 本文的主要结果如下： 定理3 2 1 设( h 1 ) 一( h 4 ) 成立，则边值问题( 3 2 1 ) 至少有两个正解u 。( f ) 和 u 2 ( f ) 且o l l - , i i 口 0 是一个 常数，令群= 和k ： l ，a ( a x ) a ( x ) 令k ( b ) = 工k ：口( 功 b ) ， o k ( b ) = 工k ：口( 工) = 6 ) k 。( 6 ) = x k ：口 0 ，使得 ( c 1 ) exeo k 。，i 口； ( c 2 ) 对x a k ：，i p 叫l 6 ； ( c 3 ) 对工k ：( 6 ) n 掰：t u = “) ，t x = t x 则r 在k 中至少有两个不动点y 。和y ：o _ i l y 。0 口 陟：i i ，a ( y ：) 6 引理3 2 1 1 3 令口l ，h 【o ，l 】，则边值问题 n 中央民族大学硕士学位论文 l 材+ j i ( f ) = 0 ，0 ， 1 【“( o ) = u o ) = 口甜( 7 7 ) ，0 r 1 有唯一解 掰( f ) = 上g ( t ，s ) 磊( j ) d s 这里 g ( t ，s ) = g ( f ，s ) + 气g ( 矽，s ) ，其中 l 一口 g c 厶苫，= l s t ( 。1 ，- 一s ，x ) , ：三：三：茎： 易知，g o ，s ) g ( s ，j ) ，0 f ，s 1 引理3 2 2 1 6 设材p ，自然数k 3 ，则 瘿峨l m 。蚓a x 酬 引理3 2 3 设条件( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，则“( f ) c o ，q n c 3 ( o ，1 ) 是边值问题 ( 3 2 1 ) 的一个解当且仅当掰( f ) c o ，l 】是积分万槿 “( f ) = fg ( f ，s ) 九( f 口( r 圹( 删( f ) ) d r ) d s ( 3 2 2 ) 的一个解 证明： 如果“( f ) 是( 3 2 1 ) 的一个解，即砟( “。( f ) ) ) = 一a ( t ) f ( t ，“( f ) ) ，从而 “o ) = 也( f 口( s ) 厂( 刚( s ) ) 凼) 即 ，掰+ 力( j ：郇) 邝州妫凼) = o o f l 【“( o ) = “( 1 i = a “( 刁) ， o 刁 1 由引理3 1 知“( f ) 满足积分方程( 3 2 2 ) 反之，如果“( f ) 是( 3 2 2 ) 的个解，则对任意f 【o ，1 】，我们有 “( f ) = 一唬( f 口( s ) ( 删( s ) ) 出) 易见甜。( 0 ) = o ，( 九( 材( f ) ) ) 。+ 口( f ) 厂( f ，“( f ) ) = o 此外，由于g ( 0 ，j ) = g ( 1 ，s ) = o ， ，y 从而，g ( o , s ) = g ( 1 ，s ) = l g ( r l , s ) = g ( v ，s 皿，我们有 i 一口 2 l 中央民族大学硕十学位论文 硼) = 硼) = f 卺鳓，s ) 力( r m ) m ，如) ) 纠出 = 口g ( 7 7 ，s ) 吮( r 口( f ) 厂p ，“( f ) ) d f ) 凼 = 伽( 7 7 ) 所以u ( t ) 是边值问题( 3 2 1 ) 的解证毕 弓l 理3 2 4 1 4 设x = c o ，1 ，粼l l u l l = s u p l “( f ) i ，k = x k ：x o ) o ) 设k ：石斗x 是全连续算子定义o ：t xj k 为( 少( f ) ) = m a x 耖o ) ，0 ， y t x ，则o 。t ：x 哼k 也是全连续算子 引理3 2 5设a ：x 专x 为 ( 么为) ( f ) ：f g ( t ，(33),s)ck ( 么枇) 2 上，o ( 棚f h ( ， ( 3 2 h ( r ) d r ) d s 2 3 ) 其中x 如引理3 2 4 所示，则a 是一个全连续算子 证明：设dc 石为一有界集，即，= s u p ( 1 l h l l ：h d ) k 定义为 ( 砌) ( f ) = ( fg (