（基础数学专业论文）关于几乎可数紧空间的研究.pdf

南京师范大学硕l 学位论文 中文摘要 拓扑空间x 称为几乎可数紧的，如果对于x 的任意可数开覆 盖甜，存在纠的有限子集y 使得u 矿：v v = x 在这篇文章中， 我们讨论了几乎可数紧空间和可数紧空间的关系，进而研究了几乎 可数紧空间的拓扑性质 在第二章中，我们主要研究了几乎可数紧空间和可数紧空间的 关系，进而研究了几乎可数紧空间的等价刻画 在第三章中，我们主要研究了几乎可数紧空间的拓扑性质 关键词：可数紧空间；几乎可数紧空间；正则闭集；林德洛夫空间 南京师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t as p a c exi sa l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ti ff o re v e r yc o u n t a b l eo p e nc o v e r “o fx ，t h e r ee x i s t saf i n i t es u b s e tvo f 酣s u c ht h a tu ，矿：v c v = x i nt h i s p a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e na l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s a n dc o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s ，a n da l s os t u d yt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so f a l m o s t c o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na l m o s tc o u n t a b l y c o m p a c ts p a c e sa n dc o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s ，a n da l s ow es t u d ys o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f a l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s i nc h a p t e rt h r e e ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o p e r t i e so f a l m o s tc o u n t a b l yc o m - p a c ts p a c e s k e yw o r d s ：a l m o s t c o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e ；c o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e ； r e g u l a rc l o s e ds e t ；l i n d e l 6 fs p a c e 一i n 南京师范人学硕_ j ：学化论义 第1 章前言 1 1 引言 在这篇文章里，空间指的是拓扑空间空间x 称为可数紧的，如果x 的任意可数开覆盖都有有限子覆盖在t 】空间中，可数紧性等价于每一 个无穷子集都有聚点作为对可数紧空间的推广，b o n a n z i n g a ，m a t v e e e v 并l ：i p a r e e e k 2 】定义空间x 为几乎可数紧的，若对于x 的任意一个可数开 覆盖所都存在一个有限的子集v 使得u v ：v v ，= x 显然，可数紧空 间是几乎可数紧的，但是反过来不一定成立( 见 歹j j 2 1 3 ) 下面是本文所用 到的知识： 在本文中，我们把集合a 的基数记作l a i ，用c 表示实数集的基数，用u 表示第一个无穷序数，用u 1 表示第一个不可数的序数空间x 的e x t e n t ( i g 为e ( x ) ) 是指x 中任何一个离散的闭集的基数都不大于k 的最小的基数 通常地，基数是初始序数，而序数是指所有较小的序数的集合序数和基 数作为拓扑空间时，都赋予了通常序拓扑其它未定义的符号参见 3 1 2 本文的主要结果 下面是本文的主要结果： 定理2 1 8 正则的林德洛夫的几乎可数紧空间是紧空间 例2 1 9存在h a u s d o r f f 的林德洛夫的几乎可数紧空间x ，但x 不是 紧空间 南京师范人学硕j ：学位论文 定理2 2 1设x 是空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 是几乎可数紧的； ( 2 ) x 中具有有限交性质的非空可数开子集族_ ：礼u ) 有n 凡u 仍； ( 3 ) x 中递减的可数非空开子集列 ：n u ) 有n n u 瓦0 ； ( 4 ) x 中对于佗u 满足i n t f n 彩的可数递减闭子集列 r ：佗u ) 有n n u r g 定理2 2 2设x 是空间，x 是几乎可数紧的当且仅当对于x 中任 意司数闭子集族 r ) 瞿l 满足n 墨1 r = 0 ，则存在有限子集族 u 符号( 又) 表示空 f n x l 狗g e c h s t o n e 紧化考虑x 的n o b l ep l a n k 珥x ( 3 】) 定义如下 ；x = ( p x ( 丁+ 1 ) ) ( ( p x x ) 丁) ) 是p x 矛l l - r + 1 的积空间的子空间因为p x 7 - 是m x 的可数紧稠子集， 所以根据推论2 1 2 有： 定理2 1 5 设x 是t y c h o n o f f f f _ 间，如果c 厂( 7 ) u ，那么m x 是几乎 可数紧的 南京师范大学硕上学位论文 由上面的定理我们可以直接得到： 定理2 1 6 每一个t y c h o n o f f 空间x 都可以作为闭子空间嵌入 到t y c h o n o f f 的几乎可数紧空间 证明：设x 是t y c h o n o f f 空间我们取y = 虬。x ，则叉= x u 1 ) 是同胚于x 的y 的闭子集因为p x u 1 是y 的可数紧稠子集，由推 论2 1 2 知y 是几乎可数紧空间 众所周知，可数紧空间的e x t e n t 是有限的，但在几乎可数紧空间不成 立下面的定理说明t y c h o n o f f 的几乎可数紧空间的e x t e n t 可以是任意大 定理2 1 7 对于任意正则不可数基数k ，存在一个t y c h o n o f f 的几乎 可数紧空间x 使得e ( x ) k 证明：设d 是一个基数为k 的离散空间令x = 肌d ，贝j j 3 d k 是x 的可数紧稠子集，由推论2 1 2 , n x 是几乎可数紧的又由于d 尼) 是x 的离散闭子集a i d i = k ，所以e ( x ) k 因为林德洛夫的可数紧空间与紧空间是等价的对于几乎可数紧空 间，我们有下面的定理 定理2 1 8 f t j q 0 的林德洛夫的几乎可数紧空间是紧空间 证明：设x 是一个正则的林德洛夫的几乎可数紧空间，设甜是x 的一 个开覆盖则对于每一个z x ，都存在u x 纠使得z 巩由于x 是正 则空问，所以存在z 的开邻域圪使得 令 z 圪kg y = ( k ：z x ) 南京师范火学硕上学位论义 显然v 是x 的一个开覆盖因为x 是林德洛夫空间，故v 有一个可数子覆 盖 k 。：佗u ) 又因为x 是几乎可数紧的，所以 圪。：几u ) 存在有限 子集 k 。；：歹= 1 ，2 m ) 使得 x = u k 。j ：歹= 1 ，2 m ) 显然， 。j ：歹= 1 ，2 m 是甜的一个有限子覆盖，因此x 是紧空间 下面的例子将说明定理2 1 8 中正则的条件是必要的 例2 1 9 存在h a u s d o r f f 醪j 林德洛夫的几乎可数紧空间x ，但x 不是 紧空间 证明：令 a = o 住：佗u ) 和b = 6 m ：m u ) y = ( o 礼，b m ) ：n u ，m u ) ， 且令 x = yuau o ) 其中ogyua 空间x 的拓扑定义为：y 中的每一点都是孤立点；对于任意n u ，o n a 的基本邻域定义为： 。( 7 7 b ) = o 礼) u ( o n ，吼) ：i m ) 其中m u ，并且点。的基本邻域的形式为 ( f ) = o ) u ( u ( o n ，b m ) ：o n a em u ) ) ， 其中f 是a 的有限子集 显然，由x 拓扑的构造知x 是一个h a u s d o r f f 空间因为在x 中不存 南京师范大学硕士学位论父 在两个互不相交的开集分离点a 和闭子集a 所以x 不是正则空间因 为i 义l ：u ，所以x 是林德洛夫空间又因为a 是基数为u 的离散闭子集， 所以x 不是紧空间 下面证明x 是几乎可数紧的设甜是x 的一个可数开覆盖，那么存 在纠使得a 由x 的拓扑定义可知存在a 的一个有限子集f 使 得( f ) ，从而 a ) u ( a f ) u ( o n ，b m ) ：a 几a f ，m u ) cu o ； 另一方面，每一个e 因为 q n ) u ( n n ，b m ) ：m u ) 是x 的紧子集，所 以就存在有限子集讫。“使得 o n ) u ( 口n ，b m ) ：仇u ) cu v ：v 让。) 令 y = ) uu 屹。：a n f ) ， 则y 是甜的有限子集且 x = u v ：v v ) ， 这说明x 是几乎可数紧的 2 2 几乎可数紧空间的等价刻画 定理2 2 1 设x 是空问，则下列条件等价： ( 1 ) x 是几乎可数紧的； ( 2 ) x 中具有有限交性质的非空可数开子集族 = u x 移：仡u ) = x n 瓦：佗u ) = x ， 所以v 是x 的一个可数开覆盖因为x 是几乎可数紧空间，于是存在一个 有限集 佗l ，n k cu 使得 x = u 整1 琢= u 冬1 ( x 瓯) = u 整l ( x 瓦) u 整l ( x ；) = u 冬1 ( x 。) = x n 警1 。， 于是n 整1 。= 历，这与( ：n u ) 具有有限交性质相矛盾 ( 2 ) 令( 3 ) 是显然的 ( 3 ) 兮( 4 ) 设( r ：佗u ) 是可数递减列，且对于n u ，i n t f 几d ， 则 ，秕r ：n u ) 是递减可数开列由( 3 ) 得n n u 丽仍，因 此n n u r d 得证 ( 4 ) 今( 1 ) 设 ：佗u ) 是x 的可数开覆盖对于每一个佗u ， 设r = x u 礼既，则 r ：n u ) 为x 的一个递减的闭子集列故存 在n u 使得i n t f 几= 仍，否则对任意n u ，i n t f n d ，从而 r ：孔eu ) 满足( 4 ) 的条件，故 仍a n e w r = n 佗叫( x u i n 阢) = x u = d 南京师范火学硕一f j 学位论文 ii il a li i 就得到矛盾从而存在n u 使得i n t f n = 仍，即 故x = u i n u i = u 冬】玩，这说明x 是几乎可数紧的 定理2 2 2设x 是空问，x 是几乎可数紧的当且仅当对于x 中任 意可数j 羽子集族 只) 磐1 且满足n 墨l e = 0 ，则存在有限子集族 r 。：i = 1 ，2 ，忍) 使得n 冬1 ，n 亡昂；= d 证明：必要性如果 r ) 罄1 是x 中一个可数闭子集族且满足条 件n 墨1 只= 仍，则集族 x r ) 罂1 是空间x 的可数开覆盖因为x 是 几乎可数紧的，可知存在有限子集族 x f n i ：i = 1 ，2 ，尾) 使 得u 整l x r i = x 因为 u 江kl 砥= u 整l ( x i n t f ；) = x ， 所以n 警1 i n t f , ：；= d 充分性设 巩) 墨1 是x 的一个可数开覆盖，则 x 阢) 罢1 是一个可 数闭子集族且满足n 霪1 ( x 玩) = 0 ，且存在有限子集族( x i ：i = 1 ，2 ，尼) 使得n 冬1 ( i n t x u i ) = 仍，从而x = u 整1 瓦，故x 是几乎可数 紧空问 定义2 2 3 【9 】如果空间x 中所有的开集都是正则开的，则称x 是 半正则空间 定理2 2 4 设x 是半正则空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 是几乎可数紧空间； ( 2 ) x 的任意一个可数正则开覆盖 是x 的一个可数 开覆盖因为x 是几乎可数紧空间，故存在有限集 毗：i = 1 ，2 m ) 使得 u f - 1 ( ；) ：主= 1 ，2 m ) = x ， 从而有 y = ，( x ) = ，( u 丁了面习：i = 1 ，2 m ) ) = u ( ，( 丁硼) ：i = 1 ，2 m ) cu 冗诵) ：江1 ，2 m ) = u 瓦：i = 1 2 m ) - 所以y 是几乎可数紧空间 现在，我们讨论几乎可数紧空间的原象我们将在2 t o 。1 的闭连续 映射下，几乎可数紧空间的原象不一定是几乎可数紧空间空间x 自g a l e x a n d o r f f d u p l i c a t ea ( x ) ，这里a ( x ) = xx o ，1 ) xx 1 ) 中的每个点 是孤立点；( z ，0 ) xx 0 ) 的基本邻域是( ux o ) ) u ( ( ux 1 ) ) ( z ，1 ) ) ) ， 其中u 是z 在空间x 中的邻域我们知道x 是可数紧的当且仅当a ( x ) 是 南京师范人学硕_ j j 学位论文 可数紧的但在几乎紧空间中，此命题是不一定成立的 例3 2 2 存在空间x 和几乎可数紧空间y 及厂：x _ y ：2 到1 闭 连续映射，但x 不是几乎可数紧的 证明：设空间y 是例2 1 3 中的空间x ，则y 是几乎可数紧空问且有离 散无穷子集f = ( u 1 ，n ) ：佗u ) 令x = a ( y ) 显然，x 不是几乎可数 紧空间，因为f 1 ) 是x 的既开又闭的离散的无穷子集令f ：x _ y 是自然映射，显然。，是x 到y 的2 到1 的闭连续映射 注：上面的例子说明几乎可数紧空间x 的a l e x a n d r o f fd u p l i c a t e a ( x ) 不一定是几乎可数紧的 下面我们给出一个肯定结果 定义3 2 3 5 映射厂：x y 被称为是几乎开映射如果对于y 的 任何开子集u 都有厂1 ( 可) f 可两 定理3 2 4映射，：x y 是完备的几乎开映射，如果y 是几乎可 数紧空间，那么x 是几乎可数紧的 证明：设所是x 的一个可数开覆盖， 令y = y ：存在纠的有限子集族厂使得v = u 芦) 因为所是可数的，故v 也是可数的这样我们不妨把y 表示成f ： t t u ，对于任意的t t u ， 令= y v ( x k ) ，因为厂是闭映射，所以是y 的开子集 设w = ：仡u ) ，则w 是y 的一个可数开覆盖事实上，每一 个可y ，存在k v 使得t 厂_ 1 ( ) k 因为t 厂- 1 ( 可) 是紧的，所以 是的一个开邻域又由于y 是几乎可数紧的，所以存在w 的有限子集 族 ；：i = 1 ，2 仇) 使得 y = u i m t 南京师范人学硕上学位论文 因为厂是几乎开映射，所以 x = f - 1 ( y ) = f - 1 ( u s m 瓦i ) u i 仇( 厂一1 ( 两i ) u i u ，则存在一个可数无限集s ocs 令纠= 挺i se 岛) u o ，s s o x , ，则酣是o 。s 托的可数开覆盖显然甜 中不存在有限子集的闭包的并为0 。s x 。这样我们就得到矛盾，说明s 是有限集 充分性：记x = o 。s 咒设甜是0 。s x , 的可数开覆盖，不失一般性， 我们不妨假设对于任意u 甜，存在8 s 使得u x 。因为k 是几乎可 数紧的，所以存在翻的有限子集族璩使得恐= u 1 瓦：k 协) 记y = u 。s u 又由于s 是有限的，则y 是“的有限子集族且x = o g ：v y ) 下面我们讨论几乎可数紧空间的积，首先我们说明几乎可数紧空间 的积不一定是几乎可数紧的 南京师范大学硕_ 上学位论文 例3 3 2存在两个可数紧空间x 和y 使得x y 不是几乎可数紧 证明：设u 是离散拓扑空间，定义 x = u a u 。既和y = u a u ，r 其中玩和r 是p ( u ) 的满足下面条件的子集： ( 1 ) 如果o l p ，则bn 兄= d ； ( 2 ) l 玩l c 且i r l c ； ( 3 ) 每一个玩( r e s p r ) 的无穷子集都有一个聚点属于玩+ 1 ( r e s p 兄+ 1 ) 因为p ( u ) 中的每一个无限闭子集的基数都是2 c 【3 】，所以存在这样的集 合既和兄但x y 不是几乎可数紧的，因为 ( 佗，仡) ：礼u ) 是x y 中 基数为的离散的既开又闭子集，但不是几乎可数紧的，而几乎可数紧性 在既开又闭子集中是几乎可数紧的 引理3 3 3 空间x 是紧的当且仅 - 3 对于任意空间y ，投射j ，l y ： x y y 是闭的 定理3 3 4几乎可数紧空间x 与紧空间y 的积x y 是几乎可数 紧的 证明：因为y 是紧的，由引理3 2 3 知投射p i x ：x y _ x 是闭的， 并且对于任意z x ，( p l x ) - 1 ( z ) = z ) y 是紧的，所以pj x 是完备映 射由于p l x 是开的，故它也是几乎开的又因为x 是几乎可数紧的，由定 理3 2 4 知x y 是几乎可数紧的 南京。1 1 1 2 t + 人学硕j j 学位论文 苎苎! ! 曼! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ii i ! i i 苎! ! ! ! ! ! 曼! 鼍苎! 皇苎鼍篡 参考文献 【1 a v a r h a n g e l d k i i ，m m h a m d i ，g e n e d i t h eo r i g i no f t h et h e o r y o fr e l a t i v et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s g e n e r a lt o p o l o g y ，s p a c ea n dm a p p i n g s ，m o s k v a ( 1 9 8 9 ) ，3 4 8 ( i nr u s s i a n ) 【2 m b o n a n z i n g a ，m vm a t v e e va n dc m p a r e e k s o m er e m a r k s o ng e n e r a l i z a t i o n so fc o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e sa n dl i n d e l 6 fs p a c e s r e n d c i r c m a t p a l e r m o ( 2 ) ，51 ( 1 ) ( 2 0 0 2 ) ：16 3 17 4 【3 r e n g e l k i n g ，g e n e r a lt o p o l o g y r e v i s e da n dc o m p l e t e de d i t i o n h e l - d e r m a n nv e r l a g ，b e r l i n ，19 8 9 4 】s m r 6 w k a o nc o m p l e t er e g u l a rs p a c e s f u n d m a t h ，4 1 ( 1 9 5 4 ) ，1 0 5 。 1 0 6 【5 】a w i l a n s k y t o p i c sh 2j 砀n c f f ，z 口fa n 口砂s f s s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 6 7 【6 h v v e l i c h k o o nt h et h e o r yo f h c l o s e dt o p o l o g i c a ls p a c e s s i b i r k i i m a t e m a t i c h e s k i iz h u r n a l ，8 ( 19 6 7 ) ，7 5 4 7 6 3 【7 】j v e r m e e r c l o s e ds u b s p a c e so fh c l o s e ds p a c e s p a c i f i cj o u r n a lo f m a t h e m a t i c s ，118 ( 1 9 8 5 ) ，2 2 9 2 4 7 【8 n v v e l i c k o h c l o s e dt o p o l o g i c a ls p a e s a m e r m a t h s o c t r a n s l ， 7 8 ( 1 9 6 8 ) ，1 0 3 11 8 9 】f c a m m a r o t o al m o s t - h o m e o m o r p h i s m sa n da l m o s t t o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s r e v c o l o m b i a n a d em a t e m a i c a s ，1 9 8 6 ，51 - 71 10 】n l e v i n e a d e c o m p o s i t i o no fc o n t i n u i t yi nt o p o l o g i c a ls p a c e s a m e r m a t h ，6 8 ( 1 9 6 1 ) ，4 4 4 6 11 】d s j a n k o v i c an o t eo nm a p p i n g so f e x t r e m a l l yd i s c o n n e c t e ds p a c e s a c t a m a t h h u n g a r ，4 6 ( 1 9 8 5 ) ，8 3 - 9 2 12 g b a l a s u b r a m a n i a n o ns o m eg e n e r a l i z a t i o n so f c o m p a c t s p a c e s g l a s n i km a t h ，1 7 ( 3 7 ) ( 1 9 8 2 ) ，3 6 7 3 8 0 一l8 _ 一 南京师范火学硕上学位论义 1 3 】b a n a s h e f c