（基础数学专业论文）关于两类hamilton系统解的存在性和多解性.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 关于两类h a m i l t o n 系统解的存在性和多重性幸 学科专业：基础数学 指导教师：吴行平教授 研究方向：非线性分析 硕士研究生：晏胜华 摘要 本文主要考虑如下两类h a m i l t o n 系统( p 1 ) 和( 恳) ： j 6 ( t ) + v h ( t ，u ( t ) ) = 0 a e t 【0 ，卅，( p 1 ) 其中j 是标准的( 2 nx2 n ) 一辛矩阵 j = ( 羔) ， h ( t ，z ) c 1 ( r r 2 ，r ) ，对每一个z r 2 关于t 是t - 周期( t o ) 。u ( t 一1 ) + v f ( t ，u ( ) ) = 0 ，t z ，( p 2 ) 其中a u ( t ) = u ( t + 1 ) 一u c t ) ，2 u ( t ) = a ( k u ( t ) ) ，f ：z r 一冗，f ( t ，x ) 对每 一个t z 关于。是连续可微的，对每一个z r 关于t 是n 周期的，t 是正整 数，z 是整数集，v f ( t ，z ) 是f ( t ，x ) 关于z 的梯度 本文主要通过临界点理论中的极大极小方法，得到了具有部分周期位势的一 阶h a m i l t o n 系统( p 1 ) 次调和解的存在与多解性及二阶离散h a m i l t o n 系统( 岛) 周期解的存在与多解性主要结果如下： 定理1 假设h ( t ，x ) 满足如下条件； ( 玩) 日关于x i 。，z 如是周期函数； ( 玩) 存在g l 击( 【o ，t 】；r + ) ，h l 2 ( 0 ，卅；月+ ) 及q o ，1 ) 使得 v h ( t ，z ) i g ( t ) l = l 。+ ( t ) ，vz r 2 ，a e t 0 ，纠； 基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 西南大学硕士学位论文中文摘要 ( 凰) 存在【0 ，列的子集g 且m e a s ( g ) 0 及，l 1 ( o ，丁；r ) 使得 h ( t ，x ) ，0 ) ，vz r 2 ，a e t 【0 ，列； i 如凯肇 = + 对( t ，r z ) g a 一致的成立， p a ( r e s p p 8 ) 是r 2 到a ( r e s p b ) 上的投影算子，这里r 2 = ao b ， a = s p a n e i l ，e p ) ，b = s p a n e i p + l ，e i 2 ) ， 其中( e i ) l 0 和目【0 ，1 ) 使得 i v f ( t ，z ) i m i x l 口+ m 2 ，v ( t ，z ) z 1 ，t 】xr ， 其中z 【n ，6 】：= zn 【a ，6 】对每一个a ，b z 且a 6 ； ( 局) 当z o xr - r 且川一o o 时，2 8 圣1f ( ，z ) _ + 则问题( p 2 ) 至少存在，+ 1 个几何上不同的周期解 定理3 设f 满足( 最) ，( 忍) 及 ( 只) 当z o ) xr ”且川_ o o 时，- 2 8 圣1f ( t ，z ) 一一o o 则问题( 尼) 至少存在r + 1 个几何上不同的周期解 定理4 设函数f 满足( f 1 ) 和 ( 焉) ! i mv f ( t ，z ) = 0 关于t ，x l ，z ，一致的成立， ( r ) ! mf ( t ，z ) = 0t ，x l ，研一致的成立，其中z o = ( x r + 1 ，x n ) ， 则问题( p 2 ) 至少存在r + 1 个几何上不同的周期解 推论1 设f ( t ，z ) 关于戥，l i n 分别是互一周期的，则问题( 恳) 至少存在 + 1 个几何上不同的周期解 定理 关键词：哈密顿系统；( p s ) 。条件；( p s ) ：条件；周期解；次调和解；广义鞍点 i i 亘堕盔兰堡主兰垡丝塞 英文摘要 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o r h a m i l t o n i a ns y s t e m s l m a j o r , p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y n o n l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o r , p r o f w ux i n g - p i n g a u t h o r ly a ns h e n g - h u a ( s 1 1 2 0 0 7 3 1 4 0 0 0 0 2 6 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gt w ok i n d so fh a m i l t o ns y s t e m s j 也( ) + v h ( t ，t l ( t ) ) = 0 a e t 0 ，t 】，( p 1 ) w h e r eji st h es t a n d a r ds y m p l e c t i c ( 2 n 2 n ) 一m a t r i x 凡o n ，o 晡n ) a n dh ( t ，z ) c 1 ( 冗r 2 ，r ) i st - p e r i o d i c ( t o ) i n tf o re v e r yz r 2 n 2 u ( t 一1 ) + v f ( t ，u ( t ) ) = 0 ，t z ， ( p 2 ) w h e r e t ( t ) = u ( t + 1 ) 一u ( ) ，2 u ( t ) 一( u ( t ) ) ，f ：z r 一r ，f ( t ，z ) i s c o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei nzf o re v e r yt z ，a n dt - p e r i o d i ci ntf o ra l lz r n ti s ap o s i t i v ei n t e g e r ，zi st h es e to fa l li n t e g e r s ，v f ( t ，z ) d e n o t e st h eg r a d i e n to ff ( t ，z ) i nz i nt h i sp a p e r ，w es h a l le s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es u b h a r m o n i cs o l u t i o n s o fs y s t e m s ( p 1 ) w i t hp a r t i a l l yp e r i o d i cp o t e n t i a l sb yt h em i n i m a xm e t h o d s a n dt h e e x i s t e n c eo f m u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n so f s y s t e m s ( 恳) w i t hp a r t i a l l y p e r i o d i cp o t e n t i a l s b yt h em i n i m a xm e t h o d s t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： c o n s i d e rad e c o m p o s i t i o nr 2 = aobo fr 2 nw i t h a = s p a n e i l i 一，) ，b = s p a n e 4 p + l ，e t 2 】， 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) i i i 西南大学硕士学位论文英文摘要 w h e r e ( e i ) l _ 0 ，m 2 0a n d0 【0 ，1 ) s u c ht h a t v f ( t ，z ) i m l l 5 1 口+ m 2 f o ra l l ( t ，5 ) z 1 ，卅r ，w h e r ez a ，6 】：= zn a ，6 】f o re v e r ya ，b zw i t ha 6 ； ( b ) h 一2 8 圣lf ( t ，z ) 一+ 。oa si x l _ o 。i n o ) r 一 t h e np r o b l e m ( p 2 ) p o s s e s s e sa tl e a s tr + 1g e o m e t r i c a l l yd i s t i n c tp e r i o d i cs o l u t i o n s t h e o r e m3a s s u m et h a tfs a t i s f i e s ( f 1 ) ，( f 2 ) a n d ( 乃) 1 5 1 2 8 ：lf ( t ，z ) _ 一o oa s 川一。oi n o ) r 一 t h e np r o b l e m ( p 2 ) p o s s e s s e sa tl e a s tr + 1g e o m e t r i c a l l yd i s t i n c ts o l u t i o n s t h e o r e m4a s s u m et h a tfs a t i s f i e s ( f 1 ) a n d ( 见 ( r ! i ；mv f ( t ，z ) = 0u n i f o r m l yi nt ，x l ，5 r ， o i ! i 。m f ( t ，5 ) = 0u n i f o r m l yi n ，x l ，孙，w h e r ez o = ( x r + l ，5 n ) z ”l _ o o t h e np r o b l e m ( p 2 ) p o s s e s s e sa tl e a s tr + 1g e o m e t r i c a l l yd i s t i n c ts o l u t i o n s c o r o l l a r y1a s s u m et h a tf ( t ，z ) i s 五一p e r i o d i ci n 兢，1 isn t h e np r o b l e m ( p 2 ) p o s s e s s e sa tl e a s tn + 1g e o m e t r i c a l l yd i s t i n c ts o l u t i o n s 西南大学硕士学位论文英文摘要 k e y w o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m s ；( p ) c o n d i t i o n ；( p s ) ：c o n d i t i o n ；p e r i o d i c s o l u t i o n s ；s u b h a r m o n i cs o l u t i o n s ；g e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n tt h e o r e m v 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明蓬毒示衷心感谢。 学位论文作者：墨腿彳 签字日期：即i 啤4 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：墨舱彳 签字日期：加fq 年碑月6 日 西南大学硕士学位论文前言与文献综述 第一章前言 h a m i l t o n 系统理论是既经典而又现代化的研究领域，它广泛存在于数理科学， 生命科学以及社会科学的各个研究领域，特别是经典力学和场论中的很多模型都 以h a m i l t o n 系统的形式出现近两百多年来，h a m i l t o n 系统一直足数学家和物理 学家的重要研究领域，而且对非线性分析，数学物理和微分几何等诸多学科产生 了重大的影响 由变分法的发展而建立起来的周期解理论，使得h a m i l t o n 系统解的研究与近 2 5 年来飞速发展的临界点理论相结合，取得了引人入胜的结果它主要包括极小 极大理论和m o r s e 理论a a m b r o s e t t i 和p r a b i n o w i t z 的山路引理可以说是临界 点理论发展史上的一个重要里程碑，随后的环绕定理又对山路引理作了进一步推 广本文将利用变分原理在一阶连续的h a m i l t o n 系统多重次调和解的存在性理 论与离散的二阶h a m i l t o n 系统多重周期解的存在性理论两个不同的领域之间建 立基本的联系，类比做了一些研充 第二章文献综述 我们考查如下两类h a m i l t o n 系统( p 1 ) 和( 岛) ： j 也( ) + v h ( t ，札( ) ) = 0 a e t 【0 ，卅，( p 1 ) 其中j 是标准的( 2 n 2 n ) 辛矩阵 扛( o n ，。i n ) h ( t ，x ) c 1 ( r r 2 ，r ) ，对每一个z r 2 关于t 是弘周期( t o ) 2 u ( t 一1 ) + v f ( t ，让( ) ) = 0 ，t z ，( p 2 ) 其中x u ( t ) = u ( + 1 ) 一u ( ) ，x 2 u ( ) = ( t ( ) ) ，f ：z r 一r ，f ( t ，z ) 对每一个 t z 关于z 是连续可微的，对每个z r 关于t 是n 周期的，t 是正整数，z 是 整数集，v f ( t ，x ) 是f ( ，z ) 关于z 的梯度 西南大学硕士学位论文前言与文献综述 我们感兴趣的是通过临界点理论中的极大极小方法，得到了具有部分周期位 势的一阶h a m i l t o n 系统( n ) 次调和解的存在与多解性及二阶离散h a m i l t o n 系统 ( 忍) 周期解的存在与多解性 在过去的时间里，已经有大量的文献讨论了在不同的条件下问题( 且) 存在无 穷多个次调和解( k t - 周期解) ，见文献【1 - 9 最近，在一种新的l a n d e s m a n - l a z e r 型可解性和局部强制条件下【1 】1 得到了次调和解的存在性且推广了【2 】的结果通 过广义的鞍点定理，【9 】获得了对于所有的k 1 在部分变量周期位势和部分强制 位势下至少存在p + 1 几何上不同的周期和次调和解的结果此外，凸位势【3 ，4 】 和超二次位势【8 】同样被大量学者考虑 在【9 ，1 0 】的推动下，本文定理1 在比【9 】更弱的强制条件下获得了相同的结 果事实上，我们考虑( p 1 ) 在部分变量周期位势和次线性条件下存在多重次调和 解接下来的结果通过极大极小理论获得 对于离散h a m i l t o n 系统而言，同样也引起了许多学者的兴趣，并取得了许多 有趣的结果，见文献 1 2 2 3 】，其中关于二阶离散h a m i l t o n 系统，也有许多文献对问 题( 忍) 周期解的存在性作了深入的研究，并且已得到大量经典的结果如： 1 9 】中 用c l a r k 对偶理论已经证明了次调和解的存在性【1 5 】对于系统( p 2 ) 在变号位势 下存在周期解给出了一个充分条件，而【1 8 】通过极小作用原理和扰动技巧获得了 同样的结果通过极大极小理论，【2 0 ，2 1 】分别在次二次和超二次条件下得到了某 个周期解的存在结果然而，对于部分变量周期位势几乎没有文章研究问题( 忍) 的解的多重性，从而本文将利用广义的鞍点定理，定理2 - 定理4 将深入研究问题 ( b ) 在部分变量周期位势下周期解的存在与多重性，并将推广【2 0 】中的结果 2 西南大学硕士学位论文 预备知识 第三章预备知识 x 是b a n a c h 空间且有直和分解x = y + z ，y 和z 是x 中闭子空间，y 是有 限维无边界紧的俨流形，磊( n = 1 ，2 ) 是z 中的n 维空间，设= y + 磊 令妒：x v r 足c 1 一泛函，妒n ：v _ 冗足妒在xv 上的限制 广义的鞍点定理( 见文献【1 0 】) 设妒c 1 ( x kr ) 且满足( p s ) 。条件和 ( p s ) ：条件若存在常数p 0 和 p 0 使得 b c l 对所有的“e 都成立 引理2 ( 见文献【9 】中的引理3 2 ) 选取i o 1 ，) 满足e 小e 。+ n b ，设 t ( t ) = e x p ( 丁2 7 1 j ) e i o + u + ( t ) + u 。+ 其中u + e + ，u o b ，u v 刃l j 么 p b ( t ( t ) ) 0a e t 【0 ，卅 引理3 ( 见文献【2 l 】) 对任意给的正整数t ，设 晰= u ：z _ r i u ( + t ) = u ( ) ，v t z 定义n k ：= 0 及f l 1 ( o ，丁；r ) 使得 h ( t ，z ) ，( ) ， vz r 2 ，a e t 【0 ，卅； i p 口( 1 刮i m o 。掣= + 。对( t ，翰z ) e gxa - - 致的成立， ( 4 ) p a ( r e s p p s ) 是r 2 到a ( r e s p b ) 上的投影算子，这里r 2 = ao b ， a = s p a n e 1 ，e 如，b = s p a n e i 纠_ l ，e i 2 ) ， 其中( e 4 ) 1 _ 0 和p 【0 ，1 ) 使得 l v f ( t ，z ) l m 1 1 x l 口+ m 2 ，v ( ，z ) z 1 ，t 】r ， 5 西南大学硕士学位论文主要结果 其中z a ，6 】：= zn 【a ，b l 对每一个a ，b z 且a 6 ； ( b ) 当z o ) r 一7 且一o 。时，一卵：1f ( t ，z ) 一+ o 。 则问题( 岛) 至少存在r + 1 个几何上不同的周期解 注2 定理l 推广了【2 0 】中的定理1 ，即是定理1 中r = 0 时的特别情形，这里 有许多函数满足我们的定理1 而不满足【2 0 】例：口【0 ，1 ) ， f c t ，z ，= 9 c t ，( c 。s z 。+ c 。s z 。+ + c 。s z ，+ ，妻n ，i 即1 2 ) 学， 其中z = ( x l ，x n ) r ，g ( t + t ) = 9 ( ) ，且g ( t ) 0 对每一个t z 1 ，卸都满 足 定理3 若f 满足( f x ) ，( f 2 ) 和 ( 乃) 当z o ) r 一7 且h _ 。时，吲一2 8 乏lf ( t ，z ) 一一o o 则问题( 恳) 至少存在r - f1 个几何上不同的周期解 注3 事实上，存在函数g 满足定理3 的条件例如，对任意的p 【0 ，1 ) ，令 其中z = ( x l ，x n ) r 定理4 若f 满足( f 1 ) 和 ( 见) ! i m v f ( t ，z ) = 0 关于，x l ，孙一致的成立； l o 。i 4 ( 咫) 。! i mf ( ，z ) = 0 关于t ，x l ，z ，一致的成立，其中z o = ( x r + l ，z ) i x 。i + o o 则问题( p 2 ) 至少存在，+ 1 个几何上不同的周期解 注4 事实上，存在许多函数满足定理4 ，例： f c t ，z ，= e x p ( 耋s i n x j - ，妻。豸) ， 其中z = ( x l ，x n ) r 6 +p z 一 一 巧 n5暑 ，悼 | | z f 西南大学硕士学位论文主要结果 推论1 设f ( t ，z ) 关于盈( 1 i n ) 是正周期的，则问题( 忍) 至少存在 + 1 个几何上不同的周期解 7 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 第五章主要结果的证明 对于定理1 的证明而言，我们考虑s o b o l e v 空间e = w 壹，2 ( s 1 ，r 2 n ) ，s 1 = r t z 和定义在e 上的二次型q ： 卿) = 互1z 1 ( 儿u ) 出， ( ，) 为兄2 的内积若u e ，则u 的傅里叶展开式 ，2 三e x p ( 争j ) m z 、一7 其中r 2 ，( 1 + l m l ) l 砬m i o 。通过简单计算，我们可知 ( ( 仳) = 一丌m l 鲕1 2 m e z 由上可知q 在e 上是连续二次型 考虑e 上的子空间： e “= r 2 州 e 一= 0 使得 屑i 如( ( t ) + 哼( t ) + 谚+ 吩) i 、写( j 甥i i | j j o o 一| l 哼| i ij l l o 。) 佰( 蝴一c 2 ) 一， j _ 0 0 ，a e t 【0 ，卅 由上式，( 凰) ，f a t o u 引理和注1 ，我们得到 于是 h(kjt，、酉(咖()十时()+田+)出j0 j。 二日( 如t ，饵( ( d + 哼( d + 田+ ) 皿+ 二，玳g ，( 幻蹴 正聃t ，店( ) + 咖) + 田+ 蜊nz t i f ( 驯班 专妒幻( 屑( 咖+ ) ) _ + o o ( 9 ) 与( 6 ) 矛盾因此嵋有界，从而u o t o b ，_ ”y ( 如若有必要可考虑取一 列子列) 进一步可得， 哼( ) + 哼+ _ “( ) = “+ ( ) + u o + t ，j _ o o 1 0 吼广岛广名 q z z + + + 幻 1 1 认 一 一 佩邶计 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 通过引理2 ，我们知道p b ( c t ) + u c t ) ) 0 因此， v 酉l p b ( 砂( 0 + 时( t ) + 田+ ) i 一， b o 。，a e 【o ，t 】 ( 1 0 ) 结合( 4 ) 和( 1 0 ) ，我们得到( 8 ) ，从而( 9 ) 成立，则与( 6 ) 矛盾从而( i ) 证明完成 ( i i ) 其次我们证明讯满足( p s ) ：条件( 定义见文献【1 0 】) ，设 u n ) c v 是一列( p s ) ：序列，即 讯竹( ) _ c ，菇n ( u n ) _ 0 ，礼_ 。 由标准的讨论可知( 见文献f l l 】) ，我们只须证明 u n 有界即可我们不妨假设 f i | i _ o 。设 = 让t 1 0 + 乱者+ u 二+ ，t 正，1 0 b ，t 去e + ，啄上i ，t 矿 通过砖和妒n ( u n ) 作用 ( 妒。( 乱竹) ，砖) = i i u + 1 1 2 + k o t ( v 日( 七，( ) ) ，乱嘉) d ( 1 1 ) 由( 飓) 和h s l d e r 不等式可得 z t ( v h ( 七t ，u 竹) ，u 者) d t i i i u + l l l 。( o ? 1 9 ( 七t ) i u n ( t ) l q + ( 尼t ) 1 2 d t ) 5 2 忆+ l l l 。( 怕i i l 击慨+ i i i i 。) ( 1 2 ) 从( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，引理1 和充分大的礼可知，存在c 3 0 ，c 4 0 使得 j | u 翱2 ( c 3 1 1 u n l i 。+ c 4 ) 1 1 砖m 由于| i i | _ o o ，我们得到 u 捌c sh u n 酽， 这里c 5 是某个正的常数我们注意到对于蛎的结论同理可证通过o l 0 使得 通过平均值定理可得 砖0 c 6 i u ：i 。，| i u 别c 6 i u ：i 。( 1 4 ) 妒七一( u n ) = o u ：1 1 2 一l i u ：0 2 + ，：r ，让：) d t + o k h ( k t t ( v h ( k t ，w n ) ，f 厶n ) d t 妒七，n ( u n ) = 0 u ：1 1 2 一u ：0 2 +，让：) 出+ (，n ) ， ，o l i u ：1 1 2 一i i u 二1 1 2 + k h ( k t ，u o ) d t k i f ( k t ) i d t ， j gj q ，t + ( v h ( k t ，) ，豇。) d r ， ( 1 5 ) 其中w n = 醒十s ( u 嘉+ 蛎+ ) ，8 【0 ，1 】，豇。= + u 嘉+ u 二由( 1 - 1 2 ) 知，存在常 数c 7 ，c s 0 使得 z t ( v 日( 胁，) ，砒) 出i ( c z ( i u o j + 忙洲) 。+ c s ) 崎圳， 由此式结合( 1 4 ) ，我们得到 z t 坐雠型d 叫 是有界的，由妒南，n ( u n ) 的有界性，结合( 1 5 ) ，我们有 锩铲妪固 gi u 2 1 2 0 2 其中c o 0 然而，通过( 4 ) ，不难看出i u ：l 是有界的，这与i u ：i 0 0 矛盾从而 ( p s ) ：条件成立类似于( p s ) ：条件的证明，( p s ) 。条件也成立，此处我们省略证 明 ( i i i ) 最后我们验证广义鞍点定理中的环绕条件( n ) ，( 6 ) ，( c ) 在( a ) 中我们可 以用+ y 代替y ，其中z 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 对u y k t 工= t 十+ t o + u ( u + e + ，u o b ，u y ) 通过( 3 ) ，我f 有 妒七( 砀+ 乱) = 吼( 郦+ t + + t ，+ t o ) = 1 1 u + 1 1 2 + 七o ? 日( 觇，、硒+ u + + u + u 。) d 一七 f t 1 1 t , + 1 1 2 + 七zf ( k t ) d t 一后 之- - c 1 0 其中c 1 0 0 因此存在常数p 使得 此式蕴含( a ) 成立 倒i n f y 慨( 嘞+ | u ) p ， 对t | z v ，让= u 一十u ，( u 一e 一， y ) ，由( 耽) 和h 6 1 d e r 不等式可得 r t 妒七( t 一+ ) = 一i l u 1 1 2 + k h ( k t ，u 一十v ) d t j o = 一i i 札一| 1 2 + 七z t 0 1 ( v 日( 足t ，s ( u - + v ) ) , u - + v ) d s d t + kz o 丁日( 七t ，。) d t 一i i 札一j 1 2 + 南z t ( 9 ( 七t ) i u - + v i 。+ 九( 忌t ) ) l u - + v l d t 十庇z r 日( 忌c ，。) 班 一i l u 1 1 2 + e l l | i u 一0 。+ 1 一c 1 2 当i i u 一0 _ o o ，其中c 1 1 ，c 1 2 是某个正常数则存在常数p 0 和 0 使得 豇n i l 0 使得对所有t z 1 ，t 】和z r 有 f ( ，z ) i l1 ( v f ( ，s z ) ，z ) d s | + i f ( ，。) l 1i v f ( t ，s z ) 1 1 z i d s + 地 口m + 1 1 z p + 蚓+ 尥 ( 2 4 ) 对7 r ( u ) zxv t = q 豆+ 豇，根据( 2 4 ) 和( 2 ) 得 ，( 丌( u ) ) = ，( 7 r ( q 豇+ 面) ) = 妒( q 毛+ 面) ， tt = 一吉l a b ( t ) 2 + f ( t ，q 霞+ 云o ) ) 一丢划蚓1 2 + t m 十1 i + 卵“+ 若t l q 豇+ 豇i + 尬丁 一i a 1 1 1 豇1 1 2 + c 2 l l i 五旷+ 1 + c 2 2 1 1 霞1 i + c 2 3 其中c 2 1 ，c 2 2 ，c 2 3 0 ，此式蕴含( 6 ) ，( c ) 成立从广义的鞍点定理可知，至少有 r + 1 临界点从而，妒至少有，+ 1 几何上不同的临界点那么在h t 中问题( 马) 至少有r + 1 几何上不同的解口 1 8 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 定理3 的证明根据( 局) ，( 1 7 ) ，( 2 5 ) 和c a u c h y s c h w a r t z 不等式可得 l 砉c f c t ，色c c ，一f c t ，p 面， 砉z 1l ( v f ( t , p f i + s c q 面+ 豇c t ，q 面+ 缸c t ，) i d s 砉z 1 ( 尬i p 面+ s ( + 邵) ) | 口+ 尥) i + 邵凇s 2 m 1 ( p f i 8 + ( i q 面i + i 雹( t