（基础数学专业论文）关于环上矩阵的Γαβ广义逆.pdf

宁波大学硕士学位论文 - i - 关于环上矩阵的 广义逆 摘 要 本文分四部分研究环上矩阵 广义逆存在的充要条件及表达式. 第一部分 首先我们给出环上矩阵 a的 moore-penrose 逆的定义及其 唯一性的证明其次我们研究环上矩阵 a的 moore-penrose 逆得到 + , a 存在的一个充要条件是矩阵方程 * xaaa =和 * aa ya=均有解. 此时有 * , ac ab + = 其中 b 和 c 分别是 * xaaa =和 * aa ya=的解. 第二部分 我们研究环上矩阵 agdh=的,., ij 逆得到其存在的等价 条件及表达式推广以往文献的相应结果. 第三部分 我们研究环上矩阵 agdh=的 moore-penrose 逆得到其存 在的等价条件及表达式推广以往文献的相应结果. 第四部分 我们对环上矩阵 agdh=的 广义逆作进一步的研究得到 当 d为一般矩阵时矩阵 agdh=的 广义逆存在的充要条件推广以往文献 的相应结果. 关键词环, 矩阵, 广义逆, ,., ij 逆, moore-penrose 逆 宁波大学硕士学位论文 - ii - on the generalized inverse of matrices over rings abstract this paper studies the necessary and sufficient conditions for existence and the explicit expressions of the moore-penrose inverse over rings with four parts. in the first section, first, we give the definition and the proof of the uniqueness of the moore-penrose inverse; then we study the moore-penrose inverse over rings, one of the necessary and sufficient conditions for existence of + , a is given. one of the necessary and sufficient conditions for existence of + , a is the equations * xaaa = and * aa ya= are both soluble. then * , ac ab + =, b ,c are the solutions of the equations * xaaa = and * aa ya= separately. in the second section, we study the ,., ij inverse of a kind of product matrices agdh= over rings. we give the equivalent conditions for existence and the explicit expressions of the ,., ij inverse of a kind of product matrices agdh=, and some previous results are extended. in the third section, we study the moore-penrose inverse of a kind of product matrices agdh= over rings. we give the equivalent conditions for existence and the explicit expressions of the moore-penrose inverse of a kind of product matrices agdh=, and some previous results are extended. in the fourth section, we make a further study of the generalized inverse of a kind of product matrices agdh= over rings. we give the necessary and sufficient conditions for existence of the generalized inverse of a kind of product matrices agdh= when d is a general matrix, and some previous results are extended. key words: ring, matrices, generalized inverse, ,., ij inverse, moore- penrose inverse 独 创 性 声 明 本人郑重声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方 外论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果也不包含为获得 宁波大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了 谢意 签名_ 日期_ 关于论文使用授权的声明 本人完全了解宁波大学有关保留使用学位论文的规定即学校 有权保留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阅学校可以公布论 文的全部或部分内容可以采用影印缩印或其他复制手段保存论文 保密的论文在解密后应遵循此规定 签名_ 导师签名_ 日期_ 宁波大学硕士学位论文 - 1 - 引 言 广义逆的概念最早是 i. fredholm 于 1903 年提出的1他给出积分算子的 广义逆并称之为“伪逆”. d. hilbert 于 1904 年讨论广义 green 函数时含蓄地 提出微分算子的广义逆 2. w. reid 于 1931 年的论文3中 谈到微分算子广 义逆的历史. e. h. moore 于 1920 年首先提出矩阵的广义逆 4 他利用投射矩 阵定义矩阵唯一的广义逆. 在这之后 30 年中广义逆没有引起大家足够的重 视. 虽然在 1937 年 siegel 又提出过矩阵的广义逆但直到 50 年代中期围 绕着某些广义逆的最小二乘性质及广义逆与线性方程组解的关系的讨论才 使广义逆的研究有了新的起色. 这些性质由 bjerhammar 于 1951 年考虑到 他重新发现 moore 逆同时也注意到广义逆与线性方程组解的关系. 特别是 1955 年penrose 改进并推广 bjerhammar 关于线性方程组的结果并证明给 定矩阵的 moore 逆是满足下列四个方程: (1) axaa= (2) xaxx= (3) * ()axax= (4) * ()xaxa= (其中*表示矩阵的共轭转置)的唯一的矩阵 x 5 这一重要发现对广义逆的研 究来说是一个新纪元为纪念他们所作的贡献称这个唯一的广义逆为 moore-penrose逆有时也简称为m-p逆. 从此广义逆矩阵的研究进入一个 新时期其理论应用和计算方法的研究得到迅速发展逐渐成为矩阵论的 一个重要分支. 1958年drazin在其论文6中研究了环和半群元素的广义逆. 随着矩阵广义逆研究的不断深入一般域除环主理想整环euclid环 noether环半单artin环和带有对合反自同构的结合环上矩阵的广义逆的研究 在国内外已有不同程度的进展. 如1968年m. h. pearl研究一般域上矩阵的广义 逆 7 1981年k. p. s. bhaskara rao讨论主理想环上矩阵的广义逆81983年k. p. s. bhaskara rao讨论整环上矩阵的广义逆 9 1984年 r. puystjens 研 究 noether环 上 矩 阵 的 m-p逆 10 1984 年 d. huylebrouckr. puystjens 和 j. vangeel研究半单artin环上矩阵的m-p逆11分别得到一些有用的结果1986 年庄瓦金12和屠伯壎13分别研究体和p-除环上矩阵的广义逆1988年曹重光 在 文 献 15中给出 带 有 对 合 反 自 同 构 的 一 般 环 上 任 意 矩 阵 均 存 在 moore- penrose广义逆的充要条件它推广文献13中相应的结果1988年江声远在 文献16中提出矩阵的 逆的概念1989年庄瓦金17研究euclid环上矩阵的广 宁波大学硕士学位论文 - 2 - 义逆1991年陈建龙在文献18中讨论带有对合反自同构*有单位元的结合环r 上形如 agdh=其中 g 为右高矩阵h 为左高矩阵 2* ddd=的矩阵 的 moore-penrose逆给 出这 样 的 矩 阵 存 在 moore-penrose逆 的 充 要 条 件 和 moore-penrose逆的表达式1992年k. manjuatha和r.b. bapat在文献19中给 出广义moore-penrose逆的概念并给出交换整环上具有秩分解的矩阵的广义 moore-penrose逆存在的充要条件1994年江声远在文献20中利用矩阵的 逆 给出约束线性方程组的解但并未给出矩阵 逆存在的充要条件和表达式 1997年r.b. bapats.k.jain和s. pati在文献21中讨论boolean矩阵的加权 moore-penrose逆在一定的条件下给出 加权moore-penrose逆存在的充要条 件1998年刘晓冀将文献19中的结果推广到具有满单分解性质的带有对合的 范畴 22 2000年刘晓冀在文献18工作的基础上讨论一般的矩阵 d得到形 如 agdh=其中g 为右高矩阵h 为左高矩阵d+存在的广义逆存在的 充要条件给出相应广义逆的表达式推广文献18的相应结果 23 2002年 刘淑丹游宏在文献18和19工作的基础上考虑文献18中同类矩阵的广 义moore-penrose逆存在的充要条件并给出逆存在时的表达式242003年王 志坚和刘晓冀给出文献23中矩阵的广义moore-penrose逆存在的充要条件及 表达式并得到这一类矩阵广义逆存在的新的充要条件和表达式推广文献 182324的相应结果252003年刘晓冀刘三阳和王志坚在文献26中通 过纯环论的方法给出一般环上矩阵的moore-penrose逆存在的充要条件并给 出它的一个显式表达从而推广以往文献的相应结果2004年王志坚和刘晓 冀在文献27中首先利用矩阵的行空间与列空间给出正则环上矩阵广义moore- penrose逆存在的充要条件及相应的表达式之后进一步给出一般环上矩阵 广义moore-penrose逆存在的充要条件推广以往文献的相应结果2005年尹 幼奇和岑建苗研究形如 agdh=其中 g 为右高矩阵h 为 左 高 矩 阵 2* dd d=的矩阵相对于 m 和 n 的加权moore-penrose逆存在的充要条件并 给出逆存在时的表达式282005年岑建苗在文献18和26工作的基础上继 续讨论带有对合反自同*有单位元的结合环 r 上矩阵的moore-penrose逆得到 环 r 上矩阵 a 的moore-penrose逆存在的充要条件是 a 有分解 agdh=其中 2* ddd= * ()gd gdid+和 * ()dhdhid+均可逆 29 2006年张仕光和 刘晓冀在文献28的基础上讨论一般的矩阵 d得到形如 agdh=其中g 为 右高矩阵h 为左高矩阵d+存在的矩阵相对于 m 和 n 的加权moore- penrose逆存在的充要条件给出逆存在时的表达式推广文献28的相应结 宁波大学硕士学位论文 - 3 - 果 30 2006年岑建苗在文献29工作的基础上讨论带有对合反自同构*有单 位元的结合环 r 上矩阵的广义moore-penrose逆得到环 r 上矩阵 a 的关于 m 和 n 的 广 义 moore-penrose逆 存 在 的 充 要 条 件 是 a 有 分 解 agdh=其中 2 dd= * ()mdmd= * ()()gd mgdm id+和 1*1 ()()dhndhid m +均可逆 31 2006年刘晓冀定义一种新的加权广义逆利用矩阵的行空间和列空间 给出这种广义逆存在的充要条件和表达式特别地给出一般域四元数 体除环上矩阵的moore-penrose逆存在的新的充要条件推广以往文献的相 应结果 32. 虽然自上个世纪 50 年代以来国内外对广义逆矩阵的研究十分活跃已 有好多研究成果但也有大量的问题有待于解决. 在现有的成果中主要是对 一般域除环主理想整环euclid 环noether 环半单 artin 环和带有对 合反自同构的结合环上的矩阵的广义逆的结果而对这些环上的矩阵的 广义逆的结果很少. 因此研究环上矩阵的 广义逆有着积极的意义. 本文沿着矩阵的 广义逆这一方向采用纯环论的方法利用矩阵的 行空间和列空间从一个新的角度对矩阵的广义逆进行一些有意义的研究 从而进一步丰富矩阵的广义逆理论. 由于矩阵的 广义逆的定义中包含两个不同的参数 和 使问题变 得复杂从而有一定的难度. 本文的重点是对环上一类特殊矩阵 agdh=的 ,., ij 逆和 moore-penrose 逆的研究详见本文第二章和第三章. 本文第一章研究环上一般矩阵 a的 moore-penrose 逆得到其存在的一个 充要条件而最后一章研究当 d为一般矩阵时一类特殊矩阵 agdh=的 广义逆存在的充要条件它们都为今后对这方面的研究指明了方向. 在本文中r 表示带有对合反自同构*的有单位元的一般环 m n r 表示 r 上 所 有 m n矩 阵 组 成 的 集 合, n m r . 对 于() m n ij m n aar =定 义 * ()() ijji aa=作为环上对合反自同构*在矩阵集合上的诱导对合反自同构. ( )r a 表示矩阵 a的列空间( )l a 表示矩阵 a 的行空间. 通常广义逆概念与记号见 文35和36. 宁波大学硕士学位论文 - 4 - 1 环上矩阵a的 moore-penrose 逆 1.1 定义及引理 定 义 1.1.1 设 m n ar 若 m n xr 满足以下四个方程 (1) axaa= (2) xaxx= (3) * ()axax= (4) * ()xaxa= 则称x为 a的 moore-penrose 逆简称为 m-p 逆记作 xa+=. 满足上述 方程 (),.,( )ij 的 x 叫做一个广义,.,ji逆记作 ( ,., )ij a所有 ( ,., )ij a的集合记 成,., a ij . (1) a也记作 a又称为 a的正则逆. 引 理 1.1.1 满足定义 1.1.1 中的四个条件的广义逆 x 是存在而且唯一的. 定 义 1.1.2 设 m n ar , n m r 若 m n xr 满足以下四个方程 (1) axaa= (2) x a xx = (3) * ()a xa x = (4) * ()xaxa = 的某几个或全部则称x为 a的 广义逆矩阵. 满足全部四个方程的广义 逆矩阵x称为矩阵 a的 moore-penrose 逆记作 , xa + =. 若 x 满足上述条件(1)(2)(3)(4)中的若干条 (),.,( )ij则称x为 a 的 ,., ij 逆记作 ( ,., ) , ij a . 引 理1.1.2 若 a的 moore-penrose 逆存在则必唯一. 证 明: 设 1 x 2 x 都是 a 的 moore-penrose 逆则 1 x 与 2 x 均满足定 义 1.1.2 中的四个条件. 于是 * 1111111 ()() ()xxa xxaxaxx = * 211211 = () ()() () ()a xaxxxaaxx = * 211211 ()xaxaxxa xa x = * 212121 ()() ()xa xxa xxxa = 宁波大学硕士学位论文 - 5 - * 212212 () ()() () ()xxa xaxxaa x = * 212212 () ()xa xa xxa xa x = 222 xa xx = 即 a的 moore-penrose 逆是唯一的. 下面我们举两个例子说明对给定的矩阵 和 a的 moore-penrose 逆不一定存在. 例 1 设 = 111 111 a = 01 01 01 = 01 01 01 则 = 000 9 1 9 1 9 1 x即为 a的 moore-penrose 逆. 事实上 = 111 111 01 01 01 000 9 1 9 1 9 1 01 01 01 111 111 axa = 111 111 01 01 01 000 9 1 9 1 9 1 03 03 = 111 111 01 01 01 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 = 111 111 01 01 a= = 111 111 = 000 9 1 9 1 9 1 01 01 01 111 111 01 01 01 000 9 1 9 1 9 1 xax = 000 9 1 9 1 9 1 01 01 01 111 111 00 0 3 1 宁波大学硕士学位论文 - 6 - = 000 9 1 9 1 9 1 01 01 01 000 3 1 3 1 3 1 = 000 9 1 9 1 9 1 00 01 x= = 000 9 1 9 1 9 1 * * 000 9 1 9 1 9 1 01 01 01 111 111 01 01 01 )( =xa * 000 9 1 9 1 9 1 01 01 01 111 111 111 = * 000 9 1 9 1 9 1 03 03 03 = xa= = * 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 * * 01 01 01 111 111 01 01 01 000 9 1 9 1 9 1 )( =ax * 01 01 01 111 111 00 0 3 1 = * 01 01 01 000 3 1 3 1 3 1 = 宁波大学硕士学位论文 - 7 - ax= = * 00 01 . 故 = 000 9 1 9 1 9 1 x即为 a的 moore-penrose 逆. 例 2 设 = 321 001 a = 01 01 01 = 01 01 01 则 a 的 moore- penrose 逆 不 存 在 . 事 实 上若 = fed cba xrfedcba,为 a 的 moore-penrose 逆则aaxa=但 = 321 001 01 01 01 01 01 01 321 001 fed cba axa = 321 001 01 01 01 06 01 fed cba = 321 001 01 01 01 666cba cba + + = 321 001 0)(6 0)( cba cba a cba cba + + = 00)(6 00)( 这样就产生矛盾. 因此a的 moore-penrose 逆不存在. 定 义 1.1.3 若 * aa=则称 a为*-对称矩阵. 引 理1.1.3 设 a为*-对称矩阵若 a有正则逆则必有正则逆是*-对称矩 阵. 证 明: 设 x 为 a的正则逆若 x 为*-对称矩阵则引理得证否则不 难验证 * xax 为 a的正则逆且是*-对称矩阵. 引 理1.1.415 设 b 和 c 是环 r 上的矩阵c记c的任意广义1逆则 (1) bc cb =当且仅当矩阵方程bxc=有解 宁波大学硕士学位论文 - 8 - (2) cc bb =当且仅当矩阵方程bcx=有解. 引 理1.1.523 设 d是环 r 上的矩阵且 2* ddd=则 dd + =. 1.2 定理及证明 定 理1.2.1 设 m n ar , n m r 则 , a + 存在的充要条件是矩阵方程 * xaaa =和 * aa ya=均有解. 此时有 * , ac ab + = 其中 b 和 c 分别是 * xaaa =和 * aa ya=的解. 证 明: 先证必要性. 若 , a + 存在则 * , ()aa aaa aa aaa aaaa + = * , ()aa aaa aa aaaaaaa + = 即矩阵方程 * xaaa =和 * aa ya=均有解. 下证充分性. 首先证明 * aa和 * aa 均有正则逆. 事实上若矩阵方 程 * aa ya=有 解则 存 在 矩 阵 0 y使 得 * 0 aaay=. 因 此 * 0 ()ayaa=. 于是 * 00 ()aa yyaaaa=即 * aa有正则 逆 . 同 理 可 证 * aa 有 正 则 逆 . 于 是由 引 理1.1.3知可 令 * ()()zaaaa aaa =其中 * ()aa 和 * ()aa 均为*-对称的正 则逆. 又由引理 1.1.4 知 * ()a aa aaa = * ()aa aaaa =所以 * ()()()a z aaa aaa aaaaa aaaaa = * ()()()()z a zaaaa aaaaa aaa aaa = * ()()()a aaaa aaa aaa = * ()()a aaa aaaz = * * ()()()a zaa aaa aaa = * * ()a aaaa z = * ()()()zaa aaa aaaa = * ()a aaaza =. 因此 , a + 存在且 * , ()()aa aaa aaa + =. 此时若令 * ()ba aa =, * ()caaa =, 则 * , ac ab + =, 且 b 和c 分别是 * xaaa =和 * aa ya=的解. 宁波大学硕士学位论文 - 9 - 若 b 和 c 分别是 * xaaa =和 * aa ya=的解则 * baaa = * aa ca=. 因此 * , ()()aa aaa aaa + = * ()()c aa aaa aaaab = * ()c a aaaab = * c ab=. 注 定理 1.2.1 是文31中引理 1.2 的推广. 推 论1.2.1 设 m n ar , n m r 则 a的 moore-penrose 逆存在的 充要条件是 * ( )()r ar aa * ( )()l al aa . 此时有 * , ()()aa aaa aaa + =. 证 明: 若 * ( )()r ar aa则存在矩阵 0 y使得 * 0 aa ya=即矩阵 方程 * aa ya=有解. 反之若矩阵方程 * aa ya=有解则存在矩阵 0 y 使得 * 0 aa ya=即 * ( )()r ar aa. 因此 * ( )()r ar aa等价于矩阵 方 程 * aa ya=有 解 . 同 理 可 证 * ( )()l al aa 等 价 于 矩 阵 方 程 * xaaa =有解. 故由定理 1.2.1 及其证明过程知结论成立. 注1 若 a为正则环上的矩阵则推论 1.2.1 是文27和32中定理 1 的 推广. 注2 若 d 为除环则必为正则环从而除环 d 上的任意矩阵 a 的 moore-penrose 逆存在的充要条件是 * ( )()r ar aa * ( )()l al a a即为文14 的结论. 注3 若 d为任意域则 d上任意矩阵 a的 moore-penrose 逆存在的充要 条件是 * ( )()r ar aa * ( )()l al a a因而有 * ( )()()r ar aar a a=. 这意味 着 * ( )()()rank arank aarank a a=这样我们就得到文7的主要结论. 宁波大学硕士学位论文 - 10 - 2 环上矩阵gdha =的,., ij 逆 2.1 定义及引理 定 义2.1.1 设 a 为 m n阶矩阵若0ax =只有零解则称 a 为右高矩 阵若0 xa=只有零解则称 a为左高矩阵. 注 此定义一致于体上高矩阵的定义 37. 引 理2.1.1 若( ,0)apdiag dq=pq分别为m 阶和n阶可逆阵d为 r 阶矩阵则一定存在右高矩阵 g 和左高矩阵 h使 agdh=. 证 明: 对 p 和 q进行适当分块() 12 ,pp p= 1 2 q q q = 则 11 apdq=令 1 gp= 1 hq=. 若0gx =则0 0 x p = 由 p 的可逆性知0 x =即g 为右高矩阵同理 h 为左高矩阵. 引 理2.1.2 设 agdh=( g 为右高矩阵h 为左高矩阵d+存在)且 满足: ( )()r ar a=( )()l ala=则下列条件等价: (1) , 1 (1,2)aa (2) 存在y 和 z使 ()()dhydzgd= (3) ()1d dh + ()1gdd + . 当 , 1a 时有 , 1,2()1,()1aud v ud dhvgdd + =. 证 明: (1)(2) 设 , 1xa 即 axaa= gdhxgdhgdh=()0g dhxgdd h=. 由假设 gh 分别为右左高矩阵则 ddhxgd=. 取yxgd=zdhx=即满足(2). (2)(3) 由()ddhy=易知()1yd dh + 同理()1zgdd + . (3)(1) 由( )()r ar a=( )()l ala=知存在nm阶矩阵 p 和 q满足 p aa=a qa= 宁波大学硕士学位论文 - 11 - 即 p gdhgdh=gdhqgdh= 而 gh 分别为右左高矩阵则 p gdgd=dh qdh=. 任取()1ud dh + ()1vgdd + 有 d dh ud dhd dh + =gdd vgddgdd + = 于是 dh ud dhqdh q + =p gdd v gdp gd + =. 故 dh ud dhdh + =gdd v gdgd + =. 又由 gh 分别为右左高矩阵则 dh ud dd + =dd v gdd + =. 于是 dh ud dddd v gd + =d dh uddd v gdd + =. 下面验证 , 1,2ud va + .事实上 ()()()()aud vag dh ud d d v gd hg dd vgd ha + = ()()()()()ud vaud vu d v gd d dh udvu d vgddvud v + =. 故 , 1,2a . 现取 , 1,2xa 则由上证知 ()1yxgdd dh + =()1zdhxgdd + = ()()xx a xx gd ddhxyd z + =. 因此 , 1,2()1,()1aud v ud dhvgdd + =. 引 理2.1.3 设 agdh=( g 为右高矩阵h 为左高矩阵d+存在) , 1a 且 满足: ( )()r ar a=( )()l ala=则 ()()ddgddgdddhd dhd d + = ()()dgddgdddd dhd dhd + =. 证 明: 由引理 2.1.2 的证明过程知存在nm阶矩阵 p 和 q使得 p gdgd=dh qdh=. 由 , 1a 及引理 2.1.2 知()1d dh + ()1gdd + . 又 ()gddgddgddgdd + = 上式两边分别左乘矩阵 p 和右乘矩阵 d得 宁波大学硕士学位论文 - 12 - ()p gdp gddgddgd + = 即 ()gdgddgddgd + =. 而 g 右高矩阵则 ()dddgddgd + =. 同理可证()ddhd dhd d + =. 故 ()()ddgddgdddhd dhd d + = 上式两边分别左右乘矩阵 d+得 ()()dgddgdddd dhd dhd + =. 引 理2.1.4 设 agdh=( g 为右高矩阵h 为左高矩阵d+存在) , 1a 且 满足: ( )()r ar a=( )()l ala=则 (1) , ()()1,2d dhdgdda + (2) ( ) , ()(),2,4 i d dhdgddaii + = (3) ( ) , ()() ,2,3 j d dhdgddaji + =. 证 明: (1)由引理 2.1.3 知 ()()ad dhdgdda + ()()()g dhd dhd d dgddgdhgddgddgdh + = gdha= ()()()()d dhdgddad dhdgdd + ()()()()d dhdgddgdd dhd dhdgdd + = ()()()d dhd dhd dhdgdd + = ()()d dhdgdd + =. 因此 , ()()1,2d dhdgdda + . (2) 由引理 2.1.3 知 (2)(2) ()()()()d dhdgddad dhdgdd + (2)(2) ()()()()d dhdgddgdd dhd dhdgdd + = (2)(2) ()()()d dhd dhd dhdgdd + = (2) ()()d dhdgdd + = (4)* ()()d dhdgdda + (4)* ()()d dhdgddgdd dh + = 宁波大学硕士学位论文 - 13 - (4)*(4) ()()d dhd dhd dhd dh + = (4) ()()d dhdgdda + =. 因此 ( ) , ()(),2,4 i d dhdgddaii + =. (3) 由引理 2.1.3 知 (2)(2) ()()()()d dhdgddad dhdgdd + (2)(2) ()()()()d dhdgddgdd dhd dhdgdd + = (2)(2) ()()()d dhdgddgddgdd + = (2) ()()d dhdgdd + = (3)* ()()ad dhdgdd + (3)* ()()gdd dhd dhdgdd + = (3)*(3) ()()gddgddgddgdd + = (3) ()()ad dhdgdd + =. 因此 ( ) , ()() ,2,3 j d dhdgddaji + =. 2.2 定理及证明 定 理2.2.1 设 agdh=( g 为右高矩阵h 为左高矩阵d+存在) , 1a 且 满足: ( )()r ar a=( )()l ala=则 * , 3 ()()(),ad dhd ygddid dhd dhz yy z + =+=为任意 * , 4 ()()() ),ad dhydgddz igddgddyy z + + =+=为任意. 证 明: 只证 , 3a 的表式 , 4a 的表式同理可证.由引理 2.1.2 知 ()1gdd + ()1d dh + . 取定 ()()1gddgdd + ()()1d dhd dh + 由引理 2.1.3 知 ()()ddgddgdddhd dhd d + = ()()dgddgdddd dhd dhd + =. 现设 , 3xa 即 * ()a xa x = * ()gdhxgdhx= ()d dhxdgddgdd dhx + = * () ()dgddgdd dhx + = * () () ()d ddgdddhxgdd + = * () ()()d ddgdddhxddgdd + = 宁波大学硕士学位论文 - 14 - * ()d ygdd + =. 这里 * () ()yddgdddhxdd + = * () ydhxgdddd + = * () () () () ddgdddhxgddgdddd + = * () () ()ddgdddhxddgddgdd + = * () ()ddgdddhxdd + = y=. 于是 (