（基础数学专业论文）具有平行第二基本形式的子流形.pdf

摘要 在微分几何中几何结构和几何不变量之间的关系是一个重要的研究课题具 有平行第二基本形式和具有平行中曲率向量的子流形是两类特殊的子流形，关于 这两类子流形的内蕴性质也属于这一问题的范畴经过许多伟大的数学家的不懈 努力，对这一问题的研究已经取得了很大的成就本文在前人研究的基础上继续 对这一问题进行研究首先本文通过利用外微分形式和几何不等式，得到完备的 黎曼流形中具有平行第二基本形式的子流形的一个积分不等式并在此基础上得 到了完备的单连通的黎曼流形中具有平行第二基本形式的伪脐子流形的一个拼 挤定理最后去掉伪脐的条件，通过对第二基本形式模长的限制，我们得到了黎 曼流形中具有平行第二基本形式的子流形的一个拼挤定理 关键词：平行第二基本形式，伪脐子流形，全测地，极小子流形 a b s t r a c t a ni m p o r t a n tp r o b l e mi nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi st h es t u d yo fr e l a t i o n sb e t w e e n t h eg e o m e t r i cs t r t c t u r ea n dt h eg e o m e t r i ci n v a r i a n t so f r i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d s t h e s u b r n a n i f o l dw i t hp a r a l l e ls e c o n df u n d a m e n t a lf o r ma n ds u b m a n i f l o dw i t hp a r a l l e l m e a nv e c t o ri st w ok i n do fs p e c i a ls u b m a n i f o l d s ，t h es t u d y so fe m b o d i m e n tn a t l l r c a b o u tt h e s et w ok i n do fs u b m a n i f o l d si sa l s ob e l o n g st ot h i sc a t e g o r y d o e sn o t f l o ws w i f t l ya f t e r m a n yg r e a tm a t h e m a t i c i a n sd i l i g e n t l y , h a sa l r e a d yo b t a i n e dt h e v e r y g r e a ta c h i e v e m e n tt ot h i sq u e s t i o nr e s e a r c h ! t l l i sa r t i c l es t u d i e si n t h ep r e d e c e s s o r i n t h ef o u n d a t i o nc o n t i n u e st ot h i s q u e s t i o nt o c o n d u c tt h er e s e a r c h i nt h i s p a p e r m a k i n gu s eo f1 - f o r m sa n dg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s , w ep r o v eai n t e r g a r a l i n e q u a l i t yf o rs u b m a n i f o l d s 、i t hp a r a l l e ls e c o n df u n d a m e n t a lf o r mi na r i e m a n n i a n m a n i f o l d s e c o n d ，w ep r o v eap i n c h i n gt h e o r e mf o r p s e u d o - u m b i l i c a ls u b m a n i f o m s w i t h p a r a l l e l s e c o n d f u n d a m e n t a li nac o m p l e t es i m p l yc o n n e c t e dp i n c h e d r i e m a n n i a nm a n i f o l d f i n a l l y , w eo b t a i nap i n c h i n gt h e o r e mf o rt h es q u a r en o r mo f t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fmu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tm i sas u b m a n i f o l d s w i t hp a r a l l e ls e c o n df u n d a m e n t a li nar i e m a n n i a nm a n i f o l d k e yw o r d s ：p a r a l l e ls e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ，p s e u d o u m b i f i c a ls u b m a n i f o l d s ， t o t a l l yg e o d e s i c ，m i n i m a ls u b m a i n f o l d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学往论支f 哆基名：i 雾渗孕 筝字日期：矽乡年石月v 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留，使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 侔和磁盘，允许论文被查阕和借阗本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：爱e 高年 签字日期：呻年月够日 导师签名： 签字日期： t 7 年月尹日 具有平行第二基本形式的子流形 具有平行第二基本形式的子流形 1 引言 微分几何是数学的主流分支，同时也是其他数学分支的重要基础，+ 其重大的 理论意义是不言而喻的随着历史的前进，几何也在不断更新和发展，同时也很 好的推动了其他数学分支的崛起、突破和发展当然与此同时其他学科的发展创 新也推动几何学的发展，为几何学的发展做出了重大的贡献其他学科的许多经 典的研究方法为几何学家所借鉴随着计算机行业的兴起，信息化时代的今天， 学科交叉，互相借鉴和互相发展是当今学术界的重大特点几何不仅在数学领域 应用广泛，在其它学科尤其是理论物理研究中也起到重要的推动作用，如爱因斯 坦相对论的几何解释、正质量猜测的解决、规范场理论的发展这些都体现了微 分几何学的重大意义因此关于微分几何的研究受到了国内外许多数学研究工作 者的重视纷纷投入到几阿学的研究领域陈示性式的提出、庞加莱猜想的解决掀 起一阵阵的几何学研究的高潮几何学及其相关的分支正在蓬勃的发展，许多新 的研究领域和分支不断的涌现 在微分几何的研究中，一个重要的问题是几何结构与一个黎曼子流形的几何 不变量之间的关系，这个问题是一个很有意义的研究课题具有平行第二基本形 式和具有平行中曲率向量的子流形是两类特殊的子流形，关于这两类子流形的内 蕴性质也属于这一问题的范畴经过许多伟大的数学家的不懈努力，对这一闯题 p 的研究已经取得了很大的成就 s t y a u 在 2 中，讨论了常曲率黎曼流形中具有单位平行平均曲率向量 的紧致子流形，并且得到了这类子流形关于第二基本形式模长平方s 的一个定 理 定理1 1 2 1 设m 。是s 肿，( 1 ) 中具有单位平行中曲率向量的紧致子流形p 2 ，若： s s 五；i r 3 + 月一- ：一 p 一1 则m 。位于s 一( 1 ) 的全测地子流形s ”，( 1 ) 中 徐森林教授对定理l 作了更进一步的改进如下： 定理2 1 3 1 1 设m “是s 一一( 1 ) 中具有平行中曲率向量的紧致子流形p 2 ，刀2 ，若： l 具有平行第二基本形式的子流形 肛m l 叫走， 量， p 一1v2 则m ”位于s ”一( 1 ) 的全测地子流形s ”( 1 ) 中 以上的两个定理中都是在常曲率空间s 一一( 1 ) 中，对第二基本形式的模长平方 s 加以一定的限制而得到具有平行中曲率向量的子流形的个内蕴性质定理这 个结果是具有开拓性意义的，对于子流形几何做出了突出的贡献后人又在这个 基础上对于一般的流形的情况加以考虑、讨论并取得了很大的突破，对予流形几 何的发展起到了很好的推动作用首先是h o n g w e ix u 在 3 中研究了这类子流 形，并得到了下面的定理 定理3 升设是h + p 维艿一p i n c h i n g 流形，m ”是w 中的 维可定向闭的极 小子流形，n ”，中在z 这点的截面曲率的下确界用口( 工) 表示，上确界用6 ( x ) 表示， 则 l 咖b s 一( 1 + 芎1s g n ( p 1 ) ) s 2 一烈行，p x b 一口) s e ( 珂，p 6 一口) 2 】o 定理4 例设n 一是n + p 维占一p 加曲垤流形，m 。是| w 中的”维具有平行第二 基本形式的闭的极小子流形，则m 一必具有以下两种性质之一： ( i ) s ：0 ，m 一是全测地的； ( i i ) _ j t 霄= d o l p ) ( d c ) 】s p n + ，( ，p ) ( d c ) l + 5 9 n ( p 一1 其中d 表示6 ( j ) 的最大值，。表示。( ，) 的最小值；d ( p ) ：行+ 昙( p 一1 ) o 一1 ) 巧 跏= 去肼( 川x 2 6 n - 2 5 ) ，肋 p ) = 詈砌1 ) ( 川) 上述定理与前人相比主要是将外围空间推广到了一般的流形，并在这种情形 下得到了一般流形中关于极小子流形的内蕴性质，这是子流形几何的一个突 破从此对于一般流形的情形研究大大的前进了一步本文试图在上述定理的基 础上将极小的条件去掉并假定中曲率非零，讨论一般流形中具有平行第二基本形 式的子流形的性质，将其推广到更一般的情况，得到下列结论 2 定理a 设一是珂+ p 维艿一p i n c h i n g 流形，m 。是n ”，中具有平行中曲率向量的 紧致子流形，且h 0 ，则下面的积分不等式成立 l f 【裕一岛s 一弓( 1 一啾月- 1 ) 啦( p - 2 ) 】一- 去2 ( p - 1 ) 砌- 1 ) ( 2 6 h - 9 ) ( 1 一秽谢s o 其中c + = m a x ( 1 + j is 鲥p 一2 ) ，赤 ，特别地如果m 。是平行中曲率向量的 且是伪脐的紧致子流形时，此时的积分不等式变为： l 【砸+ 删- ( 1 + 云1s g n ( p - 2 ) ) f 一；( ) ( 川少( p 一2 ) 1 一瓦1 9 ( p 一1 ) 打( 疗一1 ) ( 7 疗一6 ) ( 1 一占) 2 谢s o 定理8 设”是疗+ p 维占一p i n c h i n g 流形，m 。是”中具有平行第二基本形 式且法曲率张量场消失的紧致子流形，且日0 ，( p 2 ，耵2 ) ( 1 ) 若s ： 堕 ，则肘。位于”的 + l 维全测地子流形的超曲面 当+ 2 4 n 1 ( 2 ) 莓s 。 堕 ，且材”具有正截面曲率，则m ”是全脐子流形( 其中s 为膨。的 l + 2 。4 n - 1 ， 第二基本形式模长的平方) 定理c 设n 是n + p 维万一p i n c h i n g 流形， m 。是”，中具有平行第二基本形 式的伪脐紧致子流形，且胃0 ，( p 2 , n 2 ) 氟竺学i+ s 印( p 一2 ) 形 ( 2 ) 若。：! ：! 竺二；! ! ：竺兰：塑至 l + - s g n ( p 一2 曲面 且膨一具有正截面曲率，材- 是全脐子流 m 一位于一的一+ l 维全测地子流形的超 3 具有平行第二基本形式的子流形 主要定理设n ”，是n + p 维j p i n c h i n g 流形，m 是n ”，中具有平行第- - 3 本 形式的紧致子流形，且日0 ，p 2 ，n 2 尘+ 2 , i n 一1 ，则膨4 位于n ”，的 + l 维全测地子流形的超曲 面 ( 2 ) 若s 一( 4 ( f z ) ( y ) ，肜) 具有平行第二基本形式的子流形 或者 r ( z ，w ，x ，】，) = r ( z ，w ，x ，y ) + ( 厅( x ，) ，h ( r ，z ) 一( ( x ，z ) ，h ( r ，矿) ( 2 1 6 ) 因此，也把上式称为m 的g a u s s 方程 同样地，对( 2 1 2 ) 式关于x z ( 肘) 求协变导数得到 d x d r 善= 一d ( 4 ( y ) ) + d j ( d 产参) 所以 2 一巩( 4 ( 】，) ) 一a o ? f ( x ) 一h ( x ，4 ( y ) ) + d ；( 辟d 页( x ，】，) 善= 西x 面r f 一一d r d x 善一- 6 w l 孝 2 - ( 巩( 4 ( 即) 一f ( 即一4 ( 以y ) ) + ( d r 4 似r ) ) 一锄( d 一4 ( q z ) + p ( j ，y ) 孝一h ( x ，a g r ) ) + h ( y , a g x ) ) 其中r 1 ( x ，y ) ：r ( r 1 m ) _ x r ( r 1 材) 是法联络d - 南曲率算子 张量场么：r ( r 1 m ) xz ( m ) 寸l ( 肘) 的协变微分 定义为 d a ：r ( ，膨) xz ( m ) xz ( m ) 专z ( 膨) ( 2 1 7 ) ( d 4 ) ( 善，y ，x ) = ( d x 一) ( 善，j r ) 2 巩( d ) 一气f ( t 3 4 ( 巩】，) ( 2 1 8 ) 容易验证，d a 对每一个自变量有c 。( 肘) 线形性质，因此d a 是一个张量场 ( 2 1 7 ) 式可写成 x ( x ，功掌= 一( d i 4 ) ( 善，y ) + ( d ? 4 ) ( f ，x ) + r ( x ，y ) 善一 ( z 4 ( y ) ) + ( 】，4 ( x ” 分别写出他们的切分量和法分量得到 ( 巩4 ) ( 孝，y ) 一( 研4 ) ( 孝，柳= 一( _ ( x ，y ) 善) 7 r 1 ( x ，y ) f = ( r ( x ，y ) f ) 1 + ( x ，以( ，) ) 一向( y ，4 ( ) ) 上式通常称为子流形m 的r i e e i 方程 6 ( 2 1 9 ) 具有平行第二基本形式的子流形 对于子流形i ：m _ n 来说，g a u s s c o d a z z i r i c c i 方程 g ( z ，w ，x ，】，) = 页( z ，w ，x ，i o + ( h ( x ，) ， ( f z ) ) 一 ( 巩坝l z ) 一( q 矗) ( 置z ) = ( i ( z 功z ) 1 一 ( x ，聊善= ( r ( x ，】，) 0 1 + 厅( j ，4 ( y ) ) 一h ( r ，4 ( 石) ) 反映了诱导度量g = j ；、第二基本形式厅、以及法从上的法联络d 上 与外围黎曼空间的黎曼度量否之间应该满足的关系式这三个方程合称为子流 形i ：m 寸n 的基本方程 2 2 符号约定 在本文中各类指标取值的范围约定如下 1 a ，b ，c ，蔓”十p ；1 s i , j ，k ，疗； 一n + l s a ，- ? 7 ，s n p ， 设n ”是疗+ p 维占一p i n c h i n g 流形，在n ”上选取局部标准正交标架场矾 ， 使得它们限制在肼4 上，编) 与m4 相切，并且选取，为单位平均中曲率向量 即，；古膏设 吼) 号”关于( 气) 的对偶标架场， e ) 是”的联络形式， 则限制在m 一上有 = o ，= 蟛哆，蟛= 蟛 ， 6 = a a , j q 。q 固猫2 吉善蟛气 口j = 知+ ( 噬蟛一蟛鳐) = 疋删+ ( 瑶蟛簖瑶) 并且如果m “是平行中曲率向量的子流形，则r + 删= o ，即 厅= h e ，f ，h 帅= h e 9 = n h 喊= 坛= o ，口玎+ p t 7 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 具有平行第二基本形式的子流形 其中 ，孝，r 。，r 。分别是m ”的第二基本形式，平均曲率向量场，曲率张量场， 法曲率张量场，k 。是n ”9 的曲率张量场 约定s = j 陋旷，h = l 陆0 ，h 。= ( ) 。，昂净打i - i 。2 ，r ：= 棚； ， + ， 并用坛及表示h ，f 的一阶和二阶协交导数，我们有下式成立： 磁q = 啷+ 蟛+ 磁+ 够 卿- - 钒a + 吆+ a ，一一a 。二一， |s ，8 通过上面两式我可以得出 坛一= 一 一= ( 磕+ 鳐曩。) 一彬 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 用表示k 叶的协变导数，髟。表示k 。的协变导数，于是我们有 k m j m ( 竹1 = 积赢+ 砭班+ 吆+ k ，+ j ： ： ， = 一彬一吃忧彬一嘭+ 蟛 pb9 o 定义1 m ”具有平行的第二基本形式的子流形当且仅当o x h = 0 ，即 磁。0 ，v 口，i , j ，k 由( 2 2 8 ) 和( 2 2 6 ) 式得 ( 2 2 8 ) k = 0 ( 2 2 9 ) 根据，叫的定义，由( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 ) 式得 、a ，i , j ，k ，l ，x 。憎= 0 ，璃h = q 从而，鳐的l a p li c i a n a h # 嘶= 锰= o ( 2 2 i 0 ) ( 2 2 1 1 ) 定义2 ：如果中曲率向量厅在m ”的法丛中是平行的，则称m 。是平行中曲率向 量的子流形 8 具有平行第二基本形式的子流形 定义3 ：若m ”关于每一点的平均曲率向量霄是全脐的，即 ；( 日( 石，y ) ，万) = ；( 万，一r ) g ( x ，d = 片2 9 ( x ，y ) 则称 f 一是一，的伪脐子流形 定义4 ：若8 删- - 0v 口，七，则称膨”是法曲率张量场消失的子流形 定义5 ：若黎曼流形( ”，；) 的曲率张量场k 。c 。的协变导数即 x 。：f = 0 ，则称( w ，；) 是局部对称的黎曼流形 定义6 ：以”表示其截面曲率k ，满足o 占k 。s 1 的甩+ p 维单连通完备的黎 曼流形，称为万一p i n c h i n g 流形 命题1 1 如果膨“是平行中曲率向量的子流形，则h ；0 或日为非零常数，且 h 4 h 。p = h + 口h 。+ l k n 0 。 拉普拉斯算子作用与第二基本形式记为喵：= ，并记q 够：= 鳐 ， i 对于一个胛n s r 的矩阵- a = ( a o ) ，记( 一) ：= f r ( a ) - - x a ；则 对于任意玎行阶正交矩阵r 有 ( 4 ) = n ( t a 。t ) ； 引理1 设4 + i ，4 + ，。s 品- 席( 以易) ，& 净= ( 以) ，s # 艺& ， 口 则 ( 以4 一砟以) + ( 1 + i 1s g n ( p 1 ) ) 口j口p 其中s g i l ( ) 表示符号函数 引理2 1 q ，岛，既是2 n 个实数，满足6 f = o ，则 1 = 1 口巳一屯)2一了鬲n(善a：喜b，zt ) , ，q i 9 具有平行第二基本形式的子流形 引理3 嘲设n 一是月+ p 维黎曼流形，若其截面曲率足。在点x 满足 口( x ) s k ，6 ( z ) 则 ( i ) l k 。1 圭( 6 一口) ， a ，b 互不相同 ( i i ) i 巧。i 詈( 6 训， a ，b ，c ，d 互不相同 引理4 1 设( m ”，g ) 是( ，蚕) 的r i e m a m n 子流形( p 2 2 ) ，f = 叫，则 4 肿， (1)击r2伊(成)】2r21 p 一。舞， ( 2 ) o 眇( 域2 订口2 ) - t r ( h , , h p ) 2 】s 2 一【柏：】2 ， 4 卢 + ，口肿， 引理5 “设q ，t ，岛，既是2 疗个实数，且满足 6 = q = 0 ，a ；= 口，酽= 6 则 _ ij - ii - i，- l i j ：q 酽i sc 珂一z ，c n c 胛一， a 必a 等号成立的条件是a b = 0 或者至少一1 对( 口，岛) 相等 3 本文几种子流形第二基本形式的拉普拉斯 3 1 平行中曲率向量的子流形的拉普拉斯 设肘”是平行中曲率向量的子流形，并且选取+ 。为单位平均中曲率向量 即，= 古厅，则 a h ；= - z ( k 。州+ x 。舭) + ( 螺足衅+ 坛k 删) + 蟛足却业 + 螂畦一h 溉协0 + 嘁，h 乞峨+ h a 讲p f 哪# 一h ：| 咄h 一喙h 淞 、 1 0 墨查! 堑苎三苎奎兰茎堕主塑翌 去r = ( 绦) 2 + 蟛喵= + x + l ，+ z o a n p i i jd n + pl d 其中 - 一v c h o 一彬以) 一【护( 以) r 口，pa , f l ，s n + p x ；n h t r ( h 。+ ，磁) 一渺( 以+ ，吃) 】z a n + p口- 月+ p 】，# ( 蛲纡瓦独+ 坛嘭j ( 嘶) + 彬醒k 肛肛 如果膨。是平行中曲率向量的且是伪脐的子流形，则根据伪脐子流形的定义，可 记 军耻 ”。ha 口= n 聆+ p 矿= 口气 去f = ( 坛) 2 + 碍磁= 矿+ x + j ，+ z q n + p i j d m + pl i 其中，】，如前所述，x = n h 2 f 事实上由伪脐予流形的定义知： n h 护( k ，磁) = n i l 2 f a = n + p t r ( i - 1 ，也) 】2 = ( h 岛蟛) 2 = 日2 ( 鳐) 2 = o a ，n + p a n + p i , j a n + p ， 所以x = n h 2 f z = ( 吆) 2 一( 蟛+ 霄) a = n + p i j j 口m p + i 事实上 护( 兄+ ，月。) 2 一伊( 破，联2 ) = ( 鸭磁毛醒) 一( f 嗡日钐磁鳐) 口 + p a c n + p a c n + p ，上j j l , n + p l ，j , i t j = h 2 ( 蟛醒) 一日2 ( 碰蟛) = o 哦磙 护p 一 y以 ”以 护p 一 十口 劈 + 鳐 (p 臻 一 0 ， 啄 (p 揣 净z 具有平行第二基本形式的子流形 3 2 平行第二基本形式且是伪脐的子流形的拉普拉斯 如果肘。是平行第二基本形式且是伪脐的子流形则： 去r = ( 坛) 2 + 鳐瞄= 蟛蟛 a t w a + p i ，j 口n + pl - j4 螂+ p | t j 令嘭哪= 爿+ b + c + d + 。 其中4 净一n ( h h p 一) 一眇( 吃) 】2 b ：= n h t r ( h o + ，哪) 一【扩( 珥+ ，) 】2 = n h 2 r c 竽( 坛筲毛，肚+ 磙嘭巧舭) + 鳟a ，p 翰p d - t r ( h n + p 吃) 2 一r r ( 瑗，霹) = u 3 3 平行第二基本形式的子流形的拉普拉斯 如果m ”是平行第二基本形式且是法曲率张量场消失的子流形类似与伪脐 的情形 令 鳐蟛= 4 + 口+ c + d + e 其中爿_ 蟛( 虼+ ) a , * n + p t j j c “ 口_ 一【r r ( 磁睇) 一护( 以易) 2 】 口芦月+ p c 净一眇( 研破，) 一护( 致致，) 2 】 口州+ p d 车打i 饥+ ，( 磁以+ ，) 一( n i 也爿0 ，) 2 e # 一( t r h 。h p ) 2 口口+ p 如果吖一是平行第二基本形式的子流形则 够喵= 蟛( 坛k 舭+ 磁k 舭) + 墨螂蟛嘭 一2 眇( 联2 h ；) - t r ( h h p ) 2 卜盼( 域月毛) 一打( 致以+ ，) 2 】 口- 9 + p u * s n + p + t r h + ，伊( 研e 。，) 一( 朋。日肿，) 2 一( 朋。砟) 2 1 2 具有平行第二基本形式的子流形 4 定理a 、b 及c 的证明 4 1 定理a 的证明 。 定理a 设一是+ p 维j p i n c h i n g 流形，m ”是w 中具有平行中曲率向量的 紧致子流形，则下面的积分不等式成立 lr 一c p s 一导( 1 一颞疗叫啦( p - 2 ) 卜7 - 去( p - d 咖一1 ) ( 2 6 n - 9 ) ( 1 一卵跏o 其中= m a x ( 1 + j 1s g n ( p 一2 ) 了旨 ，特别地如果肘”是平行中曲率向量的 且是伪脐的子流形时，此时的积分不等式变为： l f 【万+ n 日2 一( 1 + 圭s g n ( p 一2 ) ) r 一吾( 1 一占) ( 糟一1 ) v 2 ( p 一2 ) 】 一- 1 ) 疗( 月一1 ) ( 7 n - 6 ) ( 1 一万) 2 d m _ n 3 r - 2 r t r h z 。，- ( r 2 一 t ，- t t j l 2 ) 一r 击喊，一( 川) 2 j , j口p n i口 ”所一f 2 2 碱。萎，【删】2 一f 赤孵矗一一善( 打蛾) 2 2 n 一一撕戳一吖意渊j p = r ( 硒一f 一2 t m l 一一了与峨一) = 【萨( 2 + 了荔n ) 研 8 具有平行第二基本形式的子流形 若s _ n d r 一喜( 1 一j ) ( 玎一1 ) 啦( p - 2 ) r 具有平行第二基本形式的子流形 综合以上a ，b ，c 得： ，二鳐啷脚+ 2 槲2 r 一删一j 2 ( 1 一占) ( ) ”2 ( p 一2 ) f 一( 1 十j 1 s 呱p 一珊2 - r n 6 + 2 n i l 2 一要( 1 一占) ( ，l 一1 ) 2 ( p 一2 ) 一s ) 类似与定理b 的证明 若s 。竺：竺：i ! i 二竺! ：! ! ! 翌且肘一具有歪截面曲率，膨一是全脐子流形 j + i 1 s g n ( p 一2 ) 若s ：竺：! ：竺：i ! ：! ! ! ：! ! 型肘”位于一的n + l 维全测地子流形的超 l + i is g n ( p 一2 ) 曲面 定理c 证毕 具有平行第二基本形式的子流形 5 主要定理的证明 主要定理设n ”是h + p 维j p i n c h i n g 流形， ，”是n 中具有平行第二基本 形式的紧致子流形p 2 , n 2 ( 1 ) 若s ：竺：堑：坚! ：! 堑至，则材”位于w 的。+ l 维全测地子流形的超曲 一：!+ 2 4 n i 面 ( 2 ) 若s 。! ：i ! ：竺! ：! 型堕，且材”具有正截面曲率，则材一是全脐子流形( 其 ，笔+ 2 中s 为肘”的第二基本形式模长的平方) 证明：如果肘”具有平行的第二基本形式的子流形，则由前面的计算得： 蟛簖= 鲜( 镌+ 磙墨舭) + ，嘭磁 l,j | i _ i j。”p ? 1 一2 眇( 日：哪l 一矿( 以) 2 】一眇( 硬疗) 一即( 以月o ) 2 】 4 8 卅p 4 # + p + t r h , 。( 磁玩+ ，) 一( t r h h 。，) 2 。 翘。绋) 2 。 + pa n + p4 。9 ”p 由定理b ，c 证明过程可得： 。萎。 f ，( 厦以+ ，) 驯+ ，一以矾+ ，) 】2 ) 一r 了鲁f 峨，a 卅f y ， 一【f r ( 研硪，) 一t r ( s o s 。+ ，) 2 】_ 2 r ，哦p d m 口 ( 坛蟹 ：知十簖巧。) + 够蟛 止 f 站0譬 。+ ， ， 6 奢一善( 1 一艿) ( 疗一i ) 2 ( p 一2 ) r 具有平行第二基本形式的子流形 一2 眇( 成琊) - t r ( 1 i a p ) 2 卜( 州。) 2 = 一( 以一彤) 一【护( 也汀 ( 1 + 去s g n ( p 一2 ) x 叫) 2 所以综合得： 。= ，二啄蟛一吾( 1 一回伽一1 ) 啦( p 一2 ) f + 甩曲一( 1 + 圭s g n ( p 一2 ) ) ， a - h p 一2 r t r h 二p 吖隶掣j ， 叫一；( 1 一0 0 ( 川一2 ( p - 2 ) + 彬一0 十；s 烈p 一2 ) ) f 一( _ 备+ 2 蛾一】 玎一j 2 ( 1 一占一l ，2 ( j p _ 2 ) + 掰一了鲁+ 2 x f + 朋乙 ，n i 叫一了2 ( 1 - 嘶棚牡( p - 2 ) + 砸一( 彘p 研 类被与定理b ，c 得证明得： ， 一： - ( 1 ) 若 s ；竺：i ! ：竺! ：型竺：! ! ，则膨”位于”的辩+ l 维全测地予流形的 两n + 2 超曲面。 ( 2 ) 若s 。竺：i ! | 二! ! ! ：型竺：生且j j i f 。具有正截面越率，则材。是全脐子流彤 三+ 2 、，月一l 。 ( 其中s 为m “的第二基本形式模长的平方) 主要定理证毕 当“，= s ”9 ( 1 ) 时得到一个自然的推论 推论肘“是一( 1 ) 中具有平行第二基本形式的子流形且截面曲率恒正 p 2 ，行2 2 若 s ! 当+ 2 n 一1 则m 。位于s ”，( 1 ) 的n + l 维全测地子流形的超曲面 具育平行第二基本形式的子流形 6 参考文献 1 s s c h e r n d oc a r m oa n ds k o b a y a s h t 。m i n i m a ls u b m a n i f o l do fas p h e r et i t h s e c o n df u n d a m e n t a lf o r m o fc o n s t a n tl e n g t h ，s h i i n g - s h e nc h e r ns e l e c t e dp a p e r s m ， s p r i n g e r - v e r l e g ，1 9 7 8 2 】y a us h i n g - t u n g ，s u b m a a i f o i dw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e j ，a m e r ，j m a t h ， 1 9 7 6 3 h x u ，o nc l o s e dm i n i m a ls u b m a n i f o l d si np i n c h e dr i e m a n n i a nm a n i f o i d s ，p r e p r i n t “ 5 n e j i r i t c o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l d o f as p e r e w i t hp o s i t i v er i c c i c u r v a t u r e j ， m a t h s o c j a p a n ，1 9 7 9 【6 】g o l d b e r gsi ，c u r v a t u r ea n dh o m o l o g y j ，l o n d o n ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 6 2 7 3a n - m i nl i 。j i a - 1 n i nl i 。a ni n t r i s t i cr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o i d i nas p h e r e j 。a r c hm a t h ( b a s e l ) 。1 9 9 2 8 1b a n g - y a nc h e n 。s o m