（基础数学专业论文）乘子hopf代数上的若干构造.pdf

摘要 本文的主要目的是将h o p f 代数中o r e 扩张和l - rs m a s h 积的相关理 论推广到乘子h o p f 代数中我们主要关注的问题是在乘子h o p f 代数中， 如何构造o r e 扩张和l - rs m a s h 积上的乘子h o p f 代数结构 第一章简要介绍了h o p f 代数及乘子h o p f 代数的历史背景和研究近现 状，并介绍了乘子h o p f 代数中的基本定义与结论最后对本文的研究结果 作了综述 第二章将无单位元代数a 上的自同态和导子提升到m ( a ) 上，并利用 乘子代数的o r e 扩张建立余乘、余单位和对极，由此引入乘子h o p f 代数的 h o p f - o r e 扩张的概念然后利用特征给出其等价刻画，并找到不同h o p f - o r e 扩张之间同构的充分条件解决了无单位元代数的o r e 扩张何时具有正则 乘子h o p f 代数结构的问题 第三章将l - rs m a s h 积置于乘子h o p f 代数中加以研究利用乘子h o p f 代数中特有的技巧，得到了l - rs m a s h 积代数具有乘子h o p f 代数结构的充 分条件然后利用余模代数的性质引人了新的s w e e d l e r 记法，对偶地得到 l ks m a s h 余积成为乘子h o p f 代数的充分条件 第四章在乘子h o p f 代数中定义了一类更广泛的l - rs m a s h 积和其它一 些常用的交叉积不仅给出它们作为代数的同构关系，而且证明了这类推广 的k rs m a s h 积与推广的对角交叉积作为乘子h o p f 代数同构 a b s t r a c t t h eg o a lo ft h i st h e s i si st og e n e r a l i z et h et h e o r yo fo r ee x t e n s i o n sa n d 工广rs m a s hp r o d u c t so nh o p ia l g e b r t om u l t i v l i e rh o p fa l g e b r a s w ef o c u s o nc o n s t r u c t i n gs t r u c t u r e so fm u l t i p l i e rh o p fa l g e b r a sf o ro r ee x t e n s i o n sa n d k rs m a s hp r o d u c t s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eac o m p r e h e n s i v es u r v e yo ft h eb a c k g r o u n d sa n d m o d e r nd e v e l o p m e n t so fh o p fa l g e b r a sa n dm u l t i p l i e rh o p fa l g e b r a s ，a n d t h e ni n t r o d u c es o m eb a s i cc o n t e n t sa b o u tm u l t i p h e rh o p fa l g e b r a s a tl a s t ， w es h o wt h em a i nr e l r i l t so ft h i st h i s i nc h a p t e r2 ，i no r d e rt od e f i n eh o p f - o r ee x t e n s i o n si nm u l t i p l i e rh o p f a l g e b r a s ，w ef i r s td i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fo r ee x t e d 旧i o u so faw h i c hi s a na l g e b r aw i t h o u ti d e n t i t y , e x t e n dt h ee n d o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o n so f at om ( a ) a n du s i n go r ee x t e n s i o n so fm ( a ) e s t a b l i s hc o m u l t i p i c a t i o n s ， c o u n i t sa n da n t i p o d e ss e c o n d ，t h ep r o b l e mo fw h e nt h e r ei sam u l t i p l i e r h o p fa l g e b r as t r u c t u r eo n 蛐o r e e x t e n s i o no fa na l g e b r aw i t h o u ti d e n t i t y i ss e t t l e d t h i r d ，w ef i n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ri s o m o r p h i s mo fh o p f - o r e e x t e n s i o n s i nc h a p t e r3 ，w ep u tl - rs m a s hp r o d u t su n d e rt h ef r a m ew o r ko fm u l t i - p l i e rh o p fa l g e b r a s ，t h e no b t a i na s u f f i c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a t8l - rs m a s h p r o d u c ta d m i t sam u t i p l i e rh o p fa l g e b r as t r u c t u r ed u a l l y , w eo b t a i na s u f - f i c i e n tc o n d i t i o nf o ral rs m a s hc o p r o d u c tb e i n ga m u l t i p l i e rh o p ta l g e b r a b yu s i n gn e ws w e e d l e rn o t a t i o n s i nc h a p t e r4 bg e n e r & l i z e dc o n c e p to fl - rs m a s hp r o d u t sa n ds o m e c r o s s e dp r o d u t so fm u l t i p l i e rh o p fa l g e b r a sa f ei n t r o d u c e d w en o to n l ys h o w i s o m o p h i cr e l a t i o n sa m o n gt h e ma sa l g e b r a s ，b u ta l s op r o v et h eg e n e r a l i z e d l - rs m a s hp r o d u c t sa n dg e n e r a l i z e dd i a g o n a lc r o s s e dp r o d u t sa z eb o m o r p h i c a sm u l t i p l i e rh o p fa l g e b r a s v 致谢 首先，感谢我的导师卢涤明教授三年来对我的关心和教诲从他那里， 我学到了许多宝贵的专业知识和人生经验，学到了严谨的治学态度，学会如 何去把握问题的关键，并从不同角度思考问题这将对我以后的工作和学习 产生深远的影响 同时，感谢吴志祥教授和东南大学王栓宏教授在本文写作中给予的无私 指导 此外，感谢吕家凤，方小利，司君如，夏琦，俞晓岚，邬思信和程东明等 同学在学习和生活上给我的帮助和支持对所有给予我帮助的老师和同学， 在此一并表示我诚挚的谢意和祝福， 第1 章引言 1 1 背景 第一个h o p f 代数结构是由hh o p f 于1 9 4 1 年在研究代数拓扑时发现 的，它是个连通李群的同调群，同时也是一个分次h o p f 代数从二十世 纪六十年代末开始，h o p f 代数成为一门独立的学科到了二十世纪八十年 代末，d r i n f e l d 把h o p f 代数与具有深刻物理背景的量子群联系起来( 【1 8 】) 自此，它与量子力学的紧密联系大大推动了它的发展和研究现在，h o p f 代数已经成为数学家和物理学家共同关心的研究对象这一方面在于它是一 类广泛的代数系统，涵盖了群代数，l i e 代数的包络代数等多种代数结构； 另一方面在于它与众多其它领域有着密切的联系，如代数几何中的仿射群概 型( a 丑i n eg r o u p6 c h e m ) 、l i e 理论、g a l o i s 理论，代数表示论、代数群以 及量子群等 h o p f 代数的研究主要分为三个方面；一是研究h o p f 代数自身性质及其 上的作用余作用，如著名的k a p l a n s k y 十大猜想，h o p f 代数g a l o i s 理论 等；二是研究h o p f 代数上的附加结构。如拟三角结构、s m a s h 积等；三是 研究h o p f 代数的推广形式，如拟h o p f 代数( q u a s i - h o p fm g e b r a ) 弱h o p f 代数( w e a kh o p fa l g e b r a ) 、乘子h o p f 代数( m u l t i p l i e rh o p fa l g e b r a ) 双 n o b e n i u s 代数( b i - f r o b e n i u sa l g e b r 曲等 由于h o p f 代数结构具有良好的对称性，所以通过研究其对偶空间来反 映原h o p f 代数本身性质的方法，是h o p f 代数研究中的重要手段之一但非 常遗憾的是，一般h o p f 代数的对偶空间只是代数而非h o p f 代数当h o p f 代 数是有限维时，其对偶才具有相应的h o p f 代数结构这一问题直接导致h o p f 代数中的很多重要理论只能以有限维h o p f 代数作为研究对象，如d r i n f e l d d o u b l e 、g a t o i s 理论等 为了克服这一困难，以往有两种方法一种是取h o p f 代数a 的对偶空 间的子代数a o ，使得a ( a o ) a 。oa 。；另一种是利用拓扑的方法改变 张量积但所有这些方法都存在一定的缺陷 2 第j 章；l 言 乘子h o p f 代数的提出给出了解决这一问题的较完善的方法v a nd a e l e 于1 9 9 4 年引入乘子h o p f 代数的概念，并证明了乘子h o p f 代数的对偶理 论。从而赋予对偶空间以乘子h o p f 代数结构。 定理1 1 1 【3 1 】设( a ，) 是正则乘子h o p 代数，妒是它的左积分令 a = 以口) 陋a ，则a 是带有积分的乘子h o p + i 敷，其中a 上的乘法和 余乘厶分别由a 的余乘和乘法给出我们称( a ，厶) 为( a ，a ) 的对偶 进一步，( 五，厶) 的对偶( a ，厶) 与( ，) 同构 乘子h o p f 代数的典型例子和出发点是群代数的约化对偶( r e d u c e dd u - 猷姆) ，简单地说，对任意群g ，域k 上的群代数女g 有个自然的h o p 代 数结构如果g 是有限群。则k g 是有限维h o p f 代数，所以它的对偶仍是 个( 有限维) h o 硝代数，若g 是无限群，则k g 的对偶不再具有h o p f 代数 结构但如果取g 上的有限支撑函数集( f i n i t e l ys u p p o r t e df u n c t i o n s ) ，这种 约化对偶则成为一个栗子h o p f 代数此外，离散量子群( d i s c r e t eq u a n t u m g r o u p s ) 也为乘子h o p f 代数提供了许多非平凡的例子 从h o p f 代数角度来看，乘子h o p t 代数就是弱化h o p f 代数中单位元的 条件并允许余乘在张量积冉勺乘子m o a ) 中取值，它是h o p i 代数 的一种自然推广使我们感兴趣的是，乘子h o p f 代数不仅可以用于研究带 有余乘的无单位元代数，而且在处理具体问题时可不局限于有限维条件此 外，由a 垒a 这一点可以看出乘子h o p f 代数的对偶理论给出了真正意义上 的对偶正是由于它的这些优点，许多学者对它进行了更深入的研究并得到 很多比h o p f 代数更广泛的结论，例如乘子h o p f 代数的量子偶、余表示理 论l a r s o n - s w e e d e r 定理等。 此外，乘子h o p f 代数的另特点在于它引入了算子代数的方法，创造 了种由算子代数到量子群的过渡不仅为h o p f 代数的研究提供了新的方 法，而且也为其它些领域如拓扑、调和分析、k a c 代数、算子代数等， 提供了新的数学工具 有了乘子h o p f 代数及其对偶理论，可以推广调和分析中的诸多方面，如 f o u r i e r 变换与p l a n c h e r e l sf o u m u l 可以建立局部紧量子群( 1 0 c a l l yc o 珏 i j 背景 3 p a c tq u a n t u mg r o u p s ) 的分析理论模型，并为研究离散量子群与带有h a 测度的非紧量子群( n o n c o m p a c tq u a n t u mg r o u p s ) 提供代数学工具 4 1 2 预备知识 第j 章引言 如无特别说明，本文所讨论的代数，线性空间及张量积 都是在给定 的域t 上。并且一般情况下都假设代数没有单位元。当代数有单位元时，则 规定含单位元代数之间的代数同态是保持单位元的 定义1 2 1 设a 是一个代数对任意的a ，b a ，如果线性映射p ：a 一 满足p ( n 6 ) = p ( n ) 6 ，则称之为a 的个左乘子；如果线性映射p ：a a 满 足p ( a b ) = 印( 6 ) ，则称之为以的个右乘子a 的一个乘子( m u l t i p l i e r ) 是 一个左、右乘子对( p l ，以) ，其中p 1 是左乘子，内是右乘子。使得对任意的 a ，b a ，满足p 2 ( a ) b = 印i ( 6 ) 注记1 2 1a 的左乘子，右乘子和乘子构成的向量空问分别记为l ( a ) ，n ( a ) 和m ) 显然，若取乘法为映射的合成，它们都是带有单位元的代数 定义1 2 2 设a 是一个代数若由a b = 0 ( 对任意的6 a ) 可得a = 0 ， 并且由a b = 0 ( 对任意的a ) 可得6 = 0 ，则称a 上的乘积是非退化的 ( n o n d e g e n e r a t e ) 注记1 2 2 ( 1 ) 若代数 上的乘积是非退化的，则有自然的嵌入映射i ：a l ( a ) ，使得对任意的n ，b a ，i ( 口) ( 6 ) = 0 6 同理有嵌入映射 一r ( a ) 和 一吖似) ( 2 ) 如果a 有单位元，则a 上的乘法是非退化的，此时l ( a ) = r ( a ) = m 似) = a ( 3 ) 若代数a 上的乘积是非退化的，则对任意的z l ( ) ，口a ，z ( 0 ) 可记为x a ；对任意的z 冠( a ) ，a a ，z ( 口) 可记为a x ；同理对任意的 i = ( 每，z ) m ( a ) ，a a ，牙口意为z ( o ) ，面为z 7 ( 。) 若无特别说明，本文中的代数都是蒂有非适化积的代数。 引理1 2 3 3 0 如果a 和b 是带有非退化积的代数，则a o b 上的乘积 是非退化的 命题1 2 。4 3 0 l 如果a 和b 是带有非退化积的代数我们有自然的嵌入映 j 2 预备知识 5 射l ( a ) 固l ( 日) 一l 0 且) ，r ( 舢e a ( b ) 一r ( a v b ) 和m ) o m ( b ) 一 m ( a o b l ， 定义1 2 5 设a 是复数域c 上的代数若存在个对合$ ：a 一矿( a ) 即+ 2 = i d ，是共轭线性的反代数同态，则称a 为代数，其上的对合为- 运算 注记1 2 3 ( 1 ) 若a 和b 都是- 代数，则a 圆b 也是搴代数对任意的 a a ，6 b ，其上的“运算为( o o6 ) = 口o6 ( 2 ) 若a 是一个一代数，则m ( a ) 也是+ 一代数，其上的- 运算定义 为：对任意的a a ，z m ( a ) ，o z = 扛0 ) ，矿口= ( 0 $ ) 此时a 是 m ( a ) 的- 子代数 定义1 2 6 设a 和b 是- 代数，：c a 和+ b 分别表示它们的“运算若 代数同态，：a b 满足+ 日，= ，+ ，则称，是同态 定义1 2 7 设以和b 是带有非退化积的代数，u ：a m ( b ) 是代 数同态若b 作为线性空间既可由 t ( n ) 6 ia a ，6 b ) 生成又可由 t 乩( 。) fa a ，6 且) 生成，即口= u ( ) 目= b u ( a ) ，则称映射”是非退 化的( n o n - d e g e n e r a t e ) 命题1 2 8 【3 0 】如果代数同态u ：a m ( b ) 是非退化的。则存在唯一的1 的扩张m ( a ) 一m ( b ) ，而且u 的扩张也是代数同态 下面我们引入乘子h o p f 代数的定义( 【3 0 】) 定义1 2 9 设 是代数a 上的余乘是个代数同态a ：a m o a ) ， 并满足下列条件； ( i ) 对任意的d ，6 a ，( ) ( 1 06 ) ，( a 0 1 ) n ( b ) a o a ； ( 母( 余结合性) 对任意的口，b ，c a ， ( a 0 1 0 1 ) ( o j d ) ( ( 6 ) ( 1 0c ) ) = ( i d o ) ( ( 口 1 ) ( 6 ) ) ( 1 0 1 0c ) 如果a a 也是个余乘，则称余乘是正则的，其中口是扭曲映射 定义1 2 1 0 设a 是代数，是a 上的余乘定义线性映射乃，疋：a o a 一 6第j 章引言 a o a 使得对任意的，b a ， 乃( 口ob ) = ( o ) ( 1 06 ) ，噩( 凸o = ( 口0 1 ) ( 6 ) 如果冗，乃是双射，则称a 为乘子h o p 代数( m u l t i p l i e rh o p fm g e b r a ) ，记 为( a ，) 如果o 也是a 的余乘并使得( a ，口) 是乘子h o p f 代数，则 称a 是正则的( r e g u l a r ) 若又有盯= ，则称( a ，) 是余交换的， 注记1 2 4 ( 1 ) 由于a o a m ( a ) o m ( a ) m o a ) ，所以定义1 2 9 中 的( i ) 是有意义的 ( 2 ) 如果a 是h o p f 代数，则m ( a ) = a 。此时。对任意的qb a ， 乃( n 。6 ) = 电。咖，t 2 ( a 。6 ) = 。b 1 。屯 其中用记法a ( a ) = a l on 2 并且正，正是双射，其逆为 丁1 ( o o6 ) = ( ( 。d os ) ( 口) ) ( 106 ) ， 万1a pb ) = ( a 0 1 ) ( ( s p i d ) ( 砷) ， 所以，乘子h o p f 代数是h o p f 代数的一种推广形式 定义1 2 1 1 设a 是p 代数，是a 的一个余乘，并使得( a ，) 是乘 子h o p f 代数如果a 也是+ 一同态，则称( a ，) 为乘子舶p ，代数 ( m u l t i p l i e rh o p fp m g e b r a ) 注记1 2 5 ( 1 ) 显然，乘子h o p f - 代数是正则的 ( 2 ) 若a 是乘子h o p f - 代数，则“运算可提升为m ( a ) 一m ( a ) 的 映射f l _ x t 任意的1 7 , a ，s ( 矿) = s “( n ) 作为h o p f 代数的推广，乘子h o p f 代数与h o p f 代数有类似的性质( 【3 0 】) 例如，对乘子h o p f 代数a ，存在反代数同态占：a m ( a ) ，使得对任意的 a ，6 a ， m ( soi 句( ( 口) ( 1g ) = ( 口) 6 jm ( i d0 印( ( oo1 ) ( ) = d f ( 6 ) ，( i , i ) 1 2 预备知识 7 其中m 表示a 的乘法此时s 仍被称为a 的对极同时存在代数同态 e ：a 一 ，使得对任意的a ，b a ， 0 0 i d ) ( ( n ) ( 1 06 ) ) = 曲，( i d oe ) ( 缸0 1 ) ( 6 ) ) = 口6 ( 12 ) e 也被称为a 的余单位若( j 4 ，) 是正则乘子h o p f 代数，则s ( a ) a 且 s 可逆对任意的a ，b a ， ( 1os ( 6 ) ) ( s ( d ，) = ( sos ) ( 口( d ) ( 1o6 ) ) 因此若在乘子h o p i 代数( a ) 中，a 有单位元，则似，) 是h o p f 代 数 下面命题给出了一种判断个代数是正则乘子h o p f 代数的方法 命题1 2 1 2 【3 1 】设a 是代数， a 是a 上的一个余乘并使得对任意的 口，b a ，( 口) ( 6 0 1 ) ，( 1 0 句( 6 ) a o a 如果存在余单位e ：a 一女和 可逆的对极s ：a a ，使得p j j 和一纠成立，则( a ) 是正则乘子 胃d p ，代数 接下来我们介绍乘子h o p f 代数的积分和对偶形式( 3 1 1 ) 设( a ，) 是正则乘子h o p f 代数，u 是a 上的个线性函数对任意 的岛6 a ，定义 ( 0 0 记) ( ) ) 6 = i d ) ( ( 。) ( 1 06 ) ) ， 6 ( 0i d ) ( n ) ) = 0i d ) ( ( 1o6 ) ( 口) ) ； ( ( i dou ) ( 砖) 6 = 0 dou ) ( ( o ) ( 6o1 ) ) ， b ( ( i d o u ) ( 口) ) = ( i d o u ) ( ( b o1 ) ( n ) ) 易证p o 锄( a ) ，( i d o u ) ( 口) m ( a ) 利用上述记法可给出乘子h o p f 代数中积分的定义。 定义1 2 1 3 设( aa ) 是正则乘子h o p f 代数，妒是a 上的个非零的线 性函数若对任意的口a ，( 耐。妒) ( d ) = i p ( o ) 1 ，则称妒是a 的个左积 分；若对任意的口a ，a 上的非零线性函数讪满足似。锄( 口) = 母( 口) 1 - 8第1 章引言 则称谚是a 的个右积分若一个线性函数既是左积分又是右积分，则称 之为a 的一个积分( i 咖冒“) 注记1 2 6 ( 1 ) 若左( 右) 积分存在，则在相差一个倍数的意义下是唯一的 ( 2 ) 若正则乘子h o p f 代数有左积分，则它也有右积分 ( 3 ) 下列四个函数的集合相等： 妒( 口) i n ) ， 妒( - d ) f n a ， 妒( m ) | 0 4 ) ，f 币( n ) 1 0 a ) 其中对任意的b a ，i p ( 口) ( 6 ) 一p ( d 6 ) ，其它记法类似 定理1 2 1 4 【3 1 】设( 以，) 是正则乘予h o p 代数，妒是它的左积分令 a = 妒( d ) i a ) ，则a 是带有积分的乘子h o p 代数，其中a 上的乘法和 余乘厶分别由a 的余乘和乘法给出我们称( a ，厶) 为( a ，a ) 的对偶。 进一步，( a ，厶) 的对偶( a ，厶) 与( a ，a ) 同构 虽然我们假设一般情况下代数没有单位元，但是乘子h o p f 代数在某些 情况下具有局部单侧的单位元 命题1 2 1 5 【3 4 j 设，) 是乘子舶代数则对任意的a a ，存在 e ，a 使得= 口= 8 ，。知果以的对极s 满足条件s ( a ) a ，则 对a 中的任意有限个元素m ，。2 ，8 ，l ，存在e ，a ，使得对任意的i ， e a i = a i = 啦， 由此可得在乘子h o p f 代数( a ，) 中，a 2 = a 所以 ( a ) ( a o a ) =( a ) ( 1 a ) ( a o1 ) ( a o a ) 0 1 ) a 2 9 a = a o a 同理( a o a ) ( ) = a 0a ，因此是非退化的。并可扩张为从m ( a ) 到 m 0 a ) 的同态同理a i d , i d e a 可扩张为从m ( a o a ) 到m ( a e a s a ) 的同态此时的余结合性可简写为( o j 固= ( i d o ) ，同时( 1 2 ) 也 可简写为“0 锄a = 域( 以o f ) = i d j 2 预备知识 s w e e 州e r 记法( 【1 7 】) ：设( a ，) 是乘子h o p f 代数由的余结合性， 对任意的口，6 a ，在如下意义下。 ( 。) ( 1 。6 ) = a l 。a 2 b , ( 6 0 1 ) ( 口) = 缸l a 2 ， 9 可用记法( o ) = eo loa 2 事实上，命题1 2 1 5 可确保t 述记法是有意义 的例如对b a ，存在元素e 使得e b = b ，所以 ( 。) ( 1 。6 ) = ( d ) ( 1 。e ) ( 1 。的= 口i 。e 6 ， 此时可取口i o a 2 = e 皿oe 1 0 1 3 主要结论 第j 章引言 本文主要讨论乘子h o p f 代数上的o r e 扩张，l - rs m a s h 积及其推广形 式 o r e 扩张是构造非交换环和代数的主要方法之一在h o p f 代数理论中 它是构造非交换，非余交换的h o p f 代数的主要工具许多作者都利用多重 o r e 扩张这手段来得到具有较好性质的h o p f 代数。如文献1 2 4 】，【1 l 】、 f 3 j 和 2 5 】等值得挺的是b 骼t e 珏d c 出c i l - g r u d l e l d e r 利用o i e 扩 张的方法。得到无限多个互不同构的维数为一的h o p f 代数( 【2 1 ) ，从而给 出了k a p l a n s k y 的第十个猜想的否定回答p a n o v 总结了上述这些构造方 法，并抽象出其中的一般规律，引入h o p i - o r e 扩张的概念，并完整给出几 类主要的h o p f 代数的h o p c o r e 扩张( f 2 8 】) 受这种思想的启发，我们在第 二章引入了乘子h o p f 代数t 的h o p f - o r e 扩张的概念，利用粟子代数的o r e 扩张，给出构造无单位元代数上的h o p f - o r e 扩张的般性方法，为具体构 造无单位元代数o r e 扩张上的非交换、非余交换的乘子h o p f 代数结 勾提供 依据 定理1 3 1 设( j 4 ，a ) 是正则乘予n o v 代数， l 司是它的o r e 扩张且 f 是 的满自同态，则a f ，司是a 的h o p - o r e 扩张当且仅当存在可逆 秉予r 且( r ) = r o r ，使得下列条件成立一 n j 存在特征) ( ：a 一使得对任意的口a ， f ( = 仅9 i d ) ( 口) = r ( ( i e e 力扣) ) r - 1 ； 留，对任意的a a ，5 满足等式t 6 ( 句= 够o l 田( 由+ ( r 9 1 ) ( ( 主d 9 6 ) ( 由) s m a s h 积是群的半直积在h o p f 代数中的推广形式。是h o p f 代数理论 中主要的构造性方法之一h o p f 代数的很多性质可以借助目吐b 昂h 积来反 映本文中讨论的l - rs m a s h 积与m n a a h 积的关系为若取右模作用是平 凡的。5 - rb - m a s h 积就简 匕为e m a a h 积l - r 锄a 8 h 积这一较8 m 曲积 】3 主要结论 1 1 更为广泛的结构作为形变量子化的典型例子出现在一系列文献中( 如f 5 】、 f 6 1 、吲，f 8 】) ，并由p a r m i t e - v e mo y s t a e y e n 在拟h o p f 代数上作了深入研究 ( 【2 7 1 ) 在本文第三章中，我们首次引入乘子h o p f 代数上的l - i ts m a s h 积的 概念，利用不同于h o p f 代数的新方法，解决了何时l - rs m a s h 积成为( 正 则) 乘子h o p f 代数的问题 定理1 3 2 设 和r 是正则的乘子1 t o l , 代数，且兄是一个a 双模双代 敷如果对任意的o a ，r 。a 和r 满足下列条件， ( l p , s 1 )a l z o a 2 = 啦z o 口l ， ( l p , s 2 )。口lo a z = 正a 2 0 口1 那么俾 ，, x 0 是一个正则的乘子h o p 代数 在本文的最后，我们弱化乘子h o p f 代数上的余乘为余模作用。得到l - r s m a s h 积的推广形式。称之为推广的l - rs m a s h 积同样也构造了其上的正 则乘子h o p f 代数结构 定理1 3 3 设a ，日和g 都是正则乘子h o p 代数，其中b 是a - 双模双 代数，c 是a 一双余摸代数如果对任意的b ，6 ，b ，c ，d c ，满足如下条 件。 r j ( c 1 ) l b o ( c 一1 ) 2 6 ，o ) 1 0 ( c o ) 2 d = ( c 1 ) 一1 b o ( c 2 ) 一1 6 ，o ( c 1 ) o o ( 0 2 ) o d ； 俐c ，( c 【o ) ) l o ( 印) ) 2 0b h 1 ) ) l o6 ，( c - ( 1 ) ) 2 = 一( c 1 ) ( 0 ) o ( c 2 ) ( o ) ob ( c 1 ) ( 1 ) o6 ，- ( c 2 ) o j ； 俐s ( c ) 一1 6 0 s ( c ) o = s ( c - 1 ) b o s ( c o ) ， 那么5 g ，e ) 是正则乘子h o p f 代敷 我们证明了推广的l - rs m a s h 积与其它几种乘子h o p f 代数交叉积的同 构关系利用这些同构关系最终证明推广的【广rs m a s h 积与推广的对角交 叉积( g e n e r a l i z e dd i a s o n a lc r 0 8 6 e dp r o d u c t ) 作为乘子h o p f 代数同构 定理1 3 4 设a ，口和c 是正则乘子舶代敷，且b 是a 双模鼠代敷， c 是a 双余模代敷如果对任意的6 t6 ，b ，c ，c ，下列条件成立- ( c 1 ) l b o ( c - 1 ) 2 6 ，o ) l o ( c o ) 2 d = ( c 1 ) 一1 b o ( 句) 一1 6 ，o ( c 1 ) d o ( c 2 ) o j 俐：一( c ( o ) ) l o ( c ( o ) ) 2 06 ( c ( 1 ) h o6 ，( c ( 1 ) ) 2 = ，( q ) o ) o ( c 2 ) c o ) o6 ，( c 1 ) n 眵y ( c 2 ) 1 ) ； 俐s ( c ) 一1 一o s ( c ) o = s ( c 一1 ) 5 0 s ( c 0 ) i “j 6 s 一1 ( c ) 1 0 s 一1 ( c ) 2 = 6 s 一1 ( c 1 ) o s 一1 ( c 2 ) ， 则b 内c 与b i e 作为乘子胁玎代数同构 第l 章引吉 第2 章乘子h o p f 代数的o r e 扩张 在本章中，我们首先引入无单位元代数上的o r e 扩张的概念，并讨论了 o r e 扩张在乘子代数上的一些性质构造其上的余乘。余单位和对极，引入了 乘子h o p f 代数的h o p f - o r e 扩张的概念，同时得到o r e 扩张成为h o p f - o r e 扩张的个充分必要条件最后我们讨论了h o p f - o r e 扩张之间的同构关系 在本章中我们用n 表示带有零的自然数集若有从代数a 到代数b 的 嵌入映射西时，我们将a 看作b 的子代数，此时有a b 2 1o r e 扩张的性质 首先回忆在带有单位元的代数上o r e 扩张的定义和泛性质( 2 9 1 ) 设a 是带有单位元的代数f 是a 的个代数自同态，j 是a 上的卜导 子( 即线性映射6 ：a 一 使得对任意的口，b a ，6 ( a b ) = j ( 口) 6 + r ( 口) d ( 6 ) ) 若代数a 满足下列条件- ( 1 ) 作为线性空间a = a m ； ( 2 ) 作为代数由 和未定元掣生成； ( 3 ) 对任意的o 满足y a = 丁( 口挎+ 6 ( 0 ) ， 则称互为以的个o r e 扩张，记为 曲；l 司 若 r ，司是a 的一个o r e 扩张，则自然地有包含映射i ：a a i r ；l 司 引理2 1 1 设a 和b 是都带有单位元的代敷， 函； f j 川是a 的一个o r e 扩张对任意的代数同态，：a b ，若存在元素b b 使得对任意的口a ， 6 ，( o ) = f c 6 ( a ) ) + ，( r ( n ) ) 6 ，则存在唯一的代数同态，：a 阶l 司一日，使得 i ( v ) = b 并满足如下交换图， 1 4 第2 章秉子h o p f 代数的o r e 扩张 为了本文的讨论。我们需要将o r e 扩张的定义推广到不含单位元的代 数上在下文中讨论的都是不含单位元的代数 我们记 n a m = d 矿l 啦a ，i = 0 ，n ，n n ) i - - - 0 对口a 约定口暑f o = 口，因此。可视a a m a m 具有自然的左a 模结 构 定义2 1 2 设a 是不含单位元的代数。下：a a 是代数同态，6 是卜 导子，a 的个o r e 扩张记为a 陆；l 研，其中， ( i ) 作为左 模 由；f ，引= a m ； ( i i ) 对任意的n ，b a ，( 掣= 4 r ( 6 ) 芗+ 硝脚， 注记2 1 1 由于a 没有单位元，对任意非零的i n ，矿都不在a z j ；r ，田 中当口0 时我打弥印的次数为 对上述定义的o r e 扩张，我们有如下结论 命题2 1 3 设 是一个带有非退化积的代数，r ：a 一 是代敷同态，j 是r 一导子如果r 是满射。置l la z ；r 田上的乘积也是非造化的 证明我们只需说明对：l 卸皿矿a b ；r ，川，使得对任意的b a ( 皿) 6 = 0 则雹矿= o 0 = q 矿6 = a o b + 口l 掣6 + + d i 旷6 = a o b + 口l 下( ”p + 1 1 1 6 ( 6 ) + + 吗卜l ，卜1 ( 6 ) 矿卜1 + + a n l p - 1 ( + 7 j i ( 6 ) 旷+ + 矿( 6 ) 此时最高次项是p 聊旷由于7 是满射且a 上的乘积是非退化的所以 = 0 依此类推，对任意的i ，我们有啦= 0 另方面。如果对任意的 6 a 有“口) = d ，由a 上乘法的非退化性可得a i 矿= 0 一 2 1o r e 扩张的性质 弱化命题1 2 8 的条件可得 引理2 1 4 设a 和b 是两个代数，西：a 一日是代数同态如呆有 妒( a ) 口= b ( b ( a ) = b ，那么毋有唯一的扩张m ( a ) 一m ) ，且它也是代敷 同态此时曲也被称为一个非退化的代数同态 证明对 ，b 显然有如下映射合成， a 三日, - h m ( b ) 因为f f 4 a ) = 西( a ) ，我们有硒是非退化的，所以由命题1 2 8 可知，存在唯 一的代数同态，不妨记为孑。使得如下交换图成立 m ( a ) m 旧) 一 注记2 1 2 取b = a ，如果a 2 = a 且代数同态西：a 一 是满射，易证咖 是非退化的 设j 4 是个代数，r 是a 上的代数自同态如果7 是非退化的。由上 述引理可知，存在唯一的r 的个扩张。不妨记为f ，它是m ( 脚上的自同 态同时我们有下述结论成立 命题2 1 5 设下是 上的代数自同态，6 是一个下导子如果r 是非退 化的，则d 有唯一扩张，不妨记为5 ：m ( a ) 一m ( a ) ，且i 是一个亍导 子 证明假设这样的5 存在，则有对任意的霉m ( a ) 和口，b a ， 6 ( z a ) = 5 ( z ) o + 于( 石) j ( o ) 及 砧( 凹) = u ( a ) - + 打( o ) 5 ( z ) 1 6 第2 章秉子h o p f 代我的o r e 扩张 因此我们可以利用上述等式给出5 的定义。 5 ( z ) 口= 6 ( z 口) 一f ( z ) 6 ( o ) ， 打( a ) 孑仁) = b s ( a x ) 一砧( 口) 由于r 是非退化的，我们可得孑的雎性成立 我们断言。由上述等式给出的5 ( z ) 的定义是合理的事实上。假设b c r ( a i ) = 0 其中k4 a ，那么对任意的善肘( a ) ，c a ， ( ( b i r ( 皿) ) ) c = ( 屯6 ( q z ) - - b , 6 ( a t ) z ) c = ( k 6 ( 皿。) c 一6 ( q ) z c ) = ( 6 l 忙( q z c ) 一f ( d i z m ( c ) ) 一k ( q z c ) 一r ( q ) 6 ( z c ) ) ) = ( k f ( 啦) 6 ( z c ) 一k f ( q ) 亍( z ) 6 ( c ) ) = ( 也r ( q ) ) 邸扛c ) 一f ( z m ( c ) ) = 0 ， 所以由a 上乘积的非退化性可知( k 1 h ) ) 5 ( z ) = 0 其次，对任意的z 肘( a ) ，直接计算可得， ( 虱z ) d ) 6 = 6 ( j i 口) 6 一千：( z ) j ( 口) 6 = 6 ( x a b ) 一r 0 口m ( 6 ) 一f ( z ) 6 ( 6 = 6 ( z o 一f g 弦( 凸) 6 一f 0 ) r ( d ) 5 ( 6 ) = j ( x a b ) 一f ( z ) 6 ( a 6 ) = 5 ( z ) 曲 由此可知5 ( z ) l ( ) 类似可以验证 ( 删5 ( z ) = 口( 醇( z ) ) 所以5 ( z ) 兄( a ) 对任意的b a 由r 的非退化性可知，存在6 o6 l a o a 使得 2 1o r e 扩张的性质 k r ( m ) = b 所以对任意的口a ， ( 聒( z ) ) 口= ( ( 以r ( 6 ，) ) 5 ( z ) ) 口 = 芝二( 乜占( z 一以j ( 噬) ) ) 口 = ( ( 啦) a 一耻( m ) z a ) = 乏二( 以j ( 6 ，z a ) 一b i t ( b ：x ) 5 ( a ) 一( b i 6 ( b ：x a ) 一6 i r ( 6 ：) 6 0 n ) ) ) = 芝二( 6 i r ( 6 ，) 6 ( z a )