（基础数学专业论文）一类schrodinger方程的适定性问题.pdf

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曩。( 6 ) 全i n f l l f l l x = , 。：，= n 一硎r ”) 在氍6 空间中，g m i l r o c k 证明了如下结果( 见文献 1 】) ： 定理1 1 设s ，1 0 ，以上c a “c h y 问题有唯一解u 墨6 ( 6 ) ，而且映射 s ：u oh 乱，留一e 6 ( 6 ) 嗡 6 ) 是局部l i p s c h i t z 连续的 本文得到如下结果： 定理1 2 设1 r 2 ，吾 6 0 ，以上c a “c h y 问题有唯一解乱k b ( 6 ) ，而且映射 s ：一牡，砭_ x ；b 隔)汹 6 ) 是局部l i p s c h t i z 连续的 论文安排如下：在第一节简要介绍了非线性s c 龇g e r 方程的相关背景知识以及有 关的主要结果和本文得到的结果定理1 2 ，在第二节中介绍了b o u r g a i n 空间的一些基本性 质最后，在第三节中证明了定理1 2 6 第二节 b o u r g a i n 空间及其推广 下面我们来介绍一下b o u r g a i n 空间的基本性质，并给出证明( 详细证明请见参考文献 2 】) 引理2 1a c 是从k 6 到墨6 一。上的等距同构，其中a c = f t 一) c f 证明：首先证明对任意，属于s c h w a r t z 函数类，有i l f l l x r , 。= i i a c f l l x ：, 。一。成立由a c 的定 义得： ”f l l x k 。= ( 上州( ) n ( 丁刊锄r b - r c i 砖( 洲一必刎专 = ( ) 一8 i t 一( ) ) 7 6 一 l f f t 一( ) ) c f ，( ，丁) i r 7 必d 丁) 专 j r n + l = ( ( ) 一5t 一砂( ) ) 一6 一一。t 一( ) ) ”7 。i 氕，丁) i r 7 蜓d 丁) 专 j r n + 1 = ( ( ) r “t 一( ) ) 7 7 6j 氕，丁) 1 7 7 必d r ) 专 j r n + l = j i f l l 霹。 由a 。a _ c f = f ，知a 。的象在k 6 中稠密，故a 。, - 7 p a 扩展到整个空间霹6 上，并且是从 援6 到k 6 一。上的等距同构 证毕 引理2 2 髭是从磁6 到碌。，6 上的等距同构，其中髭= 巧1 ( 专) c b 证明：同引理2 1 ，只要证明对任意f 属于s c h w a r t z 函数有i l f l l x ；, 。= i i d ：f l l x ；_ 。七成立即 可由z 的定义知： j = 。f l l x ；_ 舶= ( ( 卜一ct 一咖( 硝7 6 i 磅( ，丁) j 7 7 蜓d 丁) 专 j r n + l = ( 惩) 一卜一。t 一( ) ) 舶一r 7 。i f f 一1 ( f ) 。f ， ，7 - ) l r 必打) 7 1 j r n + l = ( ( ) 一卜一c ( 丁一艇) ) 一6 ( ) 九i 氕，r ) l 7 农打) 7 1 j r n + 1 = ( ( ) t 一咖( ) ) 舶l 氕，丁) l r 7 武打) 7 1 j r - + i = l i f l l x 量。 证毕 引理2 3 对v f 磁6 ，有髭a 6 ，= a 6 露厂成立 7 i 正u p l ：同以上引理，只要证明对任意厂属于s c h w a r t z 函数有露a 6 厂= a b j 耋f 成立即可 露a 6 ，=f - 1 ( f ) 8 f f 一1 ( 7 - 一( 喜) ) 6 f f = f - 1 ( 荨) 8t 一矽( ) ) 6 f f = f 一1 ( 7 - 一( ) ) 6 f f 一1 ( ) 8 f 厂 = a b j ： 证毕 引理2 4 设虱) = 一咖( 一) ，对v 厂醒6 ( 两，有 i l f l l x ：, 。( ) 2 i l f l l x ：, 。( 西 证明：对v f 遐b ( ) 作简单变量替换即得： 7 | i x ；。( 妒) = = ( ( ) 7 8t 矽( 荨) ) r 7 6 i f t ( ( ，7 ) l r 7 d ( d t ) 5 = ( 悠) 一8t 一咖( ) ) 一6 i f f ( 一莓，一7 ) i r 7 d d 7 ) 7 = ( ( 5 ( 丁+ ( 一f ) ) 一6 i f f ( ( ，丁) i 7 必打) 专 = i i f l l x ：, 。( 石) 证毕 在下一节的证明中要用到几个嵌入性质，介绍如下 引理2 5 设互1 ；1 砉 1 ，则有x 1 土c 琢 一 证明：只要证明对任意s c h w a t z 函数厂，有 11 1 7 刑1 三墨焉i l f l l x l 上即可 i l f l l z 婴, , = l i f f ( ，7 ) l d d t = ) 者( 7 一) 百1i f ，i 德) 一者( r 一) 一寺d d 7 ( ( ) 一舌( 丁一) 一舌蜓打) ；( ( f ) 普p 一) 普i f ，i 一必打) 专 = c i i f l l x l 上 8 引理2 6 设 吾 1 n 1 ，则有x 1 oc 磅( 霹) 证明：只要证明对任意s c h w a t z 函数厂，有i i 州宝。( 劫焉! i f , i x 暮。u p - - l l f l l 觏 ) _ - ( 阿( 钉) r 协) 专武。 = 小) _ 寺( 时( j f ，( 钉 协) 专必 ( 悠) 一毒嫩) ( ( ) 普- i f ，r d 专打) 专 = c l l f l l x 暮，。 证毕 引理2 7 设互1 ；1 0 ，以上国“咖问题有唯一解u 墨6 ( 6 ) ，而且映射 s ：u o _ 乱，够_ 遐6 ( a o )( , 5 0 6 ) 是局部l 私p 幽比连续的 由该定理，要证明本文主要结果定理1 2 ，只需要证明非齐次项( u ) = 乱3 以瓦满足式( 4 ) ，( 5 ) 即 可以下是证明定理1 2 要用到的多线性估计结果： 引理3 1 设1 7 2 ，i 1 b b 一1 若f u t ( ，7 ) 0 ，( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 则有 不等式? 乱z 乱3 以_ 4 i k 矿1 7i l u , l l x ：, 。 ( 6 ) 要证明该引理我们需要参考文献 1 】中的两个结论 引理3 2 如果1 q r 1 ，2 p o o ，；1 + ；1 = 丢+ 去，i 1 + 7 1 = 石1 + 专= 1 那么有 慷( 丽) 峪磅) 钏u i i 碌，忪i l x o y ： 其中，8 = f 一1 川8 f 是尺据戏势算子i i 1 1 西= ( 磅) = ( 厂( ，i 氕，7 - ) i p 7 打) 争t 武) 7 1 引理3 3 设p ，q 与上一个引理相同 删面i i 霹( 磅) 恻l k 古+ i i u i j 强刍+ i i 叫1 1 l + 1 0 f 面来证明引理3 1 证明：记6 = 圭，- b = 六，其中； 士 1 击+ 六 1 ，设；si 1 去 去 b 0 为常 数根据x ；6 空间范数定义，要证明( 6 ) ，也就是要证明 ， 34 1 1 0 8 ( 印) d v f 玩( 毛，死) f 露_ 4 l i l z ，si ii l u t l l x z , 。 。+ i = 1i = 1 其中上d v = 乓：屯r ：n 兀薹， , i l l ld 死，a o = 7 + 2 观察到让1 ，u 2 ，讹是对称的，不妨假设l 岛f i i i l i 接下来我们通过把积分区 域划分成不同的部分来对上式左边进行估计划分主要分成两个大的情形( i ) 和( ) 其中 ( i ) 为i & l l o l a ，且f 6 i 1 ( ) 为i 矗i 1 0 1 a 在( i ) 和中又有若干种子情形，在 每一种子情形中我们都运用前面的引理3 2 ，引理3 3 以及嵌入性质进行估计，最后得到所 要的结果 ( i ) 若i 矗l l o l a l ，且1 6 l 1 在这种情形下，有俺) 焉( 6 ) 因为= 江4 。已有( 毒) s ：。( 鼢，( ) 焉( 6 ) 下面 我们进一步将( i ) 分成( a ) 和( b ) 这两种子情形 ( a ) 若i & l l 已j 或i 矗i i 。i 利用( ) 8 ( 矗) 焉( ) 8 一奇( 已) 8 ( 已) 8 ( 已) 8 可得 f ( j 5u l u 2 u 3 厶砚) ) = ( ) 8 f ( u l u e u 3 五_ 4 ) = ( ) 8 f 乱1 ，i cf 乱2 爿cf u a 木( 矗) f - 4 = ( ) 8 f 1 ( 1 ，丁1 ) f 让2 ( 已，死) f 乱3 ( 6 ，丁3 ) ( 矗) f - 4 ( 矗，丁4 ) d ， ， 焉( 1 ) 卜寿( 已) 8 ( 6 ) 8 ( 矗) 8 f u l f 乱2 f 札3 f - 5 , d ，车 = f ( j 8 一奇乱1 j 8 u 2 j 5 让3 j 8 - 4 ) 即 j ( 钆1 u 2 乱3 j u 4 ) 5j s - 百1 乱1 ，s u 2 了s 乱3 j s 瓦4 所以有 u l u ：u a j 再a l l x ：, 6 ， i l u l u 2 u 3 厶- 4 | l k 。 = l l ，( u 1 让2 铂以_ 4 ) l i 磊 焉i i j 一者u i i 露l l j ，8 乱3 j 5 训砭 1 1 再利用引理2 5 ，引理3 3 上式被 旷锄峙一j s u 2 u , r 2 1 i j s u 3 恢一j u 4 恢啬 所控制根据假设条件1 + 云1 一百1 1 ，石1 l ，有不等式( 矗) ) 8 焉( a r o ) 一( ) 8 一百1 ( 6 ) 8 一百1i 已+ 矗i 吾( 已) 8 ( & ) 5 成立 f ( j 8 ( 乱1 札2 u 3 五- 4 ) ) = ( ) 8 f ( u l u 2 u 3 以- 4 ) = ( 专) 8 f 钍1 宰f u 2 木f u 3 宰( 白) 砜 = ) 8 f 乱1 ( 6 ，t 1 ) f u 2 ( 2 ，死) f 钆3 ( 岛，乃) ( 矗) f _ 4 ( 矗，t 4 ) d v j 焉 ( 矗) s ( c r o ) 一6 7 ( ，) 8 一百1 ( 6 ) 8 一者i 已+ & l 吾( 已) s f u ，( 6 ，v 。) f u 2 ( 已，v ：) f u 3 ( 6 ，丁3 ) f 瓦。( 矗，t 4 ) d z ， ：f a o b j 8 一者“1 j 8 一百1 乱3 ；( ，s u 2 ，- 4 ) 1 2 即 即 j s ( u 1 乱2 乱3 五- 4 ) sa o 矿t j r 8 一吉乱1 j 8 一击乱3 j ；1 ( j s 乱2 j s _ 4 ) 再利用引理2 5 和引理3 2 ，有 u l u 2 u 3 j 再4 1 1 x ；, 6 ， 2 i j 8 ( 乱1 u 2 u 3 厶- 4 ) i i k b ， 焉i i a i 矿j 8 一寿钆，一寿乱3 j - ( 1 j 8 钆2 了8 _ 4 ) l i k 。， = 矿一寿扎j 8 一寺乱s 州1 t ，8 钆z j 8 - 4 ) 崦 i i j 8 一者乱，i i 国l l j 8 一寿礼3 怯慷( ，8 u 。j 8 _ 4 ) 怪 4 毛i l u t l i k 。 i - - - - - 1 ( b ) a i ( i = 1 ，2 ，3 ) 最大这时不妨设盯1 最大 利用 ) s ( 矗) s ( 盯。) 6 ( ，) 8 一百1 ( 已) 8 一者( 6 ) 8 一百1 ( & ) s ，可得 f ( j 8 ( u l u 2 钆3 以- 4 ) ) = ( 专) 5 f ( u l u 2 u 3 五4 ) = ( ) 8 f u a 木f u ：，i cf u 3 ，i c ( 专4 ) f - u 4 = ( 铲( 乳丁1 ) ( 已，丁2 ) ( 6 ，丁3 ) ( 已) 凰( 缸， 故有 t 4 ) d u ( 6 ( 射8 。吉( 硝一音( 气( 乳q ) ( 已，死) ( 6 ，乃) 吼( 已，枷 f ( a b j 5 一百1u 1 j 8 一u 2 了8 一吉孔3 j s - 4 ) j 8 ( u l u 2 u 3 厶_ 4 ) 5( a 6 j 8 一寿让。) ( ，一百1 钆。) ( ，一者u 3 ) ( j s 4 ) u 1 他2 饥3 以- 4i i k 矿 | i 乱1 乱2 钆3 以- 4i l k 。 = l i j 8u 1 珏2 乱3 五- 4 ) | l 露 焉i i j 8 一者a ：乱1 i i 露( 露) i i j 8 一吉乱2 i 露l l j 8 一者u 3 i i 珐i i j 8 钆4 i i 恧( 昂) 又由引理2 6 和引理2 7 得 y - 音a b 乱1 | i 露( 露) | i ，一吉u 2 i | 国| i ，一吉钆3 l l 壤 i j s u 4 1 f 砭( 印) 1 3 i i j 8 一者a ；钆i i x 善，。i l ，8 一一r l u 2 1 x 丢，古i l ，- i i x 苦，南| i ， u 4 1 1 x ；，去 根据假设条件1 + 云1 一万1 1 ，丢 b ，可得 j 8 一寺a 6 钆t i i x 圳j - 吉u 2 1 1 x 刊i j 8 一 1u 3 1 1 x 刊i ，8 u 4 i i x ；, 考 焉i ii l u i l l k 。 i = 1 ( c ) 若吼最大 利用悠) s ( 矗) 焉( c r 4 ) 6 ( 6 ) 8 一者( 已) 8 一百1 ( 6 ) 8 一百1 ( 已) s - - s 得 f ( j 8 ( u 1 乱2 u 3 五_ 4 ) ) = ( ) 8 f ( u l u 2 u a 厶- 4 ) ( ) 8 f u l 木f u 2 木f u a ，i c ( 矗) 硒 ( 荨) 8 f u l ( i ，丁1 ) f 钆2 ( 已，r 2 ) f u a ( a ，乃) ( 已) f - 4 ( & ，t 4 ) d v d + ( 吼) 6 ( 1 ) 8 一百1 ( 已) 8 一百1 ( 岛) 8 一寿( 矗) s f 秕1 ( 1 ，n ) f 乱2 ( 已，丁2 ) f 乱3 ( 岛，丁3 ) f _ 4 ( 矗，q ) d f ( a 2 j 8 u 4 j 8 一百1 1 j 8 一吉他2 ，8 一者钆3 ) j s ( u 1 札2 u 3 以_ 4 ) 5 必尸_ 4 j 8 一寿钍1 j 8 一寺u 2 j 8 一寺乱3 钆1 u 2 札3 五- 4 | | k 6 ， i l u l u 2 u a & 瓦41 1 x ；, 。 = i i j 8 ( u l u 2 钆3 以_ 4 ) i | 瑶 焉i l h b 4 j 8 l l 瑶l l j 8 一寿u z i i 露l l j 8 一寿钆3 i i 珐l l j 8 一音u 1 i i 珐 4 焉1 - i i i 霸。 i = l ( b i 3 ) i & i 1 ，1 或者i 矗i 1 ，焉i 已i 有不等式住) ( ) s 焉( c r 0 ) 一( 1 ) 3 一百1 ( 6 ) 8 一寺i 已+ 矗i ；他) s 像) s 成立类似( b i 2 ) 中( a ) 子 情形可得所需结果 ( b ) l 矗i 击1 6 1 利用( 已) 佳) s 焉( c r 0 ) - 6 7 ( 矗) 卜百1 ( 已) 8 一百11 6 + 矗i ；( 6 ) s ( & ) s 可得： j 8 ( 钆1 u 2 “3 以- 4 ) 冬a 0 6 7 j 8 一寿饥1 ，一百1 让2 ；1l t ，8 蝴j s - 4 ) 1 4 由引理2 5 有 钆1 2 u 3 五- 4 | i 墨6 ， 2 1 ，有不等式像) ( ) 8 焉( o r 0 ) _ b i ( 1 ) s - 吉俺) 卜者1 6 十 4 l 恼) 8 ( & ) 8 成立类似( b ) 情形可得所需结论 ( d 2 ) 若吼最大( i = 1 , 2 ，3 ) 不妨设o r 最大在此情形下有不等式( ) 8 他) 焉( 盯- ) 6 ( ，) 卜吉( 已) 8 一者幅) 卜吉像) 8 成立类似( b i 2 ) 情形中的( b ) 子情形可得所需结论 3 ) 若g r 4 最大 1 5 利用( ) 8 ( 已) 焉( 吼) 6 ( 1 ) 8 一百1 他) 8 一寿悠) 5 一寺像) s ，类似0 3 1 2 ) 情形中的( c ) 子情形 可得所需结论 证毕、 引理3 4 设1 r 2 ，= 1 b b 一1 则有不等式? 4 i l u u 2 u 3 0 扭4 x ：, 。，焉i i 慨l | 墨。 d 一。 5 口 i = 1 证明：根据定义以及引理3 1 有 乱2 u 3 允训墨6 ， = 怜) 8 ( 仃) f ( 乱1 u 2 乱3 以- 4 ) 怯，x t = 懈) 8 ( 盯) f u l 木f u 2 宰f u 3 术f o 扭4 1 1 l 幺 =l i 德) 8 ( 仃) f 乱1 ，i cf 扎2 木f u 3 爿c 已f - 4 l i l 曼 焉憔) 8 ( 盯) i f u l f u 2 f u 3 l 宰( 矗) i 吼工： = i i ) 8 ( 盯) i f ( f 。1 i f u ，i f 。l f 札2 i f 一1 i f 乱3 i j f 1 盹4 1 ) 1 1 1 l 幺 =l i f _ 1 i f 1j f - 1 i f 让2 i f _ 1 l f 乱3 i l j r f 一1 i f 瓦4 x 二。， 焉l i e i f u l l l l x ：, 。l i e 。l f 牡z k 。l i e i f u z l l l x ； 。| | f 市司恢。 = 蚓i k 。 证毕 最后我们来证明定理1 2 定理1 2 设1 r 2 ，i 1 b 0 ，以上c a u c h y 问题有唯一解札k 6 ( 6 ) ，而且映射 s ：u o _ u ，皿_ 鼍6 ( c i 0 ) ( 如 6 ) 是局部l 枷c 庇比连续的 证明：由定理3 1 知只需验证非线性项g ( u ) = 仳3 包瓦满足( 4 ) ，( 5 ) 即可由引理3 4 ，有 i i n ( u ) l l x ：。，= i l u 3 以西i i k 矿si l u l l 支：, 。 16 ( 4 ) 式成立，再来验证( 5 ) ： i i n ( u ) 一( u ) i | 鬈矿 = i l u 3 啪一v 3 0 可l l x ：, 矿 =| l ( u 3 以瓦一饥6 2 包瓦) + ( 饥c 2 以西一u v 2 以_ ) + u v 2 如面一u 3 以瓦) + ( 秽3 以西一v 3 a 万) i i x ；, 6 ， i l u 3 以面一u u 2 0 = 瓦l l x ：, 矿+ i l u 舻以西一u v 2 0 扭l l x ：+ l l u u 2 以瓦一u 3 以西i | x 二。，+ i i u 3 如j c i 一口3 以硎x 二。， a ( i l u l i 曼z 。i l u v l l x ； 。+ l | u l l k 。i l v l l x ； 。i l u u l | k 。 + i l v l l 生= , 。i l u l l x ：, 。i | u v l l x 。+ i l v l l 曼= , 。i l u v l l x ：, 。) a ( i m i x ：, 。+ l l 口| 1 k 。) 3 l l 乱一v l l x ；。 = c ( 1 l u l l x ：七- i - i i v l l x ：。) l l u v l l x ：, 。 其中c ( t ) = t 3 证毕 1 7 参考文献 【1 】a g r u n r o c k ( 2 0 0 5 ) ：b i a n dt r i l i n e a rs c h r 6 d i n g e re s t i m a t e si no n es p a c ed i m e n s i o nw i t h a p p l i c a t i o n st oc u b i cn l s a n dd n l s i m r n n o 4 1 ，2 5 2 6 2 5 5 7 2 a g r u n r o c k ( 2 0 0 2 ) ：n e wa p p h c a t i o n so ft h ef o u r i e rr e s t r i c t i o nn o r mm e t h o dt ow e l l p o s e d n e s sp r o b l e m sf o rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ( t h e s i s ) 【3 】j b o u r g a i n ( 1 9 9 3 ) ：f o u r i e rt r a n s f o r mp h e n o m e n af o rc e r t a i nl a t t i c es u b s e t sa n da p p l i c a t i o n s t on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ，g e o m f u n c t a n a l 3 ( 1 9 9 3 ) n o 2 ，1 0 7 - 1 5 6 4 j b o u r g a i n ( 1 9 9 3 ) ：f o u r i e rt r a n s f o r mp h e n o m e n af o rc e r t a i nl a t t i c es u b s e t sa n da p p l i c a t i o n s t on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s t h ek d v e q u a t i o n s ，g e o m f u n c t a n a l 3 ( 1 9 9 3 ) n o 2 ，2 0 9 - 2 6 2 【5 】j b o u r g a i n ，r e f i n e m e n t so fs t r i c h a r t z i n e q u a l i t ya n da p p l i c a t i o n st o2 d - n l sw i t hc r i t i c a l n o n l i n e a r i t y , i n t m a t h r e s n o t 1 9 9 8 ，n o 5 ，2 5 3 2 8 3 【6 】d b e k i r a n o v , t o g a w a ，a n dg p o n c e ，i n t e r a c t i o ne q u a t i o n sf o rs h o r ta n dl o n gd i s p e r s i v ew a v e s j f u n c t a n a l 1 5 8 ( 1 9 9 8 ) ，n o 2 ，3 5 7 3 8 8 【7 】h a b i a g i o n ia n df l i n a r e s ，i l i p o s e d n e s sf o rt h ed e r i v a t i v es c h r s d i n g e ra n dg e n e r a l i z e d b e n j a m i n - o n oe q u a t i o n s ，t r a m s a m e r m a t h s o c 3 5 3 ( 2 0 0 1 ) ，n o 9 ，3 6 4 9 3 6 5 9 8 】t c a z e n a v e ，l v e g a ，a n dm c l e l a ，an o t eo nt h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni nw e a k 汐s p a c e s ，c o m m u n c o n t e m p m a t h 3 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ，1 5 3 - 1 6 2 9 】m c h r i s t ，j c o l l i a n d e r , a n dt t a o a s y m p t o t i c s ，f r e q u e n c ym o d u l a t i o n ，a n dl o wr e g u l a r i t yi l l - p o s e d n e s sf o rc a n o n i c a le d f o c u s i n ge q u a t i o n s ，a m e r , j m a t h 1 2 5 ( 2 0 0 3 ) ，n o 6 ，1 2 3 5 1 2 9 3 1o j d u o a n d i k o e t x e a ，f o u r i e ra n a l y s i s ，g r a d u a t es t u d i e s ，i nm a t h e m a t i c s ，v 0 1 2 9 ，a m s ( 2 0 01 ) 【1 1 】c f e f f e r m a n ，i n e q u a l i t i e s f o r s t r o n g l ys i n g u l a r c o n v o l u t i o n o p e r a t o r s ，a c t a m a t h 1 2 4 ( 1 9 7 0 ) ， 9 3 6 12 】n h a y a s h ia n dt o z a w a f i n i t ee n e r g ys o l u t i o n so fn o n l i n e r as c h r 6 d i n g