（基础数学专业论文）双同宿环分支现象的研究.pdf

a b s t r a c t t h es t u d yo fc h en u m b e ro fl i m i tc y c i e sb i f u r c a t e df r o ms i n g u l a f l t yc y c l ei sa n i m p o r t a n tp r o b l e mi nb i f u r c a t i o nt h e o r y t h eb i f u r c a t i o np h e n o m e n o no fak i n do f s p e c i a is i n g u l a r i l yc y c l e s ，i 。e d o u b l e h o m o c l i n i cc y c i e ，h a sb e e ns t u d i e di nt h i sp a p e l t h en r s t ，c o n s i d e “n gap l a n a rs y s t e m f 量= 厂( x ，) + s 五( x ，j ，j ，f ) l 户= g ( 工，y ) + s g o ( x ，y ，占，占) w h e r e0 li sas m a l lp a r a m e t e ld r ”，”1 t h es y s t e mi sah a m i l t o n i a i l s y s t e mw ；t had o u b l e _ h o m o c l i n i ec y c i e = 厶u tw h e n = o w eh a v es l u d i e d t h e 山r e es u c c e s s o rf u n c t i o n si nt h en e i g h b o r h o o do ft h ed o u b l e - h o m o c l i n i cc y c l ea n d g o tt h el o w e s tu p p e rb o u n do ft h en 啪b e ro fl i m i tc y c l e sb i f h r c a t e df r o mak i n do f c o d i m e n s i o n5d o u b l e - h o m o c l i n i cc y c i e s ，w h i c hi s7 ，m e a n w h i l ew eh a v ea n a l y z e d t l l ed i s t r i b u t i o no ft h es e v e nl i m “c y c l e s t h es e c o n d ，c o n s i d e r i n gt h ec a s eo fi i m i t c y c l e sb i f u r c a t e df b mt h ed o u b l e h o m o c l i n i cc y c l eo ft h ef o l l o w i n gh a m i l t o n i a n s y s t c m t i = y i 夕= 一( x 3 + 搬2 一x ) w i t ht h eg e i l e r a lc u b i cp o l y n o m i a lp e 咖曲a t o n a c c o r d j n gt ot h ec a r e m lc o m p u 诅t i o n o ft 王l es u c c e s s o rf h n c t i o n s ，w e 圭l a v eg o tt h el o w e s tu p p e rb o u n do ft h en u m b e ro fl i m “ c y c l e sb i f u r c a 刷f r o mt h ed o u b l e h o m o c l i n i cc y c l eo ft h ep e n u r b a t e ds y s t e m ，w h i c h i s5 ，a n dw eh a v ea i l a l y z e dt h ed i s t r i b u t i o no ft h ef i v el i m i tc y c l e s t h en u m b e r so f l i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df 而m 山ed o u b l e h o m o c l i n cc y c l es t l j d i e di nt h i sp a p e ra r eb o t h l o w e s tu p p e rb o u n d i ti su s e 触f o rt h ef 埘l e rs t u d yo ft h eb i f u r c a t i o n p h e n o m e n o no f d o u b k h o m o e k n i ec y c l ea f l do 出e rs i n g m a r i t yc y c l e s k e y w o r d s ：h 锄i l t o n i a ns y s t e m ；d o u b l e h o m o c l i i l i cc ”l e ；b i f u r c a t i o n ；l i m i tc y c l e s ； l o w e s tu p p e rb o u n d 1 1 奇异环的研究现状 l 前言 憾篓 既麓： n 琥 砷= 学，y 沪一攀 般：篡麓然 z ，。 ( 或p 0 ( z ) 一z = n + l z 七十1i n z + d ( 茹七+ 1 l n 。) ，o k + 1 o ) 则对于充分小的，系统( 1 2 ) 。在l 附近至多存在2 女( 或2 十1 ) 个极限环 其它关于同宿分支的文章大多考虑是日n m 订t 系统的多项式扰动系统1 2 l 一25 | 1 2 本文的主要工作 考虑二维系统( 1 2 ) 。，其中os l 为小参数，j dc 俨，竹l ，d 有界，设函 数 ，o ，吼蜘e 。，设当= o 时，( 1 2 ) 。- 0 是h a 嘣l t o n 系统，( 1 2 ) 。有一双同宿环 l = l - u l 2 ，文献【2 q 证明了； 1 若存在晶，使得 z ，( ，卯一9 ，0 ) e _ o 班= z 。( ，9 0 一g 矗) 。_ o 比= ( + 9 时) ( 。，。，。，晶) = 。 ( 1 3 ) i!：。z。+6z：一z，一。，+。口+。，z。， t t 8 ，。 b 拦! m m n 吡 i 三：。+ 6 z ：一窖，+ q + 。z ，掣，口， ( 1 l 。) 5 i三：。+幻一z，一。n。g+n。+。z。掣+。可。， c ，k 2 一类h n 竹t 。n 系统在小扰动下余维5 的双同宿环的分支现象 舷竺麓篓0 c 。耽 ，( 。，可) = 堡争煦，9 ( 文y ) = 掣 设( o ，o ) 为h 捌帆系统( 2 1 ) - 。的双 h 0 图l 当0 e 1 ，6 d 时，扰动系统在( 0 ，0 ) 附近存在唯一的双曲奇点o 。，系统可经过平 移变换将q 变换为原点( o ，o ) ，故不妨设0 。仍为原点( 0 ，o ) 扰动系统在双同宿环上附 近可定义三个p 酬n r e 映射，如图2 所示： 6 当c 6 = c 8 = c j = c = c 3 = c l = o 时，c 3 = r + ( g = 2 ，f o p ) r 故c j = 一盯o + o ( 喃) c ；= 盯i + 0 ( i 盯o + j 晶i ) ，吗= 一r o ( j ) + 0 ( i 盯i j + i 盯0 l + i c j m ( j = l ，2 ) c 。= 一2 咖十o ( 伽) c2=口i+盯+()(i盯of十icoj)，c3=一2ro(存)+o(1盯i+盯i+l仃01+1c 【) 1 ) 由a 矸，m 尬的形式，p l ，p 2 ，尸满足下式： ( p i ( ，6 ) 弦一1 = 晶( d ，e ) + 置( d ，e ) h l n | i + 琶( d ，e ) + 己( 占，) f z 2l ni l + 0 ( 2 ) ( 25 ) ( | ) ( 挖，矗) 一危) = 南( 6 ，) + 西( 6 ，) 九1 nf 是l + 西( 5 ，) 矗+ 西( 6 ，) 如2l ni 矗 + o ( ，产) ( 2 6 ) 其中弓( 6 ，e ) = 弓( j ) + o 陋) ，弓( d ，) = 勺p ) + 0 忙) = l ，2j = o ，1 ，2 3 定理l 的证明： 引理2 1 若存在d ，使得c 3 ) o ，则当h + l d 一南i 充分小时，p ( e ，d ) = o 对于0 ( 一 1 至多有3 个根，即系统( 21 ) 。在l 的外侧邻域内至多有3 个大环 证明：由( 2 ，6 ) 式设 ，( ) = ( 尸( ，d ) 一 ) e 一1 = 菇+ 西矗l n 是 + 扬矗+ 乏3 2 1 1 1 i 矗i + o ( h 2 ) ，+ ( ) = 6 l ( 1 n l i + 1 ) + 已2 + 西( 2 l n l l + ) + o ( ) ，”( ) = i 1 一1 + 西( 2 l n i i + 3 ) + o ( 1 ) 九，”( 九) = e l + 黾( 2 l n l 纠+ 3 ) + o ( ) ( ，”( 危) ) = 西( 2 l n i ，叫+ 5 ) + o ( 1 ) ( ，”( ) ) 7 l n 一1f 九i = 2 3 十5l n 一1i i + 0 ( 1 n 一1i 1 ) 若c 3 ) o ，当例+ 沁一如i 充分小时，6 3 ( t e ) o ，当 很小时，s 9 n ( ( ，”( ) ) 1 n 一1 ) = s g n ( 2 6 3 + 5 l n 一1i i + o ( 1 n 一1i i ) ) = s 9 n ( 西( d ，e ) ) = 5 9 n ( c 3 ( ) ) ，所以( ，”( ) ) l n 一1i 1 定 r 号，因为l n 。0 ，所以( “( ， ) ) 定号，故当n 很小时，。厂”( f 0 = 0 至多有1 个根， 则，”( ，。) = o 至多有1 个根，所以，( f 。) = o 至多有3 个根，即系统( 21 ) 。在l 的外侧邻 域内至多有3 个大环引理证毕 推论l 若存在d o d ，使得岛) o ，则当川+ 协一南l 充分小时，只( ，e ， ) 一 = 0 对于0 l 至多有3 个根，即系统( 2 1 ) ：在厶的内侧邻域内至多有3 个小环 ( t = l ，2 ) 证明z 由( 2 5 ) 式设 9 ( ) = ( 只( ，l ，6 ) 一 ) e _ 1 = 晶+ 西 l n l i + 琶 + 码 2 l nj 州+ 0 ( h 2 ) 对9 ( ) 进行引理2 1 的分析即可得证 引理2 2 若存在南d ，使得c 3 愉) o ，不妨设c 3 ( 如) o ，6 0 ( 6 ，) o 且恢l + 1 | ，从而 c 0 o 且j c o i i 印i i 盯 + 盯引 r o j v = l ，2 七= o ，1 ，2 ) 证明：由( 2 6 ) 设 ，( ) = ( p ( ，e ，d ) 一 ) e 一1 = 西十芒i l n l i + 6 2 h + 西 2 l n i 危i + 0 ( 2 ) 因为，( h ) = o 有三个根，且m n ，h ，h 2 l n ，舻当h o 时是无穷小量，所以当 o o ，所以西e 1 o ，1 e l | i j 2 1 因为 l n 一。l ，i ，7 ( h ) = ( l + 如) l n 一1l i + 1 + 2 西如+ o ( n l n 一1l ，l j ) (h11 i i ，( ) ) 7 = 一( e l + 已2 ) 一1 l n 一2 l 川+ 2 已3 + ，l l n 2 li(1n一1 i ，。i ，7 ( i f ! 引 善io 囊；嚣毒雾主i 。“7 甜! 薹、；。 囊溪i ；u j i 艨鬟弼高丝i 冀譬】i 。竺i ：；i ! 一i 撑铩竺1 3 冀警攀菇if j 。8 甄墓j ；童i ；i l 缉秘；d ；_ 二= i 丽 i t “琴! 二；i i i j j ；蠹7 季= j ：嚣i i 薯：型i ，群薹薹l i g ；：j i9 1 薹；? j 一；i i j ! ! ；器；三 羹；辨i f j | ；蕈j 跳( 6 ) 圳) ：雩蹦6 ) + 等6 + 警啪l ( 6 ) +祸菀怀2 一警脚l ( 6 ) - 筹。t 一等跳( 6 )圳) =雩蹦6)+等6+警啪l(6)+蓦63+警炳(6)+筹“等(6) 18x 推论3 若存在氏d ，使得c 3 ( 南) c ；( 南) o ，若当h 十i j 6 0j 充分小时，系统 ( 2 1 ) 。在- 或l 2 的内侧邻域存在3 个小环，则系统( 2 1 ) 。在l 的外侧邻域不可能存在 3 个大环。 证明：不妨设c 3 ( 惋) 0 ，印 0 ，若系统( 2 1 ) ，在l 的外侧邻域存在3 个大环时，由引理2 2 必 有c 3 ( 南) o ，口o o ，矛盾故若系统( 2 1 ) 。在l 或厶2 的内侧邻域存在3 个小环。则 系统( 21 k 在l 的外侧邻域不可能存在3 个大环 引理2 3 若存在6 0 d ，使得c 5 ( d o ) 鼋( j o ) o ，若当h + i j j o i 充分小时，系统 ( 2 1 ) 。在- u l 2 的内侧邻域存在6 个小环，则系统( 2 1 ) 。在l 的外侧邻域最多存在1 个大环 证明：不妨设如( 南) o ，由推论2 ，当系统( 2 1 ) 。在工- u l 2 的内侧邻域存在6 个 小环时，即系统( 2 1 ) 。在厶( i _ l ，2 ) 的内部各存在三个小环时，有c j ( 晶) o ，琶( d ，e ) o ，6 l ( 石，e ) o ，晶( d ，e ) o 且l 壤i 吼+ l i ，( i = l ，2 七= o ，1 ，2 ) ，从而6 3 o ，岛 o ，仨l 0 ，西 0 ，设 令 = 一z ，( ) = ( p ( ，j ) 一 k _ 1 而+ 6 1 i n i i + 西 十西 2 l n i 九i + o ( 舻) ( z ) ：= ，( 一z ) = 南一j l z l n i 。i 一西z + 西z 2 l n i zj + o ( z 2 ) z 一1 ( z ) = 南。一1 一西l n l 。l 一2 + 西。l n i z | + 0 ( z ) ( - 1 扛) ) 7 = 一南z 一2 一l 茹- 1 + 岛l n | z i + o ( 1 ) z ( z 一1 ( z ) ) 7 = 一南。一1 一芒1 + 西zl nl z i + d ( z ) 因为磊 0 ，所以 z 。 ( ) = o 至多存在一根，从而，扛) = o 至多存在一根，即l 的外侧邻域最多存在1 个大环引理证毕 引理2 4 若存在dcr “( n 5 ) ，使得c 6 ) = c 3 ( ) = 印( 南) = f 7 ( 6 0 ) = 盯 ) = o ，凰( ) o ，且当h + i 巧一南j 充分小盹矗e g 高豸删愉) o ， 则系统( 2 1 ) 。在l = 上lul 2 附近存在7 个极限环的情况只可以是( 1 ，3 ，3 ) ，( 2 ，2 ，3 ) 或 ( 2 ，3 ，2 ) 证明：设p l = c 6 ) + d 扛) ；p 2 = 碚( 6 ) + o 忙) ；“3 = 口o ( d ) 十o ( e ) ；“4 = 盯i ( 占) + d ( e ) ； p 5 = 口 ( 6 ) + o ( e ) 可取胁，( 汪1 5 ) 为自由参数，设风隔) o 当“：= o ，( i = l 一5 ) 时，系统( 1 1 ) 。的双同宿环上= l 1 u 2 是外部稳定，内部不稳定的，先令p l = p 2 = p 3 = o ，令m 4 ，p 5 ) 变化，使得0 一心1 ，j = 4 ，5 。则l 变成外部稳定，内部稳定的 双同宿环，因此产生两个小环，如图3 所示： 图3 再令o m m i n 一，t 4 ，如 ，则二变成外部不稳定，内部不稳定的双同宿环，因此产 生两个小环，一个大环，如图4 所示： 图4 再令( 肛1 ，p 2 ) 变化，使得o 一肛 肛3 ，= l ，2 ，则l l 与上2 破裂产生两个小环，如图 5 所示： 图5 这样便形成( 1 ，3 ，3 ) ；若先令p 2 = 0 ，0 o 事实p 作蛮捶 x = 一z ，y = 一，r = j 豁= y lg 芋= 一( 3 一b x 2 一x ) 一e ( 。y n ：x y + 口3 x 2 y + n 4 y 3 ) 作变换 x = z ，y = 一可，丁= 一 j 游：y lg 手= 一( x 3 + 6 x 。一。x ) 一s ( 一n 。y n 。x y 一。3 x 2 y n 4 y 3 ) 引理证毕 ( 。) = 罴一警。州。卜等肚喾啪。( ”等。一喾珊( ”菱。 一等啪m ) 剐6 ) _ 一未一雩6 ) _ 磊。2 一喾m 一争一等州旷争一桨啪【( 6 ) f 3 1 1 1 其中，( 6 ) = f ( 6 ) + 三 因为 ( 山) = 壶而扎j 一0 n 令u = 一u ，则 即 同理可证 ( 叫= 警矿丽咖 如j ( 6 ) = ( 一1 y _ 1 ，l j ( 一6 ) a 巧( 6 ) = ( 一1 ) 一1 a 1 j ( 一6 ) ，j = 1 5 由( 3 1 1 ) 与( 3 1 2 ) ，可得a 2 j 与岛的表达式 ( 3 1 2 ) 下面考虑岛何时为o ，因为晶= 2 ( a 1 1 n l + a 1 2 0 2 + a 1 3 n 3 + b l n 4 ) ，且由( 3 ，1 1 ) 易知 a 1 2 ( 6 ) 0 ，所以存在唯一函数 风( 舭t ，e ) 一瓮n - 会。一叁。+ d ( 。) i i 0 3 一瓦8 4 + u 忙j 兰七儿口l + 七1 3 n 3 + 七1 4 凸4 + 0 忙) 1 9 其中 使得 瓮， 4 1 3 4 1 2 a h 4 1 2 c j o ( o ) 事n 2 ( ) k 1 ( o l ，口3 ，s ) 当晶= o 时，即n 2 = 1 ( a l ，0 3 ，n 4 ，e ) 时 罐= 2 ( a 2 l 口l + a 2 2 ( 6 ) k i ( n 1 ，0 3 ，n 4 ，e ) + a 2 3 0 3 + 岛啦) = 2 ( a 2 l + a 2 2 七1 1 ) n 1 十( a 2 3 十a 2 2 七1 3 ) 0 3 + ( a 2 4 + 4 2 2 七1 4 ) 0 4 】+ 0 忙) = 磊”。- 如一如“) n + ( 钿一如) 血。+ ( 如扎一锄钆) 叫+ 啡) 计算得a 2 3 a 1 2 一a 2 2 a t 3 = 一夸簪( 9 + 2 6 2 ) 0 ，又因为当6 0 时，( 6 ) 一一；当6 一。时，( 6 ) 一o ，所以，( 6 ) 0 ， 从而一1 8 6 6 2 十( 9 以6 + 2 以6 3 ) ( 哥一目) o ，所以口 o 引理证毕 由文献f 2 6 1 可知此时系统在l = l lul 2 附近分支出极限环个数的上确界为5 设p l = 晶( n ) + o g ) ；，上2 = 萌( n ) 十o ( e ) ；，幻= 仃o ( n ) + c ) ( e ) ；盯i o ( i = 1 ，2 ) 表明 l = 三l u l 2 是外部稳定，内部稳定的双同宿环，先令p 。= = o ，令“3 变化，使得 o m “ 一口 ，一口 ，则l = l - u l 2 变成外部不稳定，内部不稳定的双同宿环，因 此产生两个小环，一个大环，再令姐l ，m ) 变化，使得0 一p b 3 ，七= 1 ，2 ，则l 】与 l 2 破裂产生两个小环，这样便形成( 1 ，2 ，2 ) ，若先令p 2 = o ，o 肛l 地，则l l 破裂， 产生一个大环，再令o 一p 2 弘l ，则l 2 破裂产生一个小环，这样便形成( 2 ，l ，2 ) ；同 理可构造出( 2 ，2 ，1 ) s y s t c l n l jj a i l i id i f f c r e q u a ，2 0 0 2 ，1 8 ( 1 ) 8 l u 5 2 5 】韩茂安，同宿异宿奇闭轨分支出极限环的个数【j | 中国科学1 9 9 32 3 ( 2 ) ：1 1 3 一1 2 2 2 6 i 韩茂安，陈键双同宿分支中极限环的个数j 中国科学2 0 0 03 ) 4 0 2 4 1 4 2 7 】韩茂安一类三次系统极限环的个数与分布数学年刊2 3 a 2 ( 2 0 0 2 ) ，1 4 3 1 5 2 2 8 】h a nm a o a n ，h us h o u c h u a j l ，l i ux i n g b o o n 乇h es t a b i l i t yo fd o u b l eh o m o c l i n ca n d l e t c r r c l i n i cc y c l e s j 】n o n l i n e a ra n a l y s i 85 32 0 0 3 ：7 0 1 7 1 3 致谢 在学位论文完成之际，回想起论文写作过程的曲折、艰辛，以及研究生三年的学习 经历，心中油然升起对曾给予我支持与鼓励的人们的感激之情 首先