（基础数学专业论文）关于三进螺线管的代数结构.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 肿rlrrij i l lij l li l l f ff l l l l l l 17 3 2 3 3 7 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年月解密后适用本规定。 非涉密论文臼 论文作者签名： 导师签名： 日期：趋! ! ：! 三 日期：? 吖p ：夕? v 关于三进螺线管的代数结构中文摘要 关于三进螺线管的代数结构 中文摘要 本文建立了三进螺线管与k n a s t e r 连续统的关系，以及依照二进螺线管上的代数 结构给出三进螺线管的某些代数性质。主要是关于三进螺线管中单位元的刀方根，和 元素的阶的一些结果。 关键词：连续统，三进螺线管，逆极限，c o m p s a n t ，k n a s t e r 连续统 作者：周桂荣 指导老师：周友成( 教授) a b s t r a c ta b o u tt h ea l g e b r a i cc o n s t r u c t i o no f t h et e r n a r ys o l e n o i d a b o u tt h ea l g e b r a i cc o n s t r u c t i o no ft h et e r n a r ys o l e n o i d a b s t r a c t t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h et e r n a r ys o l e n o i da n dk n a s t e rc o n t i n u u mw a se s t a b l i s h e di n t h i sp a p e r ，a n da c c o r d i n gt ot h ea l g e b r a i cc o n s t r u c t i o no ft h ed y a d i cs o l e n o i d ，t h ea l g e b r a i c r o o to ft h ei d e n t i f ya n dt h eo r d e ro ft h e l i m i t ，c o m p s a n t ，t h ek n a s t e rc o n t i n u u m w r i t t e n b yz h o ug u i r o n g s u p e r v i s e db yp r o f z h o uy o u c h e n g 目录 第一章引言1 第二章基本知识2 第三章主要结果5 参考文献11 致谢1 2 关于三进螺线管的代数结构引言 第一章引言 一般意义上的螺线管是一个逆极限空间。 定义：p = ( p 。，p ：，) 是素数列，逆序列 x 。，以) ，其中x 。= s 1 ，键映射 以：以+ ，_ 以，l ( z ) = z 办。此逆序列的逆极限称为尸一螺线管。 螺线管在拓扑，微分方程定性理论和动力系统中都是重要的研究对象。 j m a a r t s 和r j f o k k i n k 给出了螺线管的分类。如果将由素数列p = ( p 1 ，p 2 ，) 决 定的螺线管记为尸，由素数列o = ( g 。，q ：，) 确定的螺线管记为d 。那么螺线管尸和 。同胚，当且仅当p - q 。其中尸q 如下定义： 在尸，q 这两个素数列中，删除有限个素数后，在剩下的两个素数列中，如果每一个 素数出现的次数相同，则称p q 。 如果素数列p = ( p 。，p 2 ，) ，其中v i n ，p 。= 2 ，此时p 一螺线管称为2 进螺线管。 显然，由于x 。= s 。上有群结构，2 进螺线管上同样具有群结构，也是齐性不可分解 的连续统。 2 进螺线管上有良好的代数构造。d a v i d e b e l l a m y 在【1 】中证明了对于任一奇数 刀，x “= g 在2 进螺线管中有，z 个解，并且有矽( 刀) 个元素的阶为 ，不存在阶为偶数的 元素。 本文主要考虑了3 进螺线管上的代数结构，得到了类似的结论。 基本知识关于三进螺线管的代数结构 第二章基本知识 ，7 上l矽 其中7 7 ( ( z ，) ：。) = ( r e ( z m ：。； 令z ，= 口，+ i b ，k ( ( z ，) ：。) = ( ( z ? ) ：) = ( ( 口? 一3 a ，6 | 2 ) + f ( 3 口；1 6 ，一6 7 ) ) 墨l ， 刁。k ( ( z ，) ：。) = ( 口；i 一3 a ，6 7 ) ：，= ( 口；i - 3 a 。( 1 一口；) ) ：。= ( 4 口；一3 口，) ：。， h 。7 7 ( ( z ，) ：。) = ( 4 a ? 一3 a ，) 圣，从而有刁。k = h 。，7 ，即上述图表可交换。 x 为连续统，x x ，包含x 的所有x 中真子连续统的并称连通子。记为c ( x ，x ) 。 x ，j ，为连续统，连续映射f ：x 寸】，称为合流映射，如果对于】，中的任意真子连 续统q ，以及厂_ ( q ) 中的任一连通分支m ，有f ( m ) = q 。 2 关于三进螺线管的代墼笙塑一一j 型塑 _ - _ - _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ - _ - _ _ _ - _ - _ _ - _ _ 一一一 引理2 1 ：7 7 ( x ) ；r l ( y ) 当且仅当x = y 或者x = y 。 证明：令x = ( x 。) 墨l = ( a ，+ i b ，) 墨l ，y = ( 少。) 墨l = ( c ，+ 磁) ：1 。 若玎( x ) = 刁( y ) ， 即( 口，) 三= ( c ，) 三，从而q = q ，v i en 。 x ，y ，所以 b 。= d ，或者现= - d i ，v i n 。即x ，= 咒或者j ，= 只。 ( i )若对于某个n ，辄= ，x ，l o 一。= ( x ，。) 3 = ( y ，| 0 ) 3 = 少，从而，x c - 于f f ： 意刀 n o 都辄。= y 。 ( i i )若对于某个聆。n ，有工咖= 瓦那么x n o _ i = ( 工) 3 = ( 瓦) 3 = y n o - i ，从而对于任 意的” n o 都有x 。= 一y n 。 若对于 x 。) ， 此) 中有无限项f 使得t = y ，则对于任意f n ，x ，= y t ； 同样，若有无限项f 使得一= 瓦，则对于任意f n ，t = 万。 所以，x ：y 或者x = y 。 引理2 2 ( 5 】) ：x ，y 为连续统，厂：x y 为开映射，那么就是合流映射。 引理2 3 ( 【1 】) ：彳，y 为连续统，f ：x 专y 为合流映射，并且不存在x 的真子连续统彳 使得厂( 彳) = 】，那么对于任意p x ，f ( c ( x ，p ) ) = c ( r ，厂( p ) ) 。 推论2 4 ( 1 】) ：若p ，贝07 7 ( c ( ，p ) ) = c ( d ，7 7 ( p ) ) 。 引理2 5 ( 【8 】) ：y 是度量空间， 以，片+ 1 ) 是紧统的逆序列。如果对于v 刀，j 连续 o a t h ：y 一以，满足+ 1 。+ ，= 吃，则存在连续映射九：，j 儿，使 六。瓦= 吃成立。 厂是拓扑空间x 到连通空间】，上的连续满射，厂称为覆叠映射，如果对于任意 y y ，jy 的邻域u ，使得厂一1 ( u ) 是x 中不相交的开子集的并，并且对于其中的任 一开子集，在下的像为u ，并且厂在其上为同胚。 基本知识关于三进螺线管的代数结构 对于任意y y ，f 。1 ( y ) 的基数称为的度。 令p 。：x 。x n ，p 。o ) = x ，其中以是三进螺线管于第n 维的投影，k 2 ，是。 一个固定的整数，且与刀无关。对于任意刀，p 。 3 ) = ( p 川( x ) ) 3 。那么 见) 诱导出连 续满射p ：寸，尸( ( z ，) ：。) = ( n ( z ，) ) ：。 引理2 6 ( 4 】) ：f 是连续统x 到】，上的连续满射，则以下等价： ( i ) 厂是k 一幻一l 开映射。 专是覆叠映射。 4 关于三进螺线管的代数结构 主要结果 第三章主要结果 定理3 1 ：设e 是中的单位元，以下结论成立。 ( 1 ) c ( z ，e ) 是的子群，并且中的其它连通子是c ( z ，e ) 于中的陪集。 ( 2 ) c ( z ，e ) 单同态加法实数群。 ( 3 ) 对于任意整数刀n ，如果玎不是3 的倍数，则x ”= p 在中有行个解，并且 在中有o ( n ) 个元素的阶为n 。不存在元素的阶是3 的倍数。 证明： ( 1 ) 设r 是实数集，s 是单位圆，定义石：r s ，z ( ，) = e 打。假设己定义好 六：rj s ， 令以+ ，：r 专s ，以+ 。( f ) ：六( 三f ) ：p 歹j t 。显见六是( 足，+ ) 到( s ，幸) 上的群同态。 考虑到七。 + 。o ) = k ( e 3 ”) = e 3 ”1 = o ) ，即j | 。 + ，= 。由引理5 ，以诱导出连续映射 f ：r 专，f ( t ) = ( ( f ) ) ：。 断言1 ： 厂是单同态。 证明：任取，2 r ， f ( t 。+ f 2 ) = ( 以( ，。+ f 2 ) ) ：。= ( 六( f 1 ) ( f 2 ) ) ：。= ( 以( ) ) ：，( 六( f 2 ) ) ：l = f ( t 。) f ( t z ) 。 所以，是群同态。 如果有厂( ) = f ( t ：) ，即( 正( f 。) ) ：，= ( 厶( f ：) ) ：。，从而对v 以n ，l ( t ，) = 以( f ：) ， f f li t 2 e 3 ”1 = p 3 ”1 ，v n n 。从而f 1 = ，2 。所以厂为单射。 综上，厂为单同态。 从j 而f ( r ) 是的子群。r 是弧连通，是单射，f ( r ) 也是弧连通的。e 厂( 尺) ， 所以f ( r ) c ( z ，e ) 。 以下证明f ( r ) 2c ( z ，e ) 。 任取p c ( z ，e ) ，令形是包含p ，e 的的真子连续统，记既是形到s 上的”维投影。 显然存在，使得，? n 时，呢s 。z 为满射，故可以取到连续区间 主要结果 关于三进螺线管的代数结构 口，6 】，0 ，纠尺使得- f 。 a ，6 】。所以厂【口，6 】= w 。p ef a ，6 】厂( r ) 。故 c ( z ，e ) f ( r ) 。 因此有厂( r ) = c ( ，p ) 。胞a c ( z ，p ) 是的子群。 取定z 。，考虑映射g ：专，g ( z ) = z o z 是同胚映射，从而为合流映射。通过引理 2 3 可以知道g ( c ( ，p ) ) = c ( z ，g ( p ) ) = c ( z ，z o ) 。这说明了c ( z ，p ) 的陪集是的连通子。 ( 2 ) 由( 1 ) 中的证明厂( r ) = c ( z ，e ) ，f 为单同态，显见c ( ，e ) 单参加法实数群。 ( 3 ) 情形( i ) 门m o d 3 = l 2 廊 c r ( n ，后) = e 了，对于甩，定义( 豇，) ：。如下：任取整数毛使得o k l 刀。假设已定义 好屯，按如下方式定义t + 。： k j + l 1 ， ：庀 j 1 ， j ( t + 1 ， j ( t + 考虑到口3 ( 玎，t + 。) = 若tr o o d 3 = 0 若k fm o d 3 = 1 若k jm o d 3 = 2 2 m 3 k i + l2 m k ” = e “ ! 型：i 生d! 竺! 苎! 1 2 2 m k t ” = e ” = e ” ! 型：! 生：! 型! 生! ! ! ! 堕 ” = e ” = e ” 即口3 ( 刀，t + 1 ) = a ( n ，t ) 。并且 口”( ，2 ，k j + 1 ) = = 等 当h = 三( t + 2 刀) 当七，+ 。： ( 七，+ 刀) j 6 凯圹扣+ 2 刀) 觏圹扣州 力 ， 2 以 t 一3 = “ “ “ 砜 姚 姚 e 口 p 堑三堂幄缝管的代数结构 主要结果 而这三种情形中，当k 。确定后，只有一种会使得t + 。是整数，此时对应的e ：砒= 1 。 所以a ( n ，k ) 是满足口3 ( 挖，t + 1 ) = a ( n ，毛) 以及口”( 刀，t + 1 ) = 1 的唯一解。 令x = ( a ( n ，k ，) ) ：l ，a ( n ，毛) 如上定义。x ，并且有x ”- - e 。考虑到k j 的取法： 0 k l 刀，当k l 取定后，x 就确定了。因此，由不同的k 决定的x 共有1 i 个，满足： x ，x “= e 。所以e 在中有行个根。 下面来说明中有o ( n ) 个元素的阶为聆。若有元素x 使得x 的阶为疗，那么x 必定 满足x ”= p ，即满足阶为，z 的元素必在x ”= p 的根中找到。所以，我们可以把x 写成 形式为 x = 缸( 以，k 朋：l 。 2 n l k i 2 5 k 一2 2 巩 x = ”，e ”，卫”，) ，x ”= 2 础1 ，e 2 , , n k 2 ，e 2 a t k n ，) = ( 1 ，1 ，1 ，) 。 如果毛与疗互素，显然x 的阶为船。另一方面，设x 的阶为刀，并且( 行，毛) = 所，则存 在整数x ，y 使珊+ 咖l = m 。 忌2 = 若墨r o o d 3 = 0 若毛m o d 3 = l 若毛m o d 3 = 2 此时有in x + 3 y k 2 = 聊k l m o d 3 = o o 一2 y ) n + 3 儿= 所 当k l m o d 3 = l lg y ) n + 3 y k 2 = 所当k m o d 3 = 2 不管哪j 种情况，都有( ，2 ，心) = 聊。归纳得到对于任意的f n ，( 力，砖) = 所。从而x 的 f r 3 0 旦 n ，与假设矛盾。所以，任一x ，x 的阶为刀当且仅当毛与胛互素。即阶 m 为”的元素的个数为( 刀) 。 力 ) 2 ” + + 岛 僻 陬 l 一3 1 3 1 3 厂，、，l 主要结果关于三进螺线管的代数结构 z 刀# 令a ( n ，k ) = e 一，对于甩，定义( 恕) ：。如下：任取毛使得0 k l 刀。假设已定义好屯， 七“- - 2 r j 1 七t 若tm 。d 3 = 。 瀣三冀= 2 h i 3 k , + l2 n t k ， ” = e ” 2 t a 3 + i 2 t a ( 七f + 月) 2 础。 ” = e ” = p ” 2 耐- 3 k t j )2 t a ( k , + 2 n 2 t t i k ” = e ” = e ” 凯。= 等 凯+ 1 _ ( t 州 凯，如+ 2 咒) 即口3 ( 玎，t + 1 ) = a ( n ，k ，) 。并且 r p 2 机 当t + 1 - 了k i l j 口一( 胛，后) ：j p z 砒+ - 当t + ，：昙( t + 刀) 弋 j l p 2 砒“ 当屯+ 。= 喜( t + 2 聆) 同样地，这兰种情形中，当t 确定后，只有一种会使得t “是整数，此时对应的 e 2 砒+ i = 1 。所以a ( n ，k f + 1 ) 是满足口3 ( ，z ，k i + 1 ) = a ( n ，t ) 以及o , n ( 刀，k f + 1 ) = 1 的唯一解。 0 k l 。 我们按如下方式定义三进螺线管中单位元的k 次根。 设键映射为f ：x 卜x 3 ； 对于1 r k 一1 ， f 2 耐r 2 mt 2 n 如t m o d 3 = 0 ，另b 么取p3 p 一( 1 ) ，f ( e3 ) = e p 一1 ( 1 ) 。 ( t + 2 k ) 2 厢( i + 2 k ) 2 mt 2 n 7 如果f m o d 3 = 1 ，曼j g a i r e s , p 一1 ( 1 ) ，厂( p 1 广) = p 下p 一1 ( 1 ) 。 ( f + 七) 2 耐“+ 七) 2 矗t 2 # i 如果r m o d 3 = 2 ，i j v _ , i r e 3 k p 一1 ( 1 ) ， 1 广) = p 丁p 一1 ( 1 ) 。 显然，通过上面的选择，p 一( 1 ) 中的元素( 除去1 ) 可以构成某些循环链。比如， 9 主要结果 关于三进螺线管的代数结构 q ，a ：，刀。) 是这样的循环链，其中每个a ，满足口? = 1 ，而且 口l 卜a 2 - - x 诱导出的三进螺线管上的覆叠 映射户的度为k 。 1 0 关于三进螺线管的代数结构参考文献 参考文献 1 】1 d a v i de b e l l a m y , h o m e o m o r p h i s m so fc o m p o s a n t ，h o u s t o nj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ， 1 9 7 9 2 】j m a a r t sa n dr j f o k k i n k ，t h ec l a s s i f i c a t i o no f s o l e n o i d s ，a m sv 0 1 1 1 1 ，1 9 9 1 【3 】j m a a r t sa n dr j f o k k i n k ，f i x e dp o i n t so ft h eb u c k e th a n d l e ，a m sv 0 1 12 6 ，19 9 8 【4 】4 z h o u y o u c h e n g ，c o v e n n gm a p p i n g o ns o l e n o i d sa n dt h e i r d y n a m i c a l p r o p e r t i e s