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工程力学中的有限元方法及其误差估计 摘要 本文主要从理论上研究工程力学中一些重要方程的有限元方法。内容包括关于 求解工程力学方程有限元方法的最新结果。解抛物问题、非稳态四阶椭圆方程、s t o k e s 问题以及管道b i n g h a m 流的质量集中有限元方法及其误差估计，解线性与非线性双 睦型方程的有限元方法及其误差估计。全文分六章，第一章绪论：第二章论述解抛 物问题的质量集中非协调有限元方法及其误差估计；第三章论述非稳态四阶椭圆方 程的有限元方法及其误差估计；第四章论述线性与非线性双曲型方程的有限元方法 及其误差估计：第五章论述s t o k e s 问题的质量集中有限元方法及其误差估计：第六 章论述管道b i n g h a m 流的质量集中有限元方法及其误差估计。 关键词： 抛物问题、非稳态四阶椭圆方程、s t o k e s 问题、管道b i n g h a m 流、双曲型 方程、质量集中、有限元、误差估计。 i i 南京航空航天大学博士学位论文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ne v o l v e sf r o mas e t o fm yp r e v i o u s p a p e r sp u b l i s h e d a n dt ob e p u b l i s h e d i t sc o n t e n t s i n c l u d er e s u l t so nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h ed y n a m i c s e q u a t i o n s ，t h el u m p e dm a s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n d e r r o re s t i m a t i o n sf o rs o l v i n gt h e p a r a b o l i cp r o b l e m 、f o u r t h o r d e rn o n s t a t i o n a r y e l l i p t i ce q u a t i o n 、t h en o n s t a t i o n a r ys t o k e s p r o b l e m a n db i n g h a mf l u i dp r o b l e m ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n de r r o re s t i m a t i o n sf o r s o l v i n g l i n e a ra n dn o n l i n e a rt h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n s t h e r ea r es i xc h a p t e r si nt h e d i s s e r t a t i o n c h a p t e rlp r e s e n t sd e v e l o p m e n t so f t h ef i n i t ee l e m e n t c h a p t e r2f o r m u l a t e s t h el u m p e dm a s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n de r r o re s t i m a t i o n sf o rp a r a b o l i cp r o b l e m c h a p t e r3d e a l sw i t ht h el u m p e dm a s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n de r r o re s t i m a t i o n sf o r f o u r t ho r d e rn o n s t m i o n a r ye l l i p t i ce q u a t i o n c h a p t e r4d i s s c u s s e sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s a n de r r o re s t i m a t i o n sf o rl i n e a ra n dn o n l i n e a rt h eh y p e r b o l i ce q u m i o n s c h a p t e r5p r e s e n t s t h el u m p e dm a s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n de r r o re s t i m a t i o n sf o rt h en o n s t a t i o n a r ys t o k e s p r o b l e m c h a p t e r 6d e a l sw i t ht h e l u m p e d m a s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n de r r o r e s t i m a t i o n sf o rb i n g h a mf l u i dp r o b l e m k e yw o r d s ：p a r a b o l i cp r o b l e m ，f o u r t h o r d e rn o n s t a t i o n a r y e l l i p t i ce q u a t i o n ，s t o k e s p r o b l e m ，b i n g h a mf l u i d ，h y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，t h el u m p e d m a s s ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ， e r r o re s t i m a t i o n s 1 1 1 南京航空航天大学博士学位论文 承诺书 本人声明所呈交的博士学位论文是本人在导师指导下进行 的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等 复制手段保存，汇编学位论文。 作者签名戴谵良吼抛3 年，。月 南京航空航天大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 有限元法的发展概况与问题背景 有限元法最初是2 0 世纪5 0 年代作为处理固体力学问题的方法出现的。追溯历 史，早在1 9 4 3 年，c o u r a n t 已应用了单元的概念。1 9 4 5 1 9 5 5 年，a r g y r i s 等人在 结构矩阵分析方面取得了很大的进展。1 9 5 6 年，t u r n e r 、c i o u g h 等人把刚架位移法 的思想，推广应用于弹性力学平面问题：他们把连续体划分为三角形和矩形单元， 单元中的位移函数采用近似表达式，推导单元的刚度矩阵建立结点位移与结点力 之间的单元刚度方程。1 9 6 0 年，c l o u g h 首先把这种解决弹性力学的方法，给予特定 的名词，称为“有限元法”。几乎与此同时，我国杰出的计算数学家冯康院士也独立 提出了类似的方法。 有限元法在五十年代起源于航空工程中的结构矩阵分析方法。这一方法要解决 的是复杂的杆系结构中力与位移的关系。为此它先把整个杆系结构分解开来。对每 杆件用材料力学或结构力学方法进行分析以得出其力学特性。然后再把这些杆件 的特性借助于数学中的矩阵方法综合起来，以得出整个结构的力学特性。这种处理 问题的思路，在五十年代后期开始被用来处理弹性力学中的连续体问题，并开始采 用“有限单元法”这一术语，简称有限元法。 有限元法是在电子数字计算机飞速发展及数值方法在工程中的应用日益广泛的 背景下发展起来的。这一方法的出现与发展为力学带来了革命性的变化。它起源于 结构分析，但现在已广泛深入到固体力学、流体力学、热传导及电磁场等各种领域。 它也同样在电子机械结构领域中被广泛使用，成为在这一领域中工作的工程技术人 员手中的有力工具。 “有限元法”这个名称第一次出现在1 9 6 0 年，当时c l o u g h 在一篇平面弹性问 题的论文中应用过它，但是有限元法分析的概念却可以追溯到2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 3 年，c o u r a n t 第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最 小势能原理研究了s t v e n a n t 的扭转问题，然而此方法发展很慢几乎过了十年，才 再次有人用这些离散化的概念。1 9 5 6 年，c l o u g h 、m a r t i n 和t o p p 等人，在他们的 经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答。他们利用 弹性理论的方程求出了三角单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元 特性的直接刚度法。他们的研究工作随同当时出现的数字计算机一起打开了求解复 杂平面弹性问题的新局面。用弹性力学经典方法分析连续体时，是从研究连续体中 微元体的性质着手，在分析过程中容许微元体的数目无限多而它的太小趋近于零， 从而得出描述弹性体性质的偏微分方程，求解偏微分方程可以得到一个解析解。这 工程力学中的有限元方法及其误差估计 种解是一个数学表达式，它给出连续体内每一点上所要求的未知量的值。然而，对 于绝大多数工程实际问题，由于其几何形状的不规则，或由于其材料的非线性或不 均匀等原因，要得到问题的解析解是十分困难的。弹性力学有限元法在处理连续体 问题时，首先把连续体离散化( 即上面所说的“化整为零”) ，把连续体假想分割成 数目有限的小块单元，对于每个单元，由于其分块较小并且形状较为规则，因而可 选择一个较简单的函数来近似地表示其位移的分布规律，并用弹性力学中的基本方 程建立起单元上节点处力与位移的关系。最后，将所有单元的这种力学特性借助于 矩阵方法集合起来( 即上面所说的“积零为整”) ，就得到整个连续体上的力学特性。 一般情况下这是一组以节点位移为未知量的线性方程组，解此方程组可得到连续体 上有限个节点上的位移。当然，进一步可求得各单元上的内力应力。在1 9 6 0 年，c l o u g h 进一步处理了平面弹性问题之后，工程师们开始认识了有限元法的功效。此后，有 限元法在工程界获得了广泛的应用。到2 0 世纪7 0 年代以后，随着计算机和软件技 术的发展，有限元法也随之迅速地发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流 频繁，期刊、专著不断出现。可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行 了全面而深入的研究，涉及的内容有：有限元法在数学和力学领域所依据的理论： 单元的划分原则、形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法 及其误差、收敛性和稳定性；计算机程序设计技巧。 有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有 力的数值计算工具。最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力。它是将弹 性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值分析技术；后来由于 这一方法的灵活、快速和有效性，使其迅速发展成为求解各领域中数理方程的一种 通用的近似计算方法。目前，它在许多学科领域和实际工程问题中都得到了广泛的 应用。因此，在工科院校和工业界受到普遍的重视。 在求解工程技术领域的实际问题时，建立基个方程和边界条件还是比较容易的， 但是由于其几何形状、材料特性和外部荷载的不规则性，求得解析解却是很困难的。 因此，寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探索，近似算法有许多种，但常 用的数值分析方法就是差分法和有限元法。 差分法计算模型可给出其基本方程的逐点近似值( 差分网格点上的值) ，但对于 不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件，差分法就难于应用了。 有限元法把求解区域看作由许多小的在节点处互相连接的子域( 单元) 所构成， 其模型给出基本方程的分片( 子域) 近似解。由于单元( 子域) 可以被分割成各种形状 和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂 的边界条件。再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、 应用极广的数值计算方法。 有限元离散化的思想早在4 0 年代就已经提出，但到5 0 年代中期才从结构矩阵 南京航空航天大学博士学位论文 分析扩展应用于连续弹性体。随着有限元法的发展，人们逐渐搞清了有限元法与变 分法的关系，能够自觉地应用各种变分原理建立多种形式的有限元模型。例如，由 最小势能原理导出位移法有限元模型；由最小余能原理导出力学有限元模型等。6 0 年代后期，数学家从数学上给出了收敛性的证明和误差估计，7 0 年代初又证明了非 协调元的收敛性，使有限元法建立在坚实的理论基础上。已经公认，有限元法是处 理力学、物理以及工程问题的有效工具。这期间大量的有限元通用程序也得到迅速 发展并广泛被应用，有限元法活跃在各个工程领域中。其原因是，它能对各种工程 问题进行求解，具有计算精度高、使用灵活的特点，而电子计算机的普遍应用是其 发展的物质基础。 7 0 年代以来，有限元法仍有巨大发展，但研究的重点逐渐转移。主要表现在： 从静力分析扩展到动力和稳定性，从线性弹性问题扩展到材料和几何非线性问题； 从确定性分析到可靠性分析( 随机有限元) ；从固体力学扩展到流体、电磁场、原子 反应堆热应力、地质力学、生物力学等领域：从变分有限元扩展到加权残量法、 能量平衡法有限元。 应当指出，有限元法也有很大的局限性，当单元数逐渐增多时，数据的准备工 作量和计算机时的花费都是十分惊人的。尽管人们在前、后处理上已经作出了很大 成绩，但仍然不能从根本上改变这种高昂的花费。因此近年来又发展了各种半解析 的数值方法，如有限条法、边界元法、各种加权残数法以及有限元与其它方法的结 合等。 有限元法已成为数值分析中一种实用而又重要的工具。切工程领域和应用数 学领域几乎都在使用有限元法。从数学观点来看，有限元法是建立在积分表达法的 基础上的。相比之下，早先的有限差分法则通常是建立在微分表达法的基础上的。 各种问题的有限元模型是根据简单的物理直觉和数学原理提出来的。历史上，曾利 用物理直觉引出一些早期的实用模型，但目前却更加强调业已公认的该方法的数学 基础。 最初，有限元法在数学上不够严谨。而现在，该领域的研究非常活跃。近代有 限元的积分表达法是通过两种不同途径获得的，即变分法和加权残数法。有限元模 型最早的数学表达式是建立在变分法的基础上。变分法在发展单元和在解决实际问 题方面仍然非常重要，在结构力学和应力分析领域里尤其如此。这两个领域里的近 代分析方法几乎全靠有限元法。变分法的模型通常是要找出一组结点参数值，它使 某一特定的称作泛函的积分式具有驻点值( 即泛函取极大或极小值) 。在大多数情况 下，这个取极值的积分式是有物理意义的。例如，在固体力学中，该积分式表示位 能，而在流体力学中则可能对应于墒的产生率。许多物理问题的变分式都归结成二 次型。从这些二次型又进而得出一组对称正定的代数方程，以用来解决该物理问题。 变分表达式还有另一个重要的、有实际意义的优越性，那就是变分法往往有一个与 工程力学中的有限元方法及其误差估计 之相关的误差范围理论。翻一下现有的许多论述变分法的教科书，就可以找到许多 用变分法求有限元模型的例子。 有许多工程问题，可以并不困难地写出它们的控制方程和相应的边界条件、初 始条件，但是由于边界的几何形状或问题本身的一些特性很复杂，却很难用经典理 论的解析法去求解。克服这种困难的补救办法是对问题作较多的简化假设，使问题 能够求解，但是这样做的结果往往导致精度太差，有时甚至得出错误的解答。 现在由于电子计算机的应用和计算方法的新进展，可以在保留问题复杂性的前 提下设法去寻找它的近似解。 有限单元法就是为了对某些工程问题求得近似解的一种数值分析方法。这种方 法是将所要分析的连续场分割为很多较小的区域( 称为单元或元素) ，这些单元的集 合体就代表原来的场。然后建立每个单元的有关特性的关系式，再组合起来就能求 得相应场问题的解答。这是一种从部分到整体的方法，分析过程大为简化。从数学 角度来说，有限单元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值， 把数理方程的边值问题化为等价的一组多元线性代数方程的求解。 有限元法的思想最早出现在c l o u g h1 9 4 3 年所发表的一篇著作中。当时由于受 到一些客观条件的限制而未能得到很快的发展。到5 0 年代，由于工程分的需要，计 算工具和计算方法都已具备了一定的条件，有限元法在分析复杂的航空结构中最先 得到应用，而有限元法这一名称则是由c l o u g h 于1 9 6 0 年在他的著作中首先提出的 有限元法是在变分原理或加枚残数法的基础上建立起来的，因此理论基础牢靠。 虽然这一方法起源于结构分析，但是由于它所依据的理论具有普遍性，目前不仅被 广泛地应用于各种结构工程中，而且作为一种分析方法已被推广并成功地用来解决 其它工程领域中的问题。 有限元法是将所考察的连续场分割为有限个单元。然后用比较简单的函数来表 示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，因为边界条 件不进入单个有限元的有关特性的关系式中，所以对于内部的和边界上的单元能够 采用同样的函数。边界条件只需在集合体的方程中引入，其过程也比较简单，因为 在变分法中自然边界条件隐含地得到满足，只需要考虑强迫边界条件。 有限单元法在处理复杂的几何形状时比有限差分法更为有利，在对连续场作离 散处理、划分网格时的灵活性和适应性，有限元比差分要强。 在有限元法中，最终求解的是线性代数方程组，它的系数矩阵总是对称的，对 于正定的变分问题。有限元离散化后保持了正定性，而且有限元法的系数矩阵是稀 疏的。 有限元法不仅适应复杂的几何形状和边界条件，而且很容易通过对不同的单元 规定不同的性质，成功地用于多种介质和非均匀连续介质的问题，这是其它数值方 法最难于处理的问题。 南京航空航天大学博士学位论文 这个方法便于在计算机上实现。如单元分析，总体合成、代数解算等都可以编 成程序。而且可以编制通用程序，对不同的问题无需修改或稍加修改就能应用。 利用有限元法分析工程问题，如果处理得当，实践证明所求得的解精度较高。 对任何维数的连续问题，其场变量多且有无限多个值，因为它是解域内每一点的函 数，所以这是一个具有无限个未知量的问题。而有限元法将解域分割为有限个单元， 并在每个单元内采用假设的函数来表示未知场变量，这种有限单元的离散工作就把 问题简化成为有限个未知量的问题了。假定的函数称为场变量模型( 试探函数) ，场 变量模型由结点( 几个单元的汇交点) 处的场变量值所确定。场变量的结点值和单元 的场变量模型完全确定了单元内场变量的性质。用有限元描述一个问题时，场变量 的结点值就成为新的未知量，一旦这些未知量求出之后，场变量模型就确定了整个 单元以至集合体的场变量。显然，解的正确性和近似程度不仅与单元的大小、单元 的数目有关，而且与所选择的场变量模型有关。场变量模型的选择需要经验和判断。 有限元法实质上是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。以弹性力学问题位 移法为例，有限元法一般主要包括以下几个步骤： ( 1 ) 将连续体离散化，即将连续的求解域离散为组由虚拟的线或面构成的有限 个“单元”的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。 ( 2 ) 假设上述“单元”由位于单元边界上的结点相互连接在一起，以这些结点位 移，作为基本未知量。 ( 3 ) 利用结点未知量，选择一组插值函数唯一地定义每一个单元内相应物理场( 位 移、应力和应变等) 的分布，即选择单元模式或单元列式。 ( 4 ) 将各种类型的荷载变换为只作用在结点上的等效荷载，建立基本未知量与等 效结点荷载之间的基本方程。 ( 5 ) 求解基本方程，得到基本未知量的解答。 有限元方法作为一种数值方法，用来进行固体力学的结构分析或是用来求解一 般场的问题时，大致要经过如下几个过程： 1 ) 寻找与原始问题相适应的变分形式； 2 )建立有限元子空间即选择元素类型和相应的形状函数： 3 )单元刚度矩阵的计算和总刚度矩阵的合成； 4 )有限元方程组的求解； 5 )回到实际问题中去。 对整个求解区域的未知场函数可由各个单元结点上的数值以及插值函数近似表 示。这样一来，在一个问题的有限元分析中，未知场函数的有限个结点值就成为待 求全部的未知员从而使一个连续体的无限自由度问题简化为有限自由度问题。 5 0 多年来，随着电子计算机技术的发展，有限元法的理论和应用都得到了迅速、持续 不断的发展。其应用领域已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静 工程力学中的有限元方法及其误差估计 力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到 塑眭、粘弹性、牺塑性和复合材料等；从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁 问题等连续介质领域。在工程分析中的作用已从分析和校核，扩展到优化设计并和 计算机辅助没计相结合。总之，以各种不同的变分原理为基础的有限元法可以应用 于各种连续介质问题和几乎所有的场问题。可以预计，随着现代力学、计算数学和 计算机技术的发展，有限元法作为个具有坚实理论基础和广泛应用效力的数值分 析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发挥出更大的作用，其自身亦将得 到讲一步的发展和完善。 有限元方法的主要优点： ( 1 ) 物理概念清晰，容易掌握：有限元法一开始就从力学角度进行简化，可以通 过非常直观的物理途径来学习与掌握这一方法。 ( 2 ) 方法灵活通用：它对于各种复杂的因素( 如复杂的几何形状，任意的边界条 件，不均匀的材料特性，不同类型构件的组合等等) 都能灵活地加以考虑，而不会发 生处理、求解上的困难。 ( 3 ) 应用范围广：它不仅能处理结构力学，弹性力学中的各种难题，而已随着其 理论基础与方法的逐步改进与完善，还可以成功地用来求解热传导、流体力学及电 磁场等其它领域的许多问题。实际上，在所有连续介质问题和场问题中，几乎都有 它的用武之地。 ( 4 ) 可充分利用计算机：该法采用矩阵形式作为表达工具，便于编制计算机程序、 可以充分利用电子计算机的大容量记忆与高速度运算。因而有限元法已被公认为是 机械结构的位移分析与内力分析的有效工具，并得到普遍的重视与广泛的应用。 1 2 本文的研究内容综述 现在，有限元方法的研究非常活跃，尤其在数值计算及应用方面，这样就造成 了在数学理论研究方面跟不上形势的发展。鉴于这种情况，本人就针对一些常见的 动力学方程，利用非协调元与质量集中有限元相结合的方法，构造了相应的有限元 离散格式，将得到的格式在理论上进行了分析研究，得到了一定模意义下能达到最 优阶的误差估计。 1 抛物问题是动力学方程中与时间有关的最普遍的问题，首先针对其模型方程 利用非协调元与质量集中有限元相结合的方法，进行了有限元离散，得到了 各种有限元离散格式，这类格式具有构造简单、计算方便等优点。通过各种 投影技巧，在理论上证明了各种有限元离散格式的收敛性，并给出了相应离 散格式的各种误差估计。 2 与时间相关的四阶椭圆方程来自于动力学问题和板的弯曲问题，我们首先针 南京航空航天大学博士学位论文 对其模型方程利用质量集中有限元方法，进行了有限元离散，得到了各种有 限元离散格式，通过各种投影技巧，在理论上证明了各种有限元离散格式的 收敛性，并给出了相应离散格式的各种误差估计。 3 与时间相关的双曲型方程是波动问题中一类最常见的偏微分方程，我们首先 通过变换把这类方程转换成类似的抛物型方程，然后针对其变分形式利用质 量集中有限元方法，进行了有限元离散，得到了各种有限元离散格式，通过 各种投影技巧，在理论上证明了各种有限元离散格式的收敛性，并给出了相 应离散格式的各种误差估计。 4 发展型s t o k e s 方程与n a i v e r s t o k e s 方程是流体动力学问题中一类最常见的 与时间相关的偏微分方程。首先针对其变分形式利用非协调元与质量集中有 限元相结合的方法，进行了有限元离散，得到了各种有限元离散格式，这类 格式具有构造简单、计算方便等优点。然后通过s t o k e s 投影技巧，在理论上 证明了各种有限元离散格式的收敛性，并给出了相应离散格式真解与原变分 问题真解之间的各种误差估计。 5 最后，我们讨论了一类与流体有关的b i n g h a m 流问题，这是一类发展型变分 不等式问题。对这类问题进行深入研究者甚少，我们对其模型利用质量集中 有限元方法，进行了有限元离散，得到了各种有限元离散格式，通过适当的 投影技巧，在理论上证明了各种有限元离散格式的收敛性，并给出了相应离 散格式的各种误差估计。 1 3 后续工作的设想 1 由于本文所研究的问题都是从实际问题中抽象出来的模型问题，因此这与解 决具体复杂的实际问题还有一定的距离。对此在今后的工作中设想将所研究 的方法用于解决具体复杂的实际问题。 2 由于我们所构造的有限元离散格式具有构造简单、计算方便等优点，可应用 于更多一般的发展型偏微分方程。对此在今后设想把所研究的方法实际应用 于流体力学方程与方程组。 3 本文的研究工作都是在正规网格下完成的，今后可结合变动网格来研究本文 所涉及到的一些模型问题和一些具体复杂的实际问题。 4 借助间断o a l e r k i n 方法的优点，特别是在边界问题处理方面的优势，将本文 所研究的方法与之结合起来，以便构造出更有效的有限元计算格式用于解决 具体复杂的实际问题。 工程力学中的有限元方法及其混差估计 第二章抛物问题的质量集中非协调有限元法 2 1 引言 抛物型方程描写物理学中的一类步迸问题，这类问题中因变量与时间有关，或 问题中有类似于时间的变量，因而又称初值问题。这类问题的一维情形，其求解区 域一般是一个开区间，计算时可从已知的初值出发，逐步向前推进，依次获得适合 于给定边界条件的解。这种数值计算方法称为步进法( m a r c h i n gm e t h o d ) 。例如一维 非稳态导热是关于时间的步进问题，对这类问题常识告诉我们，某一瞬时物体中的 温度分布取决于该瞬时以前的情形及边界条件，而与该瞬时以后将要发生的情形无 关。边界层类型的流动与换热问题是一类主流方向上的步进问题，这类问题因为略 去了主流方向上的扩散作用，这种抛物型方程的特性是下游的物理量取决于上游的 物理量，而上游的物理量不会受下游影响的这一物理现象的反映。对于一个二维稳 态的边界层类型的流动与换热问题，只要给出了上游某一位置垂直于主流方向上各 节点处的变量值及边界条件，就可以得出主流方向上以后各位置处因变量的分布。 本章就针对这类抛物型方程，研究一类抛物问题的质量集中非协调有限元方法， 从理论上分析所给方法的误差估计问题。这类问题的研究，对于热传导等实际问题， 在理论和实际应用方面均有一定的价值。到目前为止，关于这方面问题的研究工作 已有许多( 见文1 1 ，2 ，3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 9 ，4 2 ，4 3 ，5 5 ，5 6 ，6 1 ，6 9 ，7 9 等) ，一般常用的方法是协调有 限元法。在本章中将采用质量集中与非协调有限元结合的方法来处理这类问题。 考虑下述初边值问题： “，一a u = f ( x ，f ) ，( x ，f ) q 0 ，t u ( x ，0 ) = “o ( 工) ， x q ( 2 t ) lu ( x ，f ) = 0 ，( 墨f ) o f 【0 ，t a t 。 这里q 表示平面上有界凸多角形区域，a n 为其对应边界，“，= 娑，表示l a p l a c e 扰 算子。t 为正常数。 在此章中，首先建立问题( 2 1 ) 变分形式的集中质量非协调有限元三种逼近格 式，然后对问题( 2 1 ) 的真解与所给出格式的有限元逼近解之间的一些误差估计进 行分析研究，最终推导出相应的一些误差估计式。 2 2 半离散逼近格式及误差估计 2 2 1 半离散逼近格式 南京航空航天大学博士学位论文 首先r 易知问题( 2 1 ) 所对应的变分形式为；v v 磁( 回 f ( “，v ) + a ( u ，v ) = ( 厂，v ) 【( u ( 0 ) 一“。，v ) = 0 ( 2 2 ) 其中 口( w ，v ) = v w v v 出= ( v w ，v v ) ，“( 0 ) = ”( x ，0 ) ，= ( x ) ，( ，) 表示l 2 ( q ) 中的内积，v ：( 兰，兰) 表示梯度算子。 黜c ， 下面开始建立质量集中非协调有限元半离散逼近格式。记h ”( q ) 为通常的 s o b o l e v 空间，相应范数记为州。，。表示上：模。将q 进行正规拟一致一- - ，z 2 2 1 4 分， 记此剖分族为j 一，h 表示剖分单元三角形的最大直径。q = u p ，f 表示剖分单元 f h 三角形。记s 一表示j h 上的一个非协调有限元空间，满足对v v s h ，v ，鼻( 线性函 数空间) ，v r j ，v 在a q 上取值为零且s 旺h 1 ( q ) ，s c 2 ( q ) 。 考虑数值积分公式： q 啪( v ) 2 ；脚e 船( r ) 善v ( 只力zp ( x ) 出 ( 2 3 ) 只，( ，= 1 , 2 ，3 ) 表示三角形单元的三个项点。上近似公式对一次多项式是精确的，且 由b r a m b l e - h i l b e r t 引理有1 6 9 7 9 ： | q r 一( v ) 一p ( z ) 出l c 丕忪。v 忆， ( 2 4 ) 这里及下面均用c 表示与h ，t 均无关的正常数，且在不同之处表示不同的数值。定 义： ( ) 。：( “v ) ，：= ( 州) 。( 2 5 ) r e 由( 2 3 ) 可知v ) 一是q 上l ：内积的一个逼近，且川。与叫。是瓯上两个等价范数，即存 在两个正常数c 。，c ：满足c 删。l | v | | 。c 2j | v | | 。，v v s ( 2 6 ) 这样问题( 2 1 ) 、( 2 2 ) 的质量集中非协调有限元格式( 半离散情形) 为： 对v v s 。 工程力学中的有限元方法及其误差估计 ( “? ，v ) + a i 一( “6 ，v ) = ( ，v ) ， 【 “( o ) 一“。，v ) = o ， 其州= 警，q “w ，炉萎f v w 协出 ：= ( v ，v ) ( 2 7 ) v w ，v s ，“6 ( o ) 二“6 ( x ，o ) ，对v v s ，记 对于上面所给出的格式，可以证明具有下列关于近似解的误差估计结果： 定理1 ：如果( 2 ，1 ) 、( 2 2 ) 的真解“和右端项，具有下面讨论过程中所需之光 滑性，则近似解“与真解“有如下误差估计式： ，t i b6 一“i | 。c 2 i 卜i i ：+ ( f i h ，| | ：击) 2 ) + c ( f f 卜j | ：斫) 7 2 ( 2 8 ) | 1 z r 6 一“i 1 。c h 2 1 1 “，i ：+ c f p 0 ： ( 2 9 ) 2 2 2 误差估计 在证明定理的过程中，需要利用下列基本事实 6 9 , 7 9 ：存在一个椭圆投影算子 i h ( 也就是h ：( q ) 空间到有限元空间s 的r i e s z 投影算子) ，对 v w h ：( q ) ，i h w s 且满足方程： 口l ( w ，v ) = a 1 ( w ，v ) ，v v s ( 2 1 0 ) 并对v w h 2 ( q ) n 日；( q ) ，有 1 w - 厶w 忆+ h l l w 一，。w l l ，。c h 2 ： ( 2 1 1 ) 记f ( “，v ) = ( “，v ) “一( “，v ) ， 善= “6 一i h u ，r l = l , t l h u ，注意4 ( x ，0 ) = 柙( z ，0 ) = 0 。 为了证明定理的需要，我们先看下面几个引理： 引理2 3 3 6 3 1 ：v v s h ，存在与 无关的正常数c ，使得。c 。 ( 2 1 2 ) 引理3 ：对( “，v ) ，有如下估计式： i 。( “，v m c h2 i i , , ih ，。i l v l l ，。， v u ，ves 。( 2 1 3 ) 南京航空航天大学博士学位论文 证明：由( 2 4 ) 得对v u ，v s b ) _ p v 出i c h 2 i 驴孙v 扎， 因“，v 在每个单元f 上均是线性函数，故利用s c h w a r z 不等式就可得 b ( “v ) 一j “v 出l 拍2 酬b ，酬b ， 上式对r 求和及利用c a u c h y s c h ，啪r z 不等式可得： v ) 一一( “，v ) l c h 2i l ue i 。f l v l l 。 即k ( “，v ) l c h2 1 1 4 。i l v l l ，。，引理2 成立。 v u j ( q ) n h 2 ( q ) ，v s ， 下面来给出定理的证明： 首先由( 2 1 ) 可知，x j v v s h ，有 ( “，v ) + ( - a u ，v ) = ( f ，v ) 利用格林公式可知： 从而有 ；i ，詈础_ ( 厂，v ) 有i 莩l 丽o uv d s f 酬“i i ：i i 训，。 ( v ) h + a l h ( ”) = ( 加) + 莓j ，象砌托( v ) 用( 2 7 ) 式减去( 2 1 4 ) 式得 由( 2 1 0 ) 式，上式可转化为 一莓f ，詈砌飞，v ) ( 2 1 4 ) ( “? 一概v ) h + q l h ( 6 一l ) 2 ( q 一概v ) 一一；i ，丽0 u 砌一( u t , v ) ( 2 1 5 ) 因( “，一l h ，v ) 一s ( “，v ) 。( “f ，v ) 一( i h u 。，v ) - ( u ，v ) + ( “，v ) 从而有 ( “，一l h u ，v ) h - - e h ( u ，v ) 一( “，v ) 一( 厶“。，v ) h 工程力学中的有限元方法及其误差估计 2 ( “，一 “，v ) + ( 1 h “，v ) 一( 1 h “，v ) 2 ( r l ，v ) 十( 一( i h “，v ) ) 这样( 2 1 5 ) 式就转化为： ( 知v ) 一怕小和) 咆，v ) 一；l 。罢岫q ( i h u t , v ) 在( 2 1 6 ) 式令v = 善，就得n - ( 夤，孝) 一+ ( = ( 仉，善) 一莓l ，面o u 融一矗( 饥善) 即 ；扣h 艏固咱心) _ 莓，罢弘眠 因由( 2 1 1 ) 式及引理2 中的( 2 1 2 ) 式可知： | ( ，7 ，亭) i l i 叩。i l 。1 1 孝1 1 。c h 2 f b ，l i ：| | 善i 。 由引理4 可知： 阻詈弘卜i i “| | ：1 1 古1 1 。 由引理3 可得： 阶 “，善) f 玉c h 2 慨吼删 。 c h 2 i 卜川。1 1 善1 1 。c h 2 | | “，l 涉i l 。 将( 2 1 8 ) ( 2 2 0 ) 代入( 2 1 7 ) 式右端可得( 注意到i ur | | 。忱| | ：) ；加孝胁c 矗2 i ：i i 善l + c 呲i i i i 古l l ，。 c 2 1 1 “| | ：+ c 4 i i “，| l ：+ 圭i 陪| | ： 从而就有： 扩d 2 跳s 拍2 ；砌4 这样由( 2 2 1 ) 式就可得到： 护d ”幽2 ；砌4 川 从而可推出1 1 善1 1 ： - c h 2 刖“e 西+ c h 4 c i l u , e 出 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 18 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 南京航空航天大学博士学位论文 即 俐。幽( 埘“+ c h 2 i _( 批脚) “ ” 据( 2 6 ) 式可知： 。c ( l ：加) ”+ c h2 ( m 岫) “ ( 2 2 3 ) 又由( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 可得：( 注意c 在不同之处代表不同的数值) 峨妯删；砌4 ：+ 船吲 c h 2 ：+ c h 4 i 从而就有，。c h 2 慨i l ：+ o h f u l l ： 再由三角不等式知： l z “一“i l 。i h “一，。“l i 。+ i b 一，。“l | 。 = 。+ 1 1 , 7 1 1 。 j i “6 一“0 。lj “一，。“i + l 卜一。“| | 。 2 。+ i , 7 1 1 。 对上二式利用( 2 1 1 ) 式、( 2 2 3 ) 式、( 2 2 4 ) 式就可得 i i u h _ u l l 。c 2 i j 村l | ：+ ( i | | “，| | ：2 曲) ，i z + c ( i | “| l ：击) m 及”一札sc h 2 l ：+ 叫盹 即所给定理1 得证。 ( 2 2 4 ) 2 3t h ef o r w a r de u l e r 逼近格式及误差估计 质量集中非协调有限元方法按如下处理：将时间轴区间 0 ，t i n 等分，其分点为 02 t o f l t - l “= t ，a t = r 一t 。，n = 0 , 1 ，2 ，n 一1 对每一时刻t 。，选取 u ( x ，r ) 的近似解空间均为黾，在i t 。，f 。】内，u ( x ，f ) 的近似解是由“( l f 。) 与 “6 ( x ，。) 这两个节点值所确定的线性函数。问题( 2 1 ) 、( 2 2 ) 的质量集中非协调有限 元格式( t h ef o r w a r de u l e r 情形) 为： 工程力学中的有限元方法及其误差估计 舳呱，( u l , - u l v 乞樯鲶葛兰d 出 b z s ， 其中“。h = “6 ( x ，。) ，口 ( w ，v ) = ev w v v d x ，v w ，v s h ，“6 ( o ) = “( 工，o ) ，对v v s 。， 记 | v i | ：= a l h ( v ，v ) 对于上面所给出的格式，可以证明具有下列关于近似解的误差估计结果： 定理5 ： 如果( 2 1 ) 、( 2 2 1 ) 的真解“和右端项厂具有下述估计式右端所需之 光滑一i s t ，则近似解h 与真解“有如f 误筹估计式： 麟粉“肥c 刊腻制舢“m i i ：d t + c h f 躐灿h m c 酬孙c 3 t 2 m a t 2 + c h 2 ( 删i i 札蹬弘 嘲, c 9 u i ：2 西 记 ( “，v ) = ( “，v ) 一( “，v ) ，古。= u ：一i h “。，7 7 。= “。一， “。( n = 1 , 2 ，j v ) 考( 】= 叩。= 0 为了证明定理5 的需要，我们先看下面两个引理： 引理6 ：对v v s 。，有如下关系式： ( “。+ l 一“。，v ) + a l h ( “。1 ，v ) a t 2 ( + l ，v ) a t + e 。( v ) ( 2 2 6 ) 其中 l e 。c 。，l 。c r + | | 善出，k + c r ，1 | | 詈出，必 ，i + 。厅c r | 川i 血， r i ) v 1 1 。+ c 2 ( r “j i 詈c 西) “，盯i i 。 ( z 2 ，) 证明：由( 2 1 ) 式v v s 。，有( “，v ) + ( 一a u ，v ) = ( 厂，v ) 利用格林公式可得到： 南京航空航天大学博士学位论文 ( 嚣，v ) + ( “，v ) 一莓i ，詈叫凼2 ( 厂，v ) 两边对，从f 。到，。积分得 ( 一v ) + r + j a l h ( ) 西一! i ( 莓f ，詈础) 斫= ( r 弦，v ) 上式同( 2 2 6 ) 式进行比较可得： 吲v ) = ( 厂一几溅v ) 一n 一( - - - b n + l ，v ) 西+ n 莓l ，詈眺) 出+ n o q刈州” 矗( “一“。，v ) ( 2 2 8 ) 利用s c h w a r z 不等式及引理2 ，3 ，4 可得： i ( 小厂胁小c ( 钏瓤2 出) i 。确圳。 i i ? + i ( 1 h 旷川 。得 一e 。c 告。+ 。，j c r “c ? | 詈0 i + 1 f 詈| j i ，西 ，2 + ；i 掌。+ 小m a 2 川m 书。| _ ：a t + c h 4 圳粼西书。 由s c h w a r z 不等式，( 2 6 ) ，( 2 1 1 ) 式及引理2 可得 ( ，7 。一7 7 。，己+ ) 。i l l ，n + 一，h | | 。i l 掌。，i l 。c | | 玑+ 。一v 。i l 。l