（基础数学专业论文）优化计算的神经网络模型及其稳定性分析.pdf

摘要 摘要 递归神经网络具有较强的优化计算能力，是目前神经计算应用最为广泛 的一类神经网络模型本文针对约束鞍点问题和球覆盖最小半径的计算问 题，分别利用投影法、对目标函数加上很小“扰动函数”的逼近法、罚函 数法和梯度法等建立神经网络模型进行求解，并基于l a s a l l e 不变集原理和 l y a p u n o v 直接法等工具，对模型的动态特性进行研究，从而设计出避免陷入 局部极小的优化计算神经网络模型全文共分五章： 第一章简要回顾了优化计算神经网络研究的发展概况，以及利用神经 网络求解鞍点问题和球覆盖最小半径问题的研究现状 第二章通过投影法把h i l b e r t 空间中的鞍点问题转化为某动态系统的平 衡点问题，并利用抽象空间常微分方程理论证明了该动态系统解的存在唯一 性然后通过把l a s a l l e 不变集原理推广到h i l b e r t 空间，给出了平衡点的大 范围渐近稳定性条件 第三章把约束鞍点问题转化为等价的无约束问题，然后利用投影法构 造了一个神经网络模型进行求解，并利用第二章结论证明了在适当条件下， 模型大范围收敛于问题的精确解本模型还可用于求解目标函数具有连续和 离散变量的极小极大问题该模型包含文献【l ，2 】作为特例，推广并减弱了 文献 2 - 5 】中的稳定性和收敛性条件仿真结果表明，该模型是有效的 第四章通过对目标函数加上一个很小但性质较好的扰动函数，利用逼 近法构造一个新的神经网络模型来求解约束鞍点问题，并证明：无须另外的 凸性假设，模型均大范围指数收敛于问题的逼近解，从而能够快速求解文献 【1 ，2 】不能求解的问题仿真结果表明，该模型是有效的 第五章针对r n 中球覆盖最小半径的计算问题，给出了新的计算公式， 然后基于罚函数法建立一个神经网络模型进行求解，并利用l y a p u n o v 直接 法和l a s a u e 不变集原理证明了模型的平衡点集具有大范围吸引性且问题的 ( 严格) 极大值点等价于模型的( 渐近) 稳定平衡点仿真结果表明，模型 是有效的对于球数为2 n 和n + 1 ，还分别严格计算出了最小半径值 关键词神经网络；大范围稳定性；鞍点问题；球覆盖 a b s t r a c t a b s t r a c t r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sh a v ep o w e r f u lc o m p u t a t i o n a lc a p a b i l i t i e s ，a n da r co n c o f t h em o s ti m p o r t a n tt y p e si nn e u r o c o m p u t i n g b yn l e 黜o f t h ep r o j e c t i o nm e t h o d , a d d i n ga s m a l ld i s t u r b i n gf u n c t i o nt ot h eo b j e c t i v ef u n c t i o n , t h ep e n a n ym e t h o d , a n d t h eg r a d i e n tm e t h o d ，t h i sd i s s e r t a t i o np r o p o s e ss e v e r a ln e u r a ln e t w o r k sf o rs o l v i n g s a d d l ep o i n tp r o b l e m sa n dm i n i m u mr a d i u so f b a l l - c o v e r i n g sp r o b l e m s , a n di n v e s t i - g a t e st h es t a b i l i t yo f t h ep r o p o s e dn e t w o r k sb yt h el a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l ea n d t h el y a p u n o vm e t h o d , s oa st od e s i g nn e u r a ln e t w o r k sw h i c ha v o i dg e t t i n gs t u c ki n t h el o c a lm i n i m u m i ti sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s c h a p t e r1p r e s e n t sas u r v e yo f t h es t u d yo f o p t i m i z a t i o nc o m p u t i n gb yn e u r a ln e t - w o r k s ，i n c l u d i n gt h es t a b i l i t ya n a l y s i sf o rr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ，a n dn e u r a ln e t - w o r k sf o rs o l v i n gs a d d l ep o i n tp r o b l e m sa n dm i n i m u mr a d i u so f b a l l - c o v e r i n g sp r o b - l e m s c h a p t e r2c o n v e r t st h es o l u t i o n so fs a d d l ep o i n tp r o b l e m si nh i l b e r ts p a c e si n t o t h ee q u i l i b r i u mp o i n t so fs o m ed y n a m i cs y s t e mb ym e a l 担o ft h ep r o j e c t i o nm e t h o d , a n dg i v e ss o m ec o n d i t i o n so fg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yb ye x t e n d i n gt h el a s a l l e i n v a r i a n c ep r i n c i p l et oh i l b e r ts p a c e s t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e ra l et h et h e o r e t i c a l k e yl i n k si nt h ec o n s t r u c t i o no f t h en e u r a ln e t w o r k si nt h en e x tt w oc h a p t e r s i nc h a p t e r3 ，i tf i r s tp r o p o s e sal 艟u r a ln e t w o r kf o ro o n s t r a i n c ds a d d l ep o i n tp r o b - l e m sb ym e a n so ft h ep r o j e c t i o nm e t h o d , t h e ns h o w st h a tt h ep r o p o s e dn e t w o r ki s g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l eu n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n s t h ep r o p o s o dn e t w o r k a l s oc a nb ea p p l i e dt om i n i m a xp r o b l e m s n v o l v i n gd i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sv a r i a b l e s t h ep r o p o s e dn e t w o r kc o n t a i n st h o s ei n 【l ，2 】a si t ss p e c i a lc a s e s ，a n dt h eo b t a i n e d s t a b i l i t yr e s u l t se x t g n da n dw e a k e nt h o s ei n 【2 _ 5 】s i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dn e t w o r k c h a p t e r4p r e s e n t sa n e u r a ln e t w o r kf o rs a d d l ep o i n tp r o b l e m sb ya d d i n gas m a l l d i s t u r b i n gf u n c t i o nt ot h eo b j e c t i v ef u n c t i o n , a n ds h o w st h a tt h ep r o p o s e dn e t w o r ki s g l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l ea n dt h es o l u t i o no f t h ep r o b l e mi sa p p r o x i m a t e dg l o b a l l y a n de x p o n e n t i a l l y , w i t h o u ta n ya d d i t i o n a lc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s t h u s ，i tc a n 【p d - n e n t i a l l ys o l v es a d d l ep o i mp r o b l e m s ，i n c l u d i n gt h o s ep r o b l e m sw h i c ht h ee x i s t i n g 厦门大学博士学位论文 m o d e l si n 【l ，2 】c a l ln o ts o l v e s i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t ef i l r t h g l t h ee f f e c t i v e - h e s so f t h ep r o p o s e dn e t w o r k c h a p t e r5f i r s tp r e s e n t sa f o r m u l a t i o no fm i n i m u mr a d i u so fb a l l - c o v e r i n g so ft h e u n i ts p h e r ei n 豫”t h e np r o p o s e san e u r a ln e t w o r kb a s e do nt h ep e n a l t ym e t h o d , a n d s h o w st h a tt h et r a j e c t o r yo ft h en e t w o r kc o n v e r g e st ot h ec o l l e c t i o no ft h ee q u i l i b r i a a n dt h a tt h e ( s t r i c t ) m a x i m i z e r sa l e e q u i v a l e n t t ot h e ( a s y m p t o t i c a l l y ) s t a b l ee q u i l i b r i a s i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dn e t w o r k a n df o r n + 1a n d2 nb a i l - c o v e r i n g s i ta l s op r e s e n t se x a c tm i n i m u mr a d i u sr e s p e c t i v e l y k e y w o r d s n e u r a ln e t w o r k ；g l o b a ls t a b i l i t y ；s a d d l ep o i n tp r o b l e m ；b a l l - c o v e r i n g s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：1 犯毫1 年月e 1 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质 版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ”) 作者签名：勉鸶荔 导师签名： 日期：o 撕月7 矿日 日期：年月日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 优化计算神经网络研究发展回顾 自1 9 4 3 年m c c u l l o c h 和p i t t s 的工作【6 】“从原理上说明了神经网络可以 计算任何逻辑函数”以来，现代神经网络的研究工作已有六十多年的历史 神经网络是范围很广的研究领域，根植于神经科学、数学、统计学、物理 学、计算机科学、工程学、生物学和心理学等专业领域它是对生物神经系 统特别是人脑的抽象和模拟，在工程、科学、数学、医学、金融等极其 广泛的领域都有大量应用，比如：模式识别，图像处理、控制与优化、信号 处理、函数逼近、建模等 7 - 2 1 递归神经网络具有较强的优化计算能力，也是目前神经计算应用最为 广泛的一类神经网络模型自1 9 8 2 年h o p f i e l d 提出著名的h o p f i e l d 神经网络 模型 2 2 ，2 3 】以来，许多学者对利用神经网络求解优化问题产生了极大的热 情，提出了许多优化计算的神经网络模型【2 4 0 3 】 1 1 1 神经网络的优化计算 优化问题大量存在于现实生活中，特别是在科学、经济和工程中，许多 新的进展都依赖于相应优化问题最优解的计算【4 4 】人们已对优化计算进行 了大量的研究，提出了许多有效的算法但一些对计算时间要求比较苛刻的 实时应用，如机器人在线优化等 4 5 _ 4 7 】，传统的数值算法因实时性不强而无 法使用，这促使人们寻求适用于大规模并行处理的优化算法 2 2 - 3 9 1 神经网络是模仿生物神经系统而设计的、具有大量连接的并行分布式处 理器，它具有通过学习获取知识并解决问题的能力，且知识分布存储在连接 权值中并行处理结构使其适合于采用v l s i ( v e r y - l a r g e - s c a l e - i n t e g r a t e d ) 、 光学器件和并行处理技术实现 4 8 - 5 0 因此，神经网络比传统数值算法迅速 快捷 利用电路实现神经网络模型( 即一组微分方程组) 的思想最早由h o p - f i e l d 于1 9 8 2 年提出，他同时引入“计算能量函数”的概念，将优化问题的 准则表示为神经网络的能量函数【2 2 - 2 5 与经典数值计算不同，其求解过程 是自动完成的基于h o p f i e l d 的思想，二十多年以来，人们提出了许多优化 厦门大学博士学位论文 计算的神经网络模型，例如：c h u a ，k e n n e d y , l i n 等基于罚函数法对h o p f i e l d 网络模型存在的问题进行修正，并用来求解一大类优化问题【2 7 - 2 9 】z h a n g , c o n s t a n t i n i d 嚣和c i c h o c k i ，u n b c h b u e l l 等提出基于( 增广) l a g r a n g e 乘子法的 神经网络模型【3 1 3 3 】；m a a 和s h a n b l a t t 为了克服c h u a 网络模型【2 9 1 中罚系 数趋于无穷大的缺点，提出一种两阶段优化神经网络模型 3 5 bx i a , w a n g 等 提出投影神经网络模型【3 ，4 】等 神经网络求勰优化问题的实质是将优化问题的最优解转化为神经动态系 统的平衡状态，任给系统一个初始状态，让系统演化到稳定状态就得到问题 的解因而，如何将优化问题的解与神经动态系统的平衡状态一一对应起来 是神经网络求解优化问题的关键对于复杂的优化问题，目前绝大多数优化 神经网络本质上都是基于梯度法，因而往往容易陷入局部极小点如何把求 优化问题全局最优解的思想和方法引进神经网络，建立全局优化的神经网络 模型，是一个值得研究的重要课题 本文主要针对约束鞍点问题和球覆盖最小半径的计算问题，分别利用投 影法、对目标函数加上很小“扰动函数”的逼近法、罚函数法和梯度法等方 法，设计出避免陷入局部极小的全局优化神经网络模型 1 1 2 递归神经网络的稳定性 递归神经网络是一个神经动态模型，对一个给定的初始输入，网络的响 应可能收敛到一个稳定的输出，也可能振荡、无限遗增大、或者遵循一种混 乱的模式1 9 8 2 年，h o p f i e l d 的另一个贡献是利用l y a p u n o v 稳定性定理分析 网络的稳定性 z 2 ，2 3 ，从两设计出具有不同功能的神经网络模型比如，联 想记忆神经网络应具有多个分别对应于要存储的记忆模式的局部渐近稳定平 衡点【4 8 1 ，而优化计算神经网络的理想情形是有且只有一个全局渐近稳定的 平衡点【2 4 1 利用神经网络进行优化计算，必须对模型的动力学行为进行分析，要求 神经网络能可靠地工作，即能收敛到网络的平衡点并且，在实际应用中 往往需要提高网络趋于平衡状态的速度，即要求网络具有全局指数稳定性 r 5 l ，5 2 此外，网络的平衡点一般是事先不知道的，其存在性是稳定性研究 的前提【5 3 ，5 4 】因此，稳定性分析是神经网络综合设计的基础，已成为当前 研究的一个热点 s l - 5 6 l y a p u n o v 直接法和l a s a l l e 不变集原理【5 7 1 是神经网络稳定性分析的常 用工具，它们的应用都是构造满足要求的“正定”函数对于一般的神经网 2 第一章绪论 络，“正定”函数的构造并不是轻松的事情本文所提出的优化神经网络模 型的稳定性分析都是通过寻找满足特定性质的“正定”函数由于l a s a l l o 不 变集原理在稳定性分析中的重要性，本文第二章将其推广到h i l b 髓t 空间中， 并运用于分析h i l b e r t 空间中鞍点问题所对应动态系统的稳定性 1 。1 ，3 鞍点问题的神经计算 鞍点问题是一类重要的优化同题，产生于很多重要领域，比如最优化理 论、博弈论、自动控制、函数逼近、形位误差评定等( 比如，见f 5 8 _ 6 3 】) ， 它包含通常的数学规划问题作为特例鞍点问题是求目标函数在给定约束下 的鞍点数学规划问题和许多极小极大、极大极小问题的求解都可以转化为 相应鞍点问题的求解与一般的极小极大、极大极小闯题一样，鞍点问题不 是简单地求目标函数的极大值或极小值，因而比普通数学规划问题更难以求 解 在许多科学和工程应用中，很多情况下需要求上述目题的实时解 然而，对于高维或结构复杂的闯题。传统数值方法( 例如，脚6 】) 一般无能为力，因为其计算时问严重依赖于问题的维数和结构随着 v l s i 技术的发展，以及神经网络的诸多优点，如大规模并行处理、易于 硬件实现等 4 8 - 5 0 1 ，神经网络已成为实时求解优化问题的一条有效途径 1 2 2 ，2 3 ，2 7 ，3 2 ，6 7 ，6 8 特别是在电路实现的基础上，神经网络方法的整个计 算过程是真正并行和分布的，因而，其计算速度远比传统数值方法快得多 近来，人们已经构造出许多神经网络来求解优化问题( 例如，n 一5 ，2 4 2 6 j ) 其中，文献【l i 构造了一种求解无约束极小极大问题的神经网络模 型，并证明了在某种凸性假设下，模型是渐近稳定的，然而其结构较复杂； 文献f 2 】和f 2 6 】分别建立了求壤二次极小极大问题的神经网络模型，并在相 应矩阵为正定的假设下，证明了模型的稳定性上述求解极小极大问题的模 型都是通过求目标函数的鞍点来获得问题的解另外，文献 ”】等分别对 动态投影系统的稳定性进行了研究，给出了一系列稳定性条件虽然鞍点问 题可转化为动态投影系统，但一般鞍点问题并不满足文献【”】中的稳定性 条件对于一般的约束鞍点同题，目前还没有出现满足大范围渐近( 或指 数) 稳定性的全局优化神经网络模型 本文将在第二章把h i l b e r t 空闯中的鞍点问题转化为求某动态系统的平 衡点问题：在第三章和第四章分别建立满足大范围渐近稳定性和大范围指数 稳定性的全局优化神经网络模型求解约束鞍点问题其中，第三章的模型包 厦门大学博士学位论文 含文献【1 ，2 】中的模型为特例，所得结果推广并减弱了文献【撕】中的稳定性 和收敛性条件；而第四章的模型则不需附加假设，自动具有大范围指数稳定 性 1 1 4 球覆盖最小半径的神经计算 单位球面的球覆盖问题“单位球面至少可被多少个不含原点的球覆盖” 是b a n a e h 空间几何学，特剐是b a n a c h 空间单位球几何理论研究的新内容， 最近由程6 9 , 7 0 等率先提出并发展起来它与其他从“整”球出发，用球 “覆盖”集合或用其他几何形体覆盖球的主题( 如，m a z u r 交性质【7 1 ，装 球问题【7 2 ，7 3 】，p l a n k 问题【7 4 ，拓扑度问题 7 5 】等) 一起成为b a n a c h 空间 几何学、凸分析和非线性泛函分析的重要组成部分 一般b a n a c h 空间中球覆盖的最少个数以及球覆盖的存在性特征已经由 程 6 9 ，7 0 1 给出，特别地他证明了n 维b a n a e h 空间中球覆盖的最少球数为 n + l ( 范数光滑时) ，对称球覆盖的最少球数为2 他然而，球覆盖最小半 径的计算问题还没有得到解决对于两类特殊的情形，本文在第五章分别严 格计算出了其球覆盖的最小半径对于一般情形的最小半径问题，本文在第 五章将其归结为一个约束极小极大问题对该问题直接求精确解或用其他数 值方法求精确解还是比较困难的鉴于神经网络强大的计算能力和在优化计 算中的成功应用，本文第五章基于罚函数法建立一个神经网络模型求解上述 问题，并利用l y a p u n o v 直接法和l a s a i l e 不变集原理对模型的稳定性进行分 析 1 2 本文主要内容 本文针对约束鞍点问题( 包含了数学规划问题和部分极小极大问题) 和 球覆盖最小半径的计算问题，分别利用投影法、对目标函数加上很小“扰动 函数”的逼近法、罚函数法以及梯度法等建立神经网络模型进行求解，并基 于l a s a l l e 不变集原理和l y a p u n o v 直接法等工具，对所建立的模型的动态特 性进行研究，从而设计出易于硬件实现且避免陷入局部极小的优化计算神经 网络模型全文共分五章： 第一章绪论简要回顾了优化计算神经网络研究的发展概况，以及利用 神经网络求解鞍点问题和球覆盖最小半径问题的研究现状给出了本文主要 内容 4 第一章绪论 第二章h i l b e r t 空间中鞍点问题的动态系统模型及其稳定性分析通过投 影法把h i l b e r t 空间中的鞍点问题转化为求某动态系统的平衡点问题，并利 用抽象空间常微分方程理论证明了该动态系统解的存在唯一性然后通过把 l a s a u e 不变集原理推广到h i l b e r t 空间，给出了平衡点的大范围渐近稳定性 条件本章的结论是后面两章内容在h i l b e r t 空间中的推广，也是建立神经网 络模型求解约束鞍点问题的理论基础 第三章精确求解约束鞍点问题的神经网络模型把欧氏空间中的约束 鞍点问题转化为等价的无约束鞍点问题，然后利用投影法构造了一个神经网 络模型进行求解，并利用第二章结论证明了在适当条件下，模型大范围收敛 于闯题的精确解该模型还可应用于求解凸规划问题和目标函数为具有连续 变量和离散变量的极小极大问题对于给定的初值，网络将自动演化到问题 的精确解本章的模型包含文献【i ，2 】中的模型作为特例，所得稳定性和收 敛性结果把文献f 2 】中的结果从二次鞍函数推广到一般的鞍函数，并减弱了 文献【 5 】中的稳定性和收敛性条件仿真结果表明，该模型是有效的 第四章逼近法求解鞍点问题的神经网络模型通过对目标函数加上一 个很小但性质较好的扰动函数，利用逼近法构造一个新的神经网络模型来求 解约束鞍点问题，并证明：无须附加另外的凸性假设，所建立的模型均大范 围指数收敛于问题的逼近解从而本章所建立的模型能够快速地逼近求解文 献f l ，2 】以及本文第三章中的模型不能求解的问题仿真结果表明，该模型 是有效的 第五章单位球面球覆盖最小半径的计算及其神经网络模型针对歌n 中 球覆盖最小半径的计算问题，首先重新给出了球数为仇( n + 1 ) 的球覆盖 最小半径的计算公式，然后基于罚函数法和梯度法建立一个神经网络模型进 行求解，并利用l y a p u n o v 直接法和l a s a l l e 不变集原理证明了模型的平衡点 集具有大范围吸引性且原问题的( 严格) 极大值点等价于模型的( 渐近) 稳定平衡点仿真结果表明，该模型是有效的对于f f t = 2 n 的对称情形和 y n = f l + 1 ，还分别严格计算出了其球覆盖的最小半径 5 厦门大学博士学位论文 第二章h i l b e r t 空间中鞍点问题的动态系统模型 及其稳定性分析 鞍点问题产生于很多领域，比如最优化理论、博弈论、自动控制、函数 逼近、形位误差评定等( 比如，见【5 s - 6 3 ) 本章首先通过投影法把h i l b c r t 空间中的鞍点问题转化为求某动态系统的平衡点的问题，并利用抽象空间常 微分方程理论证明了该动态系统解的存在唯一性然后通过把l a s a l l e 不变 集原理推广到h i l b e r t 空间，给出了平衡点的大范围渐近稳定性条件本章的 结论是后面两章内容在h i i b 硪空间中的推广。也是建立神经网络模型求解约 束鞍点问题的理论基础 2 1 动态系统模型 设日l ，玩均为实h i l b e r t 空间，巩ch t ，u 2c 凰为闭凸子集，广义 实值函数，：h 1 h a ru 仕o 。) 在巩观上为鞍函数( 即对任意固 定的( 。，y ) 以，( 们和一，扛，) 分别为巩和上的凸函数) ，且 ，c 2 ( d l d 2 ) ( 其中d l d a ( d 巩xu 2 ) 为某开凸子集) 我们考虑如下 的鞍点问题： 求点( 矿，矿) 仉v 2 ，使得 ，旷) 为，在巩巩上的鞍点，即( 2 1 1 ) l ，( z + ，掣) ，( 峦+ ，) ，( z ，! ，) ，v ( x ，y ) 巩u 2 本章中，我们分别记亿，和，为，在点z 处的f r 6 c h e t 导数和二阶f r 6 c h e t 导数，并且( ，) 表示h i l b c r t 空间中的内积我们首先证明如下性质 性质2 1 1 设日为h i l b e r t 空间，dch 为开凸子集，acd 为闭凸予集， 且妒：d 一取为f r b , c h e t 可微凸函数则矿a ，使得妒( 矿) 一m i n 妒( x ) ： z a 当且仅当( v 妒( 。+ ) ，z z ) o ，、，$ a 证明：对任意z a ，令g ( t ) = o o ( t x + ( 1 一t ) 矿) ，t i o ，1 】则 6 第二章h i l l o c r t 空问中鞍点阔题的动态系统模型及其稳定性分析 z + a 使得妒( z + ) = m i n i p ( $ ) ：z a 骨g ( o ) = m i n d ( t ) ：t 【o ，1 】) 仁辛玉( o ) 0 = 争( v 妒( $ + ) ，z z + ) o 定理2 1 2 点( 矿，y ) 巩巩为，( 毛y ) 在巩x 巩上的鞍点当且仅当 忙乏孑：器裂 其中魄( ) = a r g m i n l l 一u l i ：仳阢 ，i = 1 ，2 证明：依性质2 1 1 ，有 点( 矿，矿) 为，( $ ，”) 在巩上的鞍点 = 孛f ( x 4 ，y ) ，( z ，y ) f ( x ，矿) ，v x 巩，掣，2 i ( v 。f ( x + ，暑，+ ) ，霉一z + ) o ，v z 巩 i ( v p ，( z + ，掣) ，爹一”) 0 ，v y 沈 ，j 矿= 尸玩( 矿一v 。，( 矿，旷) ) iy + = p u , ( 旷+ v f f ( x + ，扩) ) 引理2 1 3 。仉( z ，y ) = ( p u l ( z ) ，( 砒v ( x ，y ) 风x 飓 证明：对任意( ，钉) 巩，有 ( ( 五y ) 一( 而j ( z ) ，r k ( 可) ) ，( 而。( z ) ，功：( ) ) 一( 1 , ，t ，) ) = 扛一助。( z ) ，功。( z ) 一札) + ( y p u 。( ) ，而j ( 耖) 一 ) 0 口 口 口 令z 兰( z ，y ) h 兰。h 1 。，c ( z ) 兰( v 。，( z ，材) ，- v v f c w ，可) ) ，d 三 7 厦门大学博士学位论文 d l d 2 则我们有如下动态系统： ! 糕酬枷- 叫， 点z 日称为系统( 2 1 2 ) 的平衡点，如果最 。巩( 矿一g ( z ) ) 一矿= 0 依 定理2 1 2 和引理2 1 3 ，有 推论2 1 4 点0 + ，y ) 巩阮为f ( x ，y ) 在巩玩上的鞍点当且仅当点 矿三( 矿，旷) 为系统( 2 1 2 ) 的平衡点 2 2 解的存在性和唯一性 本节将证明初值问题( 2 1 2 ) 的解的存在性和唯一性首先，先考虑 h i l b e r t 空间日中的初值问题： d羽z，d：t=硒g(z)。, 其中d c h 为开子集，g ：d 一日为连续算子我们先回顾如下性质 性质2 2 1 【7 6 】假设g 在d 上局部l i p s e h i t z 则初值问题( 2 2 1 ) 在极大存在 区间【o ，t ) 上具有唯一连续解z ( t ) ，且如果t + o o ，h 三l i m t 。t z ( t ) 存 在，则h o d ( 即d 的边界) 性质2 2 2 在性质2 2 1 的条件下，并假设g 在d 的每个有界子集上有界则 下述之一成立： nt 一+ o o ； i i ) t + ，且1 n 1 8 u p t t i i z ( t ) l i = + o o ； i i i ) t o 相对紧则下列论断成立： i ) q ( 2 0 ) 砂； i j ) 赋劫) 为紧集； i i i ) q ( 翔) 为正不变集； i v ) 当t 一+ 时，2 ( t ) 一n ( 匈) ( 即t 。l i + r a 。o d ( z ( t ) ，q ) ) 2o ) 证明：i ) 显然 i i ) 只需证q ( 知) 为闭集事实上，令 _ 7 l 。，c q ) ，且k h 通过选 取子列，不妨设0 k 一叫i k l ，t o = o ) ， 使得忙) 一k n 0 ，拓一+ o o ，使得d ( 2 ( “) ，q ) ) 因 。( t ) ： t o ，相对紧，通过选取子列，不妨设z ( t k ) 一h 从而，h a ( z o ) 矛盾 口 性质2 3 2 设d c h 为紧的正不变集，且存在f r 6 c h e t 可微函数v ：h r ， 使得d y ( z ) m 兰( v v ( z ) ，d z d t ) 0 ，v z d 则对任意初值z o d ，z ( t ) 一 m