（基础数学专业论文）局部对称空间中子流形的pinching问题.pdf

摘要 摘要 子流形理论是微分几何中发展的比较成熟的分支学科对子流形的第二基本 形式模长平方s ，数量麓率r ，r i c c i 鳆率r “及截面益率最翅等内在量，加以某种限 制，从而得到子流形的某些性质，叫做子流形的p i n c h i n g 问题自从1 9 6 8 年j s i m o n s 给出球面s n + p ( 1 ) 中极小子流形的积分公式后，几何学家对子流形的p i n c h i n g 问题 研究的很多。 本文研究局部对称空间中子流形的p i n c h i n g 问题，全文共分为三个章节； 第章节介绍局部对称空间申子流形的性质，从纛为后面主要结果的证明作 准备 第二章节是关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量子流形的p i n c h i n g 定 理，设m 是厨部对称空闻n n + 势中个紧致子流形我们应用g a u s s 方程，r i c c i 方程和外围空间的局部对称性质等方法，通过研究函数，0 ) 一h 臻i i b ( u ，u ) 一 b ( v ，移妒得到令p i n c h i n g 定理。警p 2 时，我嚣谚孺豹令定理改进了【1 】中 的相应结果 第三章节研究局部对称空间申具有正r i c c i 曲率的完备极小子流形，得到了关 于予流形r i c c i 蓝率的个p i n c h i n g 定理，该定理把n o r i oe j i r i 的结论及外匿空闻 为球空间推广到局部对称空间中 关键词：平均曲率；局部对称空间；第二基本形式；极小子流形；r i c c i 曲率 a b s tr a c t t h et h e o r yo fs u b m a n i f o l d si sad e v e l o p e ds u b j e c to fd i f f e r e n t i a lg e o m e - t r y i fw eg i v es o m er e s t r i c i a nt ot h ei n t r i n s i cq u a n t i t i e so fs u b m a n i f o l d s ，s u c ha s s e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ，s c a l a rc u r v a t u r e ，r i c c ic u r v a t u r eo rs e c t i o n a lc u r v a ，- t u r e ，t h e nw ec a ng e ts o m en e wp r o p e r t yo ft h es u b m a n i f o l d s t h ep r o c e d u r ei s c a l l e dp i n c h i n gp r o b l e mo fs u b m a n i f o l d s i n1 9 6 8 j s i m o n sg o tt h e i n t e g r a lf o r m u l ao ft h em i n i m a ls u b m a n i f o l d so fu n i ts p h e r es ”+ p ( 1 ) a f t e rt h a tt i m e ，m a n y g e o m e t r i c i a nh a dg o tl o t so fr e s u l t so nt h ep i n c h i n gp r o b l e mo fs u b m a n i f o l d s w es t u d yap i n c h i n gt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d so fl o c a h ys y m m e t r i cs p a c e i nt h i sp a p e r t h i sp a p e rh a st h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ep r o p e r t yo fs u b m a n - i f o l d si nl o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e ，w h i c hp r e p a r e sf o rt h ep r o o fo ft h ef o l l o w i n g m a i nr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yap i n c h i n gt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d so f l o c a l l ys y m m e t r i cs p a c ew i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r e l e tmb eac o m p a c t s u b m a n i f o l do fl o c a l l ys y m m e t r i cs p a c en ”+ p w ea p p l yg a u s se q u a t i o n r i c c i e q u a t i o na n dt h ep r o p e r t yo fl o c a l l ys y m m e t r yo ft h eo u t e rs p a c e ，t h r o u g h s t u d y i n gf ( x ) =嚣橇i l b ( u , u ) 一b ( v , v ) 1 1 2 ，t h e nw eg e tap i n c h i n gt h e o - r a m w h e np 2 ，w h a tw eo b t a i ni m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e mo fa r t i c l e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yc o m p l e t em i n i m a ls u b m a n i f o l d so fl o c a l l y s y m m e t r i cs p a c e ，a n dw eo b t a i nap i n c h i n gt h e o r e ma b o u tt h er i c c ic u r v a t u r e o ft h em i n i m a ls u b m a n i f o l d s ，w h i c hg e n e r a l i z e st h er e s u l to fn o r i o e j i r i sf r o m s p h e r es p a c et ol o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e k e yw o r d s ：m e a nc u r v a t u r e ；l o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e ；s e c o n df u n d a m e n t a l f o r m ；m i n i m a ls u b m a n i f o l d ；r i c c ic u r v a t u r e 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文 中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活 动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责入或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明入徽) 林 沙u ? 年6 月 气 豕谚广 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦f j 大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法 等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位 论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书馆及 其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、 硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适焉上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内。打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦f j 大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签孝：林 扩。簟年易胄 ， 豕僻广 圜 绪论 绪论 子流形理论是微分几何的重要课题，经过几十年的发展，子流形理论已成为微 分几何中内容十分丰富的分支学科最初，微分几何学是研究三维欧式空间中的 曲线和曲面的形状，并寻求籍于确定他们的形状的完全不变量系统。通过深入研 究欧氏空间中曲面的形状，f g a u s s 发现曲面的曲率由它的第基本形式完全确 定。从此，研究由曲面的第一基本形式决定的几何学便成为个中心议题。黎曼 几何学是曲面内蕴几何学的高维推广但子流形理论对黎曼几何学来说仍然是重 要的。首先，许多重要的黎曼流形都是作为已经熟悉的空间( 如欧氏空间，球面 等) 的子流形出现的，而且欧氏空间的微分几何学仍然是黎曼几何的最主要参照 物其次，个黎曼流形是否能够实现为某个高维欧氏空间的子流形始终是一个 重要的基本问题此外，在个黎曼空间中，子流形的存在性，唯性和r l 何性 质，以及他们的构造方法和相互联系一直是几何学家所关注的研究课题。 对子流形的第二基本形式模长平方s ，数量曲率r 磁c c i 曲率昆t 及截面曲 率冠倒等内在量，加以某种限制，从而得到子流形的某些性质，叫做子流形的 p i n c h i n g 问题自从1 9 6 8 年j s i m o n s 给出球面s 计p ( 1 ) 中极小子流形的积分 公式后，兀何学家对子流形的p i n c h i n g 问题研究的很多 在本文我们研究局部对称空间中的子流形，通过研究函数，( z ) = m ，蜷l ib ( 札，钆) 一 u u 七j w z b ( v ，v ) 1 1 2 或限定子流形的硒c c i 曲率来得到子流形的p i n c h i n g 定理。 第一章局部对称空间中子流形的性质 第一章局部对称空间中子流形的性质 本文对各类指标取值范围约定如下： 1 a ，b ，c 7 2 + p ；1 i ，j ，七，几， 佗+ 1 q ，p ，1 i 1 + p 若个黎曼流形的曲率张量是平行的，则称之为局部对称空间显然，常曲率 空间是局部对称的我们先设子流形m 的外围流形府是局部对称的，即在幺正 标架场下，m 的曲率张量k 勃d 满足 g 。a g d ：e20 其中。；”表示关于m 的黎曼联络v 的共变微分 以n “+ p 表示其截面曲率k 满足条件0 6 k 1 的n + p 维局部 对称黎曼流形， m ”是n p 中n 维子流形在外p 上选取局部标准正交标 架场 e ，使得限制在m ”上时， e a ) 与m “相切，设 u a ) 是卅p 关于 e a ) 的对偶标架场， u a b ) 是”+ p 的联络形式，则限制到m “上，有 = 0 ，产九嚣，幅= 螺 h = 弓毗 屿 e a 铂t f _ 削+ ( 坛吩一蟛九氛) 风删= 凰删+ e ( h i 。k h ：一h a h i 。k ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 式中h , r i j k l ，见例和k a b c d 分别是m 忆的第二基本形式，曲率张量场，法曲 率张量场及卅p 的曲率张量场 定义第二基本形式对应的矩阵为：上k = ( 九弓) 。n 第二基本形式长度平方为； s = ( 马) 2 o 1 ，j m “的r i c c i 张量场为：r i c ( x ，y ) = ( r ( e i ，x ) e i ) ，以，y 丁m 2 第一章局部对称空间中子流形的性质 把k a c d ；e 限制在m 上得镅纠满足 蠕列 f 霸m 一= d 叼。一确七印一码七曾 aa 蝎a 霹+ 砑七u 盖 a 另方面，当限制在m 上时，嵋k 的共变导数嵋舰为 嵋南z = d 嵋七一七口一礁七哆一 霸。u 孑+ 硝七嵋 m8 当n + p 是局部对称空间时，由上面两式可得 霸m f - k ；一j k h i 。t + 砀t 碥+ 88 蜗卢心一碌碥； ( 1 5 ) 引理1 1 【4 】设计p 是佗+ p 维黎曼流形，如果其截面曲率k n 满足6 k l ，贝0 ( 1 ) ( 2 ) k a c s c i ( 1 一占) a ，b 互不相同； - 日c d i 三( 1 6 ) a ，b ，c ，d 互刁j 才徂同 o 3 a 。 第二章关于局部对称空间中具有平行平均曲率向量子流形的一个p i n c h i n g 定理 4 第二章关于局部对称空间中具有平行平均曲率 向量子流形的一个p i n c h i n g 定理 2 1 引言 设m “是s p 的个紧致浸入子流形，b 是m 的第二基本形式um = uu 尥是m 的单位切丛u 尥= 让瓦m ，l u l 2 = 1 ) ，设f ( x ) = 。m 艇a 地x i i b ( u , u ) 一b ( v , v ) 1 1 2 陈卿在文 1 中证得如下定理： 引理a ：设m ”是s 时p 的个具有平行平均曲率向量的紧致子流形 ( i ) p = l ，若，( z ) 4 ，则m 是全脐超曲面或是s l ( 刁1 ) s m ( 南) ( 1 + m = n ) ( i i ) p 2 ，若，( z ) 互元2 j n ，则m 或是全脐的或是个v e r o n e s e 曲面 对于p 2 的情况，本文把匕述结果改进为如下： 定理2 1 ：设m ”是伊+ p 的个具有平行平均曲率向量的紧致子流形，且 p 2 ，若f ( x ) 丽8 n ，则m 或是全脐的或是个v e r o n e s e 曲面 对于外围空间为般局部对称空间n p 的情况，有下面结论： 定理2 2 ：设m ”是局部对称空间”却中个具有平行平均曲率向量的紧 致子流形， n ”+ p 的截面曲率k 满足： 互1 6 k 1 ( i ) p = l ，若c 1 ，( z ) c 2 ，则m 是全脐超曲面或是( 去) s m ( 击) ( 1 + m = n ) ； ( i i ) p 2 ，若c 3 ，( z ) c 4 ，则m 或是全脐的或是个v e r o n e s e 曲面 其中c 1 ，c 2 为关于z 的方程： 一卫铲z 2 + ( 2 艿一1 ) 凡一 ( 1 6 ) 】。一 ( 1 d ) n 2 日2 = 0 的p 耐畏 c 3 ，c 4 为关于z 的方程： 一丑产z 2 + ( 2 s 一1 ) 佗一警( 1 6 ) ( 佗一1 ) 、矧z 一( 1 6 ) i n 可2 伽日2 = 0 的两 根 注：6 = 1 时，定理2 2 就是定理2 1 釜三主苤! 鱼童塾堑窒塑墨查堡塑塑主鱼量选受塑二全型里些丝窒墨 5 2 2 定理2 1 的证明 设x o m ，使得f ( x o ) 0 ，因而存在u o ，v o u 尬满足：f ( x o ) = b ( u o ，u o ) 一b ( v o ，v o ) j 1 2 ，选取x 0 点处的局部标架场_ 【e 4 ，使得： 则有【1 】= e n + 12 b ( u o ，u o ) 一b ( v o ，y o ) b ( u o ，u o ) 一b ( v o ，v o ) 1 1 2 f ( x o ) = ( 对1 一九笳1 ) 2 h i = 九：。( o n + 1 ) ( 易) 2 三m ) m 矧 h t ? 1 尼分1 翁1 ， 矿1 = 0 ，( i 歹) 在m 上定义个张量场h = ( 鼠州) 如下：上易剐= 蛭l q 则在上述标架下有f ( x o ) = 上矗1 1 1 + f 乙。一2 h 1 1 。 记a ( 1 ，礼) = ( a h ) 1 1 1 1 + ( a h ) 。n 一2 ( a h ) 1 l 肌 则有【l 】： 又 ( 1 ，n ) ( 。1 t 一九：去1 ) ( n 。1 + 越l 一 ：嚣) 九赫一九瓢= 削+ 涮一碣风删 r i j k l = ( 6 娩屯z 一如t ) + ( 坛啄一蟛喂 凡一巧= ( 椎唤一啄 象) 七 坛k = 磕j 由( 2 4 ) 一( 2 9 ) 得 其中 三( 1 , n ) a + b a = n f ( x ) 一2 ( 埘1 一九 ( 硪1 一 n i + ( z + 1 一九翁1 ) ( 蛾) 2 矿1 ) ( 蝇) 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 差三主苤鱼童苎堑窒塑墨查堡塑堕主鱼量煎墅鱼二全鲤些垫墨窒墨 6 b = 厂( z ) 1 一e ( 矿1 ) 2 + n n + 1 嵋1 螺+ ( 对1 + 九笳1 ) 矿1 ) i 引理2 1 ： a ，( z ) n 一号，( z ) 证明：由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 得： a 扎，( z ) 一2 ( 九对1 一 笳1 ) 【( 对1 一九矿1 ) 掣 枷矿1 硼掣】 m ) 卜署m ) 】 引理2 2 ：，帛镌+ 1 ( 九对1 一九寸1 ) ( 九矿1 一 笳1 ) 一宁，( z ) n 凡+ 1l 1 n 0 1 n 证明： n 壬n - t - 1 t 1 ，n q 主n - i - 1 i # 1 n 毳一五1 ( 一蟛) 2 竺。咙 a n + 1 t 1 ，“ = 一去；( 肾筏) 2 + 三 1 弋、 一五l ( 埘1 一时1 ) 2 i l ，n ( 硪1 一危2 t l ，忆 ( 九：。一砭) 2 = 一主( ：。一筏) 2 + 五1 ( 翁1 一科1 ) 2 i 1 n o 。 ( 咐1 一时1 ) 2 + ( h 7 1 + 1 一 3 + 1 ) ( 坩1 一蛾1 ) i 1 n ( 对1 一 矿1 ) ( 对1 一九矿1 ) + ( 矿1 一九翁1 ) 】 ( 对1 一坛+ 。1 ) ( 九对1 一九笳1 ) 口 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 枷枷枷 蔓三主苤鱼童塾整窒囹主墨查堡垫塑主鱼量速墅塑二全旦垫些! 坚窒垄 7 ( 蝶1 一科1 ) 2 + ( 付1 一付1 ) ( 桫1 一嗽1 ) i 1 ，ni 1 ，7 ( ；+ 1 一九2 ：1 ) ( 危矿1 一九：1 ) 十( 允才1 一 1 ) 】 t 1 n = ( 付1 一蝶1 ) ( 坩1 嗽1 ) i l n 由( 2 2 ) ，( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 得： h 1 1 h i , + 三( 哪! 一九纩1 ) ( 矿1 一危笳1 ) a i r l t ，t n - i i l , n = 互1 忽嚣+ 三 i 1 ，ni # 1 ，n 一九才1 ) ( 矿1 一 翁1 ) 一字m ) + 去 ( 埘1 一危矿1 ) ( 哪! 一九翁1 ) + ( 科1 一嗡1 ) ( 咐1 一壤1 ) 】 i i , ! 1 n = 一字n - m ) + 丁n - 2 m ) = 一孚m ) 引理2 3 ： b 一半厂2 ( z ) 证明：由( 2 2 ) 有 ( 2 1 4 ) 口 b = m ) _ 【( 埘1 一科1 ) ( 蚶1 一嵫1 ) + n 搿1 豫1 + 螅 曩) i a n + l ，( z ) ( 对1 一 矿1 ) ( 矿1 危笳1 ) 一署( 危寸1 一九翁1 ) 2 年强 塞) z 1 “ a n + l = m ) ( 埘1 一h i n i + 1 ) ( 坩1 署m ) + 擒) ( 2 1 5 ) 由引理2 2 及( 2 4 ) ，( 2 1 5 ) 式得： 件n 忽 加 1 4 + a 危 a n 差三主基主鱼部对赘空间中具有平行量均曲率向量子流形的一个p i n c h i n g 定理 8 j e 7 f ( x ) 五3 ( 九岔1 一九矿1 ) ( 凡1 一危笳1 ) 一三，( z ) 下n - 2 ，( z ) 】 一3 n - 2 f 8 2 ( z ) 、。， 引理2 4 ：f = 0当且仅当m 是全脐点子流形 ( 2 1 6 ) 口 证明：由f 的定义得：f = 0 令b ( u ，u ) = b ( v ，v ) v u ，口尥， 从而f = 0当且仅当m 是全脐点子流形 口 引理2 5 【1 】= ，a ( i ，n ) 证明：固定z m ，在z 的个充分小邻域0 。构造两个向量场u ，v ，对 y 0 z ，让( 矽) ，口( 可) 分别由连结x , y 的极小测地线平行移动u ( z ) = e l ，v ( x ) = e n 而得到定义啦( y ) = j l b ( u ( y ) ，仳( y ) ) 一b ( ( 可) ，v ( v ) ) 1 1 2 ，则 如( 可) i ! ，：。= a h ( u ，u ，钆，钆) + 日( 可，u ，v ，口) 一2 h ( u ，u ，v ， ) i g ：王= ( 1 ，n ) 另方面，由l a p l a c i a n 的般定理知 ( 训z ) 一咖l i mr - 2 可j b ( x x ) 一m ) ) 其中c 是某常数，b ( x ，r ) 为以z 为中心，r 为半径的测地球因为f ( x ) = 乳( z ) 且由定义有f ( v ) 啦( y ) ，v y 0 。所以a f ( 吼) ( z ) = a ( 1 ，佗) 口 由( 2 1 0 ) 式，引理2 1 及引理2 3 得 丢a ( 1 川圳圳n 一竽m ) 】 若f 袅，则由引理2 5 得a f a ( 1 ，佗) 0 ，从而由h o p f 极大值原 理知f = 0 或，= 彳冠8 n ( 1 ) 若f = 0 ，则m 是全脐点子流形 ( 2 ) 若，= 7 。8 一n 2 ，则由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) 式取等号得： ，矗= 允：。= 0 ，佗+ 1 并且引理2 2 中不等式也取等号，从而由( 2 1 1 ) ，( 2 1 6 ) 取等号及f ( x ) 0 知： 钉= 差三主苤主鱼童塾堑窒塑墨查堑塑堕主鱼量至煎墅鱼二全旦垫! 垒! 鲨窒堡 9 由 ? 产1 嚣毒1 = 一j ( 忍寸1 2 ：1 ) = 一j ，( z ) 得： ( 岔1 十九笳1 ) 2 = ( 对1 一h n + 1 ) 2 + 4 九对1 黠1 = 0 所以 对1 + 嚣：1 = 0 又死= 2 ，所以m 是极小的，因此m 是个v e r o n e s e 曲面【2 】 2 3 定理2 2 的证明 由( 1 5 ) ，( 2 6 ) 及c o d a z z i 方程：七一，= 一硝得： 0 1 扼= 允乞1 i k 叠埘= 最1 t 一础1 税 = 坛n + ：。r 。1 1 i + 景1 r 。i l t 一九曼兄口1 i k 茄l 托 = 品r 。1 1 t + 危景1 r 。i l i 一九3 见口1 t 一尉蝥1 i l k 叠1 西( 2 1 7 ) 由式( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 1 7 ) ，g a u s s 方程， r i c c i 方程以及0 6 k 勃1 得 1 专a ( 1 ，佗) n j f ( x ) + a + b + c 其中 a = 一2 ( 寸1 一 三嘉1 ) ( 对1 一九嚣+ 1 ) ( 7 最) 2 + ( 九笔+ 1 一九三：1 ) ( ，瑶i ) 2 b = ，( z ) 一 q 1 ( 蜡“) 2 + ：，鹾+ ( 坩1 + 嗽1 ) 缮1 ) i o n + 1 c = 一( 埘1 一h 磷m + 磷1 f l ，扩磷胁一磷1 , n n i i i + 噱磷。一 象磷，肋t 】) 口t 由亿- iv 的局部对称性，利用式( 1 5 ) ，( 2 4 ) 得： c = 一( 才1 一九黠1 ) 3 k f f + l ，肌九复+ 3 k l l , b n i 镌 + 磷历( 鲁一九：。) + 磷嘏+ 磷觑皖 t l i # 1 + 硌“n 卢磕+ 磷m 以一( 坩1 一九础。 i n i o n 一( ；+ 1 一九：1 ) k 袋m + k 盟。，。8 ：一k 嚣1 , n n b 危曩) ( 1 ) 先讨论p 2 的情况： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 笙三主羞鱼壹茎整望j 卫t 县有予行予乡堕，向量子流形的一个p i n c h i n g 定理 1 0 引理2 6 c 一警( 1 6 ) ( 礼一1 ) 伽，( z ) 一( 1 6 ) 凡，( z ) ( 1 一d ) 善鲁佗2 h 2 证明：由引理1 1 得 同理 3 l 磷1 棚俨h i l 3 ：i ，n + 1 一 翁1 ) i ( 1 6 ) m 乞) 2 + 知 1 一 翁1 ) 2 】) 。舌1 ( 卜6 ) 三( n - 1 ) f ( z ) + _ n - 1 p 弛) 】 = ( 1 6 ) ( 仃一1 ) 厂( z ) ( 羞+ 詈) = ( 1 6 ) ( n 一1 ) 而，( z )( 雨= 2 施) 3 i j 1 1 ，芦例 乞( 危? 产1 一 2 ：1 ) i ( 1 6 ) ( 礼一1 ) v p f ( x ) k 呲n h 3 l ，n ，+ 1 一危笳1 ) j 三( 1 - 6 ) ( 几一1 ) 坜m ) k m n 埘碍( 岔1 一危i 去( 卜6 ) ( 扎一1 ) v p f ( x ) i # l 。 k m n 郴 象( 允付1 一危i 妄( 卜巧) ( 佗一1 ) v p f ( x ) 磷，朋。 易( 九对1 1 一危：1 ) i 丢( 1 一j ) ( 佗一1 ) 伽厂( z ) u ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 一k 嚣1 ，。觑( 鲁一 ：。) ( 危寸1 一 ：1 ) = 一k 嚣1 i 。+ ，。( 对1 一九：1 ) 2 一n f ( x ) ( ? 产1 一允：1 ) ( 危对1 一 矿1 ) j 羔1 + ( ：+ 1 一 ：1 ) j 巍。) 5 ( h 对1 一危：1 ) ( 对1 一九：+ 1 ) + ( 笔+ 1 一九：1 ) n s f ( x ) l ( 磷1 1 ，口一磷1 , n n 。3 ) ：( 忽寸1 一 翁1 ) i 0 ，所以由b o n n e t m y e r s 定理知m ”紧致，因此由h o p f 极大值原理知s 为常数， 故 嚣k = o ，弛，i ，j k蝎= 0 并且引理3 5 中不等式取等号，即 弓 吾= $ 2 n 5 一礼一兰( 卜j ) 礼( p 一1 ) o 2 ，j v 一4 ( 佗一1 一a ) 一n - n4 s 从而引理3 4 中的不等式均取等号，即 4 九氮 磊肋= n ( 1 - j ) ( p i ) s at ，k 一t r ( 风毋) t 历= - n s a 口 蜂( k 删南+ 危尬。幻七) n s s “；， ，r m 令c = ( 七) 2 一( 七f 幻+ 巧姚) ， 口1 ，鬈口1 胄 则由式( 1 5 ) ，( 3 1 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 及第一b i a n c h i 恒等式得： c = ( 嚣* ) 2 一危昌( 附h 乞+ 鼢 嚣 + 枷九毛一枞十陟曝+ 僦缘 + 卢 磊一巧血危) = ( 九弓* ) 2 一研危易九0 + ( 危k m o t + 九k m k j k ) + 2 肋啄九象 一h o h j 。k ( k , ，娜+ 佩) 一巧卢 磊 = ( 豸七) 2 一槲九弓危十。( 螺七巧m + 彘巧* ) + 3 肋曝 象一嗡巧口h k 4 惫 = 一礼s + 仃6 s 一2 ( 1 一万) ( p 一1 ) n s = 一( 1 6 ) n s ( 2 p 一1 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) g _ a - , 美士鱼部对赘空哑史提! j 二子遣丝舌鱼二仑r i c c i 曲率p i n c h i n g 定理 1 8 又由( 3 6 ) 得 c= ( h r j ) 2 + ( 绦巧十九嚣女k a i j k ) 一d i v w a ，i ， 七a ，t ，j ，七 - d i v w 其中一次微分形式u 定义为： 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 得 d i v w = ( 1 6 ) 佗s ( 2 p 一1 ) u = ( 坛巧+ 坛妇) “，七 q i ，j ，k ( 3 9 ) 由g r e e n 散度定理得： 厶。( 1 叫n s ( 2 p _ 1 ) = f m , d i w = 。 又幽2 + - ；( v - i ) 6 1 ，故6 = 1 所以p 是截曲率为i 的常曲率空间扩+ p ( 1 ) ，此时a = 几一2 ，从而定理 化为 4 】中的情形 参考文献 参考文献 1 9 1 】陈卿：关于单位球面的子流形的个p i n c h i n g 定理数学学报3 9( 1 9 9 6 ) ， 5 7 6 3 2 白正国，沈一兵，水乃翔等 黎曼几何初步 高等教育出版社1 9 9 2 年4 月 3 李锦堂，林和子关于局部对称空间中具