（基础数学专业论文）一维拟线性严格双曲方程组初边值问题中高频振荡波的反射和折射.pdf

上海交通大学硕士学位论文 一维拟线性严格双曲方程组初边值问题中 高频振荡波的反射和折射 摘要 几何光学的研究起源于对光线传播的认识。现在，光被视为一种电磁现象， 而庸作为一类偏微分方程解的电磁场来描述。由于与人感官的感知能力范围和通 常的事物的大小相比，可见光的波长很短，因此一个与偏微分方程有关的电磁场 理论可用与光线和速度有关的几何理论来说明。由于波长很短，许多对光线的观 察结果都是以渐近形式给出。在我们的研究中，几何光学指对偏微分方程高频振 荡解的渐近分析。 我们指出，对短波长现象的研究不能简单地用计算机模拟来完成。过短的波 长使得离散化需要极其庞大的计算机存储容量和计算能力。即使只在需要的地方 使用精细网格，这对于现在的计算机来说也是无法达到的。而渐近分析法正为我 们提供了一个可行，有力以及数学上优美的工具。 通常，对几何光学在数学上的研究包括以下几方面：对高频振荡解渐近展开 式的形式分析，讨论精确解及其渐近展开各项在一不依赖于振荡频率的区域上的 存在唯一性，以及验证它们之间的渐近关系。 对于几何光学已有了丰富的研究和应用。在具有开创性的论文 2 2 中，p d l a x 给出了对一线性几何光学问题的渐近分析。j k h u n t e r , a m a j d a 和r r o s a l e s 对非线性几何光学问题中的形式解做了许多的讨论。可参看【1 6 ，【1 7 】 以及其中提到的文献。在【8 】，【9 】，【1 0 】， 1 1 】， 1 2 ， 1 3 】以及 1 4 】中，l - l 1 0 l y , g m e t i v i e r 和j r a t m h 给出了精确解和渐近展开之间成立渐近关系的严格证明。他 们的工作主要集中在柯西问题上，讨论的内容包括一维和高维问题，单位相和多 位相振荡，无共振和有共振的情形。同时，对于非线性几何光学带边界问题的部 分研究可参看1 2 ，【3 】，【1 8 】，【1 9 ，【2 0 v a 及【2 1 】。我们还要提一下d l a n n e s 在 【1 5 】中的工作，他首先讨论了具有连续谱的高频振荡，而以往大部分的研究是局 限在只具有可列谱的几乎周期函数上的。卜一。 本文主要研究单空间变量拟线性严格双曲方程组初边值问题中带有共振的 多位相高频振荡波的反射。由于边界的存在，除了一般柯西问题中对位相函数空 间的共振封闭性和横截性假设外，为了保证在边界上反射以后，位相函数仍在给 定的空间中，我们引入了反射封闭性，以及与之相关的映射厂”。在初始条件为 有界以及对其成立渐近展开的假设下，通过把一维双曲组柯西问题经典理论推广 到本文中的初边值问题，我们得到了高频振荡解在一不依赖于振荡频率的区域上 上海交通大学硕士学位论文 之相关的向量场，位相函数空间以及共振空间。与柯西问题的分析相类似，高频 振荡解的渐近展开首项也满足一积分微分方程组的初边值问题。本文中给出了渐 近展开首项在一不依赖于振荡频率的区域上的存在唯一性。通过同步迭代法验证 了高频振荡解和其渐近展开首项之间的渐近关系。侗时，为了使迭代初始 渐近关系，我们必须在文中对其加以特殊选择，这与 1 3 中的柯西问题不 后，作为一个应用，研究了高频振荡波在两区域边界上的反射与折胄j 。 关键词：非线性几何光学，一维拟线性严格双 ，1 射和折射 上海交通大学硕士学位论文 r e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o n0 f h i g l j y o s c i l l a t o r y 、) l 强v e sf o r0 n e d i n t l 0 n a l q u a s i l i n e a r h y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t t h es u b j e c to fg e o m e t r i co p t i c sb e g a nw i t ht h ee a r l i e s t u n d e r s t a n d i n go f t h e p r o p a g a t i o no fl i g h t t o d a yl i 出i s u n d e r s t o o da sa n e l e c t r o m a g n e t i cp h e n o m e n o n ，s o i sd e s c r i b e db yt h et i m ee v o l u t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s 也a ta r es m u t i o n so fa s y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n l e r e a s o nt h a taf i e l dt h e o r yi n v o l v i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a l lb er e p l a c e db ya g e o m e t r i ct h e o r yi n v o l v i n gr a y sa n ds p e e d s i st h a tv i s i b l el i g h th a sv e r ys h o r tw a v e l e n g t hc o m p a r e dt ot h es i z e do f h u m a n s e n s o r y o r g a n sa n dc o n l l n o np h y s i c a lo b j e c t s t h u sm u c ho b s e r v a t i o n a ld a t ai n v o l v i n gl i g h t o c c u r si na n a s y m p t o t i cr e g i m eo fv e r y s h o r tw a v e l e n g t h w eu s et h e p h r a s e g e o m e t r i co p t i c st ob es y n o n y m o u s 谢t 1 1 1 es t u d yo f t h e s h o r tw a v e l e n g t ha s y m p t o t i c a n a l y s i so f s o l u t i o n so f s y s t e m so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti si m p o r t a n tt or e c o g n i z et h a ts h o r tw a v e l e n g t hp h e n o m e n ac a r m o ts i m p l yb e s t u d i e d b yn u l n e r i c a l s i m u l a t i o n s d u et o v e r ys h o r tw a v e l e n g t h , o n en e e d st o d i s c r e t i z et h es p a c ew i t hs u c hm i n u t em e s hs i z ea sl o 。c m e v e nt h o r i 出am u c hm o r e i n t e l l i g e n ta p p r o a c hi st ou s er a d i c a ll o c a lm e s hr e f m e m e n t w h i c hm e a l l st h a tt h ef i n e m e s hi su s e do n l yw h e nn e e d e d ，s t i l lt h i sf a l l sf a ro u t s i d et h eb o u n d so fp r e s e n t c o m p u t i n gp o w e r f o r t u n a t e l y , t h ea s y m p t o t i ca n a l y s i so f f e r sa l la l t e m a t i v ea p p r o a c h w h i c hi sn o to n l yp o w e r f u lb u ta l s om a t h e m a t i c a le l e g a n t u s u a l l y ，t h em a t h e m a t i c a ls u b j e c to fg e o m e t r i co p t i c si s d e v o t e dt ot h ef o r m a l a n a l y s i so fp r o f i l e sf o ro s c i l l a t i o n s ，t h ep r o o fo f e x i s t e n c ef o rp r o f i l e sa n dt h ee x a c t o s c i l l a t o r ys o l u t i o n si nad o m a i ni n d e p e n d e n to f h i 曲f r e q u e n c i e s t h a ta r ep r o p o r t i o n a l t ot h es h o r tw a v e l e n g t h ，a n dt h er i g o r o u s j u s t i f i c a t i o nf o ra s y m p t o t i c so f o s c i l l a t i o n s t h e r ei sar i c hl i t e r a t u r ed e v o t e dt ot h eh i _ m h l yo s c i l l a t o r 3 , s o l u t i o n so fl i n e a ro r n o n l i n e a rh y p e r b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ep i o n e e r i n gp a p e r 2 2 】，pd l a xs h o w e dt h a t 廿l eb a s i cf o r m a le x p a n s i o n so f l i n e a rg e o m e t r i co p t i c sa r ea s y m p t o t i c t oe x a c ts o l u t i o n s ，a n di n a d d i t i o n , p r o v i d e a p o w e r f u l t o o l sf o r s t u d y i n g t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n s ，t h ep r o p a g a t i o n o f s i n g u l a r i t i e s o fs o l u t i o n st o p a r t i a l d i 髓r e a t i a le q u a t i o n s j k h u n t e r , a m a j d aa n dr r o s a l e sd e v o 把da1 0 tt ot h e f o r m a l a n a l y s i s o fn o n l i n e a rm e , m yo s c i l l a t o r yw a v e s r v f e rt o 1 6 ， 17 】a n d 上海交通太学硕士学位论文 r e f e f e n c e st h e r e i nf o rm o r ei n f o r m a t i o n m u c ho ft h ew o r ko fj lj o l v gm e t i v i e r a n dj t l a u c hi sf o c u s e do nt h er i g o r o u si u s t i f i c a t i o na s s e r t i n g 也a tt h e r ea r ee x a c t s o l u t i o n sw h i c hb e h a v el i k e 也ef o r n l a lo n e s n l e i rw o r k s m a i n l yf o c u so n 也ec a u c h y p r o b l e m sa n dr a n g ef r o m t h eo n ed i m e n s i o nt o 也e h i g h e rd i m e n s i o n s f r o m 也es i n g l e p h a s et ot h em u l t i p l ep h a s e s ，a n df r o m t h en o n r e s o n a n c et ot h er e s o n a n c e s e ep a p e r s 【8 】，【9 ， 1 0 】，【1 1 】， 1 2 】，【1 3 】a n d 1 4 】f o rr e f e r e n c e s t h e r ei sa l s os o m ei n t e r e s t i n g w o r kc nt h ew e a k l yn o n l i n e a rg e o m e t r i co p t i c si nt h em i x e dv a l u ep r o b l e m s s e e p a p e r s 【2 ，【3 ，【1 8 ， 1 9 ， 2 0 】a n d 2 1 】w ea l s ow a n t t om e n t i o nt h ei n t e r e s t i n gw o r k o fd l a n n e s 【1 5 】，w h e r et h ea u t h o rf i r s ts t n d i e st h eo s c i l l a t i o nw i t hac o n t i n u o u s s p e c t r u mw h i l eo t h e rw o r k s a r ec o n f i n e di nt h e 矗a n l eo fo s c i l l a t i o n sw i t ha na tm o s t c o u n t a b l es d e c t l x l n l i nt h i s p a p e r , w em a i n l ys t u d y t h e r a p i d l yo s c i l l a t i n g w a v e sf o rt h e i n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e r n s i no n e s p a c e v a r i a b l e d u et ot h ee x i s t e n c eo f 也eb o u n d a r y , w ei n t r o d u c et h e p r o p e r t yo f r e f l e c t i o n c l o s e n e s so nt h ep h a s es p a c e s ，i na d d i t i o nt ot h ep r o p e r t i e so f r e s o n a n c ec l o s e n e s sa n d t r a n s v e r s a l i t y c o n d i t i o nt h a ta r ec o m r n o ni n c a u c h yp r o b l e r n s n ”p r o p e r t yo f r e f l e c t i o nc l o s e n e s sm a k e st h eo s c i l l a t i n gp h a s e st or e m a i ni nag i y e ns p a c ea f t e r r e f l e c t i n ga tt h eb o u n d a r y b a s e d o nt h a t ，t h em a p p i n gf - - i si n t r o d u c e dt oa s s o c i a t e t h ei n c o m i n gp h a s e sw i t ht h eo u t g o h a go n e s u n d e rt h ea s s u m p t i o n so fb o u n d e d n e s s a n da s y m p t o t i ce x p a n s i o nf o rt h ei n i t i a ld a t a , w es t u d yt h er i g o r o u sj u s t i f i c a t i o no f a s y m p t o t i ce x p a n s i o n sf o rt h er a p i d l yo s c i l l a t o r y s o l u t i o nt ot h ei n i t i a l - b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m n l ee x i s t e n c eo ft h e r a p i d l yo s c i l l a t o r y s o l u t i o ni nad o m a i u i n d e p e n d e n to ff r e q u e n c i e so f o s c i l l a t i o n si sp r o v e nb ye x t e n d i n gt h ee l a s s i c a lt h e o r y o fc a u c h yp r o b l e m sf o ro n es p a c ed i m e n s i o n a lq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e r n si n t o 血ec a s eo fi n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s s i m i l a rt ot h ec a u c h yp r o b l e m , t h e l e a d i n gp r o f i l e so f t h eo s c i l l a t o r ys o l u t i o n ss a r i s f ya ni n i f i a l - b o u n d a , 7v a l u ep r o b l e m o f a ni n t e g r o d i f i e r e n t i a ls y s t e m t h ei n s t i f i c a t i o no f t h ea s y m p t o t i c si se s t a b l i s h e db y t h ei d e ao fs i m u l t a n e o u sp i c a r di t e r a t i o na sa d o p t e di n 【1 3 f i n a l l y , a sa na p p l i c a t i o n ， w ea l s os t u d yt h er e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o no f 也er a p i d l yo s c i l l a t o r yw a v et r a i n s g o v e r n e db yt w oq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a tt h eb o u n d a r yo ft w oa d j a e e m r e g i o n s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rg e o m e t r i co p t i c s , q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s , i n i t i a l - b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s ，r e f l e c t i o na n d t r a n s m i s s i o n 圭塑奎望查兰堡主兰些笙l l 引言 本文主要研究具有以下形式的单空间变量拟线性严格双曲组初、边值同题中带有共振的多位相高 频振荡波的反射， 盈u + ( t ，譬，t i ) 以u = 6 0 ，$ ，札) ，0 0 ，茹 0 ) l b d = k ( 曲 f ( t ，u ) = 0 ， 忙 0 ) 渖= 0 ) 其中对初始值k ( ) 成立高频振蔼波的渐近展开作为对以上同题的个应用，我们还研究了带 有共振的多位相高频振荡波在相邻区域边界上的反射和折射通常对非线性几何光学同题的研 究主要包括以下这几个方面：对高频振荡解渐近展开式的形式分析，讨论精蒲解及其渐近展开各 项在一不依赖于振荡频率的区域上的存在唯性，以及验证它们之间的渐近关系 在k ( z ) 有界性及对其成立渐近展开的假设下，通过把一维双曲组柯酉问题经典理论推广到本 文中的初边值问题。我们得到了以上问题的高频振荡解在一不依赖于撮荡频率的区域上的存在唯 一性。同时，与 1 3 中类似对于系数短阵且0 ，2 ，“) ，在文中引入了与之相关的向量场，位相函 数空间以及共振空间与 1 3 中对柯西问题的分析相类似，高频振荡解的渐近展开首项也满足一 积分微分方程组的初边值同题本文中给出了渐近展开首项在一不依赖于振蔷频率的区域上的存 在唯性最后通过同步迭代法验证了渐近关系，即考虑成立 t ：( t ，z ) 一u 9 ( ，庐( t ，岛1 肛) = d ( 1 ) ， e - 4o 其中和u 。分别为收敛到精确高频振荡解“。和淅近展开首相矿的迭代序列同时，为了使迭 代初姑点，u o 满足以上渐近关系式我们必须在文中对其加以特殊选择，这与【13 l 中的柯酉 问题不同 对于非线性几何光学已有丰富的研究和应用，大部分的工作主要集中在对柯西问题的研究上， 可参看f 9 】，【1 2 ，1 1 3 ， z 4 m w i l l i a m s 在 1 9 中研究了二阶严格双曲组初边值问题中高维 多位相的高频振荡波的反射与折射问题 本文的以下部分是这样安排的第一部分由以下几节组成在1 1 中，我们给出了本文所要研 究的问题的具体形式在1 2 中。引进了位相函数空间以及对该空问性质的一些要求其中除了类 似于 1 3 中的共振封闭性、横截性条件，我们还提出了反射封闭性类似于【1 3 】，在1 3 中，引入 了平均化算子对于本文中要引用的几乎周期函数的性质我们在1 4 中作了罗列在1 5 中，给 出了本文的主要结果第二部分给出了主要结果的详细证明其中在2 1 中定义了映射，一，给 出了其相关性质及其证明精确解的存在性和唯性的证明在2 2 中给出。在2 3 中，我们证明了 渐近展开首项的存在性和唯一性最后，在2 4 中给出了渐近关系的证明作为个应用，在第 三部分中研究了高频振荡波在两区域边界上的反射与折射 1 1 问题的提出 在区域d = ( t ，。) i t 0 ， o ) 中，考虑以下一阶拟线性方程组 a u + a ( t ，$ ，t ) 如u = 6 0 ，$ ，u ) ，( 1 1 1 ) 其中u ( ，) 取值于r n ，且 和6 为其自变量的光滑函数假设以上方程组在所要考察的区 域上关于时间t 为严格双曲的，即 有个互不相同的实特征值因此。其相应的特征向量构 1 成实数域上r “的一组基底若记n ( t ，z ，u ( t ，司) “= 1 ，) 为且的第个右特征向量，且 p ( t ，z ，u ( t ，z ) ) = ( r l ( t ，t ( ，z ) ) ，r ( t ，让( t ，。) ) ) 。那么 。 。，u ( 屯z ) ) n ( “气u ( t ，。) ) = 如= ： ； 兰i ( ，1 4 ) 一州似堋= 黑斟 阻， f ( t ，u ( t ，0 ) ) = o ， 其中f 为一取值于r ”“的光精函数类似于 3 j 和1 1 7 】 分，定义为 ( 1 1 6 ) 引入以下记号。称u 。为“的因果部 u 。c 扎。，：= ( ：! ：! ： ：! i ) 让。， ，篡卜咄 “。为 1 1 中不能由初使条件决定的部分 有了以上记号后，我们可把边界条件( 1 1 6 ) 改写为 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 其中亏为一取值于r ”- 的光滑函数为了保证( 1 1 1 ) 和( 1 1 9 ) 的初边值问题的局部适定性， 我们引进一重要假设，即在我们所考察的区域中，有 其中宠，为户关于u 。的n d 出e t 导数 同时，考虑一族初始条件 出t 也。o ， ( 1 1 1 0 ) u l t ：o = h ( ) - - 5 k ( $ ) ，陋 o ) ，( 1 1 1 1 ) 2 _ _ 一 上海交通大学硕士学位论文 其中h o 是一g * 函数 设函数u o ( t ，o ) 为方程组( 1 1 1 ) ，边界条件( 1 1 9 ) 以及初始值h ( 功的c 。解为了简单起 见，在下文中假设且( t ，$ ，u o ( t ，) ) = a ( t ，。，u o ( t ，$ ) ) ，其中a ( t ，z ，咖( t ，。) ) 为一对角阵，知f ( t ，z ) ：= h ( t ，o ，咖( t ，z ) ) 为其对角线上的元素 在对以上初始条件给出假设以前，先引入一些定义和记号令o o 为一m 维实空间，记僻。( 0 0 ) 为定义在e o 上取实值的连续几乎局期函数所组成空间，它是由形如n 矿的元素在p ( 0 0 ) 中 生成b a u a c h 子空间，其中， 和口。为行向量，且 属于r _ 的某一子集 若n 为d 中的一闭集，我们记c o ( n ；o o ) ：= 伊c a ；c 品( e o ) ) 为定义在n 上取值属于c 备( e 0 ) 的连续函数组成的空间在该空间上赋于以下范敬 l “l l c o ( n ；e o ) = 8 u p ( t 而口，) e n e o l u ( t ，嚣，日，t ) i ， 其中c oc n ；0 0 ) 另一方面，u 也可视为定义在n x e 。上的函数，且c 0 ( n ；e o ) 是工。( n x o o ) 的一闭子空间 对于女e n ，一( n ；o o ) 定义为c o ( n ；e o ) 的子空间，满足任意ue 一( n ；0 。) ，对于任一多重 指标a ，川k ，有a 0 。口，r ) u 属于c o ( n ；e o ) 该空间上的范数定义如下 i , , l i e ( n i e 。】= a u p ( t 目r ) n x 掣l 咋 口，) u ( t ，。，日，r ) l a l = o 其中ue 一( n ；0 0 ) 本文中还将用到定义在n 上通常的连续函数空间c o ( n ) ，和具有直至k 雕洼续导函数的函数 空间c ( n ) 但在这些空间上如【1 3 l 中，我们引入具有以下形式的带权范数 叭m n ：= e 陋i8 u p1 1 u ( t ，) ( 吼) i a l 茎| 。 其中n f = 。：( t ，。) n ) ，1s p 。 现在，我们引入以下术语 定义1 1 一旗函数巩e ( n ) 称为在硭( n ) 有界，若范数i 巩b 。n 有界 2 若l 巩b 。n _ + o 或陬b n _ + o 】当+ 0 ，则称巩= o ( 1 ) 于钟( n ) 或工”w ? ，( n ) 】 对于只是$ 或t 的函数，我们有类似的定义 当】o ，1 】，我们假设函数族k 在研( 1 0 ， ) 中有界并且，存在皿c 1 ( 【o ， ，i xr ) ，使 得 k 1 ( o ) 一旦( o ，西( o ，o ) 肛，1 e ) = o ( 1 ) ， 在碟( 【o ，+ ) i 或l ”矸翟p ( 0 ， ) 】中成立，对于1 f n 其中d f 0 ，且位相西为一定义在n 上而取值于丑一的光滑函数 由于初始条件具有形式+ k ，故我们寻求解具有形式u o + ；从而由问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 9 ) 和( 1 。1 1 1 ) 出发，可得未知函效满足以下问题 a + a 带( t ，z ，叫；) 如= 6 带( t ，。，黜。0 ，z ) ) ，( 1 1 1 2 ) 3 r - _ _ _ _ _ _ _ _ _ t 上海交通大学硕士学位论文 u c l t = 0 2h 5 ， g ( t ，u 。( t ，o ) ，m ( t ，o ) ) = 0 ， 其中 + ( t ，z ， ) ：= 且( ，z ，u o ( t ，。) + 口) ，6 + 是以下两光滑矩阵b 和b 7 之和 矿( t ，z ， ) ：= a ( t ，$ ，u o ( t ，) ) 一ac t ，工，t 0 ( t ，回+ 口) ) 以t i o ， 矿( t ，z ，u ) ：= 6 ( t ，。，t 1 0 ( ，z ) + 口) 一b ( ，”。( t ，$ ) ) ， 且 1 g ( ，c ( t ，o ) ，u s 一( t ，0 3 ) ：= f ( ，( 撕( ，o ) + e u s ( t ，o ) ) 。，( u o ( t ，o ) + e t k ( t io ) ) 。) 由假设条件( 1 1 1 0 ) 知，对于g 成立 d e t g ：一。0 1 2 位相函数空间 在开集n 上，设a c t ，。) 为一n n 矩阵，具有n 个互不相同的实特征值且满足a 1 ( ，z ) h ( t ，$ ) 0 l ( t ，z ) o ，且西：= 协，1 ，仰，血) 为卸的一组基定义壬为 圣lx x “ 若在初使条件中已给出了一有限维的位相函数空间壬o 则可由以下方法构造虮以及垂令 l p o 1 ，咖，d ) 为西。的组基则取吼为以下同题的解空间 五妒( t ，善) = 0 ，妒l 扛：d = 如西。 特别地，取忱f 为以下问题的解 x i 慨， ( t ，z ) = 0 ， 因此，易知乜= s 脚 铆，1 ，忱，d 并且。 的构造方法给出了一从西。到钒的同构 类似于 1 3 ，在给出了位相函数空间壬后， 振位相函数空间& ， 忱，“亡= o = 咖，t 圣o 忱t ，忱，d ) 线性无关，够成锄的一组基以上 我们可以引入与向量场墨( 1 l n ) 相联系的共 l v 岛：= 怕，) e 叫幽= c 。nn ，c = 删) = 1 4 _ _ _ _ - _ p 一一 n m 坫 m 1 1 1 1 q n 0 n 取机【t ，。) 在以上所选定的基底下的表示。则可以定义空间r ， 此时，。由d 唯一确定皿c 毒至。r 定义为 m n ) ( 1 2 4 ) pd 出 霍：= 矗1 = t ( 最r ) r 笛r j a ，j 巩，= c r v ( 叵c ) r ，( 1 2 5 ) j = l j = l 那么( 曩1 ) = 1 “，轨d ，钟，1 ，妒押，d ，1 ) 取值于霍 同时空间皿( 1 i s ) 定义为 霍：= ( 巨r ) 雪f 厩= o ，r ；0 ) 类似于 1 3 j ，引入以下关于位相函数空间圣性质的假设 ( 1 _ 2 6 ) 定义2 ( 共振封l i j 性) 若对任何( 南，如) 壬，以及f l ，h 由在n 上墨( 由) = o 可得：= 咖属于包o r ，则称位相函数空间圣具有共振封闭性 若不发生位相平移。则以上条件可加强； 定义3 - ( 严格共振封闭性) 若对任何( 争，母) 圣，以及fe l ， ，由在n 上，墨( e 由) = o 可得：= 九属于卸，剧称位相函数空间垂具有严格共振封闭性 ， 在本文的拟线性问题中，我们只要考察振荡波之间的二次相互作用，故有以下定义 定义4 - ( 二次作用下的共振封闭性) 若对任何( f ，丘 ) 1 ，) 3 ，8 1 屯，扩e 呜，由( s 1 - k s 2 ) = o 可知s 1i f - s 2 垂kor ，则称位相函数空间圣具有= 次作用下的共振封闭性 同样地，可定义位相函数空间壬的= 次作用下的严格共振封 i j 性 对于向量场x i ，1s2sn ，记h m ( 1 t ，神) 为置的过点【t ，的特征线，即， 型；掣：( ，( 州，砒 d 5 + 、 。 m ( t ；t ，f ) = 定义5 ( 横截性及弱横截性) 称一函数eg 1 ( n ) 与置横截【或与之弱援翩，若 v ( t ，窖) n ，蜀妒( ，伪( - 功) 0口矗口n 胁( t ，功，乃( t ，z ) 】 或，若 蜀庐( t ，。) 0d n 其中 t d t ，。) ，丑幢w 是特征线( r m ( 一t ，却) 在n 中的最大时间 + 那么，我们有以下定义， 5 ( 1 2 7 ) ( 1 _ 2 8 ) l f j移 a 吣问 r，毒 0 _ a “ i i r 上海交通太学硕士学位论文 定义6 若对于任何( 咖，) 圣以及l 1 ，) ，由在n 上，五如o 可得函数 = 咖与置横截 或与之弱横截3 ，即( 1 2 7 ) 圄2 ( 1 2 8 ) 】成立，称位相函数空间圣满足横截 性条件【或弱横截性条件 同样地，在振荡波的二次作用，有， 定义7 若对于任何( f ，丘k ) 1 ，) 3 ，咖e 屯以聂由奶，由在n 上甄- i - 屯) 0 可知， 函数= 也+ 如与甄横截 或与之弱横截j ，即( 1 2 7 ) 【或( 1 2 8 ) 成立。则称位相函数空间圣满 足二次作用下的横截性条件【或弱撮截性条件 由于边界的存在性，我们对位相函数空间圣增加以下条件在此，令n = ( t ，# ) 1 0 z m ( o ，+ ) ，o 0 ，则也( t ，) 称为进人位相由( t ，。) 关于向量场噩和边界如= o 反射位相 那么，我们有以下性质 定义l o ( 反射封闭性) 若对任何j 1 ，) ，满足沁( t ，) 0 。以及任何m + 1 ，) ， 成立对任何由( t ，$ ) 奶，它关于向量场x 。和边界忙= o ) 的反射位相妒。( t ，。) 必晨于西。， 则称位相函数空问西具有反射封闭性 假设给定的位相函数空间圣满足反射封闭性对于1 曼f n ，西= 竹1 ，竹，d ：) 为卸的 一组基设j 1 ，砖满足如( t ，z ) o ，且m 忙+ 1 ，) ，取妒 一，1 墨i s 由，为进入位 相妒“关于向量场五。和边界扣= o 的反射位相那么由反射封闭性的定义知，存在一实常 值向量鼋”= ( ：p ，咄嚣) ，使得 生 ( t ，o ) = 饵”( t ，o ) = 口妒如o ) = 1 把定”整理在一起后，我们定义以下如如常数矩阵列一， ，耐”、 t m ：i 每j + 其中je 1 ，女) 满足b ( t # ) 0 ，且me k + 1 ，) 6 ( 1 2 9 ) 上海交通大学硕士学位论文 1 3 平均化算子 类似于f 1 3 对于上节中定义的雪，以及c 品( 雪) 中的函数，我们引进以下平均化算子 定义1 1 设v 是皿的一个线性子空间，对于任一u 锡( 皿) 可定义平均化算子 慨州口) = ，”上。u p + 妒) 毗 ( 1 3 1 ) 其中口是子空间v 的维数，d 妒是y 上的l e b e s g u e 测度，0 是v 中测度为1 的单位立方体 注从以上定义可知，对任一u 喀佃) ，蜀，u 属于g 刍( y o ) 也就是说e v u 在平行于y 的方向上具有平移不变性 在下文中我们把卫k 简记为风 1 4 几乎周期函数空间 在本节中我们将给出在下文证明中用到的些几乎周期函数和驴( n ；雪) 中函数的性质证明的 过程将省略，有兴趣的读者可参考【1 3 中第4 部分的相关内容 设n 为d 中的开集，y 为皿的子空间通过在n 上点点定义，我们可将j v 延拓为c o ( n ；霍) 上的平均化算子在不至于引起混淆的情况下仍记为e v 命题1 若记罐( 皿) 为这样的函数空间，其中的函救具有直至女阶的致连续，有界的导函数，鄢 么。品( 皿) = 雠( 皿) n c 品( 霍) 三角多项式与连续几乎周期函数有密切的关系因此，首先给出其定义如下 定义1 2 我们把具有以下形式的函数称为三